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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
INSTITUTO A VEZ DO MESTRE
O ENSINO DA MATEMÁTICA
Por: Patrícia Pereira Novais da Silva
Orientador
Prof. Dr. Vilson Sergio de Carvalho
Luziânia
2008
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2
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
INSTITUTO A VEZ DO MESTRE
O ENSINO DA MATEMÁTICA
Apresentação de monografia à Universidade
Candido Mendes como requisito parcial para
obtenção do grau de especialista em Docência do
Ensino Superior.
Por: . Patrícia Pereira Novais da Silva
3
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos a todos os professores que desde o inicio fizeram
o possível para nos abrir os olhos diante do imenso desafio que é ensinar numa visão
colaborativa. É graças a cada um que me tornei uma profissional qualificada.
Aos colegas que buscaram novos conhecimentos, novas formas de interação. É
graças à união de todos, a solidariedade de cada um, que crescemos grandiosamente por
meio da troca de experiências, crescimento esse que se reflete em nossa prática
pedagógica, com vistas à melhoria da educação de nossa cidade e consequentemente do
país.
Meu agradecimento especial ao Profª. Orientadorº Vilson Sergio de Carvalho,
pelos ensinamentos inesquecíveis e pelas palavras de incentivo, e pela sua infinita
compreensão.
A todos os familiares e amigos que sempre me incentivam, evitando que caísse
no desânimo.
Enfim, o meu muito obrigado a todos que tornaram possível o cumprimento de
mais uma etapa de sucesso em minha vida.
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DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a todos os nossos colegas professores que diariamente fazem
o melhor em suas sala de aula, percebendo cada aluno como único e, portanto, especial,
respeitando suas particularidades e limitações, porém propondo desafios constantes que
favoreçam o pleno desenvolvimento de suas habilidades e competências. Espero que as
anotações deste possam contribuir com a ampliação do olhar pedagógico sobre o ensino
de matemática no processo de ensino e aprendizagem.
A todas as crianças, pois elas são o real motivo de buscarmos o aprimoramento de
nossas habilidades e melhor qualificação profissional. É por existirem pessoas que
necessitam de nosso carinho e trabalho que estamos hoje na qualidade de professores/
facilitadores do processo de aprendizagem e desenvolvimento.
Em especial a Deus, pela graça de nos fazer dotados de inteligência, por tornar
possível mais esta etapa de vida pela certeza de que esta comigo em todos os momentos
de minha vida pessoal e profissional.
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RESUMO
"Não gosto de matemática. Tenho pavor de matemática. Não consigo
entender matemática" Quantas vezes já ouvimos frases como estas?
Certamente esse medo da matemática tenha sido gerado por aprendizagens
de regras sem nenhum significado, sem ligação com situações da vida, em um
ambiente de sala de aula em que, raramente, as condições sociais,
psicológicas e culturais dos alunos foram consideradas. Sabemos que, o
homem construiu os primeiros conhecimentos matemáticos a partir da
necessidade de encontrar soluções para problemas do dia-a-dia, criando
verdades sujeitas as transformações. Assim, é fundamental o professor
trabalhar a matemática de forma dinâmica, procurando levar seus alunos a
também fazê-Io, e a perceber sua presença no cotidiano. Essa e outras
temáticas associadas ao desafio de ensinar matemática constituem atônica
central deste estudo.
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METODOLOGIA
O estudo foi realizado a partir de uma ampla pesquisa bibliográfica.
O trabalho foi construído de um levantamento histórico da matemática,
da epistemologia, métodos, e etapas do desenvolvimento da aprendizagem e
novas metodologias do ensino da matemática.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 8
CAPÍTULO I - Histórico da matemática 11
CAPÍTULO II - Aprender e Ensinar Matemática 31
CONCLUSÃO 49
BIBLIOGRAFIA 51
ÍNDICE 53
FOLHA DE AVALIAÇÃO 54
8
INTRODUÇÃO
Devido a inúmeras dificuldades apresentadas por alunos e professores
no que se refere ao aprender e ensinar matemática é que surgiu a idéia desse
trabalho de pesquisa bibliográfica procurando novas sugestões para o ensino-
aprendizagem da matemática.
O ensino de matemática vem ocorrendo nas escolas, como uma
atividade essencialmente mecânica. Alunos e professores se vêm envolvidos
em uma rotina de enunciar, decorar e aplicar um grupo de regras associadas a
alguns símbolos especiais. Como os professores não conhecem uma
justificativa razoável para aprender tais regras, é necessário criar uma razão
para convencer aos alunos da necessidade de se estudar matemática.
Que razão é esta? O passar de ano é a razão de estudar. Com isso, não
se estuda matemática para usá-Ia nas atividades comuns da vida e nem
resolver problemas internos da ciência.
Que matemática é essa que só tem regras e símbolos tão rigorosamente
cobrados? Pode se resumir à matemática que se ensina na escola a somente
isso? Ou ainda, se não temos uma razão forte para ensiná-Ia, por que
insistimos em lecioná-Ia?
O posicionamento diante destas questões são:
a) A regra é o produto de uma série de raciocínio sobre algumas
grandezas. Os símbolos são códigos arbitrários e têm um significado especial.
Fazer regras, descobrir como as coisas se relacionam, criar símbolos
novo para expressar alguma idéia, verificar a realidade de afirmações são
atividades criativas que rejeitam mecanizações. Isto é matemática.
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b) Não se estuda e nem se leciona só porque gosta de trabalhas com
grandezas, símbolos, teoremas ou regras. Existe uma razão externa à
matemática que nos permite ocupar o aluno durante algumas horas por
semana a utilidade da matemática nas atividades exercidas pelos alunos
desse tempo.
A relação entre o conhecimento matemático e cotidiano deve ser
trabalhado na escola, usando os próprios problemas desse cotidiano. Isto é
relacionar a matemática com a vida.
c) O ensino de matemática quando tomado como uma atividade
investigativa é útil para a vida. Deve ter o trabalho com o conhecimento
matemático como foco principal da atenção; tanto do professor como do aluno.
A avaliação deve recair sobre todo o trabalho, desde o estudo até a solução
dos problemas. Isto é ensinar pelo significado do conhecimento e não por um
jogo repressivo de cobrança.
Diferentes teorias de aprendizagem implicam em diferentes programas
de ensino, diferentes procedimentos e recursos didáticos.
É preciso considerar a criança como fator ativo na aprendizagem, sem
minimizar, porém, o fator ambiente como condições indispensáveis a uma
evolução positiva do processo.
A situação ensino-aprendizagem só é realmente produtiva quando se
obtém a participação da criança, pois ela só aprende a conhecer o mundo que
a cerca através do uso total de seus sentidos.
No ensino da matemática particularmente, é necessário um grande
cuidado na apresentação dos conceitos a serem apresentados aos alunos.
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Recentemente, os estudos têm mostrado a necessidade de desenvolver
o pensamento lógico antes de se explorar os conceitos matemáticos.
Três teóricos da psicologia - Piaget, Vygostsky e Wallon estudaram,
refletiram e discutiram sobre a teoria construtivista e o sociointeracionismo.
Embora nem num destes teóricos tenham pretendido elaborar uma pedagogia,
deixaram contribuições incalculáveis para a educação. Estes teóricos
buscaram responder às suas indagações na psicologia e acabaram elaborando
teorias sobre o desenvolvimento intelectual.
No campo da língua, bem como no da matemática, as crianças
precisam ser estimuladas por professores e familiares. O aprendizado da
matemática está muito ligado à aquisição de habilidades lingüísticas. O número
e o espaço são construções que dependem da bagagem hereditária e da
interação como os outros e o ambiente.
Cabe aos professores investigar e valorizar a forma de pensar das
crianças nas diferentes etapas de suas vidas para possibilitar a elas a
construção do conhecimento através de ações físicas e mentais.
Pensando assim essa monografia apresenta dois capítulos. O Capítulo I
sobre a História da matemática baseado em alguns pensadores como Texeira
e Neto.O Capítulo II apresenta alternativas de aprender e ensinar matemática.
11
CAPÍTULO I
HISTÓRICO DA MATEMÁTICA
É muito comum escutarmos em sala de aula o aluno perguntar: "De
onde veio isso?" Conhecer a história da matemática é importante, para que o
aluno entenda sua importância no cotidiano da vida de cada um. Vejamos a
história.
A história da matemática tem muito a ver com o desenvolvimento
social do ser humano.
Segundo Teixeira ( 2001) a matemática do homem do Paleolítico Inferior
era formada de esquemas mentais que lhe possibilitavam alterar tamanhos,
aumentar ou diminuir quantidades e dar formas a paus e pedras, dando-lhes
utilidade. Além disso, podiam fazer alguma classificação e seriar atividades.
Era uma matemática adjetiva, pois era construída dando qualidades a objetos.
O homem produzia seus instrumentos antevendo seu uso, o que envolvia
previsão: a pequena /grande diferença.
