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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN"

PROVA DE

MECÂNICA ESTATÍSTICA I FI - 004

Professor Dr. Roberto Luzzi

MS-6 RDIDP [email protected]

Aluno de Mestrado José Ciro Rojas Quispe

RA: 011912 Grupo de Optoeletroquímica de Materiais

DFA/IFGW/UNICAMP [email protected]

Me gustaría saber cómo creó Dios este mundo. No me interesa este o aquel

fenómeno. El espectro de este o aquel elemento. Lo que quiero conocer son Sus pensamientos, el resto son detalles.

A. Einstein

Josiah Willard Gibbs Ludwig Boltzmann

Dedicado Modestamente al Profesor R. Luzzi cuya

personalidad, junto con "truques" y el "cavalho de batalha" permitió que el curso no sea tan "chato".



INDICE

PREGUNTA 1 - SOLUCIÓN

! PARTE A 2

! PARTE B 12

! PARTE C 20

PREGUNTA 2 - SOLUCIÓN

! CASO CLÁSICO 24

! CASO CUÁNTICO 29

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 34



PREGUNTA NO 1

PARTE A

Un Gas ideal de N partículas en una caja de volumen V, tiene la energía cinética

∑=

N

jjp

1)( rε , como 2/1)222()( jzpjypjxpjpjp ++== ααε rr .

Considere el sistema en contacto y en equilibrio con un reservatorio ideal a la

temperatura T. Haga el estudio más completo que pudiera de este sistema.

SOLUCION.-

! Que ensamble usamos para estudiar este sistema?

a. En el caso del Ensamble Microcanónico, se trata de un sistema aislado, no hay

intercambio ni de energía ni de materia (N y U fijos).

En el caso del Ensamble Canónico, considerado como un sistema cerrado, no

intercambia materia pero si energía (N y V fijo), además se considera que

interactúa con un foco térmico a T constante.

c. En el caso del Ensamble Gran Canónico, considerado un sistema abierto,

existe intercambio de materia y energía con su entorno (N = número de

partículas no es fijo), además interactúa con un foco térmico que actúa

además como un sumidero de partículas.

De las condiciones dadas por el enunciado del problema, determinamos que el tipo de

ensamble a considerar será el ENSAMBLE CANÓNICO, en la cual la energía interna

es una magnitud estadistica, y en donde para partículas indistinguibles la función

distribución de probabilidades es dada por:

)(exp),,()( 1 Γ−=Γ − HNVZ ββρ (2)

b


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" A continuación vamos a demostrar lo que acabamos de determinar.

! Demostración

Considerando el sistema isotérmico, desde un

punto de vista microscopico, el reservorio (R) es

un sistema mecánico, el cual, sin embargo, tiene

un GRAN NÚMERO DE GRADOS DE

LIBERTAD comparado con el sistema en estudio

(S). Supongamos que (S) y (R) consisten de N1 y

N2 partículas respectivamente, entonces, si:

N2 >> N1

el Sistema Total puede ser considerado como

aislado adiabáticamente, y así la distribución microcanonica es aplicable. Pero antes

de aplicar esta distribución al Sistema Total, veremos como esta representado, es

decir, ¿Cuál es su Hamiltonia?.

Para un sistema en contacto (S) con un Reservorio Ideal (R) a una temperatura T,

tenemos que la Hamiltoniana será dada por:

)',()'()()',( ΓΓ+Γ+Γ=ΓΓ JHHH RST (1)

HAMILTONIANA TOTAL

Donde:

)',( ΓΓJ = Potencial de interacción

Γ , Γ' es un punto en Espacio de Fases de los sistemas (S) y (R) y que corresponden

respectivamente a las coordenadas siguientes:

(q1(t),q2(t)..qN(t);p1(t),p2(t),....pN(t)) y

(q'1(t),q'2(t)..q'N(t);p'1(t),p'2(t),....p'N(t)).


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" En este punto tenemos que asumir1:

(i) Que la energía de los sistemas HS y HR siempre exceden considerablemente la

energía de interacción J. En efecto, HS y HR son proporcionales a su volumen,

mientras que J (potencial de corto alcance) es proporcional solamente a la

superficie de contacto entre los sistemas, si la energía es aditiva, pudiendo

despreciarse , es decir J(Γ, Γ') = 0.

(ii) La energía HS << Energía Total del Sistema

Así, y considerando asumir los anteriores puntos, podemos despreciar los efectos de

)',( ΓΓJ . Cabe anotar que el Reservorio debe poseer otra característica muy

importante, que es la de poseer una gran capacidad calorifica, de tal forma que su

temperatura no cambie, cuando se le agrege energía térmica, por ello, el sistema y el

reservorio alcanzan el equilibrio a la temperatura de este último, alcanzando su

ESTADO CANONICO (estandard!)2.

! Determinación de la Función de Partición

Ahora de (1) la Hamiltoniana del Sistema Total queda denotada por:

)'()()',( Γ+Γ=ΓΓ RST HHH

y como mencionamos anteriormente, la distribución microcanónica es aplicable, así la

función distribución de probabilidades es:

∆+≤Γ+Γ≤ΓΓ∀Ω

=ΓΓ−

camadaladeFueraEEHHENVE TRSTTTT

T 0)'()(//,),,(

)',(1

ρ

En donde el indice T, indica la suma de los correspondientes parametros de (S) y (R).

