Probabilidade e Estatística I – Antonio Roque – Aula 20

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Distribuições de Probabilidade

Considere a seguinte situação: O Departamento de Psicologia da

Universidade XYZ resolveu fazer um experimento para determinar a

existência do fenômeno da percepção extra-sensorial. O experimento

consiste em colocar uma pessoa que alega ter poderes extra-sensoriais atrás

de um biombo e o experimentador (um professor do departamento) do outro

lado do biombo com um baralho contendo apenas 5 cartas. Cada carta

contém um símbolo diferente: uma cruz, uma estrela, um círculo, um

triângulo e um quadrado. A cada rodada, o experimentador embaralha as

cartas e tira uma do bolo aleatoriamente, deixando-a virada para baixo sem

olhar para ela. A pessoa atrás do biombo tem então que dizer qual é o sinal

contido na carta que foi retirada. Depois disso, o experimentador vira a carta

para cima e anota se a pessoa acertou ou não o símbolo.

Vamos deixar de lado a questão sobre a existência ou não da PES e pensar

no experimento acima como uma instância de um experimento binomial. Se

a pessoa que está atrás do biombo estiver “chutando” as respostas, a cada

repetição do experimento a chance de ela acertar o símbolo correto é de 1/5

(temos cinco símbolos igualmente prováveis). Portanto, se o experimentador

repetir o experimento N vezes, a chance de que a pessoa investigada acerte

K vezes, por puro acaso, é dada pela probabilidade binomial:

KNK

KNKNNKP −

−= )80,0()20,0(

)!(!!)20,0 ,|( .

Usando a fórmula da probabilidade binomial, podemos calcular a

probabilidade de que a pessoa atrás do biombo acerte qualquer número de

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vezes, de 0 até N, em N repetições do experimento, se estiver “chutando” a

cada repetição.

Por exemplo, vamos supor que N = 30. Os valores das probabilidades

podem ser colocados em uma tabela ou, o que permite uma visualização

mais imediata, em um gráfico em que os números de acertos são colocados

no eixo-x e os valores das respectivas probabilidades são colocados no eixo-

y. Este gráfico está dado abaixo.

Distribuição de Probabilidades

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31

Número de Acertos

Prob

abili

dade

Note que o número mais provável de acertos, com base em “chutes”, é K =

7. Números de acertos acima de K = 13 têm probabilidades praticamente

nulas. Isto indicaria que, se a pessoa atrás do biombo acertar algum número

grande de vezes, como 16 ou mais, por exemplo, este seria um evento muito

pouco provável para ser obra do acaso.

Este gráfico com as probabilidades dos diversos números possíveis de

acertos é um exemplo de uma distribuição de probabilidades.

Uma distribuição de probabilidades dá as probabilidades de que uma dada

variável aleatória possa assumir determinados valores.

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A variável é chamada de aleatória porque, a cada repetição do experimento,

ela pode assumir um dado valor ao acaso, isto é, não temos como prever

exatamente o valor que ela vai assumir. Podemos apenas calcular a

probabilidade de que ela assuma um dado valor.

Por convenção, variáveis aleatórias são designadas por letras maiúsculas −

X, Y, Z − enquanto que os valores realmente medidos dessas variáveis são

designados por letras minúsculas – x, y, z.

Se o experimento que estivermos fazendo for do tipo binomial, como o

exemplo dado, então as probabilidades serão calculadas segundo a fórmula

da distribuição binomial e teremos um gráfico como o da transparência

anterior. Se o experimento for descrito por outro tipo de probabilidade,

então teremos um gráfico de distribuição de probabilidades diferente.

Há dois tipos de variáveis aleatórias: discretas ou contínuas.

Variáveis aleatórias discretas:

Uma variável discreta pode assumir apenas um número finito ou uma

quantidade enumerável (que se pode numerar por números inteiros) de

valores. Exemplos: número de filhos de um casal; número de bactérias em

uma lâmina; número de dias sem emprego; gasto mensal em refrigerantes

por domicílio. Note que os valores das variáveis não precisam ser números

inteiros, como no último exemplo dado, em que os valores estão limitados a

até duas casas decimais (os centavos).

Variáveis aleatórias contínuas:

Uma variável contínua pode assumir um número infinito de valores. Dado

um intervalo, ela pode ter qualquer valor dentro dele, com a precisão que se

queira. Exemplos: alturas das pessoas; tempo de resposta a um estímulo;

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distâncias percorridas por caminhões de transporte de mercadoria em um

ano; valor da pressão arterial.

Tanto para variáveis discretas como contínuas, podemos ter distribuições de

probabilidade. Para o caso discreto, já vimos um exemplo – a distribuição

binomial. A distribuição de probabilidades de uma variável discreta X é

representada matematicamente por )(xPX e, graficamente, por um gráfico

do tipo abaixo.

A altura da barra dá a probabilidade do evento xi: PX(xi).

Para que uma distribuição discreta como a do gráfico anterior seja uma

distribuição de probabilidades, ela tem que satisfazer as seguintes

condições:

1. ∑=

=N

iiX xP

1

1)( , onde N é o número máximo de valores possíveis;

2. 0 ≤ P(xi) ≤ 1 para todo xi.