O Paleolítico Superior é caracterizado por instrumentos mais
engenhosos para a caça e coleta. Começaram também a fazer pinturas e
esculturas. Surge a pictografia.
A matemática nessa era começa a ter apresentações simbólicas:
palavras designando os primeiros números e formas. Nesse período a
matemática começa também a criar esquemas de ação para quantificar
conjuntos, fazer medidas, fazer obj etos retos, paralelos, perpendiculares,
redondos e simétricos.
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Com o aumento da população, o sistema de coleta passou a ter
limitações, porque a natureza não gerava mais o suficiente. Assim o homem
começou a produzir. Com isso alterou sua natureza de predador-nômade para
produtor-sedentário.
É a revolução do Neolítico. O complexo início da agricultura e da
pecuária que irá dar origem a um outro homem. Os símbolos adquirem valores
mais abrangentes. Surge a ideografia.
De acordo com Carvalho (2005) a Matemática do Neolítico já contava
com números Maiores, que possibilitavam construir um calendário. Os
números eram representados por riscos em paus ou ossos, nós em cordas,
etc. Os homens podiam juntar coisas e contar o total ou retirar e contar o
restante, podiam fazer pequenas contas usando o ábaco dos dedos. Essa é a
construção dos números naturais.
Nova grande revolução foi a passagem para o Período Histórico. Foi
quando surgiram as classes sociais, pois a produção começou a exceder e
com isso apareceu o comércio.
Tudo isso coloca mais um problema para a matemática. É criada a
escrita fonética silábica.
A sociedade fica muito mais complexa, a cultura se acumula, mas
sempre com um sentido prático, ligado ao dia-a-dia.
O início da Antiguidade foi marcado por inúmeras novidades
matemáticas. Os egípcios criaram um calendário de 365 dias, inventaram o
relógio de sol e a balança.
Os instrumentos que usavam eram de pau ou pedra e eventualmente
de bronze. Os egípcios já conheciam o ábaco, a notação decimal, algumas
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frações e realizavam algumas contas. Eles não sabiam multiplicar como nós,
sabiam apenas dobrar.
As medidas nem sempre constituem números inteiros. Essa é uma das
necessidades da construção dos números fracionários.
Os egípcios desenvolveram muito a Geometria, criando fórmulas para
o cálculo de áreas e volumes.
O uso do ferro foi desenvolvido na Ásia Menor. Conseqüentemente, o
comércio se expande, intensificando as navegações e melhorando os
transportes. É criada a moeda. A civilização se interioriza mais pela Europa. É
época da hegemonia grega.
Enquanto os conhecimentos práticos, espontâneos, se relacionam com
o cotidiano, os conceitos sistematizados, científicos, relacionam-se uns com os
outros por dedução, perdendo assim o contato com suas origens de soluções
de problemas do dia-a-dia.
Foi a época do surgimento da Filosofia.
Como os pensadores gregos desprezavam o trabalho, seguiram o
caminho das abstrações. Aprofundaram-se na Matemática. Enfatizando mais a
qualidade que a quantidade, mais a Geometria que a Aritmética.
Essa é a revolucionária criação da argumentação, da demonstração,
da capacidade de concluir a partir de premissas.
Na Idade Média, no período da maior expansão árabe, alguns
matemáticos como Avicena, Al-Khowarizmi, Ornar Khayyam, Nasir Eddin, entre
outros, desenvolveram o Sistema de Numeração Arábico e a Álgebra.
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O sistema decimal, utilizado por nós até hoje representou para a
Aritmética o que o alfabeto foi para a escrita.
As três características do nosso sistema de numeração são: ser
decimal, posicional e possuir seus algarismos. Os algoritmos foram muito
desenvolvidos pelos árabes e divulgados pela Europa.
Também devemos aos árabes o desenvolvimento de métodos que
tornaram mais simples a resolução de equações. Começa a surgir a álgebra,
que se constituiu em uma grande revolução matemática. O matemático árabe
Al-Khowarizmi é considerado o pai da álgebra.
Com o Renascimento no fim da Idade Média o comércio trouxe mais
problemas para a matemática. Surgem os números negativos para cálculos de
crédito e dívidas, "retirar o maior do menor". Surgiu ai o conjunto dos números
inteiros e vem englobar o já existente conjunto dos números naturais.
1.1 - A matemática é fácil
A matemática é uma ciência fácil ou difícil? A principio ela é difícil, pois
já caminhou bastante, desde o princípio dos tempos e já sofreu muitas
interrupções e mudanças, tendo como resultado um acabamento formal que
faz com que suas origens fiquem muito distante. Mas caminhou muito
exatamente por ser fácil. Ela só foi evoluindo a medida que o homem teve
necessidade dessa evolução.
Quando vai se ensinar matemática procura se colocar o assunto em
um crescendo de formalização. Cada época tem suas características, seu grau
de abstração, de elaboração, de acabamento e é assim que o aluno deve
construir sua aprendizagem em matemática.
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- De uma certa forma, a criança deve sozinha refazer a história da
humanidade. ( Neto, 1998).
As espécies se adaptam por alteração do seu patrimônio genético e
cada animal se adapta por alteração do seu conhecimento. Assim as espécies
evoluem e as crias se adaptam ao ambiente de sua espécie.
O nosso ambiente é industrializado usando assim muita matemática.
Para se adaptar a esse ambiente a criança necessita saber atuar nele; para
isso é necessária a cultura construída com esse ambiente. O homem, o seu
ambiente e a sua cultura não existem isoladamente. A criança, para se tomar
adulta e se humanizar, precisa reconstruir essa mesma cultura como forma de
adaptação a esse mesmo ambiente. Matemática fácil e gostosa é aquela
construída a partir da ação sobre o próprio ambiente que construiu e continua
construindo.
-A criança não é um adulto em miniatura. Ela evolui, passa por
metamorfose e, em cada etapas, possui necessidades diferentes.(Neto, 1998.)
As etapas da evolução da matemática devem ser levadas em conta
quando se estuda a gênese do conhecimento na criança. Vejamos estas
etapas:
A matemática construída nos objetos, características do Paleolítico,
sugere atividades para crianças em idade pré-escolar.
As receitas práticas, construídas em atividades do cotidiano,
características do Neolítico até o Egito, sugerem atividades de operações
concretas para crianças de Ia a 4a série.
A revolução grega da demonstração sugere atividades para operações
formais para alunos de 5ª série em diante.
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A Álgebra - o mecanismo simbólico arábico - passa a ser operada a
partir da 7a série.
A formalização de Viete - os símbolos operáveis do Renascimento -
começa no Ensino Médio.
O Cálculo Diferencial e Integral é estudado nas faculdades de Ciências
Exatas. A reordenação lógica é assunto das faculdades de matemática.
- Uma matemática que se apóia em conhecimentos anteriores e
trabalhada em correspondência com o desenvolvimento psicogenético da
criança é gostosa e fácil de construir. (Neto, 1998.)
As espécies se adaptam por alteração do seu patrimônio genético e
cada animal se adapta por alteração do seu conhecimento. Assim as espécies
evoluem e as crias se adaptam ao ambiente de sua espécie.
O nosso ambiente é industrializado usando assim muita matemática.
Para se adaptar a esse ambiente a criança necessita saber atuar nele; para
isso é necessária a cultura construída com esse ambiente. O homem, o seu
ambiente e a sua cultura não existem isoladamente. A criança, para se tomar
adulta e se humanizar, precisa reconstruir essa mesma cultura como forma de
adaptação a esse mesmo ambiente. Matemática fácil e gostosa é aquela
construída a partir da ação sobre o próprio ambiente que construiu e continua
construindo.
-A criança não é um adulto em miniatura. Ela evolui, passa por
metamorfose e, em cada etapas, possui necessidades diferentes.(Neto, 1998.)
As etapas da evolução da matemática devem ser levadas em conta
quando se estuda a gênese do conhecimento na criança. Vejamos estas
etapas:
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A matemática construída nos objetos, características do Paleolítico,
sugere atividades para crianças em idade pré-escolar.
As receitas práticas, construídas em atividades do cotidiano,
características do Neolítico até o Egito, sugerem atividades de operações
concretas para crianças de Ia a 4a série.
A revolução grega da demonstração sugere atividades para operações
formais para alunos de 5ª série em diante.
A Álgebra - o mecanismo simbólico arábico - passa a ser operada a
partir da 7a série.
A formalização de Viete - os símbolos operáveis do Renascimento -
começa no Ensino Médio.
O Cálculo Diferencial e Integral é estudado nas faculdades de Ciências
Exatas. A reordenação lógica é assunto das faculdades de matemática.
- Uma matemática que se apóia em conhecimentos anteriores e
trabalhada em correspondência com o desenvolvimento psicogenético da
criança é gostosa e fácil de construir. (Neto, 1998.)
