dinamica do ponto material

8 – DINÂMICA DO PONTO MATERIAL – 2ª Lei de Newton MECÂNICA GERAL

Área Científica de Física – DEEA – ISEL 1

8 – DINÂMICA DO PONTO MATERIAL - 2ª LEI DE NEWTON

Teoria - Consultar “Mecânica Vectorial para Engenheiros / Dinâmica”, de Beer e Johnston, 6ª edição da McGraw Hill: - Cap. 12, pg. 667-674, 676-701 (Cinética das partículas: segunda Lei de Newton) Problema-tipo 12.3 pg. 677 Beer e Johnston, 2º T 1ºS-2000/01: 8.1 – Os blocos A e B da figura partem do repouso. As polias C e D e os cabos têm massas desprezáveis. Os cabos são inextensíveis. As forças de atrito são desprezáveis. a) Mostre que a aceleração do bloco A é o dobro da aceleração do bloco B. b) Faça os diagramas de corpo livre dos blocos A e B e da polia C. c) Determine o módulo da aceleração de cada bloco e a intensidade da tensão nos diferentes segmentos dos cabos. R: c) 408,aA = m/s2; 204,aB = m/s2; 840=== CDDCAD TTT N; 1680=CBT N. Problema-tipo 12.5 pg. 679 Beer e Johnston: 8.2 – Um pêndulo simples com 2 m de comprimento descreve um arco de circunferência no plano vertical. Sabe-se que, para a posição representada, a força exercida na corda é igual a 2,5 vezes o peso do pêndulo. Calcule o módulo da velocidade e da aceleração do pêndulo nessa posição. R: 665,v = m/s; 7616,a = m/s2. Problema-tipo 12.6 pg. 679 Beer e Johnston: 8.3 – Considere a curva de uma estrada com raio R=122 m compensada com um ângulo θ=18º. A velocidade de segurança numa curva compensada é a velocidade para a qual o carro não sofre a acção de qualquer força lateral nas suas rodas. Determine: a) a velocidade de segurança nesta curva; b) a velocidade máxima de um carro para não derrapar, se o coeficiente de atrito estático entre o piso e os pneus (em mau estado) for 0,30; c) a velocidade mínima do mesmo carro para não derrapar; d) o máximo ângulo de compensação da curva, para o qual o carro parado não escorregava. R: a) 71 km/h b) 104 km/h c) 19 km/h d) 16,7º. 1º EX 2ºS-96/97, 1º EX 1ºS-99/00: 8.4 - Um fio inextensível, de massa desprezável e comprimento L, está preso no ponto O e está ligado, na outra extremidade, a um corpo de massa m que roda em torno da direcção vertical, com velocidade angular constante ω. a) Faça o diagrama de corpo livre do corpo de massa m. b) Decompondo as forças que actuam sobre o corpo, nas componentes horizontal e vertical, mostre que )/(cos 2Lg ω=θ , onde θ é o ângulo entre o fio e a vertical.

O

θ

R

L

m



2º T 2ºS-96/97, 2º T 1ºS-99/00: 8.5 – O piloto de uma moto do “poço da morte” da Feira Popular propõe-se conduzir a moto à velocidade de 64,4 km/h, numa trajectória circular horizontal, sobre a parede vertical do poço. Determine o coeficiente de atrito estático mínimo entre os pneus e a parede para isso ser possível. Suponha que o poço é cilíndrico com 15,2 m de raio e que o centro de massa do sistema piloto-moto está a 0,610 m da parede do poço. NOTA – A força de atrito estático relevante para a resolução do problema é a que impede a moto de cair ao longo da parede. R: 0,45. 2º T 1ºS-97/98: 8.6 - Considere um pêndulo, com o comprimento de 1,0 m, constituido por uma massa de 0,5 kg suspensa num fio muito leve e inextensível que oscila num plano vertical. Despreze a resistência do ar. a) Faça o diagrama de corpo livre da massa suspensa, quando o fio forma um ângulo θ com a vertical. b) Decompondo as forças que actuam sobre a massa nas componentes tangencial e normal, determine a expressão da aceleração tangencial e da aceleração normal da massa em função do ângulo θ e da tensão T do fio. c) Calcule a aceleração angular e a velocidade angular do pêndulo, quando o fio forma um ângulo de 30º com a vertical e a tensão no fio é o dobro do peso da massa pendular. d) Qual é o valor de θ para o qual a tensão no fio é máxima? Porquê?

