96706595 1aula mov ret ponto material

CINEMTICA DO PONTO MATERIAL

Mecnica: estuda os movimentos dos objetos e

as foras que os provocam. Divide em cinemtica

e dinmica.

Cinemtica: estuda o movimento dos objetos,

relacionando posio, velocidade, acelerao e

tempo, sem referncia as causas do movimento.

Dinmica: estuda a relao entre as foras que

atuam em um corpo e o seu movimento. Pode-se

prever o movimento causado pelas foras

aplicadas em um corpo.

Mecnica clssica ou newtoniana: baseia-se nas

leis de Newton.

Mecnica quntica ou ondulatria: estuda os

fenmenos ocorrentes com partculas, molculas

e tomos.


Reologia: estuda as propriedades e o

comportamento mecnico dos corpos

deformveis que no so nem slidos nem

lquidos.

Galileu (1564-1642): primeira contribuio ao

estudo do movimento (cinemtica).


Newton (1642-1727): formulou as leis

fundamentais do movimento (dinmica).

Movimento do ponto material: dizer que um corpo

analisado como ponto material significa que

apenas seu movimento, como um todo,

considerado, isto , a rotao ignorada.

Movimento do corpo rgido: o movimento de

rotao no pode ser desprezvel. O corpo no

pode ser considerado como um ponto material.


Grandeza fsica o nome atribudo a tudo aquilo

que pode ser medido por um instrumento.

Exemplos: Temperatura; tempo, volume, etc..

Tipos de grandezas:

1) Grandezas escalares

2) Grandezas vetoriais


Grandezas escalares: so as grandezas que

ficam determinadas quando se conhecem a sua

intensidade (que um nmero positivo

acompanhado de uma unidade).

Exemplo: Temperatura, volume, densidade, etc.

Grandezas vetoriais: so as grandezas que ficam

determinadas pela intensidade e por uma

orientao espacial (que a direo e sentido).

Exemplo: Fora, deslocamento, velocidade, etc.


MOVIMENTO RETILNEO DE UM PONTO MATERIAL

POSIO, VELOCIDADE E ACELERAO

No movimento retilneo de um ponto material, as

grandezas: posio, velocidade e acelerao tm

uma direo conhecida e fixa, necessitando-se

somente especificar o sentido e o mdulo. Isto

pode ser indicado usando-se uma quantidade

escalar com sinal positivo (+) ou negativo (-).

Posio: depende de um referencial

Velocidade escalar mdia

s

m

t

xv

0: xinicialposiodeCoordenada

xfinalposiodeCoordenada :

0: xxxtoDeslocamen

Velocidade escalar instantnea

s

m

dt

dx

t

xvv

ti

0lim

0xx

P 'P



- A velocidade escalar V representada por um nmero real, positivo, negativo ou nulo.

OBSERVAES

- Um valor positivo de V indica que X aumenta, isto , que o ponto material se desloca no sentido positivo da trajetria.

- Um valor negativo de V indica que X diminui, isto , que o ponto material se desloca no sentido negativo da trajetria.

P V > 0

X

P V < 0

X

Acelerao escalar mdia:

2s

m

t

va


Acelerao escalar instantnea:

20lim

s

m

dt

dv

t

va

t

22

2

s

m

dt

xd

dt

dva

- A acelerao escalar a representada por um nmero real, positivo, negativo ou nulo.

OBSERVAES


- Um valor positivo de a indica que V est aumentando, isto significa que: o ponto material se desloca cada vez mais rapidamente no sentido positivo da trajetria ou que ele se desloca dada vez mais lentamente no sentido negativo da trajetria.

P V

X

P V

a > 0

P V

X

P V

a > 0


- Um valor negativo de a indica que V est diminuindo, isto significa que: o ponto material se desloca cada vez mais lentamente no sentido positivo da trajetria ou que ele se desloca dada vez mais rapidamente no sentido negativo da trajetria.

P V

X

P V

a < 0

P V

X

P V

a < 0

Determinao do Movimento do Ponto Material


O movimento de um ponto material conhecido

se sua posio conhecida para cada valor de t.

Na prtica, o movimento de um ponto material

raramente definido por uma relao entre

posio e tempo. Muitas vezes, o movimento

caracterizado pelo tipo de acelerao que o

ponto material possui.