1.2 -Problemas da matemática para professores e alunos
Para ensinar matemática tem que refletir sobre como ensinar essa
matéria que para a maioria das pessoas, inclusive muitos professores, é uma
disciplina muito complicada, por isso o bom educador deverá sempre se
perguntar: Por que uma porcentagem tão pequena de alunos aprende
matemática? Por que a maioria dos alunos afirmam não aprenderem
matemática? Como trabalhar para que haja aprendizagem de matemática em
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salas de aula da pré-escola ao ensino superior? São questões primordiais para
se refletir sobre o ensino de matemática.
Para Lucchesi dois aspectos são fundamentais: a concepção de
matemática e o desgosto dos alunos por essa disciplina.
O aspecto concepção de matemática vê essa disciplina como uma
área de conhecimentos prontos, acabados, perfeitos, pertencentes apenas ao
mundo das idéias e cuja estrutura serve de modelo para outras ciências.
As conseqüências dessa concepção é nefasta à aprendizagem dos
alunos, pois uma é a imposição autoritária do professor que "sabe tudo" para
um aluno passivo que "não sabe nada" e deve se moldar a perfeição cientifica.
A outra é a medida da inteligência do aluno através da aprendizagem da
matéria, ou seja, quem aprende mais, é mais inteligente, quem aprende
menos, é menos inteligente.
Essa concepção contrapõe aquela que considera o conhecimento em
constante construção e os homens, no processo de interação social com o
mundo, re-elaborando, complementam e sistematizam os seus conhecimentos.
Essa aquisição lhes permite transformar suas ações e alterar sua interação
com esse mesmo mundo a nível de qualidade. Portanto a sala de aula não é
ponto de encontro de alunos totalmente ignorantes com professores totalmente
sábios, e sim um local onde interagem alunos com conhecimentos do senso
comum, que almejam conhecimentos sistematizados com professores cuja
competência está em mediar o acesso do aluno a tais conhecimentos.
Vejamos agora o aspecto: desgosto por matemática manifestado pela
maioria dos alunos e professores. Num ensino onde o aluno é obrigado a
aceitar a autoridade da matemática, é impossível entendê-la, toma-se um
privilégio das cabeças bem dotadas; acaba-se por negar todas as vivências
anteriores em relação à quantidade, já que não se enquadram na perfeição da
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matemática. A conseqüência mais desastrosa talvez seja a total passividade
com que os alunos se colocam perante qualquer aula, esperando que o
professor lhes explique o que devem compreender e lhes diga como fazer.
Aprender parece-lhes um objetivo distante e inatingível.
O importante no ensino da matemática é que o professor deve
conhecer bem o assunto e ter dele uma visão ampla e estrutural.
Conseqüentemente se o professor tiver desgosto e incapacidade para
transmitir a matemática não saberá julgar o conhecimento matemático de seu
aluno.
1.3 - Epistemologia do conhecimento
Para começar esse capítulo deve-se procurar definições
epistemológica do conhecimento perguntando: O que é conhecimento? Como
se forma o conhecimento?
Nenhum professor poderá atuar junto da criança se não tiver o
conhecimento. O professor deve saber como aparece o conhecimento e se
posicionar em relação a ele.
Segundo Piaget (1975) veja a três posições epistemológica do
conhecimento: empirismo, inatismo e interacionismo.
EMPIRISMO - Conhecimento adquirido por experiência.Para o
empirista tudo na natureza é organizado e compreensível. O empirista
supervaloriza a experiência. Ele afirma que o conhecimento tem a direção do
objeto para o sujeito, da realidade organizada para um cérebro pouco
estruturado, mas receptivo e maleável. Assim o conhecimento seria um reflexo
da realidade no cérebro, uma representação mental da realidade.
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As informações entram via sentidos, do concreto para o abstrato, tendo
como base a memória: captação, reforço e armazenamento de coisas prontas
e exteriores. Para o empirista os alunos são colocados a manipular objetos,
jogando, fazendo coisas e recebendo explicações de como dali se retira
conhecimento. Os empiristas envolvem técnicas de descobertas ou
transmissão de Coisas prontas, imitação de modelos, repetição, fixação, etc.
Consideram o aluno como sendo receptivo-passivo em relação a um
conhecimento já pronto e exterior.
INATISMO - Existência de idéias independentes da experiência. Para o
inatista a criança já nasce com um cérebro fortemente estruturado. O inatista
valoriza as estruturas inatas, transmitidas hereditariamente. Por isso fala
sempre em dom, predestinação, intuição aptidão, etc. A predestinação é
eletista. O inatismo é fonte de utopias. Possuindo, a criança, muitas estruturas
inatas, o que restaria seria um bom treinamento para aflorar essas aptidões
produzindo deduções. Isso significa: disciplina imposta, aulas expositivas,
treinamento, provas, promoção dos mais bem dotados. O aluno é primeiro
treinado e preparado para depois aplicar. Para o inatista o conhecimento tem a
direção do sujeito para o objeto, com novos conhecimentos surgindo por
invenção e sendo levados à prática.
INTERACIONISMO - Interação entre o inato e a experiência. Para o
interacionista, o conhecimento é construído pelo próprio sujeito a partir da sua
interação com o ambiente: conhece porque atua, atua porque conhece.
Atuando, forma esquemas mentais de ação, e, possuindo esquemas de ação,
pode atuar. O que surge primeiro, a ação ou o conhecimento? Os dois estão
em permanente construção, agindo um sobre o outro em uma constante
dialética.
É o próprio cérebro que se forma na medida da interação com o meio.
Podemos criar um meio rico e motivador para que nossas crianças possam
construir uma cultura grande e bem-estruturada. Como diz Ernesto Rosa Neto:
"Somente o cérebro tem acesso cultural a ele mesmo".
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Há aptidões, é claro. Há diferenças, é claro. Uma pessoa pode já ter
construído seu gosto por tambores e baterias e ter rejeição pelo piano. Mas,
em qualquer dessas situações, será a ação que construirá o novo
conhecimento, que se acomodará junto ao conhecimento já existente.
Uma escola, ao definir objetivos, deve se posicionar
epistemologicamente. Proposto por Piaget e discutido por Becker (1993), a
partir desse posicionamento, definirá métodos didáticos correspondentes, pois
descoberta, invenção e construção possuem métodos diferentes.
CONCRETO E ABSTRATO - Deve-se ter sempre a distinção entre um
objeto real e o seu conceito ou esquema mental. Exerce ações sobre o objeto
real e operações sobre o conceito. Forma-se conceito de objeto a partir da
ação sobre ele, construindo atributos e relações.
O conhecimento é intrisecamente relacionado, não sendo apenas
umas palavras vazias. É o cérebro que vê, não o olho. Quando se pensa em
alguma coisa, se pensa em algo já visualizado ou induzido a crer. Assim o
objeto do pensamento é o concreto pensado.
Veja um exemplo claro. O material, "blocos lógicos", em um primeiro
momento, é 'abstrato' com o manuseio, a criança vai construindo os atributos
até chegar ás formas. Aí sim terá se apropriado dos blocos lógicos e esse
material será concreto, concreto e pensado. A partir desse momento o
professor poderá propor atividades. É um grave erro confundir manuseio com
método ativo.
Em tempos modernos, Carlitos (200), mostra uma rotina interminável
de manusear ferramentas em uma esteira de produção em série que não
constrói conhecimento.
A criança constrói seus conceitos, mas é necessário também
relacionar os vários conceitos. Esse tipo de conhecimento é chamado de
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conhecimento lógico-matemático. Esse tipo de conhecimento constitui de
relações como igual, maior, menor, contido, etc. Não são conhecimentos
observáveis, e sem relações entre conceitos.
Piaget classifica o conhecimento em três tipos:
a) conhecimento físico, que são os atributos ou qualidades
observáveis;
b) conhecimento lógico-matemático, que são as relações envolvendo
conceitos diferentes;
c)conhecimento social, que são as convenções como nomenclatura,
regras, leis, ética e moral.
É bom lembrar que mesmo útil, essas classificações são apenas
esquemas para a ação, profundamente relacionados e historicamente
construídos em relação com o número de desenvolvimento da sociedade.
1.4 - Métodos de abordagem
A matemática pode desenvolver nos alunos aspectos importantes da
personalidade, preparando-os para atuação efetiva nas transformações
sociais. Para isso é necessário vincular os tópicos a uma metodologia
cuidadosamente escolhida
.
A matemática pode ser utilizada para mostrar como a pessoa não é
capaz de resolver problemas, como também poderá resolver qualquer
problema lógico.
Para que a matemática contribua para a formação do indivíduo é
preciso não colocar os conteúdos como produtos acabados e prontos. É
necessário que o indivíduo participe da construção do seu próprio
conhecimento de forma mais ativa e crítica possível, relacionando o
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conhecimento adquirido com a prática e saber usar esse mesmo conhecimento
no seu dia-a-dia.
