Universidade Anhanguera – UniderpCentro de Educação a Distância

Curso Superior Tecnologia em Gestão Pública

ATIVIDADE AVALIATIVA DESAFIO DE APRENDIZAGEM

Disciplina: MatemáticaProf.Me. Pedro Hiane

São Luis-Ma2011

Atividade Avaliativa Desafio de AprendizagemDisciplina: MatemáticaProf.Me. Pedro Hiane

Atividade Avaliativa: Desafio de Aprendizagem apresentado ao Curso Superior Tecnologia em Gestão Pública da Universidade Anhanguera Uniderp, como requisito para a avaliação da Disciplina Matemática ata obtenção e atribuição de nota da Atividade Avaliativa.

São luis-Ma2011

Etapa n° 1:

1° PASSO

Curso C.S.Tecnologia em Gestão Publica

Período Letivo

2011/2

Semestre 2º Sem Disciplina MATEMATICA

Nome Tutor Presencial

Nome

Prof° Moises

Nome Professor EAD

Pedro Hiane

Nome Aluno(a)

Nome

Roosevelt F. Abrantes

RA Número

298764

Etapa n° 2:

2° PASSO

Introdução:

Desde os tempos antigos, o homem buscou formas de representar a realidade. A função de primeiro grau foi uma das primeiras representações que fez com que o homem pudesse avançar até em construções de pirâmides na época do Egito. Esse trabalho desenvolve conceitos a respeito da função de primeiro grau na contabilidade. Também apresenta exemplos práticos de como essa importante função ajuda até hoje o homem a representar com maior exatidão a realidade na área contábil. A matemática e a contabilidade são duas ciências que evoluíram desde a antiguidade. Sempre caminharam juntas, paralelamente ao desenvolvimento econômico e social. Esse desenvolvimento influenciou diretamente todas as atividades relacionadas a cultura, ciência e educação .Sendo a contabilidade e a matemática duas ciências essenciais ao desenvolvimento profissional, surge a necessidade de identificar como a disciplina de matemática pode utilizar-se da contabilidade na gestão de custos para compreensão de um conceito básico matemático como função. Assim, o objetivo deste trabalho é identificar uma aplicação da análise das funções de primeiro grau na contabilidade.

CONCEITOS

FUNÇÃO:

Função é uma relação. Se tivermos dois conjuntos, a relação entre eles será uma função se todo elemento do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado) apenas com um elemento do segundo conjunto.

Com essa definição podemos dizer que função é um tipo de dependência, um valor depende do outro, matematicamente podemos dizer que função é uma relação de dois valores, por exemplo: f(x) = y, sendo que x e y são valores, onde x é o domínio da função (a função está dependendo dele) e y é um valor que depende do valor de x sendo a imagem da função.

Um exemplo prático de função é: o valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função (está dependendo) de quanto iremos gastar de m3 de água e quantos KW de energia foram consumidos durante o mês. Essa relação é uma função.

FUNÇÃO DE 1º GRAU:

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.

Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.

Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.

A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência

entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente         Função decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.

Exemplos de funções do 1º grau

y = 6x + 4, a = 6 e b = 4

y = 5x – 9, a = 5 e b = –9

y = – 2x + 20, a = – 2 e b = 20

y = 3x, a = 3 e b = 0

y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1

Raiz ou zero de uma função do 1º grau

Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerary = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.

Exemplo:

Uma siderúrgica fabrica pistões para montadoras de motores automotivos. O custo fixo mensal de R$ 950,00 inclui conta de

energia elétrica, de água, impostos, salários e etc. Existe também um custo variável que depende da quantidade de pistões produzidos, sendo a unidade R$ 41,00. Considerando que o valor de cada pistão no mercado seja equivalente a R$ 120, 00, monte as Funções Custo, Receita e Lucro. Calcule o valor do lucro líquido na venda de 1000 pistões e quantas peças, no mínimo, precisam ser vendidas para que se tenha lucro.

