UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

Título do Projeto:

CÁLCULO DO CAMPO TURBULENTO MÉDIO EM

ESCOAMENTO BIFÁSICO ESTRATIFICADO EM

CANAIS

Autor:

RAFAEL REGO LIMA

Orientador:

DANIEL RODRÍGUEZ ÁLVAREZ

Data: 12 de Julho de 2018

RAFAEL REGO LIMA

CÁLCULO DO CAMPO TURBULENTO MÉDIO EM

ESCOAMENTO BIFÁSICO ESTRATIFICADO EM CANAIS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado

ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade

Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção

do grau de Engenheiro Mecânico.

Orientador:

Prof. Daniel Rodríguez Álvarez

Niterói

2018

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO

Título do Trabalho:

CÁLCULO DO CAMPO TURBULENTO EM UM ESCOAMENTO

BIFÁSICO ESTRATIFICADO EM CANAIS

Parecer do Professor Orientador da Disciplina:

- Grau Final recebido pelos Relatórios de Acompanhamento:

- Grau atribuído ao grupo nos Seminários de Progresso:

Parecer do Professor Orientador: (Comentar a relevância, contribuição e abrangência do trabalho. Se a participação dos alunos no grupo não

se processou de forma homogênea, durante o desenvolvimento do trabalho, compete ao Prof. Orientador

diferenciar o grau de cada aluno, de forma a refletir a sua atuação no desenvolvimento do projeto.)

Nome e assinatura do Prof. Orientador:

Prof.: Orientador Orientador: Assinatura:

Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho:

Projeto Aprovado sem restrições

Projeto Aprovado com restrições

Prazo concedido para cumprimento das exigências: / /

Discriminação das exigências e/ou observações adicionais:

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO

(continuação)

Título do Trabalho:

CÁLCULO DO CAMPO TURBULENTO EM UM ESCOAMENTO

BIFÁSICO ESTRATIFICADO EM CANAIS

Aluno: Rafael Rego Lima Grau : 8,5 (oito e meio)

Composição da Banca Examinadora :

Prof.: Daniel Rodríguez Álvarez, Ph.D. Assinatura :

Prof.: Fabio Toshio Kanizawa, Ph.D. Assinatura :

Prof.: Leandro Alcoforado Sphaier, PhD. Assinatura :

Data de Defesa do Trabalho : 12/07/2018

Departamento de Engenharia Mecânica, / /

NOMENCLATURA

Símbolos Alfabéticos

Fr: número de Froude

𝐺∗: Vazão volumétrica.

𝑔∗: Aceleração da gravidade

𝐿∗: Altura do canal plano

��: Vazão mássica.

�� : Vetor unitário normal à superfície

𝑃∗:Pressão

Re: número de Reynolds

t: tempo

𝑡 : Vetor unitário paralelo à superfície

u,v,w: componentes da velocidade em x,y and z

𝑉∗ : vetor velocidade

x,y,z: coordenadas Cartesianas

X:Parâmetro de Lockhart e Martinelli

Símbolos Gregos

α: Constante

∆: Número de onda

𝛿: Escala de comprimento.

η: Razão entre viscosidade

ν∗: Viscosidade cinemática

ρ∗: Massa específica

𝜎∗: Tensão superficial

𝜏∗: Tensão cisalhante

𝛷: Parâmetro Lockhart e Martinelli

ꭓ: Razão entre massas específicas.

Subscritos

i interface ou indicação de números para os vetores, 1,2 e 3.

TP: Two Phase.

𝑔 : Fase gasosa

l: Fase líquida

𝑢𝑚𝑎𝑥: Correspondente à velocidade máxima.

𝑚𝑎𝑥: Máximo

c : Característico.

𝑟𝑒𝑓: Referente.

T: Turbulenta.

w: Parede.

Sobrescritos

*: Variáveis dimensionais

′: Flutuação turbulenta.