“Se um aluno for estimulado a estabelecer conjecturas por
generalização sobre observações de casos particulares em que uma
propriedade seja comum; se for em seguida estimular a representar suas
idéias; a testar suas conjecturas em situações práticas, ou construindo uma
verificação lógica, e tiver oportunidades de debater sobre suas idéias.
Caminhará no sentido de conseguir a necessária autonomia intelectual,
aprendendo a utilizar a matemática. Nova Escola (2000).”
A proposta é que o professor adote condutas de orientador de
atividades em que o aluno construa o seu conhecimento, partindo do próprio
raciocínio, num método ativo, adotando uma postura de provocador de
debates, num método heurístico ou semiheurístico, colocando os alunos em
confronto com seus raciocínios e representações; e que adote a conduta de
expositor de um conhecimento quando o aluno estiver apto a acompanhar o
raciocínio e formulação do professor.
Para ocorrer um aprendizado com mais clareza e discernimento, fala-
se de três métodos de ensino. A seguir as características dos métodos
conforme Gouveia (1998):
* Método ativo - Prioriza experiências teóricas ou práticas conduzi das
pelos alunos orientados pelo professor.
* Método semi-heurístico - Propicia aos alunos experiências de
confronto, de interpretações, de idéias, levando-os a verbalizá-Ias, organizando
e fortalecendo argumentações lógicas através de questões formuladas pelo
orientador ou debates em grupos.
* Método expositivo - Prioriza a atividade do professor um
conhecimento que pode ser a formulação de um conceito ou propriedade, uma
formulação, uma solução prática ou teórica de um problema ou exercício. São
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experiências que desenvolvem no aluno a capacidade de companhar um
raciocínio e linguagem, apresentados por terceiros.
1.5 - Etapas do desenvolvimento
Um indivíduo quando faz uma plantação, ele tem que saber que essa
planta tem uma história da espécie e que cada pé tem sua própria história.
As plantas, como qualquer outro ser vivo, possuem um código genético
próprio, constituído durante os milhões de anos da história da sua espécie, que
dirige a história de cada indivíduo. É importante ressaltar que a história da
espécie dirige a história individual, mas não a determina.
Antropologia Cultural estuda a evolução da espécie humana como ser
cultural; a Psicogenética estuda a evolução individual.
Piaget, por seus estudos na área da Psicogenética, realizou
experiências que evidenciaram quatro estágios no desenvolvimento lógico:
* Estágio sensório-motor - que vai desde o nascimento até cerca de
24 meses. Nesse período, a criança passa de atividades puramente reflexivas
para à formação dos primeiros hábitos, depois à coordenação entre visão e
preensão, à procura de objetos escondidos, à prática de atos intencionais, à
complexificação e diferenciação de esquemas de ações e à resolução de
problemas por compreensão.
* Estágio pré-operatório - vai dos dois anos, até cerca de 7 anos.
Essa fase tem início com o aparecimento da linguagem, que é uma função
simbólica. Começa a curiosidade (por quê? Como? Que é isto?), aparece o
pensamento intuitivo. Essa é a fase da pré-escola.
* Estágio das operações concretas - dos 7 anos aos 11 anos, e é o
estágio que mais interessa no ensino fundamental primeira fase. Nessa etapa
do desenvolvimento, a criança ainda está totalmente ligada aos objetos reais,
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concretos, mas já é capaz de passar da ação a operação, que é uma ação
interiorizada. Estabelecem-se algumas noções de conservação. É também
nesse estágio que começa a capacidade de fazer transformações, isto é, que
podem ser invertidas, voltando ao ponto de partida.
* Estágio das operações formais - vai dos 11 ou 12 anos até , Mais
ou menos, 15 anos. É a fase em que aparece o raciocínio lógico: a criança já
será capaz de pensar usando abstrações.
Cada estágio serve de base para o estágio seguinte; porém, o
desenvolvimento não é linear nem apenas quantitativo. Há rupturas no modo
de pensar, há mudanças de qualidade provocadas pelo desenvolvimento
quantitativo das atividades e das operações. É improdutivo, e até prejudicial,
cobrar certas atividades de alunos que ainda não possuem as estruturas
necessárias. É necessário uma correspondência entre o desenvolvimento
psicogenético e as atividades propostas pela escola.
1.6 - Noções operatório-concretas
Pesquisas realizadas no final da década de 50, em Genebra,
provocaram, extensa e variada gama de investigações sobre a aprendizagem
de noções cuja construção Piaget estudou.
O grande número de experimentos sobre a aprendizagem de noções
piagetianas faz Bovet (1981) propor uma categorização de tais pesquisas em
quatro tipos: 1- pesquisas para acelerar a evolução cognitiva; 2- pesquisas
também destinadas a acelerar a evolução; 3- pesquisas para obter melhor
compreensão da teoria de Piaget; 4- pesquisas educacionais com fim de
aplicação específica em sala de aula.
Gouveia (1982) fez uma revisão das pesquisas sobre a aceleração das
operações concretas, e verificou que: a) a maior parte das pesquisas era
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embasada em outras que tratavam da aceleração; b) a variável mais estudada
se referia aos procedimentos de treino; c) a maioria das pesquisas obtiveram
resultados positivos, ligados sobre tudo às variáveis idade e nível evolutivo
inicial dos sujeitos.
Entretanto, a respeito desses resultados, pergunta-se, houve apenas
aprendizagem de certas respostas ou se surgiram novos esquemas e
estruturas. Dentre as noções mais estudadas estavam as conservações. As
noções referentes à classificação foram estudadas com mais freqüência e,
juntamente com a de seriação, foram, de todas, as menos estudadas. Do
conjunto de estudos amostrados, há somente sete sobre inclusão de classes e
um sobre seriação.
A grande quantidade e variedade de pesquisas sobre o tema leva a um
privilegiamento dos estudos sobre as noções cuja aprendizagem focaliza, e
dos estudos sobre o, papel da interação social em situações de aprendizagem.
Kohnstamm (1963) propôs que ocorreriam maiores progressos de
aprendizagem se fosse empregadas técnicas adequadas ao ensino da
quantificação da inclusão.
Pascual-Leonee Bovet apontam a incompatibilidade da visão
behaviorista com a teoria de Piaget. Revisando em vários aspectos o estudo
de Kohnstamm, Pascual-Leone e Bovet cocIuiram que os resultados desse
autor eram equívocos e sujeitos, portanto, insuficientes para contestar as
propostas de Piaget.
Bideaud (1981) relatou dois experimentos para verificar se as
respostas de inclusão são induzidas, quer nos treinamentos ditos "empíricos",
quer nos chamados "exercícios operatórios".
27
No primeiro experimento Bideaud se perguntou: as aquisições de
situações empíricas são duráveis e evoluem como as construções
espontâneas? Empregando procedimentos de outros autores, modificados pela
correção direta das respostas, a autora obtém resposta positiva, mas não
obtém extensão do progresso em inclusão de classes para a conservação de
número e de substâncias.
O segundo experimento de Bideaud foi destinado a esclarecer se o
nível de partida em conservação de quantidade numérica, era responsável
pelas expressivas extensões do efeito do exercício em inclusão de classes
sobre as conservações. Os resultados obtidos foram: a) em inclusão de
classes, a modalidade operatória produz efeitos melhores a curto prazo,
enquanto a modalidade empírica os obtém a longo prazo. Esta é mais eficaz
para os sujeitos não conservadores, sendo equivalente à outra para os demais
sujeitos; b) nas conservações, progressos expressivos ocorreram nas duas
modalidades para os sujeitos conservadores em quantidades numéricas ou
muito próximos desta noção. Ao se ver, as pesquisas brasileiras sobre o tema
também espalham a polêmica entre o valor do treino e o da exercitação
operatória. Macedo (1972) verificou a eficácia do procedimento "escolha
conforme o modelo" na aquisição das noções de conservação de substância.
Comparando os efeitos de três tarefas diferentes de escolha, conforme
atributos diversos do material, e usando correção de erros e reforços às
respostas corretas.
Cavicchia (1974) estudou a aprendizagem da inclusão de classes em
situação de integração social. Sua hipótese era que na aprendizagem
operatória é importante o papel da equilibração, expressada em situação de
troca com companheiros e onde o conflito de opiniões provocasse os
desequilíbrios necessários ao progresso cognitivo.
No que diz respeito aos estudos sobre o papel da interação social de
pares na construção da inteligência, Smedslund foi um dos primeiros a
preconizar a ocorrência de conflitos cognitivos na comunicação entre a criança
28
e outro indivíduo como necessária à descentralização intelectual dessa
criança.
Preocupados 'em estudar os benefícios da solução de problemas em
pequenos grupos sobre a evolução das conservações de área e de
comprimento propõe-se tarefas que, orientadas pelo experimentador, visavam
provocar o conflito cognitivo nos sujeitos. Foi verificado progressos
significativos entre os sujeitos não-conservadores, com efeitos duradouros e
extensivos a outras noções, e também entre os conservadores, nas provas -
controle de conservação: os últimos predominaram na interação e progrediram
impondo ou não suas soluções aos não-conservadores. Tais resultados foram
considerados pelos autores como consistentes com o modelo de equilibração
de Piaget.
