dedução equação de navier stokes

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Núcleo de Engenharia Térmica e Fluidos

As equações de Navier-Stokes foram derivadas inicialmente por M. Navier em 1827 e por S.D. Poisson em 1831, baseando-se num argumento envolvendo considerações de forças intermoleculares. Mais tarde as mesmas equações foram derivadas sem o uso de nenhuma dessas hipóteses por B. de Saint Vernant em 1843 e por G.G. Stokes em 1945. Suas derivações foram baseadas na hipótese de que as tensões normais e cisalhantes são funções lineares da taxa de deformação, em conformidade com a mais antiga lei da viscosidade de Newton.

Considerando que a hipótese da linearidade éevidentemente completamente arbitrária (chute mesmo), não é “a priori” certo que as equações de N-S oferecem uma descrição verdadeira do movimento de um fluido. Énecessário, conseqüentemente, verificá-las experimentalmente. As enormes dificuldades matemáticas encontradas quando resolvendo as eqs. de N-S tem até o presente nos impedido de obter uma solução analítica única na qual os termos convectivos interagem genericamente com os termos viscosos (The Millennium Problems, prêmio: 1 milhão de dólares, Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts). Entretanto, soluções conhecidas, tais como escoamento laminar através de duto circular, bem como escoamentos de camada limite, concordam tão bem com os experimentos que a validade geral das equações de N-S mal pode ser posta em dúvida

Álgumas palavras sobre as Equações de Navier-Stokes

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Equação Diferencial da Conservação da Quantidade de Movimento

Aplica-se a 2a lei de Newton a uma partícula de fluido infinitesimal de massa dm.

Recapitulando: a 2a lei de Newton para um sistema finito é dada por:

sistemadtPdF�

�

=

onde a q.d.m. do sistema é dada por:

∫=

)( sistemamassa

sistema dmVP��

Então, para um sistema de massa infinitesimal, dm, a 2a lei de Newton pode ser escrita:

sistemadtVddmFd�

�

=

Utilizando a derivada substancial, podemos escrever a 2a lei de Newton em um campo de velocidades da seguinte forma:

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂==

tV

zVw

yVv

xVudm

DtVDdmFd

��

�

(1)

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Forças atuando em uma partícula fluida

Tipos de forças:

• forcas de campo, FB

•forças de superfície, Fs:

•Forças normais, σ

•Forças Tangenciais, τ

Vamos considerar a componente x da força atuando num elemento diferencial de massa, dm, e volume, dxdydz. As tensões no centro do elemento diferencial são tomadas

como σσσσxx , ττττyx , ττττzx. As tensões agindo na dir. x em cada face do elemento são mostradas na Fig.

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Tensões na direção x atuando em uma partícula de fluido

(quadro negro)

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Equação diferencial da quantidade de movimento para qualquer fluido que satisfaça

a hipótese do contínuo

(2)

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Equação da Quantidade de Movimento para Fluidos Newtonianos:

Para fluido Newtoniano, a tensão viscosa é proporcional à taxa de deformação angular; para coordenadas retangulares, as equações constitutivas são dadas por:

Obs.: para placas planas, paralelas, infinitas, a superior movendo-se com velocidade constante:

dydu

yx µτ =

Obs.: Num sistema hidrostático, ou seja, o fluido estando em descanso:

pzzyyxx −=== σσσsendo p a pressão termodinâmica

As equações acima constituem uma afirmação geral da Lei de Newton da Viscosidade, aplicadas para situações de escoamento complexas com o fluido escoando em todas as direções

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Substituindo as expressões para as tensões na equação diferencial da quantidade de movimento (Eq. 2) , temos:

Estas são as equações gerais diferenciais da quantidade de movimento para fluido Newtoniano ou equações de Navier-Stokes para fluido com densidade e viscosidade variáveis.

Estas equações, juntamente com a equação da continuidade, a equação de estado, a equação da energia e conhecendo-se a lei empírica da viscosidade e as condições de contorno e condições iniciais, determinam completamente a pressão, densidade, temperatura, viscosidade e componentes da velocidade em um escoamento de um fluido (7 eqs. para 7 incógnitas: u, v, w, p, ρ, T, µ).

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As equações de Navier-Stokes podem ser simplificadas quando ρρρρ = cte. ( ) e µµµµ = cte. (variação da viscosidade desprezível). Nestas condições as equações ficam sendo:

Escoamento incompressível e viscosidade dinâmica constante

Em notação vetorial, as equações de Navier-Stokesassumem a seguinte forma:

� � ��

��

��

�

q.d.m.) de difusão de (termo

volumede unidade

por viscosaforça

2

)superfície de (forçavolume

de unidadepor pressão de força

campo) de (forçavolume

de unidadepor nalgravitacio força

q.d.m.) de e transportdeou sconvectivo (termos

aceleração vezes volumede

unidadepor massa

VpgDtVD ∇+∇−= µρρ

Para escoamentos invíscidos (µ = 0), chega-se à famosa equação de Euler, derivada em 1755:

pgDtVD ∇−= �

�

ρρ

0====⋅⋅⋅⋅∇∇∇∇ V�

(Obs.: juntamente com a continuidade são 4 eqs. para 4 incógnitas: u, v, w e p):

E da equação de Euler, chega-se à eq. de Bernoulli.

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Exemplo 1

Simplifique a equação de Navier-Stokes para a componente x para um escoamento permanente em um canal horizontal e retangular, supondo todas as linhas de corrente paralelas às paredes. considere a direção x como a direção do escoamento (Fig.)

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