AULA 2

Março/ 2009Segunda aula

1.Conceito de variável aleatória.

2. Médias de grandezas sobres distribuições de probabilidades

3. Função característica: a partir da qual nos podemos obter os momentos

da distribuição de probabilidades.

4. Cumulantes de uma distribuição (estão relacionados com os momentos

da distribuição). Esses são obtidos por meio ‘também da função característica.

5. Função geratriz.

6. Distribuição de probabilidades conjunta.

Dinâmica estocástica e irreversibilidade

A bibliografia básica para essa aula :

Gardiner, Cap. 2

TTMJ, Cap. 1

Van Kampen, Cap. 1

1

Definição

Variável aleatória:

Define-se o intervalo de valores possíveis que a variável

pode assumir.

Especificação da probabilidade associada a cada valor

que a variável assume no intervalo definido.

1.

2.

(i) Valores discretos

(ii) Valores contínuos

2

Variável aleatória:

(i) Valores discretos

(i) Valores contínuos

(i) Variável aleatória é discreta.

Exemplo: número de indivíduos em uma certa população;

número de moléculas em uma reação química.

(ii) Variável aleatória contínua

Exemplo: valores assumidos pelo módulo da velocidade

das moléculas de um gás ideal.

3

Variável aleatória discreta

Vamos denotar essa variável de variável por: n

Vamos associar a cada valor de n

um número que denotaremos por: 0np

Tal que 1n

n

pÉ a distribuição de probabilidades

associada à variável.

4

Um átomo cujo momento de dipolo magnético se encontra

na direção z. O momento de dipolo será dado por:

Exemplo:

= -1, 1

Alfa é uma constante e sigma toma os seguintes valores

1 Se o momento de dipolo aponta na direção

de z

se o momento de dipolo aponta no sentido

oposto.

(-1)

1z

pp )1(

qp )1(

e 1)1()1( qppp

Será uma variável aleatória discreta

que toma os valores +1 e -1 e.

1

5

Especificação da probabilidade associada a cada valor

que a variável assume no intervalo definido

Variável aleatória contínua

Densidade de probabilidade

( ) 0x

( )x

( ) 1x dx Integral sobre todo o intervalo

x

0 1[ , ]x x

0 1[ , ]x x

( )x dx Probabilidade de encontrar x com valores entre x e x+dx

6

Variável aleatória contínua

Seja uma variável contínua: x

( )x dx

)(x

( ) 1x dx

que assume qualquer

Valores em um intervalo

Densidade de probabilidade

0)(x

0 1[ , ]x x

Integral sobre todo o intervalo 0 1[ , ]x x

Probabilidade de encontrar x com valores entre x e x+dx

Propriedades:

7

)()()(),,( zyxzyx pppppp

)2/exp(2/)(2

mpmp xx

zyzyxx dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223

Densidade de probabilidade de uma das componentes

cartesianas do momento linear de uma molécula.

Exemplo: Gás ideal clássico de moléculas monoatômicas contidas em

um recipiente. Cada molécula tem massa m e o sistema está a uma temperatura T.

As variáveis zyx ppp ,, são independentes e temos:

p

Observação:

Esta é uma distribuição gaussiana!

8

Distribuição gaussiana

)/2exp(2

1)( 22

2xx

2 é a variância

Distribuição de probabilidades gaussiana centrada no zero

Média =0 (curvas em vermelho, verde e azul).

)/2)exp((2

1)( 22

2xx

Distribuição de probabilidades gaussiana

centrada em

(média= )

(curvas em rosa).9

Valor médio, momentos e variância

Definições

Valor médio de uma função da variável aleatória

( ) ( ) ( )f x f x x dx

( ) ( )f x x x x dx

( )f x x

Em particular se :( )f x x

média10

1,2,3,...m

Momentos de uma distribuição:

( )m m

m x x dx x

xdxxx )(1

Momento de ordem 1: Momento de ordem 2:

22

2 )( xdxxx

Momento de ordem de : m x

Valor médio ou média

11

Variância

2222 )( xxxx

A variância é também chamada de dispersão .

Definição:

2 2 2 2( ) 2x x x x x x

Pois:

12

12

2

2

Ou seja a variância é escrita em termos dos momentos de segunda ordem

e de primeira ordem:

2 É o desvio quadrático médio.

é uma medida do grau em que os valores de x estão afastados de

seu valor médio.

Variância (continuação)

13

Exemplo: momentos da distribuição gaussiana

2 2

2

1( ) exp( /2 )

2x x

(1)

Momento de ordem 1 da distribuição gaussiana:

2 2

12

1( ) exp( /2 ) 0

2x x dx x x dx (2)

14

2 2 1exp( )

2x x dx

Deriva-se cada lado da expressão abaixo com relação a

(4)

(3)

1/ 22 2 2 2 3/ 2 2

22 2

1 1 ( )exp( / 2 ) (2 )

22 2x x dx

2exp( )d d

x dxd d

21/ 2

(5)

2exp( )x dxé uma constante positiva.

Essa é chamada de integral gaussiana.

Momento de ordem 2 da distribuição gaussiana

15

Outros momentos da distribuição gaussiana

Os momentos de ordem ímpar da gaussiana são todos nulos.

Os momentos de ordem par podem ser obtidos por derivação da integral gaussiana

com relação (ver F. Reif, “Fundamentals of Statistical and Thermal Physics”).

2 2

2

1exp( / 2 ) 1.3.5....( 1)

2

n n

n x x dx n

2exp( )x dx Integral gaussiana.

n par

16

nnn

n ndxxxx )1(....5.3.1)2/exp( 22 n par.

Portanto: 2

2

4

4 3

6

6 15

8

8 105

E assim por diante podemos escrever todos os momentos de ordem par

em função de potências da variância.