Luego, integrando ρT sobre la camada correspondiente a HR(Γ') obtenemos la

distribución de (S):

ρ = [ ])(1 Γ−Ω− HETET δ (2)

donde [ ] ∫ ∏ ∏∆+Γ−≤Γ≤Γ− = =

=Γ−EHEHHE

N

j

N

jjjNT

TRT

PdxdhN

HE)()'()( 1 1

333

.!1)(δ

1 ver Terletskii (1971) Cap III 2 Ver Bowley (1996) Cap. 5


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" Haremos las siguientes igualdades:

PRIMERA: ))(exp()()()( 11 TTTT ESEELnES −=Ω⇒Ω=

SEGUNDA: [ ] [ ] [ ] [ ] ))(exp()()()( 22 Γ−=Γ−⇒Γ−Γ− HESHEHELnHES TTTT δδ

Así (2) queda denotada por:

[ ] )()(exp)( 12 TT ESHES −Γ−=Γρ

En esta parte haremos uso del punto (ii) asumido lineas arriba, donde se asume que la

energía HS << Energía Total del Sistema, debido a esto se puede justificar la siguiente

expansión por Taylor:

Remplazando esto en la igualdad anterior:

∂∂

Γ−−=ΓT

TT ES

HESES 212 )()()(exp)(ρ

Aqui usando la definición de entropia :

[ ]β

δ==

∂Γ−∂

=∂∂

kTEHELn

ES

T

T

T

1)(2 donde [ ])(Γ− HELn Tδ es el número de estados

microscópicos accesibles a (R) con energía H(Γ ').

Y haciendo

))()(exp(),,( 121

TT ESESNVZ −=− β

Llegamos a la descripción de la función distribución de probabilidades como se

indico en (2):

)(exp),,()( 1 Γ−=Γ − HNVZ ββρ

[ ] [ ]TT NVT

TT ES

HESHES,

222 )()(

∂∂

Γ−≈Γ−


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" ! Determinación de la Función Partición Z

A continuación determinaremos la suma sobre los estados (Alemán:Zustandssumme)3,

tomando en cuenta para esto que la Hamiltoniana del sistema total esta dado por:

H(Γ) = jPN

j

r∑=1

α (3)

La función de partición Z para este ensamble estará dada por:

Usando coordenadas esféricas:

y como ∫ =π

πφ2

0

2d y 211cos00

=+=−=∫ππ

θθθdsen

tenemos:

(4)

haciendo la siguiente igualdad: χβα

ρχαβρ dd33

1=⇒= LL

3 Para saber más se puede visitar la dirección: http://saftsack.fs.uni-bayreuth.de/thermo/kanon.html

N

zyxjzjyjxN

N

dpdpdpPPPhN

VNVZ

++−= ∫ ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

2223 exp(

!),,( αββ

∫ ∫ ∫∏∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− =

++−=N

j

NjzjyjxjzjyjxN

VdpdpdpPPPhN

NVZ1

2223

.)exp(!1),,( αββ

N

NN

N

dddhN

VNVZ

−= ∫

∞

φθραβρρπβ )exp()4(!

),,(0

23

N

NN

N

dhN

VNVZ

−= ∫

∞

ραβρρπβ )exp()4(!

),,(0

23

∫ ∫ ∫∏∞

∞−

∞

∞−

∞

∞− =

++−=N

jjzjyjxjzjyjxjzjyjxN

dqdqdqdpdpdpPPPhN

NVZ1

2223

.)exp(!1),,( αββ


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" y remplazando esta en (4):

( ) ( )N

dN

NhN

NNVNVZ

∫∞

−

=

0exp2

331

3!

4),,( χχχβα

πβ (5)

y como [ ] 2)exp(2)exp(2)exp(2)exp( 2

0

2 =−−−−−−=−∞→

∞

∫ bbbbbLimdb

χχχ

remplazando este resultado en (5):

( ) [ ] NN

N

NN TKhN

VNVTZ 2!4),,( 3

33

3

=

απ

N

hVTk

NNVTZ

= 33

338!

1),,(α

π (6)

! Cálculo de la Energía Libre de Helmholtz

F(T,V,N) = -kTLn(Z(T,V,N) =

−

− !8

33

33

LnNh

VTkNLnkTα

π

−++

−= !38),,( 33

3

LnNNLnVNLnTh

kNLnkTNVTFα

π (7)

! Cálculo de la Entropia y de la Energía Interna

NkkLnZT

NKTNVTkLnZTFS

VN

33),,( +=+=

∂∂−=

Pero como se sabe que: F= U - TS ⇒ U= F+TS

⇒++−= NkTkTLnZkTLnZU 3 3NkT U = (8)


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" y

3NkkNZ S += (9)

! Cálculo de la Presión

P = V

NkTVNkT

VF

T

=

=

∂∂−

∴ V

NkTP = ` (10)

Que justamente es la ecuación de estado para los gases ideales, y que para T constante

en una gráfica P vs V nos da:

! Cálculo de Cv y Cp

La capacidad calorifica a volumen constante esta dada por:

⇒=

= Nk

dTdUC

VV 3 NkCV 3= (11)

Para el cálculo de la capacidad calorifica a presión constante necesitamos calcular

primero la entalpia para poder usar la siguiente relación:

CpTH

P

=

∂∂ Donde H es la Entalpia (12)

Considerando que H = U + PV = 3NkT+ NkT, entonces:


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" NkTH 4= (13)

Regresando a (12):

⇒=

∂∂= Nk

THC

Pp 4 NkC p 4= (14)

Con este último resultado podemos verificar que se cumple la siguiente diferencia:

NkCC vp =− (15)

! Verificación del Teorema de Equipartición de la Energía

Este Teorema, utilizado desde las primeras investigaciones sobre la teroria cinética de

los gases, establece, a grosso modo, que cada termino cuadrático en la expresión de un

hamiltoniano clásico produce una contribución de forma kT/2 para la energía interna

del sistema. Realicemos el cálculo para la l-ésima partícula en la dirección x:

