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DESAFIOS MATEMÁTICOS20 anos de problemas para os primeiros anos

Dina Tavares . Hélia Pinto . Hugo Menino . Isabel Rocha,Nuno Rainho . Marina Rodrigues . Rita Cadima . Rogério Costa

FICHA TÉCNICA

TítuloDESAFIOS MATEMÁTICOS20 anos de problemas para os primeiros anos

EdiçãoEscola Superior de Educação e Ciências SociaisPolitécnico de Leiria

AutoresDina TavaresHélia PintoHugo MeninoIsabel RochaNuno RainhoMarina RodriguesRita CadimaRogério Costa

Capa e Projeto GráficoRui Lobo

Impressão e AcabamentoGrafilinha - Trabalhos Gráficos e Publicitários

Tiragem350 exemplares

Depósito Legal457884/19

ISBN978-989-8797-32-2

LeiriaJulho/2019

Indíce

Introdução ............................................................................................................................................. 10Maria Isabel Rocha e Maria Manuela Pires

Capítulo 1 - Resolução de problemas, raciocínio e comunicação matemática .................... 13Hugo Menino e Marina Rodrigues

Capítulo 2 - As competições e o ensino e aprendizagem da matemática ............................ 24Dina Tavares e Hélia Pinto

Capítulo 3 - Números e Operações e a resolução de problemas ........................................... 33Dina Tavares e Nuno RaínhoIntrodução ................................................................................................................................................ 33Problemas no domínio dos Números e Operações ....................................................................... 36NO1. Um lanche .................................................................................................................................... 36NO2. Quantas mesas tem a sala de aula? ...................................................................................... 37NO3. Os bilhetes para o concerto .................................................................................................... 37NO4. Rosas em jarras .......................................................................................................................... 37NO5. Os mágicos da cidade ............................................................................................................. 38NO6. O autocarro cilíndrico ................................................................................................................ 38NO7. O castelo real .............................................................................................................................. 38NO8. Cartões ......................................................................................................................................... 39NO9. Multiplicar por 8 .......................................................................................................................... 39NO10. João e Filipa vão namorar! ...................................................................................................... 39NO11. Chocolate .................................................................................................................................. 41NO12. Salvar uma árvore..................................................................................................................... 41NO13. Berlindes .................................................................................................................................... 41NO14. Bombons .................................................................................................................................... 42NO15. As contas ................................................................................................................................... 42NO16. O desfile ..................................................................................................................................... 43NO17. Páginas de um folheto ............................................................................................................ 43NO18. Ida ao centro comercial .......................................................................................................... 44NO19. Combinação de sabores ....................................................................................................... 45NO20. A visita de estudo a Lisboa .................................................................................................... 45NO21. Rebuçados ................................................................................................................................ 45NO22. Berlindes e botões ................................................................................................................... 46NO23. O aniversário do Tiago ............................................................................................................ 46NO24. Copos às riscas ....................................................................................................................... 47NO25. Os dados ................................................................................................................................... 47NO26. Embalar bolos .......................................................................................................................... 48NO27. Pirâmide da multiplicação ...................................................................................................... 48NO28. O Sr. Pequeno e o Sr. Grande ............................................................................................. 49NO29. O carpinteiro ............................................................................................................................. 49NO30. Visita de estudo ........................................................................................................................ 50

NO31. As pizas ...................................................................................................................................... 50NO32. As tartarugas e o lago ............................................................................................................. 51Referências bibliográficas .................................................................................................................... 51

Capítulo 4 - Geometria e Medida e a resolução de problemas ............................................... 53Dina Tavares e Nuno RaínhoIntrodução ................................................................................................................................................ 53Problemas no domínio da Geometria e Medida ............................................................................. 58GM1. As figuras geométricas do tangram ...................................................................................... 58GM2. Padrões escondidos.................................................................................................................. 58GM3. Jogando com os pentaminós .................................................................................................. 59GM4. Quadrados no geoplano ......................................................................................................... 60GM5. Torres de cubos .......................................................................................................................... 61GM6. Tangram ........................................................................................................................................ 61GM7. Mosaicos ...................................................................................................................................... 62GM8. Percursos no geoplano ............................................................................................................. 62GM9. O circo dos triângulos .............................................................................................................. 63GM10. Os jardins triangulares ........................................................................................................... 63GM11. Tetrábolos .................................................................................................................................. 64GM12. Barcos no geoplano ................................................................................................................ 64GM13. Retângulos ................................................................................................................................ 65GM14. Lado com lado .......................................................................................................................... 65GM15. Cubos ......................................................................................................................................... 66GM16. Geoplano ................................................................................................................................... 67GM17. Lego ............................................................................................................................................ 68GM18. Ainda as palhinhas .................................................................................................................. 69GM19. Contar retângulos .................................................................................................................... 69GM20. Polígonos simétricos ............................................................................................................... 69GM21. Os cubos empilhados ............................................................................................................ 70GM22. Divisão do quadrado ............................................................................................................... 71GM23. Classificação de polígonos ................................................................................................... 72GM24. O pátio da Matilde ................................................................................................................... 73GM25. Blocos-padrão.......................................................................................................................... 74GM26. Simetrias .................................................................................................................................... 74GM27. Figuras geométricas no geoplano ....................................................................................... 75GM28. O pátio da escola .................................................................................................................... 76GM29. Obras em casa ......................................................................................................................... 77GM30. Bandeiras e mais bandeiras .................................................................................................. 77GM31. A quinta do Sr. Abel ................................................................................................................ 78GM32. Polidiamantes ........................................................................................................................... 79GM33. O painel ..................................................................................................................................... 80GM34. As construções do Daniel ..................................................................................................... 81Referências bibliográficas .................................................................................................................... 82

Capítulo 5 - Organização e Tratamento de Dados e a resolução de problemas ................. 84Rogério Costa

Introdução ................................................................................................................................................ 84Problemas no domínio da Organização e Tratamento de Dados ............................................... 87OTD1. Bolas coloridas ......................................................................................................................... 87OTD2. Reciclar latas ............................................................................................................................. 87OTD3. Parque de bicicletas ................................................................................................................ 88OTD4. Palhinhas para a festa de anos ............................................................................................. 89OTD5. A roleta ........................................................................................................................................ 89OTD6. Maçãs do bar da escola do Tiago ........................................................................................ 90OTD7. Dias de chuva ............................................................................................................................ 90OTD8. Maçã, laranja ou banana ......................................................................................................... 91OTD9. A loja de doces ......................................................................................................................... 92OTD10. Nascimentos .......................................................................................................................... 93OTD11. Pessoas socorridas ............................................................................................................... 94OTD12. Golos marcados ..................................................................................................................... 95OTD13. Estações do ano .................................................................................................................... 95OTD14. Arrumar bolas .......................................................................................................................... 96Referências Bibliográficas ................................................................................................................... 97

Capítulo 6 - Álgebra e a resolução de problemas ...................................................................... 99Hugo MeninoIntrodução ................................................................................................................................................ 99Problemas no domínio da Álgebra ..................................................................................................... 101A1. Fósforos na construção de triângulos ....................................................................................... 101A2. As mesas do banquete ................................................................................................................. 102A3. Botões coloridos ........................................................................................................................... 102A4. Os botões ........................................................................................................................................ 103A5. A brincar com os botões .............................................................................................................. 103A6. Círculos brancos e pretos ............................................................................................................ 104A7. Losangos e mais losangos ........................................................................................................... 104A8. A sequência da Maria .................................................................................................................... 105Referências bibliográficas .................................................................................................................... 106

Capítulo 7 - Conexões matemáticas e a resolução de problemas .......................................... 107Hélia Pinto e Marina RodriguesIntrodução ................................................................................................................................................ 107Problemas envolvendo conexões matemáticas .............................................................................. 109CM1. A cor do cabelo .......................................................................................................................... 109CM2. O cão “Mel” ................................................................................................................................. 109CM3. Corta-mato ................................................................................................................................... 110CM4. Um trabalho de pesquisa.......................................................................................................... 111CM5. Os desportistas .......................................................................................................................... 111CM6. Coleções de cromos ................................................................................................................. 112CM7. Dados e mais dados .................................................................................................................. 112CM8. Atividade física ............................................................................................................................ 113CM9. Temperatura da pele .................................................................................................................. 113CM10. As sandes da avó .................................................................................................................... 114

CM11. Sequência de quadrados ....................................................................................................... 114CM12. Tabuleiro ..................................................................................................................................... 115CM13. O estacionamento ................................................................................................................... 115CM14. A viagem .................................................................................................................................... 116CM15. O depósito de azeite ............................................................................................................... 117CM16. Desafios ..................................................................................................................................... 117CM17. Quadrados e mais quadrados .............................................................................................. 119Referências bibliográficas .................................................................................................................... 120

DESAFIOS MATEMÁTICOS

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Introdução

Maria Isabel Rocha1 e Maria Manuela Pires2

1ESECS, Politécnico de Leiria e 2Associação de Professores de Matemática – núcleo de Leiria

Quando começou este livro a germinar?No ano 2000, declarado pela UNESCO o Ano Mundial da Matemática, algumas insti-tuições em Portugal quiseram associar-se nas comemorações tendo em conta os ob-jetivos definidos nessa declaração (a promulgação da matemática como uma das mais importantes chaves para o desenvolvimento; o reconhecimento da presença sistemáti-ca da matemática na sociedade de informação e a identificação dos grandes desafios colocados à matemática no séc. XXI).

Na altura, a Escola Superior de Educação/ESEL, hoje Escola Superior de Educação e Ciências Sociais/ESECS, a Escola Superior de Tecnologia e Gestão do Instituto Politécnico de Leiria, a Associação de Professores de Matemática-núcleo de Leiria e o Centro de Área Educativa de Leiria associaram-se nestas comemorações promovendo um conjunto de iniciativas locais, das quais importa, para este livro, destacar o concur-so DESAFIOS 2000, um concurso de tarefas de matemática centradas na resolução de problemas, dirigido a alunos do 4.º ano de escolaridade de todo o distrito de Leiria.

Esta iniciativa teve como principal objetivo alargar a imagem da Matemática, uma imagem que fosse para além das contas e tarefas rotineiras para uma matemática que reconheça a resolução de problemas como a) o motor de desenvolvimento da própria matemática e de outras ciências e b) um tipo de tarefas a partir do qual todo o currículo se deve desenvolver, porque o tipo de tarefas que propomos aos alunos também de-termina as capacidades que eles vão adquirir.

Definiu-se um regulamento do concurso que, com ligeiras alterações, tem mantido o seu formato (concurso definido em duas fases, uma eliminatória nas escolas do 1.º ciclo e uma final, na ESEL/ESECS com os 50 alunos com as melhores e mais originais resoluções, garantindo que todos os concelhos do distrito estão representados) e que pode ser consultado através do site do concurso http://sites.ipleiria.pt/desafiosmate-matica. A logística da participação, inscrição das escolas/alunos, conceção das “pro-vas”, envio das mesmas às escolas de forma a que todos os participantes as realizem na própria sala de aula, no mesmo dia e hora, bem como o reenvio das mesmas à ESEL/ ESECS para serem corrigidas de acordo com critérios previamente definidos, … não é tarefa fácil.

Passado o ano 2000 e as comemorações do Ano Mundial da Matemática, é um bom sinal para a nossa comunidade educativa que o concurso para o 1.º ciclo se mantenha, passados vinte anos, devido ao entusiasmo das escolas, dos professores e dos alunos. Se em 2000 participaram 826 alunos de 46 escolas, os números foram aumentando e,

20 ANOS DE PROBLEMAS PARA OS PRIMEIROS ANOS

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em muitos anos, ultrapassaram os 1000. Este livro pretende ser um testemunho do percurso deste concurso ao longo dos

20 anos, em que é possível identificar a evolução, nalguns aspetos, da conceção das tarefas para além de problemas não rotineiros, com tarefas mais abertas de natureza exploratória e experimental envolvendo o uso de materiais manipulativos. Também a preocupação com o desenvolvimento de outras capacidades a nível de raciocínio e comunicação com tarefas de interpretação de informação, levando à construção de um texto e/ou tarefas em que é solicitada a justificação, por escrito, de raciocínios, de conjeturas, … bem como tarefas que promovam as conexões dentro da matemática e com o dia-a-dia da criança e outras áreas de conhecimento.

Os temas matemáticos do currículo estiveram sempre presentes na conceção de cada prova, procurando um equilíbrio entre os mesmos, daí que na organização do livro se tenham enquadrado os problemas propostos dentro de cada um desses conteúdos matemáticos (capítulos 3, 4, 5, 6): Números e Operações e a resolução de problemas; Geometria e Medida e a resolução de problemas; Organização e Tratamento de Dados e a resolução de problemas; Álgebra e a resolução de problemas e dentro de cada tema por ordem crescente do ano de realização de cada edição do concurso. No final, foi ainda compilado um conjunto de problemas envolvendo conexões dentro e fora da Matemática (capítulo 7).

O livro contém ainda um capítulo (capítulo 1) dedicado à análise dos aspetos di-dáticos e curriculares da resolução de problemas, do raciocínio e da comunicação no ensino/aprendizagem da matemática e um outro capítulo (capítulo 2) dedicado à importância deste tipo de competições, como contexto informal de aprendizagem, con-tribuindo para o desenvolvimento do gosto pela matemática e da motivação para a sua aprendizagem através da resolução de problemas.Esperamos que este livro constitua uma agradável leitura para todos, em especial, alu-nos e professores.

Para os professores da comissão organizadora, vai ser, com toda a certeza, uma boa oportunidade para relembrar todos os momentos passados em reuniões presenciais, em troca de e-mails, em consultas de livros, revistas, … para chegar à seleção da cada tarefa. Também a atividade como docentes beneficiou desta pesquisa e da correção das provas, onde os alunos muitas vezes surpreenderam pelos raciocínios que desen-volveram e pela sua criatividade na resolução dos problemas.

Para a Associação de Professores de Matemática/APM participar e apoiar este con-curso tem contribuído para a consecução de um dos seus grandes objetivos: apoiar e divulgar atividades relevantes para o ensino e aprendizagem da Matemática.Um dos objetivos das comemorações é deixar sementes para o futuro. Estas germi-naram, cresceram, ganharam novos ramos e são hoje árvores saudáveis e robustas. Estamos orgulhosos por termos mantido os DESAFIOS durante 20 anos, por em 2014 termos alargado a iniciativa ao 2.º ciclo e por termos criado o MATEMATRIX em 2004,


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na sequência do ano temático “Matemática e Tecnologia”, dinamizado pelo APM. E felizes, se em cada um dos alunos que participaram ficou a semente do gosto pela Matemática.


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Capítulo 1 Resolução de problemas, raciocínio e comunicação matemática

Hugo Menino e Marina RodriguesESECS, CI&DEI, Politécnico de Leiria

IntroduçãoAs crianças aprendem matemática exprimindo e clarificando o seu pensamento, peran-te contextos que considerem significativos (Wood, Merkel & Verkwitz, 1996). O cenário ideal para a construção de uma matemática com sentido para as crianças, baseada na descoberta e na exploração de situações potencialmente desafiantes, é aquele que entrecruza a resolução de problemas, o raciocínio e a comunicação. Na realidade, os contextos de resolução de problemas são boas oportunidades de aprendizagem pre-cisamente por valorizarem igualmente o raciocínio e a comunicação matemática. Tal como afirmam Ponte, Serrazina, Guimarães, Breda, Guimarães, Sousa, Menezes, Mar-tins e Oliveira (2007, p. 9):

Através da discussão oral na aula, os alunos confrontam as suas estratégias de resolução de problemas e identificam os raciocínios produzidos pelos seus colegas. […]. Através da escrita de textos, os alunos têm oportunidade de clarificar e elaborar de modo mais aprofundado as suas estratégias e os seus argumentos, desenvolvendo a sua sensibilidade para a importância do rigor no uso da linguagem matemática.

Neste sentido, o National Council of Teachers of Mathematics NCTM (2017) afirma que um ensino eficiente da matemática envolve os alunos na resolução e discussão de tarefas que promovam o raciocínio e a resolução de problemas evidenciando que a investigação tem provado que a aprendizagem dos alunos é maior nas salas de aula onde as tarefas apresentadas encorajam, de uma forma sistemática, pensamento e raciocínios de alto nível.

Neste texto procuramos descrever e analisar as capacidades transversais de re-solução de problemas, raciocínio e comunicação em matemática, nos primeiros anos, evidenciando as implicações didáticas e curriculares de práticas de sala de aula em que estas assumem um papel central.

A resolução de problemasA resolução de problemas, o raciocínio e a comunicação são importantes capacidades matemáticas que devem atravessar todo o currículo escolar. As Normas do NCTM


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(2007) referem a resolução de problemas como um tipo de tarefas comum a toda a aprendizagem matemática e que, de um modo transversal, deve englobar todos os tó-picos curriculares.

Na realidade, as tarefas matemáticas que propomos aos alunos constituem a base que sustenta a aprendizagem desta ciência. A diversidade e continuidade de diferentes tipos de tarefas matemáticas promovem o desenvolvimento de conhecimentos, atitudes e conceções sobre a natureza da Matemática. Assim sendo, o modo como o professor as seleciona, as propõe e as conduz, associado ao modo como os alunos se envolvem na sua realização, são aspetos determinantes no processo de ensino-aprendizagem da matemática (Stein & Smith, 1998). Se considerarmos tarefa como a dimensão da aula cujo objetivo é o desenvolvimento de determinada ideia matemática, esta pode estar associada quer a um trabalho que se pode prolongar no tempo, ou a algo que apenas ocupa parte de uma aula.

Existem diferentes tipos de tarefas. Ponte (2005) definiu quatro tipos fundamentais: os exercícios (tarefas fechadas de desafio reduzido); os problemas (que embora sejam igualmente tarefas fechadas possuem elevado desafio); as investigações e as tarefas exploratórias (que sendo ambas tarefas abertas diferem na medida em que as primeiras têm um desafio elevado, situação que não tem que necessariamente se verificar nas segundas).

A investigação em educação matemática reconhece a resolução de problemas como um tipo de tarefas a partir do qual todo o currículo se deve desenvolver (NCTM, 2007). De facto, ao resolvermos bons problemas, criteriosamente selecionados, temos a possibilidade de mobilizar uma variedade grande de ideias e procedimentos inerentes ao ensino e à aprendizagem da matemática, nomeadamente, a linguagem específica, o raciocínio e a comunicação, a argumentação, as representações e a definição de con-jeturas. Assim sendo, a capacidade de resolução de problemas deve ser considerada a base estruturante de toda a matemática, uma vez que é resolvendo problemas que damos significado às aprendizagens específicas que vamos construindo ao longo do percurso escolar. O NCTM (2007) afirma que os factos, conceitos e procedimentos matemáticos que os alunos aprendem, apenas se tornam significativos quando estes os utilizam compreensivamente para resolverem problemas. Os autores (NCTM, 2007) afirmam, ainda, que “ao aprender a resolver problemas em matemática, os alunos irão adquirir modos de pensar, hábitos de persistência e curiosidade, e confiança peran-te situações desconhecidas, que lhes serão muito úteis fora da aula de matemática” (NCTM, 2007, p. 57.).

Várias são as definições sobre o que é um problema matemático. Georges Polya (1977), no prefácio da sua icónica obra “A arte de resolver problemas” afirma que:


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O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver pelos seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, para toda a vida, a sua marca na mente e no caráter (p. 5).

Esta ideia do que é um bom problema não é uma ideia isolada. A ela associada está necessariamente a exploração do problema e o papel do professor neste processo, que dependerá do modo como ele entende a resolução de problemas na aula de ma-temática. De acordo com Boavida, Paiva, Cebola, Vale e Pimentel (2008), a resolução de problemas pode ser entendida como processo de aplicação de conhecimentos anteriormente adquiridos, ou, numa perspetiva mais inovadora, como potenciadora da construção de novas ideias e conceitos. Assim, “a resolução de problemas pode cons-tituir o ponto de partida e o ponto de chegada do ensino-aprendizagem da matemática” (Ponte & Serrazina, 2000, p. 55).

Podemos considerar várias classificações de problemas. Boavida et al. (2008) apre-sentam uma categorização simples adaptável aos primeiros anos de escolaridade iden-tificando três categorias: (a) problemas de cálculo, que, para a sua resolução apenas necessitam da identificação das operações a realizar; (b) problemas de processo, as-sociados a contextos complexos e que, para encontrar a solução, necessitam da iden-tificação de estratégias de resolução criativas; e (c) problemas abertos, vulgarmente denominados de investigações e que estão normalmente associados a diferentes es-tratégias de exploração que podem conduzir a diferentes soluções.

