introdução à mecânica estatística...

Gás de elétrons livres

Introdução à Mecânica Estatística

29/10/2009

1

Distribuição de Fermi-Dirac

Distribuição de Fermi-Dirac

ou

também chamada função de Fermi

( )

1( )

1f

e

1

Bk T

2

Exemplo: elétrons em um metal

• Modelo do elétron livre:

“… os elétrons mais fracamente ligados aos átomos se movem

livremente através do volume do cristal ...”

C. Kittel, Introdução à Física do Estado Sólido”, Editora

Guanabara Dois, 1976, quinta edição, Capítulo 6, p. 153.

• Descrição boa para metais como:

• Be, Ag, Ca, Ba, Al, Ga, Pb

3

Densidade de orbitais (densidade de

estados)

• Elétron de massa m confinado

em um volume V

• Energia de um elétron:

2

2

pH

m

2

2 2 2

2 2 22 k k km x y z

Equação de Schrödinger

p/ partícula livre

(. ) exp( . ) exp[ ( )x y zkr i k r i k x k x k z

p imomento

4

Densidade de orbitais (densidade de estados)

• Volume Vetor de onda

. Condições periódicas de contorno:

2x xk n

L

2y yk n

L

2z zk n

L

, , 0, 1, 2,...x x xn n n

3V L ( , , )x y zk k k k

( , , ) exp[ ( ( ) )] exp[ ( )] ( , , )x y z x y zx L y z i k x L k x k z i k k x k z x y z

exp[ ( . ) ] 1xi k L

Analogamente: exp[ ( . ) ] 1yi k L exp[ ( . ) ] 1zi k L

5


• Energia associada ao orbital com vetor de onda

6

( , , )x y zk k k k

2 22 2 2 2[ ]

2 2x y zk

k k k km m

2

2 2 2

2 2 22 k k km x y z

(. ) exp( . ) exp[ ( )x y zkr i k r i k x k x k z

Relação de dispersão


Um orbital fica definido pelo vetor de onda e pela

variável de spin que para os elétrons pode assumir dois valores.

7

( , , )x y zk k k k

2 22 2 2 2[ ]

2 2x y zk

k k k km m

A cada correspondem dois orbitais

e

k

Densidade de orbitais (densidade de estados)• Espaço em duas dimensões

8

xk

yk

k

2 / L

2 / L

Um vetor de onda permitido

para o elemento de

área= 2

2 / L

vértice

A

A

Observe que A

pertence a 1, 2, 3 e 4 e

deve ser contado

somente uma vez.

Então:

1

3

4

2


9

xk

yk

zk

k

2 / L

2 / L

Um vetor de onda permitido

para o elemento de

volume=

3 32 / 8 /L V

vértice

2 / L

10

2 22 2 2 2( )

2 2x y zk

k k k km m

Número de orbitais com energia entre 0 e ( )N

xk

yk

zk

Superfície esférica de raio

1/ 2

2

2mk

//

Superfície

esférica

11

A cada correspondem dois orbitaisk


( )N

31/ 2

2

3

4 2

32

8

m

V

Volume da esfera de raio

Volume elementar

no espaço k

1/ 2

2

2mk

12


( )N3 / 2

2 / 2

2 2

2

3

V m


( )( )

dND d

13


( )( )

dND d

3 / 2

1/ 2

2 2

3 2

2 3

V m

( )D

Gás de elétrons livres / 3 dimensões

14

Propriedades termodinâmicas de um gás de elétrons livres

Definições:

Número total de elétrons

Energia interna

( )

1( )

1f

e

0

( )N f

( )D d

0

( )U f

d( )D

15

Gás de elétrons livres a T=0

( )

1( )

1f

e

À temperatura zero a função de Fermi

Se comporta da seguinte maneira:

( )f

1

0

( )f 1 se

se 0

16

Gás de elétrons livres a T=0

( )

1( )

1f

e

De fato:

0T

se então ( ) 0e e ( ) 1f

se então ( )e e

( )

( )

0

f

e

17

Gás de elétrons livres à T=0

Número total de elétrons

Energia interna

0

(1)N

( )D d

0

(1)U

d( )D

1

0

( )f

18

3 / 2

1/ 2

2 2

3 2

2 3

V m

( )D

Gás de elétrons livres / 3 dimensões

Gás de elétrons livres / 3 dimensões à T=0

0

N

d

0

U

d

3 / 2

1/ 2

2 2

3 2

2 3

V m

3 / 2

3 / 2

2 2

3 2

2 3

V m

19

Energia de Fermi

N 3 / 2

3 / 2

2 2

2

3F

V m

O potencial químico a T=0 é denominado Energia de Fermi

F

2 / 32 23

2F

N

m V

A energia de Fermi não muda com a temperatura! É uma constante para

cada material.