+: Referente às variáveis em relação à parede.

T: Transposto.

: Médio no tempo

Lista de Siglas

RANS: Reynolds Average Navier-Stokes

LES: Large Eddy Simulation

DNS: Direct Numerical Simulation

SGS: Subgrid Scales.

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, Elizabeth e Adonias.

AGRADECIMENTOS

Agradecimento especial aos meus pais, Elizabeth e Adonias, pelo apoio em todos os

momentos. Com eles, tive a oportunidade de me dedicar exclusivamente aos estudos.

Não posso deixar de agradecer aos meus irmãos, Fernanda e Eduardo, que são pessoas

muito especiais na minha vida.

Ao meu padrasto Oswaldo, pois desde o final da minha infância participa na minha vida

com conselhos e ensinamentos. Isso o tornou um grande amigo.

Ao meu professor orientador Daniel Rodríguez Álvarez pela competência na

orientação, atenção, paciência e compreensão na transmissão de seu conhecimento. Além de

tudo isso, por ter me dado a oportunidade de ter feito o estágio na universidade, podendo me

dedicar integralmente a este trabalho.

A todos os meus amigos do curso, em especial a Caique Moreno Campos e Mateus

Schuabb, pessoas de quem tenho grande amizade desde os primeiros meses deste curso.

A todos os professores da Engenharia Mecânica pelos ensinamentos, em especial à

professora Stella Maris Pires Domingues.

RESUMO

Escoamentos bifásicos e multifásicos em tubulações e dutos são presentes na indústria,

como por exemplo na de extração de petróleo e gás. A demanda por maior conhecimento físico

deste tipo de escoamento e de métodos preditivos de suas propriedades características é sempre

crescente na comunidade científica e na indústria, devido ao alto potencial de impacto

econômico resultante de melhoras no processo de transporte. O principal objetivo deste trabalho

é desenvolver e implementar um método para a determinação do escoamento médio neste tipo

de configuração. Neste trabalho, é feito o cálculo do campo turbulento médio para um canal

plano, com escoamento de gás e líquido. O modelo para análise turbulenta utilizado está

baseado na abordagem RANS, Reynolds Average Navier-Stokes, junto com um método de tiro.

Os resultados foram validados através de comparações com a literatura para escoamentos ar

com mercúrio e água com ar. As variáveis analisadas foram o perfil de velocidade, tensão

cisalhante, tensão induzida pela interface, a viscosidade turbulenta.

Palavras-Chave: Escoamento turbulento; Escoamento bifásico, estratificado; RANS.

ABSTRACT

Two-phase and multi-phase flows are very important in the industry, the most common is

the oil and gas industry. The demand for a deeper knowledge of this type of flow and predictive

methods is always increasing, both in the industry and scientific community, an account of the

high economic impact of improvements in the transport process. The main objective of this work

is the development and implementation of a method for determination of the mean flow of this

type of configuration. On this work, the calculation is made for the mean flow in a gas-liquid

channel flow configuration. The turbulence model for the mean flow is RANS approach. The

results were validated by comparisons with the literature for air-mercury and air-water flows.

The variables analyzed were velocity profiles, shear stress, the interfacial wave-induced

stresses, eddy viscosity.

Key-Words: Turbulent flow; biphasic, stratified flow; RANS.

LISTA DE FIGURAS

1.1: Escoamento bifásico, estratificado ondulado. Fonte: Marins e Frez (2015) .....................16

1.2: Esquema da extração de petróleo offshore. Fonte: Konrad (2012)............................................17

2.1: Gráfico do parâmetro X vs 1-α de Lockhart-Martinelli. Fonte: Akai et al. (1980)...........20

2.2: Gráfico do parâmetro X vs 𝜱𝑳 de Lockhart-Martinelli. Fonte: Akai et al. (1980)............21

2.3: Decomposição de Reynolds. Fonte: Laffourgue (2007)...................................................22