Qualquer destes tipos de problemas, mas em particular os problemas de processo foram analisados e estudados por Polya (1977), que definiu quatro fases fundamentais para a sua resolução: (a) Compreensão do problema - analisar os dados, as condições do problema, compreender as relações entre os dados, estudar as condicionantes; (b) Definição de um plano - relacionar os dados com o que é pedido, procurar associações com problemas conhecidos, definir claramente uma estratégia de resolução recorrendo à linguagem matemática; (c) Execução do plano - executar o plano verificando a cor-reção dos passos realizados; e (d) Verificação do resultado - estudar a viabilidade do resultado face aos dados iniciais analisando a possibilidade de utilizar o resultado ou a estratégia em outras situações. Tendo em conta a adaptação do modelo aos primeiros anos de escolaridade, Boavida et al. (2008) sugerem um modelo simplificado englo-bando apenas três fases: ler e compreender o problema, fazer e executar um plano, verificar a resposta.

Relativamente à segunda fase de resolução de problemas proposta por Polya (1977), o autor sugere um conjunto de estratégias diversificadas, aliás seguidas por vários au-tores e que ajudam a organizar e estruturar o raciocínio. De entre estas estratégias, adaptáveis a diferentes problemas, muitas vezes de forma combinada salientam-se as


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seguintes: tentativa e erro; descobrir um padrão/regra; utilizar um desenho, esquema, tabela; simulação; simplificação do problema; trabalhar do fim para o princípio.

A formulação de problemas é igualmente uma dimensão importante do ensino da matemática através da resolução de problemas, apesar de, ainda, pouco valorizada. No entanto, trata-se de uma atividade potencialmente interessante na medida em que facilita o aprofundamento de ideias e conceitos de modo significativo (Pinheiro & Vale, 2013). De facto, Polya (1977) salienta que a resolução de problemas que permitam a utilização de estratégias diversificadas, associada à formulação de problemas, deve ser uma dimensão sempre presente na educação matemática, uma vez que torna signifi-cativos e compreensíveis as ideias e processos matemáticos envolvidos. Boavida et al. (2008) confirmam estas ideias salientando o contributo da formulação de problemas no desenvolvimento do pensamento crítico e das capacidades de raciocínio e comuni-cação. As autoras reforçam a importância do professor no processo de formulação de problemas, na medida em que partem dele os incentivos quer para o aproveitamento de situações ocasionais para a formulação de problemas pelos alunos, quer para ex-ploração e orientação dessas formulações do ponto de vista matemático. Para isso, sugerem duas estratégias facilitadoras da formulação de problemas: (a) “E se em vez de?”, que parte da formulação de questões a partir dos dados, condições ou resultados de um problema; (b) “Aceitando os dados”, que parte de uma situação já existente (ex-pressão, tabela, gráfico, informação, etc) para a formulação de questões a partir dessa mesma situação.

Raciocínio matemáticoO raciocínio matemático envolve a realização de inferências de forma fundamentada, isto é, envolve a obtenção de nova informação a partir de informação disponível, num processo justificado e fundamentado (Mata-Pereira & Ponte, 2018; Ponte, 2017). O raciocínio assume um papel central na atividade matemática e é, do ponto de vista didático e curricular, uma dimensão central da aprendizagem em todos os temas mate-máticos e em todos os níveis educativos (Domingos & Rodrigues, 2013; Mata-Pereira & Ponte, 2018), uma vez que raciocinar matematicamente é essencial para que os alunos aprendam matemática com compreensão e adquiram ferramentas que os aju-dem a analisar, conjeturar, justificar, argumentar, avaliar e concluir (Boavida & Menezes, 2012). Como refere o NCTM (2007), a escola deve habilitar todos os alunos para: a) reconhecer o raciocínio e a demonstração como aspetos fundamentais da matemática; b) formular e investigar conjeturas matemáticas; c) desenvolver a avaliar argumentos e provas matemáticos; e d) selecionar e usar diversos tipos de raciocínio e métodos de demostração. De facto, o raciocínio matemático remete para atividades de alto nível, especialmente relacionadas com a argumentação e a prova.

A dimensão da argumentação, que se cruza com a comunicação que discutiremos mais adiante, envolve a capacidade para apresentar razões que justificam ideias, pro-


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cedimentos ou opções, razões essas que se constituem como argumentos que usamos para nos convencermos ou para convencer outros, da plausibilidade das conjeturas que fazemos ou da razoabilidade do que afirmamos (Boavida & Menezes, 2012). A dimensão da prova envolve a capacidade para reconhecer e usar métodos indutivos ou dedutivos para estudar, avaliar e concluir acerca de conjeturas formuladas a partir da análise de objetos ou relações matemáticas. Neste âmbito, os alunos devem com-preender o que é uma generalização, um caso particular e um contraexemplo (NCTM, 2007). Nos primeiros anos, o raciocínio indutivo assume um papel central, atendendo ao nível de desenvolvimento e ao tipo de aprendizagem dos alunos, uma vez que assen-ta na observação de casos particulares, na identificação de relações entre eles, no es-tabelecimento de conjeturas e na generalização dessas relações (Ponte, Mata-Pereira & Henriques, 2012; Ponte, 2017). Problemas típicos que desenvolvem este tipo de raciocínio são aqueles em que é dada uma sequência de números ou de figuras e se questiona: “quem vem a seguir?”, sendo a generalização a regra ou função que define a relação entre qualquer termo ou objeto e a sua posição na sequência.

O trabalho a realizar nos primeiros anos deve evoluir progressivamente para que os alunos deixem de olhar para os objetos matemáticos individualmente e passem a raciocinar sobre classes de objetos, identificando, analisando e descrevendo proprie-dades de classes de objetos matemáticos e estabelecendo relações entre classes. Esta hierarquia conceptual é fundamental para que percebam o papel da definição em matemática (NCTM, 2007).

As aprendizagens realizadas no âmbito do raciocínio matemático são proporciona-das no seu contexto natural que é a resolução de problemas, quando se estimulam pro-cessos de interação na sala de aula, onde os alunos são convidados a partilhar, entre si, ideias, conjeturas, argumentos, justificações e provas, desde os primeiros anos. Como refere Fonseca (2018) é necessário abandonar crenças que defendem que só alunos mais velhos conseguem realizar tarefas complexas, envolvendo níveis mais avançados de pensamento e raciocínio matemáticos. Nesta perspetiva, o papel do professor é central no desenrolar dos percursos argumentativos em sala de aula (Boavida, et al., 2008; Fonseca, 2018), uma vez que, no discurso dos alunos, a explicitação dos ele-mentos em que se apoiam para justificar determinada conclusão depende bastantes vezes da intervenção do professor e das questões que este coloca, o que desencadeia a emergência de justificações diversas (Mata-Pereira & Ponte, 2018). Ponte (2017) sistematiza oito ações do professor dos primeiros anos para estimular o raciocínio dos alunos na aula de matemática:

(i) Pedir a explicação de raciocínios matemáticos oralmente e por escrito; (ii) solicitar exemplos, contraexemplos e analogias; (iii) propor a investigação de regularidades e relações numéricas em tabuadas; (iv) usar tabuadas para a formulação e teste de conjeturas; (v) perguntar: Como fizeste? Porque


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consideras que o que fizeste está certo?; (vi) perguntar: O que acontecerá se...? Isto verificar-se-á sempre?; (vii) solicitar a apresentação de argumen-tos assim como exemplos e contraexemplos; (viii) através da apresentação de exemplos e de outros casos particulares e de perguntas como: O que acontecerá a seguir? Será que isto é válido para os outros casos?, pode procurar que os alunos façam generalizações (p. 27).

Mata-Pereira e Ponte (2018) enfatizam sobretudo a importância de solicitar a expli-citação do “porquê” e a valorização do erro, associada a ações de guiar e desafiar da parte do professor.

De facto, o desenvolvimento de capacidades de raciocínio depende não só da na-tureza das tarefas propostas, mas também do ambiente e da cultura de sala de aula e dos aspetos do discurso que são valorizados e assumidos coletivamente como úteis e necessários em matemática (Fonseca, 2018). A aula de matemática deve ser um espa-ço onde se estabelecem diálogos de caráter justificativo ou explicativo onde assumem um papel preponderante: (a) a formulação, teste e prova de conjeturas; (b) a funda-mentação de raciocínios; (c) o enunciado dos porquês dos resultados obtidos; e (d) o esclarecimento de dissonâncias através de explicações e justificações convincentes e válidas de um ponto de vista matemático (Boavida, et al., 2008). Como sintetizam os mesmos autores:

importa que o professor proporcione aos alunos experiências de aprendi-zagem em que tenham oportunidade para explicar e justificar o que dizem ou ouvem, para formular conjeturas e para se envolverem na justificação da sua plausibilidade e prova. Fundamental, também, desde os primeiros anos, é que o professor os ajude a incorporar, gradualmente, no seu vocabulário termos que lhes permitam falar sobre todos estes aspetos (p. 102).

Como salienta Ponte (2017) o raciocínio dos alunos não é acessível diretamente. Para o conhecer é necessário que estes o comuniquem, oralmente ou recorrendo a re-presentações. As representações (ativas, icónicas ou simbólicas) para além de permi-tirem aceder ao raciocínio dos alunos, modelam esse próprio raciocínio, sendo um su-porte ao seu desenvolvimento e aos processos inferenciais que lhe estão associados.

Comunicação matemáticaPara uma análise da problemática da comunicação na aula de matemática importa recuar às ideias pioneiras de Bishop e Goffree (1986), autores que propõem uma que-bra com o paradigma discursivo de sala de aula assente numa lógica de comunicação unidirecional, em que o professor transmite informação aos alunos, apresentando, em alternativa, uma ideia de comunicação como processo interativo. Esta proposta conce-


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be a comunicação na aula de matemática como um processo de interação social que visa a aprendizagem através da negociação de significados. O papel do professor é aqui central, desde logo na seleção ou conceção de tarefas ricas e desafiantes e de-pois na criação e manutenção de um ambiente de sala de aula propiciador da interação e discussão (Guerreiro, 2011; Martinho, 2007; Menezes, 2005). Para a criação deste ambiente de aula é particularmente importante a natureza do questionamento que o professor faz e a forma como gere diferentes momentos da aula dando voz aos alunos. De facto, como referem Boavida et al. (2008)

Um aluno que tem um modo próprio de abordar e resolver um problema pode beneficiar da análise da forma como um seu colega resolve o mesmo problema. Uma resolução diferente revela, muitas vezes, aspetos diferentes. O exercício de compreensão das estratégias e métodos usados por outros e o esforço desenvolvido para avaliar a sua correção, validade e utilidade, contribuem para o alargamento do conhecimento matemático. Além disso, à medida que os alunos vão explicitando as suas ideias, o professor tem oportunidade de perceber como eles estão a pensar, o que lhe permite identificar conceções erradas, “arbitrar” o uso da linguagem matemática e planear novos desafios a colocar (p. 61).

Como salienta Ponte (2017) o tipo de aula onde mais naturalmente vamos encontrar tarefas que estimulem o raciocínio e a comunicação e onde há uma preocupação ex-plícita por criar espaços de comunicação e interação é a aula exploratória. Nesta aula, relativamente às tarefas, predominam os problemas e as explorações que devem incluir questões diversificadas, com algum grau de abertura e que permitam a utilização de di-ferentes estratégias; relativamente à sequência da aula, pressupõe um momento inicial de introdução da tarefa, seguindo-se um período mais longo de trabalho autónomo dos alunos e culminando com um período, também longo, de discussão coletiva de estra-tégias, análise de resultados e apresentação de justificações. Ainda que a negociação de significados possa ocorrer ao longo de toda a aula, é na fase de discussão coletiva que esta se torna mais evidente, quando os alunos partilham ideias entre si e o profes-sor e estes as analisam, aduzindo argumentos e apresentando justificações matemáti-cas (Boavida & Menezes, 2012; Canavarro, 2011; Canavarro, 2018). Nesta interação ganham especial relevância as questões de inquirição, que o professor coloca com o intuito de que todos em aula tenham acesso às ideias, estratégias, argumentos e jus-tificações dos alunos (Ponte, Mata-Pereira & Quaresma, 2013). Boavida et al. (2008) apresentam algumas caraterísticas das boas perguntas, assumindo que são, em regras, perguntas abertas:

(a) que conduzem o aluno a alguma aprendizagem pelo facto de lhes res-ponder;


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(b) que obrigam à análise, à reflexão, à explicação de raciocínios;(c) que obrigam a pensar em níveis mais elaborados;(d) cuja resposta constitui uma boa pista, para o professor, sobre aquilo que o aluno efetivamente sabe e aquilo que não sabe (p. 66).

Contudo, as mesmas autoras salientam o papel das questões mais fechadas, que visam a confirmação, isto é, assegurar que o aluno compreendeu; ou que visam a foca-lização, isto é, que procuram centrar o aluno no essencial de determinada exploração ou discussão.

A gestão da comunicação na aula de matemática e a decisão relativamente ao tipo de perguntas a fazer em cada momento revela-se bastante complexa, em particular quando se trata da fase de discussão, numa aula exploratória. Os desafios com que o professor se depara são múltiplos, em particular na tomada de decisões relativamente a “quando deve continuar a discussão de uma ideia ou parar para pedir clarificações e usar ideias dos alunos para fazer observações matemáticas” (Rodrigues, Ponte & Me-nezes, 2018, p. 417).

Mas a comunicação não se limita à dimensão do ouvir e do falar matematicamente. Comunicar matematicamente inclui também a dimensão da escrita e da representação (NCTM, 2007; NCTM, 2017). Se explicar oralmente a forma como pensamos é uma ta-refa organizadora e exigente, conseguir fazê-lo por escrito é ainda mais desafiante, uma vez que obriga a organizar e clarificar ideias e a refletir mais profundamente (Boavida, et al., 2008). As mesmas autoras referem:

Na verdade, falar, desenhar ou escrever sobre raciocínios matemáticos ofe-rece oportunidades para justificar pensamentos, sintetizar ideias e tomar consciência de intuições. Os registos escritos, sejam eles textos, esque-mas ou mesmo desenhos, não se perdem. É sempre possível voltar a eles e retomar as ideias que traduzem, no momento em que adquiram um novo sentido, em que contribuam para a compreensão de outra situação ou con-ceito ou em que o aluno esteja em condições de estabelecer conexões que possibilitem um entendimento mais profundo (p. 68).

Sabemos que os alunos mais novos têm dificuldade em escrever matematicamente, aliás alguns verbalizam a estranheza de o fazer em matemática, mas é importante que sejam envolvidos em tarefas em que esta competência é exigida, desde cedo, recor-rendo não só à palavra, mas também aos desenhos e aos esquemas (Pires, Leite & Costa, 2017). Como refere o NCTM (2007), “comunicar sobre ideias matemáticas é uma forma de os alunos enunciarem, esclarecerem, organizarem e consolidarem os seus pensamentos” (p. 148). As tarefas propostas na aula de matemática devem in-cluir assim questões que levem o aluno a registar não só cálculos ou resultados, mas


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também as estratégias usadas e os raciocínios desenvolvidos (Boavida, et al., 2008). Adicionalmente, é importante que os alunos realizem tarefas, cuja resolução seja fo-cada precisamente no processo de escrita acerca de um objeto ou de uma relação matemáticos. Tarefas desta natureza envolvem essencialmente uma dimensão concep-tual, mobilizando não só o conhecimento e compreensão de conceitos e relações mas também o uso de vocabulário da matemática. Um bom exemplo de tarefas deste tipo é: “descreve este triângulo sem usares o seu nome” ou “explica porque é que o quadrado pertence à interseção entre o conjunto dos retângulos e o conjunto dos losangos”.Como já referimos, no contexto do processo de comunicação de ideias por escrito, a representação assume um lugar central. Como refere o NCTM (2007):

As representações deverão ser tratadas como elementos essenciais no apoio à compreensão, por parte dos alunos, dos conceitos e das relações matemáticas, na comunicação de abordagens, argumentos e conhecimen-tos matemáticos, para si mesmos e para os outros, na identificação de co-nexões entre conceitos matemáticos interrelacionados, e na aplicação da matemática a problemas realistas, através da modelação (p. 75).

Permitir e estimular o uso de representações para além das simbólicas, desde logo as ativas, mas também as icónicas é um contributo importante para que, no contexto da resolução de problemas, os alunos organizem e sistematizem o seu pensamento e tornem explícitas as estratégias e os raciocínios usados. O confronto e análise de dife-rentes representações ajuda-os a clarificar conceitos e processos de pensamento e a aprender a escolher formas mais adequadas de comunicar uma ideia ou apresentar um argumento (Canavarro, 2018; NCTM, 2017).

Síntese finalDesenvolver a capacidade de resolver problemas, raciocinar e comunicar matematica-mente é, nos primeiros anos, um aspeto central do currículo em matemática. Espera-se que os alunos sejam capazes de resolver problemas diversificados, utilizando diferentes estratégias; sejam capazes de realizar raciocínios de diferente natureza, argumentando e justificando ideias matemáticas; e sejam capazes de usar diferentes representações e comunicar oralmente e por escrito a forma como pensam. Contudo, perspetivar o pa-pel central destas três capacidades transversais, na aula de matemática, vai para além do seu desenvolvimento enquanto objeto de aprendizagem. De facto, se assumirmos a relevância de uma prática a partir da resolução de problemas, estas três capacida-des transversais afiguram-se como orientações metodológicas para a prática de sala de aula, em qualquer tema curricular. Quando os alunos aprendem sobre números e operações, sobre álgebra, sobre geometria e medida ou sobre organização de trata-mento de dados, devem fazê-lo a partir de tarefas abertas que envolvam explorações e


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a resolução de problemas, o que potencia o seu envolvimento na aprendizagem, o es-tabelecimento de conexões e níveis mais elevados de compreensão. Numa aula deste tipo, o raciocínio e a comunicação são inerentes aos processos de trabalho dos alunos, fazendo-os avançar na aprendizagem relativamente às ideias, conceitos e processos matemáticos envolvidos nas tarefas.

Nesta perspetiva, a aula exploratória, onde predominam tarefas abertas, convida os alunos à realização de trabalho matemático rico e desafiante e a que estes expressem e justifiquem os seus raciocínios. Na fase de discussão coletiva evidenciam-se as situa-ções de comunicação, com apresentação de argumentos matemáticos e a negociação de significados e evidenciam-se os momentos de sistematização de ideias, conceitos e procedimentos aprendidos a partir da realização da tarefa. Em suma, os alunos apren-dem a partir da sua experiência matemática e da sua reflexão sobre essa experiência.

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Capítulo 2As competições e o ensino e aprendizagem da matemática

Dina Tavares1,2 e Hélia Pinto1

1ESECS, CI&DEI, Politécnico de Leiria e 2CIDMA, Departamento de Matemática, Universidade de Aveiro

IntroduçãoSão diversos os contextos em que a criança é confrontada com a resolução de pro-blemas, seja de forma informal, em casa, no seu dia-a-dia ou de forma mais formal na escola, em sala de aula, em atividades extracurriculares ou ainda em competições ma-temáticas.

Temos acompanhado, nos últimos anos, o surgimento de uma crescente oferta de atividades fora de sala de aula e, em particular, de competições matemáticas, ao mes-mo tempo que aumenta também o interesse destas atividades por parte da investiga-ção em educação matemática. De acordo com Koichu e Andzans (2009) as atividades em contexto extra aulas proporcionam ao aluno oportunidades de desenvolvimento pessoal, intelectual e criativo, sendo um complemento do processo de ensino e apren-dizagem em sala de aula. Em particular, as competições matemáticas e todo o trabalho de preparação desenvolvido em torno destas, que muitas vezes envolve a resolução de problemas, podem promover o desenvolvimento do raciocínio e da comunicação mate-mática, ao mesmo tempo que valorizam e incrementam o gosto por esta área.

Neste capítulo pretendemos abordar as competições matemáticas e perspetivar possíveis implicações que a participação dos alunos em competições matemáticas, e que centram a sua ação na resolução e/ou formulação de problemas, podem trazer para o processo de ensino e aprendizagem.

Competições matemáticas Como já referimos, a par da sala de aula, existem outros ambientes onde também pode ocorrer aprendizagem matemática, nomeadamente: em ambiente familiar, na participa-ção em atividades domésticas diárias; em atividades extracurriculares; em atividades de ciência; em escolas de verão, em sites na internet ou em competições matemáti-cas. Estudos nacionais e internacionais (e.g. Kenderov, et al. (2009), Wedege & Skott (2007), Jacinto & Carreira (2011)) salientam a importância deste tipo de atividades, realizadas para além da sala de aula, no desenvolvimento de capacidades de resolução de problemas e comunicação matemática, no uso relevante das tecnologias no traba-lho com a matemática, bem como numa ligação afetiva dos jovens e da família com a matemática. Conforme refere Kenderov et al. (2009), “a sala de aula é apenas um dos


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locais onde a educação habita” (p. 53).A participação do aluno em atividades fora da sala de aula, sendo quase sempre

facultativa, pode gerar maior interesse e motivação, levando-o a envolver-se de forma mais ativa nas atividades propostas. Esta participação, por norma, permite-lhe maior autonomia para pensar, agir e explorar temas e ambientes novos, algo que em sala de aula, nem sempre é possível. De acordo com Simpkins, Davis-Kean e Eccles (2006), a participação do aluno em atividades extracurriculares, no âmbito das ciências e, em particular, da matemática, contribui significativamente para o desenvolvimento da sua autoestima e do seu autoconceito, levando a uma maior valorização destas áreas no seu percurso escolar.