Uma função importante associada a uma distribuição de probabilidades

discreta PX(x) é a chamada função de distribuição acumulada FX(x). Ela

dá a probabilidade de que X assuma qualquer valor menor que um dado x:

∑≤ʹ′

ʹ′=xx

XX xPxF )()( .

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Um exemplo de PX(x) e da sua correspondente FX(x) é dado abaixo. A

distribuição PX(x) usada é a binomial.

Note que o retângulo mais à direita da função de distribuição acumulada

FX(x) tem altura 1.

É comum que distribuições de probabilidade dependam de parâmetros. Por

exemplo, seja a distribuição de probabilidades

,3,2,1 ,)( 642

2

=++

= xxPx

X λλλλ

onde λ é algum número real diferente de zero. Ele é chamado de parâmetro

da distribuição. Note que qualquer que seja o valor de λ, PX(x) > 0 para x =

1, 2, 3, e PX(1) + PX(2) + PX(3) = 1. Embora o valor do parâmetro λ seja

desconhecido, a função definida acima satisfaz as condições para que seja

uma distribuição de probabilidades. Para cada valor possível de λ teremos

um gráfico diferente de PX(x).

Para variáveis contínuas, como temos infinitos valores dentro de um

intervalo não tem sentido definirmos a probabilidade de um valor específico

x, mas apenas a probabilidade de obtermos um valor de x dentro de um

intervalo especificado, PX(a ≤ x ≤ b).

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Dada uma variável aleatória contínua X assumindo valores dentro de um

intervalo I define-se uma função densidade de probabilidade fX(x), que é

positiva e definida para todo x no intervalo I, de maneira que a

probabilidade de que a variável aleatória assuma um valor dentro de um

intervalo que vai de a a b é dada pela integral

( ) ∫=<<b

aX dxxfbXaP )( .

Esta definição implica que,

( ) ( ) ( ) ( )bXaPbXaPbXaPbXaP ≤≤=≤<=<≤=<< .

Graficamente, temos:

A probabilidade de que ocorra um evento com valor entre dois números, a e

b, é dada pela área sob a curva fX(x) entre a e b. Note que no exemplo do

gráfico assumiu-se que o intervalo I vai de 0 a ∞.

Uma função densidade de probabilidade deve satisfazer à seguinte

propriedade:

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,1)( =∫I

X dxxf

ou seja, a área total abaixo da curva fX(x) por todo o seu intervalo de

definição I deve ser igual a 1.

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a definição da probabilidade

de que a variável X esteja entre x e x + h nos dá,

( ) )(lim0

xfh

hxXxPXh

=+<<

→,

o que implica que para h pequeno podemos escrever,

( ) hxfhxXxP X )(≈+<< .

A função de distribuição acumulada FX(x) associada à densidade fX(x) é

definida por

∫∞−

=0

.)()( 0

x

XX dxxfxF

Esta definição implica que 0 ≤ FX(x) ≤ 1, que FX(x) é uma função não

decrescente do seu argumento e − pelo Teorema Fundamental do Cálculo −

que

.)()(0

0xx

XX dx

xdFxf=

=

Valor Esperado e Variância de uma Distribuição de Probabilidades

Vamos considerar uma distribuição de probabilidades para uma variável

discreta, por exemplo, o número de filhos por família. Vamos supor que

foram escolhidas N famílias aleatoriamente e que a seguinte distribuição de

probabilidades foi montada:

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No de filhos 0 1 2 3 4 5

Probabilidade 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,1

O que é cada valor de probabilidade P(i) dado? É o valor da freqüência

relativa do número de filhos i dentro da amostra escolhida. Por exemplo, o

valor de P(2) = 0,3 indica que, 30% das N famílias da amostra têm dois

filhos.

Como se calcula a média de filhos x para esta amostra? Chamando de fi a

freqüência absoluta do número de filhos i na amostra, a média é:

.5).5(4).4(3).3(2).2(1).1(0).0(ou

,543210 543210

PPPPPPx

Nf

Nf

Nf

Nf

Nf

Nfx

+++++=

+++++=

Para o caso em questão: x = 2,3 filhos por família.

Define-se o valor esperado de uma distribuição de probabilidades discreta,

designado por E(X) ou µ, como:

∑=

==n

iiXi xPxXE

1

)()( µ ,

onde n é o número de valores possíveis que a variável aleatória X pode

assumir.

Aplicando a definição de valor esperado à variável aleatória “número de

filhos por casal” e considerando que PX(0) = 0,1, PX(1) = 0,2, PX(2) = 0,3,

PX(3) = 0,2, PX(4) = 0,1, PX(5) = 0,1 e PX(x≥6) = 0, temos que

∑∞

=

==0

3,2)()(i

iXi xPxXE .