∫∏

∫ ∏

=

=

−

−∂∂

=∂∂

N

jjzjyjxjzjyjxj

N

jjzjyjxjzjyjxj

lxlx

lxlx

dqdqdqdpdpdpP

dqdqdqdpdpdpPPHP

PHP

1

1

.)exp(

.)exp(

r

r

αβ

αβ (16)

Para simplificar las ecuaciones, igualaremos a C la integral del denominador, la cual

ya fue calculada, y cuyo resultado dio:

C= NN

hV

hVTk

=

33333

33 88βα

πα

π (17)

De (3) se sabe que:

∑= ++

=∂∂

⇒++=N

j jzjyjx

lx

lxjzjyjx

PPP

PPHPPPH

1 222

222 αα (18)

Con (18) el numerador en (16) queda:



=−−++

= ∏ ∫∫≠=

−N

lj

Njzjyjxljzjyjxl

jzjyjx

lx VdpdpdpPVdpdpdpPPPP

P

1

1

222

2

.)exp(..)exp(rr

αβαβα

[ ] =−−= ∫ ∫∫∫∞ − NN

jzjyjxl VdpdpdpPdddsensen

0

12222

0

2

0

.)exp()exp(cos rαβφθρθραβρ

ρφθρα

ππ

=

−= ∫ ∫∫∫

∞ −−N

N

VVddsend0

1

3

33

0

32

0

2 .8)exp(cosα

πβραβρρθθφφαππ

=

=

−−

∫ NN

VV1

3

34

.816.34..

απβ

αβπα

⇒===

=∂∂∴ kTPHP

lxlx ββα

βα

απβαβ

πα1

8

18

44

34

3

3

4

kTPHP

lxlx =

∂∂

(19)

Ahora, para realizar el cálculo en las direcciones y , z tomemos en cuenta que , para la

dirección x se tuvo que determinar el siguiente factor:

∫∞

−∫∫0

)exp(30

32

02cos ραβρρθ

πθ

πφφα ddsend (20)

Luego, para la dirección y, lo unico que cambia es la integral en φ pues en este caso,

aparece la integral ∫π

φφ2

0

2 dsen que tiene el mismo valor que ∫π

φφ2

0

2cos d , entonces,

considerando esto:



el producto de los resultados de estas dos integrales resulta:

π34

kTPHP

PHP

yxlyx

yxly =

∂∂

=∂∂ (21)

y para la dirección z, la parte radial se conserva, pero da lugar a las siguientes

integrales:

34cos

2

0

2 =∫ θθπ

dsen

πφπ

=∫ d0

Finalmente podemos determinar que se cumple lo siguiente:

kTPHP

yxlz =

∂∂ (22)

De los resultados obtenidos en (20), (21) y (22), podemos afirmar que se cumple el

principio de equipartición de la energía, porque cada partícula contribuye de la misma

manera en las 3 diferentes direcciones, con lo cual tenemos una energía total :

NkTU 3= (23)

! Cálculo de la Media para el Momento

C

VdpdpdpPP

P

NN

jjzjyjxll

l

−

=∏∫∫∫

=1

.)exp(rr

rαβ

(24)

Calculemos por separado:



Esto quiere decir que no existe una dirección, por la cual se moverá la partícula, con mayor probabilidad que las otras.

[ ][ ]

C

VdpdpdpPdpdpdpPPP

NN

jzjyjxljzjyjxllxlx

1)exp(.)exp(

−

∫ −−=

rrrr αβαβ

=lxPr

=−−

∞

∫∫∫ 3

3

0

23

0

2

0 8)exp(cos

πβαφθραβρ

ρφθρππ

dddsen

∫ −=

π

πβαφφπ

αβ

2

03

34

8cos.

21.)1(6 d

∴ 0=lxPr

Además se puede observar que lyP depende de la integral:

∫ ⇒=π

φφ2

0

0dsen 0=lyPr

asi como también para lxPr

dependerá de:

∫ ⇒=π

θθθ2

0

0cos dsen 0=zyPr

Entonces, determinanos que:

0=lPr

(25)

! Cálculo de la Media del Momento Lineal

( ) =−= ∫∫∫ πβααβ

8.)exp(

33

jzjyjxlll dpdpdpPPP =−∫∫∫∞

πβαφθθραβρρ

ππ

8)exp(

33

0

3

0

2

0

ddsend

ααβπ

βαπραβρρ kTdPl33

8)4())exp((

33

0

3 ==−= ∫∞

==αkTPl

3 (26)


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" Observando (26) y considerando que kT tiene unidades de energía, entonces, α tiene

que tener dimensiones de velocidad, como en el caso relativista: cEP = entonces

podemos inferir que este modelo representa sistemas del tipo de gases

ultrarelativistas, en donde tenemos la siguiente ecuación:

022 EpcE +=

con: Eo Energía de Reposo que depende de m.

Si consideramos m=0 , entonces tenemos que E=c p , es decir, que la energía del

sistema es sólo cinética, del calculo anterior vemos que kTPl 3=α , que es la media

de la energía cinética por partícula. Si nombramos a la velocidad cinética con la letra

K, la energía cinética y Ki a la energía cinética de la i-partícula, entonces vemos que,

puesto existen N partículas, entonces:

NkTK 3=

Que es la energía del sistema (considerada sólo proveniente de la velocidad del

sistema).