R: b) θ±= singat ; θ−= cosgmTan c) 94,±=α rad/s2; 33,=ω rad/s d) 0º.

1º EX 1ºS-97/98: 8.7 - Considere a curva de uma estrada, com o raio de 80,0 m, percorrida por um carro de 1000 kg. O coeficiente de atrito estático exercido pelo pavimento sobre o carro é 0,5. a) Calcule o ângulo da inclinação da curva, sabendo que o carro a descreve à velocidade de 150 km/h sem derrapar e sem sofrer atrito lateral. b) Se a curva não tivesse inclinação, qual seria a velocidade máxima a que o carro a conseguia descrever, sem derrapar? R: a) 65,7º b) 71,3 km/h. Problema 12.123 pg. 724 Beer e Johnston, 2º EX 1ºS-97/98: 8.8 – Os blocos A e B representados na figura têm massas de 30 kg e de 15 kg, respectivamente. O coeficiente de atrito cinético entre todas as superfícies planas em contacto é 10,c =µ 0. O ângulo do plano inclinado com a horizontal é

º30=θ e a intensidade da força aplicada em A é 250=F N. Despreze a massa e o atrito da roldana, assim como a massa do fio. a) Represente o diagrama de corpo livre de cada um dos blocos. b) Determine o módulo da aceleração dos blocos e a intensidade da tensão no fio. R: b) 25,a = m/s2; 3215,T = N.

θ 1,0 m

0,5 kg



R

2º T 2ºS-97/98: 8.9 - Considere uma curva de uma estrada com um raio R = 120 m e uma inclinação θ = 18o. a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o automóvel que descreve a curva, admitindo que existe atrito lateral entre os pneus e a estrada. b) Escreva as equações do movimento do automóvel, para a situação que representou em a). c) Determine a velocidade que o automóvel deverá ter para que não exista força de atrito lateral sobre os pneus. R: c) 19,5 m/s. 1º EX 2ºS-97/98: 8.10 - O comboio francês de alta velocidade (TGV) atinge a velocidade máxima de 382 km/h. Para a colina mostrada na figura, determine: a) o valor mínimo do raio R para que o comboio não perca o contacto com a colina, quando a percorre com a velocidade máxima; b) a força exercida pela poltrona sobre um passageiro de 80 kg, quando o comboio passa pelo topo da colina a uma velocidade de 270 km/h. R: a) b) 2º EX 2ºS-97/98: 8.11 - Um corpo está assente sobre a extremidade de uma tábua horizontal. Inclinando lenta e progressivamente a tábua, verifica-se que, quando a inclinação de 24º é atingida, o corpo começa a deslizar com uma aceleração de 2,2 m/s2. a) Escreva as equações do movimento, imediatamente antes de o corpo começar a deslizar. Determine o coeficiente de atrito estático máximo. b) Escreva as equações do movimento, depois de o corpo começar a deslizar. Determine o coeficiente de atrito cinético. R: a) 0,45 b) 0,20. Problema 12.46 pg.690 Beer e Johnston, 2º T 1ºS-98/99: 8.12 – Um carro desportivo de 1089 kg, deslocando-se à velocidade de 161 km/h, perde o contacto com a estrada no instante em que alcança o topo A da colina mostrada na figura. Determine: a) o raio R da curvatura do perfil vertical da estrada em A; b) a força exercida pelo assento de um outro carro de 1406 kg, que se desloca à velocidade de 80,5 km/h, sobre um passageiro de 72,6 kg, ao passar pelo ponto A da mesma colina. R: a) 204,1 m b) 533,6 N ↑. Problema 12.52 pg.691 Beer e Johnston, 1º EX 1ºS-98/99: 8.13 – Um carro percorre uma curva de 40 m de raio que tem uma inclinação lateral =θ 10º. O coeficiente de atrito estático entre os pneus e o piso é 700,e =µ .