Exemplo:


Um corpo em queda livre possui

acelerao constante (9,81m/s2)

dirigida para baixo. Em geral, a

acelerao de um ponto material pode

ser expressa em funo de uma das

diversas variveis t, X e V.

Investigao da acelerao de um ponto

material em funo de uma das diversas

variveis:

1. Acelerao em funo do tempo

2. Acelerao em funo da posio

3. Acelerao em funo da velocidade


t

t

t

t

v

v

dttavvdttadvdttadv

000

)()()( 0

Deve-se conhecer as condies iniciais

1. Acelerao em funo do tempo: )(ta

t

t

t

t

x

x

dttvxxdttvdxdttvdx

000

)()()( 0

00 xev


dxxadvvdx

dvvxa

dt

dx

dx

dv

dt

dvxa )()()(


2. Acelerao em funo da posio )(xa

x

x

x

x

dxxavvdxxadvv

000

)(2

1

2

1)( 20

2

00 xe

x

x

t

txv

dxdttt

xv

dxdt

dt

dxxvComo

00)()(

)( 0


v

v

t

tva

dvdttt

va

dvdt

dt

dvva

00)()(

)( 0


3. Acelerao em funo da velocidade )(a

v

v

x

xva

dvvdxxx

va

dvvdx

dx

dvvva

00)()(

)( 0

00 xev



OBSERVAO

Como a derivada de uma funo mede a

inclinao da curva correspondente, tem-se:

- a inclinao da curva x versus t, para qualquer

instante de tempo dado, igual ao valor de V

nesse instante;

- a inclinao da curva V versus t, para qualquer

instante de tempo dado, igual ao valor de a

nesse instante;


EXERCCIOS

1) Um ponto material que se desloca em linha

reta, de modo que sua posio seja definida por

x=(6t2-t3), onde t expresso em segundos e x expresso em metros. Nesta condies pede-se:

a) a equao da velocidade e da acelerao do

ponto material em funo do tempo;

b) Esboce os grficos: x versus t ; V versus t ; a versus t para 0 t 8; c) Faa uma anlise dos grficos.

R.: a) V = 12t - 3t2 e a = 12 - 6t


2) Um ponto material se move segundo

uma linha reta, de forma que por um curto

perodo de tempo sua velocidade definida

por v= (3t2+2t) m/s, onde t expresso em segundos e t0. Considere que quando

t=0, x=0. Nesta condies pede-se: a

posio e a acelerao do ponto material

quando t=3s.

R.: x = 36m e a = 20m/s2


3) Aposio de um ponto material que se

desloca em linha reta definida pela relao:

x= t3-6t2-15t+40, onde x expresso em metros e t em segundos e t0. Pede-se: a) o instante em que a velocidade ser nula;

b) a posio e a distncia percorrida pelo

ponto at esse instante;

c) a acelerao do ponto nesse instante;

d) a distncia percorrida pelo ponto de t=4s a

t=6s.

R.: a) t=5s; b) x5=-60m e (x5-xo)=-100m

c) a5=18m/s2 d)18m


4) Um pequeno projtil lanado

verticalmente para baixo em um fluido com

velocidade inicial de 60m/s. Devido

resistncia do fluido, o projtil sofre uma

desacelerao que pode ser representada

por a=(-0,4V3) m/s2 , onde V expresso em m/s. Neste sentido pede-se a velocidade e a

posio do projtil aps 4s de seu

lanamento.

R.: v = 0,559 m/s e

x = 4,43 m

0

y


5) De uma janela de um prdio, localizado a 20m

acima do solo, arremessa-se, verticalmente para

cima, uma bola, com velocidade de 10m/s.

Sabendo-se que a acelerao da bola constante

e igual a 9,81m/s2, para baixo. Pede-se:

a) a velocidade V e a elevao Y da bola, relativamente ao solo, para qualquer instante t; b) a mxima elevao atingida pela bola e o

correspondente instante t; c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua

correspondente velocidade. Esboce os grficos

Vxt e Yxt.


6) Durante um teste um foguete movimenta-se para cima e

seu motor falha ao atingir 40 m do solo e velocidade de 75

m/s. Durante o tempo em que o foguete est em

movimento, ele sobe com uma acelerao constante para

baixo de 9,81 m/s2 devido a gravidade. Desprezando o

efeito da resistncia do ar, determine a altura mxima

alcanada pelo foguete e sua velocidade no instante

imediatamente antes de tocar o solo.

