QUESTÕES PARA REVISÃO

1. Uma empresa paga anualmente a seu contador honorários no valor de $10.000. Este custo é

explícito ou implícito?

Os custos explícitos são pagamentos efetivos, que incluem, portanto, todos os custos que envolvam

uma transação monetária. Um custo implícito é um custo econômico que não envolve

necessariamente uma transação monetária, apesar de estar associado ao uso de recursos pela

empresa. Quando a empresa paga a seu contador $10.000 como honorários anuais, ocorre uma

transação monetária: o contador oferece seu tempo em troca de dinheiro. Logo, os honorários anuais

são custos explícitos.

2. A proprietária de uma pequena loja de varejo cuida pessoalmente do trabalho contábil. De

que forma você mediria o custo de oportunidade desse trabalho?

Os custos de oportunidade são calculados a partir da comparação entre o uso corrente do recurso e

seus usos alternativos. O custo de oportunidade do trabalho contábil é o tempo que deixa de ser

gasto em outras atividades, como a administração de um negócio ou a realização de atividades de

lazer. O custo econômico do trabalho contábil é dado pelo maior valor monetário que poderia ser

obtido através de outras atividades.

3. Suponha que um fabricante de cadeiras descubra que a taxa marginal de substituição

técnica de capital por trabalho em seu processo produtivo seja substancialmente maior do

que a razão entre a taxa de locação das máquinas e o custo do trabalho na linha de

montagem. De que forma você acha que ele deveria alterar sua utilização de capital e trabalho

para que possa minimizar seu custo de produção?

Para minimizar o custo, o fabricante deveria usar uma combinação de capital e trabalho tal que a

taxa de substituição de capital por trabalho no seu processo produtivo seja igual à taxa de troca entre

capital e trabalho nos mercados externos. O fabricante estaria em melhor situação se aumentasse o

uso de capital e reduzisse o uso de trabalho. Ao substituir um pouco de trabalho por capital, a taxa

marginal de substituição técnica, TMST, diminuiria; o fabricante deveria continuar a substituir trabalho

por capital até o ponto em que a TMST fosse igual à razão entre a taxa de locação do capital e o

salário pago aos trabalhadores.

4. Por que as linhas de isocusto são retas?

A linha de isocusto representa todas as possíveis combinações de trabalho e capital que podem ser

adquiridas a um custo total constante. A inclinação da linha de isocusto é a razão entre os preços dos

insumos trabalho e capital. Se os preços dos insumos são fixos, a razão desses preços é fixa e a

linha de isocusto é reta. A linha de isocusto não é reta apenas no caso em que a razão dos preços

dos insumos varia com as quantidades utilizadas.

5. Se o custo marginal de produção estiver aumentando, o custo variável médio estará

aumentando ou diminuindo? Explique.

Um custo marginal crescente é compatível com um custo variável médio crescente ou decrescente.

Se o custo marginal for menor (maior) que o custo variável médio, cada unidade adicional de

produção estará adicionando ao custo total menos (mais) que as unidades anteriores, o que implica

que o CVMeestá diminuindo (aumentando). Logo, é necessário saber se o custo marginal é maior ou

menor que o custo variável médio para determinar se o CVMeé crescente ou decrescente.

6. Se o custo marginal de produção for maior do que o custo variável médio, o custo variável

médio estará aumentando ou diminuindo? Explique.

Para que o custo variável médio seja crescente (decrescente), cada unidade adicional de produção

deve adicionar ao custo variável mais (menos) que as unidades anteriores, na média; ou seja, o

custo marginal deve ser maior (menor) do que o custo variável médio. Assim, se custo o marginal é

maior do que o custo variável médio, este deve estar aumentando.

7. Se as curvas de custo médio da empresa apresentam formato em U, por que sua curva de

custo variável médio atinge seu nível mínimo em um nível de produção mais baixo do que a

curva de custo médio total?

