Universidade Estadual de LondrinaLaboratório de Física Moderna

6FIS-027

Determinação da velocidade da luz peloMétodo de Foucault

Rafael BratifichTurma 0001

Profº Dr Américo Tsuneo Fujiiafujii@uel.br

Centro de Ciências ExatasDepartamento de Física - UEL

Sumário

1.0 Objetivo.........................................................................................................................042.0 Introdução.....................................................................................................................04

2.1 As primeiras medidas da velocidade da luz........................................................042.2 O Experimento de Galileu Galilei para determinação da velocidade da luz...042.3 O Experimento de Ole Rømer para determinar a velocidade da luz................042.4 Experiência de Armand Fizeau para a determinação da velocidade da luz... .052.5 Experiência de Jean Foucault para a determinação da velocidade da luz.......07

3.0 Metodologia...................................................................................................................073.1 O Método de Foucault..........................................................................................073.2 Fundamentos Teóricos.........................................................................................083.3 - Materiais Usados para o Experimento.............................................................103.4 Montagem e Procedimentos Experimentais.......................................................113.5 Medindo a Velocidade da Luz..............................................................................12

4.0 Resultados.....................................................................................................................125.0 Análise dos Resultados.................................................................................................136.0 Conclusão......................................................................................................................167.0 Bibliografia....................................................................................................................17

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Lista de Figuras

1 Experimento de Ole Rømer.............................................................................................052 Experimento de Armand Fizeau.....................................................................................063 Diagrama do arranjo experimental de Foucault para medição da velocidade da luz.074 a) Quando M R=M A está no ângulo , o laser é refletido no ponto S de M F . .084 b) Quando M R=M A está no ângulo 1 , o laser é refletido no ponto S1 de M F 085 Imagens virtuais..............................................................................................................096 Alinhamento dos componentes.......................................................................................117 Gráfico da Frequência(Hz) em função da Posição(m)...................................................14

Lista de Tabelas

1 Resultados das medidas..................................................................................................122 Análise dos dados e cálculo da constante c....................................................................143 Dados do ajuste linear da Figura 7................................................................................14

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1.0 ObjetivoO seguinte experimento realizado no Laboratório de Física Moderna da

Universidade Estadual de Londrina tem como objetivo determinar a velocidade da luz no ar pelo Método de Foucault.

2.0 Introdução2.1 As primeiras medidas da velocidade da luz

A história da busca pelo valor da velocidade da luz é tão velha quanto a própria ciência. Os antigos pensavam que a luz tinha velocidade infinita, achando que ela poderia percorrer qualquer distância, por maior que fosse, sem gastar nenhum tempo para isso. Empédocles foi o primeiro a sugerir que a luz requeria provavelmente um tempo finito para passar entre dois pontos. Galileu Galilei talvez foi o primeiro a propor um método para tentar medi-la em seu manuscrito Duas Novas Ciências.

2.2 O Experimento de Galileu Galilei para determinação da velocidade da luz

A experimento de Galileu para determinar a velocidade da luz era colocar dois homens A e B, o mais afastado possível um do outro, cada qual com uma lamparina coberta por um pano. Um deles A, descobria sua lamparina, de modo que o outro B, pudesse vê-la. Por sua vez B, descobria a sua no instante em que ele visse a luz de A, e A media o tempo entre descobrir sua lanterna e enxergar a luz de B. A distância entre eles era conhecida. O resultado do experimento foi: a velocidade da luz possui um valor muito alto, ao qual não foi possível ser determinado. Certamente a experiência falhou porque o tempo de reação dos dois indivíduos era grande e também havia variações maiores do que o tempo necessário para a luz percorrer os poucos quilômetros entre os dois observadores.

2.3 O Experimento de Ole Rømer para determinar a velocidade da luz

Em 1675, o astrônomo dinamarquês Ole Christensen Rømer, fez a primeira

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medida da velocidade da luz utilizando uma distância astronômica em vez de terrestre.

Rømer observou uma das luas de Júpiter denominada Io. Ele constatou que em um definido período da órbita terrestre onde Terra, Sol e Júpiter estariam alinhados Io se eclipsava com Júpiter a cada 28 horas, impedido de ver este eclipse devido a posição desfavorável da Terra, ele fez previsões da hora e dia que seria possível ver o próximo eclipse de Io assim que a Terra voltasse a uma posição favorável em sua órbita. No dia e hora marcado o telescópio foi apontado para Júpiter e se constatou um atraso de 17 minutos na ocorrência do eclipse.