20

Efetuando as integrais:

N

U

3 / 2

3 / 2

2 2

2

3

V m

3 / 2

5 / 2

2 2

2

5

V m

Gás de elétrons livres/ volume V/ T=0

21

xk

yk

zk

Superfície esférica de raio

1/ 2

2

2F

mk

Fk

Superfície de Fermi

Gás de elétrons livres à T=0

À T=0 todos os estados com estão preenchidos e todos com

estão vazios.

A energia de Fermi é a energia do orbital com energia mais elevada a T=0

Fk k

Fk k

22

Capacidade Térmica Eletrônica

F B Fk T

Limite de baixas temperaturas

Mostrar que no limite de baixas temperaturas a capacidade térmica

C se comporta como: / FC AN T T

Definição

Temperatura de Fermi

FT T

Em que A é uma constante. Isto é, C é diretamente proporcional

a temperatura T no limite de baixas temperaturas.

Para o cobre 48 10FT K

23

( )

1( )

1f

e

0

( )

U f d3 / 2

3 / 2

2 2

3 2

2 3

V m

0

( )

N f d3 / 2

1/ 2

2 2

3 2

2 3

V m

A expressão para a energia interna é dada por:

A expressão para o número de elétrons é dada por:

24

Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas

( )

1( )

1f

e

3 / 2

0

( )

f d3 / 2

2 2

2

2

V mU

Temos que avaliar no limite de baixas temperaturas as

seguintes integrais:

3 / 2

2 2

2

2

V mN

1/ 2

0

( )

f d

25


( )

1( )

1f

e

21 2

0

( ) [1 ( 1) ]( 1) 6

Bk Tf d a

Mostraremos na próxima aula que:

Expressão válida para B Fk T

Expansão de Sommerfeld

26


225 / 2 15

[1 ]24

Bk T

Para obtemos as seguintes expressões para

U e N:

Expressões válidas para B Fk T

3/ 2 1/ 2 e

3 / 2

2 2

2

5

V mU

223 / 2 3

[1 ]24

Bk T3 / 2

2 2

2

3

V mN

27


223 / 2 3

[1 ]24

Bk T3 / 2

2 2

2

3

V mN

A partir da expressão para N:

podemos obter :

222 / 33

[1 ]24

F

Bk T

28


aproximando por no lado direito da equação acima e

levando em conta que:

222 / 33

[1 ]24

F

Bk T

2 / 3 2(1 ) 1 1

3

a a para a

F

Temos:

22

[1 ]12

B

F

F

k T

29


Substituindo:

22

[1 ]12

B

F

F

k T

Na última expressão para U obtemos:

2 22 2

5 / 2 5 / 2 15[1 ] [1 ]

12 24

B B

F

F F

k T k T3 / 2

2 2

2

5

V mU

Levando em conta que: 5 / 2 5(1 ) 1 1

2 a a para a

30


Obtemos a seguinte expressão para válida até ordem :

A partir desta expressão obtemos finalmente:

223 5

[1 ]5 12

B

F

F

k TU N

2

2

B

N F

U TC N k

T T

Capacidade térmica eletrônica no limite

de baixas temperaturas é linear com a

temperatura.

31

Capacidade térmica a baixas temperaturas

No regime de baixas temperaturas a capacidade térmica

eletrônica é maior do que a capacidade térmica da rede pois

nesse regime :

eletrônicoC T3fônonsC T

e

32

Capacidade térmica a baixas temperaturas

/C T versus2T

Potássio

/C T

2T

Kittel,

Introdução à

Física do Estado

Sólido

Valores

experimentais

para o Potássio

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