a) Faça o diagrama de corpo livre do carro. b) Determine a velocidade máxima do carro para não derrapar ao descrever a curva. R: b) 2º T 2ºS-98/99, 2º T 1ºS-2003/04: 8.14 – O bloco da figura, com massa de 6,0 kg, roda sobre a superfície cónica sem atrito, dando constantemente 10 voltas por minuto. A distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa do bloco é L = 2,0 m. O cone tem uma semi-abertura de 15º. Trate o bloco como um ponto material e determine: a) o módulo da velocidade linear, v, do bloco; b) a intensidade da tensão, T, no fio e a reacção, N, exercida pela superfície cónica sobre o bloco; c) a velocidade angular, ω, que seria necessário imprimir ao bloco para que a reacção da superfície cónica fosse nula. R: a) 0,54 m/s b) T=57,7 N; N=11,9 N c) ω ≥ 2,25 rad/s. Problema 12.10 pg.683 Beer e Johnston, 1º EX 2ºS-98/99, 1º EX 2ºS-99/00: 8.15 - Uma caixa, de massa 020,m = kg, estava em repouso sobre um plano inclinado, quando sofreu a acção da força R . O coeficiente de atrito cinético entre a superfície e a caixa é

300,c =µ . a) Determine o módulo da aceleração da caixa, sabendo que ela percorreu os primeiros 5 m sobre o plano inclinado em 10 s. b) Desenhe o diagrama de corpo livre da caixa. c) Escreva as equações do movimento da caixa. d) Determine a intensidade da força R . R: a) 0,10 m/s2 b) 301 N. 2º EX 2ºS-99/00, 2º T 2ºS-2000/01: 8.16 – Um bloco de massa 02,m = kg está sobre um plano inclinado a 20º. O coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é 400,e =µ . Uma corda leve, presa ao bloco numa das pontas, faz um ângulo 50=θ º com o plano e passa por uma roldana de massa desprezável e sem atrito. A outra ponta da corda é puxada com uma força T que cresce lentamente. Trate o bloco como um ponto material. a) Faça o diagrama de corpo livre do bloco quando T = 0. b) Quando T = 0, o bloco permanece em repouso ou escorrega no plano? Justifique a resposta. c) Calcule a intensidade mínima de T , na iminência de o bloco subir o plano. (Comece por fazer o diagrama de corpo livre do bloco nesta situação). R: b) permanece em repouso c) 814,T⟩ N.

2,0 m

6,0 kg

15º



1º EX 1ºS-2000/01, 1º EX 1ºS-2002/03: 8.17 – A curva de uma pista de corridas tem o raio de 200 m. Quando um carro percorre esta curva à velocidade de 180 km/h, não se exerce qualquer força de atrito lateral sobre as rodas. a) Determine o ângulo de inclinação da pista, na curva. b) Sabendo que um dado carro começa a derrapar na curva quando a velocidade atinge

os 320 km/h, determine o coeficiente de atrito estático entre a pista e os pneus. c) Determine o ângulo máximo de inclinação que a pista deveria ter para que o mesmo

carro, parado na curva, não escorregasse. R: a) 51,9º b) 0,45 c) 24,2º. 2º EX 1ºS-2000/01: 8.18 – Um bloco de 360 kg está a deslocar-se sobre um plano (com a inclinação de 30º) com uma velocidade constante de 1,2 m/s, puxado por um cabo inextensível (ligado a um motor) que exerce a tensão constante de 3333 N. a) Determine o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano. b) Se num dado instante cortarmos o cabo, o bloco acabará por descer o plano. Determine o módulo da aceleração do bloco na descida. c) Determine o tempo que o bloco leva a percorrer 1,0 m sobre o plano inclinado, no sentido descendente, após iniciar a descida referida em b). R: a) 0,51 b) 0,57 m/s2 c) 1,9 s. Problema 12.36 pg. 688 Beer e Johnston, 1º EX 1ºS-2000/01, 1º EX 1ºS-2001/02: 8.19 - Durante a prática do lançamento do martelo, a esfera A de 7,1 kg roda com uma velocidade de módulo constante v, segundo um círculo horizontal, como mostra a figura. Sabendo que R=0,93 m e θ=60º e tratando a esfera como um ponto material: a) determine a tensão no cabo CB; b) determine o módulo da velocidade da esfera; c) prove que a velocidade não depende da massa da esfera. R: a) 80,3 N b) 2,29 m/s. Problema 12.37 pg. 688 Beer e Johnston, 2º T 1ºS-2001/02: 8.20 – A bola A de massa m=450 g descreve uma trajectória circular horizontal, com uma velocidade de módulo constante v=4,00 m/s. Use eixos de referência instantâneos: um vertical e o outro horizontal dirigido para o centro da trajectória. Determine: a) o ângulo θ entre a corda e o mastro; b) a intensidade da tensão, T, exercida na bola pela corda. R: a) 49,9º b) 6,84 N.