2.4: Espectro de energia turbulenta com os modelos para suas respectivas escalas. Fonte: Grete

(2018)......................................................................................................................................23

2.5: Distribuição das regiões de camadas limite turbulenta Fonte: Clement (2015), adaptado..30

2.6: Perfil de velocidade em variáveis de parede, 𝑢+ e 𝑦+. Fonte: Maltese (2017),

adaptado....................................................................................................................................31

3.1: Sistema de coordenadas.....................................................................................................35

3.2:Divisões das regiões no escoamento turbulento bifásico estratificado. Fonte: AKAI et al.

(1980)........................................................................................................................................38

3.3: Discretização de ambas as fases com 𝑁𝑦 − 1 pontos. .......................................................46

4.1: Perfis de velocidade para diferentes valores de h e dP/dx...................................................54

4.2: Perfil de velocidade médio para mercúrio e ar. Para h = 0,35 na esquerda e h = 0,55 na

direita........................................................................................................................................56

4.3: Tensão induzida pela onda de interface para mercúrio com ar, h= 0,35 e h = 0,55.............57

4.4: Tensão cisalhante para mercúrio com ar para h= 0,35 e 0,55............................................57

4.5: Gráfico da viscosidade turbulenta, h= 0,35 e 0,55..............................................................58

4.6: Perfil de velocidade em variáveis de parede, para Re = 6333............................................58

4.7: Perfil de velocidade em variáveis de parede, para Re =633300.........................................59

4.8: Perfil de velocidade médio para água e ar. Para h = 0,35 na esquerda e h = 0,55 na

direita........................................................................................................................................60

4.9: Tensão induzida pela onda de interface para água com ar, h= 0,35 e 0,55........................61

4.10: Tensão cisalhante para água com ar para h= 0,35 e 0,55..................................................61

4.11: Gráfico da viscosidade turbulenta para o caso água com ar, h = 0,35 e h = 0.55............62

4.12: Gráfico de curvas de nível para a vazão das fases, caso água com ar.............................62

4.13: Gráfico de curvas de nível para a vazão das fases, caso mercúrio com ar.......................63

4.14: Gráfico dos parâmetros de Lockhart-Martinelli (1949) para mercúrio com ar e água com

ar................................................................................................................................................67

4.15: Gráfico do parâmetro X vs 1-α de Lockhart-Martinelli. Fonte: Akai et al. (1980)..........68

4.16: Gráfico do parâmetro X vs 𝜱𝑳 de Lockhart-Martinelli. Fonte: Akai et al. (1980)..........69

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Valores de contorno para o caso laminar....................................................................48

Tabela 2: Dados de cada região. Caso turbulento.....................................................................50

Tabela 3: Valores de contorno para o caso turbulento..............................................................51

Tabela 4: Valores correspondentes à solução analítica do escoamento bifásico laminar.........53

Tabela 5: Valores correspondentes à solução numérica do caso laminar.................................53

Tabela 6: Legendas da plotagem do caso laminar para as curvas da figura 3..........................55

Tabela 7: Propriedades do mercúrio e do ar.............................................................................55

Tabela 8: Valores Ny pontos para validar a convergência. Caso mercúrio e ar, h = 0.55........55

Tabela 9: Regiões de camada limite turbulenta........................................................................59

Tabela 10: Propriedades do ar e da água...................................................................................60

Tabela 11: Vazões para a fase gasosa, ar, no caso bifásico ar com mercúrio...........................64

Tabela 12:Vazões para a fase líquida, mercúrio, no caso bifásico ar com mercúrio................65

Tabela 13: Vazões para a fase gasosa, ar, para ar com mercúrio. Isolada no canal..................65

Tabela 14: Vazões para apenas a fase líquida, mercúrio, para ar com água. Isolado no canal.65

Tabela 15: Vazões da fase líquida, água, no caso ar com água, para dP/d𝐿𝑇𝑃 = 0.5372.........66