Intrigado com o fato ele observou que os eclipses de Io ocorriam em intervalos ligeiramente menores à medida que a terra se aproximava de Júpiter, de C para A; do que quando ele se afastava de Júpiter, de A para C.

Figura 1: Experimento de Ole Rømer

Desde que o tempo entre os eclipses era praticamente constante, Rømer interpretou que essa diferença se deve ao o tempo necessário para os sinais luminosos do eclipse atravessarem o diâmetro da órbita terrestre. Como o diâmetro médio da terra era conhecido, e o ele calculou essa diferença do tempo. Rømer calculou a velocidade da luz como sendo de 307.200 km/s.

2.4 Experiência de Armand Fizeau para a determinação da velocidade da luz

Em 1849, o físico francês Armand Hyppolyte Louis Fizeau conseguiu medir a velocidade da luz com boa precisão em um laboratório. Ele usou uma grande roda dentada girando rapidamente em frente a uma fonte que funcionava da seguinte forma:

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Figura 2: Experimento de Armand Fizeau

A luz emitida por uma fonte S , atravessa a lente convergente L1 , é refletida pelo espelho semi-transparente M 1 e forma, no espaço, em S1 uma imagem da fonte. O espelho M 1 foi coberto com uma película muito fina dando a ele uma propriedade de ser semi-espelhado. A luz, proveniente da imagem S1 , penetra na lente L2 e emerge do lado oposto com um feixe paralelo. Após passar pela lente L3 , é refletida pelo espelho M de volta, em sentido contrário, mas a sua direção original.

No experimento de Fizeau, a distância d entre a imagem S1 e o espelho M foi de 8,630 m. Quando a luz atinge, novamente, o espelho M 1 parte dela é transmitida, indo até o olho do observador, após atravessar a lente convergente L4 . Assim, o observador verá uma imagem da fonte S1 formada por luz que terá percorrido uma distância 2d, de ida e volta entre a roda e o espelho M . Na experiência de Fizeau a luz, passa por uma roda dentada R1 . Se esta roda gira lentamente, a imagem vista pelo observador será intermitente. A medida que sua velocidade aumenta a imagem formada no olho do observador diminui as interrupções. Contudo, pode-se aumentar a frequência de rotação da roda até que nenhuma imagem seja formada no olho do observador. Isto ocorrerá quando o tempo gasto pela luz para percorrer a distância 2d for igual ao tempo gasto para girar a fenda de um ângulo a equivalente ao ângulo entre dois dentes consecutivos da roda dentada. Sendo isto possível, como Fizeau conhecia os valores de d, a e v, facilmente calculou a velocidade da luz. No primeiro experimento realizado por Fizeau, a roda tinha 720 dentes, v = 12,609 rps, d = 8.630m e o ângulo a = 1/1.440 de rotação. Com isto ele obteve, para a velocidade da luz, o valor de c = 313.300 km/s. Numa segunda tentativa ele melhorou os seus resultados, encontrando c = 301.400 km/s, resultados estes considerados, na época, de grande precisão.

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2.5 Experiência de Jean Foucault para a determinação da velocidade da luz

Em 1850, Jean Bernard Léon Foulcault aprimorou o experimento de Fizeau utilizando um espelho rotatório no lugar de uma roda dentada. Este experimento esta detalhado na seção 3.1 O Método de Foucault

3.0 Metodologia3.1 O Método de Foucault

Figura 3: Diagrama do arranjo experimental de Foucault para medição da velocidade da luz.

Para determinar a velocidade da luz usaremos o método desenvolvido por Foucault em 1862.

Com todo o equipamento devidamente alinhado e o espelho rotatório parado, conforme diagrama do arranjo experimental mostrado na Figura 3. O feixe paralelo de luz, criado pelo laser, é focado no ponto s pela lente L1 . A lente L2 é posicionada de modo que a imagem em s é refletida pelo espelho rotatório M R , para um espelho esférico fixo M F . M F reflete a luz de modo que este feixe volte ao ponto s

seguindo a mesma trajetória, formando assim uma imagem em s .Colocando-se um espelho semi-transparente ao longo da trajetória dos feixes,

pode-se observar o ponto refletido por M F em um microscópio posicionado no pontos ' .

Agora, temos duas situação distintas a serem analisadas a primeira supondo

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que M R é levemente rotacionado e a segundo que M R é rotacionado continuamente a uma velocidade altíssima.

