96706595 1aula mov ret ponto material
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Mecnica: estuda os movimentos dos objetos e
as foras que os provocam. Divide em cinemtica
e dinmica.
Cinemtica: estuda o movimento dos objetos,
relacionando posio, velocidade, acelerao e
tempo, sem referncia as causas do movimento.
Dinmica: estuda a relao entre as foras que
atuam em um corpo e o seu movimento. Pode-se
prever o movimento causado pelas foras
aplicadas em um corpo.
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Mecnica clssica ou newtoniana: baseia-se nas
leis de Newton.
Mecnica quntica ou ondulatria: estuda os
fenmenos ocorrentes com partculas, molculas
e tomos.
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Reologia: estuda as propriedades e o
comportamento mecnico dos corpos
deformveis que no so nem slidos nem
lquidos.
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Galileu (1564-1642): primeira contribuio ao
estudo do movimento (cinemtica).
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Newton (1642-1727): formulou as leis
fundamentais do movimento (dinmica).
Movimento do ponto material: dizer que um corpo
analisado como ponto material significa que
apenas seu movimento, como um todo,
considerado, isto , a rotao ignorada.
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Movimento do corpo rgido: o movimento de
rotao no pode ser desprezvel. O corpo no
pode ser considerado como um ponto material.
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Grandeza fsica o nome atribudo a tudo aquilo
que pode ser medido por um instrumento.
Exemplos: Temperatura; tempo, volume, etc..
Tipos de grandezas:
1) Grandezas escalares
2) Grandezas vetoriais
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Grandezas escalares: so as grandezas que
ficam determinadas quando se conhecem a sua
intensidade (que um nmero positivo
acompanhado de uma unidade).
Exemplo: Temperatura, volume, densidade, etc.
Grandezas vetoriais: so as grandezas que ficam
determinadas pela intensidade e por uma
orientao espacial (que a direo e sentido).
Exemplo: Fora, deslocamento, velocidade, etc.
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
MOVIMENTO RETILNEO DE UM PONTO MATERIAL
POSIO, VELOCIDADE E ACELERAO
No movimento retilneo de um ponto material, as
grandezas: posio, velocidade e acelerao tm
uma direo conhecida e fixa, necessitando-se
somente especificar o sentido e o mdulo. Isto
pode ser indicado usando-se uma quantidade
escalar com sinal positivo (+) ou negativo (-).
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Posio: depende de um referencial
Velocidade escalar mdia
s
m
t
xv
0: xinicialposiodeCoordenada
xfinalposiodeCoordenada :
0: xxxtoDeslocamen
Velocidade escalar instantnea
s
m
dt
dx
t
xvv
ti
0lim
0xx
P 'P
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
- A velocidade escalar V representada por um nmero real, positivo, negativo ou nulo.
OBSERVAES
- Um valor positivo de V indica que X aumenta, isto , que o ponto material se desloca no sentido positivo da trajetria.
- Um valor negativo de V indica que X diminui, isto , que o ponto material se desloca no sentido negativo da trajetria.
P V > 0
X
P V < 0
X
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Acelerao escalar mdia:
2s
m
t
va
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Acelerao escalar instantnea:
20lim
s
m
dt
dv
t
va
t
22
2
s
m
dt
xd
dt
dva
- A acelerao escalar a representada por um nmero real, positivo, negativo ou nulo.
OBSERVAES
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
- Um valor positivo de a indica que V est aumentando, isto significa que: o ponto material se desloca cada vez mais rapidamente no sentido positivo da trajetria ou que ele se desloca dada vez mais lentamente no sentido negativo da trajetria.
P V
X
P V
a > 0
P V
X
P V
a > 0
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
- Um valor negativo de a indica que V est diminuindo, isto significa que: o ponto material se desloca cada vez mais lentamente no sentido positivo da trajetria ou que ele se desloca dada vez mais rapidamente no sentido negativo da trajetria.
P V
X
P V
a < 0
P V
X
P V
a < 0
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Determinao do Movimento do Ponto Material
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
O movimento de um ponto material conhecido
se sua posio conhecida para cada valor de t.
Na prtica, o movimento de um ponto material
raramente definido por uma relao entre
posio e tempo. Muitas vezes, o movimento
caracterizado pelo tipo de acelerao que o
ponto material possui.
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Exemplo:
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Um corpo em queda livre possui
acelerao constante (9,81m/s2)
dirigida para baixo. Em geral, a
acelerao de um ponto material pode
ser expressa em funo de uma das
diversas variveis t, X e V.
