Estática do ponto Material

Nomes: RA:

Sabrina Alves C140HE-1

Jederson Artiagas 868256-9

Joaquim Miranda C00423-5

Harison Viera T422DH-7

Thiago Ramos C15682-5Maurício Gonçalves C171DC-9

Cleyton de Oliveira C18041-6

Evandro de Souza C07GGE-8

O que é equilíbrio do ponto material?

É a parte da mecânica que estuda as condições de equilíbrio de um ponto material (corpo de dimensões desprezíveis) ou de um corpo extenso (o tamanho influi no estudo do fenômeno).

De acordo com a primeira lei de Newton, um corpo está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, se a resultante das forças que atuam sobre ela seja nula. Ou seja, o corpo está em equilíbrio, que por sua vez pode ser estático, quando o corpo está em repouso; ou dinâmico, quando o corpo está em movimento.

Nota: A condição para um ponto material estar em equilíbrio é que a resultante das forças que nele atuam seja nula.

A Estática é a parte da física em que estuda o equilíbrio entre os corpos e as suas devidas deformações. Pode-se dizer que um sistema está em equilíbrio quando a sua aplicação não resulta em nenhuma alteração no estado de movimento do corpo. A sua importância pode ser analisada quando imaginamos uma construção qualquer. Cada ponto da sua estrutura deve estar em equilíbrio.

Exemplo:Um prédio qualquer, visivelmente ele está em equilíbrio, pois não há movimentação deste.Em tal prédio, há a presença de duas forças, que são: Peso (a massa da estrutura sob a ação da gravidade), e a Força Normal (reação realizada pelo chão em relação à estrutura do prédio).

Equilíbrio do ponto material

Um ponto material está em equilíbrio, em um dado referencial,

quando sua velocidade vetorial permanece constante com o tempo;

assim, se a velocidade vetorial é constante, a aceleração vetorial é

nula, e do princípio fundamental da Dinâmica (𝐹𝑟=𝑚𝑎 ) concluímos

que:

- A resultante do sistema de forças aplicadas a um ponto material em

equilíbrio deve ser constantemente nula (𝐹𝑟=0 ).

O ponto P, da figura abaixo, está sujeito a ação de três forças 𝐹₁, 𝐹₂, 𝐹₃. Esse ponto encontra-se em repouso.

Portanto, esse ponto encontra-se em equilíbrio estático, pois satisfaz a equação: 𝐹₁ +𝐹₂+𝐹₃= 0.deve ser feita a soma vetorial de cada uma das forças, e transformar essa equação vetorial em equação escalar.

Figura 1 Figura 2

Nota: Na figura 1 , um corpo está sob a ação exclusiva de três forças no plano de um papel.

Na figura 2 , as três forças são somadas pela regra do polígono , obtendo-se uma linha poligonal fechada (triângulo), razão pela qual a força resultante é nula e o corpo encontra-se em equilíbrio.

𝐹₂𝐹₃

𝐹₁

Se as forças atuantes no ponto material forem coplanares, transforma-se a equação vetorial da soma das forças em duas equações escalares, projetando-se as forças sobre os eixos cartesianos ortogonais X e Y.Assim, as condições de equilíbrio do ponto material podem ser estabelecidas da seguinte forma:

A projeção será positiva se o seu sentido coincidir com o sentido do eixo, e será negativa se seu sentido for contrário ao sentido do eixo. A projeção será igual a zero quando a força tiver direção perpendicular ao do eixo.As forças F2 e F3 estão na direção dos eixos Y e X, respectivamente, e a força F1 forma um ângulo Ө com o eixo X.

As componentes da força F1 na direção dos eixos X e Y são, respectivamente:F1x = F1.cosӨF1y = F1.senӨ

Projeção de todas as forças no sistema de coordenadas cartesianas.

Momento de uma força em relação ao ponto

Ao contrário de como foi visto em equilíbrio estático em um ponto material, a resultante nula de um sistema de forças aplicadas ao um corpo rígido, não nos garante mais que o corpo esteja em equilíbrio. Para o corpo estar em equilíbrio, é necessário que a aceleração seja nula, o que acarreta em uma resultante do sistema de forças também nula.

Contudo, Σ𝐹𝗂 = 0 é uma condição necessária, entretanto não é uma condição suficiente de equilíbrio de um sistema de forças aplicado em um corpo rígido.

Tal condição nos garante o equilíbrio quanto ao movimento de translação, no entanto não garante o equilíbrio quanto ao movimento de rotação, pois o corpo pode rodar.

Em um sistema constituído por duas forças simétricas com linhas de ação distintas é denominada binário. Quando essas duas forças distintas são aplicadas em dois pontos diferentes de qualquer corpo rígido, as forças formadas são antiparalelas e suas intensidades são iguais - forças simétricas – o sistema das duas forças possui uma resultante nula, que faz com que o corpo não adquira um movimento de translação.

-->Forças simétricas

A capacidade de a força realizar rotação é denominada momento da força ou então torque.

O Momento da Força de um corpo é:Positivo quando girar no sentido anti-horário;Negativo quando girar no sentido horário;

Equilíbrio estático de corpos rígidos

Um sistema de forças aplicado a um corpo está em equilíbrio estático se tiver resultante e momento nulos.

Em um sistema de forças quando aplicado em um corpo que está em equilíbrio, dessa aplicação não se obtém nenhuma alteração no estado de repouso ou de movimento do corpo. Se a resultante do sistema for nula existe equilíbrio de força quanto à translação. Portanto, o movimento de um sistema de força traduz a alteração do movimento de rotação. Quando o movimento for nulo o sistema de força estará em equilíbrio quanto à rotação.