Em Portugal, nos últimos anos, tem-se assistido ao aparecimento de um crescente número de competições matemáticas, promovidas, na maioria das vezes por instituições do Ensino Superior. São exemplos disso: as Olimpíadas Portuguesas de Matemática, o Canguru Matemático sem Fronteiras, as Competições Nacionais de Ciência (que in-tegram, na área da Matemática, as competições diz4, maismat, equamat e mat12), os campeonatos de Matemática SUB12 e SUB14, a Matemáticas na Raia, os Desafios e o Matematrix. Para Kenderov et al. (2009) “(…) as competições matemáticas, contemplam, ampliam e enriquecem o trabalho feito em sala de aula” (p. 53).

De acordo com Carreira, Amado, Ferreira, Jacinto, Nobre e Amaral (2013) “as com-petições podem dividir-se em duas grandes categorias: exclusivas e inclusivas” (p. 54). Explicitam que as competições exclusivas envolvem um caráter seletivo, na medida em que se destinam essencialmente a alunos excecionais e com elevada apetência para a matemática, como por exemplo, as Olimpíadas Portuguesas de Matemática ou as Olimpíadas Internacionais de Matemática, que envolvem normalmente tarefas de um elevado grau de dificuldade. Relativamente às competições de natureza inclusiva refe-rem, que em geral, são dirigidas a toda a comunidade estudantil, tendo um caráter de enriquecimento educacional. São exemplos destas, os Desafios e o Matematrix, uma vez que estão abertos a todos os alunos de um ou mais anos de escolaridade, inde-pendentemente do seu desempenho escolar. No caso do Matematrix, incentiva ainda o trabalho colaborativo entre alunos com diferentes graus de aptidão para a matemática, uma vez que a participação no concurso é feita em grupo. Esta inclusão não significa que a natureza das tarefas não seja desafiadora, mas sim que o aluno perante tais tare-fas se sinta motivado para as resolver, mesmo que o percurso seja longo e envolva al-gum esforço, favorecendo a mobilização da sua curiosidade, imaginação e criatividade (Carreira, Ferreira & Amado, 2013).

Alguns estudos (e.g. Kenderov, et al. (2009), Amado, Carreira & Ferreira (2016)) salientam que a participação dos alunos em competições de natureza inclusiva tem influ-ência positiva na sua motivação para aprenderem matemática. Deste modo, estas com-petições parecem atingir os seus objetivos, na medida em que, geralmente, pretendem estimular o gosto pela matemática e por fazer matemática e, em particular, identificar


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se o aluno é capaz de raciocinar matematicamente e usar estratégias e representações adequadas para resolver os problemas propostos. Assim, apesar das competições exis-tentes serem distintas, nomeadamente no formato (duração, público-alvo, entre outros aspetos), há sempre um design comum na natureza das tarefas desafiadoras propostas aos alunos, nomeadamente a resolução de problemas matemáticos. De acordo com o NCTM (2007), a resolução de problemas permite ao aluno “adquirir modos de pensar, hábitos de persistência e curiosidade, e confiança perante situações desconhecidas (...)” (p.57), pelo que são tarefas essenciais em competições matemáticas.

As tarefas propostas em competições matemáticas, nomeadamente no Matematrix e Desafios, nem sempre têm uma ligação imediata com os conteúdos curriculares que os alunos estão a trabalhar em sala de aula, sendo ambientes propícios à mobilização de diferentes conceitos e procedimentos e diferentes heurísticas, como por exemplo, usar um esquema, uma tabela ou um desenho, generalizar uma ideia, fazer uma simulação, descobrir um padrão, reduzir a um caso mais simples, ou trabalhar do fim para o prin-cípio. Deste modo, a participação em competições matemáticas pode promover uma motivação acrescida para que tanto alunos como professores explorem e aprofundem o conhecimento sobre diferentes estratégias de resolução de problemas (Gómez, Rincón & Pérez, 2016).

Para Gómez et al. (2016), a falta de conhecimento de estratégias específicas para re-solver problemas, como a tentativa e erro e a visualização, podem gerar dificuldades na resolução de problemas em competições matemáticas, uma vez que nestas situações a aplicação de uma determinada estratégia pode não surgir de forma inata da intuição ou do conhecimento matemático do aluno. Em particular nos Desafios, o uso de diferentes estratégias de resolução de problemas e a capacidade de as implementar em contextos diversificados são algumas das capacidades necessárias à resolução dos problemas propostos nas provas. Muitos destes problemas apresentam ainda contextos visuais/espaciais cuja resolução requer o recurso a estratégias específicas que envolvam, por exemplo, a construção de esquemas ou diagramas que traduzam a situação problemá-tica; a interpretação de figuras não como um todo mas pelas suas partes constituintes; ou o estudo de padrões e regularidades.

O conhecimento de estratégias diferenciadas para resolver situações problemáticas pode dotar o aluno de ferramentas que permitam explorar diferentes pontos de vista de problemas reais. Nem sempre o uso direto de algoritmos ou a aplicação de determina-dos conceitos são suficientes para solucionar um determinado problema. Para resolver problemas, tanto em competições matemáticas como futuramente na sua vida pessoal e profissional, é necessária, ao aluno, alguma destreza no cálculo e no raciocínio matemá-ticos, mobilizando tanto conhecimentos do dia-a-dia como conhecimentos matemáticos.

Por conseguinte, as competições matemáticas podem também ser um meio para for-necer a professores e a alunos inputs inovadores, essencialmente ao nível das tarefas que procuram estar alinhadas com as inovações curriculares e pedagógicas. Segundo


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Amaral (2016) é de extrema importância a proposta de tarefas criativas que suscitem no aluno o desafio e a curiosidade ao mesmo tempo que promovem liberdade de re-solução e expressão através do uso de estratégias diferenciadoras e que estimulem o raciocínio e a comunicação matemática.

Neste sentido, os Desafios têm motivado alguns estudos, como por exemplo, o re-alizado por Simões (2016), que estudou a noção de número racional em alunos do 4.º ano de escolaridade que realizaram a prova DESAFIOS 2012. Mais concretamente, a autora tentou perceber a noção de partilha equitativa, bem como de comparação de frações dos referidos alunos, através das estratégias e dificuldades que apresentaram na resolução de uma tarefa relativa aos números racionais. Para atingir o referido obje-tivo analisou as provas de matemática realizadas por 1330 alunos de 21 agrupamentos do Distrito de Leiria. De salientar que os alunos que participaram no concurso “DESA-FIOS 2012”, frequentaram o 1.º ano do ensino básico, já no âmbito da entrada em vigor do Programa de matemática do Ensino Básico - PMEB (ME, 2007).

Assim, depois de ter analisado 1330 resoluções da tarefa “A turma do João foi fa-zer uma visita de estudo a Lisboa. Para o lanche a professora preparou sandes todas iguais e guardou-as em sacos de papel, de dois tamanhos diferentes, para distribuir por grupos de três ou de quatro alunos: Saco do tipo A: 2 sandes para grupos de três alunos; Saco do tipo B: 3 sandes para grupos de quatro alunos Quando chegaram do passeio, o João afirmou: “Os grupos de 3 alunos comeram mais do que os grupos de 4 alunos”. Concordas com o João? Explica como pensaste”, Simões (2016) verificou que os alunos que resolveram corretamente ou parcialmente a tarefa, apresentaram diferentes estratégias para a partilha equitativa das sandes.

Segundo a autora, a modelação icónica da tarefa foi a estratégia mais usada por estes alunos para a partilha equitativa das sandes, bem como formas intuitivas de pen-samento para a comparação de frações, que parecem também ter emergido da referida modelação (e.g. Figuras 1 e 2).

Figura 1: Produção com recurso à modelação icónica e comparação intuitiva


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Figura 2: Produção com recurso à modelação icónica e comparação intuitiva

Posteriormente, estes alunos concluíram que 2/3 é menor que 3/4, parecendo ter suportado o seu raciocínio de comparação das frações na modelação icónica da tarefa, conforme evidenciam nas suas produções ao recorrerem ao modelo retangular (e.g. Figura 1) e ao modelo circular (e.g. Figura 2). Estes modelos parecem ter promovido a visualização das diferentes quantidades de sandes que cada aluno comeu e facilitado a comparação de 2/3 com 3/4.

Em suma, apesar da tarefa ter proporcionado o surgimento de diferentes estratégias de resolução, podemos ainda concluir que a formulação da mesma, envolvendo a re-flexão sobre uma afirmação feita por um aluno, ou seja, não questionando diretamente que parte da sandes come cada aluno, pode ter sido inovador para algumas crianças, levando-as a inferir que a resposta/resolução poderia ser (quase) imediata, não neces-sitando de cálculos, esquemas, ou outro tipo de estratégias para obter a sua resposta. De acordo com NCTM (2007), a formulação das tarefas propostas, tanto em sala de aula como noutros contextos, como são exemplo as competições matemáticas e em particular os Desafios, devem procurar incentivar a diversidade de estratégias na pro-cura de uma resposta à pergunta formulada, não sugerindo de imediato uma forma de resolução definida à priori.

Noutro estudo, também motivado pelos Desafios, Tavares, Pinto e Rodrigues (2016), tentaram perceber a criatividade emergente na resolução e formulação de problemas em contexto extra-aula. Assim, analisaram as produções de 53 alunos para a resolução de uma tarefa de análise de dados (Figura 3) que constava da prova final do concurso DESAFIOS 2016, com o objetivo de compreenderem a criatividade dos alunos do 4.º ano na sua resolução.


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Figura 3: Tarefa da prova da fase final dos DESAFIOS 1.º CEB

Esta tarefa exigia aos alunos conhecimentos ao nível do tópico de Organização e Tratamento de Dados, nomeadamente, no que concerne à análise, interpretação e re-presentação de dados, bem como à elaboração de uma notícia acerca do tema horas de sono. Deste modo, pretendia-se que os alunos fizessem a interpretação dos da-dos enfatizando o uso de conceitos e destrezas matemáticos, não se limitando a uma simples leitura da informação no gráfico (Curcio, 1989). A natureza aberta da tarefa propiciava a oportunidade do emergir de ideias inovadoras, onde se podiam identificar as componentes da criatividade consideradas por Silver (1997), nomeadamente: (i) fluência, relacionada com a capacidade de produzir um grande número de resoluções ou ideias para uma mesma tarefa; (ii) flexibilidade, relativa à capacidade de apresentar diferentes categorias de respostas, ou seja, de mostrar pensamentos e ideias diver-gentes exprimindo-os ou justificando-os; (iii) originalidade, que envolve a capacidade de ser diferente, produzindo ideias não usuais e não convencionais; e (iv) elaboração, relacionada com a capacidade de apresentar um grande número de particularidades relativas a uma ideia.

Com a análise de dados, Tavares et al.(2016) verificaram que a maioria dos alunos restringiu a sua resposta à descrição dos dados apresentados na tabela, ou seja, a uma leitura direta sem qualquer interpretação, atendendo apenas aos factos representados (e.g. Figura 4).


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Figura 4: Exemplo de produções dos alunos

Segundo as autoras, estes resultados evidenciam um parco desenvolvimento de qualquer uma das componentes de criatividade acima referidas, corroborando as ideias de Gontijo (2015), quando destaca o conhecimento matemático como essencial e de-terminante no processo criativo. Porém, a par dos aspetos cognitivos, o autor também enfatiza os aspetos afetivos, considerando que a criatividade associa estes dois aspe-tos. Mas, no contexto estudado, os aspetos afetivos parecem inerentes ao mesmo, na medida em que este tipo de concurso associa a dimensão cognitiva à afetiva (Freimar & Lirett, 2013, citados por Carreira e Amaral (2013)).

Tavares et al. (2016) referem que muitos são os fatores que podem ter contribuído para estes resultados, porém não serão alheios aos mesmos, a pouca valorização da criatividade nas salas de aula de matemática. Para as autoras, sendo este um assunto que apenas recentemente tem merecido o interesse por parte da investigação em Edu-cação Matemática em Portugal, poderá significar que os estudos já realizados neste domínio, ainda não tiveram o impacto desejado na aula de matemática, quer ao nível da importância que lhes é dado pelos professores, quer ao nível da integração que os alunos fazem deste assunto, nas suas produções matemáticas.

Efetivamente, apenas nos últimos anos têm surgido investigações que referem que a aprendizagem da matemática através da exploração de tarefas desafiantes, nomeada-mente da resolução e/ou formulação de problemas, está relacionada com o desenvol-vimento nos alunos do seu potencial criativo (e.g. Gontijo (2015), Vale (2015)). Tam-bém Silver (1997) salienta que a criatividade matemática é concretizada na resolução de problemas, quando esta atividade produz soluções únicas, inovadoras e originais, sustentadas pelo pensamento matemático flexível, pela curiosidade e pela imaginação. Para Amaral (2016), o talento e a criatividade matemática, não sendo traços intrínsecos do aluno, necessitam de ambientes motivadores e desafiantes que podem ser encon-trados, por exemplo, em competições matemáticas que envolvam essencialmente a re-solução e/ou a formulação de problemas. Segundo o autor, estas podem ser ambientes propícios para o desenvolvimento de capacidades criativas.


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ConclusãoSão muitos os estudos internacionais e nacionais que apontam que as competições, como são exemplos os Desafios e o Matematrix, que se revestem de um caráter inclu-sivo, estendendo-se a toda a comunidade escolar e não apenas a um grupo seletivo de alunos, podem ser encaradas como uma forma de promover uma aprendizagem rica e o desenvolvimento dos alunos em matemática (Kenderov, et al. (2009), Amado, Carreira & Ferreira (2016)).

Pelas características das competições matemáticas e essencialmente pela nature-za das tarefas desafiantes e inovadoras, baseadas essencialmente na resolução e na formulação de problemas, consideramos que a participação dos alunos neste tipo de atividades extracurriculares, em articulação com a sala de aula, pode traduzir-se num estímulo ao desenvolvimento do raciocínio e da comunicação matemática. Resolver problemas, para além da sala de aula, pode também estimular os alunos participantes a procurar estratégias e representações ricas e inovadoras que promovam o desenvol-vimento da criatividade matemática do aluno; a conceção de novas formas de pensar sobre situações problemáticas e a participação ativa em novos desafios, fatores de extrema importância na sociedade atual.

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Capítulo 3Números e Operações e a resolução de problemas

Dina Tavares1,2 e Nuno Raínho1


IntroduçãoA matemática e os números estão presentes nas nossas vidas desde cedo. Ainda an-tes do pré-escolar as crianças aprendem a utilizar, em contexto, os primeiros números naturais e efetuam contagens orais. Em regra são estas as primeiras experiências nu-méricas das crianças. No entanto, a construção e compreensão de número é bastante mais complexa, decorrendo ao longo de vários anos e exigindo um percurso rico em ex-periências diversificadas e com recurso a materiais estruturados ou semiestruturados.

Nos primeiros anos, as crianças vão usar as experiências/vivências a que estão su-jeitas para efetuar contagens e para comparar, ordenar e relacionar números, cons-truindo ideias numéricas. Assim sendo, é nesta altura que devemos proporcionar às crianças tarefas que estimulem o pensamento, que permitam pensar de várias formas, que permitam comunicar e que permitam trabalhar os números nos seus diferentes significados, isto é, que possibilitem à criança desenvolver o seu sentido de número.

O sentido de número não é um conceito de definição fácil e objetiva, podemos dizer mesmo que é um conceito bastante abrangente. Destacamos algumas ideias de McIn-tosh, Reys e Reys (1992) sobre o que envolve o sentido de número:

(a) Conhecimento e destreza com números, incluindo as múltiplas repre-sentações dos números, o sentido da grandeza relativa e absoluta dos nú-meros, a composição e decomposição de números e a seleção e uso de referências;(b) Conhecimento e destreza com as operações, o que inclui a compreen-são dos efeitos de uma operação, a compreensão e o uso das propriedades das operações e as suas relações;(c) Aplicação, mobilidade dos conhecimentos, destreza com os números e com as operações em situações de cálculo, consciencialização da existên-cia de múltiplas estratégias e apetência para usar representações eficazes.

Serrazina (2007), reforça ainda que a noção de sentido de número envolve aspe-tos como a compreensão dos diferentes significados do número, o conhecimento da grandeza relativa dos números, a compreensão do efeito relativo das operações e das propriedades de cada uma, bem como o uso adequado de números de referência.

Compreender os números e as operações, desenvolver o sentido de número e fluir


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no cálculo são considerados como aspetos fundamentais da Matemática nos primei-ros anos (NCTM, 2007), devendo este trabalho ser continuado ao longo de todo o percurso escolar. No entanto, apesar das diversas orientações curriculares sobre a im-portância do desenvolvimento do sentido de número e da compreensão dos números e das operações, continuamos a assistir a práticas repetitivas envolvendo o trabalho com números, sem lhes dar significado, e ainda à introdução precoce dos algoritmos das operações.

Para Treffers e Buys (2001), um aluno, desde o pré-escolar, progride ao longo de três níveis de cálculo, o que permitirá orientar as suas aprendizagens tanto em termos de números como em termos das operações (adição, subtração, multiplicação e divi-são). O primeiro nível - cálculo por contagem – envolve o recurso a materiais que per-mitam efetuar contagens/cálculos simples; o segundo nível – cálculo por estruturação – envolve o recurso a modelos estruturados de apoio ao cálculo; o terceiro e último nível – cálculo formal – envolve a utilização dos números como objetos mentais, usando estratégias de cálculo inteligentes e flexíveis, baseadas na estrutura dos números e nas propriedades das operações (Brocardo, Serrazina & Rocha, 2008).

Neste processo, o papel do professor torna-se crucial na seleção de tarefas ade-quadas e na forma como as implementa em sala de aula, de modo a desenvolver es-tratégias flexíveis de cálculo e permitir a aquisição de conhecimentos e ferramentas importantes tanto ao nível dos números como das operações, necessários para operar ao nível da abstração.

De acordo com o NCTM (2007) o ensino dos números e das operações deve ha-bilitar o aluno para: a) compreender os números, formas de representação dos núme-ros, relações entre números e sistemas numéricos; b) compreender o significado das operações e o modo como elas se relacionam entre si; c) calcular com destreza e fazer estimativas plausíveis (p. 172). Tendo por base as ideias abordadas anteriormente, ao longo dos anos para os Desafios procurámos conceber tarefas promotoras do desen-volvimento do sentido de número e das operações, onde destacamos, por exemplo, as tarefas: NO1. “Um lanche”, NO2. “Quantas mesas tem a sala?”, NO4. “Rosas em jarras”, NO8. “Cartões”, NO10. “João e Filipa vão namorar”, NO17. “Páginas de um folheto”, NO19. “Combinação de sabores”, NO27. “Pirâmide da multiplicação” ou NO29. “O carpinteiro”.

Se desenvolver o sentido de número no contexto dos números naturais não é uma tarefa fácil, desenvolver o sentido de número racional tem-se revelado ainda mais com-plexo (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999; Fernandes, 2013), não existindo entre in-vestigadores grande unanimidade na definição de um nível de ensino para se introduzir, em sala de aula, os números racionais. Para Smith (2002) as primeiras experiências das crianças com conceitos relacionados com estes números devem começar mesmo antes da entrada para a escola. Monteiro e Pinto (2007) afirmam que:


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a partir dos 7 anos, as crianças podem iniciar a resolução de problemas que levem à linguagem das frações partindo da resolução de problemas significativos e que durante os 3.º e 4.º anos podem ser progressivamente introduzidas simbologias formais (p. 5).

Em Portugal, de acordo com as orientações curriculares, os números racionais co-meçam a ser trabalhados, intuitivamente, nos dois primeiros anos do 1.º Ciclo do En-sino Básico. Este primeiro contacto deve surgir com a exploração de situações de partilha equitativa e também de tarefas que envolvam a divisão da unidade em partes iguais, recorrendo em ambos os casos a modelos e à representação em forma de fra-ção (MEC, 2013).

Uma aprendizagem significativa dos números racionais deve envolver “a coorde-nação de múltiplas e diferentes ideias e interpretações que estão, no entanto, interre-lacionadas” (Lamon, 2007, p. 23). Para isso, consideramos que uma abordagem que tenha por base a resolução de problemas pode ser propícia para o aluno, favorecendo a exploração e discussão de ideias matemáticas e valorizando o seu raciocínio e pen-samento crítico de acordo com os contextos usados (dinheiro, partilha em contextos reais, etc). São exemplos disso, as tarefas: NO15. “As contas”, NO20. “A visita de es-tudo a Lisboa”, NO22. “Berlindes e botões” ou CM13. “ O estacionamento”.

