descrição discreta no tempo de sinais e sistemas · 2016-08-02 · processamento de sinais...
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Processamento de sinais digitais
Aula 2:
Descrição discreta no tempo de sinais e sistemas
Tópicos
• Sequências discretas no tempo.
• Princípio da superposição para sistemas lineares.
• Sequência de resposta de amostra unitária.
• Sistemas invariantes no tempo.
• Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo.
• Critério de causalidade para sistemas discretos no tempo.
• Equações de diferenças lineares de coeficiente constante.
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Sequências discretas no tempo
Nomenclatura: {x(n)} ou x(n) para N1 ≤ n ≤ N2 x(k): valor particular da sequência no instante k. Serão vistas as sequências: - de amostra unitária - de degrau unitária - senoidais - exponenciais complexas
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Sequência de amostra unitária
• Unit Sample Sequence.
• Definição:
Importante como sequência de entrada para um filtro digital
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Sequência de amostra unitária
PROPRIEDADE SIFTING (seleção): extrair um elemento particular de toda a sequência.
• d(n - k) é não zero apenas quando o seu argumento é zero, quando n = k.
• Será importante na derivação da relação de convolução entre as sequências de entrada e saída do filtro digital.
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Sequência degrau unitária
• Unit Step Sequence.
• Definição:
• Usada para definir o ponto de partida de uma sequência em expressões analíticas:
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Sequência senoidal
• Sinusoidal Sequence.
• Importante em análises no domínio da frequência de filtros digitais.
Exemplo de sequências
senoidais discretas
no tempo:
𝝎: radianos por intervalo de
amostragem ou simplesmente
radianos.
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Sequência senoidal
• Propriedade importante para o desenvolvimento da transformada de Fourier de uma sequência discreta no tempo:
– conjunto de todos os valores distintos de uma sequência senoidal discreta no tempo:
– Consideremos dois valores de frequência:
– Valores das sequências do cosseno:
• A função cosseno é periódica com período 2𝝅.
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Sequência senoidal
• Exemplo de dois sinais analógicos com diferentes frequências que podem produzir os mesmos valores para uma sequência senoidal discreta no tempo:
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Sequência exponencial complexa
• Plano complexo Notação em vetor complexo
• onde:
• |c|: magnitude
• Arg[c]: argumento ou fase
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Sequência exponencial complexa
• Identidades de Euler:
• Sequência importante para análise compacta de uma frequência de filtros digitais: magnitude fase
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Sequência exponencial complexa
• Identidades de Euler
• Interpretação no plano complexo de senos e cossenos:
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Sequência exponencial complexa
• A propriedade de sequências senoidais, de que todos os valores podem ser representados com 𝝎 na faixa [-𝝅, 𝝅] também é válida para exponenciais complexas.
– Consideremos:
, onde m é um valor inteiro.
– Então:
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Princípio da superposição para sistemas lineares
• Sistema de tempo discreto:
• Características de um filtro linear:
– Para uma dada sequência de entrada, uma alteração na escala de amplitude da sequência de entrada resulta na mesma mudança de escala em amplitude na sequência de saída.
– Se duas sequências são adicionadas e a soma é aplicada ao sistema, a saída resultante é a soma das respostas das entradas individuais.
{x(n)} {y(n)} G{.}
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Princípio da superposição
• Sistema linear:
onde e
• Dadas duas constantes 𝜶 e 𝜷:
{x1(n) + x2(n)}
{y1(n) + y2(n)}
G{.}
{𝜶 x1 (n) + 𝜷x2 (n)}
𝜶{y1 (n) }+ 𝜷 {y2(n)}
G{.}
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Princípio da superposição
• Exemplo de um sistema linear:
Circuito medidor de valor médio de 3 valores:
• Como testar a linearidade? Aplica-se a soma escalada de duas
sequências de entrada:
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Princípio da superposição
• Exemplo de um sistema não linear:
saída igual ao quadrado da entrada:
• Aplicando a soma escalada de duas sequências de entrada:
que não é igual a , a saída que o sistema precisa para ser linear.
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Sequência de resposta de amostra unitária
• Unit Sample Response Sequence • Princípio da superposição: permite estabelecer uma relação entre
a entrada e saída de um sistema linear no domínio do tempo. • Propriedade sifting da sequência da amostra unitária:
• O sistema opera através de sua transformação G{ . } em sequências. • Saída: superposição de respostas a sequências de amostras
unitárias deslocadas e escaladas. • A sequência de amostra unitária com seu elemento não zero em
n = k, d(n - k), é escalada por x(k).
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Sequência de resposta de amostra unitária
• Sequência de entrada a um sistema linear: superposição no tempo de um conjunto de sequências de amostras unitárias escaladas.
• Sequência de saída: superposição das respostas de amostras unitárias escaladas.