Na primeira situação o feixe é refletido em um ponto diferente de M F , entretanto, devido a sua forma esférica, o feixe será refletido diretamente de volta para M R e a imagem será formada nos pontos s e s ' . A única diferença significante é que o ponto de reflexão em M F muda devido à rotação de M R .

Na segunda situação quando um pulso de luz que viaja de M R até M F e retorna, encontra M R em um ângulo diferente do ângulo original, a imagem que volta de M F não será mais formada nos pontos s e s ' . Assim medindo no microscópio o deslocamento da imagem causado pela rotação de M R é possível determinar a velocidade da luz conforme será demonstrado.

3.2 Fundamentos TeóricosConsiderando o feixe de luz saindo do laser (Figura 3), inicialmente devemos

determinar como ponto de reflexão em M F se relaciona com o ângulo de rotação de M R .

Figura 4: a) Quando M R=M A está no ângulo , o laser é refletido no ponto S de M F .

b) Quando M R=M A está no ângulo 1 , o laser é refletido no ponto S1 de M F .

A figura 4(a) mostra a trajetória da luz, do laser até M F , quando M R está em um ângulo . Neste caso, o ângulo de incidência com M R também é . Sendo o ângulo de incidência é igual ao de reflexão, o ângulo entre os raios incidentes e refletidos é 2 . Como mostrado na figura 4(a), o feixe atinge M F em um ponto denominado de S .

A figura 4(b) mostra a trajetória da luz, do laser até M F , quando M R está em um ângulo 1= . Neste momento, o ângulo de incidência é igual a

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1= e o ângulo entre os raios incidente e refletido é 21=2 . Denominaremos o ponto onde o feixe atinge M F de S1 . Definiremos D a distância entre M F e M R , antes calcularmos a distância entre S e S1 temos que por definição o arco( l ) de um circulo de raio r é dado l=r , então a distância entreS e S1 pode ser calculada como

S1−S=D 21−2=D [2−2]=2D (1)

Figura 5: Imagens virtuais.

Observamos que a geometria das imagens virtuais é a mesma das imagens refletidas, tornando assim o problema uma aplicação da óptica de lentes. Com M R

em 1 , o ponto S1 está no eixo focal da lente L2 . O ponto S também está no plano focal da lente L2 , mas a uma distância S=S1 – S .

Na teoria de lentes, sabemos que um objeto de altura S no plano focal deL2 será focalizado no plano de s com uma altura – i /oS . Onde i e o são as

distâncias da lente até a imagem e o objeto, respectivamente, e o sinal menos corresponde a uma inversão da imagem. Como na figura 5, a reflexão no semi-espelho forma uma imagem similar e de mesma altura. Podemos escrever uma expressão para o deslocamento ( s ' ), ignorando o sinal menos pois não estamos preocupados com a inversão da imagem :

s '= s= ioS= ADB

S (2)

Combinando as equações (1) e (2) :

s '=D ADB (3)

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O ângulo depende da velocidade de rotação de M R e do tempo que o pulso de luz viaja de M R a M F e volta a M R , uma distância igual a 2D .

=2Dc (4)

onde c é a velocidade da luz e é a velocidade de rotação do espelho em radianos por segundo. ( 2D /c é o tempo que o pulso de luz gasta para viajar de M R até M F

e volta para M F )Substituindo (4) na equação (3) temos:

s '= 4 AD2

c DB (5)

Reescrevendo (5) chegamos a equação final para a velocidade da luz:

c= 4 AD2DBs ' (6)

podemos ainda reescrever (6) sabendo que uma volta completa em uma circunferência corresponde a 2 , temos:

c=8 AD2Rev / sCWRev / sCCW

DB s 'CW−s 'CCW (7)

onde:c = a velocidade da luz. = a velocidade de rotação do espelho rotatório ( M R ).A = a distância entre as lentes L2 e L1 , menos a distância focal de L1 .B = a distância entre a lente L2 e o espelho rotatório ( M R ).D = a distância entre o espelho rotatório ( M R ) e o espelho fixo ( M F ). s ' = o deslocamento da imagem, vista através do microscópio. ( s '=s1– s ;

onde s é a posição da imagem quando o espelho rotatório ( M R ) está parado e s1 é a posição da imagem quando o espelho rotatório está rodando com velocidade angular ).

CW = Designa o sentido horário de rotação de M R .CCW = Designa o sentido anti-horário de rotação de M R .