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Investigao da acelerao de um ponto
material em funo de uma das diversas
variveis:
1. Acelerao em funo do tempo
2. Acelerao em funo da posio
3. Acelerao em funo da velocidade
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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t
t
t
t
v
v
dttavvdttadvdttadv
000
)()()( 0
Deve-se conhecer as condies iniciais
1. Acelerao em funo do tempo: )(ta
t
t
t
t
x
x
dttvxxdttvdxdttvdx
000
)()()( 0
00 xev
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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dxxadvvdx
dvvxa
dt
dx
dx
dv
dt
dvxa )()()(
Deve-se conhecer as condies iniciais
2. Acelerao em funo da posio )(xa
x
x
x
x
dxxavvdxxadvv
000
)(2
1
2
1)( 20
2
00 xe
x
x
t
txv
dxdttt
xv
dxdt
dt
dxxvComo
00)()(
)( 0
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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v
v
t
tva
dvdttt
va
dvdt
dt
dvva
00)()(
)( 0
Deve-se conhecer as condies iniciais
3. Acelerao em funo da velocidade )(a
v
v
x
xva
dvvdxxx
va
dvvdx
dx
dvvva
00)()(
)( 0
00 xev
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
OBSERVAO
Como a derivada de uma funo mede a
inclinao da curva correspondente, tem-se:
- a inclinao da curva x versus t, para qualquer
instante de tempo dado, igual ao valor de V
nesse instante;
- a inclinao da curva V versus t, para qualquer
instante de tempo dado, igual ao valor de a
nesse instante;
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
EXERCCIOS
1) Um ponto material que se desloca em linha
reta, de modo que sua posio seja definida por
x=(6t2-t3), onde t expresso em segundos e x expresso em metros. Nesta condies pede-se:
a) a equao da velocidade e da acelerao do
ponto material em funo do tempo;
b) Esboce os grficos: x versus t ; V versus t ; a versus t para 0 t 8; c) Faa uma anlise dos grficos.
R.: a) V = 12t - 3t2 e a = 12 - 6t
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
2) Um ponto material se move segundo
uma linha reta, de forma que por um curto
perodo de tempo sua velocidade definida
por v= (3t2+2t) m/s, onde t expresso em segundos e t0. Considere que quando
t=0, x=0. Nesta condies pede-se: a
posio e a acelerao do ponto material
quando t=3s.
R.: x = 36m e a = 20m/s2
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
3) Aposio de um ponto material que se
desloca em linha reta definida pela relao:
x= t3-6t2-15t+40, onde x expresso em metros e t em segundos e t0. Pede-se: a) o instante em que a velocidade ser nula;
b) a posio e a distncia percorrida pelo
ponto at esse instante;
c) a acelerao do ponto nesse instante;
d) a distncia percorrida pelo ponto de t=4s a
t=6s.
R.: a) t=5s; b) x5=-60m e (x5-xo)=-100m
c) a5=18m/s2 d)18m
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
4) Um pequeno projtil lanado
verticalmente para baixo em um fluido com
velocidade inicial de 60m/s. Devido
resistncia do fluido, o projtil sofre uma
desacelerao que pode ser representada
por a=(-0,4V3) m/s2 , onde V expresso em m/s. Neste sentido pede-se a velocidade e a
posio do projtil aps 4s de seu
lanamento.
R.: v = 0,559 m/s e
x = 4,43 m
0
y
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
5) De uma janela de um prdio, localizado a 20m
acima do solo, arremessa-se, verticalmente para
cima, uma bola, com velocidade de 10m/s.
Sabendo-se que a acelerao da bola constante
e igual a 9,81m/s2, para baixo. Pede-se:
a) a velocidade V e a elevao Y da bola, relativamente ao solo, para qualquer instante t; b) a mxima elevao atingida pela bola e o
correspondente instante t; c) o instante em que a bola atinge o solo e a sua
correspondente velocidade. Esboce os grficos
Vxt e Yxt.
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
6) Durante um teste um foguete movimenta-se para cima e
seu motor falha ao atingir 40 m do solo e velocidade de 75
m/s. Durante o tempo em que o foguete est em
movimento, ele sobe com uma acelerao constante para
baixo de 9,81 m/s2 devido a gravidade. Desprezando o
efeito da resistncia do ar, determine a altura mxima
alcanada pelo foguete e sua velocidade no instante
imediatamente antes de tocar o solo.