R.: a) altura mxima = 327 m e V = 80,1 m/s

R.: a) V = 10 - 9,81t e Y = -4,90t2 + 10t + 20

b) t = 1,02 s e Y = 25,1 m

c) t = 3,28 s e v = - 22,2 m/s


7) A acelerao de um ponto material proporcional ao

tempo t. No instante que t=0, a velocidade v=-9m/s e a

a=0. Sabendo-se que v=0 e x=12m quando t=3s, escreva

as equaes que caracterizam o movimento.

8) Uma partcula percorre uma trajetria em linha reta com

velocidade expressa por V=(12-3t2) m/s, onde t expresso em segundos. Quando t=1s, a partcula est

localizada 10 m esquerda da origem. Determine a

acelerao quando t=4s, o deslocamento de t=0 at t=10s

e a distncia percorrida pela partcula durante este

intervalo de tempo.

t

t

x

x

dtvdxxxdtvdxanteconstdt

dxv

00

0


Movimento Retilneo Uniforme

0 aanteconstv

00 tex


)( 00 ttvxx vtxx 0 p/ to=0

t

t

v

v

dtadvvvdtadvanteconstdt

dva

00

0


Movimento Retilneo Uniformemente Acelerado

anteconsta

atvvttavv 000 )(

000 , texv

dtatatvdxatatvdt

dxv 0000

2000002

1

00

attvxxdtatatvdxxx

t

t

x

x


x

x

v

v

dxavdvdxavdvdx

dvv

dt

dva

00

Pode-se tambm escrever que:

dx

dvv

dx

dx

dt

dv

dt

dva

)(2)()(2

10

2

0

2

0

2

0

2 xxavvxxavv


No caso do movimento de vrios pontos

materiais, ao longo de uma mesma reta,

equaes independentes podem ser escritas

para cada um dos pontos, mantendo o mesmo

referencial, isto , utilizando-se um nico

cronmetro e um nico referencial.


Movimento de Vrios Pontos Materiais:

ABABABAB xxxxxx //

ABABABAB vvvvvv //

Movimento Relativo de dois Pontos Materiais

AxBx

A B

ABx /

ABABABAB aaaaaa //


A diferena (xB - xA) defini a

posio de B em relao a A.

1) Uma bola arremessada, verticalmente, para

cima, a partir de uma altura de 12m, num poo de

elevador, com uma velocidade inicial de 18m/s. No

mesmo instante, um elevador de plataforma est a

uma altura de 5m, subindo com velocidade

constante de 2m/s. Pede-se:

a) Determine quando e onde a bola se encontrar

com o elevador; R.: t=3,65s e y = 12,30m

b) Determine a velocidade da bola em relao ao

elevador quando o encontrar. R.: VB/E=-19,81m/s


EXERCCIOS:

2) Atira-se uma bola verticalmente, para cima, a

partir de um ponto localizado a 25m acima do

solo. Sabendo-se que a bola atinge o solo 3s aps

ter sido atirada, pede-se:

a) Determine a velocidade de arremesso;

b) Determine a velocidade de chegada ao solo.


3) Um automvel percorre 240m em 20s com

acelerao uniforme de 0,75m/s2. Pede-se:

a) Determine a velocidade inicial do automvel;

b) Determine a velocidade final do automvel;

c) Determine a distncia percorrida durante os

primeiros 10s.

4) Um automvel A est trafegando para leste com uma velocidade constante de 25Km/h quando

passa pelo cruzamento. Um automvel B que estava parado a 30m ao norte, dirige-se para o sul

com uma acelerao constante de 1,2m/s2.

Determine a posio, a velocidade e a acelerao

de B em relao a A cinco segundos aps A passar pelo cruzamento.


5) Um elevador de carga, movendo-se para cima

com uma velocidade de 1,8m/s passa por um

elevador de passageiros que est parado. Quatro

segundos depois este ltimo se pe em

movimento, para cima, com acelerao de

0,72m/s2. Pede-se:

a) Determine quando e onde os elevadores

estaro mesma altura;

b) Determine qual ser a velocidade do elevador

de passageiros.