3.3 - Materiais Usados para o ExperimentoPara a montagem experimental foi utilizado os materiais da PASCO abaixo

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listados.1- Espelho rotatório de alta velocidade.2- Espelho fixo.3- Microscópio de medida.4- Laser de He-Ne de 0,5 mW.5- Bancada óptica de 1 m.6- Bancada para alinhamento do laser.7- Acopladores para as bancadas ópticas.8- Lente com distância focal de 48 mm.9- Lente com distância focal de 252 mm.10- Polarizadores (2).11- Suportes para componentes (3).12- Peças para alinhamento do feixe de laser (2).

3.4 Montagem e Procedimentos Experimentais

Figura 6: Alinhamento dos componentes.

1 Alinhou-se os componentes na bancada óptica conforme Figura 6, alinhou-se o laser para que o feixe atinja o centro do espelho rotatório M R . Ajustou-se o eixo de rotação de M R tornando-o perpendicular ao feixe (quando M R rodar, havendo assim uma posição onde o feixe é refletido diretamente na abertura do laser).

2 A lente L1 foi colocada sobre a bancada a uma distância de (0,190±0,005)m de M R e ajustada para que o feixe continue centrado em M R . Após colocou-se a lente L2 a uma distância de (0,491±0,005)m de M R preservando a ajuste central emM R do feixe; colocou-se então o microscópio de medida entre L1 e L2 sempre

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mantendo o ajuste do feixe em M R .3 Posicionou-se M F a uma distância de (6,46±0,005)m de M R de modo a

haver uma abertura de aproximadamente 15º entre a diagonal de M RM F e a bancada óptica, de tal maneira que a imagem refletida de M R atinja o centro de M F .

4 Ajustou-se a posição de L2 focalizando a imagem do feixe em M F e M F de maneira que o feixe seja refletido de volta para M R .

Obs.: Para ajuste do feixe empregou-se o uso de polarizadores na bancada que foram removidos durante o experimento.

3.5 Medindo a Velocidade da Luz1 Com todos os componentes ajustados e o feixe do laser em foco, ligou-se o

motor (com a chave na posição CW) e lentamente aumentou-se a velocidade de rotação. Então, apertou-se o botão MAX REV/SEC, quando a velocidade de rotação estabilizou, usou-se o micrométrico para centralizar a imagem no microscópio. Anotou-se a velocidade de rotação e a posição do micrômetro.

2 Repetiu-se os procedimentos como no passo 1 com a chave na posição CCW e anotou-se a velocidade de rotação e a posição do micrômetro.

4.0 ResultadosTabela 1 – Resultados das medidas

Revolução Posição1079 Rev / sCW (13,45x10-3)m1086 Rev / sCCW (13,17x10-3)m1522 Rev / sCW (13,53x10-3)m1531 Rev / sCCW (13,06x10-3)m

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5.0 Análise dos ResultadosA partir dos dados coletados inicialmente calculamos a velocidade da luz com a

eq.(7) ,

c=8 A D2Rev / sCWRev /sCCW

DB s 'CW−s 'CCW (7)

SendoA = a distância entre as lentes L2 e L1 , menos a distância focal de L1 .B = a distância entre a lente L2 e o espelho rotatório ( M R ).D = a distância entre o espelho rotatório ( M R ) e o espelho fixo ( M F ).

logoA=L2 L1− focoL2=0,301±0,005m−0,048m =0,253±0,005m

B=0,491±0,005m

D=6,460±0,005m

obs.: Consideraremos o erro relacionado a medida da distância focal de L2 minimo de tal forma a ser

desprezível para o cálculo da propagação de erros.

Calculando a velocidade da luz

c1=8∗∗0,253m∗6,46m2∗1079 Rev /s1086 Rev / s

6,46m0,491m∗0,01345m−0,01317m=2,951 x108m / s (8)

c2=8∗∗0,253m∗6,46m2∗1522 Rev / s1531Rev / s

6,46m0,491m ∗0,01353m−0,01306m=2,479 x108m / s (9)

O cálculo da velocidade média da luz( c ) será

c=c1c22

=2,951 x108m /s2,479 x108m /s2

=2,715 x108m /s (10)

e o seu desvio padrão da média será

Dc= 1n−1∑i=0

n

c i−c2 (11)

Dc=2,951 x108m / s−2,715 x108m/ s22,479 x108m / s−2,715 x108m / s2=0,333 x108m / s (12)