Um número racional pode ser usado com vários significados, dependendo do con-texto em que é aplicado. Segundo Kieren (1976, citado por Pinto, 2004) existem sete interpretações deste conceito, das quais se tem vindo a destacar apenas cinco: parte--todo, quociente, razão, operador e medida. Para Behr, Lesh, Post e Silver (1983) estas interpretações são essenciais para o desenvolvimento do conceito de número racional. Ainda segundo estes autores, um aluno só desenvolverá uma boa compreensão do nú-mero racional se compreender cada um dos seus significados isoladamente e também compreender as possíveis relações entre eles.

Para além destas componentes, uma aprendizagem significativa dos números racio-nais, no final do 1.º CEB, implica que o aluno seja capaz de estabelecer relações entre as suas diferentes representações simbólicas: fração, decimal (até à milésima) e per-centagem, bem como a sua associação a representações pictóricas ou verbais. Neste contexto, devem ser valorizado o trabalho que envolva situações de partilha equitativa e de medida, o uso de números de referência, como por exemplo, 50%, 0,5 e ½, e o re-curso a contextos que permitam utilizar representações retangulares ou circulares. Nos Desafios, são exemplos de situações desta natureza as tarefas NO23. “O aniversário do Tiago”, NO24. “Copos às riscas” ou CM13. “O estacionamento”.

A interpretação de um número racional depende sempre da unidade considerada (Monteiro & Pinto, 2005). Neste contexto, a unidade pode ser de natureza contínua (quando se pode dividir infinitamente) ou de natureza discreta (quando composta por elementos que se podem enumerar, mas sendo indivisíveis). Ao longo da conceção de


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problemas envolvendo números racionais, procurou-se também diversificar as tarefas neste sentido. Por exemplo, as tarefas NO11. “Chocolate” e NO31. “As pizas” envol-vem unidades de natureza contínua, enquanto que as tarefas NO20. “A visita de estudo a Lisboa” e NO23. “O aniversário do Tiago” envolvem unidades de natureza discreta.

Em suma, para proporcionar aos alunos, desde os primeiros anos, um melhor desen-volvimento do sentido de número cabe ao professor tentar propor tarefas desafiantes que exijam ter e justificar ideias, raciocinar, testar conjeturas, e pensar de forma divergen-te (Cobb, et al., 1991; Gravemeijer, et al., 1993; Kroesbergen & van Luit, 2002).

É com este pensamento que a equipa que há 20 anos dinamiza os Desafios con-cebe problemas matemáticos envolvendo, entre outros, o tópico de números e opera-ções. Procuramos desde sempre que as situações problemáticas apresentadas este-jam relacionadas com o quotidiano dos alunos, proporcionem contagens significativas com recurso a modelos estruturados e sobretudo sejam desafiadoras, tentando assim contribuir de forma positiva para o processo de ensino/aprendizagem da Matemática, e claro, para o desenvolvimento de sentido de número. São exemplos disso, as tarefas NO3. “Os bilhetes para o concerto”, NO14. “Bombons”, NO16. “O desfile”, NO20. “A visita de estudo a Lisboa”, NO23. “O aniversário do Tiago”.

Problemas no domínio dos Números e Operações

NO1. Um lancheSe conseguires chegar à final do concurso (vais conseguir), na Escola Superior de Educação vão oferecer-te um lanche. Na mesa irão estar 3 tipos diferentes de bebidas (leite, sumo de laranja e água) e 3 tipos de sandes (queijo, fiambre e doce). Como só podes escolher uma bebida e uma sandes, quantos lanches diferentes são possíveis de formar?Mostra como chegaste à tua resposta, usando palavras, ou desenhos, ou esque-mas, ou contas.

Prova Eliminatória 2001


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NO2. Quantas mesas tem a sala de aula?As mesas de uma sala de aula são individuais e estão arrumadas por filas. Cada fila tem o mesmo número de mesas. O Zé senta-se na segunda fila da frente, que é a terceira fila a contar de trás. O seu lugar é o terceiro a contar da esquerda e o quinto a contar da direita.Quantas mesas tem a sala de aula?Mostra como chegaste à tua resposta, faz um desenho.

Prova Final 2001

NO3. Os bilhetes para o concertoCom vista a encorajar as pessoas a assistirem a um concerto musical, a estação de rádio 94FM decidiu oferecer 1024 bilhetes grátis. Cada dia são oferecidos metade dos bilhetes que a rádio tem. Quantos dias são necessários para que a rádio tenha apenas um bilhete para oferecer?Explica como pensaste.

Prova Final 2001

NO4. Rosas em jarrasNo dia da mãe, a Sofia comprou um lindo ramo de 12 rosas para oferecer à sua mãe. A mãe colocou as rosas em jarras. Descobre de quantas maneiras diferen-tes poderia a mãe da Sofia ter arrumado as rosas pondo sempre a mesma quan-tidade de rosas em cada jarra.Mostra como chegaste à tua resposta, usando palavras, ou desenhos, ou esque-mas, ou contas.



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NO5. Os mágicos da cidadeNuma cidade todos os habitantes são figuras geométricas. Os 37 mágicos da cidade são seres geométricos muito estranhos, uns são qua-drados, outros são círculos. Sabendo que há mais cinco quadrados do que círculos, quantos mágicos são quadrados?

Prova Final 2004

NO6. O autocarro cilíndricoA cidade das figuras geométricas possui um autocarro cilíndrico que transporta os meninos para as escolas. Os meninos da cidade são triângulos e hexágonos. Na primeira paragem saíram 3 triângulos e entraram 7 hexágonos. Na segunda paragem saíram 2 triângulos e 1 hexágono. Finalmente, na terceira paragem saíram 12 hexágonos. Sabendo que o autocarro ficou vazio, quantos meninos estavam inicialmente dentro do autocarro?Apresenta de forma clara a forma como pensaste.

Prova Final 2004

NO7. O castelo realA cidade das figuras geométricas possui um castelo real. Para entrar no castelo é necessário um número secreto constituído por quatro algarismos. Sabe-se que:

A soma dos quatro algarismos do número secreto é 9;Nenhum algarismo é zero;O número termina em 5;O número é maior que 2004.

Descobre qual é o número secreto.

Prova Final 2004


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NO8. CartõesObserva os cinco cartões abaixo, onde aparecem quatro com algarismos distintos e um com a vírgula.

8.1. Se a vírgula permanecer no mesmo lugar, qual é o maior número possível que podes formar com esses cartões?8.2. E o menor?8.3. E um número entre 30 e 40?


NO9. Multiplicar por 8Lê o seguinte diálogo entre duas amigas, passado na aula de Matemática:

- Posso multiplicar 8 por outro número e obter, como resultado, um número que é menor do que 8 – afirmou a Ana.

- Não, não podes – respondeu a Vera. – Quando multiplicas 8 por outro núme-ro, o resultado é sempre um número maior do que 8.Qual das duas amigas tem razão, a Ana ou a Vera? Explica a tua resposta. Podes fazê-la por palavras, ou dando exemplos.

Prova Final 2007

NO10. João e Filipa vão namorar!João pediu Filipa em namoro. Filipa disse-lhe que aceitaria o pedido com uma condição: não poderiam dizer a ninguém.


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- Se preferes não direi a ninguém. – respondeu João.Filipa franziu as sobrancelhas. Ela teria que dizer às suas 2 melhores amigas.- Por mim tudo bem. – respondeu João. Ele próprio iria dizer apenas aos seus dois melhores amigos.- E se cada uma das minhas amigas disser a outras duas pessoas? – pergun-tou a Filipa.- Não sei. – respondeu o João. E se os meus 2 amigos fazem o mesmo? Talvez seja melhor pensar um pouco sobre isto.

10.1. Se uma hora depois o João e a Filipa contarem aos seus melhores amigos, quantos amigos saberão que os dois estão a namorar?

10.2. Se demorar uma hora para que cada amigo diga a 2 amigos a notícia:10.2.1. Quantos novos amigos vão saber?10.2.2. No total, quantos amigos sabem do namoro?

10.3. A esta velocidade quantas horas vai demorar até que 60 pessoas sai-bam do namoro? (Parte do pressuposto de que cada pessoa que sabe o se-gredo o conta a 2 amigos diferentes e apenas a 2, e que demora exatamente uma hora a fazê-lo).10.4. E quanto tempo vai demorar até que toda a escola – 500 alunos – saiba do namoro?10.5. Considera o novo diálogo:

- Isto nunca vai resultar. — diz o João.- Tens razão. Mas tenho uma ideia. Como estávamos a pensar, cada um de nós diria a 2 amigos, o que faz um total de 4. Porque é que não dizemos unicamen-te a 3? Fazemos uma lista em conjunto, de 3 pessoas a quem queremos dizer. — diz a Filipa.- Boa! – diz o João. — E cada um deles só pode dizer a 3 amigos.

Usando esta nova estratégia, irá demorar mais ou menos tempo até que 60 pessoas conheçam o segredo.

10.6. Quanto tempo irá demorar até que toda a escola conheça o segredo?

Adaptado de Greenberg, D. (1992).

Prova Final 2007


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NO11. ChocolateA Carla comeu metade de um chocolate.A Sara comeu metade de outro chocolate.Lê os seguintes comentários:

Carla: Comi mais chocolate que tu.Sara: Não é verdade, comeste exatamente a mesma quantidade de chocolate que eu.

A Carla tem razão no que diz.Explica como é possível a Carla ter comido mais chocolate que a Sara.


NO12. Salvar uma árvoreNuma pastelaria produzem-se todos os dias 8 kg de lixo. Desse lixo, a quarta parte é papel que pode ser reciclado.De acordo com a gravura, quantos dias serão precisos para juntar o papel necessário para salvar uma árvore? Explica como pensaste.

Prova Final 2008

NO13. BerlindesDois amigos, o Pedro e o Mário, fazem coleção de berlindes. Os dois juntos têm 85 berlindes. O Mário começou a sua coleção mais cedo e tem o quádruplo dos berlindes do Pedro. Quantos berlindes tem cada amigo?Explica como pensaste.



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NO14. BombonsA Ana, a Rita, a Maria e a Carla são irmãs. Um dia a mãe comprou uma caixa de bombons e colocou-a na cozinha. Todas tiveram a mesma ideia: de noite, en-quanto as outras dormiam, iriam à cozinha e tirariam da caixa alguns bombons. E assim foi:

a Ana foi a primeira e tirou 1/4 dos bombons;a Rita foi a segunda e tirou 1/3 dos bombons que encontrou;a Maria foi a terceira e tirou metade dos bombons restantes;a Carla foi a última e já só encontrou 3 bombons e tirou-os todos.

Quem ficou com mais bombons?Na tua resposta deves explicar o teu raciocínio, usando palavras, desenhos ou cálculos.


NO15. As contasO Sr. Silva, que é pai da Maria, ganha 900€ por mês.Como acontece todos os meses, ele tem de gerir muito bem o seu ordenado, visto que tem de gastar:

a quinta parte na renda da casa;a terça parte nas contas de água, gás, luz e telefone;a quarta parte em alimentação;a décima parte em transportes.

Depois de ter pago todas as suas obrigações, quanto lhe sobrou para outras despesas?



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NO16. O desfileOs alunos de uma turma de Ginástica de um clube desportivo de Leiria estão a preparar o sarau do fim do ano letivo. No final do sarau, em forma de despedida, todos os alunos da turma irão desfilar em cima do palco. Como já se estão a fazer os preparativos, sabe-se que:

se os alunos desfilarem em filas de 5, ficam 3 alunos na última fila.se os alunos desfilarem em filas de 6, ficam 4 alunos na última fila.se os alunos desfilarem em filas de 7, não sobra nenhum aluno.

Como a organização está a preparar um lanche para todos, necessita de saber quantos alunos tem a turma de Ginástica.Determina quantos alunos tem a turma e explica à organização do desfile como obtiveste esse número.

Prova Final 2010

NO17. Páginas de um folhetoPara construir um folheto, o Pedro começou por dobrar uma folha de papel A4 ao meio, criando assim quatro páginas.Como tinha muita informação dobrou ao meio várias páginas A4 formando então, um folheto como o da figura 1.

Figura 1 Figura 2

Como qualquer folheto deve estar numerado, o Pedro foi procurar como se devia fazer a numeração. Na Internet encontrou que o procedimento habitual é numerar as páginas da direita com números ímpares e as páginas da esquerda com nú-meros pares.Na figura 2 é apresentada uma das folhas A4, que constituirá o folheto, já nume-rada de acordo com a informação anterior.


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17.1. Observando a figura 2, onde estão definidas as páginas 8 e 57, desco-bre quais os dois números das páginas definidas no verso da mesma folha.17.2. Observando a numeração das páginas da figura 2, determina quantas páginas tem o folheto do Pedro.17.3. Uma amiga do Pedro, a Joana, adorou a ideia de construir um folheto e, usando o mesmo processo de dobrar ao meio as folhas A4, construiu um folheto para si com 32 páginas.

17.3.1. Quantas folhas A4, a Joana precisou de dobrar para construir o seu folheto?17.3.2. Quais serão os números das páginas centrais do folheto da Joana?

Adaptado de Millington, J. (2003).

Prova Final 2010

NO18. Ida ao centro comercialO Tomás foi com a mãe ao centro comercial.

18.1. Quando passou na entrada para o cinema, o Tomás esteve a ler os se-guintes cartazes com informações relativas ao preço dos bilhetes e aos filmes de Animação mais vistos no último mês.Qual dos 3 filmes gerou maior receita? Explica como chegaste à tua resposta.

Tipo de bilhete PreçoCriança/Estudante 5€

Adulto 6€

Número de bilhetes vendidosEntrelaçados As aventuras de Sammy Rango

Criança/Estudante 500 850 750Adulto 300 150 250

18.2. Enquanto a mãe comprava fruta no supermercado o Tomás entreteve-se a pesar fruta numa balança. Depois de efetuar várias pesagens apercebeu-se que três maçãs e um ananás pesam o mesmo que duas dúzias de ameixas, e que um ananás e uma maçã pesam tanto como 18 ameixas. Quantas ameixas são necessárias para chegar ao peso de um ananás? Explica como pensaste.



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NO19. Combinação de saboresUma geladaria tem cinco sabores de gelado disponíveis: baunilha, caramelo, chocolate, morango e limão.

19.1. Quantos gelados, com duas bolas de sabores diferentes, se conseguem fazer? Explica como pensaste.19.2. Se optar por comer o gelado com bolacha havendo dois tipos de bolachas, quantos gelados com as duas bolas de sabores diferentes e com bolacha se podem fazer?

Explica como pensaste.


NO20. A visita de estudo a LisboaA turma do João foi fazer uma visita de estudo a Lisboa.Para o lanche a professora preparou sandes todas iguais e guardou-as em sacos de papel, de dois tamanhos diferentes, para distribuir por grupos de três ou de quatro alunos:Saco do tipo A: 2 sandes para grupos de três alunosSaco do tipo B: 3 sandes para grupos de quatro alunosQuando chegaram do passeio, o João afirmou:“Os grupos de 3 alunos comeram mais do que os grupos de 4 alunos.”Concordas com o João? Explica como pensaste.


NO21. RebuçadosPara a sua festa de anos a Beatriz comprou alguns rebuçados para oferecer às suas amigas. Para os distribuir de igual forma pelas amigas, comprou saquinhos pequenos para os colocar. Se colocar 4 rebuçados em cada saco sobram 2. Se colocar 5 rebuçados em cada saco sobram 3. Se colocar 6 rebuçados em cada saco não sobra nenhum. Quantos rebuçados tem a Beatriz? Explica como pensaste.

Prova Final 2012


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NO22. Berlindes e botõesA Joana e Ivo estão a brincar com botões e berlindes. A Joana tem 9 botões.

22.1. Que fração dos botões não são amarelos? 22.2. Que fração dos botões está dentro da linha fechada?22.3. Qual é a relação entre 2/3 e 1/3? 22.4. Na figura seguinte estão representados 4/5 dos berlindes do Ivo. Quantos berlindes tem o Ivo? Explica como pensaste.

Adaptado de Monteiro, Pinto e Ribeiro (2010)

Prova Final 2012

NO23. O aniversário do TiagoPara a festa de aniversário do Tiago, a sua mãe preparou um tabuleiro de sandes igual ao da figura.

23.1. Quantas sandes se vão comer, se comerem 1/2 do total?23.2. Quantas sandes se vão comer, se comerem 3/5 do total?23.3. Quantas sandes se vão comer, se comerem 1/4 do total?23.4. Quantas sandes se vão comer, se comerem 8/40 do total?



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NO24. Copos às riscasO Pedro e a Joana estão a comparar a quantidade de sumo dos seus copos. Para isso, com ajuda de um marcador, fizeram marcas nos seus copos, como se mos-tra a seguir:

O Pedro diz que tem mais 25% do que a Joana. Por seu lado, a Joana diz que o Pedro tem mais 20% do que ela. Algum dos meninos tem razão? Se sim, qual?Explica como pensaste.

Prova Final 2014

NO25. Os dadosObserva o dado seguinte e uma planificação possível do dado.

25.1. Qual é a soma das pintas das faces opostas? 25.2. A Maria empilhou quatro dados como mostra a figura.

Determina a soma dos números de pintas das faces ocultas, isto é, das faces que estão em contacto com outras faces, mais aquela que assenta na mesa, tal como sugerem as setas. Explica como pensaste.

Prova Final 2015


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NO26. Embalar bolos Numa fábrica de bolos vão-se embalar 107 bolos. O pasteleiro tem à sua disposição embalagens de 3 bolos e embalagens de 6 bolos. No final, verificou que tinha utiliza-do o mesmo número de embalagens de cada tipo mas que lhe faltava um bolo para completar todas as embalagens.Quantas embalagens de bolos, de cada tipo, foram postas à venda?Explica como pensaste.

Prova Final 2015

NO27. Pirâmide da multiplicaçãoNa pirâmide da multiplicação os números inscritos em cada quadrado da 2ª linha são os produtos dos 2 números que estão nos quadrados imediatamente abaixo. A mes-ma lógica se aplica às linhas mais acima.

27.1. Observa e completa os números em falta.

27.2. Sabendo que os quadrados que compõem a figura são todos iguais e têm perímetro 4cm, determina o perímetro da figura.



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NO28. O Sr. Pequeno e o Sr. GrandeEste é o Sr. Pequeno. A altura do Sr. Pequeno é 4 botões.A altura do Sr. Grande é 6 botões.Quando usamos clips para medir a altura do Sr. Pequeno e do Sr. Grande, verificamos que a altura do Sr. Pequeno é 6 clips.Qual é a altura do Sr. Grande em clips? Explica como pensaste.

Adaptado de Khoury, H. A. (2002).


NO29. O carpinteiroPara construir uma estante completa, um carpinteiro precisa dos seguintes materiais: 4 tábuas compridas; 6 tábuas curtas; 12 grampos e 4 parafusos.

29.1. O carpinteiro tem armazenadas 26 tábuas compridas, 33 tábuas curtas, 100 grampos e 25 parafusos. Quantas estantes completas é que o carpinteiro conse-gue construir? Explica como pensaste.

29.2. Os preços de cada um dos materiais necessários para construir estantes estão registados na seguinte tabela.

Preço (unidade)Tábua comprida 10€

Tábua curta 5€Grampo 0,05€Parafuso 0,15€

Diz o que representa cada uma das seguintes expressões, no contexto do problema.

4×104×10+6×5+12×0,05+4×0,15

7×0,05+0,15


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29.3. Se 2 carpinteiros necessitam de 3 dias para construir 10 estantes, de quan-tos dias irão necessitar 6 carpinteiros para construir 30 estantes? Explica como pensaste.


NO30. Visita de estudoNuma visita de estudo a professora organizou os 24 alunos em pares. Quando saíram da escola, os pares estavam em fila. O Tomás e a Lara formam um par da fila e à sua frente encontram-se 2/3 dos alunos.

30.1. Quantos alunos se encontram atrás do Tomás e da Lara? Explica como pensaste.30.2. Para o lanche, a professora encomendou 9 pizas para dividir de igual forma pelos 24 alunos. O Tomás ao observar as pizas afirmou que cada aluno iria comer 1/3 de piza. Terá o Tomás razão? Explica como pensaste.

Prova Final 2018

NO31. As pizasNo último dia de aulas do 1.º período, o João foi com os seus 23 colegas de turma almoçar a um restaurante. Já no restaurante os 24 alunos encomendaram 18 pizas. O restaurante tinha disponível 1 mesa para 12 pessoas, 1 mesa para 8 pessoas e 1 mesa para quatro pessoas, havendo, assim, lugar para todos os alunos.

31.1. De modo a efetuar uma divisão equitativa das pizas pelos alunos, como pode o empregado distribuir as pizas pelas três mesas? Explica como pensaste.31.2. Que parte de piza comeu cada um dos amigos? Explica como pensaste.