Del Teorema Virrial se deduce una relación para el valor medio del Hamiltoniano de

la forma:

fKTH21= Donde f = grados de libertad = 6

NKTKH 3== (27)

En relatividad se define el módulo dela velocidad en términos de Py E, esto es:

E

PcV2

=

Si tomamos los valores medios, vemos que:

⇒==αα

22

33 cNkTNkTcV c=α esto debe cumplirse para que V = c

PARTE B

Sea un gas Ideal de N Bosones a temperatura T, considere estos casos:



(i) Relación de Dispersión Parábolica mkk

2/22hr =ε

(ii) Relación de dispersión linear kk

rhr αε 2=

Obtenga en cada caso la densidad de estados )(ερ y el número de partículas )(εn

con energías en el intervalo ),( εεε d+ . Compare, discuta, de ejemplos, presente sus

conclusiones, etc.

SOLUCIÓN.-

Consideramos un gas ideal de N bosones dentro de un recipiente de volumen V,

dependiendo de la forma del recipiente podemos obtener diversas condiciones de

periodicidad para lafunción de onda que describe el estado particular del sitema de

bosones.

Por ejemplo si es una caja de volumen V, cuya arista mide L entonces la condición es

que dentro de la caja, de tal manera que la onda este contenida en un número entero

de longitudes de onda, es decir:

nλ= L (1)

donde: k = 2π/λ ⇒ ki = 2πn/L

generalizando:

ki = 2π(ni/Li) i = x, y, z (2)

Si suponemos un recipiente grande comparado con la longitud de onda λ de cada

partícula, entonces la separación de los niveles de energía se hace cada vez menor,

pudiendo ser considerados como niveles continuos de enrgía, así toda sumatoria sobre

k se puede transformar en integral, es decir:

∫ ∫ ∫∑∑∑∑ ≈⇒ dzdydxzyx nnnk

r

∫ ∫ ∫=∫ ∫ ∫⇒∑∴ zdkydkxdkzLyLxLdzdydxk 3)2(

1

π

y en coordenadas esféricas se tiene que:



kdkdV

k2

)2(∫ Ω⇒∑∴

π (3)

Si conocemos la relación de dispersión k= k(ε), entonces podemos definir:

)(εεgddk

∫ Ω⇒∑ (4)

Donde )(εg representa la densidad de estados de energía del sistema.

(i) Si la relación de dispersión es parabólica, es decir: 22

2k

mkh=ε podemos

decir que εk = ε, si cumple que:

k2 = εε dmkdkm2

2222

hh=⇒

εε dmdkm22

22

hh=

εε

dmdk 12h

=

εε

επππ

dmmVdkkdV

k

1224)2()2( 23

23 hh

r ∫∫∑ =Ω⇒∴

y así:

∫∑ = εεππ dmV 2

3

3)2(

)2(

4

h

Además sabemos que h=hπ2 , entonces, el número de estados de la partícula en el

espacio de fases es:

∴ επε

ε 23

3)2(2)( m

h

Vd

dg == ∑ (5)


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" esta se define como la densidad de estados para este caso, por ello, ahora estamos en

la condición de poder calcular la función de partición para el Ensamble Grand

Canónico.

Definimos, en primera instancia el término de fugacidad z, así:

βµexp=z (6)

Donde: kT1=β y µ es el potencial químico.

))exp(1()()( ∑ −−−==∴k

kzLnTVzLnZTVzQ βε

εβεπ ε dzLnmh

VQ ))exp(1(23

)2(32 −−−

⇒∴ ∫ (7)

En este punto, tenemos que tener cuidado al efectuar esta aproximación, pues estamos

asumiendo que no hay partícula cuando ε ⇒ 0, lo cual es falso, y es lo que vamos a

continuación a demostrar. Agragamos este termino de tal forma que:

)1())exp(1(0

23

)2(32 zLndzLnmh

VQ −−∫ −−∞−= εβεεπ (8)

Integrando por partes:

∫ −−−−

∞=⇒

0)1(

1)exp(1

23

23

32)2(3

2 zLnz

dmh

VQβε

ε εβπ

Por otro lado, calculamos el número de partículas:

N= ∑∑ −= −

k k

BE

kk z

n1)exp(

11 βε



1

.....)2

(2

5

2

3

<<≈

>++

zxsiV

NkT

TTsizzkTCλ

⇒ zz

k zd

BE

k kn−

+∑−−=∑ 11)exp(1

1βε

ε (9)

Donde: z

zNo −=

1 representa la contribución del nivel ε=0.

Ahora, considerando la siguiente función:

∫∞

−

−

−Γ=

01

1

1)exp()(1)(

xxdxx

Nzg

n

N con -1 < z < 1 y N pertence a R

Entonces:

)1()()(2

53 zLnzgVTVzQ −−=λ

(10)

)()()(2

33 zNzgVTVzN o−=λ

(11)

Estas integrales ∑∞

=≡

1N (z)g

ln

l

lz han sido estudiadas4 y tabuladas en la literatura5. Para

z pequeños, esta función se pDe esta fácilmente se puede calcular que:

P = ≈)(2/53 zgkTλ

4 J.E. Robinson, Phys. Rev,, 83, 678 (1951) 5 F. London, Superfluids, Vol II (Jhon Wily & Sons, NY, 1954). Apendice



Densidad de estados de una

partícula del tipo boson a altas

energías.

(ii) Si la relación de dispersión es:

kk

rhr αε =

es porque estamos tratando con un gas de Bosones Ultrarelativistas, recordemos la

relación de energía relativista:

kcPcr

hr

==ε (1)

En este caso α = c y podemos calcular el número total de estados en el espacio de

fases (clásico).