Para saber se um corpo rígido está em equilíbrio estático é necessário que seja em um determinado referencial, para que se verifiquem para qualquer

ponto O.

Ou seja,

O equilíbrio estático de um corpo rígido reduz as situações onde as forças externas atuariam sobre o corpo rígido e formam um sistema de forças

equivalentes a zero.

Método da linha poligonal das forças

A resultante sendo nula, a linha poligonal das forças é fechada.

Figura A Figura B

Sin 𝜃= 𝐹₁

𝐹₃

Cos 𝜃= 𝐹₂

𝐹₃

Na figura A, temos um ponto material P em equilíbrio sob ação de três forças. Na figura B, representamos a linha poligonal dessas forças que é fechada.

𝐹3

𝐹2

𝐹1

𝜃𝐹1

𝐹2𝐹3 𝜃

Método das projeções

𝐹𝑟= 0 𝐹𝑟𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 +⋯+ 𝐹𝑛𝑥 = 0𝐹𝑟𝑦 = 0 𝑜𝑢 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 +⋯+ 𝐹𝑛𝑦 = 0

Se um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças estiver em equilíbrio, as somas algébricas das projeções dessas forças sobre dois eixos perpendiculares e pertencentes ao plano das forças são nulas. Ou seja, o equilíbrio de um ponto material sob ação de um sistema coplanares fornece duas equações escalares.

Portanto o estudo de equilíbrio de um ponto material sob ação de um sistema de forças coplanares nos fornece duas equações escalares.

Sistemas de duas forças: Casos

particulares

A) Forças colineares:

Se as forças 𝐹₁ e 𝐹₂ tiverem a mesma direção e o mesmo sentido, a

resultante 𝐹ᵣ terá a mesma direção e o mesmo sentido das forças componentes, e intensidade igual à soma das intensidades.

Os segmentos orientados 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶, que são representações de 𝐹₁ e

𝐹₂, foram tornados consecutivos (ponto B comum)

𝐹2

𝐹1P

𝐹𝑅

AB C𝐹2𝐹1

𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2

𝐹𝑅 = 𝐹1 + 𝐹2

B) Força não-colineares:O ponto material P esteja sob a ação de duas forças conhecidas

𝐹₁ e 𝐹₂ não-colineares. A resultante 𝐹ᵣ pode ser obtida por meio de linha poligonal das forças ou simplesmente pela

aplicação da regra do paralelogramo: a resultante 𝐹ᵣ é presentada pela diagonal orientada do paralelogramo que

passa por P e cujos lados orientados são representações de 𝐹₁

e 𝐹₂.

Vetores

Os vetores são definidos como entes matemáticos que possuem intensidade, direção e sentido.Um vetor é usado para representar uma força que atua em um dado ponto material tem bem definido o seu ponto de aplicação, isto é, o próprio ponto material. Tal vetor é dito fixo ou aplicado e não pode ser deslocado sem modificar as condições do problema.

Decomposição de forças

Uma única força F que atua sobre um ponto material pode ser substituída por duas ou mais forças que, juntas tenham o mesmo efeito sobre o ponto material. Essas forças são chamadas de componentes da força original F, e o processo de substituição são chamados de decomposição de forças F em componentes.Obviamente, para cada força F existe um número infinito de conjuntos possíveis de componentes. Conjuntos de duas componentes P e Q são os mais importantes para aplicações práticas. Mas, mesmo assim, é ilimitado o número de maneiras pelas quais uma dada força F pode ser decomposta em duas componentes.

Bernard Lamy

15 de junho de 1640, em Le Mans, França.

† 29 de janeiro de 1715, em Rouen , França.

Foi um francês oratoriano (pertencente à Congregação do Oratório na Roma Antiga), matemático e teólogo.

Lamy se tornou professor de clássicos em Vendôme, 1661, e pelo Juilly, em 1663. Foi ordenado sacerdote em 1667.

Depois de ensinar alguns anos em Le Mans, foi nomeado para a cadeira de filosofia na Universidade de Angers. Lá, o seu ensino foi atacado. O reitor obtido em 1675 por parte das autoridades estaduais, lançou decreto proibindo-o a continuar suas palestras. Então ele foi então enviado por seus superiores para Grenoble, onde, graças à proteção do cardeal Le Camus, ele conseguiu retornar ao seus cursos de filosofia. Em 1686 ele retornou a Paris, parando no seminário de São Magloire, e em 1689 ele foi enviado para Rouen, onde passou o resto de seus dias.

Teorema de Lamy

É uma equação que relaciona as magnitudes de três forças: coplanar, simultânea e forças não-colineares, que mantém um objeto em equilíbrio estático, com os ângulos diretamente opostos às forças correspondentes. De acordo com o teorema:

Onde A , B e C são as magnitudes dos três coplanares, forças simultâneas e não colineares, que mantém o objeto no equilíbrio estático, eα , β e γ são os ângulos diretamente opostas ao forças A , B e C , respectivamente.

Prova do Teorema do Lamy

Suponhamos que existem três forças: coplanares, concorrentes e não-colineares, o que mantém o objeto em equilíbrio estático. Pela lei do triângulo, pode-se reconstruir o diagrama a seguir:

Pela lei dos Senos:

Conclusão

Nos permite achar a direção, o sentido e o módulo dos vetores, os valores dos pesos, sem o uso da 2ª Lei de Newton, as medidas das cordas (ou trações) e o ângulo delas em relação aos eixos das abscissas e ordenadas.

O ponto material, sobre a sua importância deve ser planejada de tal forma que o conjunto de forças (peso, normal[...], dentre outras) que agem nele, deve ter como força resultante um valor próximo a zero.

Obrigado a nossa orientadora, professora Hozana Ximenes.Até a próxima!