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NO32. As tartarugas e o lagoDepois de acordarem, duas tartarugas, a Riga e a Rosa, resolveram fazer uma competição para ver quem chega primeiro ao lago mais próximo, que fica a 180 metros do local onde as duas se encontram.Depois de darem o som de partida para a competição, a Riga que é muito preguiçosa, ficou ainda a descansar mais uns minutos e só depois se meteu ao caminho. A Rosa, sempre bem disposta, mal deu a partida, começou logo a caminhar.Quando a Riga resolveu começar a caminhar, já a Rosa levava um avanço de 40 me-tros, ficando a Riga um pouco preocupada. Desta forma, decidiu caminhar 6 metros por cada 4 metros que a Rosa caminhava.

32.1. Qual das duas tartarugas terá chegado primeiro ao lago? Mostra como chegaste à tua resposta. Podes usar palavras, desenhos, esquemas ou cálculos.

32.2. No instante em que a vencedora chega ao lago, quantos metros ainda falta-vam à outra tartaruga para chegar?

Explica como pensaste.

Prova Final 2019

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Capítulo 4Geometria e Medida e a resolução de problemas

Dina Tavares1,2 e Nuno Raínho1


IntroduçãoPartindo da ideia de que a Geometria está presente em inúmeras situações do dia-a-dia de cada criança, o ensino da Geometria deve ser efetuado considerando esta realidade, partindo, por exemplo, de objetos do quotidiano, de formas da Natureza ou mesmo de obras de arquitetura. De acordo com o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2007), a Geometria é um contexto natural e privilegiado para o “desenvolvimento de capacidades de raciocínio e de argumentação dos alunos” (p. 44).

Ao longo dos anos, a Geometria tem vindo a assumir cada vez mais, um papel de destaque no ensino da Matemática. São vários os documentos curriculares que salien-tam a importância da Geometria para o desenvolvimento de habilidades de perceção espacial que permitam ao aluno ser capaz de compreender, descrever e representar, de forma estruturada, o mundo que o rodeia (MEC, 2013). Para Battista (2007), a Ge-ometria envolve “uma rede complexa e interligada de conceitos, formas de raciocínio, e sistemas de representação que é usada para conceptualizar e analisar ambientes es-paciais físicos e imaginários” (p. 843). No entanto, nem sempre o trabalho desenvolvido em sala de aula tem em conta estas ideias, continuando-se a valorizar aspetos conce-tuais e formais da geometria em detrimento de outros que envolvam a representação e a interpretação de entes geométricos a duas e a três dimensões.

O NCTM (2007) define quatro normas que devem ser trabalhadas de forma contí-nua e gradual, desde o Pré-escolar até ao Ensino Secundário e que devem habilitar o aluno para: a) analisar características e propriedades de objetos bi e tridimensionais e desenvolver; b) especificar posições e descrever relações espaciais usando vários sistemas de representação; c) aplicar transformações geométricas e simetrias para analisar situações matemáticas; d) criar e manipular imagens mentais e aplicar raciocí-nios espaciais e modelos geométricos na resolução de problemas (p. 190). Atendendo a estas orientações, Rocha et al. (2007) reforçam que o ensino da geometria deve basear-se em quatro componentes fundamentais do pensamento geométrico: Formas, Localização, Transformações e Visualização.

Segundo De Villiers (2017), as experiências em Geometria devem favorecer o de-senvolvimento do raciocínio espacial, através da exploração de formas e estruturas geométricas que permitam analisar e descrever as suas características. Esta ideia era também preconizada pelo NCTM (2007), afirmando que o raciocínio espacial e a mo-delação geométrica promovem formas de descrever e interpretar situações reais, tor-


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nando-se ferramentas importantes na resolução de problemas.Para Battista (2007), raciocínio espacial pode ser entendido como a “capacidade

para ‘ver’, analisar e refletir sobre objetos, imagens, relações e transformações geomé-tricas” (p. 843). O desenvolvimento desta capacidade irá permitir ao aluno investigar problemas geométricos e situações do dia-a-dia com crescente complexidade e in-vestigar as propriedades e relações de objetos geométricos, permitindo assim efetuar conexões com outros temas matemáticos, nomeadamente com a Medida, os Números e a Álgebra (NCTM, 2007). Ao longo das edições dos Desafios, os problemas mate-máticos propostos evidenciam esta riqueza em estabelecer conexões entre a Geome-tria e outras áreas da matemática, nomeadamente no uso de propriedades geométricas para estabelecer relações entre áreas de duas ou mais figuras geométricas ou no uso de padrões geométricos para explorar regularidades e estabelecer relações numéricas.

Uma componente importante do ensino da Geometria e, em particular, do desenvol-vimento do raciocínio espacial é a visualização espacial. De acordo com NCTM (2007):

“a visualização espacial – a construção e manipulação de representações mentais de objectos bi e tridimensionais e a percepção de um objecto a partir de diferentes perspectivas – constitui um aspecto essencial do racio-cínio geométrico” (p. 44).

Para Matos e Gordo (1993), tarefas que envolvam o desenvolvimento de capa-cidades espaciais podem ser promotoras da aprendizagem da Geometria e conse-quentemente da Matemática, em geral. Estes autores caraterizam sete capacidades de visualização espacial:

1. Coordenação visual-motora: envolve a capacidade de coordenação da visão com os movimentos do corpo;

2. Memória visual: envolve a capacidade de recordar objetos/figuras sem os voltar a observar;

3. Perceção figura-fundo: envolve a capacidade de identificar determinada compo-nente específica numa imagem mais complexa;

4. Constância percetual: envolve a capacidade de reconhecer figuras geométricas em diferentes posições, tamanhos ou contextos.

5. Perceção da posição do espaço: envolve a capacidade de reconhecer figuras iguais mas com orientações distintas no espaço;

6. Perceção de relações espaciais: envolve a capacidade de ver e imaginar vários ob-jetos em relação consigo próprios ou em relação ao observador;

7. Discriminação visual: envolve a capacidade para identificar diferenças e semelhan-ças em objetos geométricos.


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Atendendo a esta categorização e à sua relevância no ensino da geometria no 1.º Ciclo do Ensino Básico (CEB), podemos destacar exemplos de tarefas promotoras do desenvolvimento das diversas capacidades de visualização espacial: GM3. “Jogando com os pentaminós”, GM4. “Quadrados no geoplano”, GM10. “Os jardins triangula-res”, GM11. “Tetrábolos”, GM14. “Lado com lado”, GM16. “Geoplano” GM17. “Lego”, GM21. “Os cubos empilhados”, GM22. “Divisão do quadrado”, GM30. “Bandeiras e mais bandeiras” ou GM32. “Polidiamantes”.

A par da Geometria, a Medida é outro tópico curricular que tem uma forte relação com a realidade do aluno, uma vez que o ato de medir é algo que surge naturalmente e intuitivamente tanto fora como dentro da escola, por exemplo, quando o aluno estima o tempo que falta para acabar as aulas, quando joga no recreio à apanhada e estima se consegue ou não apanhar o seu colega que está mais próximo, quando se mede e se pesa numa consulta com o seu pediatra, ou quando ajuda a sua mãe e decide qual a toalha mais adequada para colocar na mesa de jantar.

O ato de medir consiste “em comparar duas grandezas da mesma espécie – dois comprimentos, dois pesos, dois volumes, etc.” (Caraça, 1998, p. 29), estabelecendo assim a comparação do que se quer medir com a unidade de medida usada. De forma mais simples, o ato de medir pode ser visto como a atribuição de um valor numérico a um atributo mensurável de um objeto, determinando quantas vezes cabe a unidade de medida escolhida.

De acordo com o NCTM (2007, p. 198), o ensino da Medida, desde o Pré-Escolar até ao Ensino Secundário, deve permitir habilitar o aluno para: a) compreender os atri-butos mensuráveis dos objetos e as unidades, sistemas e processos de medição; b) aplicar técnicas, ferramentas e fórmulas adequadas para determinar medidas. Neste sentido, ao longo do 1.º CEB é importante que os alunos sejam confrontados com si-tuações que envolvam a medição concreta de atributos mensuráveis de objetos do dia--a-dia; a escolha consciente de uma unidade apropriada e do instrumento de medida a usar para efetuar uma determinada medição; a comparação de medidas de atributos de objetos, obtidas usando unidades de medidas distintas; usar fórmulas adequadas para determinar a medida de áreas e volumes; compor e decompor figuras geométricas bi ou tridimensionais, em figuras conhecidas de modo a determinar a medida da sua área ou volume (NCTM, 2007). Atendendo a estes aspetos, são diversos os exemplos de problemas propostos nos Desafios que envolvem situações desta natureza: GM7. “Mosaicos”, GM15. “Cubos”, GM21. “Os cubos empilhados”, GM22. “Divisão do qua-drado”, GM24. “O pátio da Matilde”, GM25. “Blocos-padrão”, GM27. “Figuras geomé-tricas no geoplano”, GM28. “O pátio da escola”, GM29. “Obras em casa”, GM31. “A quinta do Sr. Abel” e GM33. “O painel”.

Nos primeiros anos, o trabalho a desenvolver nestas duas áreas, Geometria e Me-dida, deve ser baseado na intuição e na experimentação, partindo de contextos signi-ficativos que envolvam o meio em que o aluno vive. Neste sentido, cabe ao professor


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a escolha de tarefas matemáticas adequadas bem como de modelos concretos que permitam ao aluno estruturar os seus conhecimentos intuitivos bem como aprender a raciocinar sobre noções geométricas (NCTM, 2007).

O uso de materiais manipuláveis e de softwares de geometria dinâmica pode pro-mover aprendizagens significativas no âmbito da Geometria e da Medida, permitindo ao aluno visualizar, explorar, desenhar, comparar e conjeturar sobre conceitos geomé-tricos. Este tipo de abordagem pode promover no aluno capacidades para representar mentalmente objetos geométricos bem como fomentar o envolvimento do aluno nas tarefas propostas e incrementar o seu interesse e curiosidade por ideias geométricas. Esta ideia é também enunciada por Matos e Serrazina (1996):

Ao dar aos alunos a oportunidade de experimentar a matemática através da manipulação de materiais não estamos apenas a fomentar uma activi-dade lúdica, mas estamos principalmente a criar situações que favorecem o desenvolvimento do pensamento abstracto. A formação dos conceitos pertencem à essência da aprendizagem da Matemática e ela tem de ser fundamentalmente baseada na experiência (p. 8).

Em geral, na conceção das tarefas de natureza geométrica, propostas nas provas dos Desafios, procurou-se atender aos aspetos anteriormente mencionados. Dos ma-teriais possíveis para potenciar a resolução de problemas em Geometria, nos Desafios, destacamos o uso do geoplano, do tangram, do papel quadriculado, dos blocos-pa-drão, de sólidos geométricos, entre outros.

O geoplano é um material que permite tanto trabalhar diferentes conceitos geomé-tricos, como noções de localização, usando coordenadas, e ainda atributos mensurá-veis de figuras geométricas. Sendo um material disponível em diferentes formas (papel ponteado ou o material físico) e com diferentes potencialidades, o seu recurso foi cons-tante ao longo destes 20 anos de Desafios. São exemplo disso, as tarefas GM8. “Per-cursos no geoplano”, GM10. “Os jardins triangulares”, GM12. “Barcos no geoplano”, GM16. “Geoplano”, GM27. “Figuras geométricas no geoplano”, GM30. “Bandeiras e mais bandeiras”.

O uso de sólidos geométricos convexos e não convexos, formados pela composição de cubos unitários, pode favorecer o desenvolvimento de capacidades de visualização espacial permitindo estudar vistas sob diferentes perspetivas, posições relativas de retas e planos e cálculo de medidas de áreas de superfícies planas (faces) e de volumes. São exemplo de tarefas envolvendo o uso de sólidos geométricos a GM5. “Torres de cubos”, a GM15. “Cubos”, a GM17. “Lego” e a GM21. “Os cubos empilhados”.

O tangram é um jogo geométrico do tipo “puzzle”, composto por sete peças: cinco triângulos de três tamanhos distintos, um quadrado e um paralelogramo, e tradicional-mente feito em madeira. Este material tem muitas potencialidades tanto no âmbito da


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geometria plana, no estudo de figuras geométricas e no desenvolvimento da visualiza-ção espacial, como da medida, por exemplo, no cálculo de medidas de áreas. Os pro-blemas GM1. “As figuras geométricas do tangram” e GM6. "Tangram", propostos nos Desafios são exemplos de possíveis tarefas que mobilizam diferentes conhecimentos e relações e envolvem o uso do tangram.

Outros materiais que também devem ser valorizados ao longo do ensino/aprendiza-gem da Geometria e da Medida são os Blocos-padrão, os pentaminós, os tetrábolos, etc. Estes materiais podem ser usados no estudo de características de composições de figuras geométricas, favoráveis ao desenvolvimento de diferentes capacidades de visualização espacial ou no estudo da medida de diferentes atributos, como áreas e perímetros, conceitos que os alunos normalmente têm dificuldades em distinguir. Pos-síveis tarefas das Provas dos Desafios que envolvem o recurso a estes materiais e que podem ser introduzidas em sala de aula, são: GM3. “Jogando com os pentaminós”, GM11. “Tetrábolos”, GM25. “Blocos-padrão” e GM32. “Polidiamantes”.

Para além do desenvolvimento do raciocínio geométrico, as tarefas na área da Ge-ometria e da Medida podem também ser um meio favorável para desenvolver a comu-nicação matemática, permitindo expressar as suas ideias e representações mentais e argumentar, verbalmente ou por escrito através de esquemas e/ou desenhos, a forma como pensaram. Rocha et al. (2007) reforçam esta ideia, mencionando que “encorajá--las a representar, falar e ouvir, escrever e ler, facilita uma aprendizagem significativa” (p. 7). A comunicação matemática deve incluir experiências diversificadas que envol-vam a leitura, a interpretação e a escrita de pequenos textos na área da matemática. São exemplos de tarefas desta natureza: a tarefa GM1. “As figuras geométricas do tan-gram” onde é solicitado ao aluno que descreva uma figura geométrica através das suas características sem usar o seu nome ou vice-versa, ou seja, a partir da descrição de al-gumas propriedades de um polígono, é solicitado ao aluno para descobrir o seu nome; a tarefa GM23. “Classificação de polígonos” (alínea 2.2.) em que o aluno necessita de caracterizar um conjunto específico de polígonos; a tarefa GM26. “Simetrias” (alínea 1.) envolvendo a análise crítica de afirmações relativas a uma figura geométrica e aos seus atributos mensuráveis. São ainda diversas as tarefas propostas nas provas dos Desafios que solicitam que o aluno explicite de forma clara como pensou, obrigando-o a comunicar por escrito o seu raciocínio, usando uma linguagem apropriada e, sempre que possível, a simbologia correta.


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Problemas no domínio da Geometria e Medida

GM1. As figuras geométricas do tangram Observa a figura onde está representado um tangram.

1.1. “Eu sou uma das 5 peças diferentes do tangram. Tenho 3 lados. Nenhuma das outras peças tem o mesmo tamanho que eu. Que peça sou eu?”1.2. Escreve um pequeno texto em que descrevas uma das peças do tangram, de modo a que possamos identificar a peça a partir da tua descrição.1.3. Se considerares o triângulo mais pequeno do tangram como unidade de área, quantos triângulos pequenos são necessários para cobrir cada uma das outras peças do tangram?

Mostra como chegaste à tua resposta, usando palavras, ou desenhos, ou uma tabela, ou contas.

Prova Final 2001

GM2. Padrões escondidosNa seguinte grelha, existem sequências de quatro números que estão escondidas.Cada sequência está organizada na horizontal ou na vertical.

2.1. Encontra e regista uma sequência de múltiplos de 5.2.2. Encontra e regista uma sequência de números ímpares consecutivos.


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2.3. Explica a forma de obter os números de uma das colunas (pintada a cinzen-to escuro), a partir dos números da outra (pintada a cinzento escuro). Consulta a tabela anterior para descobrires quais são estas colunas.

Adaptado de Scottish Primary Mathematics Group (1995).


GM3. Jogando com os pentaminósRecorta os pentaminós (figuras formadas por 5 quadrados tal como se mostra na folha anexa) e cola-os de modo a formares as seguintes figuras.Com os primeiros pentaminós constrói a figura 1.Com os segundos pentaminós constrói a figura 2.


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Figura 1 Figura 2

Folha anexa:


GM4. Quadrados no geoplano Quantos quadrados do tamanho do que está representado na figura se podem cons-truir num geoplano 5 por 5, igual a este?

Prova Final 2002


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GM5. Torres de cubosObserva esta sequência construída com cubos.

Figura A Figura B Figura C Figura D

5.1. Desenha a figura D.5.2. Completa a seguinte tabela.

Figura Número de cubos Volume emÁrea da superfície em unidades quadradas

A 1 1 6B 2C 3 3 14D

Adaptado de NCTM (2007).


GM6. Tangram6.1. Recorta o tangram 1. Utilizando as peças que quiseres constrói um retângulo e cola-o na folha.6.2. Com as peças do tangram podes construir de forma diferente vários quadrados. Com as peças do tangram 2 constrói um quadrado, com as peças do tangram 3 outro quadrado e com as peças do tangram 4 ainda outro quadrado. Os três qua-drados que construíres têm que ter áreas diferentes. Cola-os nesta folha. ou no seu verso.

Nota: Nas construções podes utilizar todas ou só algumas das peças de cada tangram.


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Folha Anexa:


GM7. MosaicosO João foi com os pais escolher os mosaicos para a cozinha da casa nova. Gostaram de dois tipos de mosaicos. Se utilizarem o mosaico A precisam de comprar 100 mo-saicos. Se utilizarem o mosaico B precisam de comprar 300 mosaicos..Qual é o mosaico maior? Quantas vezes este é maior do que o outro?Explica a tua resposta.


GM8. Percursos no geoplano8.1. Partindo do prego assinalado desenha o seguinte percurso:

8.2. Descreve verbalmente as ordens que darias a um teu colega para ir do prego A ao prego B, tendo cuidado com os obstáculos que estão desenhados.

Adaptado de Serrazina e Matos (1988).



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GM9. O circo dos triângulosUm dia chegou à cidade o Circo dos Triângulos. O espetáculo foi fabuloso! Numa das apresentações, os acrobatas formaram uma figura com muitos triângulos:

Quantos triângulos estão escondidos nesta figura?

Prova Final 2004

GM10. Os jardins triangularesA cidade das Figuras Geométricas não tem jardins. Os meninos da cidade pediram ao rei para construir canteiros. O rei disse que sim, mas com a condição de todos os canteiros serem triangulares e caberem na grelha que ele desenhou. Descobre quantos canteiros diferentes se podem fazer e desenha-os nas grelhas abaixo.


Prova Final 2004


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GM11. TetrábolosVamos agrupar 4 triângulos retângulos e isósceles iguais, de todas as maneiras pos-síveis, mas nunca pelos vértices, e formar assim novas figuras a que vamos chamar tetrábolos.

11.1. Além destes 4 tetrábolos aqui representados existem mais 10. Vê se os descobres e à medida que os fores descobrindo desenha-os na folha de papel em branco.11.2. O que podes dizer da área dos 14 tetrábolos? Explica a tua resposta.11.3. Os 14 tetrábolos têm todos o mesmo perímetro? Explica a tua resposta.

Prova Final 2006

GM12. Barcos no geoplanoNo geoplano da figura, desenhámos um barco (barco 1) com estas coordenadas:

Representa os seguintes barcos no geoplano anterior: Barco 2: 5A – 5E – 7D – 7BBarco 3: 1F – 2G – 8G – 9FQual dos três barcos ocupa maior área? Justifica a tua resposta.

Prova Final 2007


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GM13. RetângulosHá muitos retângulos de perímetro 28 e cujas medidas dos lados são números intei-ros. Um deles é o retângulo que tem por medidas dos lados 6 e 8.

13.1. Indica as medidas dos lados de todos os retângulos que conseguires, de modo que o perímetro seja 28.13.2. De entre os retângulos que indicaste, qual é o que tem a maior área?

Justifica a tua resposta.


GM14. Lado com ladoUsa 3 lápis de cor:

um lápis vermelhoum lápis azulum lápis verde

para poderes desenhar um padrão na grelha abaixo. Segue as instruções.

Pinta um triângulo de vermelho no meio da grelha.Pinta de azul todos os triângulos que têm um lado em comum com esse triângulo vermelho.Pinta de verde todos os triângulos que têm um lado em comum com os triângulos azuis.Pinta de vermelho todos os triângulos que têm apenas um lado em comum com os triângulos verdes.Pinta de azul todos os triângulos que têm apenas um lado em comum com os triângulos vermelhos.