Função Custo total mensal:C(x) = 950 + 41x

Função ReceitaR(x) = 120x

Função LucroL(x) = 120x – (950 + 41x)

Lucro líquido na produção de 1000 pistõesL(1000) = 120*1000 – (950 + 41 * 1000)L(1000) = 120.000 – 950 + 41000L(1000) = 120.000 – 41950L(1000) = 78.050

O lucro líquido na produção de 1000 pistões será de R$ 78.050,00.

Para que se tenha lucro é preciso que a receita seja maior que o custo.

R(x) > C(x)120x > 950 + 41x120x – 41x > 95079x > 950x > 950 / 79x > 12

Para ter lucro é preciso vender acima de 12 peças.

FUNÇÃO DO 2º GRAU:

Uma função para ser do 2º grau precisa assumir algumas características, pois ela deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a, b e c são números reais com a diferente de zero. Concluímos que a condição para que uma função seja do 2º grau é que o valor de a, da forma geral, não pode ser igual a zero.

Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é: f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a Є R* e b e c Є R.

Numa função do segundo grau, os valores de b e c podem ser iguais a zero, quando isso ocorrer, a equação do segundo grau será considerada incompleta.

Veja alguns exemplos de Função do 2º grau:

f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa)

f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta)

f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta)

Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem contradomínio.

Exemplo 2

Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo?

L(x) = R(x) – C(x)

L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8)

L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8

L(x) = – x² + 6x – 8

O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro máximo será determinado por Xv.

[pic]

Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades sejam vendidas.

FUNÇÃO EXPONENCIAL:

Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no expoente de um número real, sendo que esse número precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal condição usando a seguinte definição geral:

f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

O gráfico de uma função exponencial é definido de acordo com o valor da base a, observe os dois gráficos a seguir:

                              a > 0                                                     0 < a < 1[pic]A função exponencial é caracterizada pelo crescimento e decrescimento muito rápido, por isso é muito utilizada na Matemática e em outras ciências correlacionadas com cálculos. Na Matemática, serve para demonstrar o crescimento de um capital aplicado a uma determinada taxa de juros compostos.

ExemploUma pessoa coloca 3000 contos a prazo, à taxa de 20% ao ano e não levanta dinheiro algum durante 10 anos. Quanto tem a receber (capital acumulado) ao fim desse período?E ao fim de x anos? Resolução:                        

milhares de contosAo fim de 1 ano                      3 + 3x0,2 = 3 (1 + 0,2) = 3x1,2Ao fim de 2 anos                    3x1,2 + 3x1,2x0,2 = 3x1,2 (1 + 0,2) = 3x1,22Ao fim de 3 anos                    3x1,22 + 3x1,22x0,2 = 3x1,23    ..................................................................................................Ao fim de 10 anos                3x1,210 ≈ 18,575Ao fim de x anos                 3x1,2x

FUNÇÃO INVERSA:

O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f.

Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:[pic]Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.

A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5.Veja o diagrama abaixo:[pic]Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa.

Exemplo 1

Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:

x = 3y – 5–3y = –x –5 (multiplicar por –1)3y = x + 5y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.

FUNÇÃO LOGARÍTIMICA:

As funções na forma f(x) = log ax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 1, sendo f : R*+ → R. Exemplos:

f(x) = log2xf(x) = log5(x – 2)f(x) = log(a – 2)4f(x) = log0,5x

O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições:

Crescente: base maior que 1.Decrescente: base maior que zero e menor que 1.

Função crescente[pic] 

Função decrescente[pic]

As funções logarítmicas envolvem em sua resolução, propriedades destinadas ao estudo dos logaritmos. Portanto, o seu

desenvolvimento depende do conhecimento prévio dessas propriedades.

Exemplo:

Na equação: Q = Q0 * e– r * t, Q representa a massa final da substância, Q0, a massa inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em anos. Note que nessa equação, a massa final está em função do tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos anos 50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa de variação de 8% ao ano.[pic][pic]

O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e 9 meses.