O custo total é igual ao custo fixo mais o custo variável. O custo total médio é igual ao custo fixo

médio mais o custo variável médio. Num gráfico, a diferença entre as curvas de custo total médio e

custo variável médio, ambas em formato de U, é o custo fixo médio. Se o custo fixo for positivo, o

custo variável médio mínimo deve ser menor do que o custo total médio mínimo. Além disso, dado

que o custo fixo médio diminui continuamente à medida que aumenta a produção, o custo total médio

deve continuar a diminuir mesmo após o custo variável médio ter atingido seu ponto de mínimo, pois

a redução no custo fixo médio é inicialmente maior do que o aumento no custo variável médio. A

partir de um certo nível de produção, a redução no custo fixo médio torna-se menor do que o

aumento no custo variável médio, de modo que o custo total médio passa a aumentar.

8. Se uma empresa estiver apresentando rendimentos crescentes de escala até um

determinado nível de produção, e depois tiver rendimentos constantes de escala, o que você

poderia dizer a respeito do formato da curva de custo médio de longo prazo dessa empresa?

Quando a empresa apresenta rendimentos crescentes de escala, a sua curva de custo médio de

longo prazo apresenta inclinação negativa. Quando a empresa apresenta rendimentos constantes de

escala, a sua curva de custo médio de longo prazo é horizontal. Se a empresa apresenta inicialmente

rendimentos crescentes de escala, e depois rendimentos constantes de escala, a sua curva de custo

médio de longo prazo inicialmente cai, e depois se torna horizontal.

9. De que forma uma variação no preço de um dos insumos pode alterar o caminho de

expansão da empresa a longo prazo?

O caminho de expansão descreve a combinação de insumos que a empresa deve escolher para

obter cada nível de produção com o mínimo custo. Tal combinação depende da razão entre os

preços dos insumos: se o preço de um insumo muda, a razão de preços também muda. Por exemplo,

se o preço de um insumo aumenta, menor quantidade do insumo deve ser comprada para manter o

custo total constante, e o intercepto da linha de isocusto no eixo do insumo em questão se move na

direção da origem. Além disso, a inclinação da linha de isocusto, dada pela razão de preços, muda, e

a empresa substitui parte do insumo que se tornou relativamente mais caro pelo insumo mais barato.

Logo, o caminho de expansão se inclina na direção do eixo do insumo relativamente mais barato.

10. Faça uma distinção entre economias de escala e economias de escopo. Por que um

desses fenômenos pode estar presente sem o outro?

As economias de escala se referem à produção de um bem e ocorrem quando aumentos

proporcionais nas quantidades de todos os insumos levam a um aumento mais do que proporcional

na produção. As economias de escopo se referem à produção de mais de um bem e ocorrem quando

o custo da produção conjunta dos bens é menor do que a soma dos custos de produzir cada bem

separadamente. Não há relação direta entre rendimentos crescentes de escala e economias de

escopo, de modo que a produção pode apresentar uma característica independentemente da outra.

Veja o Exercício (13) para um caso com rendimentos constantes de escala e economias de escopo.

EXERCÍCIOS

1. Suponha que uma empresa fabricante de computadores tenha os custos marginais de

produção constantes a $1.000 por computador produzido. Entretanto, os custos fixos de

produção são iguais a $10.000.

a. Calcule as curvas de custo variável médio e de custo total médio para essa empresa.

O custo variável de produção de uma unidade adicional, o custo marginal, é constante e igual a

$1.000: CV = $1000Q, e O custo fixo médio é . O

custo total médio é dado pela soma do custo variável médio e do custo fixo médio:

.

b. Caso fosse do interesse da empresa minimizar o custo total médio de produção, ela

preferiria que tal produção fosse muito grande ou muito pequena? Explique.

A empresa preferiria a maior produção possível, pois o custo total médio diminui à medida que

aumenta Q. Se Q se tornasse infinitamente grande, o CTMe seria igual a $1.000.

2. Se uma empresa contratar um trabalhador atualmente desempregado, o custo de

oportunidade da utilização do serviço do trabalhador é zero. Isso é verdade? Discuta.

Do ponto de vista do trabalhador, o custo de oportunidade de seu tempo corresponde ao período de

tempo que ele deixa de gastar com outras atividades, incluindo atividades pessoais ou de lazer. O

custo de oportunidade de empregar uma mãe desempregada com filhos pequenos é certamente

diferente de zero! A dificuldade de atribuir um valor monetário ao tempo de que um indivíduo

desempregado deixará de gozar ao ser empregado não deveria nos levar à conclusão de que seu

custo de oportunidade é zero.