R



Problema 12.127 pg. 725 Beer e Johnston, 2º T 2ºS-2001/02: 8.21 – A figura mostra uma haste semi-circular que roda em torno do eixo vertical AB com uma velocidade angular constante de 6 rad/s. O cursor C, considerado pontual, tem a massa de 200 g. Durante a rotação da haste, o cursor C fica encostado à face interior da haste e poderia deslizar ao longo desta. No entanto, devido ao atrito, o cursor mantem-se em º90=θ (no plano horizontal) enquanto a haste roda. a) Desenhe o diagrama de corpo livre para o cursor. b) Desenhe um 2º diagrama do cursor onde indica o vector am (sendo a a aceleração do centro de massa do cursor). c) Determine a força de atrito necessária para que o cursor se mantenha em º90=θ enquanto a haste roda. d) Determine o valor mínimo do coeficiente de atrito estático entre a haste e o cursor, para que se verifiquem as condições da alínea anterior. R: c) 1,96 N d) 0,454. Problema 12.42 pg. 689 Beer e Johnston, 1º EX 2ºS-2001/02: 8.22 – A figura apresenta um corpo C de massa m = 5,4 kg que roda com velocidade constante segundo o círculo horizontal mostrado. Sabe-se que os fios CA e CB estão esticados e que a tensão no fio CB é de 9 N. a) Desenhe o diagrama de corpo livre do corpo C, considerado pontual. b) Desenhe um segundo diagrama do corpo onde indica o vector am , sendo a a aceleração. c) Determine a intensidade da tensão no fio CA. d) Determine o módulo da velocidade do corpo C. R: c) 80 N d) 3,0 m/s. Problema 12.38 pg. 688 Beer e Johnston, 2º T 1ºS-2002/03: 8.23 – Um arame ACB, de massa desprezável e comprimento igual a 2,032 m, passa por um olhal em C que está ligado a uma pequena esfera, que roda com uma velocidade de módulo constante v, segundo um círculo horizontal como mostra a figura. A tensão é a mesma nos dois segmentos de arame e θ1=60º e θ2=30º. a) Desprezando o raio da esfera, isto é, considerando-a pontual e situada em C, mostre que o raio da trajectória circular da esfera é

644,0R = m. b) Desenhe o diagrama de corpo livre da esfera pontual. Desenhe um segundo diagrama da esfera pontual onde indica o vector am , sendo a a aceleração. c) Determine o módulo da velocidade, v, da esfera. R: c) 2,51 m/s.



2º T 2ºS-2002/03: 8.24 – O corpo B, de massa 0,5m = kg, roda com velocidade constante descrevendo uma trajectória circular e horizontal em torno da haste vertical. Os fios BA e BC, ambos com o comprimento de 0,1 m, estão esticados e formam dois lados de um triângulo equilátero. Nesta situação a tensão no fio BA é de 150 N. Considere o corpo B pontual. a) Desenhe o diagrama de corpo livre do corpo B. b) Escreva as equações da dinâmica do corpo B. c) Determine a intensidade da tensão no fio BC. d) Determine a velocidade angular do corpo B e o tempo que leva a dar uma volta completa. R: c) 52 N d) 4,6=ω rad/s; 99,0t = s. 1º EX 2ºS-2002/03: 8.25 – A curva de uma pista de corridas tem o raio de 250 m. Quando um carro percorre esta curva à velocidade de 195 km/h, não se exerce qualquer força de atrito lateral sobre as rodas. a) Determine o ângulo de inclinação da pista, na curva. b) Sabendo que o carro começa a derrapar na curva quando a velocidade atinge os 295 km/h, determine o coeficiente de atrito estático entre a pista e os pneus. c) Determine o ângulo máximo que a inclinação da pista poderia ter para que o carro não escorregue quando está parado na curva. R: a) 50,1º b) 0,36 c) 19,8º. 1º EX 1ºS-2003/04: 8.26 – Um bloco com massa de 20 kg estava em repouso sobre um plano com a inclinação de 20o. Quando fica sob a acção da força horizontal R , o bloco é obrigado a subir o plano com uma aceleração de 0,10 m.s-2. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 30,0c =µ . Trate o bloco como um corpo pontual. a) Represente o diagrama de corpo livre do bloco antes da aplicação da força R e determine a intensidade da força de atrito estático entre o plano e o bloco parado. b) Represente o diagrama de corpo livre do bloco após a aplicação da força R e determine a intensidade da força R . R: a) 67 N b) 148 N.

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