∫ ∫∑∞

==0

233

33 4 dPPh

Vh

PFdd πr

(2)

Pero c

ddPc

P εε =⇒= entonces:

∫∫∑∞∞

==0

233

0

223

4114 εεπεεπ dchVd

cchV

Luego:

233

4)( επε

εchV

d

dg == ∑ (3)

Cabe observar que se tiene que tener cudiado al referirnos a la cantidad de partículas

en el nivel ε = 0, puesto que en este caso puede existir un número arbitrario de

partículas por el hecho de la creación de partículas de masa residual mo (partícula y

antipartícula) pero resolvemos este problema, eligiendo arbitrariamente una cantidad

inicial, puesto que esta cantidad no influye en los cálculos físicos de propiedades

como la presión, energía interna, etc.

Elegimos z=1 para facilitar los cálculos a continuación:



Cálculo de Q(T,V)

∫∫∞∞

−=−−−=

0

3

30

23 1)exp(3

1)(

4))exp(1()(

4),(βεεεβπβεεεπ d

hcVLnd

hcVVTQ

haciendo el cambio de variable x = βε

)1(3

1)(

4),( 433g

hcVVTQ

βπ= (4)

Cáculo del Número de Partículas entre ε y ε+dε

∫∞

−=

0

2

3 1)exp()(4),(

βεεεπ d

hcVVTN hacemos x = βε y ε

βddx =1 entonces:

)1(1)(

41)exp(

1)(

4333

0

2

33g

hcV

xdxx

hcV

βπ

βπ =

−∫∞

finalmente:

)1(1)(

4),( 333g

hcVVTN

βπ= (5)

Cáculo de la Energía

U(T,V) = ∫∫∞∞

−=

− 0

3

430

3

3 1)exp(1

)(4

1)exp()(4

xdxx

hcVd

hcV

βπ

βεεεπ

obteniendose:

U(T,V) = )1(1)(

4443

ghc

Vβ

π (6)



Cálculo aproximado de Q y U

Puesto que: βPVkTPVQ ==

y comparando Q con U, resulta que:

UQUQ

33ββ

=⇒=

⇒=⇒ UPV3ββ

=

VUP

31 (7)

Ecuación de Estado

Podemos observar que eb esta relación aparece el valor 1/3 en contraste con el caso

relativista en donde aparece el valor 2/3.

Definimos gn(1)= )1(ς que tiene valores conocidos, por ejemplo:

90

)4(;302.1)3(;341.1)2/5(;6

)2(;612.2)2/3(;)1(42 πςςςπςςς ≈≈≈=≈∞→

Entonces:

903

1)(

4),(4

33

πβ

πhc

VVTQ ≈ (8)

33

1)(

4202.1),(β

πhc

VVTN ≈ (9)

EJEMPLO

Fórmula de Planck. Cavidad a Temperatura T

khPwPcrr

h =⇒==ε (10)

g(ε) = gs2

3

4 επchV con gs = 2


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" Donde gs denota la degeneración del spin.

Hacemos µ=0 (potencial químico) y el promedio del número de ocupación para una

energía ε dada es:

1)exp(

1−

=βεεn (11)

Entonces el número de fotonoes en el intervalo de energía dε esta dado por:

1)exp(

8)()(2

33 −==

βεεεπεεε ε

dchVdgndN

de la definición VNn = se obtiene:

⇒ 1)exp(

1)( 2

32 −=

ww

cdwwdn

hβπ (12)

⇒ 1)exp(

)()( 2

32 −==

ww

cdwwdn

wdw

wdUh

hh

βπ (13)

Definimos la razón de emisión de radiación definida por:

dw

wdncvVN

dtdFNdwR )(

441)(

2

===

entonces:

1)exp(4

1)(2

4 −=

ww

cwR

hβπ (14)

Fórmula para la Radiación Espectral

⇒ )(3

wwRdtdFd

Edh=

Ω ∴ )()( wwRwtsQ h= (15)



PARTE C

Considere un sistema de fermiones con energías ε en el intervalo Γ≤≤ ε0 y

teniendo una densidad de estados constante g(ε)= VG (V es el volumen, G es una

constante).

(i) ¿Cuál es el número limite de electrones que el sitema puede acomodar?

(ii) ¿Cuál es el potencial químico µ0 a la temperatura 0o K?

(iii) Expresar las condiciones de no degeneración (límite clásico) en términos de G

e µo, discutir el resultado.

(iv) Calcular aproximadamente la energía interna y el calor específico en el limite

altamente degenerado.

SOLUCION.-

(i) Como en cada estado, en un sistema de fermiones, sólo puede haber una

partícula, entonces podemos definir que el número máximo de fermiones es

exactamente igual al número de estados totales, es decir:

∫Γ

Γ==0

)( VGdgNTOTAL εε ⇒ Γ=VGMAXN (1)

(ii) Se sabe que la Energía de Fermi εF es igual al potencial químico µ, cuando

T ⇒ 0 (K) y como dentro de la superficie de fermi se encuentran todos los

estados de energía, se puede afirmar que:

∫ ==F

FVGdgNε

εεε0

)( ⇒ Pero εF = µo

Entonces:

NVG o =µ ⇒ VGN

o =µ (2)


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" (iii) La condición de no degeneración coinicide con el límite clásico, es decir que

la función de distribución de Fermi - Dirac tiene que recaer en la Estadística de

Maxwell Boltzmann. Asi vemos que:

∫Γ

=0

)()( εεε dfgN (3)

∫Γ

+−=

0 1)exp( µεβεεdVGN

y en el límite clásico exp(-βµ) >> 1

Entonces:

[ ] ∫∫ΓΓ

−≈

+−=

00 )exp()exp(1)exp()exp( µεβεε

µεβεε dVGdVGN

[ ] εµεβ dVG )exp(0∫Γ

−−≈

[ ] [ ] )exp()exp()exp(0

βµµββ

µεββ

−−−Γ−−=−−−=Γ VGVG

1)exp()exp( −Γ−−= ββµβ

VG considerando que exp(-βΓ) << 1

)exp(βµβ

VGN ≈ ⇒ N

VGβ

βµ ≈− )exp( (4)

Luego, la condición de degeneración es:

exp(-βµ) >> 1 ⇒ 1>>N

VGβ

⇒ β

VGN << (5)

(iv) El límite altamente degenerado corresponde a temperaturas mucho más bajas

que la temperatura de Fermi y adensidades altas.