Com os valores calculados em (8), (9), (10) e (12) podemos construir a tabela(2) de correspondência abaixo

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Tabela 2 – Análise dos dados e cálculo da constante cMedida Revolução Posição c

11079 Rev / sCW (13,45x10-3)m

(2,951x108) m/s1086 Rev / sCCW (13,17x10-3)m

21522 Rev / sCW (13,53x10-3)m

(2,479x108)m/s1531 Rev / sCCW (13,06x10-3)m

Valor médio de c( c ) (2,715±0,333)x108m/s

Com os dados obtidos da tabela(2) podemos ainda traçar a curva que relaciona a frequência e a posição da imagem.

Figura 7: Gráfico da Frequência(Hz) em função da Posição(m)

Tabela 3 – Dados do ajuste linear da Figura 7.Equation y = a + b*xWeight No WeightingResidual Sum of Squares

54472,55

Adj. R-Square 0,9883Value Standard Error

AIntercept -90587,04 5671,38Slope 6,81E+006 426294,02

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A partir da equação do ajuste linear dos dados Tabela (3), temos que a relação entre a frequência e a posição é dada pela constante Aslope, deste modo podemos escrever

Rev /sposição

=s=ASlope (13)

A eq. (7) relaciona as condições experimentais(distâncias entre os espelhos) e as frequências com a variação da posição da imagem; assim podemos relacionar a eq. (7) a condição de proporcionalidade encontrada na eq. (13).

c=8 A D2Rev / sCWRev / sCCW

DB s 'CW−s 'CCW =k

Rev / sCWRev /sCCW s 'CW−s 'CCW

=k ASlope (14)

onde

k=8AD2

DB=8∗∗0,253m∗6,46m2

6,46m0,491m=38,17m2 (15)

e seu erro propagado será

k= ∂∂A

k2

A2 ∂

∂Bk

2

B2 ∂

∂ Dk

2

D2

k=8 D2

DB 2

A2−8 AD2

DB 2

B28 AD 2 BD

BD 2 2

D2 (16)

k=0,75

Assim k=38,17±0,75m2 , logo a partir da eq. (14) podemos calcular o valor da constante c

c=k Aslope=[38,17m2 ]∗[6,81 x106Hzm ]=2,599 x108m/ s (17)

e seu erro será

c= ∂∂k c

2

k2 ∂

∂ A c2

A2= A 2 k

2k 2A2 (18)

c=0,171 x108

O valor da constante c será c=2,599±0,171 x108m/ s .

6.0 - CONCLUSÃOO objetivo de medir a velocidade da luz em meio ao ar pelo método modificado

de Foucault foi concluído com sucesso, compreendemos que os dados obtidos por esse

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experimento nos levariam à valores aproximados ao da constante devido à interferência na velocidade do laser pelos gases presentes no meio, propositalmente foi escolhido um laser com o comprimento de onda correspondente à cor vermelha por sofrer a “menor interação” - difração - com as partículas/gases/ poeira do meio e manter os dados com a menor interferência possível.

O valor obtido pela média da constante (c=(2,715±0,333)x108m/s) aproxima-se do valor de c absoluto, ou seja, do valor obtido em meio ao vácuo, c=299.792.458 m/s; entretanto o segundo valor obtido pela relação de proporcionalidade entre frequência e deslocamento da imagem apresenta-se abaixo do valor esperado (c=(2,599±0,171)x108m/s), isto deve-se ao fato de o ajuste dos pontos no gráfico da Figura 7 apresentar poucos pontos para análise.

Observo que não foi possível calcular todos os erros/desvios e suas propagações devido a falta de informações sobre os equipamentos usados, tais como erro associado ao foco da lente L2 , erro associado à frequência empregada no equipamento de rotação entre outros.

7.0 - Bibliografia[1] http://www.ufv.br/dpf/320/velocidade_luz.pdf – Manual de Instruções da

Pasco - acesso 15/06/2011 às 15h.[2] http://pt.wikipedia.org/wiki/Ole_R%C3%B8mer – Experimento de Ole Romer

- acesso 15/06/2011 às 14h.[3] http://www.seara.ufc.br/especiais/fisica/veluz/veluz2.htm – Experimento de

Fizeau - acesso 15/06/2011 às 14h.[4] http://pt.wikipedia.org/wiki/Velocidade_da_luz – Velocidade da Luz - acesso

15/06/2011 às 13h.

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