Se:
Então:
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Sequência de resposta de amostra unitária
Princípio da Superposição:
onde G{d(n - k)} é a sequência de saída produzida pelo sistema quando a entrada é uma sequência de amostra unitária com seu elemento não zero em n = k.
Esta saída é denominada resposta da amostra unitária:
{h(n,k)} é a resposta de um sistema linear!
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Resposta de amostra unitária
Exemplo não recursivo: Circuito medidor de valor médio de 3 valores
h(n,0)? {x(n)}={d(n)}
Para n=-1:
Para n= 0:
Para n= 1:
Para n= 2:
Condição inicial zero (n=-2)
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Resposta de amostra unitária
Exemplo recursivo: Filtro de primeira ordem
h(n,0)?
{x(n)}={d(n)} e aplica-se a condição inicial zero.
Para n=0:
Para n=1: Unit Step Sequence
Para n=2:
. . .
Para n=k:
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Resposta de amostra unitária
Exemplo recursivo: Sistema variante no tempo
Aplica-se a condição inicial zero:
{h(n,0)}? {x(n)}={d(n)} {h(n,1)}? {x(n)}={d(n-1)}
Os valores da resposta de amostra unitária dependem do tempo da aplicação da sequência de amostra unitária.
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Sistema linear invariante no tempo
LTI – Linear Time Invariant System
Se: Então:
Um deslocamento no tempo aplicado a uma sequência de amostra unitária resulta APENAS em um deslocamento correspondente no tempo na sua
resposta de amostra unitária.
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Sistema linear invariante no tempo
Relação de CONVOLUÇÃO: e x(n) y(n)
*: Operação de convolução Operação matemática de como um sistema linear opera sobre um sinal.
Sinal de saída: resultado da convolução do sinal de entrada x(n) com a resposta a impulso do sistema h(n).
h(n)
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Sistema linear invariante no tempo
Operação de CONVOLUÇÃO
Comutativa
Substituição de variáveis: m=n-k Obtemos:
Distributiva
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Sistema linear invariante no tempo
Conexão em cascata de sistemas: Dois sistemas LTI em cascata correspondem a um sistema LTI com uma resposta impulso que é a convolução das respostas impulso dos dois sistemas.
Exemplo de três sistemas LTI com respostas impulso idênticas:
Resposta impulso de saída:
Consequência da propriedade comutativa da convolução - a resposta impulso de uma combinação em cascata de um sistema LTI independe da ordem em que aparecem.
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Sistema linear invariante no tempo
Conexão paralela: Os sistemas tem a mesma entrada, e suas saídas são somadas para produzir a saída geral.
Combinação paralela Sistema equivalente
Resposta impulso de saída:
Consequência da propriedade distributiva da convolução - a conexão de dois sistemas LTI em paralelo é equivalente a um único sistema cuja resposta impulso é a soma das respostas impulso individuais.
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Operação de convolução de tempo discreto
Análise gráfica Passo 1: Escolher um valor inicial de n. Se {x(n)} começa em n = nx e {h(n)} em
nh, escolher n= nx + nh.
Passo 2: Expressar as duas sequências em termos de k. Fazer x(k)=x(n) e
para produzir h(n-k) faz-se uma rotação em torno do eixo vertical para produzir h(-k) e depois desloca por um valor n (se n positivo, desloca para a direita, e se n negativo desloca para a esquerda).
Passo 3: Multiplicar as duas sequências elemento por elemento e acumular
os resultados para todos os valores de k. A soma dos produtos gera o y(n). Passo 4: Incrementar os índices de n e repetir os passos acima até a soma
dos produtos no passo 3 ser zero.
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Operação de convolução de tempo discreto
Análise gráfica
Exemplo 1: Convolução de duas sequências finitas:
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Operação de convolução de tempo discreto
Análise gráfica
Calcula o produto
do par de valores
de sequências para cada k
para gerar y(n)
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Operação de convolução de tempo discreto
Análise gráfica
Duas sequências finitas gera uma sequência de duração finita.
Se {x(n)} contém Nx elementos e {h(n)} contém Nh elementos, então a sequência de saída contém Ny = Nx + Nh -1 elementos.
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Operação de convolução de tempo discreto
Análise gráfica
Resultado da convolução de duas sequências finitas:
* =
Valores calculados para os cinco valores de n:
y(-2)=1 , y(-1)=2, y(0)=3, y(1)=2, y(2)=1
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Operação de convolução de tempo discreto
Análise gráfica
Exemplo 2: Convolução de um sequência de duração finita com outra de duração infinita
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Operação de convolução de tempo discreto
Exemplo 2: Convolução de um sequência de duração finita com outra de duração infinita
Únicos termos não-zero:
3 2
1
2 1
3
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Operação de convolução de tempo discreto
Análise gráfica
Exemplo 3: Convolução de duas sequências infinitas:
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Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo
• Sequência limitada - o valor absoluto de cada elemento é inferior a algum número finito M, ou seja, {x(n)} é limitada se |x(n)|<M, para todo n.