Do ponto de vista da empresa, o custo de oportunidade de empregar o trabalhador não é zero; a

empresa poderia, por exemplo, adquirir outra máquina em vez de empregar o trabalhador.

3.a. Suponha que uma empresa deva pagar uma taxa anual de franquia, que corresponda uma

quantia fixa, independente da empresa realizar qualquer produção. Como esta taxa afetaria os

custos fixos, marginais e variáveis da empresa?

O custo total, CT, é igual ao custo fixo, CF, mais o custo variável, CV. Os custos fixos não variam

com a quantidade produzida. Dado que a taxa de franquia, FF, é um valor fixo, os custos fixos da

empresa aumentam no valor da taxa. Logo, o custo médio, dado por , e o custo fixo

médio, dado por , aumentam no valor da taxa média de franquia . Observe que a taxa de

franquia não afeta o custo variável médio. Além disso, tendo em vista que o custo marginal é a

variação no custo total associada à produção de uma unidade adicional e que a taxa de franquia é

constante, o custo marginal não se altera.

b. Agora suponha que seja cobrado um imposto proporcional ao número de unidades

produzidas. Novamente, como tal imposto afetaria os custos fixos, marginais e variáveis da

empresa?

Seja t o imposto por unidade. Quando um imposto é cobrado sobre cada unidade produzida, o custo

variável aumenta em tQ. O custo variável médio aumenta em t, e dado que o custo fixo é constante,

o custo total médio também aumenta em t. Além disso, dado que o custo total aumenta em t para

cada unidade adicional, o custo marginal também aumenta em t.

4. Um artigo recente publicado na Business Week afirmava o seguinte:

Durante a recente queda nas vendas de automóveis, a GM, a Ford, e a Chrysler decidiram que

era mais econômico vender automóveis para as locadoras com prejuízo do que despedir

funcionários. Isto porque é caro fechar e abrir fábricas, em parte porque a negociação sindical

atual prevê a obrigatoriedade das empresas pagarem salários a muitos trabalhadores, mesmo

que estes não estejam trabalhando.

Quando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se referindo ao lucro

contábil ou econômico? Explique brevemente como eles se distinguem neste caso.

Quando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se referindo ao lucro contábil. O

artigo afirma que o preço obtido na venda dos automóveis para as locadoras era menor do que seu

custo contábil. O lucro econômico seria a diferença entre o preço e o custo de oportunidade dos

automóveis. Tal custo de oportunidade representa o valor de mercado de todos os insumos utilizados

na produção dos automóveis. O artigo menciona que as empresas automobilísticas devem pagar a

seus trabalhadores mesmo que estes não estejam trabalhando (e, portanto, produzindo automóveis).

Isso implica que os salários pagos a tais trabalhadores são custos "irreversíveis" e,

conseqüentemente, não entram no custo de oportunidade da produção. Por outro lado, os salários

são incluídos nos custos contábeis, que devem, portanto, ser maiores do que o custo de

oportunidade. Logo, o lucro contábil deve ser menor do que o lucro econômico.

5. Um fabricante de cadeiras contrata sua mão de obra para a linha de montagem por $22 por

hora e calcula que o aluguel de suas máquinas seja de $110 por hora. Suponha que uma

cadeira possa ser produzida utilizando-se 4 horas entre tempo de trabalho e de máquina,

sendo possível qualquer combinação entre os insumos. Se a empresa atualmente estiver

utilizando 3 horas de trabalho para cada hora de máquina, ela estará minimizando seus custos

de produção? Em caso afirmativo, qual a razão? Em caso negativo, de que forma a empresa

poderia melhorar essa situação?

Se a empresa pode produzir uma cadeira utilizando quatro horas de trabalho ou quatro horas de

máquina, ou qualquer combinação dos insumos, então a isoquanta é uma linha reta com inclinação

de -1 e interceptos em K = 4 e L = 4, conforme mostra a Figura 7.5.