En el caso T ≈ 0 podemos definir:



>≤

=−Θ≈≈ µε

µεεµε si

sin

FD

T 01

)(0

Si T= 0

entonces µ= εF

Entoces:

VGgperogdN =−Θ= ∫∞

0

)()()( εεµεε

∫ −Θ≈µ

εεµ0

)( dGV

FGVGVN εµ ≈≈ (6)

Cálculo de la Energía Interna

∫∞

−Θ≅=0

)()( εµεεε gdU

2

)2

(2

00

µεεεµµ GV

GVdGV ==≈ ∫

Finalmente 2

2 FGVU ε≅ (7)

De aqui podemos observa que :



2F

NU ε

≈ (8)

Una mejor aproximación sería suponer )12

1(22

−≈

FF

kTε

πεµ , por lo cual:

)12

1(22

−≈

FF

kTGVNε

πε

222

2 )12

1(2

−≈

FF

kTGVUε

πε

Cálculo de la Capacidad Calorifica

Procederemos ha calcular de manera aproximada la capacidad calorifica del gas de

fermiones altamente degenerados.

Así:

TkkTGVdTdUC

FFFV 2

22222 2.

12)

121(

επ

επε

−

−≅≅

)1211(

6

22

−−≈

FV

kTTGVkCεπ

FF

V

TkNNTkC

εε 66

22

−≅−≈ (Hemos supuesto que V = cte.)



PREGUNTA NO 2

Considere un sistema de N fermiones con interacción de pares de partículas del tipo

de fuerza central. Considere la interacción como débil, en el sentido de que, en valor

medio, es mucho menor que el valor medio de la energía cinética. Así en primera

aproximación los fermiones pueden ser considerados como casi independientes (casi

gas ideal).

Para este sistema, y en estas condiciones, escriva las ecuaciones de estado, via el

teorema de virial para el caso cuántico. Elabore y discuta lo máximo que pudiera.

Por ejemplo, como se obtiene el resultado clásico; cuales son y porque aparecen las

modificaciones cuánticas al resultado clásico; derive y discuta resultados asintóticos;

de los ejemplos que pudiera, usando diferentes tipos de potenciales, similar al caso

clásico existe una función de correlación de pares?, si asi fuera, ¿Cual es la

diferencia entre las dos?. Para el caso del gas ideal puro(sin interacción ninguna,

siendo que esta "presente" el seudopotencial asociado a la antisimetria de la función

de onda) ¿Se puede usar en el Teorema de Virial y a que lleva?...etc, etc, etc.

SOLUCION.-

CASO CLÁSICO

La acción se define por:

∑=

N

jjj trtP

1

)().( rr (1)

Donde )().( trytP jjrr

son los vectores de momentum lineal y posición

respectivamente, de la j-ésima partícula, así, calculando el valor medio de su derivada

temporal tenemos que:



∑∑∑===

+=N

jj

N

jjj

N

jjj rPrPrP

dtd

111

... &rrr&rrr

∑∑==

+=N

j

jj

N

jjj m

PPrF

11

..

rrrr

∑∑==

+=N

jj

j

N

jjj P

mrF

1

2

1

1.rr

con

2jjj PPP =

rr

(2)

Ahora según el Teorema de Ehrenfest:

∑∑==

=N

jjj

N

jjj rP

dtdrP

dtd

11

..rrrr

(3)

⇒ ∑∑∑===

+=N

jj

j

N

jjj

N

jjj P

mrFrP

dtd

1

2

11

1..rrrr

Cuando el sistema esta en equilibrio 0=dtds (S es la acción).

⇒ ∑∑==

−=N

jjj

N

jj

j

rFPm 11

2 .1 rr

Pero la energía cinética se define como: ∑=

=N

jj

j

Pm

K1

2

21 con lo cual:

⇒ ∑=

−=N

jjj rFK

1

.21 rr

(4)


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" Ahora, si tomamos en cuenta las interacciones que la mólecula realiza con las paredes

del recipiente que le contiene, así como las interacciones, que aunque débiles, se dan

con respecto a las demás moléculas, podemos asumir que:

INTjFC

jFjFrrr

+= (5)

Donde CjF

r : es la fuerza debida a colisiones con las paredes del recipiente

y INTjF

r: es la fuerza debida a la interaación entre partículas.

Ahora según (4) tenemos:

+−= ∑∑==

N

jj

INTj

N

jj

Cj rFrFK

11

..21 rrrr

(6)

Asumimos que INTjFr

es pequeña, de tal forma que durante las colisiones con las

paredes, la partícula no siente la influencia de las restantes, con esto en mente,

hacemos el siguiente análisis clásico:

De la 2da Ley de Newton: jj Fmvdtd =)( podemos efectuar las siguientes operaciones:

⇒ iiijj mvvvmTFmv 2)'()( =−=∆≈∆

Con θCosvv ji = y F2∆t=0, F3∆t=0

⇒ ∆tF1(Total)= ∆N.2mv1 (7)

Usando la Distribución de velocidades se tiene que:

∆N= ℑ (vj) ∆Vv = ℑ (vj). ∆s.v1. ∆t (s = área de la superficie de la

pared)

y como: ps

TotalF=

∆)(1



y ℑ (vj) )2

exp(2

223

kTmv

kTm

VN −

=

π (8)

podemos decir que:

⇒ PTOTAL ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

ℑ≅ 32121

0

)(2 dvdvdvvmv (9)

Si hacemos los siguientes cambios, en (8) ⇒2

3

2

=

kTm

VNCo π

y además que A =

kTm

2, la equivalencia (9) quedará definida asi:

∫ ∫∫∞ ∞∞

−−−=0 0

323

02

221

21

21 )exp()exp(.)exp(2 dvAvdvAvdvAvvmCo

V

NkTVC

NmkTmC

AAmC

AAAAmC

o

ooo =

=

== 2

21.