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GM15. CubosObserva a seguinte sequência de cubos:

Figura 1 Figura 2 Figura 3

15.1. Completa a tabela:


Volume em … … …

Área em … 24 …

15.2. Quantos cubos pequenos ( ) são necessários para construir a próxima figura desta sequência de cubos?15.3. Qual a área em quadrados ( ) dessa figura?15.4. Observa novamente o cubo da figura 3. Imagina que o mergulhámos numa lata de tinta cinzenta, deixámos secar e de seguida o desmontámos.

Quantos cubos pequenos ( ) ficam com:- três faces pintadas? - duas faces pintadas?- uma face pintada? - nenhuma face pintada?Adaptado de NCTM (2001).



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GM16. GeoplanoNo teu geoplano e com recurso a elásticos, representa, para cada uma das alíneas seguintes, a figura que obedece a cada condição. Depois, reproduz essas figuras no papel ponteado, da folha anexa, identificando cada figura com a letra correspondente.

A – Um quadrado com quatro pregos no interior.B – Um triângulo com um ângulo reto e nenhum prego no interior.C – Duas figuras diferentes com o mesmo perímetro.D – Duas figuras diferentes com a mesma área.E – Uma figura com oito pregos na fronteira, um no interior, todos os lados com o mesmo comprimento e os lados opostos paralelos.

Folha Anexa: Papel ponteado (geoplano).


Prova Final 2009


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GM17. LegoO Pedro tem um jogo em lego, que consiste em juntar peças de modo a formar cubos.

17.1. Neste momento ele tem à sua frente as seguintes 8 peças:

Ajuda o Pedro a associar as peças de modo a conseguir formar quatro cubos.

Numeração Letra correspondenteIIIIIIIV

17.2. Como já reparaste, cada peça do jogo é formada por pequenos cubinhos. O Pedro tem na mão as seguintes peças.

Quantos cubinhos tem cada peça que o Pedro tem na mão?

Adaptado de APM (s.d.)

Prova Final 2010


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GM18. Ainda as palhinhasDepois da festa de anos da Teresa ainda lhe sobraram muitas palhinhas. Com elas e com bolinhas de plasticina, a Teresa construiu alguns sólidos geométricos.

18.1. De quantas palhinhas precisou a Teresa para construir um cubo? Explica como pensaste.18.2. Será que usando apenas 4 bolinhas de plasticina e algumas palhinhas a Teresa conseguiu construir um sólido geométrico? Qual? Justifica a tua resposta.18.3. Como se chama o sólido que a Teresa construiu usando 5 bolinhas de plas-ticina e 8 palhinhas? Explica porquê. Podes fazer um desenho.


GM19. Contar retângulosNa figura que a seguir se apresenta é possível contar 3 retângulos.

Considera agora a seguinte figura.

19.1. Qual é o número total de retângulos, de qualquer tamanho, que consegues contar? Explica o teu raciocínio. 19.2. E se a figura fosse constituída por 10 retângulos iguais, qual seria o número total de retângulos, de qualquer tamanho, que conseguirias identificar? Explica como pensaste.

Prova Final 2011

GM20. Polígonos simétricosDescobre todas as formas de juntar estas 3 figuras geométricas sem as sobrepor, de modo a obteres polígonos que sejam figuras simétricas. Representa as figuras que encontraste.

Prova Final 2011


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GM21. Os cubos empilhadosObserva o sólido.

21.1. Usando o cubo ( ) como unidade de volume e a face do cubo ( ) como unidade de área, determina o volume e a área da superfície do sólido.

Volume do sólido : _______ Área da superfície do sólido: _______

21.2. Observa novamente o sólido. Completa a tabela seguinte com as duas vistas que faltam do sólido.

Vista de frente Vista de trás

Vista da esquerda Vista da direita

Vista de baixo Vista de cima



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GM22. Divisão do quadradoObserva a figura.

22.1. Acrescenta segmentos de reta à figura de modo a dividi-la em partes iguais.

22.2. Sabendo que o triângulo sombreado tem 4,5 cm2 de área, determina a área da figura. 22.3. Observa novamente a figura inicial. Indica quantos triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos consegues ver.

Triângulos______ Quadriláteros______ Pentágonos______ Hexágonos______

Pinta na folha anexa os polígonos que conseguiste identificar. Usa figuras diferentes para identificar polígonos diferentes.

Folha Anexa:


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Prova Final 2012

GM23. Classificação de polígonosO Tiago e a Joana estavam a estudar Matemática e encontraram um problema sobre a classificação de polígonos. És capaz de os ajudar?

23.1. Considera os seguintes conjuntos de polígonos.


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Lê com atenção as seis frases (A, B, C, D, E e F) escritas abaixo e transcreve para cada retângulo uma afirmação que se adeque a todos os elementos de cada conjunto.

A – Pelo menos um par de lados paralelos. F – Sem ângulos retos.D – Lados opostos paralelos dois a dois. E – Pelo menos um ângulo reto.B – Todos os lados geometricamente iguais. C – Pelo menos um ângulo agudo.

23.2. Considera agora a figura seguinte.

23.2.1. Lê com atenção as quatro frases apresentadas abaixo (I a IV) e trans-creve para os retângulos 1 e 2 uma afirmação adequada.

I – Paralelogramos. II – Pelo menos um ângulo agudo.III – Todos os lados de comprimentos diferentes. IV – Pelo menos um ângulo reto.

23.2.2. Escreve uma frase no retângulo 3 que caracterize o conjunto de polígo-nos correspondente à interseção dos dois conjuntos.

Adaptado de Gavin, Belkin, Spinelli e St. Marie (2001).


GM24. O pátio da MatildeA Matilde e a sua mãe estiveram a medir com passos várias distâncias do seu pátio.


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Verificaram que o comprimento do canteiro mede 10 passos da mãe e 20 passos da Matilde e a largura do canteiro mede 6 passos da mãe e 12 passos da Matilde.

24.1. O canteiro tem 5 metros de comprimento. Quanto mede, em centímetros, o passo da mãe? Explica como pensaste.24.2. Qual é a área, em metros quadrados, do canteiro?24.3. O comprimento do pátio é 18 metros. A Matilde vai medi-lo com os seus passos. Quantos serão? Explica como pensaste.

Prova Final 2013

GM25. Blocos-padrãoOs blocos-padrão têm várias figuras:

Paralelogramos azuisTrapézios vermelhosHexágonos amarelosTriângulos verdesQuadrados cor de laranjaParalelogramos castanho-amarelados

Manipula e compara as várias figuras e responde.25.1. Se a área de medir 1/3, qual é a figura cuja a área mede 1?25.2. Se a área de medir 3, quanto mede a área de ?

25.3. Se a área de medir 1, quanto mede a área de ?

25.4. Se a soma das áreas das figuras e for 1, quanto é a soma das áre-as das figuras e ?

Prova Final 2013

GM26. SimetriasComo a chuva continua a cair e o Martim não pode ir brincar para o exterior, na ter-ça feira resolveu estudar matemática. Lê com atenção a seguinte tarefa e observa a figura .


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Tarefa:Pinte o menor número de quadrículas de modo que a figura A tenha simetria de reflexão relativamente aos eixos r e s.

Figura A

26.1. A Maria, irmã do Martim, ao observar a figura A fez duas afirmações: I. A parte da figura que está sombreada é 1/6. II. Se pintares mais 2 quadrículas, a parte da figura sombreada aumenta para 25%. Será que as suas afirmações da Maria estão corretas? Justifica.

26.2. Ajuda o Martim e pinta, na figura seguinte, as quadrículas necessárias de modo a dar uma resposta à tarefa proposta.

Representa através de uma fração a parte da figura que ficou sombreada.

Adaptado de IAVE (2013).


GM27. Figuras geométricas no geoplanoO Pedro e a sua irmã estavam a brincar com um geoplano 5x5. Eles construíram alguns polígonos e depois registaram-nos no papel ponteado, como mostra a figura seguinte:


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Considera como unidade de medida de área uma quadrícula ( ).27.1. Determina a área de cada um dos três polígonos.27.2. Desenha, no papel ponteado, um heptágono (polígono com 7 lados), com 3,5 unidades de área.


Prova Final 2014

GM28. O pátio da escolaNo pátio da escola da Lara há um jardim retangular, dividido em quatro canteiros. Como vês na figura, o jardim é constituido por:

Dois canteiros, B e D, ambos com a forma de quadrado;Dois canteiros, A e C, ambos retangulares.

A Lara pretende determinar a área de todos os canteiros. Para tal, efetuou algumas medições e registou na figura a área de três desses canteiros (A, B e D).Ajuda a Lara a determinar a área do canteiro C, sem ser necessário efetuar mais me-dições. Explica como pensaste.



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GM29. Obras em casaOs pais da Rita vão fazer obras em casa. Eles pretendem cobrir o chão da sala e dos quartos a madeira e o chão da cozinha a tijoleira. A figura seguinte representa a planta da casa da Rita.

29.1. Calcula a área total do chão que irá ser revestido a madeira.29.2. Para pavimentar a cozinha, os pais da Rita optaram por tijoleiras com a for-ma de quadrados. Sabendo que a medida do lado de cada peça é 50cm, quantas peças necessitam de comprar? Explica como pensaste.


GM30. Bandeiras e mais bandeirasObserva a bandeira triangular construída num geoplano 3 x 3.


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30.1. Descobre todas as bandeiras triangulares diferentes que se podem construir num geoplano 3x3. Regista no papel ponteado, cada triângulo que construíres.

30.2. Descobre todas as bandeiras quadrangulares diferentes que se podem construir num geoplano 3 x 3. Regista-as no papel ponteado.



GM31. A quinta do Sr. AbelO Senhor Abel tem na sua quinta 6 cavalos e algumas avestruzes. Ele sabe que tem no armazém ração suficiente para alimentar os cavalos exatamente 6 dias, uma vez que cada cavalo come sempre a mesma quantidade de ração.

31.1. Se ele comprar 6 novos cavalos, para quantos dias dará a ração que o Sr. Abel tem no armazém? Explica como pensaste. 31.2. A zona da quinta onde se encontram as avestruzes e os cavalos é um re-tângulo, dividido em duas partes distintas, tal como sugere a figura. A zona das


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avestruzes é um quadrado. Para vedar o retângulo que limita as duas zonas, foram necessários 88 metros de rede.

Sabendo que a região ocupada pelos cavalos tem de comprimento 20m, qual a medida do lado do quadrado onde se encontram as avestruzes?

Prova Final 2017

GM32. PolidiamantesOs polidiamantes são composições obtidas pela justaposição de triângulos equilá-teros todos congruentes entre si. Nesta justaposição, dois lados de triângulos justa-põem-se totalmente. As seguintes composições não são polidiamantes.

Com 1, 2 ou 3 triângulos equiláteros só é possível obter os seguintes polidiamantes:

Contudo, é possível construir vários polidiamantes com um número maior de triângu-los equiláteros.


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32.1. Constrói e desenha todos os polidiamantes que é possível construir com 4 triângulos equiláteros. A estes polidiamantes chama-se tetradiamantes.

32.2. Constrói e desenha todos os polidiamantes que é possível construir com 5 triângulos equiláteros. A estes polidiamantes chama-se pentadiamantes.

32.3. Identifica, rodeando, quais os tetradiamantes que são planificações de pirâ-mides triangulares.

Adaptado de Figueira, Loureiro, Lobo, Rodrigues e Almeida (2007).

Prova Final 2017

GM33. O painelA empresa “Artemática” pretende construir um painel composto por 9 mosaicos qua-drados coloridos. Observa a construção do painel onde já estão dispostos 8 mosaicos quadrados, fal-tando ainda dispor o último mosaico.


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33.1. Pinta a parte do mosaico em falta, de modo a que, no painel, a área da re-gião a branco seja igual à área da região a cinzento.

33.2. Um dos mosaicos do painel está representado na figura ao lado. Se a empresa rodar a peça em torno do ponto P, uma volta e meia, em que posição ficará o mosaico? Assinala com uma cruz.

33.3. Sabendo que o perímetro de cada mosaico é de 20cm, determina o períme-tro do painel.


GM34. As construções do DanielO Daniel desenhou, no seu caderno, vários polígonos. Decidiu depois construir, com os polígonos, dois conjuntos diferentes, como se mostra na figura.

34.1. Indica uma possível regra/característica que o Daniel usou para dividir os polígonos pelos dois conjuntos.


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34.2. Utiliza agora os teus conhecimentos geométricos para dividires novamente os polígonos que o Daniel desenhou, em três conjuntos distintos. Desenha em cada conjunto os polígonos e indica a regra/característica de cada conjunto.

Conjunto A Conjunto B Conjunto C

Característica: Característica: Característica:

Prova Final 2019

Referências bibliográficasAPM (s.d.). Atividades para o 1º Ciclo. org António Luz, António Luís, Fátima Bártolo.

Isabel Gaspar, Natália Serrazina, Rosário Ribeiro. Lisboa: APM.Battista, M. T. (2007). The development of geometrical and spatial thinking. In F. K.

Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and lear-ning (pp. 843-908). Reston, VA, USA: NCTM.

Caraça, B. J. (1998). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Gradiva. De Villiers, M. (2017). Revisiting the van Hiele theory. Investigação em Educação Ma-

temática 2017: O ensino e a aprendizagem da geometria, 11-26.Figueira, C., Loureiro, C., Lobo, E., Rodrigues, M. P. & Almeida, P. (2007). Visualiza-

ção e Geometria nos primeiros anos – Programa de Formação Contínua em Matemática. Lisboa.

Gavin, M. K., Belkin, L.P., Spinelli, A. M. & St. Marie, J. (2001). Navigating through geometry in grades 3-5. Reston, Va, NCTM.

IAVE (2013). Prova final de Matemática do 2.º ciclo do Ensino Básico. Lisboa: Gabi-nete de Avaliação Educacional (GAVE).

Matos, J. M. & Gordo, M. F. (1993). Visualização espacial: algumas actividades. Edu-cação e Matemática, 26.


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Matos, J. M. & Serrazina, M. L. (1996). Didática da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta.

Ministério da Educação e Ciência (2013). Programa do Ensino Básico Matemática. Lisboa: Ministério da Educação e Ciência, DGE.

NCTM (2001). Navigating through geometry in grades 3-5. Reston: NCTM.NCTM. (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM.Scottish Primary Mathematics Group (1995). HEINEMANN MATHEMATICS 6 – Text-

book. UK: Glasgow: BathColour Books.Serrazina, L. & Matos, J. (1988). O Geoplano na sala de aula. Lisboa: APM.Rocha, I. (coord.), Leão, C., Pinto, H., Pinto, F., Menino, H., Pimparel, M., Gonçal-

ves, M., Pires, M. & Rodrigues, M. (2007). Geometria e Medida: Percursos de Aprendizagem. Escola Superior de Educação – IPL.


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Capítulo 5Organização e Tratamento de Dados e a resolução de problemas

Rogério CostaESECS, Politécnico de Leiria

IntroduçãoSe dúvidas houvesse relativamente à importância da Estatística e das Probabilidades nos nossos dias, basta analisar o relatório de 2016 do Fórum Económico e Mundial The Future of Jobs, para verificar que as profissões ligadas à análise de dados apare-cem como as que mais se destacam em todas as áreas de atividade independente da sua localização geográfica (World Economic Forum, 2016). Também neste relatório se aponta a matemática como uma das áreas onde se verificará um maior aumento do número de novos empregos a nível mundial até 2020.

Mais recentemente, no relatório de 2018, as profissões e tecnologias associadas à análise de dados continuam a ser consideradas as que mais crescerão no período de 2018 a 2022, em todas as latitudes e em todas as áreas de atividade (World Economic Forum, 2018). É inequívoco que a análise de dados e a matemática, no seu todo, são áreas fundamentais no crescimento da sociedade atual.

Além disso, a revolução tecnológica que origina(ou) a necessidade de profissionais qualificados na análise de dados (aquilo que de uma maneira geral se designa por analytics) trouxe consigo a divulgação quase instantânea da informação e a procura de novas formas, em geral numa linguagem estatística, de a apresentar ao grande público. Dessa forma, se “justifica a necessidade de formação estatística para todos no sentido de promover uma participação ativa, crítica e esclarecida” dos cidadãos (Martinho, 2014, p. 11).

Deste modo, torna-se importante refletirmos um pouco sobre o ensino e a apren-dizagem desta ciência, desde os primeiros anos de escolaridade, nos tempos atuais. Para isso, recuemos ao ano 2000, ano de início dos Desafios, e analisemos a situação vivida em Portugal e na maior parte dos países relativamente ao ensino e aprendizagem da estatística.

Nesse ano, a estatística já fazia parte dos programas de matemática dos 2.º e 3.º ciclo do ensino básico em Portugal, desde meados dos anos noventa, e do ensino secundário desde os anos sessenta, introduzida aquando da reforma conhecida por Matemática Moderna (Fernandes, 2009). Mais tarde, em 2007, o tema é introduzido no 1.º ano do ensino básico sendo alterada a sua denominação para “Organização e Trata-mento de Dados”, tendo como objetivo principal a “... valorização da literacia estatística e do processo de investigação estatística...” (Martins & Ponte, 2010, p. 3).


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Contudo, face a outros temas da matemática, como sejam, por exemplo, a geometria e a álgebra, a estatística era (é) relegada para segundo plano, lecionada no final do ano letivo e de uma forma muito mecanicista apelando mais ao cálculo e às técnicas numéricas em detrimento do pensamento e raciocínio estatístico tão necessários ao desenvolvimento da literacia estatística (Henriques & Fernandes, 2015). Apesar da reconhecida relação com outras áreas da matemática e com todos os se-tores do conhecimento (Saúde, Indústria, Agricultura, Educação, Tecnologia e tantas outras), a estatística, enquanto ciência dos dados, ainda procura o seu espaço no que diz respeito ao seu ensino e aprendizagem. De facto, em meados dos anos 90, mais concretamente em 1995, foi nomeada pelo Ministério da Educação uma equipa técnica com a incumbência de elaborar uma proposta de ajustamento dos programas de matemática do ensino secundário. Ao discutirem os conteúdos de probabilidades e estatística, depois de estabelecerem cargas horárias e organização dos conteúdos temáticos, a equipa técnica, em reunião com representantes da Sociedade Portuguesa de Matemática viu-se confrontada com o seguinte sentimento:

um exagero a quantidade de Estatística, introduzida no 10.º ano! Para quê tanta estatística que não é mais do que a Estatística do senso comum, que não serve para nada... (Martins, 1997, p. 69).

Esta atitude, que ainda prevalece apesar de todos os avanços verificados, representa a visão tecnicista sem qualquer relação com o contexto, sem apelar à interpretação, à comunicação de resultados, ao sentido crítico e à ligação ao real que a estatística pro-porciona. Para muitos, fazer estatística resume-se a calcular médias, modas, medianas, desenhar uns gráficos umas tabelas e pouco mais. Pensar nos contextos, planear devi-damente a recolha de dados para resolver problemas, recolher adequadamente esses dados, interpretar, em suma, refletir sobre aquilo que constitui a essência desta ciência, são, em geral, ignorados no processo de ensino aprendizagem.

O próprio nome escolhido pelo Ministério da Educação para enquadrar a estatística no ensino básico “Organização e Tratamento de Dados” pode suscitar interpretações erradas, por parte dos menos informados, fazendo crer que o processo estatístico co-meça quando temos dados, em geral quantitativos, para “fazer contas”, esquecendo todo o processo anterior do planeamento e dos contextos onde esses dados foram recolhidos. Concordamos, neste ponto, com Ronald A. Fisher (1890-1962), geneticis-ta e estatístico, considerado um dos fundadores da estatística moderna e do desenho experimental, quando afirma:

To consult the statistician after an experiment is finished is often merely to ask him to conduct a post mortem examination. He can perhaps say what the experiment died of. (Fisher, 1938, p. 15)


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Oito décadas passadas desde que foi feita esta afirmação e continuamos a encontrar exemplos do mau uso da estatística em todas áreas incluindo a comunidade científica internacional como atestam as reservas que estão a ser feitas quanto aos resultados científicos publicados em revistas internacionais e que, pura e simplesmente, se verifica estarem errados por mau uso das técnicas e processos estatísticos (Ioannidis, 2005).

Pensamento estatístico e pensamento matemático são diferentes e essa diferença tem de ser compreendida pelos professores e pelos alunos. A estatística, usada para a resolução de problemas em contextos reais, é uma disciplina metodológica que não existe só por si mas oferece a outros campos do saber um conjunto de ideias e ferra-mentas que permitem lidar com os dados tendo em conta a “omnipresença da varia-bilidade dos mesmos” (Cobb & Moore, 1997). Este foco na variabilidade, conceito de difícil compreensão pelos alunos (Batanero, 2000) e o papel do contexto, fornecem um cenário particular que a diferencia da matemática. Contudo, mais que o conteúdo, o pensamento estatístico diferencia-se do pensamento matemático porque “os dados não são apenas números, são números em contexto” (Cobb & Moore, 1997, p. 801). O número 1 ao representar o código de uma resposta “sim” num questionário, por exem-plo, tem um determinado significado e interpretação. Esse mesmo número 1, ao repre-sentar o número de filhos de uma família tem um significado completamente diferente. Compreender o que significa o número 1 nestes dois contextos é fundamental para se interpretar corretamente a realidade que lhes deu origem. O pensamento matemático refere-se a relações entre conceitos abstratos, ao passo que o “pensamento estatístico tem sempre presente o contexto que dá origem aos dados, que, por sua vez, permitem (ou não) responder a certas questões colocadas previamente” (Martins & Ponte, 2010, p. 10).