R.: a) altura mxima = 327 m e V = 80,1 m/s
R.: a) V = 10 - 9,81t e Y = -4,90t2 + 10t + 20
b) t = 1,02 s e Y = 25,1 m
c) t = 3,28 s e v = - 22,2 m/s
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
7) A acelerao de um ponto material proporcional ao
tempo t. No instante que t=0, a velocidade v=-9m/s e a
a=0. Sabendo-se que v=0 e x=12m quando t=3s, escreva
as equaes que caracterizam o movimento.
8) Uma partcula percorre uma trajetria em linha reta com
velocidade expressa por V=(12-3t2) m/s, onde t expresso em segundos. Quando t=1s, a partcula est
localizada 10 m esquerda da origem. Determine a
acelerao quando t=4s, o deslocamento de t=0 at t=10s
e a distncia percorrida pela partcula durante este
intervalo de tempo.
-
t
t
x
x
dtvdxxxdtvdxanteconstdt
dxv
00
0
Deve-se conhecer as condies iniciais
Movimento Retilneo Uniforme
0 aanteconstv
00 tex
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
)( 00 ttvxx vtxx 0 p/ to=0
-
t
t
v
v
dtadvvvdtadvanteconstdt
dva
00
0
Deve-se conhecer as condies iniciais
Movimento Retilneo Uniformemente Acelerado
anteconsta
atvvttavv 000 )(
000 , texv
dtatatvdxatatvdt
dxv 0000
2000002
1
00
attvxxdtatatvdxxx
t
t
x
x
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
-
x
x
v
v
dxavdvdxavdvdx
dvv
dt
dva
00
Pode-se tambm escrever que:
dx
dvv
dx
dx
dt
dv
dt
dva
)(2)()(2
10
2
0
2
0
2
0
2 xxavvxxavv
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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No caso do movimento de vrios pontos
materiais, ao longo de uma mesma reta,
equaes independentes podem ser escritas
para cada um dos pontos, mantendo o mesmo
referencial, isto , utilizando-se um nico
cronmetro e um nico referencial.
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Movimento de Vrios Pontos Materiais:
-
ABABABAB xxxxxx //
ABABABAB vvvvvv //
Movimento Relativo de dois Pontos Materiais
AxBx
A B
ABx /
ABABABAB aaaaaa //
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
A diferena (xB - xA) defini a
posio de B em relao a A.
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1) Uma bola arremessada, verticalmente, para
cima, a partir de uma altura de 12m, num poo de
elevador, com uma velocidade inicial de 18m/s. No
mesmo instante, um elevador de plataforma est a
uma altura de 5m, subindo com velocidade
constante de 2m/s. Pede-se:
a) Determine quando e onde a bola se encontrar
com o elevador; R.: t=3,65s e y = 12,30m
b) Determine a velocidade da bola em relao ao
elevador quando o encontrar. R.: VB/E=-19,81m/s
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
EXERCCIOS:
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2) Atira-se uma bola verticalmente, para cima, a
partir de um ponto localizado a 25m acima do
solo. Sabendo-se que a bola atinge o solo 3s aps
ter sido atirada, pede-se:
a) Determine a velocidade de arremesso;
b) Determine a velocidade de chegada ao solo.
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
3) Um automvel percorre 240m em 20s com
acelerao uniforme de 0,75m/s2. Pede-se:
a) Determine a velocidade inicial do automvel;
b) Determine a velocidade final do automvel;
c) Determine a distncia percorrida durante os
primeiros 10s.
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4) Um automvel A est trafegando para leste com uma velocidade constante de 25Km/h quando
passa pelo cruzamento. Um automvel B que estava parado a 30m ao norte, dirige-se para o sul
com uma acelerao constante de 1,2m/s2.
Determine a posio, a velocidade e a acelerao
de B em relao a A cinco segundos aps A passar pelo cruzamento.
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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5) Um elevador de carga, movendo-se para cima
com uma velocidade de 1,8m/s passa por um
elevador de passageiros que est parado. Quatro
segundos depois este ltimo se pe em
movimento, para cima, com acelerao de
0,72m/s2. Pede-se:
a) Determine quando e onde os elevadores
estaro mesma altura;
b) Determine qual ser a velocidade do elevador
de passageiros.