A linha de isocusto, CT = 22L + 110K tem inclinação de (com o capital no eixo

vertical) e interceptos em e . O ponto de custo mínimo é uma solução de canto,

onde L = 4 e K = 0. Nesse ponto, o custo total é $88.

Figura 7.5

6. Suponha que economia entre em recessão e o custo de mão de obra caia 50%, sendo que

se espera que venha a permanecer em tal nível por um longo tempo. Mostre graficamente de

que forma essa variação de preço do trabalho em relação ao preço do capital influenciaria o

caminho de expansão da empresa.

A Figura 7.6 mostra uma família de isoquantas e duas curvas de isocusto. As unidades de capital são

medidas no eixo vertical e as unidades de trabalho no eixo horizontal. (Observação: A figura

pressupõe que a função de produção que dá origem às isoquantas apresente rendimentos

constantes de escala, o que resulta num caminho de expansão linear. Entretanto, os resultados a

seguir não dependem dessa hipótese.)

Se o preço do trabalho diminui enquanto o preço do capital é constante, a curva de isocusto gira para

fora em torno de seu intercepto no eixo do capital. O caminho de expansão é o conjunto de pontos

nos quais a TMST é igual à razão dos preços; logo, à medida que as curvas de isocusto giram para

fora, o caminho de expansão gira na direção do eixo do trabalho. Com a redução do preço relativo do

trabalho, a empresa utiliza mais trabalho à medida que a produção aumenta.

Figura 7.6

7. Você é responsável pelo controle de custos em um grande distrito de trânsito

metropolitano. Um consultor contratado lhe apresenta o seguinte relatório:

Nossa pesquisa revelou que o custo de operação de um ônibus a cada viagem é de $30,

independentemente do número de passageiros que esteja transportando. Cada ônibus tem

capacidade para transportar 50 passageiros. Nas horas de pico, quando os ônibus estão

lotados, o custo médio por passageiro é de $0,60. Entretanto, durante as horas fora de pico, a

média de passageiros transportados cai para 18 pessoas por viagem e o custo sobe para

$1,67 por passageiro. Conseqüentemente, recomendamos uma operação mais intensa nas

horas de pico, quando os custos são menores, e um número menor de operações nas horas

fora de pico, nas quais os custos são mais altos.

Você seguiria as recomendações do consultor? Discuta.

O consultor não entende a definição de custo médio. O aumento do número de passageiros sempre

diminui o custo médio, independente de se tratar de uma hora de pico ou não. Se o número de

passageiros cair para 10, os custos aumentarão para $3,00 por passageiro. Além disso, nas horas de

pico os ônibus estão lotados. Como seria possível aumentar o número de passageiros? Em vez de

seguir as recomendações do consultor, seria melhor incentivar os passageiros a passar a usar os

ônibus nas horas fora de pico - através, por exemplo, da cobrança de preços mais elevados nas

horas de pico.

8. Uma refinaria de petróleo é composta de diferentes unidades de equipamento de

processamento, cada qual com diferentes capacidades de fracionamento do petróleo cru, com

alto teor de enxofre, em produtos finais. O processo produtivo dessa refinaria é tal que o

custo marginal do processamento de gasolina é constante até um certo ponto, desde que uma

unidade de destilação básica esteja sendo alimentada por petróleo cru. Entretanto, à medida

que a capacidade desta unidade se esgota, o volume de petróleo cru que pode ser processado

no curto prazo se revela limitado. O custo marginal de processamento da gasolina é também

constante até um determinado limite de capacidade, quando o petróleo cru passa por uma

unidade mais sofisticada de hidrocraqueamento. Elabore o gráfico do custo marginal da

produção de gasolina, quando são utilizadas uma unidade de destilação básica e uma unidade

de hidrocraqueamento.

A produção de gasolina envolve duas etapas: (1) destilação do petróleo cru; e (2) refino do produto

destilado, que é transformado em gasolina. Dado que o custo marginal de produção é constante até

o limite de capacidade para ambos os processos, as curvas de custo marginal apresentam formato

semelhante em L.