Esta ideia tão simples, quando devidamente assimilada, faz toda a diferença na com-preensão da estatística. Deixaremos de ver, por exemplo, o absurdo que é o cálculo da média aritmética da cor dos automóveis mais vendidos num determinado mês, num determinado concessionário, só porque as cores foram codificadas numericamente.

Enquanto professores, teremos de proporcionar aos nossos alunos as experiências educativas que permitam fazer com que a análise de dados e as probabilidades sejam compreendidas como um todo, que tem processos, raciocínios e pensamento que as distinguem da matemática e que, em situações de incerteza e variabilidade, as solu-ções de determinados problemas, tanto quanto possíveis reais e do quotidiano dos alunos, dependem de suposições e possuem algum grau de incerteza (NCTM, 2007).

Os princípios e a visão aqui enunciados, estiveram presentes desde o início dos Desafios, como demonstram o conjunto de tarefas que a seguir se apresentam onde os aspetos ligados a situações reais, a interpretação de dados organizados em tabelas e/ou gráficos, a comunicação e a ligação a outras áreas da matemática está presente. Em todos elas houve a preocupação de produzir enunciados associados a situações reais do quotidiano dos alunos, fazendo ligações a outras áreas do conhecimento. Além dis-


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so, a preocupação da introdução do acaso está patente nos problemas OTD1. “Bolas coloridas”, OTD5. “A roleta” ou OTD14. “Arrumar bolas”. Ainda, nas tarefas OTD2. “Re-ciclar latas”, OTD6. “Maçãs do bar da escola do Tiago”, OTD7. “Dias de chuva”, OTD9. “A loja de doces”, CM9. “Temperatura da pele”, OTD10. “Nascimentos”, OTD11. “Pes-soas socorridas”, OTD12. “Golos marcados” e OTD13. “Estações do ano”, além do apelo à comunicação, está patente a leitura e interpretação de gráficos e tabelas.

Problemas no domínio da Organização e Tratamento de Dados

OTD1. Bolas coloridasTrês sacos idênticos contêm bolas coloridas. Cada saco tem uma bola preta e uma branca. Tira-se uma bola do saco 1, outra do saco 2 e outra do saco 3.Indica todas as possibilidades de se tirarem exatamente duas bolas brancas.Mostra como chegaste à tua resposta, usando palavras, ou desenhos, ou esquemas, ou contas.

Saco 1 Saco 2 Saco 3


OTD2. Reciclar latasO Paulo e a Joana estão a recolher latas para reciclar.O Paulo desenhou o gráfico que representa as latas recolhidas na segunda e na terça-feira. A Joana desenhou o gráfico que representa as latas recolhidas na quarta e na quinta-feira.


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Paulo: Eu acho que segunda-feira foi o dia em que recolhemos mais latas e na quin-ta-feira o dia em que recolhemos menos.Joana: Eu não acho isso.

2.1. O que o Paulo diz está correto? Justifica a tua resposta.2.2. Desenha num só gráfico o número de latas recolhidas em cada um dos quatro dias.



OTD3. Parque de bicicletasPara organizar uma prova de ciclismo, o Miguel e o Pedro resolveram fazer um inqué-rito aos seus colegas da turma. Na tabela estão os resultados obtidos.

3.1. Quantas bicicletas existem na turma?3.2. Qual o tipo mais comum de:- bicicleta? - guiador?3.3. Quantas bicicletas têm menos de 13 velocidades?3.4. Porque é que há mais de 32 respostas nos “acessórios”?3.5. Constrói um gráfico de barras referente à cor das bicicletas.


Prova Final 2009


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OTD4. Palhinhas para a festa de anosA Teresa comprou uma caixa com 12 palhinhas: 6 amarelas, 4 azuis e 2 verdes.

4.1. Supõe que a Teresa fecha os olhos e, sem ver, retira uma palhinha.Completa as frases seguintes usando as expressões:

“mais provável”, “impossível”, “provável”, “certo”1. É _________________ que saia uma palhinha vermelha.2. É _________________ que saia uma palhinha amarela do que uma palhinha verde.3. É __________________. que saia uma palhinha azul.

4.2. Recorda como é constituída a caixa de palhinhas que a Teresa comprou.4.2.1. Que parte do total de palhinhas são as palhinhas amarelas?4.2.2. Que parte do total de palhinhas são as palhinhas azuis?4.2.3. É possível que retirando a quarta parte das palhinhas, elas sejam todas verdes?Explica porquê.


OTD5. A roletaDois amigos estão a brincar com a roleta da figura. Observa a roleta e, para cada uma das afirmações seguintes, assinala com a letra V as que são verdadeiras e com a letra F as que são falsas.

É mais provável sair um múltiplo de 3 do que sair um número par. _______ Não é igualmente provável sair um número par ou sair um número ímpar. ______ É um acontecimento certo sair um número menor que 20. _______ É um acontecimento certo sair um número menor que 9. _______ É mais provável sair um múltiplo de 5 do que um múltiplo de 4. _______

Prova Final 2012


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OTD6. Maçãs do bar da escola do TiagoO Tiago, consciente de que é muito importante comer pelo menos uma peça de fruta por dia, resolveu, na semana passada, recolher informação sobre o número total de maçãs vendidas no bar da sua escola. No final da semana, ele apresentou a informa-ção detalhada do estudo através de um pictograma e concluiu que foram vendidas, no total, 180 maçãs.

6.1. Ajuda o Tiago a terminar o pictograma, desenhando o número de maçãs cor-respondentes à 6.ª feira.6.2. Quantas maçãs se venderam a mais, na 3.ª feira, em relação à 2.ª feira?6.3. Quantas maçãs teriam de ser vendidas, a mais, na 5.ª feira, para igualar a ven-da de 3.ª feira?6.4. Escreve uma afirmação verdadeira sobre os dados representados no pictograma.


OTD7. Dias de chuvaOs dois gráficos seguintes representam a quantidade de chuva (em mm) que caiu durante o mês A e durante o mês B.


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7.1. Ao observar o gráfico 1 a Ana afirmou: “O mês A tem 30 dias”. A Ana terá razão? Explica como pensaste.

7.2. Qual foi a quantidade de chuva, em mm, que caiu durante o mês A?7.3. Em qual dos meses (A ou B) choveu mais? Justifica.7.4. Lê com atenção o seguinte diálogo:

Maria: - Na parte final do mês B chove mais.Ana: - Com a informação presente no gráfico 2 não é possível tirares essa conclusão.Indica a(s) razão(ões) para a Ana dizer que, analisando o gráfico 2, não é possível concluir que chove mais no final do mês B?

Prova Final 2013

OTD8. Maçã, laranja ou bananaConsidera o seguinte diagrama de Venn, organizado pela Maria e que resume o gosto dos alunos da sua turma relativamente a três frutos.

8.1. Quantos alunos:8.1.1. gostam de banana? 8.1.2. gostam apenas de laranja?


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8.2. Com base no diagrama, assinala com um V (Verdadeiro) ou com um F (Falso), cada uma das afirmações seguintes:

a) A Joana gosta de banana. b) A Rita gosta de maçã, banana e laranja. c) A Teresa não gosta de nenhum dos 3 frutos.d) A turma tinha 13 alunos.e) A Rita e a Sara gostam de banana e laranja.f) A Joana ou gosta de banana ou de maçã.g) O Pedro e a Rita gostam dos mesmos frutos.h) A Rita e o Manuel gostam de laranja.i) O Pedro e a Filipa gostam de laranja.j) 3 alunos não gostam de nenhum dos 3 frutos. k) O Bernardo não gosta de laranja.l) 6 alunos gostam de laranja.m) 11 alunos gostam de laranja ou maçã.

8.3. A Lia é uma aluna que chegou agora à escola. Ela mencionou que gosta de laranja e de maçã mas não de banana. Escreve o seu nome no diagrama de Venn, atendendo aos seus gostos.

Adaptado de Martins e Ponte (2010).

Prova Final 2014

OTD9. A loja de docesOs quatro empregados de uma loja de doces, a Joana, a Rita, a Carla e o João, arru-maram todos os chocolates nas prateleiras. O gráfico refere-se à porção de chocolates que cada empregado arrumou.


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Para cada uma das seguintes afirmações, indica, assinalando com verdadeira (V) ou falsa (F) e justifica a tua opção.

I) A Carla arrumou tantos chocolates como a Joana.II) A Carla arrumou 25% dos chocolates.III) A Rita arrumou mais chocolates do que o João.IV) A Joana foi quem arrumou mais chocolates.V) A Rita e o João, juntos, arrumaram metade do total de chocolates.


OTD10. Nascimentos O pictograma que se segue representa o número de nascimentos verificados na ma-ternidade NASCE durante 4 semanas. No total, nasceram 48 bebés.

Nascimentos na Maternidade NASCE :

10.1. Quantos bebés representa cada imagem ? Completa a legenda. 10.2. Em qual das semanas nasceram mais bebés? Quantos nasceram?10.3. Houve semanas com igual número de nascimentos? Se sim, quais? 10.4. Qual a percentagem de bebés que nasceu na primeira semana?10.5. Se tivesse nascido o mesmo número de bebés em cada uma das semanas, quantos bebés deveriam ter nascido por semana? Explica como pensaste.



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OTD11. Pessoas socorridasO pictograma seguinte representa o número de pessoas socorridas por nadadores salvadores nos meses de verão, na praia do Pedrógão.

11.1. Quantas pessoas foram socorridas, no total, em agosto e setembro?11.2. Em que mês foram socorridas 65 pessoas?11.3. Das pessoas socorridas em agosto, 2/5 eram mulheres. Quantos homens foram socorridos em agosto? Explica como pensaste.11.4. Observa agora as seguintes afirmações relativas ao número de pessoas socorridas, nos mesmos meses, na praia da Vieira:no mês de junho foram socorridas metade das pessoas relativamente às socorri-das no Pedrogão em junho;no mês de julho foram socorridas mais 18 pessoas relativamente às socorridas no Pedrogão em julho;no mês de agosto foram socorridas um quarto das pessoas relativamente às so-corridas no Pedrogão em agosto;no mês de setembro foram socorridas o triplo das pessoas relativamente às so-corridas no Pedrogão em setembro.

Na tabela seguinte regista a informação relativa às pessoas socorridas na praia da Vieira.

MêsNúmero de

pessoas Prova Eliminatória 2017


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OTD12. Golos marcadosNum agrupamento de escolas realizou-se um torneiro de futebol. O David e a Joana re-gistaram os golos marcados, nos primeiros 4 dias da semana, nos seguintes gráficos:

12.1. A afirmação da Joana estará correta? Explica como pensaste.12.2. Desenha um único gráfico de barras com a informação dos quatro dias. Dá um título ao gráfico.

12.3. Entre que dias foi maior a diferença de golos? Explica a tua resposta.

Adaptado de Tavares, Cadima, Menino e Gonçalves (2014).


OTD13. Estações do anoObserva o pictograma onde está a informação relativa a um inquérito feito a uma amostra de 280 alunos de uma escola frequentada por 1000 alunos, sobre a estação do ano preferida.


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13.1. Indica qual a estação do ano que os alunos menos gostam. 13.2. Sabendo que dos alunos que gostam da primavera, 30 são meninos, quan-tas meninas gostam da primavera? Explica como pensaste.13.3. Completa o seguinte gráfico de barras com a informação do pictograma. Dá um título ao gráfico.

13.4. O verão é a estação do ano preferida. Sugere uma possível razão para expli-car essa escolha. 13.5. Se o número de alunos a preferir cada estação do ano fosse igual, quantas respostas teria tido cada estação? Explica como pensaste.


OTD14. Arrumar bolasO Tomás tem bolas de três cores: verdes (V), azuis (A) e pretas (P). Em duas caixas, ele arrumou 24 bolas, da seguinte forma:

Caixa A: 7 verdes; 4 azuis; 1 preta.Caixa B: 4 verdes; 7 azuis; 1 preta.14.1. Qual a combinação de cores mais provável de ocorrer, quando retiramos 1 bola de cada caixa? Explica como pensaste.14.2. O Tomás vai retirar uma bola da caixa A e de seguida uma bola da caixa B, anotando, por essa ordem, as inicias das cores das bolas saídas. Por exemplo, se sair bola verde na caixa A e bola preta na caixa B, ele regista no caderno as iniciais (V, P). Para cada uma das afirmações seguintes, assinala com a letra V as que são verda-deiras e com a letra F as que são falsas.


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14.3. Numa terceira caixa (caixa C) o João arrumou as restantes bolas. Ele sabe que, nesta caixa C, 1/2 das bolas são verdes, 1/4 são azuis e 5 bolas são pretas.Quantas bolas tem a caixa C? Explica como pensaste. Na tua resposta podes usar um esquema, desenho ou cálculos.

Prova Final 2019

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Elementales: el Caso de las Medidas de Posición Central. Em C. Loureiro, F. Oliveira, & L. Brunheira (Eds.), Ensino e Aprendizagem da Estatística. Lisboa: SPE, SPM e DEEIO da FCUL.

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Capítulo 6Álgebra e a resolução de problemas

Hugo MeninoESECS, CI&DEI, Politécnico de Leiria

IntroduçãoÉ hoje inquestionável o papel e a importância que a álgebra assume na aprendizagem da matemática desde os primeiros anos. Como salienta o National Council of Tea-chers of Mathematics NCTM (2007), os programas de ensino devem habilitar todos os alunos para: (a) compreender padrões, relações e funções; (b) representar e anali-sar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos; (c) usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas; e (d) analisar a variação em diversos contextos (p. 182).

O estudo da álgebra nas escolas, restringe-se muitas das vezes à manipulação sim-bólica e à resolução de equações, o que não é suficiente. Os alunos, necessitam de perceber os conceitos algébricos, as estruturas e os princípios que orientam as mani-pulações simbólicas e de que forma esses símbolos podem ser usados para fazer a tra-dução de ideias matemáticas (Kaput, 2008). É ainda fundamental que a par da apren-dizagem da álgebra o pensamento algébrico seja desenvolvido nos alunos. Borralho e Barbosa (2009), definem pensamento algébrico como estando associado à capacida-de de representação e análise de situações matemáticas usando símbolos algébricos, à compreensão de relações e funções e à modelação. O que implica ainda “conhecer, compreender e usar os instrumentos simbólicos para representar o problema matema-ticamente, aplicar procedimentos formais para obter um resultado e poder interpretar e avaliar esse resultado” (Borralho & Barbosa, 2009, p. 60). Kaput (2008) destaca que o pensamento algébrico é uma atividade exclusivamente humana que surge no processo de procura de generalizações, como resultado de conjeturas sobre dados e relações matemáticas e que envolve uma linguagem típica de argumentação. Assim, o aluno está a pensar algebricamente quando constrói significado para os objetos matemáticos e a linguagem algébrica.

Como salientam Ponte, Branco e Matos (2009), nos primeiros anos, os alunos de-vem fazer importantes aprendizagens algébricas ao nível do estudo de relações entre objetos matemáticos, nomeadamente, a relação de igualdade (como relação de equiva-lência); a relação de desigualdade (e as relações de ordem); as relações entre núme-ros, expressões e sua generalização; e as propriedades das operações.Nos primeiros anos, a resolução de problemas e a realização de explorações envol-vendo padrões de repetição e de crescimento são um contexto muito rico para que os alunos descrevam regularidades e explorem diferentes formas de representar relações


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(por palavras, usando um tabela ou usando símbolos). Adicionalmente, neste tipo de tarefas, os alunos são estimulados a analisar regularidades e a encontrar explicações que as justifiquem. Neste processo estabelecem conjeturas, exploram exemplos e con-traexemplos e lidam com o processo matemático de generalização (Schoenfeld, 2008; Vale, Barbosa, Borralho, Barbosa, Cabrita, Fonseca & Pimentel, 2009).

Segundo Vale, Palhares, Cabrita e Borralho (2006), em muitos aspetos da nos-sa vida tendemos a procurar regularidades para interpretar situações. Desta forma, o reconhecimento de padrões e a descoberta da lei de generalização dos mesmos permite-nos conhecer melhor o mundo que nos rodeia. Os mesmos autores referem que o conceito de padrão é usado quando nos referimos a uma disposição ou arranjo de números, formas, cores ou sons onde se detetam regularidades. Num padrão posso usar uma lei de transformação que aplico a um motivo ou a um termo, obtendo uma sequência onde é possível determinar pelo menos uma regularidade. Ainda que não de forma exclusiva, tarefas envolvendo padrões são fundamentais no estudo da álgebra nos primeiros anos (NCTM, 2007; Ponte, Branco & Matos, 2009).

Neste contexto, o NCTM (2007) refere que as crianças à medida que exploram ta-refas desta natureza vão-se tornando “mais capazes na identificação de padrões em arranjos de objetos, formas e números, e no uso de padrões para prever qual será o termo seguinte num arranjo” (p. 105). Assim, os padrões constituem uma forma pela qual as crianças reconhecem a ordem, observam relações, estabelecem conexões, de-senvolvem a capacidade de conjeturar e de generalizar. Os padrões auxiliam ainda as crianças a resolverem problemas e a pensarem de forma abstrata (Kieran, 2007; Scho-enfeld, 2008).

Os padrões de repetição e os de crescimento são os dois tipos de padrão mais es-tudados e utilizados na matemática escolar (Ponte, Branco & Matos, 2009). Um padrão de repetição é um padrão onde existe um motivo identificável, o motivo de repetição, que se repete ciclicamente. Este é um tipo de padrão que pode ser estudado com as crianças mais pequenas. A sua exploração não deve ser superficial e deve envolver pro-cessos de generalização que incluam o pensamento algébrico. Adicionalmente, é ainda importante envolver as crianças na criação dos seus próprios padrões de repetição. Nos padrões de crescimento é possível identificar uma sequência em que os termos variam de forma regular, isto é, cada termo muda de forma previsível relativamente ao anterior. Os padrões de crescimento, mais complexos que os de repetição possuem grande importância no processo de transição da aritmética para a álgebra, envolvendo os alunos na análise de relações funcionais e em processos de generalização cara-terísticos do pensamento algébrico. Todas as tarefas que apresentamos de seguida visam a exploração de padrões desta natureza, em diferentes contextos, implicando a identificação de regularidades, a formulação de conjeturas e processos de generaliza-ção próxima e mais afastada. É importante salientar a riqueza de algumas das tarefas em termos das conexões estabelecidas, como é exemplo da tarefa A1. “Fósforos na


101

construção de triângulos” (geometria e medida) ou a tarefa A2. “As mesas do banque-te” (números e operações).

Para o professor, a planificação de aulas nestes tópicos curriculares apresentam novos desafios. Como referem Blanton e Kaput (2005), os professores têm de desen-volver olhos e ouvidos algébricos, no sentido que têm de trazer um novo olhar à forma como implementam tarefas desta natureza e assumir uma outra forma de escutar a forma como os alunos pensam. Estas ideias cruzam-se com o que já foi discutido no capítulo 1 relativamente ao raciocínio e à comunicação na aula de matemática, nomea-damente a importância da utilização da aula exploratória como opção pedagógica.

Problemas no domínio da Álgebra

A1. Fósforos na construção de triângulosCom 3 fósforos podes construir um triângulo de perímetro 3.Com 5 fósforos podes construir uma figura, formada por dois triângulos, com perí-metro 4.

1.1. A figura que está construída com os 7 fósforos é formada por quantos triângu-los? Qual o seu perímetro?1.2. Se continuares o padrão quantos fósforos são necessários para construir a figura seguinte?Desenha essa figura e indica o seu perímetro.

Adaptado do projeto “Investiga e Partilha” APM (1998).



102

A2. As mesas do banquete2.1. Uma mesa de banquete é feita juntando mesas mais pequenas (secções). Esta mesa com duas secções tem 12 lugares.

2.1.1. Completa.

Número de secções Número de lugares2 1235

10

2.1.2. Descreve como calcular o número de lugares sabendo o número de sec-ções.

2.2. Há um empregado de mesa em cada secção e um em cada um dos topos da mesa de banquete.

2.2.1. Completa.

Número de secções

Número de empregados de mesa

23 56

10

2.2.2. Descreve como calcular o número de empregados de mesa sabendo o número de secções.


Prova Final 2002

A3. Botões coloridos A Maria está a brincar com botões de três cores diferentes: branco (B), vermelho (V) e azul (A).De acordo com as cores, ela dispôs os botões em cima de uma mesa de modo a formarem um padrão. Observa: A V B A V V B A V V V B ...