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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6) Um carro B est trafegando a uma distncia d frente do carro A. Ambos esto a uma velocidade de 60m/s quando o motorista do carro
B repentinamente pisa no freio, causando uma desacelerao de 12m/s2 em seu carro. Esta
atitude demanda 0,75s para ser percebida pelo
motorista do carro A (este o tempo normal de reao para motoristas). Quando ele pisa no freio,
ele desacelera seu carro a 15m/s2. Nestas
condies, determine a mxima distncia d entre os carros para evitar uma coliso.
CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Solues grficas so utilizadas quando:
1) Posio, velocidade e acelerao no
podem ser expressos analiticamente como
funes do tempo.
Soluo Grfica de Problemas de Movimento
3) O movimento em estudo consiste de partes
distintas e sua anlise exige uma equao
diferente para cada parte.
2) O movimento em estudo definido por
dados experimentais.
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
1 - A velocidade em cada ponto igual a inclinao da curva x-t;
Grfico: x-t
2 - A acelerao em cada ponto igual a inclinao da curva v-t.
Quando se conhece o grfico de (x-t) pode-se obter
os grficos de (v-t e a-t) atravs das inclinaes.
vdt
dx
Grfico: v-t Grfico: a-t
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
Quando se conhece o grfico de (a-
t) pode-se obter os grficos de (v-t
e x-t) atravs da rea medida sob a
curva do grfico:
- A rea sob a curva (V-t) mede X;
- A rea sob a curva (a-t) mede V;
- Uma rea acima do eixo t corresponde a um aumento de X ou V;
- Uma rea abaixo do eixo t mede um decrscimo de X ou V.
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
EXERCCIOS:
1) Um ponto material se move em uma trajetria retilnea
de forma que sua posio e descrita pelo grfico (x-t),
conforme figura abaixo. Pede-se: construa o grfico de (v-
t) e (a-t) correspondentes ao perodo (0 t 30s).
100
500
10 30 t(s)
X(m)
x=t2
X=20t-100
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
2) A velocidade de um trem durante o primeiro minuto de
seu percurso foi registrada conforme os dados a seguir:
t(s)
V(m/s)
0
0
20
16
40 60
21 24
Pede-se:
a) Faa o grfico (V-t), aproximando a curva com
segmento de reta entre os pontos fornecidos;
b) Determine a distncia total percorrida.
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
3) Um ponto material parte do repouso e percorre
uma trajetria retilnea de forma que ele
acelerado a uma taxa constante (10m/s2) por 10s
e em seguida desacelera a uma taxa tambm
constante (-2m/s2). Nestas condies, pede-se:
a) construa os grficos de (v-t) e (x-t);
b) Determine o tempo necessrio para o ponto
material parar; (R.: 60s)
c) Qual a distncia percorrida pelo ponto material.
(R.:3000m)
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
4) Uma composio de metr deixa a estao A. Acelera razo de 1,2m/s2 durante 6s e, ento,
acelera razo de 1,8m/s2 at alcanar a
velocidade de 14,4m/s. A composio mantm a
mesma velocidade at as proximidades da
estao B. Aplicam-se, ento, os freios que a desaceleram uniformemente e a fazem parar em
6s. O tempo total gasto na viagem de A a B foi de 40s. Esboce os diagramas (a-t), (v-t) e (x-t) e
determine a distncia entre as estaes A e B.
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
5) O grfico (v-x) descreve o movimento de um ponto
material, conforme mostra figura abaixo. Nestas
condies, pede-se: a) construa o grfico de (a-x) desse
movimento; b) Determine o tempo necessrio para o ponto
material atingir a posio x=400m. R.: 12s
10
50
200 400 X (m)
V(m/s)
V=50
V=0,2X+10
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
6) Um ponto material partindo do repouso em x=0
apresenta o perfil de acelerao conforme o
grfico (a-x) mostrado a seguir. Pede-se, construa
o grfico de v-x.
75
500 X (m)
a(m/s2)
a=75-0,15x
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
7) O grfico (v-x) para um ponto material
mostrado na figura abaixo. Nestas condies,
pede-se, determine a acelerao do ponto
material quando x=100m e quando x=175m.
10
50
100 200 X (m)
V(m/s)
150 50
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CINEMTICA DO PONTO MATERIAL
8) O grfico (a-x) de um ponto material
fornecido para os primeiros 400m de seu
movimento, conforme mostra figura abaixo.
Nestas condies, pede-se, construa o grfico de
(v-x). Considere V=0 quando x=0.
2
200 400 X (m)
a(m/s2)