6) Um carro B est trafegando a uma distncia d frente do carro A. Ambos esto a uma velocidade de 60m/s quando o motorista do carro

B repentinamente pisa no freio, causando uma desacelerao de 12m/s2 em seu carro. Esta

atitude demanda 0,75s para ser percebida pelo

motorista do carro A (este o tempo normal de reao para motoristas). Quando ele pisa no freio,

ele desacelera seu carro a 15m/s2. Nestas

condies, determine a mxima distncia d entre os carros para evitar uma coliso.



Solues grficas so utilizadas quando:

1) Posio, velocidade e acelerao no

podem ser expressos analiticamente como

funes do tempo.

Soluo Grfica de Problemas de Movimento

3) O movimento em estudo consiste de partes

distintas e sua anlise exige uma equao

diferente para cada parte.

2) O movimento em estudo definido por

dados experimentais.


1 - A velocidade em cada ponto igual a inclinao da curva x-t;

Grfico: x-t

2 - A acelerao em cada ponto igual a inclinao da curva v-t.

Quando se conhece o grfico de (x-t) pode-se obter

os grficos de (v-t e a-t) atravs das inclinaes.

vdt

dx

Grfico: v-t Grfico: a-t


Quando se conhece o grfico de (a-

t) pode-se obter os grficos de (v-t

e x-t) atravs da rea medida sob a

curva do grfico:

- A rea sob a curva (V-t) mede X;

- A rea sob a curva (a-t) mede V;

- Uma rea acima do eixo t corresponde a um aumento de X ou V;

- Uma rea abaixo do eixo t mede um decrscimo de X ou V.


EXERCCIOS:

1) Um ponto material se move em uma trajetria retilnea

de forma que sua posio e descrita pelo grfico (x-t),

conforme figura abaixo. Pede-se: construa o grfico de (v-

t) e (a-t) correspondentes ao perodo (0 t 30s).

100

500

10 30 t(s)

X(m)

x=t2

X=20t-100


2) A velocidade de um trem durante o primeiro minuto de

seu percurso foi registrada conforme os dados a seguir:

t(s)

V(m/s)

0

0

20

16

40 60

21 24

Pede-se:

a) Faa o grfico (V-t), aproximando a curva com

segmento de reta entre os pontos fornecidos;

b) Determine a distncia total percorrida.


3) Um ponto material parte do repouso e percorre

uma trajetria retilnea de forma que ele

acelerado a uma taxa constante (10m/s2) por 10s

e em seguida desacelera a uma taxa tambm

constante (-2m/s2). Nestas condies, pede-se:

a) construa os grficos de (v-t) e (x-t);

b) Determine o tempo necessrio para o ponto

material parar; (R.: 60s)

c) Qual a distncia percorrida pelo ponto material.

(R.:3000m)


4) Uma composio de metr deixa a estao A. Acelera razo de 1,2m/s2 durante 6s e, ento,

acelera razo de 1,8m/s2 at alcanar a

velocidade de 14,4m/s. A composio mantm a

mesma velocidade at as proximidades da

estao B. Aplicam-se, ento, os freios que a desaceleram uniformemente e a fazem parar em

6s. O tempo total gasto na viagem de A a B foi de 40s. Esboce os diagramas (a-t), (v-t) e (x-t) e

determine a distncia entre as estaes A e B.


5) O grfico (v-x) descreve o movimento de um ponto

material, conforme mostra figura abaixo. Nestas

condies, pede-se: a) construa o grfico de (a-x) desse

movimento; b) Determine o tempo necessrio para o ponto

material atingir a posio x=400m. R.: 12s

10

50

200 400 X (m)

V(m/s)

V=50

V=0,2X+10


6) Um ponto material partindo do repouso em x=0

apresenta o perfil de acelerao conforme o

grfico (a-x) mostrado a seguir. Pede-se, construa

o grfico de v-x.

75

500 X (m)

a(m/s2)

a=75-0,15x


7) O grfico (v-x) para um ponto material

mostrado na figura abaixo. Nestas condies,

pede-se, determine a acelerao do ponto

material quando x=100m e quando x=175m.

10

50

100 200 X (m)

V(m/s)

150 50


8) O grfico (a-x) de um ponto material

fornecido para os primeiros 400m de seu

movimento, conforme mostra figura abaixo.

Nestas condies, pede-se, construa o grfico de

(v-x). Considere V=0 quando x=0.

2

200 400 X (m)

a(m/s2)

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