Figura 7.8

O custo total marginal, CMgT, é a soma dos custos marginais dos dois processos, i.e., CMgT = CMg1

+ CMg2, onde CMg1 é o custo marginal da destilação até o limite de capacidade, Q1, e CMg2 é o custo

marginal de refino até o limite de capacidade, Q2. O formato da curva de custo total marginal é

horizontal até o menor limite de capacidade. Se o limite de capacidade da unidade de destilação for

menor que o limite da unidade de hidrocraqueamento, o CMgTserá vertical ao nível de Q1. Se o limite

da unidade de hidrocraqueamento for menor que o limite da unidade de destilação, o CMgT será

vertical ao nível de Q2.

9. Você é o gerente de uma fábrica que produz motores em grande quantidade por meio de

equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser

resumida pela função de produção:

Q = 4 KL

em que Q é o número de motores por semana, K é o número de máquinas, e L o número de

equipes de trabalho. Cada máquina é alugada ao custo r = $12.000 por semana e cada equipe

custa w = $3.000 por semana. O custo dos motores é dado pelo custo das equipes e das

máquinas mais $2.000 de matérias primas por máquina. Sua fábrica possui 10 máquinas de

montagem.

a. Qual é a função de custo de sua fábrica — isto é, quanto custa produzir Q motores? Quais

os custos médio e marginal para produzir Q motores? Com os custo médios variam com a

produção?

K é fixo ao nível de 10. A função de produção de curto prazo é, portanto, Q = 40L. Isso implica que,

para qualquer nível de produção Q, o número de equipes de trabalho contratadas será . A

função de custo total é dada pela soma dos custos de capital, trabalho, e matérias primas:

CT(Q) = rK + wL + 2000Q = (12.000)(10) + (3.000)(Q/40) + 2.000 Q

= 120.000 + 2.075Q

A função de custo médio é dada por:

CMe(Q) = CT(Q)/Q = 120.000/Q + 2.075

e a função de custo marginal é:

CT(Q) / Q = 2.075

Os custos marginais são constantes e os custos médios são decrescentes (devido ao custo fixo de

capital).

b. Quantas equipes são necessárias para produzir 80 motores? Qual o custo médio por

motor?

Para produzir Q = 80 motores, são necessárias ou L=2 equipes de trabalho. O custo médio

é dado por

CMe(Q) = 120.000/Q + 2.075 ou CMe = 3575.

c. Solicitaram a você que fizesse recomendações para o projeto de uma nova fábrica. O que

você sugeriria? Em particular, com que relação capital/trabalho (K/L) a nova planta deveria

operar? Se custos médios menores fossem o único critério, você sugeriria que a nova fábrica

tivesse maior ou menor capacidade que a atual?

Agora, abandonamos a hipótese de que K é fixo. Devemos encontrar a combinação de K e L que

minimiza os custos para qualquer nível de produção Q. A regra de minimização de custo é dada por:

Para calcular o produto marginal do capital, observe que, se aumentarmos K em 1 unidade, Q

aumentará em 4L, de modo que PMgK = 4L. Analogamente, observe que, se aumentarmos L em 1

unidade, Q aumentará em 4K, de modo que PMgL = 4K. (Matematicamente, e

.) Inserindo essas fórmulas na regra de minimização de custo, obtemos:

.

A nova planta deveria operar com uma razão capital/trabalho de 1/4.

A razão capital-trabalho da empresa é atualmente 10/2 ou 5. Para reduzir o custo médio, a empresa

deveria utilizar mais trabalho e menos capital para gerar a mesma produção ou contratar mais

trabalho e aumentar a produção.

*10. A função custo de uma empresa fabricante de computadores, relacionando seu custo

médio de produção, CMe, com sua produção acumulada, QA (em milhares de computadores

produzidos), e com o tamanho de sua fábrica em termos de milhares de computadores

produzidos anualmente, Q, é dada, para uma produção na faixa entre 10.000 e 50.000

computadores, pela equação

CMe = 10 - 0,1QA + 0,3Q.

a. Existe um efeito de curva de aprendizagem?

A curva de aprendizagem descreve a relação entre a produção acumulada e os insumos necessários

para produzir uma unidade de produção. O custo médio mede os requisitos de insumo por unidade

de produção. Existe um efeito de curva de aprendizagem se o custo médio cai à medida que

aumenta a produção acumulada. No caso em questão, o custo médio diminui à medida que aumenta

a produção acumulada, QA. Logo, existe um efeito de curva de aprendizagem.

b. Existem rendimentos crescentes ou decrescentes de escala?