• Sequência estável - quando cada sequência de entrada limitada produz uma sequência de saída limitada.
• Aplicações práticas em filtros digitais estáveis (saídas não se tornam infinitas).
• Critério de estabilidade: Um sistema LTI é estável sse o fator de estabilidade, denotado por S, for finito:
• A estabilidade de um filtro digital é expressa em termos dos valores absolutos de sua resposta de amostra unitária.
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Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo
• Critério de estabilidade: suficiente e necessário
Suficiente: se S é finito, então o sistema é estável. Demonstração: a saída é limitada quando S for finito.
Valor absoluto da saída, expresso pela equação de convolução: Como: Temos: ou como M e N são finitos, a saída também é limitada.
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Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo
• Critério de estabilidade: suficiente e necessário
Necessário: que S seja finito para o filtro ser estável.
É preciso encontrar uma sequência de entrada limitada que produza uma saída ilimitada.
Exemplo:
valor de saída para n=0:
Para y(0) ser limitado, é necessário que S seja finito.
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Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo
Exemplo 1: Estabilidade do circuito de média de 3 valores:
• Como testar se o filtro é estável?
• S é finito para valores finitos dos coeficientes b-1, b0 e b1.
Qualquer filtro com resposta de amostra unitária com um número finito de elementos não zero é sempre estável.
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Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo
Exemplo 2: Estabilidade do filtro recursivo de primeira ordem
onde • Como testar se o filtro é estável?
• Para |a| ≥ 1 , S é ilimitado: cada termo na série é ≥1. • Para |a| < 1, aplica-se a fórmula da soma geométrica infinita:
Como S é finito para |a|<1, o sistema é estável para |a|<1.
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Critério de estabilidade para sistemas discretos no tempo
Exemplo 3: Estabilidade do filtro recursivo de segunda ordem
• {h(n)}? Condição inicial y(n)=0 para n<0 e {x(n)}={d(n)}
• S?
O filtro é estável para |r|<1.
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Critério de causalidade para sistemas discretos no tempo
Sistema causal – resposta não precede a excitação.
• Todos os sistemas físicos são causais: não reagem até a aplicação de um estímulo.
• Sistema LTI causal:
• Por definição, {h(n)} é a resposta de um sistema a uma sequência de amostra unitária, cujo elemento não zero ocorre em n=0 .
• Filtros digitais causais – geralmente usados em aplicações em que as amostras de dados são processadas a medida em que são recebidas (sem acesso a valores futuros da amostra).
• Filtros digitais não-causais: tem elementos não zero para n<0 (exemplo: circuito medidor de média de 3 amostras).
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Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes
• Formalização da notação para descrever o comportamento no domínio do tempo de filtros digitais.
• Saída de um sistema LTI de ordem finita no instante n:
combinação linear de entradas e saídas onde: ak : coeficiente de realimentação (feedback) dependente do delay bk : coeficiente de alimentação (feedforward) dependente do delay Np: Número de amostras do passado Nf :Número de amostras do futuro (Filtro causal: Nf ≤0, Filtro não-causal: Nf>0) Exemplo: n=3, M=3, Nf=3 e Np = 2 y(3) = a1y(2) + a2y(1) + a3y(0) + (Valores passados de y)
b-3x(6) + b-2x(5) + b-1x(4) + b0x(3) + b1x(2)+b2x(1) (Valores futuros de x) (Valor atual de x) (Valores passados de x)
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Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes
• Como implementar um filtro digital com base na equação de diferenças geral?
• Exemplo:
Combinação das equações do circuito de média de 3 amostras não recursivo e o filtro recursivo de primeira ordem e não causal.
• Passo 1: desenhar dois pontos – entrada atual e saída atual
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Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes
• Passo 2: conectar elementos de retardo aos pontos de entrada e saída, para obter acesso a valores passados das sequências de entrada e saída. Valores futuros da sequência de entrada são obtidos conectando avanços ao ponto de entrada.
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Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes
• Passo 3: conectar multiplicadores às saídas dos elementos do retardo para produzir os produtos necessários.
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Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes
• Passo 4: obter um filtro digital ao se conectar as saídas dos multiplicadores a dois somadores. O primeiro gera a soma dos produtos das entradas e dos coeficientes de feedforward, e o outro da saída e dos coeficientes de feedback.
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Equações de diferenças lineares de coeficientes constantes
• Exemplo: Implementação do filtro digital de segunda ordem a partir da equação de diferenças dada por:
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Referências
1- Introduction to Digital Signal Processing
Roman Kuc.
BS Publication, 2008.
2- Discrete-Time Signal Processing
Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer.
Prentice Hall, 1998.
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