1.7 - Importância da vivência- matemática concreta
Vygotsky diz que: "O aprendizado das crianças começa muito antes de
elas freqüentarem a escola. Qualquer situação de aprendizagem com a qual a
criança se defronta na escola tem sempre uma história prévia." Por isso é
importante que uma criança tenha uma boa experiência.
Uma criança nunca tem o amadurecimento igual a outra. Há diferenças
de ritmo, de percurso, de quantidade, de qualidade, e isso depende de
diversos fatores. Na experiência de vida, na idade apropriada, é um fator
decisivo: em casa, no clube, na escola, na rua, em todo lugar. E há sempre
uma maturidade apropriada a cada experiência e isso varia de criança para
criança.
São milhares de experiências que constroem um ambiente concreto,
pensado. Desenvolvem habilidades, os sentidos, técnicas, formando a base
necessária a todo aprendizado posterior.É o começo da construção da noção
29
de espaço geométrico, de espaço sonoro, de espaço de quantidade, de
estruturas variadas.
Toda a sociedade' deve estar envolvida na construção de um ambiente
rico e motivador para as crianças.
É muito importante que a escola tenha preocupação com os alunos em
três níveis segundo teoria piagetiana:
Cognitivo: conhecimentos: simbologia, sintaxe, teorias, métodos, etc.
Afetivo: gostar do que faz, fazer com gosto, com interesse.
Psicomotor: desenvolvimento de habilidades motoras.
Se o aluno faz com gosto, faz bem feito e desenvolve suas
habilidades, se ele desenvolve suas habilidades, desenvolvem seus
conhecimentos, com prazer.
Os níveis afetivo e psicomotor não são especialidades do professor,
mas ele deve ser capaz de proporcionar atividades que os estimulem. O
professor deve ser capaz de avaliar se o aluno se desenvolve normalmente.
A especialidade do professor é em nível cognitivo. Nesse nível, vamos
distribuir o objetivo em sete classes. São:
Conteúdo – símbolos, regras, expressões, fórmulas, técnicas.
Aplicação – uso do conteúdo nas resoluções e elaborações da rotina.
Compreensão – conhecimento do processo e não somente do
resultado.
Problemas – envolvem criação, construção.
Análise – que vai do todo para as partes.
Síntese – que vai das partes para o todo.
Ponderação – que antecede uma tomada de decisão.
30
São objetivos do professor e da escola em relação ao aluno. São
conhecimentos e comportamentos desejáveis no aluno. É o aluno que deve
terminar o curso tendo desenvolvido esses conhecimentos e comportamentos.
Os alunos deverão saber avaliar possibilidades de acerto antes da tomada de
decisão. Deverá ponderar sobre o que vai fazer
.
31
CAPÍTULO II
APRENDER E ENSINAR MATEMÁTICA
O estudo dos fenômenos relacionados ao ensino e à aprendizagem da
Matemática pressupõe a análise de variáveis envolvidas nesse processo,
aluno, professor e saber matemático, assim como das relações entre elas.
As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam
uma inteligência essencialmente prática, que permite reconhecer problemas,
buscar e selecionar informações, tomar decisões e, portanto desenvolver uma
ampla capacidade é potencializada pela escola, a aprendizagem apresenta
melhor resultado.
No entanto, tem-se buscado, sem sucesso uma aprendizagem em
matemática pelo caminho da reprodução de procedimentos e da acumulação
de informações; nem mesmo a exploração de materiais didáticos tem
contribuído para uma aprendizagem mais eficaz, por ser realizada em
contextos pouco significativos e de forma muitas vezes artificiais.
É fundamental não subestimar a capacidade doa alunos,
reconhecendo que resolvem problemas, lançando mão de seus conhecimentos
sobre o assunto e buscando estabelecer relações entre o já conhecido e o
novo.
O significado da atividade matemática para o aluno também resulta
das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e
o seu cotidiano e das conexões que ele percebe entre os diferentes temas
32
matemáticos. Ao relacionar idéias matemáticas entre si, podem reconhecer
princípios gerais, como proporcionalidade, igualdade, composição e inclusão e
perceber que processos como o estabelecimento de analogias, indução e
dedução estão presentes tanto no trabalho com números e operações como
em espaço, forma e medidas.
O estabelecimento de relações é tão importante quanto a exploração
dos conteúdos matemáticos, pois, abordados de forma isolada, os conteúdos
podem acabar representando muito pouco para a formação do aluno,
particularmente para a formação da cidadania.
O conhecimento da história dos conceitos matemáticos precisam fazer
parte da formação do professor para que tenham elementos que lhes permitam
mostrar aos alunos a matemática como ciências que não trata de verdades
eternas, mas como ciência dinâmica, sempre aberta à incorporação de novos
conhecimentos.
Além disso, conhecer os obstáculos envolvidos no processo de
construção de conceitos é de grande utilidade para que o professor
compreenda melhor alguns aspectos da aprendizagem dos alunos.
O conhecimento matemático formalizado precisa, necessariamente,
ser transformado para se tomar possível de ser ensinado / aprendido; ou seja,
a obra e o pensamento do matemático teórico não são passíveis de
comunicação direta aos alunos. Essa consideração implica rever a idéia, que
persiste na escola, de ver nos objetos de ensino cópias fiéis dos objetos da
ciência.
Esse processo de transformação do saber científico em saber escolar
não passa apenas por mudanças de natureza epistemológica, mas é
influenciado por condições de ordem social e cultural que resultam na
elaboração de saberes intermediários, como aproximação provisória,
33
necessárias e intelectuais formadoras. É o que se pode chamar de
contextualização.
O conhecimento só é pleno se for mobilizado em situações diferentes
daquelas que serviram para lhe dar origem.
Para que sejam transferíveis a novas situações e generalizados, os
conhecimentos devem ser descontextualizados, para serem contextualizados
novamente em outras situações. Mesmo no ensino fundamental, espera-se
que o conhecimento aprendido não fique indissoluvelmente vinculado a um
contexto concreto e único, mas que possa ser generalizado, transferido a
outros contextos.
Tradicionalmente, a prática mais freqüente no ensino de matemática
era aquela em que o professor apresentava o conteúdo oralmente, partindo de
definições, exemplos, demonstração de propriedades, seguidos de exercícios
de aprendizagem, fixação e aplicação, e pressupunha que o aluno aprendia
pela reprodução. Considerava-se que uma reprodução correta era evidência de
que ocorrera a aprendizagem.
Esse tipo de ensino mostrou-se ineficaz, pois a reprodução não ensina
o conteúdo, mas apenas faz com que o aluno reproduza o que estudou.
É recente a atenção ao fato de que o aluno é agente da construção do
seu conhecimento, pela conexão estabelecida entre seu conhecimento prévio
na resolução de problemas.
Numa perspectiva de trabalho em que se considere a criança como
protagonista da construção de sua aprendizagem, o papel do professor ganha
novas dimensões. Uma faceta desse papel é a de organizador da
aprendizagem. Além de organizador, o professor é consultor. Não mais aquele
34
que expõe todo o conteúdo aos alunos, mas aquele que fornece as
informações necessárias, que o aluno não tem condições de obter sozinho.
Outra de suas funções é a de mediador. Nesse papel, o professor é
responsável por arrolar os procedimentos empregados e as diferenças
encontradas, promover debates sobre 'resultados e métodos, orientar as
reformulações e valorizar as soluções mais adequadas.
Atua como controlador ao estabelecer as condições para a realização
das atividades, sem esquecer de dar o tempo necessário aos alunos.
Como incentivador da aprendizagem, o professor estimula a
cooperação entre os alunos, tão importante quanto a própria interação entre
adultos / crianças.
2.1 - Como fazer matemática em sala de aula
É de consenso a idéia de que não existe um caminho que possa ser
identificado como único e melhor para o ensino da matemática. No entanto, o
professor deve conhecer diversas formas de trabalhar em sala de aula para
pode construir sua prática.
Destaca-se a seguir algumas formas de se trabalhar a matemática
para adquirir essa prática.
Problemas - resolução de problemas é um caminho que vem sendo
discutido ao longo dos últimos anos. Os problemas não têm desempenhado
seu papel verdadeiro no ensino, eles estão sendo usados apenas como forma
de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos.
35
A prática mais freqüente consiste em ensinar um conceito,
procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se o
aluno é capaz de usar o que lhe foi ensinado.
Desse modo o professor não explora a atividade em si, e sim seu
resultado, sua definição e sua demonstração.
Conseqüentemente, o saber matemático não se apresenta como um
sistema de conceitos, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato
e incompreensível.
Nesse caso pressupõe-se que o aluno aprende por reprodução /
imitação. Resolver um problema não se resume em compreender o que foi
proposto e em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a
dar uma resposta correta pode ser suficiente para que seja aceita, mas não é
garantia de apropriação do conhecimento.