42

412

23

ππππ

⇒ V

NkTP = Que es correspondiente

al GAS IDEAL CLÁSICO

(10)

! Cáculo de la Energía Cinética Total (Caso Clásico)

Ahora, al tratarse de un gas clásico, podemos calcular fácilmente la energía cinética

total:

∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

ℑ= 3212 )(

2dvdvdvvvmV

TOTALoε



∫∫∫ −=πππ

φθθ2

0

2222

0

2

0

)exp(2

ddvdsenvAvvmV

∫∞

−=0

24 )exp(421 dvAvvmCo π

(11)

Vemos que: ∫∞

∞−

=−A

dvAv π)exp( 2

⇒ I(A) = ∫∞

==−

0

21

2

21

21)exp(

AAdvAv ππ

⇒ I'(A) = ∫∞ −

−=

−=−−

02

21

22

41.

21

21)exp(

AAAAdvAvv πππ

⇒ I''(A)

=AAAAAAA

dvAvv πππ∫∞

=

−−

=−−

02

21

224

83

41.

21

41)exp(

Entonces:

VmkT

mkT

kTm

VNm

AAmCV

oCTOTALππ

πππε

2122

3

222

2434.

83

2

==

⇒ NkTVV

NkTVmkT

mkT

kTm

VNm

TOTALC 23

2322

243 ==

= ππ

πε

Por lo que podemos observar que:

CC NUTOTAL

εε ==

⇒ PVU23= (gas ideal clásico)

(12)



Asi puesto que el término ∑=

−N

j

Cj rF

1

.21 rr

corresponde a la contribución clásica, este

entonces debe ser igual a PV23 y según (6):

∑=

−=N

jJ

INTj rFPVk

1

..21

23 rr

(13)

Analizando la Interacción Partícula - Partícula

Vemos que si Fji es la fuerza que siente j debido a la influencia de la partícula i, se

tiene:

∑≅N

ijij FFrr

21

(14)

Con: )( ijij

ji rVr

F∂∂−=

r que es en la dirección de la diferencia de ji rr

rr− , entonces

según lo obtenido en (13):

∑ ∂∂−+=

jiij

ijji rV

rrrPVk )().(

41

23 rr

PV= ∑= ∂

∂−−N

jij

ijji rV

rrrk

1

)().(61

32 rr

(15)

Así podemos concluir que la ecuación de estado clásica para un sistema con

interacción partícula-partícula considerada débil, y en donde se cumple que k >> <v>,

es:

PV= NkT + CONTRIBUCIÓN INTERMOLECULAR



donde u(t)=exp( )Htih

es la Matriz

Transformación Unitaria.

CASO CUÁNTICO

Para este caso tenemos que:

∑=

=N

jjj PrS

1

rr Donde S es el operador acción, jrr es el operador de posición y jP

r es el

operador momemtum., cada uno siendo cosiderado con sus propiedades habituales en

el espacio de Hilbert. En el equilibrio se cumple que:

0=SPTrdtd

(16)

donde iii rHrrrrr βρρ −== exp()( con i =1,....N, se define como la MATRIZ

DENSIDAD DE ESTADOS.

En la representación de Heisenberg vemos que:

)()()(

)()()(

tuPtutP

turtutr

jj

jj

⊥

⊥

=

=rr

rr

⇒ ( ) 0))().()().(()().(11

=+=

∑∑==

N

jjjjj

N

jjj tPtrtPtrTrtPtrTr

dtd ρρ &rrr

&rrr (17)

Pero vemos que:

[ ] jjj Pm

Hri

trrr

h&r 1,1)( == (18)

[ ] )(,1)( ijjjj rHii

tPr

hh

rφ∇=∇−= (19)

⇒ 0)().(1

2

=

∇+∑=

N

jijjj rtrP

mPTr ρφ

rr (20)

Si ρ es calculado en los autoestados de H entonces ρ es diagonal y se verifica que:


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" ( )[ ] )()() ρρρ BTrATrBATr +=+ (21)

Entonces en este caso tenemos que:

∑ ∑= =

∇−=

N

j

N

jijjj rtrTr

mPTr

1 1

2

)().( ρφρ rr

⇒ ∑=

−=N

jjjk FrE

1

.21 rr (22)

ENERGIA CINÉTICA

Si consideramos nuevamente la interacción partícula-partícula, entonces llegamos a

un resultado similar que el obtenido clasicamente, entonces podemos suponer que

para el caso cuántico se cumple:

( )

∂Φ∂−−= ∑ ρij

jiij

k rrrTrEPV .