Para medir os rendimentos de escala, calcule a elasticidade do custo total, CT, com relação à

produção, Q:

Se a elasticidade for maior (menor) que 1, há rendimentos decrescentes (crescentes) de escala, pois

o custo total aumenta mais (menos) rápido que a produção. A partir do custo médio, podemos

calcular o custo total e o custo marginal:

CT = Q(CMe) = 10Q - (0,1)(QA)(Q) + 0,3Q2, logo

.

Dado que o custo marginal é maior do que o custo médio (pois 0,6Q> 0,3Q), a elasticidade, EC, é

maior que 1; há rendimentos decrescentes de escala. O processo produtivo apresenta um efeito de

curva de aprendizagem e rendimentos decrescentes de escala.

c. Ao longo de sua existência, a empresa já produziu um total de 40.000 computadores e

estará produzindo 10.000 máquinas este ano. No ano que vem, ela planeja aumentar sua

produção para 12.000 computadores. Seu custo médio de produção aumentará ou diminuirá?

Explique.

Primeiro, calcule o custo médio no ano corrente:

CMe1 = 10 - 0,1QA + 0,3Q = 10 - (0,1)(40) + (0,3)(10) = 9.

Segundo, calcule o custo médio no ano seguinte:

CMe2 = 10 - (0,1)(50) + (0,3)(12) = 8,6.

(Observação: A produção acumulada aumentou de 40.000 para 50.000)

O custo médio diminuirá devido ao efeito da aprendizagem.

11. A função de custo total a curto prazo de uma empresa expressa pela equação C=190+53Q,

em que C é o custo total e Q é a quantidade total produzida, sendo ambos medidos em

dezenas de milhares de unidades.

a. Qual é o custo fixo da empresa?

Quando Q = 0, C = 190, de modo que o custo fixo é igual a 190 (ou $1.900.000).

b. Caso a empresa produzisse 100.000 unidades de produto, qual seria seu custo variável

médio?

Com 100.000 unidades, Q = 10. O custo total é 53Q = (53)(10) = 530 por unidade (ou $5.300.000 por

10.000 unidades). O custo variável médio é por unidade ou $530.000 por

10.000 unidades.

c. Qual é o custo marginal por unidade produzida?

Com um custo variável médio constante, o custo marginal é igual ao custo variável médio, $53 por

unidade (ou $530.000 por 10.000 unidades).

d. Qual é seu custo fixo médio?

Para Q = 10, o custo fixo médio é por unidade ou ($190.000 por 10.000

unidades).

e. Suponha que a empresa faça um empréstimo e expanda sua fábrica, Seu custo fixo sobe em

$50.000, porém seu custo variável cai em $45.000 para cada 10.000 unidades. A despesa de

juros (I) também entra na equação. Cada aumento de 1% na taxa de juros eleva os custos em

$30.000. Escreva a nova equação de custo

O custo fixo muda de 190 para 195. O custo total diminui de 53 para 45. O custo fixo também inclui

pagamento de juros: 3I. A equação do custo é

C = 195 + 45Q + 3I.

*12. Suponha que a função de custo total a longo prazo para uma empresa seja expressa pela

equação cúbica: CT = a + bQ + cQ2 + dQ3. Mostre (utilizando o cálculo integral) que esta

função de custo é consistente com a curva de custo médio com formato em U, pelo menos

para alguns valores dos parâmetros a, b, c, d.

Para mostrar que a equação de custo cúbica implica uma curva de custo médio com formato de U,

utilizamos a álgebra, o cálculo e a teoria econômica para impor restrições sobre os sinais dos

parâmetros da equação. Essas técnicas são ilustradas no exemplo abaixo.

Primeiro, se a produção é igual a zero, então, CT = a, onde a representa os custos fixos. No curto

prazo, os custo fixos são positivos, a >0, porém, no longo prazo, onde todos os insumos são

variáveis, a = 0. Logo, impomos a restrição de que a deve ser zero.

Em seguida, sabendo que o custo médio deve ser positivo, divide-se CT por Q:

CMe = b + cQ + dQ2.