É necessário desenvolver habilidades que permitam por à prova os
resultados obtidos. Dessa forma, o valor da resposta correta cede lugar ao
valor do processo de Resolução.
Estimular o aluno a questionar sua própria resposta, evidência uma
concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de
conhecimento, mas pela via da ação refletida que constrói o conhecimento.
Para Antonio José Lopes (1994)."Os educadores, ao planejarem se
trabalho, devem estabelecer claramente os objetivos que pretendem atingir. O
principal é analisar o potencial do problema no desenvolvimento de
capacidades cognitivas, procedimentos e atitudes e na construção de
conceitos de fatos da matemática."
É importante distinguir exercícios de problemas. Exercícios como o
nome já disse servem para exercitar, ou seja, praticar algum algoritmo. Já
36
problemas é a descrição de uma situação onde se procura algo desconhecido
e não se tem previamente nenhum algoritmo que garanta sua solução. A
solução de um problema requer uma certa dose de iniciativa e criatividade
aliada ao conhecimento de estratégias.
O professor deve apresentar uma variedade de situações-problema
que possibilitem aos alunos vivenciar situações que apresentem uma solução,
várias soluções ou que não tenham solução possível.
Jogos e desafios - quando o professor propõe aos seus alunos uma
atividade de jogo, está propiciando que aprendam matemática de forma muito
séria, embora a situação seja de brincadeira. O jogo desperta o interesse,
favorece a concentração e o envolvimento mental das crianças, o
desenvolvimento da autonomia, a interação social, a construção de valores
morais, a capacidade de enfrentar situações, facilitando o processo de
aprendizagem.
Ao propor jogos e desafios, incentiva-se trocas de opiniões entre os
alunos, que podem acelerar o seu desenvolvimento. Segundo Vygotsky,
quando o aluno resolve um problema depois de se oferecerem pistas, ou com
a ajuda de outros colegas, ou mesmo com o auxílio do professor, é favorecido
o desenvolvimento mental.
Para crianças pequenas, os jogos são ações que elas repetem
sistematicamente mas que possuem um sentido funcional, isto é, são fontes de
significados e, portanto, possibilitam compreensão, geram satisfação, formam
hábitos que se estruturam num sistema. Essa repetição é importante no
sentido de ajudar a criança a perceber regularidades.
Através de jogos as crianças não apenas vivenciam situações que se
repetem, mas aprendem a lidar com símbolos e a pensar por analogia. Ao
criarem essas analogias, tornam-se produtoras de linguagens, criadoras de
convenções, capacitando-se para se submeterem a regras e dar explicações.
37
Com tudo, isso passam a compreender e a utilizar convenções e
regras que serão empregadas no processo de ensino e aprendizagem. Essa
compreensão favorece sua integração num mundo social bastante complexo e
proporciona as primeiras aproximações com futuras teorizações.
A participação em jogos de grupo também representa uma conquista
cognitiva, emocional, moral e social para a criança e um estímulo para o
desenvolvimento do seu raciocínio lógico.
Por fim, um aspecto relevante nos jogos é o desafio genuíno que eles
provocam no aluno, que gera interesse e prazer. Por isso, é importante que os
jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao professor analisar e avaliar a
potencialidade educativa dos diferentes jogos e o aspecto curricular que se
deseja desenvolver.
Calculadora - considerando-se a utilização de tecnologias como uma
realidade incontestável na vida das pessoas, julgamos ser importante
incorporar o uso da calculadora nesse trabalho, mostrando ao aluno novas
formas de cálculo. O uso da calculadora obriga, naturalmente, a se
modificarem algumas idéias em relação ao conteúdo a ser trabalhado.
Valoriza-se a compreensão dos algoritmos, mas não o cálculo, já que a
calculadora permite que esses cálculos sejam feitos de uma forma mais rápida
e eficaz, dando oportunidade ao aluno de investigar, comparar e concluir
formas mais simples de resolução de problemas. O uso da calculadora não
desestimula o raciocínio, como muitos pensam; ao contrário, possibilita que o
aluno se concentre mais na teoria e no conteúdo da situação a ser resolvida e
exercite a crítica dos resultados, por meio do cálculo mental e de estimativas.
Por todos esses motivos, julga-se mais conveniente sua aplicação a partir da
3a série.
Estas são idéias válidas para se adquirir uma prática pedagógica mais
moderna e com maior possibilidade de desenvolvimento do aluno para um
raciocínio lógico-matemático.
38
2.2 - A busca no jogo do lúdico na matemática
As referências ao uso do jogo no ensino de matemática, nos últimos
anos têm sido constantes.
As evidências parecem justificar a importância que vem assumindo o
jogo nas propostas de ensino de matemática. Toma-se relevante a análise
desta tendência para que possa-se assumir conscientemente o nosso papel de
educadores. Isto se justifica em virtude de poder se estar incorrendo em
determinados erros que, se deixar que crianças sejam submetidas a certas
metodologias ou a conteúdos sem uma análise detalhada dessas ações de
modo a antecipar, do ponto de vista teórico, pertinência.
A educação matemática está repleta de exemplos de ações em que se
destacam aspectos isolados dos problemas de aprendizagem desta disciplina.
A matemática moderna é apenas um dos exemplos mais significativos. Os
congressos de educação matemática patrocinados pela UNESCO,
contribuíram para uma visão desarticulada dos problemas ensino de
matemática. As discussões de D’Ambrosio(1986), Matos(1989), Moura(1992) e
Fiorentini(1994) sobre a evolução do conceito de educação matemática
mostram que os problemas de ensino desta disciplina, até bem pouco tempo,
eram abordados tomando-se apenas aspectos isolados dos elementos
constitutivos desse ensino.
A visão de que o ensino de matemática requer contribuição de outras
áreas conhecimento e de que o fenômeno educativo é multifacetado é, para o
professor matemática, algo recente e ainda , infelizmente, pouco Difundido e
Aceito.
A análise dessa tendência indica a necessidade de reflexões sobre
novas propostas de ensino, de modo que venha se a considerar os múltiplos e
variados elementos presentes na ação pedagógica do professor. Foi
39
necessário que contribuições de outras áreas de conhecimento viessem a se
incorporar à matemática para que pudesse se avaliar os erros cometidos em
nome da melhoria do ensino.
A pressa por respostas às reivindicações para uma melhoria imediata
no ensino de matemática levou-se a assumir modismos sem que atentassem
para o conjunto de elementos presentes no ato de ensinar.
Embora Kishimoto(1994), numa ampla revisão bibliográfica, encontre
referências'ao uso do jogo na educação que remontam à Roma e Grécia
antigas, se tomar como marco apenas a história mais recente, verá que é
deste século, que se vai ter entre as contribuições teóricas mais relevantes
para o aparecimento de propostas de ensino que incorporam o uso de
materiais pedagógicos em que os sujeitos possam tomar parte ativa na
aprendizagem. São as contribuições de Piaget, Bruner, WaUon e Vygotsky
que, definitivamente, marcam as novas propostas de ensino em bases mais
científicas.
Em relação à matemática, encontra-se em D’Ambrósio aquele que faz
as primeiras defesas da inclusão no ensino dos elementos culturais. Trabalhos
como os de Paulus Gerdes(1993) e o de Bichop(1988), também atestam o
crescente destaque dado à cultura como norteadora de propostas de ensino de
matemática.
Recentemente, as teorias de cunho sócio-interacionista nos trazem
outros que tomam o ato de ensinar como elemento complexo e multifacetado.
Os conteúdos passam a serem vistos de forma mais ampla. Não são apenas
informações de uma determinada disciplina e, sim, definidos a partir de um
conjunto de valores sociais a serem preservados, criados ou recriados e
difundidos através da escola. Os conteúdos passam a serem considerados
objetivos tomados conceitos possíveis de ser veiculados através de atividades
de ensino (Coll e Gallart, 1987 Leeón, 1991).
40
A analise dos novos elementos incorporados ao ensino de matemática
não pode deixar de considerar o avanço das· discussões a respeito da
educação e dos fatores que contribuem para uma melhor aprendizagem. O
jogo aparece, deste modo, dentro de um amplo cenário que procura apresentar
a educação, em particular a educação matemática, em bases cada vez mais
cientificas. Acha se que esse cenário deve ser o porto seguro para não se cair
em erros grosseiros como os cometidos na recente história da matemática.
Ao analisar o uso do jogo no ensino de matemática, pode se fazer uma
retrospectiva sob como este foi sendo incorporado às atividades educativas,
para que a partir daí, tenha se a justeza de seu uso.
Busca-se as razões do uso do jogo na educação matemática, atentos
aos cuidados a serem tomados com os modismos adotados, sem uma análise
prévia das condições em que aparecem as propostas de ensino e das bases
teóricas que as sustentam.