61

32 rr (23)

Vemos que:

( ) '1

'11

''2

'1321 ...)exp(,...1,...,,,.....,, rrHrr

Zrrrrrrr NNN βρ −= (24)

en donde: ∑ ∑= =

Φ+≡Φ+∇−=N

j

N

jikijj Er

mH

1

2 )(21

2rh (25)

Así como cada partícula interacciona con las N-1 partículas podemos recurrir al valor

medio de la contribución dada por la interacción y calcularla de forma aproximada

mediante la Estadística de Fermi-Dirac:



Es decir que: )(.)1(61

ijij

ij rr

rNNNkTPVr

rv

∂Φ∂−−=

⇒ ),,(

..))(exp(

)(.NVTZ

rrHd

rr

r ijij

ijij

ij

∂Φ∂Γ−Γ

=∂Φ∂ ∫ β

rr

v (26)

Donde Z(T,V,N) = ZEk.ZΦ , ZEk = ZEk.(N.T) , ZΦ= ZΦ (N.V.T)

⇒ ))(exp(.1.1

3 rr

rdrZr

rN

k ijijk

ijij Φ−

∂Φ∂=

∂Φ∂

∫∏=Φ

βrr

v (27)

Donde: ∑=≠

−Φ=ΦN

jijij rrr

11 )(

21)( rrr y ∫∏

=Φ Φ−=

N

jj rrdNVTZ

1

3 ))(exp(),,( β

Ahora, para resolver la integral de (27) usamos la FUNCIÓN DE CORRELACIÓN

DE PARES:

)()()exp(),,(

),( ''2

'32

''' rrrrrrdNVTZ

Vrrg krrrrrr

−−−= ∫∏Φ

δδβ (28)

⇒ PV = NkT - ∫ ∫

∂Φ∂Ω−

rrrrgdrdkd

VNN )()()1(

61 33

2 (29)

Considerando interacciones débiles, es decir que: kTrV ij <<)( (30)

⇒ ∫

∫Φ−

Φ−

∂Φ∂

−≈))(exp(

))(exp(

6122

31

3

1212

1223

13

2

rrdrd

rr

rrdrdNNkTPV

β

β

⇒ ∫

Φ−

∂∂

−−≈ ))(exp(11

6 1212

1223

13

2

2

rr

rrdrdV

NNkTPV ββ



Como Φ << kT ⇒ exp(-βΦ) = exp )(1 12rkT

Φ−≈

Φ− β

Entonces:

∫ ∂Φ∂+≈r

drrV

NNkTPV 32 4

6π

De esta forma obtenemos de manera aproximada la Ecuación de Estado:

∫ ∂Φ∂+≈r

drrV

NNkTPV 32 4

6π

(31)

EJEMPLOS

(A) Un potencial tipíco de interacción molecular es el conocido potencial de

Lenard-Jones, el cual es representado por:

−

Φ=Φ=Φ6

012

00 2)(

rR

rR

r

Vemos que:

−

Φ−=Φ

50

110

200 1212

rR

rR

rR

drd

−

Φ−= 1

12 60

7

600

rR

rR (32)

Entonces:

∞∞∞

+−Φ−=

−Φ−=Φ

∫∫0

00

511

606

00410

606

003 410

12112RRR rr

RRdr

rrR

Rdrddrr

Φ−=

−+Φ−= 50

6005

011

0

606

00612410

12R

RRR

RR

0

072RΦ

−=


INSTITUTO DE FÍSICA "GLEB WATAGHIN" Finalmente:

Φ−+≈

0

02

2 722RV

NNkTPV π

con R0 <<1

(B) Para el caso de una Partícula Libre Φ(r) = 0 y llegamos obviamente a la

ecuación de estado del Gas Ideal:

NkTPV ≈

(C) Para el caso en donde el potencial de interacción es constante, también

llegamos a la ecuación de estado de Gas Ideal, puesto que en este caso 0=Φdrd .

(D) En el caso en que Φ(r) α 1/r2 ⇒ 3

1rdr

d −Φα

Entonces:

cteVNNkTPV .2 2π+≈ Ecuación tipo van der Waals

Notemos que clásicamente las variables dinámicas (tales como: energía,

momento líneal, angular, etc.) son funciones de estados del sistema dinámico,

es decir, estan definidas para un estado dado, el cual esta completamente

caracterizado por un punto del espacio de fase del sistema dinámico Γ(t). En

cambio en mecánica cuántica el estado esta caracterizado por una función de

onda perteneciente al espacio de Hilbert y las variables dinámicas expresadas

como operadores hermitianos actuando sobre H. Es así como al predecir los

posibles valores que puedan tomar las variables dinámicas estamos tomando

una media sobre un ensamble del sistema, puesto que ahora no se comportan

como funciones de estado estrictas, por el principio de incertidumbre cierto

tipo de mediciones requieren sólo del valor más probable, puesto que es

imposible medirla con total exactitud, a diferencia que en mecánica clásica.



BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

! Huang, Kerson (1963) Statistical Mechanics. John Wiley & Sons, New York .

! Pathria, R. K. (1972) Statistical Mechanics. Pergamon Press, New York.

! Mohling , Franz (1982) Statistical Mechanics Methods and Applications. John

Wiley & Sons, New York .

! Luzzi, Roberto (1999) Mecânica Estatística Vol I y II. IFGW. Universidade

Estadual de Campinas. SP

! Bowley, Roger, Sanchez Mariana (1996) Introductory Statistical Mechanics.

Calrendon Prees, Oxford.

! Salinas, Silvio R. A. (1997) Introdução à Física Estatística. Editora da

Universidade de São Paulo. SP.

! Terletskii, Ya. P. (1971) Statistical Physics. North-Holland Publishing Company.

Amsterdam

! Thermodynamik and Statistische Physik ONLINE SKRIPT: http://saftsack.fs.uni-

bayreuth.de/thermo/skript.html

universidade estadual de campinas instituto de fÍsica … fileuniversidade estadual de campinas...

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