Exemplo:Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

Solução:Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]Simplificando, fica:2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então:n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.

Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivalente a 2 anos e 11 meses.Resposta: 2 anos e 11 meses.

FUNÇÃO POTENCIA:

POLINOMIALToda função na forma P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0, é considerada uma função polinomial, onde p(x) está em função do valor de x. A cada valor atribuído a x existe um valor em y, pois x: domínio da função e y: imagem.

O grau de um polinômio é expresso através do maior expoente natural entre os monômios que o formam. Veja:g(x) = 4x4 + 10x2 – 5x + 2: polinômio grau 4.f(x) = -9x6 + 12x3 - 23x2 + 9x – 6: polinômio grau 6.h(x) = -3x3 + 9x2 – 5x + 6: polinômio grau 3.

Em uma função polinomial, à medida que os valores de x são atribuídos descobrimos os respectivos valores em y [p(x)], construindo o par ordenado (x,y), usado nas representações gráficas no plano cartesiano. Observe:

EXEMPLOSDada a função polinomial p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1. Determine os pares ordenados quando:x = 0p(x) = 2x3 + 2x2 – 5x + 1p(0) = 2*03 + 2*02 – 5*0 + 1p(0) = 0 + 0 – 0 + 1p(0) = 1par ordenado (0,1)

x = 1p(1) = 2*13 + 2*12 – 5*1 + 1p(1) = 2 + 2 – 5 + 1

p(1) = 0par ordenado (1,0)

x = 2p(2) = 2*23 + 2*22 – 5*2 + 1p(2) = 2*8 + 2*4 – 10 + 1p(2) = 16 + 8 – 10 + 1p(2) = 15par ordenado (2,15)Obtenção da Função DerivadaO objetivo é apresentar o significado de uma função derivada e como ela se relaciona com a função que lhe deu origem. Ao mesmo tempo, deseja-se mostrar, através de um caso particular, como foram construídas as regras de derivação. Para isso, tomando como exemplo uma função polinomial do tipo:y = f(x) = a + b.x + c.x²                                                 considere as várias funções obtidas a partir dela, desde a função constante, y = a , até aquela representada pela função do 2ºgrau, e suas derivadas.A-    Derivada da Função ConstanteA função constante y = a tem por gráfico uma reta paralela à abscissa.                        [pic]

Exemplo: f’(ln|2x+1|) = 2/2x+1;*Derivada da soma de duas funções:f’(g(x)+h(x)) = f’(g(x)) + f’(h(x));Exemplo: f’((2x) + (5x^2+5)) = 2 + 10x;*Derivada do produto de uma constante por uma função:f’(c.g(x)) = c.g’(x);Exemplo: f’(2.(2x)) = 2.2 = 4;*Função potência:f’(x^n) = n.x^(n-1);

Funções Logarítmicas e Exponenciais

LOGARITMOS:Lembre-se que, algebricamente, o logaritmo é um expoente. Mais precisamente, se b > 0 e b [pic]1, então para valores positivos de x o logaritmo na base b de x é denotado por    [pic]e é definido como sendo aquele expoente ao qual b deve ser elevado para produzir x. Por exemplo,[pic]Historicamente, os primeiros logaritmos a serem estudados foram os de base 10 chamados de logaritmos comuns. Para tais logaritmos, é usual suprimir referência explícita para a base e escrever log x e não [pic]. Mais recentemente, os logaritmos de base dois desempenharam importante papel em ciência computacional, uma vez que surgem naturalmente em sistema numérico binário. Porém, os logaritmos mais largamente usados nas aplicações são logaritmos naturais, os quais tem uma base natural denotada pela letra e em homenagem ao matemático suíço Leonard Euler, que primeiro sugeriu sua aplicação aos logaritmos no artigo não-publicado, escrito em 1728. Esta constante, cujo valor está em seis casas decimais, ée[pic]2, 718282surge como assíntota horizontal ao gráfico da equaçãoy = [pic] Os valores de[pic]aproximam-se a e|x |[pic] |[pic] ||1 |2 |[pic]2,000000||10 |1,1 |  2,593742 ||100 |1,01 |  2,704814 ||1000 |1,001 |  2,716924 ||10.000 |1,0001 |  2,718146 ||100.000 |1,00001 |  2,718268 ||1.000.000 |1,000001 |  2,718280 |