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Numericamente, o valor esperado coincide com a média de filhos por casal

para a amostra de N casais. Note, porém, a diferença conceitual entre média

e valor esperado:

• A média x de uma amostra de N elementos baseia-se explicitamente nos

resultados experimentais da amostra e é calculada como,

∑=

=N

iixN

x1

1,

sem que se precise conhecer as probabilidades de ocorrência de cada

possível valor da variável aleatória;

• O valor esperado E(X) ou µ de uma variável aleatória X é uma grandeza

teórica que depende da distribuição de probabilidades PX(x), definida

para todos os possíveis valores da variável aleatória, cujos valores, em

geral, não são conhecidos. Portanto, µ é um parâmetro característico da

variável aleatória X.

O conceito de valor esperado de uma variável discreta X pode ser

generalizado para o de valor esperado de qualquer função g(X). A função

g(X) é, por si só, uma variável aleatória que podemos chamar de Y,

assumindo valores y = g(x). Portanto,

∑=y

Y yyPYE )()( .

Note que podemos reescrever este valor esperado como

∑=x

X xPxgXgE )()())(( ,

que é uma maneira mais conveniente de se calcular o valor esperado de Y =

g(X) na prática, pois não necessita que se conheça a distribuição de

probabilidades de Y.

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Como exemplo, vamos considerar a distribuição de probabilidades de

número filhos por casal dada acima e calcular o valor esperado de g(X) = X2:

3,65.1,04.1,03.2,02.3,01.2,00.1,0)()( 22222225

0

2 =+++++==∑=

xxPXEi

iX .

Da definição de valor esperado de g(X) decorre a seguinte propriedade de

linearidade:

Se α e β forem constantes, então a variável aleatória α + βX tem o valor

esperado,

( ) ( ) ∑ ∑∑ +=+=+=+ )()()()( XExxPxPxPxXE XXX βαβαβαβα .

Voltando ao exemplo da amostra de N famílias, a variância do número de

filhos por família é calculada como:

.)5)(5()4)(4()3)(3()2)(2()1)(1()0)(0(ou

,)5()4()3()2()1()0(

2222222

2524232221202

xPxPxPxPxPxPs

xNf

xNfx

Nf

xNfx

Nfx

Nf

s

−+−+−+−+−+−=

−+−+−+−+−+−=

Para o caso em questão, temos s2 = 2,02.

Define-se a variância de uma distribuição de probabilidades discreta por:

( )∑=

−==n

iii xpxEx

1

22 )()(Var(X) σ .

O desvio padrão da variável aleatória discreta X é definido como a raiz

quadrada positiva da sua variância: 2σσ += .

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Note que a definição acima é, assim como a definição do valor esperado,

uma definição teórica. Isto implica que a variância σ2 de uma variável

aleatória X é, em geral, um parâmetro desconhecido. Porém, assim como a

média µ, ela pode ser estimada tomando-se amostras de N elementos da

variável aleatória X.

Algumas propriedades da variância que decorrem da sua definição são

(tente mostrar como exercício):

• Se X for uma variável aleatória com variância σ2 e α e β forem

constantes, então a variável aleatória α + βX tem a variância,

( ) 222 )Var(Var σβββα ==+ XX .

• A variância de uma variável aleatória X pode ser escrita na seguinte

forma mais conveniente,

( ) ( )22222 )()( XEXExPxx

X −=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑ µσ ,

de onde se obtém que

( ) 222 µσ −=XE .

Para distribuições de probabilidades contínuas, o valor esperado e a

variância são definidos por fórmulas análogas às do caso das distribuições

discretas. Apenas se substituem as somatórias por integrais:

Valor esperado: ∫+∞

∞−

== dxxxfXE X )()( µ .

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Variância: ( )∫+∞

∞−

−== dxxfXExX X )()()Var( 22σ .

Temos também que o valor esperado de uma função g(X) da variável

contínua X é dado por:

( ) ∫+∞

∞−

= dxxfxgXgE X )()()( .

As mesmas propriedades do valor esperado e da variância para o caso de

uma variável discreta se aplicam agora para o caso de uma variável

contínua.

As definições de valor esperado e de variância de uma variável aleatória,

discreta ou contínua, nos permitem provar uma desigualdade matemática de

grande importância em teoria das probabilidades e estatística, conhecida

como desigualdade de Tchebyshev.

Seja X uma variável aleatória, discreta ou contínua, com valor esperado µ e

variância σ2. Então, a desigualdade de Tchebyshev nos diz que para

qualquer constante positiva d,

( ) 2

2

ddXP σ

µ ≤≥− .

Vamos provar a desigualdade de Tchebyshev aqui para o caso de uma

variável aleatória contínua no intervalo (−∞, +∞); a prova para uma variável

aleatória discreta é essencialmente idêntica.

Pela definição de σ2,

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( )

( ) ( )

( ).

)()(

)()(

)(

2

22

22

22

dXPd

dxxfddxxfd

dxxfxdxxfx

dxxfx

d

dXX

dX

d

X

X

≥−=

+≥

−+−≥

−=

∫ ∫

∫∫

∫

−

∞−

∞+

+

∞+

+

−

∞−

+∞

∞−

µ

µµ

µσ

µ

µ

µ

µ

Deste resultado decorre a desigualdade de Tchebyshev:

( ) 2

2

ddXP σ

µ ≤≥− .