= variância (para o caso <x>=0).

17

Função característica

( ) exp( ) exp( ) ( )g k ikx ikx x dx

Definição:

Importante:

)(kg Função geradora dos momentos

Os coeficientes da expansão em série de

Taylor em k são os momentos.

18

...!3)/(!2/1)exp( 3322 kxikxixkikx

Ou seja:

0

( )exp( )

!

m

m

ixkikx

m

0

( )( ) exp( ) ( )

!

mm

m

ikg k ikx x

m

O que implica que:

1 !

)(1)(

n

n

n

n

ikkg

19

Exemplo:

2 2

2

1( ) exp( /2 )

2x x

Podemos mostrar que a função característica dessa gaussiana é:

)2/exp()( 22kkg

)exp()()exp()( ikxdxxikxkg

Utilizando a definição:

Se expandirmos essa expressão em k e usarmos a definição de g(k) em

termos dos momentos encontraremos, para esses, as

mesmas expressões que já encontramos utilizando a própria definição de momento!

Encontrar!

20

Cumulantes de uma distribuição

Definição:

Tomando-se o logaritmo de g(k) e expandindo-o em k

obtemos os cumulantes da distribuição.

•A expansão da exp(ikx) em g(k) gera os momentos.

•A expansão do ln de g(k) gera os cumulantes.

Importante:

Os cumulantes são definidos por:

1

( )ln ( )

!

n

n

n

ikg k

n

n é o cumulante de ordem n.

21

1

( )ln ( ) ln(1 )

!

n

n

n

ikg k

n

1

( )ln(1 )

!

n

n

n

ik

nPrimeiro termo da expansão em k de :

1

1 0

1

1 ( ) ( ).

( ) !(1 )

!

n n

nnn k

n

n

i k nk

ik n

n

1 01 1nn k k

1 .ik

22

1 01 1nn k k

1 0

1 1

1 ( ) ( ). { }. .

(1 0) 1!

i k nk ik

Mas

1

( )ln ( )

!

n

n

n

ikg k

n

11n ik K

1 1 1 1ik K ik K23

1

( )ln(1 )

!

n

n

n

ik

n

Segundo termo da expansão em k de :

2 2

1 0

1

1 ( ) ( 1)( ).

( ) ! 2!(1 )

!

n n

nnn k

n

n

n i n k k

ik n

n

22

2 1 0

1

1 ( ) ( ).( )

( ) ! 2!(1 )

!

n n

nnn k

n

n

n i k k

ik n

n

24

22

2 1{( 1) }2!

k

22

2 1{( 1) }2!

kSegundo termo da expansão de

1

( )ln ( ) ln(1 )

!

n

n

n

ikg k

n

Comparando com

1

( )ln ( )

!

n

n

n

ikg k

n

Temos

2 22 2

2 1 2{( 1) } ( )2! 2!

k ki K

2

2 2 1K Cumulante de segunda ordem

25

1

( )ln ( )

!

n

n

n

ixkg k

n

Expandindo em série de Taylor o logaritmo de

1

( )1

!

n

n

n

ik

n

e comparando com a definição de g(k) em termos dos cumulantes dada acima

obtemos os cumulantes em termos dos momentos:

11

13

1233 23

14

12

222

1344 612342

2 2 1

E assim por diante podemos escrever os cumulantes de ordem n como combinações

de momentos de ordem igual a n e menor que n.

n é o cumulante de ordem n.

Cumulantes de uma distribuição

26

Exemplo:

Cumulantes de uma gaussiana.

2 2

2

1( ) exp( /2 )

2x x

1 1 0

21

2

22

3

3 3 2 1 13 2 0

2 2 4 4 4

4 4 3 1 2 2 1 14 3 12 6 3 3 0

27

Função geratriz

Variáveis aleatórias discretas

28

0np

0

( ) n

n

n

G z p zDefinição

As derivadas da função geratriz estão relacionadas

com os momentos da distribuição

0,1,2,...n

29

1

0

' ( ) n

n

n

G z n p z0

' (1) n

n

G n p n

2

0

'' ( ) ( 1) n

n

n

G z n n p z

2

0 0 0

'' (1) ( 1) ( )n n n

n n n

G n n p n p n p2'' (1)G n n

3 2''' (1) 3 2G n n n

As derivadas da função geratriz estão relacionadas

com os momentos da distribuição

4 3 2'''' (1) 6 11 6G n n n n

30

Exercício

Definir a função geratriz para uma distribuição binomial e

encontrar relações entre os momentos.

n N n

n

Np q p

n

Distribuição binomial

1p q

0 1p 0 1q

31

Mostrar que a função característica dessa gaussiana é:

)2/exp()( 22kkg

Exercício

Distribuição de probabilidades conjunta

Sejam variáveis aleatórias: 1 2 3, , ,..., Nx x x x

1 2( , ,..., )Nx x x

1 2 1 2( , ,..., ) ... 1N Nx x x dx dx dx

Densidade de probabilidade conjunta de

Propriedades:

32

1 2( , ,..., ) 0Nx x x

1 2 3, , ,..., Nx x x x

N

33

Densidade de probabilidade marginal

1 1 1 2 2( ) ( , ,..., ) ...N Nx x x x dx dxÉ uma possível densidade

de probabilidade

marginal

1 1 2 1 2 3( , ) ( , ,..., ) ...N Nx x x x x dx dxÉ uma outra possível

densidade de probabilidade

marginal

34

Distribuição de probabilidades conjunta

1 2 1 2( , ,..., ) ( ) ( ) ... ( )N Nx x x x x x

Se as variáveis aleatórias são independentes então:

FIM

35