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3.1. Qual é a cor do botão que está na 10ª posição?3.2. Qual será a cor do botão que estará na 18ª posição? 3.3. Consegues explicar, por palavras tuas, como se forma este padrão?


A4. Os botõesConsidera a sequência de conjuntos de botões, organizados em retângulos pela Ana.


4.1. De quantos botões necessitará a Ana para construir a figura 4? Explica como pensaste.4.2. Considera a figura da sequência formada por um retângulo cujo comprimento tem 12 botões.

4.2.1. Quantos botões terá a figura de largura? Explica como pensaste.4.2.2. Quantos botões terá a figura, no total?

4.3. Poderá uma figura da sequência ser constituída por 123 botões? Justifica a tua resposta.

Prova Final 2013

A5. A brincar com os botõesCom estes dias de chuva o Martim tem estado a brincar em casa. Na segunda feira resolveu brincar com botões construindo uma sequência de figuras usando sempre o mesmo padrão:


5.1. Quantos botões serão necessários construir a figura 4?5.2. Quantos botões irá precisar o Martim para construir a figura 100? Explica como pensaste.


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5.3. Será que o Martim consegue construir uma figura com 46 botões? Explica como pensaste.

Adaptado de Vale et al. (2009).


A6. Círculos brancos e pretosNa figura ao lado, estão representados os três primeiros termos de uma sequência de conjuntos de círculos que segue a lei de formação sugerida.

6.1. Indica quantos círculos de cada cor serão necessários para construir o 4.º termo.Número de círculos brancos:_______ Número de círculos pretos: ________6.2. Há um termo da sequência que tem 10 círculos pretos. Ao todo, quantos cír-culos (pretos e brancos) terá esse termo? Mostra como chegaste à tua resposta.6.3. Se uma figura for composta por 81 círculos brancos, quantos círculos pretos terá? Explica como pensaste.


A7. Losangos e mais losangosObserva a sequência formada por losangos.

Fig. 1 Fig. 2 Fig.3 Fig. 4

7.1. Indica quantos losangos brancos e losangos cinzentos serão necessários para construir a quinta figura.


105

Losangos brancos: ______ Losangos cinzentos: ______7.2. Será que existe uma figura nesta sequência composta por 20 losangos cin-zentos? Se sim, qual é o número da figura? Justifica.7.3. Rodeia as duas expressões que permitem obter o número total de losangos da figura 50. 3×50 2×50+50-1 2×50+1 3×50-17.4. Uma figura da sequência é composta por 44 losangos cinzentos. Quantos losangos brancos tem essa figura? Justifica.


A8. A sequência da MariaA Maria estava a observar as seguintes figuras, compostas por quadrados cinzentos e pretos, e começou logo a pensar em sequências e no que aconteceria às figuras seguintes da sequência mantendo-se o mesmo padrão.

Fig. 1 Fig. 2 Fig.3

8.1. Pensa como a Maria e completa a seguinte afirmação.

“A Fig. 5 será composta por ______ quadrados cinzentos e por ______ quadrados pretos.”

8.2. Assinala com (x) a expressão que permite calcular o número total de quadra-dos da centésima figura.

(__) 100×100+4 (__) 2×100×4×100 (__) 100×100+4×100 (__) 100×100+100

8.3. A figura 3 foi construída com base num quadrado de área 100 cm2, em que se removeram quatro quadrados geometricamente iguais (um em cada canto). Determina, em cm2, a medida da área da parte cinzenta da figura 3. Explica como pensaste.



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Capítulo 7Conexões matemáticas e a resolução de problemas

Hélia Pinto e Marina RodriguesESECS, CI&DEI, Politécnico de Leiria

IntroduçãoO estabelecimento de conexões dentro e fora da matemática é um elemento fundamen-tal quando falamos da construção de ideias e conceitos matemáticos. Desde 1989, que o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) defende que o professor deve proporcionar aos alunos tarefas que relacionem diferentes conceitos e ideias, já que quando os alunos estabelecem conexões, dentro da matemática, com outros do-mínios do conhecimento e com a sociedade, realizam aprendizagens mais consistentes (NCTM, 1994). Assim, os autores defendem que o currículo de matemática, desde o pré-escolar ao 12.º ano deve habilitar todos os alunos a: reconhecer e usar conexões entre as ideias matemáticas; compreender a forma como as ideias matemáticas se in-terrelacionam e se constroem umas a partir das outras para produzir um todo coerente; reconhecer e aplicar a matemática em contextos exteriores a ela própria (2007, p.71).

Esta necessidade de integração de conhecimento através de conexões dentro e fora da matemática também é, há muito, defendida em Portugal. A Associação de Pro-fessores de Matemática (APM), desde o início da sua existência, que preconiza estas ideias (APM, 1990), que se repercutiram nas orientações curriculares da época. Por exemplo, no programa de matemática A do ensino secundário (1995), referia-se que as conexões entre a matemática e todos os ramos do saber contribuem de forma decisiva, para enfrentar mudanças profissionais, bem como inovações científicas e tecnológi-cas (ME-DES, 1995). Mais recentemente o Programa de Matemática do Ensino Bási-co (PMEB) apresentava como um dos objetivos gerais da matemática, o desenvolvi-mento da capacidade de estabelecer conexões entre diferentes conceitos e relações matemáticas e entre situações não matemáticas (Ponte, et al., 2007).

Ponte (2010) esclarece que o estabelecimento de conexões entre a matemática e a realidade exterior à mesma, promove o desenvolvimento de conceitos e ideias matemáticas e a capacidade de usar a matemática na resolução de problemas, en-quanto as conexões internas à matemática promovem a compreensão de conceitos, de representações e das suas relações.

Na realidade é através de conexões entre ideias, conceitos, procedimentos e vivên-cias, que os alunos, num intenso processo cognitivo, constroem conhecimento relacio-nando novos conhecimentos com os anteriores e com as suas experiências. Quando o processo de ensino e aprendizagem não tem em conta estes aspetos, e assenta essencialmente na memorização de factos e técnicas, abre-se a porta ao insucesso na


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disciplina (Vale & Pimentel, 2010). Por outro lado, numa visão de ensino e aprendizagem da matemática através da

resolução de problemas, onde esta não é vista como um tópico isolado, mas uma com-petência transversal, a ser desenvolvida ao longo do programa de matemática (NCTM, 2007), pretende-se que os alunos recorram a diferentes abordagens e conhecimentos anteriores, para apresentarem as suas ideias e justificá-las. Deste modo, para obterem uma solução precisam de combinar, modificar e melhorar conhecimento, pelo que a resolução de problemas é uma forma de ultrapassarem uma aprendizagem constituída por factos isolados e aprenderem a fazer conexões (Vale, Pimentel & Barbosa, 2015).

Neste sentido, contextos como as experiências dos alunos na escola, em casa, na comunidade e ainda problemas com contextos de outras áreas de conhecimento de-vem ser valorizados. Foi isto que tentámos fazer, por exemplo com o problema CM9. “Temperatura da pele”, que explora uma representação gráfica estabelecendo conexões com a língua portuguesa e com o estudo do meio, com o problema CM13. “O esta-cionamento”, que parte de um contexto da própria comunidade (parque de estaciona-mento), ou, ainda, com o problema CM14. “A viagem” que, ao explorar uma tabela de horários de autocarros, se enquadra na experiência quotidiana de muitos alunos.

Por conseguinte, cabe ao professor ajudar os seus alunos a estabelecerem conexões matemáticas, de modo a entenderem a matemática como um conjunto de relações, ligada a outras áreas do saber e ao mundo que os rodeia (Boavida, Paiva, Cebola, Vale & Pimentel, 2008). Esta abordagem permite uma compreensão mais profunda da matemática, reconhecendo a sua utilidade e o seu caráter integrador (NCTM, 2007) e amplia a compreensão matemática dos alunos que é, de acordo com Canavarro (2017), a grande finalidade das conexões.

Em síntese, a exploração de conexões dentro e fora da matemática potencializa o desenvolvimento de atitudes favoráveis em relação à matemática, pois permite uma visão coerente e articulada desta ciência e da sua relação com as outras áreas do saber.

Seguidamente apresentam-se alguns problemas envolvendo conexões, salientando-se que muitos dos problemas apresentados nos outros capítulos poderiam surgir aqui.


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Problemas envolvendo conexões matemáticas

CM1. A cor do cabeloA Alice vive na mesma casa da Filipa e da Maria. Uma das três meninas é loira, a outra é ruiva e a outra é morena. A morena não tem caracóis; a Filipa costuma fazer os trabalhos de casa com a menina loira; e a loira costuma jogar damas com a Maria que tem caracóis.Serás capaz de descobrir a cor do cabelo de cada uma das meninas? Explica como chegaste à tua resposta usando desenhos, palavras ou uma tabela.


CM2. O cão “Mel”O Diogo encontrou um cão abandonado e ficou com ele. Começou a chamá-lo por “Mel”. É cor de mel, tem orelhas compridas e pesa cerca de 20 Kg.O Bruno lembrou-se que tinha visto, num livro, uma tabela de referência que indicava as necessidades alimentares de um cão em relação ao seu peso e foi consultá-la para saber a quantidade de ração que devia comprar.

Peso do cão (kg) 1 - 5 5 – 10 10 – 30 30 – 45 45 - 60

Ração diária (g) 25 - 125 125 - 200 200 - 400 400 - 650 650 - 810

Quando foi comprar a ração com a mãe encontraram vários tipos de sacos.

2.1. Qual a ração que fica mais barata tendo em conta o custo do quilograma? Explica como pensaste.2.2. Para quantos dias durará este saco de ração para alimentar o cão? Explica a tua reposta.

Prova Final 2006


110

CM3. Corta-matoA Patrícia, o Luís, o Jaime e a Isabel foram selecionados para representarem a sua turma no corta-mato. Supõe que cada corredor consome, por minuto, 1 caloria, por cada 5 Kg do seu peso.

Atleta Peso Almoço

Patrícia 50 KgCosteleta de porco (100g) com arroz (4 colheres),

2 rodelas de tomate e 1 iogurte

Luís 78 Kg Frango (100g) com 2 batatas médias e uma tarte de maçã

Jaime 40 Kg Pescada (100g) com 2 batatas médias e uma laranja

Isabel 62 KgPão com 2 fatias de fiambre e manteiga (1colher pequena),

um copo de leite e uma banana

Tabela de caloriasAlimento Quantidade CaloriasLeite vaca 1 copo 110

Iogurte 1 120Costeleta porco 100g 355

Arroz 4 colheres 160Batata 2 médias 180

Fiambre 2 fatias 150Queijo magro 1 fatia 60

Frango 100g 140Pescada 100g 70Manteiga 1 colher pequena 125

Pão 1 pequeno 130Maçã 1 100

Laranja 1 90Kiwi 1 50

Tomate fresco 2 rodelas 20Banana 1 120

Tarte maçã 1 fatia 405

3.1. Qual o almoço com menos calorias?3.2. Quantas calorias gasta a Patrícia por minuto? Como descobriste?3.3. O que poderá a Patrícia comer de modo a repor as calorias gastas em meia hora?



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CM4. Um trabalho de pesquisaA turma da Catarina decidiu fazer um trabalho de pesquisa sobre insetos.

4.1. Quando e onde decorreu a pesquisa?4.2. Quantas horas demorou a pesquisa?4.3. Qual o número total de insetos observados?4.4. É verdade que as joaninhas são mais do que 1/4 dos insetos? Apresenta os cálculos que efetuares.4.5. Descobre qual é: “É um inseto voador. Tem mais de 1,5 cm e não é verde.”Explica como chegaste à resposta.


Prova Final 2008

CM5. Os desportistasO Ricardo, o Tomás e o Pedro estão inscritos nas modalidades desportivas que exis-tem na escola: Futsal, Basquetebol e Hóquei em Patins.Cada um dos desportistas só está inscrito numa das modalidades. Sabe-se que o Ricardo não pratica Futsal. O Basquetebolista treina sozinho à terça-feira. O Tomás e o futebolista treinam à quinta-feira.Qual a modalidade praticada por cada um dos amigos? Explica como chegaste à tua resposta.



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CM6. Coleções de cromosA Rafaela, o Alexandre e a Mafalda fazem coleção de cromos. Na papelaria da vila, os cromos vendem-se em carteiras de três tipos: com 6, 8 ou 24 cromos. Estes podem ainda ser de cores diferentes: verdes, azuis, vermelhos ou amarelos.

6.1. O Tiago tem 48 cromos no total. Que tipo de carteiras de cromos pode ter comprado? Explica como pensaste. 6.2. A Mafalda possui numa caixa 50 cromos. Ela afirmou: “Se eu escolher ao acaso um cromo da caixa é mais provável sair um cromo de cor azul.” Sabendo que ela possui cromos de todas as cores, indica uma possibilidade para o número de cromos de cada cor que a Mafalda tem. 6.3. Determina uma aproximação da medida de área desta folha (a folha onde estás a responder) usando como unidade de medida os cromos dos três amigos, sabendo que os cromos têm 6cm de comprimento e 3cm de largura.

Prova Final 2011

CM7. Dados e mais dadosO Tiago estava a brincar com um dado. Depois de fazer várias experiências concluiu que, num dado, a soma do número de pintas das faces opostas é sempre igual a sete.

7.1. Num dos lançamentos do Tiago, a face que ficou voltada para cima tinha 4 pintas. Quantas pintas tinha a face oposta a esta?7.2. Observa a figura e tenta descobrir qual a soma das pintas das faces assentes na mesa.

7.3. Observa atentamente as figuras seguintes e assinala com um X aquela que não corresponde a uma planificação de um dado. Justifica a tua escolha.


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Adaptado de Monteiro e Pinto (2014).


CM8. Atividade físicaA Ana, a Diana e a Maria são três amigas que praticam, semanalmente, atividade física.Uma das amigas pratica futebol, outra pratica natação e outra pratica basquete.A Ana, que não tem telemóvel, reúne com a colega que pratica basquete para estudar. A menina que pratica futebol não tem telemóvel. A que pratica natação liga sempre para o telemóvel da Maria depois do treino.Com a informação dada, descobre qual é o desporto que cada uma das amigas pratica. Explica como pensaste (podes fazer desenhos, esquemas, diagramas, tabelas, etc).

Prova Final 2014

CM9. Temperatura da peleO gráfico seguinte representa a temperatura da pele de uma pessoa ao longo do tempo.


114

Ao observares este gráfico, podes imaginar que, a partir dos dados que ele apresen-ta, se consegue escrever uma história. Que história poderá ser? Utiliza o espaço a seguir para criares uma história a partir da informação sugerida pelo gráfico. Nota: De acordo com a tua história, o tempo pode ser expresso em dias, horas ou minutos.

Prova Final 2015

CM10. As sandes da avóA Maria e os seus irmãos vão lanchar a casa da avó. Para o lanche a avó decidiu fazer sandes, tendo disponíveis dois tipos de pães: pães de leite ou pães de sementes e três ingredientes: manteiga, fiambre ou queijo.

10.1. Escolhendo um tipo de pão e usando apenas um ingrediente, quantas sandes diferentes pode fazer a avó da Maria? Explica como pensaste.10.2. E se escolher um tipo de pão e usar dois ingredientes, quantas sandes diferentes poderá fazer?10.3. Para beber, a avó preparou 1 litro de sumo de laranja natural, que distribuiu por 6 copos iguais, enchendo-os completamente. Se ela usasse copos mais pe-quenos, com metade da capacidade, quantos copos conseguiria encher? Assinala com um (x) a opção correta.

10 3 0,5 12


CM11. Sequência de quadradosA Maria construiu uma sequência de figuras utilizando quadrados de papel brancos e cinzentos, dispostos segundo um determinado padrão. Observa a imagem onde estão representadas as primeiras quatro figuras da sequência.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4


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11.1. Indica quantos quadrados brancos e quantos quadrados cinzentos foram precisos para construir a figura 6.Quadrados brancos: ______ Quadrados cinzentos: ______11.2. Será que existe uma figura nesta sequência composta, no total, por 29 qua-drados? Se sim, qual é o número da figura?11.3. Rodeia a expressão que permite obter o número total de quadrados da figura 30.Opção A: 3x30 Opção B: 3x30+2 Opção C: 2x30+1x3011.4. Uma figura da sequência é composta por 66 quadrados cinzentos. Quantos quadrados brancos terá essa figura? 11.5. Com os números 1, 2, 3, 4 e 5, preenche cada um dos quadrados que compõem a figura 1, de modo que a soma dos números de cada linha e de cada coluna seja igual.


CM12. TabuleiroObserva a figura com atenção.A partir da figura, formula dois problemas e apresenta uma sugestão de resolução para cada um deles. Para cada problema, dá um título sugestivo.

Prova Final 2017

CM13. O estacionamentoObserva a lotação de dois parques de estacionamento (P1 e P2).

13.1. Proporcionalmente, qual dos parques está mais ocupado? Explica como pensaste.


116

13.2. Quantos carros tem de se estacionar no Parque 2 para que a ocupação seja de 75%? Explica como pensaste.

Adaptado de Kent, Arnosky, e McMonagle (2002).

Prova Final 2018

CM14. A viagemO Sr. Paulo vai viajar entre Coimbra e Lisboa (estação do Oriente). Observa os horários dos autocarros.

14.1. O Sr. Paulo vai apanhar, em Coimbra, o autocarro das 10h55min. Qual é a duração da viagem? _____h _____min14.2. O autocarro depois de sair de Coimbra, parou em Leiria onde saíram meta-de dos passageiros e ninguém entrou. Depois parou em Caldas da Rainha onde saíram 5 passageiros e entraram 7. De seguida parou no Bombarral onde saíram 1/3 dos passageiros que seguiam no autocarro e ninguém entrou. Sabendo que o autocarro chegou a Lisboa com 20 passageiros, determina quantos passageiros entraram em Coimbra. Explica como pensaste.14.3. O Sr. Paulo pretende regressar no domingo, o mais tarde possível. Que au-tocarro deverá apanhar? Qual é a duração dessa viagem?14.4. Formula um problema que possa ser respondido com os dados dos horários dos autocarros e resolve-o.

Prova Final 2018


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CM15. O depósito de azeiteUm depósito de azeite estava com metade da sua capacidade ocupada. De seguida, o João colocou mais dois mil litros de azeite e o depósito ficou com três quartos da sua capacidade ocupada.

15.1. Qual é a capacidade do depósito? Explica como pensaste.15.2. Uma das faces laterais do depósito é um retângulo dividido em 6 quadrados, como mostra a figura ao lado. O retângulo tem de perímetro 100dm. Determina o perímetro de cada quadrado. Explica como pensaste.

Prova Final 2018

CM16. DesafiosO concurso Desafios surgiu no ano 2000. Nesse ano, foi criado um logótipo, com base na imagem de um puzzle.Observa, na figura ao lado, o primeiro logótipo dos Desafios. Sabe-se que: - O puzzle é composto por 6 peças.- Todas as peças têm a mesma área.

16.1. Que parte do puzzle representa a peça cinzenta que está destacada?16.2. Sabendo que o perímetro do puzzle completo é 30 cm e que a largura corresponde a 2/3 do comprimento, determina a área do puzzle composto pelas 6 peças. Explica como pensaste.16.3. Tal como se mostra na figura seguinte, usando 6 quadrados geometricamen-te iguais podemos construir 2 retângulos distintos (2 por 3 e 1 por 6).


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Com 16 quadrados geometricamente iguais, quantos retângulos distintos podemos formar? Desenha-os na grelha quadriculada seguinte.



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CM17. Quadrados e mais quadradosA Matilde está a construir uma sequência de figuras usando quadrados verdes e cin-zentos, ambos de lado 1cm, formando quadrados sucessivamente maiores. Observa as primeiras quatro figuras da sequência, construídas pela Matilde.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

17.1. Indica o número de quadrados verdes que irá ter a figura 6. 17.2. Uma das figuras da sequência é um quadrado com 100 cm de perímetro. Indica o número dessa figura na sequência. Explica como pensaste. 17.3. A Matilde percebeu que para construir a figura 3 necessitou de 1+3+5 quadrados, formando um quadrado de lado 3 e para construir a figura 4 necessitou de 1+3+5+7 quadrados, formando um quadrado de lado 4. Usando esta regra, consegues descobrir qual o número da figura composta por 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + 17+ 19 + 21 + 23 + 25 quadrados? Explica como pensaste.17.4. Quantos quadrados de lado 1cm, 2cm ou 3cm e quantos retângulos (não quadrados) consegues visualizar na figura 3? Completa a tabela.

Figura N.º de figurasQuadrados de lado 1cmQuadrados de lado 2cmQuadrados de lado 3cm

Retângulos (não quadrados) Figura 3

Prova Final 2019


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desafios matemÁticos · capítulo 1 - resolução de problemas, raciocínio e comunicação...

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