Essa equação é simplesmente uma função quadrática, que pode ser representada graficamente em

dois formatos básicos: formato de U e formato de U invertido. Estamos interessados no formato de U,

ou seja, em uma curva com um ponto de mínimo (custo médio mínimo), em vez do formato de U

invertido, com um ponto de máximo.

À esquerda do ponto de mínimo, a inclinação deve ser negativa. No ponto de mínimo, a inclinação

deve ser zero, e à direita, a inclinação deve ser positiva. A primeira derivada da curva de custo médio

com relação a Q deve ser igual a zero no ponto de mínimo. Para uma curva de CMe com formato de

U, a segunda derivada da curva de custo médio deve ser positiva.

A primeira derivada é c + 2dQ; a segunda derivada é 2d. Se a segunda derivada deve ser positiva, d

>0. Se a primeira derivada deve ser igual a zero, resolvendo para c em função de Q e d obtemos: c =

-2dQ. Se d e Q são positivos, c deve ser negativo: c <0.

A restrição sobre b baseia-se no fato de, no seu ponto de mínimo, o custo médio dever ser positivo.

O ponto de mínimo ocorre quando c + 2dQ = 0. Resolve-se para Q em função de c e d: .

Em seguida, substitui-se Q por este valor na nossa expressão de custo médio, e simplifica-se a

equação:

, ou

o que implica . Dado que c2>0 e d > 0, b deve ser positivo.

Em resumo, para curvas de custo médio de longo prazo com formato de U, a deve ser zero, b e

ddevem ser positivos, c deve ser negativo, e 4db > c2. Entretanto, as condições não asseguram que

o custo marginal seja positivo. Para assegurar que o custo marginal possua um formato de U e que

seu ponto de mínimo seja positivo, utilizando o mesmo procedimento, ou seja, resolvendo para Q no

custo marginal mínimo e substituindo na expressão do custo marginal b + 2cQ + 3dQ2,

encontramos que c2 deve ser menor que 3bd. Observe que os valores dos parâmetros que

satisfazem essa condição também satisfazem 4db > c2; o contrário, porém, não é verdadeiro.

Por exemplo, sejam a = 0, b = 1, c = -1, d = 1. O custo total é Q - Q2+ Q3; o custo médio é 1 - Q + Q2;

e o custo marginal é 1 - 2Q + 3Q2. O custo médio mínimo é Q = 1/2e o custo marginal mínimo é 1/3

(suponha que Q seja medido em dúzias de unidades, de modo que não há produção de unidades

fracionadas). Veja a Figura 7.12.

Figura 7.12

*13. Uma empresa de computadores produz hardware e software utilizando a mesma fábrica e

os mesmos trabalhadores. O custo total da produção de unidades de hardware H e de

unidades de software S é expresso pela equação:

CT = aH + bS - cHS,

na qual a, b, e c são positivos. Esta função de custo total é consistente com a presença de

rendimentos crescentes ou decrescentes de escala? E com economias ou deseconomias de

escopo?

Há dois tipos de economias de escala a se considerar: economias de escala multiproduto e

economias de escala específicas a cada produto. Aprendemos na Seção 7.5 que as economias de

escala multiproduto para o caso de dois produtos, SH,S, são dadas por

ondeCMgH é o custo marginal de produção de hardware e CMgS é o custo marginal de produção de

software. As economias de escala específicas a cada produto são:

e

onde, CT(0,S) implica a não produção de hardware e CT(H,0) implica a não produção de software.

Sabe-se que o custo marginal de um insumo é a inclinação do custo total com relação àquele

insumo. Sendo

,

obtém-se CMgH = a - cS eCMgS = b - cH.

Inserindo tais expressões nas fórmulas de SH,S, SH, e SS:

ou

, porque cHS> 0. Além disso,

, ou

e similarmente

Há economias de escala multiproduto, SH,S> 1, porém rendimentos de escala específicos a cada

produto constantes, SH = SS = 1.

Temos economias de escopo se SC> 0, onde (a partir da equação (7.8) no texto):

, ou,

, ou

Dado que ambos cHS e CT são positivos, ocorrem economias de escopo.

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