O jogo recebe de teóricos como Piaget, Vygotsky, Leontiev, Elkonin,
entre outros, as contribuições para o seu aparecimento em propostas de
ensino de matemática.
Lembrando como importante elemento para a educação infantil, o jogo
passa a ser defendido como importante aliado do ensino formal de matemática
(Mooura, 1991; Souza, 1994).
Kishimoto(1994) cita pelo menos duas dezenas de autores que
propõem ou utilizam jogos nas diversas áreas do conhecimento escolar. São
exemplos mais recentes de aplicação das contribuições teóricas da Psicologia,
da Antropologia e da Sociologia para a educação.
41
2.3 - O lado sério do jogo-a possibilidade de aprender
O Raciocínio decorrente do fato de que os sujeitos aprendem através
do jogo é de que este possa ser utilizado pelo professor em sala de aula. As
primeiras ações do professor apoiados em teorias construtivistas foram no
sentido de tornar os ambientes de ensino bastante ricos em quantidade de
jogos, para que os alunos pudessem descobrir conceitos inerentes às
estruturas dos jogos por meio de manipulação. Esta concepção tem levado a
prática espontaneístas da utilização dos jogos nas escolas. A sustentação de
tal prática pode ser encontrada nas teorias psicológicas que colocam apenas
no sujeito as possibilidades de aprender, desconsiderando elementos externos
como possibilitadores da aprendizagem.
São tais concepções de aprendizagem subjetivistas que colocam o
conhecimento como produto de articulações internas aos sujeitos. Segundo
esta visão, a atividade direta do aluno sobre os objetos de conhecimento é a
única fonte válida de aprendizagem, e assume, implicitamente, que qualquer
tentativa de intervenção d professor para ensinar um conhecimento estruturado
está falada ao fracasso ou à produção de um conhecimento meramente
repetitivo (Coll 1994).
Essas concepções têm como principal característica a crença de que
desenvolvimento cognitivo é a sustentação da aprendizagem isto é, que para
haver, aprendizagem é necessário que o aprendiz tenha um determinado nível
de desenvolvimento. Tal crença pode colocar educador na posição dos que
apenas promove situações desafiadoras para os sujeitos em situação escolar.
Desta maneira situações de jogo são consideradas como parte das atividades
pedagógicas, porque são elementos estimuladores do desenvolvimento.
Sendo assim, o jogo é elemento do ensino apenas como possibilitador
colocar em ação um pensamento que ruma para urna nova estrutura.
42
O jogo, ainda segundo essa concepção deve ser usado na educação
matemática obedecendo a certos níveis de conhecimento dos alunos tidos
corno mais ou menos finos
O material a ser distribuído para os alunos deve ter urna estruturação
tal que lhes permita dar um salto na compreensão dos conceitos matemáticos.
É assim que materiais e estruturados, como blocos lógicos, material dourado,
Cuisenaire e outros passaram a serem veiculados nas escolas.
A visão do conhecimento puro, que decorre apenas do
amadurecimento estruturas internas, levou a prática em que os conteúdos
eram poucos relevantes e, priorizarem o desenvolvimento das estruturas, a
urna concepção de jogo como promotor desse desenvolvimento. O uso de
sucatas para a confecção de brinquedos, de jogos de montar, e a retomada do
uso de materiais de ensino sem objetivos pedagógicos claros são
concretização da concepção que entende a construção do conhecimento como
fenômeno essencialmente individual e regido apenas por leis internas ao
sujeito.
A educação matemática, na década de 60, viveu uma situação que
poderia se dizer à beira da esquizofrenia. Ao mesmo tempo, que se apoiava
em teorias psicológicas que defendiam a utilização de materiais concretos
corno facilitadores da aprendizagem, utilizava-se de uma linguagem
matemática altamente sofisticada obedecendo às estruturas lógicas desta
ciência, acreditando em outro paradigma da psicologia da época: a estrutura
do conhecimento matemático se aproxima das estruturas psicológicas dos
sujeitos (Piaget, 1973). Disso decorreu o aparecimento de propostas de ensino
de matemática em que se destacou a ênfase na linguagem e na visão
estruturalista, também presente na produção matemática.
O surgimento de novas concepções sobre como se dá o conhecimento
tem possibilitado outras formas de considerar o papel do jogo no ensino.
43
São as contribuições da psicologia de cunho sócio-interacionistas que
vêm a estabelecer novos paradigmas para a utilização do jogo na escola. Esta
concepção acredita no papel do jogo na produção de conhecimentos, tal como
a anterior. Diferencia-se daquela ao considerar o jogo como impregnado de
conteúdos culturais e que os sujeitos, ao tomar contato com eles, fazem-no
através de conhecimentos adquiridos socialmente. Ao agirem assim, esses
sujeitos estão aprendendo conteúdos que lhes permitem entender o conjunto
de práticas sociais nas quais se inserem.
Neste sentido, as concepções sócio-interacionistas partem do
pressuposto de que a criança aprende e desenvolve suas estruturas cognitivas
ao lidar com o jogo de regra. Nesta concepção, o jogo promove o
desenvolvimento, porque está impregnado de aprendizagem. E isto ocorre
porque os sujeitos, ao jogarem passam a lidar com regras que lhes permitem a
compreensão do conjunto de conhecimentos veiculados socialmente,
permitindo-Ihes novos elementos para apreender os conhecimentos futuros.
O jogo, nesta visão da psicologia, permite a apreensão dos conteúdos
porque coloca os sujeitos diante da impossibilidade de resolver, na prática, as
suas necessidades psicológicas. O indivíduo experimenta, assim, situações de
faz-de-conta, do jogo regrado pela lógica, vivenciada ou criada, para solucionar
as impossibilidades de tornar realidade o seu desejo.
O jogo, na educação matemática, passa a ter o caráter de material de
ensino quando considerado promotor de aprendizagem. A criança colocada
diante de situações lúdicas apreende a estrutura lógica da brincadeira e, deste
modo, apreende também a estrutura matemática presente. Esta poderia ser
tomada como fazendo parte da primeira visão de jogo que tratamos até aqui. O
jogo deve estar carregado de conteúdo cultural e assim o seu uso requer um
certo planejamento que considere os elementos sociais em que se Insere. O
jogo é visto como conhecimento feito e também se fazendo.
44
Desta maneira, o jogo aproxima-se da matemática vias
desenvolvimento de habilidades de resolução de problemas e, mais, permite
trabalhar os conteúdos culturais inerentes ao próprio jogo
.
2.4 - Jogo - o sério e o lúdico se encontram na matemática
Pode-se perceber na educação matemática uma tendência para o uso
do jogo. Mas deve-se perguntar é se ele está sendo empregado com bases
teóricas que garantam um ensino com maior embasamento científico.
Tem alguns indicadores que permite inferir que já esta começando a
sair de uma visão do jogo como puro material instrucional para incorporá-lo ao
ensino, tornando-o mais lúdico e propiciando o tratamento dos aspectos
afetivos que caracterizam o ensino e a aprendizagem como uma atividade.
Tomando como jogo uma definição mais ampla, vê-se que este vem
sendo usado no ensino de matemática há muito mais tempo do que se
imagina. Perelmam é seguramente, um grande precursor do uso do jogo no
ensino de matemática, tomando como possibilidade de explorar um
determinado conceito e colocando para o aluno de forma lúdica. Os quebra-
cabeças, os quadrados mágicos, os problemas-desafios etc., poderiam ser
enquadrados nestas características de jogo como a forma lúdica de lidar com o
conceito.
Outra forma de considerar o jogo no ensino é, por exemplo, o modo
como Malba Tahan aproxima a matemática do aluno. Em O Homem que
calculava tem se a maestria de um hábil jogador com a imaginação do leitor de
modo a envolvê-lo na solução de problemas matemáticos. Nesta linha também
pode se incluir Monteiro Lobato com a Matemática da Emilia e até Walt Disney
com sua matemática. Como se vê, a matemática não é tão sisuda e os
matemáticos não são tão insensíveis ao riso.
45
Acrescenta a esta lista de exemplos tendências mais recentes de
publicações que recorrem ao lúdico no ensino de matemática. Os livros
paradidáticos, que se tornaram tão comuns no início desta década, são o
exemplo da importância que as editoras estão dando para os aspectos lúdicos
do ensino de matemática. O próprio nome "paradidáticos" parece indicar que
esses livros devem ser utilizados não de forma totalmente didática, mas além
da didática, de forma que os alunos não os confundam com as aulas serias de
matemática. Eles devem ver a matemática de forma prazerosa e lúdica.
Talvez valesse a pena uma analise mais detalhada desta tendência da
utilização dos para didáticos no ensino, de modo que pudesse avaliar não só o
seu aspecto pretensamente lúdico, mas também a maneira como tratam a
criança que pretendem formar e se são respeitadas as características de
atividade lúdica.
O que parece importante no momento é discutir o significa do jogo e a
sua importância na educação matemática. E para isso tem-se de lançar mão
de conceitos alheios a matemática.
