Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
1
Matemática Aplicada – 07/04/14
Ciclo trigonométricoProf. Robson Ricardo
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
2
Circunferência e arco
R
C
A
B
Uma circunferência de centro C e raio R é o conjunto dos pontos que estão a uma distância R do ponto C.
Um arco é o conjunto dos pontos da circunferência que estão entre A e B.
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
3
R
C
A
B
𝛼 𝛼A medida angular de um arco é a medida do ângulo central .
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
4
Comprimentos
R
C
Comprimentoda circunferência
R
C
A
B
Comprimento do arco
𝑙𝛼
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
5
Exemplo 1
Numa circunferência de 4m, qual é o comprimento de um arco de 20°?
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
6
OBSERVAÇÃO 1
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
7
A
B
C𝛽D 𝛼 𝛽=𝛼2
OBSERVAÇÃO 2: TEOREMA
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
8
A
B
𝛽
𝛽
𝛽
Dois ou mais ângulos inscritos que enxergam
o mesmo arco têm mesma medida.
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
9
Exemplo 2
(UEPA – Atividade 3, pág. 20, MF.06)Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos A, B e C (veja figura). O arco AB mede 120° e a corda AB mede 12 cm. Calcule o valor de r.
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
10
R
C
1 ° Uma circunferência pode ser dividida em 360 arcos iguais. O ângulo que representa cada um desses ângulos vale 1 grau, por definição.
Grau
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
11
Radianos
R
C
A
B
𝑅𝛼1 radiano é a medida do ângulo do arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.NOTAÇÃO: 1 rad
𝟏𝟖𝟎°=𝝅𝒓𝒂𝒅
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
12
Exemplo 3
a) Converta 50° para radianos.
b) Converta para graus.
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
13
Exemplo 4
(Ibmec-RJ – Apostila de Exercícios: Atividade 2, MF.07)
Quando um relógio analógico marca 6 horas e 20 minutos, o ponteiro de hora e o ponteiro de minutos formam que ângulo, em radianos?
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
14
Relembrando...
𝜃CATETOOPOSTO
CATETOADJACENTE
HIPOTENUSA
𝑠𝑒𝑛𝜃=𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
𝑯𝑰𝑷𝑶𝑻𝑬𝑵𝑼𝑺𝑨
0<𝜃<90 °
𝑡𝑔𝜃=𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶𝑶𝑷𝑶𝑺𝑻𝑶
𝑪𝑨𝑻𝑬𝑻𝑶 𝑨𝑫𝑱𝑨𝑪𝑬𝑵𝑻𝑬
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
15
E se não estiverentre 0° e 90°?
𝜽=𝟎° 𝜽=𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗 °
𝜽=𝟏𝟐𝟎° 𝜽=𝟐𝟎𝟏𝟒°
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
16
Relação Fundamental da Trigonometria
𝑠𝑒𝑛2𝜃+cos2𝜃=1
𝜃
a
b
c
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
17
Ciclo trigonométrico
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜
1
1
−1
−1
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃
Sentido anti-horário
1° quadrante2° quadrante
3° quadrante 4° quadrante
𝑦
𝑥
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
18
Arcos côngruos
Exemplo 3
Indique no ciclo trigonométrico os arcos côngruos dos ângulos abaixo:a) 1270°b) rad
Arco côngruo a um dado ângulo é o seu resto na divisão por 360.
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
19
Pontos limítrofes
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜
1
1
−1
−1
e
e
e
e
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
20
Redução ao 1º Quadrante
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜
1
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 )=𝑠𝑒𝑛(𝛼′ )
𝜶 ′ 𝜶 ′𝟏𝟖𝟎°
cos (𝛼 )=−cos (𝛼 ′)Se está no2º Quadrante.
𝜶
𝑐𝑜𝑠(𝛼 ′)cos (𝛼 )=−𝑐𝑜𝑠 (𝛼 ′ )
sen (𝛼 )=𝑠𝑒𝑛 (𝛼′ )
espelho
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
21
Redução ao 1º Quadrante
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜
1
𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′)
𝜶 ′𝜶 ′
𝟏𝟖𝟎°
cos (𝛼 )=−cos (𝛼 ′)Se está no3º Quadrante.
𝜶
𝑐𝑜𝑠(𝛼 ′)
sen (𝛼 )=−𝑠𝑒𝑛 (𝛼 ′)
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 )=𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′)
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
22
Redução ao 1º Quadrante
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜
𝑠𝑒𝑛𝑜
1
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 ′ )
𝜶 ′
𝜶 ′𝟏𝟖𝟎°
cos (𝛼 )=cos (𝛼′ )Se está no4º Quadrante.
𝜶
sen (𝛼 )=−𝑠𝑒𝑛 (𝛼 ′)
espelho
𝑠𝑒𝑛 (𝛼 )=−𝑠𝑒𝑛(𝛼 ′ )
𝒄𝒐𝒔 (𝜶 ′ )=𝐜𝐨𝐬 (𝜶 )
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
23
Exemplo 5
Calcule o seno e cosseno dos ângulosa) 120°b) 210°c) 315°
Prof. Robson Ricardo de Araujo
MATEMÁTICA APLICADA – CICLO TRIGONOMÉTRICO
24
A Matemática não é algo mágico e ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo
de conhecimento naturalmente desenvolvido
por pessoas durante um período de 5000 anos.
Frank Swetz Robson Ricardo de Araujo