[pic]O fato de que y = e, quando x[pic] e quando x[pic] é expresso pelos limites[pic]  e    [pic]

A função exponencial f (x) = [pic]é chamada de função exponencial natural. Para simplificar a tipografia, esta função é, algumas vezes, escrita como exp x. Assim, por exemplo, você pode ver a relação [pic]expressa comoexp([pic]+[pic]) = exp([pic]) exp([pic])Esta notação é também usada por recursos computacionais, e é típico acessar a função [pic]com alguma variação do comando EXP.

DERIVADA DE UMA CONSTANTE

Se c for um número real qualquer, então:[pic]DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃOSe for diferençável em x e c for um número real qualquer, então:

[pic]DERIVADAS MAIS ALTASSe a derivada (f') de uma função (f) for ela mesma diferençável, então a derivada de (f') será denotada por (f''), chamada de derivada segunda de (f):

[pic]

Se pudermos repetir este processo, obteremos a derivada terceira de f:E assim por diante, na forma geral:[pic]

Desenvolvimento:

1) RESOLVA O PROBLEMA – DESAFIO

I - Um trator tem seu valor dado pela função V(x) =125.000 · 0,91x, onde x representa o ano após a compra do trator e x = 0 o ano em que foi comprado o trator.

a)Calcule o valor do trator após 1, 5 e 10 anos da compra.

V(1) = 125.000 x 0,91¹V(1) = 113.750

V(5) = 125.000 x 0,915

V(5) = 125000 x 0,625V(5) = 78.125

V(10) = 125,000 x 0,9110

V(10) = 125.000 x 0,39V(10) = 48.750

b)Qual o valor do trator na data da compra? Qual o percentual de depreciação do valor em um ano?

V(0) = 125.000 x 0,9110 = 125.000125.000 = 100 (125.000 – 113.750) = x 125.000 = 1001.1250 x

125.000x = 1125000x = 1125 000 125000

x = 9 %

c)Esboce o gráfico de V(x).

d)Após quanto tempo o valor do trator será $90.000,00?

125.000 x 0,91 = 90.0000,91x = 90. 000 125.0000,91x = 0, 721

=> (91)x

x = 3, 48x = aproximadamente 3 anos e 6 meses

Conclusão:

Através do desenvolvimento deste trabalho pode-se concluir o quanto se faz necessário às funções matemáticas e a contabilidade para um bom relacionamento entre o homem e o estudo das ciências exatas, mostramos a importância da função de primeiro grau nas ciências contábeis. Com os exemplos acima descritos nota-se que a função de primeiro grau não só é utilizada na contabilidade. Mas na vida diária, usamos as funções e a contabilidade para obter precisão dos fatos para tomada de decisões tanto na vida profissional como na vida pessoal. Concluímos então que um estudante para torna-se um bom profissional deve aplicar não só as funções de primeiro grau, mas todas as funções matemáticas junto da contabilidade, Identificando soluções para os desafios que por ventura virão com a profissão e também resolver problemas e satisfazer os envolvidos nas diversas situações com habilidade e a competência necessária.

Referencias Bibliograficas:

Murolo, Afrânio Carlos – Matematica aplicada a administração, economia e contabilidade / Afranio Carlos Murolo, Giacomo Augusto Bonetto – São Paulo 2009.

http:// www.brasilescola.com/matematicahttp:// www.mundoeducação.com.br/matemáticahttp://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/m2/3tecnicas_1_consta.htmhttp://www.somatematica.com.br/superior.php