A psicologia é chamada a responder pelas razões da utilização do jogo
na educação matemática. O conceito de atividades desenvolvidas por Leontiev
(1988) talvez possa emprestar legitimidade ao jogo na educação matemática.
Isto porque, ele considera a necessidade como elemento preponderante para
suscitar no sujeito o motivo para executar certas ações. Esse conceito parece
particularmente importante no caso da educação pré-escolar, já que nessa
fase da vida a maneira legítima de atuar no mundo é o jogo.
Ao analisar o papel do jogo na educação Kishimoto, através de ampla
bibliografia, aponta as inúmeras dúvidas dos muitos autores que se referem ao
uso do jogo como elemento pedagógico. O uso do material concreto como
subsídio à tarefa docente tem levado, os educadores a utilizarem de múltiplas
experiências. A grande diversidade de uso do material concreto leva a se
46
perguntar se tais experiências são exemplos de jogo ou de materiais
pedagógicos.
A dúvida sobre se o jogo é ou não educativo, se deve ou não ser
usado com fins didáticos poderia ser solucionada, se o educador tomasse para
si o papel de organizador do ensino. Isto que dizer que ele deve ter
consciência de que o seu trabalho é organizar situações de ensino que
possibilitem ao aluno tomar consciência do significado do conhecimento a ser
adquirido e de que para que o apreenda, toma-se necessário um com junto de
ações a serem executadas com métodos adequados.
O professor vivência a uni cidade do significado de jogo e de material
pedagógico, na elaboração da atividade de ensino, ao considerar, nos planos
afetivos e cognitivos, os objetivos, a capacidade do aluno, os elementos
culturais e os instrumentos capazes de colocar o pensamento da criança em
ação. Isto significa que o importante é ter uma atividade orientadora de
aprendizagem. O professor é por isso importante como sujeito que organiza a
ação pedagógica, intervindo de forma contingente na atividade auto-
estruturante do aluno.
A atividade é orientadora no sentido de criar possibilidades de
intervenção que permitem elevar o conhecimento do aluno. Dessa maneira,
todo e qualquer material utilizado para o ensino é ferramenta para ampliar a
ação pedagógica.
A questão do "que é melhor para o ensino" ficaria talvez resolvida se
tornássemos o conjunto de propostas de materiais numa definição ou numa
compreensão mais ampla do significado das atividades escolares. Visto no
conjunto da atividade orientadora, o material de ensino deixa de ser elemento
isolado e passa a integrar-se no que Coll chama de três vértices que
caracterizam as atividades educativas: "o aluno que está levando a cabo a
aprendizagem; o objeto ou objetos de conhecimento que constituem o
47
conteúdo da aprendizagem; e o professor que age, que ensina coma finalidade
de favorecer a aprendizagem dos alunos" (Coll, 1994,p.23).
O jogo na educação matemática parece justificar-se ao introduzir uma
linguagem matemática que pouco a pouco será incorporada aos conceitos
matemáticos formais, ao desenvolver a capacidade de lidar com informações e
ao criar significados culturais de novos conteúdos.
A matemática, desta forma, deve buscar no jogo a ludicidade das
soluções construídas de situações-problema seriamente vividas pelo homem.
2.5 – Auto- Avaliação
Sendo protagonista de sua aprendizagem, é importante que o aluno
tenha clareza do que se espera dele num determinado momento e seja levado
a refletir sobre seu desempenho na realização das tarefas propostas, tanto do
ponto de vista intelectual como do social.
Se não estiverem acostumados à auto-avaliação, os alunos poderão,
no início, ter dificuldade de fazê-lo. No entanto, vale a pena persistir na
realização dessa dinâmica, pois, além de obter melhores resultados no
trabalho, levará a contribuir muito para c crescimento individual do aluno.
Muitos alunos poderão ser benevolentes consigo mesmos. Outros, ao
contrário poderão se rigorosos. Por isso, para tentar minimizar possíveis
distorções, o professo poderá apresentar também ao aluno a avaliação sobre
as diferenças encontradas.
É importante estar claro para todos o que se pretende constatar com a
avaliação e que uso se fará dessas constatações.
48
O professor não pode perder de vista que mudanças na maneira de
conceber aprendizagem requerem novas formas de avaliação, considerando-
se a compreensão d conceitos, o desenvolvimento de atitudes e a capacidade
de enfrentar e resolver situações-problema.
Como subsídio à prática dessas idéias, apresentamos um modelo de
ficha bem simples, com sugestões de questões a serem propostas ao aluno,
com o objetivo de levar professor e o próprio aluno a refletir sobre como
ocorreu a aprendizagem. Essa ficha pode ser modificada, ampliada, inclusive
com questões sugeridas pelos próprios aluno adaptando-se, assim, às
características particulares da classe.
49
CONCLUSÃO
As tendências do ensino de matemática expressam-se nas diferentes
maneiras de abordar o conteúdo dessa disciplina. Tais abordagens não são
únicas e tampouco se excluem ou se opõem. A educação não pode ter como
objetivo a simples transmissão de informação para o aluno. Deve garantir-lhe
autonomia de pensamento crítico, para viver em uma sociedade em constante
e acelerado processo de crescimento e transformação.
.
No ensino fundamental, primeira fase, a matemática não deve ser vista
apenas como pré-requisito para estudos posteriores. É necessário que o
ensino da matemática esteja voltada à formação do cidadão, que utiliza cada
vez mais conceitos matemáticos em sua rotina. Por estar tão presente no
cotidiano dá ao professor a chance de desafiar seus alunos a encontrar
soluções para questões que enfrentam na vida diária. Apresentar conceitos
que exigem decorar é a maneira menos eficaz de ensinar a disciplina.
Todo aluno tem uma história social familiar e escolar de ensino e
aprendizagem. Cada agente social, cada professor é responsável pelas
acumulações quantitativas que vão permitir saltos qualitativos, ou seja, novos
conhecimentos resultantes de sínteses. O argumento comum de falta de base
não se justifica, assim, a escola e o professor, são responsáveis pela
aprendizagem dos seus alunos até que eles completem o Ensino.
Ensinar matemática depende muito mais da capacidade do professor
de encontrar um caminho em meio à experiência que seus alunos trazem para
a sala de aula do que da execução de um plano extremamente minucioso e
elaborado.É necessário, portanto, que esse profissional visualize a matemática
permeando o cotidiano.É preciso, trazer o mundo cotidiano para o mundo da
matemática.
50
John Dewey, filosofo e educador, já afirmava no final do século
passado: "educação é um processo de vida, e não preparação para a vida".
Coerente com essa afirmação, a aprendizagem deve ser considerada como
aquisição de habilidades, troca de experiências, formação de competências,
construção e socialização de conhecimentos integrados ao contexto em que
serão utilizados, buscando uma total interação dos aspectos cognitivos,
emocionais e sociais envolvidos.
51
BIBLIOGRAFIA
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Matemática. Belo Horizonte: Vigília, vI, 1995.
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52
2001, Teixeira, José A VERBALIZAÇÃO DO ESPAÇO: Modelos mentais de
frente/trás, Centro de Estudos Humanísticos da Universidade do Minho
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Gouveia, V.V. (1998). La natureza de los valores descriptores del
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Doutorado. Departamento de Psicologia Social, Universidad Complutense de
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TOLEDO, Marília e TOLEDO Mamo. Didática da Matemática: Como dois e
dois: A Construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
53
ÍNDICE
FOLHA DE ROSTO 2
AGRADECIMENTO 3
DEDICATÓRIA 4
RESUMO 5
METODOLOGIA 6
SUMÁRIO 7
INTRODUÇÃO 8
CAPÍTULO I
Histórico da Matemática 11
1.1 - A matemática é fácil 14
1.2 - Problemas da matemática para professores e alunos 17
1.3 - Epistemologia do conhecimento 19
1.4 - Métodos de abordagem 22
1.5 - Etapas do desenvolvimento 24
1.6 - Noções operatório-concretas 25
1.7 - Importância da vivência- matemática concreta 28
CAPÍTULO II
Aprender e Ensinar Matemática 31
2.1 - Como fazer matemática em sala de aula 34
2.2 - A busca no jogo do lúdico na matemática 38
2.3 - O lado sério do jogo - A possibilidade de aprender 41
2.4 - Jogo - O sério e lúdico se encontram na matemática 44
2.5 – Auto-Avaliçâo 47
CONCLUSÃO 49
BIBLIOGRAFIA 51
ÍNDICE 53
FOLHA DE AVALIAÇÃO 54
54
FOLHA DE AVALIAÇÃO
Nome da Instituição:UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
Título da Monografia:O ENSINO DA MATEMÁTICA
Autor:PATRÍCIA PEREIRA NOVAIS DA SILVA
Data da entrega: ABRIL
Avaliado por:VILSON SERGIO DE CARVALHO Conceito: