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Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 21

1

Algumas Distribuições de Probabilidade Discretas

Algumas variáveis aleatórias discretas podem ser usadas com muito sucesso

para modelar certos fenômenos de interesse prático, por exemplo, a

distribuição binomial. Vamos apresentar algumas das mais importantes

distribuições discretas aqui.

Distribuição Uniforme Discreta

Este é o caso em que as probabilidades de que uma variável aleatória

discreta assuma um valor dentre um conjunto de n possibilidades são todas

iguais,

pn

xp i ==1)( , para todo i = 1, ..., n.

Os valores da média e da variância desta distribuição são:

∑ ∑∑= ==

===n

i

n

iii

n

iii x

nnxxpx

1 11

11)(µ ,

e

( )

.1

11)(

1

2

122

2

1 1 1

22

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=⇒

⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

∑∑

∑ ∑ ∑

=

=

= = =

n

i

n

ii

i

n

i

n

i

n

iiiii

n

xx

n

nx

nxxpx

σ

µσ

Tente mostrar esta última passagem como exercício.


2

Distribuição Binomial

Já estudamos a distribuição binomial e vimos a fórmula para o cálculo da

probabilidade de k sucessos em n repetições, com a probabilidade de um

sucesso sendo p e a de um fracasso sendo q = 1 − p,

( ).

!!!)|( knk qpknk

nnkXP −

−==

O cálculo do valor esperado (ou médio) de sucessos em n repetições e da

variância não é tão fácil de ser feito e vamos apenas dar os resultados aqui.

Porém, vamos calcular µ e σ 2 para alguns casos com n pequeno de maneira

que um raciocínio indutivo pode nos levar a aceitar as fórmulas gerais para

qualquer n.

Qual é o valor esperado de sucessos quando há apenas um experimento (n =

1)? Temos apenas duas possibilidades, sucesso ou fracasso. Vamos definir

uma variável aleatória x que pode assumir apenas dois valores, x1 = 1

quando há um sucesso e x2 = 0 quando há um fracasso. Usando a fórmula do

valor esperado temos então,

pqpxpxxpxxpxi

ii =+=+==∑=

.0.1)()()( 2211

2

1

µ ;

e a variância é,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

=−+−=−+−=−=2

1

222

221

21

22 01)()(i

ii qpppxppxxppxxpx µσ

( ) ( ) ( ) .111 22 pqpppppp =−=−+−=

E quando n = 2, quais os valores de µ e σ 2? Neste caso, temos três

resultados possíveis: 2 sucessos, x1 = 2; 1 sucesso, x2 = 1; e 0 sucessos, x3 =

0. Usando as fórmulas para µ e σ 2 temos então:


3

,222)!02(!0

!2.0)!12(!1

!2.1)!22(!2

!2.2)( 2223

1ppqpqpqpxpx

iii =+=

−+

−+

−==∑

=

µ

e

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) .282818288828

4412181421214

)!02(!0!220

)!12(!1!221

)!22(!2!222)(

22222222222

22222222

223

1

22222

pqqppqqppqppqqpqppqppqqppppqppppppqpp

qppqpppxpxi

ii

=−+=−−+=+−+

=+−+−=−+−+−=

=−

−+−

−+−

−=−=∑=

µσ

Para n qualquer, a média e a variância da distribuição binomial valem:

np=µ e npq=2σ .

Distribuição de Poisson

Esta é uma importante distribuição de probabilidade discreta que é muito

usada para modelar a ocorrência de eventos aleatórios dentro de um

intervalo, de tempo ou de espaço, especificado. Ela deve o seu nome ao

matemático francês Poisson (1781-1840), que estudou suas características.

Se x for a variável discreta que dá o número de ocorrências de um evento

aleatório em um intervalo (de tempo ou de espaço) dado, a probabilidade de

que x ocorra é dada pela distribuição de Poisson,

!)(

xexpx µµ −

= ,

onde x = 0, 1, 2, 3, ... (a constante e vale aproximadamente 2,71828).

A letra grega µ é chamada de parâmetro da distribuição de Poisson e dá o

número médio de ocorrências do evento no intervalo em questão.


4

Pode-se mostrar que p(x) ≥ 0 para todo x e que 1)(0

=∑∞

=xxp , de maneira que

p(x) satisfaz as condições de uma distribuição de probabilidade.

Uma distribuição de probabilidade de Poisson resulta do seguinte processo,

chamado de processo de Poisson:

1. A ocorrência de um evento em um intervalo (de espaço ou tempo) não

tem qualquer efeito sobre a probabilidade de ocorrência de um segundo

evento, no mesmo ou em qualquer outro intervalo. Os eventos

modelados por um processo de Poisson são independentes.

2. Dado um intervalo, um evento pode ocorrer qualquer número de vezes

dentro dele. Não há limite superior para o número de possíveis

ocorrências do evento dentro de um intervalo.

3. Para um intervalo suficientemente pequeno, a probabilidade de

ocorrência de um único evento dentro do intervalo é proporcional ao

intervalo.

4. Para um intervalo suficientemente pequeno, a probabilidade de

ocorrência de dois ou mais eventos dentro do intervalo é desprezível.

Pode-se mostrar que, para uma distribuição de Poisson, a média (valor

esperado) e a variância são iguais:

µ=)(xE e µσ =2 .

A distribuição de Poisson é empregada quando se faz contagens de eventos

aleatórios dentro de um certo intervalo de tempo ou de espaço. Vejamos

alguns exemplos:


5

1. Uma ONG dedicada à preservação ambiental fez um estudo em uma área

da Mata Atlântica que está sendo reflorestada e concluiu que o número

médio de espécies de Pau Brasil por Km2 é igual a 2. Supondo que o

número de espécies de Pau Brasil por Km2 da área estudada obedeça a

uma distribuição de Poisson, calcule:

a. A probabilidade de se encontrar uma ou nenhuma árvore de Pau

Brasil em uma área de 1 Km2 escolhida ao acaso da área estudada.

Esta probabilidade é:

4060,02707,01353,0!1

2!0

2)1()0(2120

=+=+=+−− eepp (40,6

%).

b. A probabilidade de que uma área de 2 Km2 escolhida ao acaso da

área estudada tenha 3 espécies de Pau Brasil. Se o número médio

de espécies de Pau Brasil por Km2 é 2, o número médio por 2 Km2

é 2.2 = 4. Portanto,

1954,0!3

4)3(43

==−ep (19,54 %).

2. Uma companhia de seguros fez um estudo sobre o número semanal de

solicitações de socorro para automóveis recebidas durante os últimos

anos. A conclusão foi que o número médio de pedidos de socorro por

semana é de 12. A empresa gostaria de saber qual a probabilidade de que

ocorram 10 chamadas de socorro na próxima semana.

A ocorrência de um pedido de socorro em uma semana é uma variável

aleatória que satisfaz a uma distribuição de Poisson. Portanto, a

probabiliade desejada é:

105,0!10

12!10

)10(121010

≈==−− eep

µµ (10,5 %).


6

A conta acima pode ser feita com uma calculadora científica ou com o

uso de um programa estatístico ou do MS® Excel. Caso não se tenha

acesso a nenhum desses recursos, pode-se recorrer a um livro de

estatística que tenha tabelas dando os valores calculados da distribuição

de Poisson.

Usando o MS® Excel, montou-se o seguinte gráfico dando a distribuição

de probabilidade do número de pedidos de socorro por semana para o

exemplo dado (µ = 12).

Distribuição do número semanal de pedidos de socorro (Poisson)

0.0000.0200.0400.0600.0800.1000.1200.140

0 5 10 15 20 25 30 35

x

p(x)

Observe que a forma da distribuição de Poisson tem alguma similaridade

com a da distribuição binomial vista anteriormente. Em alguns casos, as

duas curvas ficam praticamente iguais indicando que pode-se usar a

distribuição de Poisson para aproximar a binomial. Por exemplo, pense

numa situação em que um experimento binomial será repetido um grande

número n de vezes com uma probabilidade p pequena de sucesso a cada

repetição.

Para tornar mais concreto o que estamos dizendo, vamos para o exemplo

seguinte.


7

3. Os administradores de uma maternidade estão interessados em saber a

probabilidade de que, dos próximos 100 nascimentos, 3 sejam de

crianças com uma certa doença congênita. A probabilidade de que nasça

um bebê com essa doença é p = 0,01 (1%) e o número de repetições de

nascimentos é n = 100. Portanto, este é um problema que pode ser

resolvido usando-se a distribuição binomial:

973

!97!3!100),100|3( qppXP == .

O cálculo da expressão acima pode ser um pouco tedioso. Por isso,

vamos tentar resolve-lo usando a distribuição de Poisson.

Vamos supor que os próximos 100 nascimentos na maternidade ocorram

dentro de um período de tempo T. A ocorrência de um nascimento de

uma criança com a doença congênita dentro desse intervalo de tempo é

um evento aleatório e independente de outro nascimento de uma criança

com a doença.

Vamos subdividir o intervalo T em pequenos intervalos de tempo δt de

maneira que se possa assumir que a probabilidade de que ocorra um

nascimento de uma criança com a doença dentro de δt seja proporcional

a δt e que a probabilidade de que ocorram dois ou mais nascimentos de

crianças com a doença em δt seja desprezível. Isto nos indica que

podemos usar a distribuição de Poisson para calcular o número de

nascimentos de bebês com a doença congênita no intervalo T.

Para usar a distribuição de Poisson, precisamos saber a média de

nascimentos de crianças com a doença dentro do intervalo T.


8

Esta média pode ser obtida com a fórmula do valor esperado do número

de crianças com a doença congênita nascidas em 100 nascimentos para a

distribuição binomial (lembre-se de que o problema satisfaz a uma

distribuição binomial).

O valor esperado de uma variável binomial para n repetições com

probabilidade p de sucesso (sucesso aqui é nascer uma criança com a

doença) é µ = np = 100x0,01 = 1. Portanto, usando a fórmula da

distribuição de Poisson:

0613,0!3

1!3

)3(133

===−− eep

µµ (6,13 %).

Para conferir se este resultado é uma boa aproximação para o valor que

teria sido obtido com o uso da fórmula da distribuição binomial, o seu

valor é P(3|100,0,01) = 0,0609 (6,09 %). O erro cometido pelo uso da

distribuição de Poisson é de menos de 1 % (0,66 %).

O gráfico a seguir, mostra as duas distribuições (binomial e de Poisson)

para x (o número de nascimentos de crianças com a doença congênita)

variando de 0 a 10. Observe que os pontos das duas distribuições caem

um em cima do outro (na escala do gráfico), indicando que a distribuição

de Poisson fornece uma ótima aproximação para a distribuição binomial

neste caso.


9

Comparação entre Binomial e Poisson

00.050.10.150.20.250.30.350.4

0 2 4 6 8 10 12

x

p(x)

Os quadrados são os pontos da distribuição binomial e os losangos são os

pontos da distribuição de Poisson.

Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição de Poisson

Seja a distribuição binomial para y sucessos em n repetições com

probabilidade p de que haja um sucesso a cada repetição:

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) .11)1()2()1()(!

1

11...)1()2)(1(!

1

1!!

!,|

yn

yn

ynyyny

pppynpnpnnpy

ppppppynnnny

ppyny

nqpyn

pnyP

−

−

−−

−−+−−−=

=−−−−−−=

=−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

…

……

Lembrando que o valor esperado da distribuição binomial é

npnp µ

µ =⇒= :


10

( )yn

nnnyn

nn

nn

ypnyP

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−−−=µµµµµ

µ 11)1()2.()1.(!1,| … .

No limite em que ∞→n :

• Termos do tipo ;)( µµ→−

nin

• ;1lim µµ −

∞→=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ − en

n

n

• .11lim =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

∞→

y

n nµ

De maneira que:

( ) .!

1....!1,|

yee

ypnyP

yy

µµ µ

µµµµ−

− ==!"!#$…

Portanto, no limite em que ∞→n ( 0→p ) a distribuição binomial é

aproximada pela distribuição de Poisson.

Distribuição Geométrica

Suponha um experimento de Bernoulli que é repetido várias vezes. Seja p a

probabilidade de se obter um sucesso e q = 1− p a probabilidade de um

fracasso. Então, a probabilidade de que o primeiro fracasso ocorra na i-

ésima repetição é:


11

! );1(...)4(

);1(..)3();1(.)2(

;1)1(

3

2

ppqpppipppqppip

ppqpippqip

−===

−===

−===

−===

Definindo a variável aleatória Y = número de sucessos antes do primeiro

fracasso, temos:

.)1()(

;)1()4()3(;)1()3()2(;)1()2()1(;).1()1()0(

3

2

1

0

yppyp

ppipypppipypppipypppipyp

−=

−====

−====

−====

−====

!

A distribuição

… ,2 ,1 ,0 ,)1()( =−= yppyp yY ,

é chamada de distribuição geométrica. O seu nome deve-se ao fato de que

ela é formada por uma progressão geométrica.

Costuma-se chamar a variável aleatória Y de comprimento de uma

seqüência de sucessos. Note que a probabilidade de um dado comprimento

de uma seqüência de sucessos após um fracasso também satisfaz a uma

distribuição geométrica.

Pode-se mostrar que o valor esperado e a variância de uma distribuição

geométrica são iguais a:


12

ppyE−

=1

)( e ( )22

1 pp−

=σ .

A função de distribuição acumulada para a distribuição geométrica é:

( )

⇒−+++−+−+−=

=−++−+−+−=−=≤=

+

=∑

133220

2

1

)1()1()1()1()1(Prob)(

yy

y

i

yiY

pppppppp

pppppppppyYyF

…

…

.1)( 1+−=⇒ yY pyF

Exercício: Sejam as duas seqüências de DNA vindas, por exemplo, de duas

espécies diferentes. As setas indicam pares de bases que são comuns às duas

seqüências:

accgtgtagtctacttcagacttctcggatgactcagctagagctgagtgacct

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

Chamando uma seqüência de sucesso a um trecho das duas seqüências de

DNA cujas baes sejam iguais, calcule P(Y = 0), P(Y = 1), P(Y = 2) e P(Y =

3) (p = ¼):

.43

41

43)1()(

0117187,02563

41

43)1()3(

;046875,0643

41

43)1()2(

;1875,0163

4143)1()1(

;75,043)1()0(

1

33

22

+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=−=

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−=

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=−=

===−=

==−=

y

yyppyP

ppP

ppP

ppP

pP

!


13

Distribuição Binomial Negativa

Em muitos casos, a variável aleatória de interesse não é o número de

sucessos em n repetições do experimento binomial, mas quantas repetições

são necessárias para se atingir m sucessos não necessariamente em

seqüência.

Seja m o número pré-fixado de sucessos. A variável aleatória Y é o número

de repetições do experimento de Bernoulli até se atingir este número de

sucessos:

PY(n) = probabilidade de que nas primeiras (n – 1) repetições haja (m – 1)

sucessos (e, portanto, n – m fracassos) e de que na n-ésima repetição haja

um sucesso.

A probabilidade de que em (n – 1) repetições haja (m – 1) sucessos é dada

por uma distribuição binomial,

)1()1(1 )1(11

),1|1( −−−− −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=−− mnm ppmn

pnmP ,

e a probabilidade de que na n-ésima repetição haja um sucesso é

simplesmente p.

Logo:

)1()1()1()1(1 )1(11

)1(11

.)( −−−−−−− −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−= mnmmnm

Y ppmn

ppmn

pnP , n ≥ m.

Pode-se mostrar que o valor esperado e a variância da distribuição binomial

negativa são iguais a:


14

pmnE =)( e 2

2 )1(ppm −

=σ .

Exercício: Um professor está precisando selecionar uma equipe de quatro

alunos para participar de um projeto de pesquisa. Os requisitos para que um

aluno participe da equipe são que ele seja um bom programador, seja fluente

em inglês e tenha tirado nota acima de 7 em uma dada matéria. A proporção

de alunos com essas qualificações na sua universidade é igual a 30%. Qual é

probabilidade de que a equipe seja formada quando o décimo candidato for

considerado?

Neste caso, quando o décimo candidato for considerado ele satisfará os

requisitos necessários e será o quarto dos dez candidatos a fazê-lo, de

maneira que a equipe estará montada e não será mais necessário considerar

novos alunos. Isto quer dizer que seis dos nove candidatos anteriores ao

décimo foram rejeitados. Temos então: n = 10, m = 4 e p = 0,3. Logo:

.08,0)7,0()3,0(!6!3!9)7,0()3,0(

14110

)10( 64)14()110(4 ==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−= −−−

YP

Portanto, a probabilidade de que o professor consiga “fechar” a sua equipe

com o décimo candidato que aparecer é de 8%.

Distribuição Hipergeométrica

Consideremos o seguinte problema. Um departamento de uma universidade

contém 50 professores: 30 mulheres e 20 homens. Deseja-sa escolher uma

amostra aleatória de 5 desses professores para formar uma comissão para

discutir a criação de novas disciplinas de graduação. Qual a probabilidade

de que essa comissão de cinco professores contenha exatamente 2 homens?


15

Como o departamento tem 50 professores, o número de possíveis comissões

diferentes contendo 5 professores é dado por

760.118.2!45!5!50

550

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

A quantidade de maneiras diferentes de se escolher uma amostra de 5

professores composta exatamente por 2 homens e 3 mulheres é dada por:

! !400.771

!27!3!30

!18!2!20

330

220

mulheres 30 de totalumde mulheres 3escolher se de

diferentes maneiras de No.

homens 20 de totalum de homens 2escolher se de

diferentes maneiras de No.

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛.

Portanto, a resposta para o problema é:

.364,0760.118.2

400.771

550

330

220

mulheres) 3 e homens Prob(2 ≈=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

Quando temos uma população contendo N elementos, dos quais M são

considerados sucessos (por exemplo, homens no caso anterior) e N – M são

considerados fracassos, a probabilidade de selecionarmos uma amostra

aleatória de n elementos da população, sem reposição, contendo exatamente

x sucessos e n – x fracassos é dada pela distribuição hipergeométrica:

( )( )

( ) ( ) ( )[ ]

( )!!!

!!!

!!!

)(

nNnN

xnMNxnMN

xMxM

nN

xnMN

xM

xPX

−

−−−−−

×−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= .


16

Pode-se mostrar que o valor esperado e a variância da distribuição

hipergeométrica são iguais a:

npxE =)( e ( )

NMp

NnNpnp =

−−−

= onde ,1

)1(2σ .

Exercício: Suponha que lhe peçam para retirar 5 cartas de um baralho

normal de 52 cartas, sem reposição. Qual a probabiliade de que as 5 cartas

contenham 2 cartas de ouros?

Num baralho normal de 52 cartas existem 13 cartas de cada naipe. Portanto,

considerando uma carta de ouros como um sucesso, a fórmula da

distribuição hipergeométrica nos dá:

.2743,0

!47!5!52

!36!3!39

!11!2!13

552339

213

)2( =×

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=P

A seguir, são dados gráficos das distribuições discretas apresentadas:


17

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