Download - Matemática Aplicada Unidade II
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Unidade II
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Unidade IIFunções
É muito comum, no nosso cotidiano, estabelecermos relações entre duas ou mais grandezas. Por exemplo, quando vamos abastecer o carro, o preço que pagamos pelo combustível depende da quantidade de litros colocada no tanque.
Podemos aplicar o conceito de função em diversas áreas e, de acordo com as grandezas estudadas e os tipos de funções, é possível analisar como uma grandeza varia em função de outra. E com o gráfico de uma função, podemos interpretar as informações e tomar decisões importantes.
3 DeFinição De Função
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A x B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagem em B se, e somente se, para todo x ∈ A existe um só y ∈ B, tal que (x,y) ∈ f.
observação
A sentença “f é função de A em B” pode ser indicada por f: A → B.
Com o auxílio do diagrama de flechas, vamos analisar as condições para que uma relação f seja uma função:
a) É necessário que todo elemento x ∈ A participe de pelo menos um par (x,y) ∈ f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida da flecha.
f é função
• •
A B• •
• •• •
••
••
Figura 25
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Lembrete
Se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma, então f não é função.
f não é função
• •
A B• •
• •• •
••
•
Figura 26
b) É necessário que cada elemento x ∈ A participe de um só par (x,y) ∈ f, isto é, de cada elemento de A parte uma única flecha.
f é função
• •
A B• •
• •• •
••
••
Figura 27
Lembrete
Se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas, então f não é função.
f não é função
• •
A B• •
• •• •
••
••
Figura 28
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Lembrete
Toda função é uma relação binária de AxB, portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados.
Dados os conjuntos A e B, a função f é definida pela lei y = f(x) mediante a qual, dado x ∈ A, determina-se y ∈ B, tal que (x,y) ∈ f, então:
f = {(x,y) | x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)}
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {-2, 0, 4} e B = {0, 1, 2, 3} e a relação de A em B dada por y = x2
, com x ∈ A e y ∈ B, verifique, por meio de diagramas, se a relação é uma função.
f não é função
A B-2 • • 0
• 1• 2
• 34 •
0 •
Figura 29
Pois existe um elemento em A que não está associado a elemento em B.
2) Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4} e a relação de A em B dada por y = x², sendo que x ∈ A e y ∈ B. Verifique, por meio de diagramas, se a relação é uma função.
f é função
A B
-2 •
-1 •2 •
• 1
• 4• 3
• 2
1 •
Figura 30
Pois todos os elementos de A estão associados a elementos em B. Cada elemento de A está associado a um único elemento de B.
3) Dados os conjuntos A = {4, 16} e B = {-4, -2, 2, 4} e a relação de A em B dada por x = y², x ∈ A e y ∈ B, verifique se a relação dada é uma função.
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f não é função
A B• -4
• -2• 2
• 4
4 •
16 •
Figura 31
Existe elemento em A que está associado a mais de um elemento em B.
3.1 Domínio – contradomínio – imagem de uma função
Toda função f é uma relação binária de AxB, portanto, tem um domínio e uma imagem. Chama-se domínio de f o conjunto D dos elementos x ∈ A para os quais existe y ∈ B, tal que (x,y)
∈ f. Pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade. Portanto, nas funções, temos:
domínio = conjunto de partida
D = A
Chama-se imagem de f o conjunto Im dos elementos y ∈ B para os quais existe x ∈ A, tais que (x,y) ∈ f, portanto:
Imagem é subconjunto do contradomínio:
Im ⊂ B
ContradomínioDomínio
Imagem
• •
A B• •
• ••
•
••
••
Figura 32
Lembrete
O domínio de uma função é, também, chamado campo de definição ou campo de existência de uma função.
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Feita a representação gráfica da função f, temos que Domínio (D) é o conjunto das abscissas, e Imagem (Im) é o conjunto das ordenadas.
Importante: ao estudarmos uma função definida em conjuntos numéricos e com lei de formação algébrica sem domínio indicado, devemos considerar como domínio todos os valores reais de x que tornam possíveis as operações indicadas na lei de formação no conjunto dos números reais.
Exemplos:
1) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2) e B = {1, 3, 5, 7}, determine o domínio, contradomínio e imagem da função f: A → B definida pela lei f(x) = 2x + 1.
Solução:
Usando o esquema de diagramas, temos:
•
A B0 •
1 •
2 •
• 3• 1
• 5
• 7
Figura 33
Domínio: D(f) = A = {0, 1, 2}
Contradomínio: CD(f) = B = {1, 3, 5, 7} e Imagem: Im(f) = {1, 3, 5}
2) Dada a função y = x² - 5x +2, função f: ℝ → ℝ, calcule os valores de x,tal que f(x) = -4.
Solução:
Substituindo f(x) = -4 em f(x) = x² - 5x + 2, obtemos:
-4 = x² - 5x + 2
x² - 5x + 6 = 0
∆ = b² -4ac = 25 – 24 = 1
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Então,
x’ = 5 + 1 = 3 ou x’ = 5 – 1 = 2 2 2
Portanto, x = 2 ou x = 3 são os valores procurados.
3) Sejam as funções f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2x – 1 e g: ℝ → ℝ definida por g(x) = x + m. Determinar o valor de m para que se tenha f(2) + g(-1) = 7.
Solução:
f(x) = 2x -1 ⇒ f(2) = 2(2) – 1 = 3
g(x) = x + m ⇒ g(-1) = - 1 + m
f(2) + g(-1) = 7 ⇒ 3 + (-1 + m) = 7
Resolvendo a equação, temos:
3 – 1 + m = 7 ⇒ m = 7 – 3 + 1 = 5
Logo, m = 5.
3.2 Gráfico de uma função
A representação do gráfico de uma função se faz assinalando alguns de seus principais pontos no plano cartesiano.
2º quadrante 1º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
y
b
0 a
P(a.b)
x
Figura 34
Importante: o domínio da função representado no plano cartesiano é o conjunto de valores representados no eixo das abscissas (eixo x), enquanto os valores do conjunto imagem são representados no eixo das ordenadas (eixo y).
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Para que exista a função de A em B, cada elemento x do conjunto A deve estar associado a um único elemento y de B.
Lembrete
Para descobrir se um gráfico representa uma função, faça o seguinte: trace retas perpendiculares ao eixo x. Se qualquer dessas retas cortar o gráfico em um único ponto do domínio, então o gráfico representará uma função.
Exemplos:
1) A relação f, representada no diagrama a seguir, tem domínio:
D = {x ∈ ℝ | - 1 ≤ x ≤ 2} e é função pois toda reta perpendicular ao eixo x encontra o gráfico da função f num só ponto.
y
x2-1
Figura 35
2) A relação f, representada no diagrama a seguir tem domínio D = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 2} e não é função pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos:
y
x0 2
Figura 36
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Duas funções f e g são iguais quando, e somente quando, têm o mesmo domínio D e f(x) = g(x), para todo x ∈ D.
Exemplo:
1) As funções f(x) = √x4⁴ e g(x) = x², de ℝ em ℝ, são iguais, pois √x⁴ = x², ∀ x ∈ ℝ.
2) As funções f(x) = x e g(x) x² = ____ x
são iguais somente se tomarmos como domínio de ambas um conjunto D, tal que 0 ∉ D.
3.3 Função constante
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função constante quando, a cada elemento x ∈ R, associa sempre o mesmo elemento c ∈ ℝ.
O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x e passando pelo ponto (0,c).
Sua imagem é o conjunto Im = {c}
f: x → c
y
x
c
0
Figura 37
Exemplo:
1) Construa o gráfico da função f(x) = 3, se 0 ≤ x ≤ 2 e f(x) = 1, se 2 ≤ x ≤ 3.
Solução:
y
x
1
3
0 2 3
Figura 38
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3.4 Função linear
Considere a função y = ax + b com (a ≠ 0). Quando b = 0, a função recebe o nome de função linear e é indicada por y = ax com (a ≠ 0).
O gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem (0,0) do sistema cartesiano.
y
x(0,0)
Figura 39
Como o ponto (0,0) pertence à reta, para construir o gráfico da função linear basta conhecer mais um ponto (x,y) do plano cartesiano.
Exemplo:
f Xx
( ) =2
Tabela 1
x y = x2 (x,y)
0 0 (0,0)
4 2 (4,2)
y
x0
2
4
Figura 40
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3.5 Função linear afim
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função linear afim quando associa, a cada x ∈ ℝ, o elemento (ax + b) ∈ ℝ, onde a ≠ 0. Isto significa que:
(x, ax + b) ∈ f, ∀ x ∈ ℝ A função linear afim é indicada por f: x → ax + b com (a ≠ 0). O gráfico da função afim é uma reta. A imagem da função afim é o conjunto Im = ℝ. A função afim é crescente se, e somente se, a > 0. E decrescente, se e somente se, a < 0.
Exemplo:
f:x → 2x + 1
Tabela 2
x y = 2x - 1
0 -1
1 1
y
x0 1-1
1
Figura 41
3.6 Função quadrática
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função quadrática ou função do 2º grau quando associa, a cada x ∈ ℝ, o elemento (ax² + bx + c) ∈ ℝ, a ≠ 0. Isto significa que: (x, ax² + bx +c) ∈ f, ∀ x ∈ ℝ.
O gráfico da função quadrática é uma parábola cujo eixo de simetria é perpendicular ao eixo x.
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x’x”
Eixo de simetria
Vértice
Figura 42
Se a > 0, a parábola representativa da função quadrática tem a concavidade voltada para cima. Se a < 0, a parábola representativa da função quadrática tem a concavidade voltada para baixo.
a < 0 a > 0
Figura 43 Figura 44
3.7 Raízes da função As raízes (ou zeros) da função quadrática são os valores de x para os quais se tem f(x) = 0.
Determinam-se as raízes da função resolvendo-se a equação do 2º grau ax² + bx + c. A fórmula para resolução das equações do 2º grau é dada por:
xb
aonde b ac= − ± = −∆ ∆
242
Importante:
1) Quando ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas:
x xx’’ x’ x’’ x’ x
b b aca
= − ± −2 42
Figura 45 Figura 46
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2) Quando ∆ = 0, a função tem duas raízes reais e iguais:
x xx’ = x’’
x’ = x’’
Figura 47 Figura 48
x xba
’ ’’= = −2
3) Quando ∆ < 0, a função não admite raízes reais:
x x
Figura 49 Figura 50
3.8 Vértices da parábola O vértice da parábola é o ponto da curva correspondente à ordenada máxima ou mínima de uma
função f(x) = ax² + bx + c, (a ≠ 0). As coordenadas do vértice V(Xv,Yv) de uma função são obtidas da seguinte forma:
Ordenada (Yv): Temos ax² + bx + c = y ax² + bx + (c – y) = 0
Existem valores reais de x quando ∆ ≥ 0, isto é,
b² - 4a(c – y) ≥ 0b² - 4ac + 4ay ≥ 0∆ + 4ay ≥ 04ay ≥ -∆
ya
≥ −∆4
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Portanto, Yva
= −∆4
Abscissa (Xv):
Na função y = ax² + bx + c, vamos substituir y por YV =Yva
= −∆4
Temos: Yv = ax² + bx + c − = + +
=
− =
∆
∆4
40
44
0
2
2
aax bx c
a
b aca
M
ax + bx + c +
ax + bx + c +
2
2 ( .. . )MC a= 4
Então,
4 4 4
4 4 0
4
2 2 2
2 2 2
2
a x abx ac
a x abx b
Temos b ac
+ +
+ + =
= −
+b - 4ac = 0
: ∆
Então,
∆ = (4ab)² - 4(4a²)(b²)
∆ = 16a²b² - 16a²b²
∆ = 0, ou seja, Xvab
a
ba
porta to Xvba
= − = − = −4
2 4 2 22( )n
Conclusão: a coordenada do vértice da parábola é Vba a
( , )− −2 4
∆.
Importante:
1) Quando a > 0, dizemos que a função tem seu valor mínimo dado por Vba a
( , )− −2 4
∆ e temos que
o conjunto imagem é dado por Im(f) = {y ∈ R | y ≥ Vba a
( , )− −2 4
∆ }
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y
x0
lm(f)
V
1
−∆4a
Figura 51
2) Quando a < 0, dizemos que a função tem seu valor máximo dado por Vba a
( , )− −2 4
∆ e temos que
o conjunto imagem é dado por Im(f) = {y ∈ R | y ≤ −∆4a
}
y
x
lm(fx)
V−∆4a
Figura 52
Exemplos:
1) Construa o gráfico cartesiano da função y = 2x² - 5x + 2.
Solução:
1º passo: verificar o sinal de a, para saber o sentido da concavidade.
Temos a = 2, como a > 0, então a concavidade está voltada para cima.
2º passo: calcular as raízes da função para sabermos em quais pontos a parábola corta o eixo x.
Devemos fazer y = 0, isto é, 2x² - 5x + 2 = 0
∆ = b² - 4ac = (-5)² - 4(2)(2) = 25 – 16 = 9, como ∆ > 0, temos duas raízes distintas:
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xb
a
Por to x e x
= − ± = − − ± = ±
= =
∆2
5 92 2
5 34
212
( )( )
tan , ’ ’’
3º passo: determinar o ponto onde a parábola corta o eixo y.
Devemos fazer x = 0, isto é, y = 2(0)² - 5(0) +2 ⇨ y = 2
4º passo: determinar as coordenadas do vértice.
Então, Xvba
= − = − −2
52 2( )( )
⇨ Xv = 54
Yva
= − = −∆4
94 2( )
⇨ Yv = −98
Temos, então, o seguinte esboço do gráfico:
y
x
2
2
98
54
12
Figura 53
2) Determine a e b na função y = ax² + bx + 3, de forma que o vértice da parábola seja V(2,-1).
Solução:
São dados: Xv = 2 e Yv = -1
Sendo Xv = −ba2
⇨ 22
= −ba
⇨ 4a = - b ou b = - 4a
Substituindo b = - 4a e y = - 1 na função dada, temos:
- 1 = a2² + (- 4a)(2) + 3 ⇨ - 1 = 4a – 8a + 3 ⇨ - 1 = - 4a + 3 ⇨ a = 1
Como b = - 4a, então b = - 4
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3) Determine m, de modo que o valor mínimo da função y = x² - 4x + m seja – 1.
Solução:
Temos ∆ = b² - 4ac ⇨ ∆ = 16 – 4m
Fazendo − = − − − = −∆4
116 4
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avem
m,
( ) ⇨ - 16 + 4m = - 4 ⇨ m = 3
saiba mais
Para mais informações sobre a teoria dos conjuntos e das funções, você pode consultar o livro Teoria elementar das funções, do professor Mauricio Zahn, pela Editora Ciência Moderna.
4 ApLicAções
4.1 Demanda e oferta de mercado
Mercado é um conjunto de dispositivos que permitem que compradores e vendedores de um bem ou serviço entrem em contato para comercializá-lo.
A função demanda de um determinado consumidor por um bem X é aquela que mostra os preços
de X referentes à quantidade que a pessoa deseja comprar. Em outras palavras, a demanda indica o preço máximo que esse consumidor está disposto a pagar por cada uma das unidades de X. É uma função de 1º grau decrescente, representada por:
Qd= - a(P) + b
Onde Qd é a quantidade de demanda por unidade de tempo, e P é o preço do bem.
O gráfico de P em função de x é conhecido como de curva de demanda.
observação
A demanda se refere apenas ao desejo de adquirir um determinado bem, e não à consumação de tal desejo, senão seria caracterizado como consumo.
Normalmente, a declividade de uma curva de demanda é negativa, isto é, à medida que o preço aumenta, a quantidade procurada diminui e à medida que o preço diminui, a quantidade procurada aumenta.
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observação
Em certos casos, a declividade de uma curva de demanda pode ser nula, isto é, o preço é constante, independentemente da demanda.
P
KD
x(t)0
P1
X1
Figura 54
No eixo das abscissas, foi colocado x(t) fazendo referência à definição da demanda por unidade de
tempo. Pode ser uma demanda mensal, semestral etc.
Importante: a demanda descreve o comportamento do consumidor diante dos diferentes preços. É composta por um conjunto de pares de preços e quantidades demandadas. A quantidade demandada só faz sentido se referente a um determinado preço. Por exemplo: o gráfico mostra que o preço é P1, e o consumidor deseja comprar X1. Então, quando o preço for P1, a quantidade demandada será X1.
Portanto, quando se fala de aumento da demanda, toda a curva é movida para a direita. Uma
variação na quantidade demandada faz referência a um movimento ao longo da curva de demanda. Se o desejo é determinar a demanda de mercado, as demandas individuais são somadas em forma horizontal.
A curva de demanda de mercado mostra a relação entre a quantidade demandada de um bem por
todos os indivíduos e seu preço, mantendo constantes outros fatores, tais como: gosto, renda, preço de bens relacionados etc.
A função oferta de determinado produtor de um bem X é aquela que mostra cada um dos preços de X e a quantidade que se deseja vender. Em outras palavras, a oferta indica o preço mínimo que o produtor está disposto a receber por cada uma das unidades de X. É uma função de 1º grau crescente, que representa a relação entre o preço do bem P e a quantidade ofertada X, dada por:
P = g(x)
O gráfico de P em função de x é conhecido como de curva de oferta.
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observação
A oferta também é definida pela unidade de tempo e para um determinado lugar e data.
Lembrete
É relevante fazer a distinção entre “oferta” e “quantidade oferecida”. Um aumento de oferta, por exemplo, se refere ao movimento da curva para a direita e para baixo. Na mudança, o aumento de preço provoca aumento da quantidade oferecida, ou seja, um movimento ao longo da curva de oferta.
PL
S
x(t)0
P1
X1
Figura 55
Do mesmo modo que a demanda, a oferta de um bem real depende de um conjunto de fatores. São eles: a tecnologia, os preços de fatores produtivos e o preço do bem que se deseja oferecer.
observação
Se permanecerem constantes todos os fatores citados, menos o preço do bem que se oferece, obteremos a relação existente entre o preço de um bem e a quantidade que o produtor desejaria oferecer por preço, por unidade de tempo.
Lembrete
A oferta não pode ser considerada uma quantidade fixa, mas apenas uma relação entre a quantidade oferecida e o preço, o qual dita a quantidade no mercado. A curva crescente de oferta mostra como a quantidade oferecida aumenta junto com o preço, refletindo o comportamento dos produtores.
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4.2 preço e quantidade de equilíbrio
O preço de equilíbrio e a quantidade oferecida e demandada (comprada e vendida) denomina-se quantidade de equilíbrio. Costuma-se também dizer que o preço de equilíbrio zera o mercado.
Na situação de equilíbrio, igualam-se as quantidades oferecidas e demandadas. No gráfico, é o ponto E de intersecção entre a curva de demanda e a curva de oferta:
P2 E
S
Q0
Pe
P1
PExcesso de oferta S = oferta
D = demanda Excesso de demanda
Qs1 Qd2 Qe Qs2 Qd1
Figura 56
Quando o preço é maior que o de equilíbrio (P2 > Pe), a quantidade que os produtores desejam
oferecer excede a quantidade que os demandantes desejam adquirir (Qs2 > Qd2), provocando um excesso de oferta.
Ao contrário, se o preço é menor que o de equilíbrio (P1 < Pe), a quantidade que o demandante
deseja adquirir é maior que a oferecida pelos produtores (Qd1 > Qs1), provocando o excesso de demanda.
Assim, podemos ver que quando há o aumento do preço de um produto, aumenta também o
estímulo para a fabricação desse bem. Quando a quantidade desse bem se normaliza no mercado, há a redução de seu preço, estimulando a demanda e desestimulando a vontade dos fabricantes de produzi-lo.
Essas forças de mercado vivem em conflito, fazendo com que o preço dos produtos seja
regido pela oferta, que oferecerá pouco para esse elevar-se, e pela demanda, que almejará muitos produtos para que esse chegue a preços mais acessíveis. Essa lei econômica serve para qualquer produto.
4.3 Receita total
Considerando x a quantidade vendida de um produto e p(x) o preço do produto x, calcula-se a receita total ℝT multiplicando o preço de venda pela quantidade vendida.
A função da receita total é dada pela sentança ℝT(x) = p(x) • x
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P
X0 q
p
RT
Figura 57
observação
A receita total ℝT = p • q é traduzida pela área do retângulo entre a origem e o ponto de coordenadas (q,p).
4.4 custo total
Chamamos de custo o gasto relativo ao bem ou serviço utilizado na produção de outros bens ou serviços. Os custos fixos são aqueles custos que não variam em função das alterações dos níveis de produção da empresa. A classificação variável aplica-se ao custo que demonstra um comportamento dependente exclusivamente das variações do nível de produção. O custo total é a somatória dos vários custos incorridos pela empresa.
Em outras palavras, o Custo Total (CT) da produção de uma empresa tem dois componentes: o Custo Fixo (CF), que deve ser pago independentemente da quantidade produzida, e o Custo Variável (CV), que varia conforme o nível de produção. Sendo x a quantidade produzida, o custo variável depende de x.
A fórmula do custo total é, de forma simplificada, uma função linear:
CT = Cf + Cv(x) O custo unitário ou custo médio pode ser definido pela relação entre os custos totais e a quantidade
de produto. Obtém-se o custo unitário de acordo com a fórmula a seguir:
CmCTn
=
Onde:
• Cm = custo unitário ou custo médio;
• CT = custo total;
• n = número de unidades produzidas.
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A representação gráfica dos custos é a seguinte:
Volume de produção de venda
Custo total
Custo variável
Custo fixo
Figura 58
4.5 Break even point ou ponto de nivelamento ou ponto crítico
O Break Even Point (BEP) é o ponto de equilíbrio entre receitas e despesas, isto é, quando o total de receitas é igual ao total de custos e o lucro é nulo.
ℝT(x) = CT(x)
Em outras palavras, o ponto de equilíbrio representa a quantidade de venda que precisa ser realizada mensalmente para gerar receita suficiente para pagar todo o custo variável gerado, todas as despesas comerciais geradas e todas as despesas fixas que a empresa tiver no mês. Isto é, não ter lucro acumulado no mês, mas também não ter prejuízo.
Lembrete
Para acumular lucro, é necessário vender acima do ponto de equilíbrio.
4.6 Lucro total
O Lucro Bruto (LB) é igual à diferença entre o Preço de Venda (PV) e o Preço de Compra (PC):
LB = PV – PC
A função Lucro Total (LT) é dada como sendo a diferença das funções de receita total (RT) e custo total (CT):
LT = ℝT - CT
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4.7 Margem de contribuição
É a diferença entre a receita total (vendas) da empresa menos seus custos e despesas variáveis. Podemos entender ainda que a margem de contribuição é a parcela da receita total que ultrapassa os custos e despesas variáveis, e que contribuirá para cobrir as despesas fixas e ainda formar o lucro.
MC = ℝT - (C + DV)
Onde:
• MC = margem contribuição;
• RT = receita total;
• C = custos;
• DV = despesas variáveis.
saiba mais
Os softwares a seguir são usados para o estudo das funções:
1. MathGV (free open source software): <http://www.mathgv.com/>.
2. WinPlot (gratuito): <http://www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>.
3. Graphmatica (free trial): <http://www.graphmatica.com/>.
Resumo
Nesta unidade, apresentamos o conceito de função e os tipos mais usados nas organizações de um modo geral, como excelentes ferramentas para os cálculos de custos, receitas e lucros. E particularmente, se você quer ter sucesso como gestor de TI em alguma organização, com certeza precisará saber lidar com essas funções, para saber calcular se o seu projeto é lucrativo, ou se os custos com o projeto se justificam diante da previsão de lucro. Nessa área altamente competitiva, quanto mais você fizer um bom uso das funções da matemática aplicada, melhor será a sua gestão.
Mostramos também uma das aplicações dos conceitos de funções para as análises de demanda e oferta de produtos, cálculo de receita, custos e lucro, e também a interpretação de gráficos no estudo dos preços e o equilíbrio entre oferta e demanda.
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Unidade II
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exercícios
Questão 1 (ENADE - matemática/2008). Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a figura a seguir.
R
QGol
8
3
12
barreira
parábola posição da falta
x
y
Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
A) 3/2 m.
B) 4/3 m.
C) 1 m.
D) 2 m.
E) 5/3 m.
Resposta correta: alternativa E.
Análise das alternativas:
Para encontrarmos a alternativa correta, devemos utilizar a teoria de funções do 2º grau e desenvolver os cálculos de acordo com os dados do exercício.
A função do 2º grau tem a forma geral y ax bx c= + +2 , sendo a, b e c constantes reais e a ≠ 0.
A partir dos dados do enunciado, para x = 0, temos:
y ax bx c
a b I
a b II
= + +
= + +
= − + − +
2
2
2
0 12 12 3
0 12 12 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
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MateMática aplicada
Portanto, se x = 0, temos y = c. No caso, c = 3.
Considerando dois pontos conhecidos da parábola {(0, 12) e (0, -12)}, fazemos:
y ax bx c
a b I
a b II
= + +
= + + ( )= − + − + ( )
2
2
2
0 12 12 3
0 12 12 3
( ) ( )
( ) ( )
Então:
144 12 3
144 12 3
a b I
a b II
+ = −− = −
( )
( )
Somando as equações (I) e (II), temos:
288 66
2883
144a a a= − → = − → = −
Para calcularmos b, fazemos:
144 12 3
1443
14412 3 3 12 3 12 3 3 12 0 0
a b
b b b b b
+ = −− + = − → − + = − → = − + → = → =( )
Conhecidos os valores de a, b e c, a função do 2º grau que representa a trajetória parabólica da bola
é y x= − +3144
32 .
Para calcularmos a altura da bola quando x = -8, fazemos:
y x y y y
y y
= − + → = − − + → = − + → = − +
= − + → =
3144
33
1448 3
3144
64 364
483
43
3
2 2( )
−− + → =4 93
53
y
Logo, a altura da bola quando ela atinge o gol é igual a 53
m.Sendo assim,
A) Alternativa incorreta.Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa incorreta.Justificativa: de acordo com os cálculos.
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Unidade II
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C) Alternativa incorreta.Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa incorreta.Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa correta.Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2 (ENEM/2007). O gráfico a seguir, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
Núm
ero
de e
spéc
ies a
mea
çada
s de
extin
ção
461
239
ano1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
A) 465.
B) 493.
C) 498.
D) 838.
E) 899.
ℝesolução desta questão na plataforma.