Tabela 16: Vazões da fase gasosa, ar, no caso ar com água, para dP/d𝐿𝑇𝑃 = 0.5372..............66

Tabela 17: Vazões para a fase líquida, água, isolada no canal.................................................66

Tabela 18: Propriedades do ar, mercúrio e da água..................................................................67

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.................................................................................................................................16

1.1 CONFIGURAÇÕES DE ESCOAMENTO MULTIFÁSICOS.....................................16

1.2 APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS...................................................................................16

1.3 APLICAÇÕES HISTÓRICAS.........................................................................................18

1.4 OBJETIVO........................................................................................................................18

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...........................................................................................19

2.1 CORRELAÇÃO LOCKHART-MARTINELLI.....................................................................19

2.2 TURBULÊNCIA ..............................................................................................................21

2.2.1 Turbulência de parede.................................................................................................26

2.2.1.1 Regiões da camada limite interna e a lei de parede.....................................................27

2.2.1.1.1 Sub camada Viscosa.............................................................................................28

2.2.1.1.2 Sub camada Logarítmica.......................................................................................29

2.2.1.1.3 Sub camada de amortecimento..............................................................................30

2.2.2 Região da camada limite externa................................................................................30

2.3 ESCOAMENTO BIFÁSICO ESTRATIFICADO TURBULENTO..................................31

3 METODOLOGIA...............................................................................................................32

3.1 EQUAÇÕES DE GOVERNO DO PROBLEMA BIFÁSICO.....................................32

3.2 PROBLEMA DE POISEUILLE BIFÁSICO ESTRATIFICADO.....................................35

3.2.1 Condições de contorno..............................................................................................35

3.2.2 Condições de interface...............................................................................................35

3.3 EQUAÇÕES DE RANS PARA O CANAL PLANO.....................................................36

3.4 TURBULÊNCIA INDUZIDA PELA RUGOSIDADE DE INTERFACE.....................39

3.5 ADIMENSIONALIZAÇÃO DE PARÂMETROS..........................................................40

3.5.1 Números adimensionais ............................................................................................42

3.6 SOLUÇÃO ANALÍTICA ADIMENSIONAL PARA O CASO LAMINAR....................42

3.6.1 Cálculo das vazões mássicas para cada fase...........................................................43

3.7 EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS PARA O CASO TURBULENTO................................44

3.8 SOLUÇÃO NUMÉRICA.................................................................................................46

3.8.1 Método de Euler explícito para o caso laminar......................................................47

3.8.2 Solução numérica para o caso turbulento...............................................................49

3.8.2.1 Método de Euler explícito para a integração numérica..........................................49

3.8.2.2 Método da secante com o método de tiro.............................................................51

4 RESULTADOS E COMPARAÇÕES...............................................................................52

4.1 MODELO ANALÍTICO PARA O CASO COM ÁGUA E AR........................................52

4.2 RESULTADOS PARA O CASO TURBULENTO.........................................................55

4.2.1 Resultados para o caso bifásico mercúrio com ar...............................................55

4.2.2 Resultados da velocidade próxima à parede............................................................58

4.2.3 Resultados para o caso bifásico água com ar......................................................60

4.2.4 Curvas de nível das vazões para os casos mercúrio com ar e água com ar.............62

4.2.5 Parâmetros de Lockhart-Martinelli dos casos mercúrio com ar e água com ar....63

5 CONCLUSÕES E PESPECTIVAS FUTURAS................................................................70

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................71

16

1 INTRODUÇÃO

O escoamento do tipo bifásico e estratificado é composto por duas fases de fluidos

imiscíveis e uma interface deformável. Esta interface é de espessura nula. O que caracteriza o

escoamento estratificado é quando uma das fases, com menor densidade, está sobreposta sobre

a outra, mais densa. Como isto ocorre devido à gravidade, esta configuração de escoamentos

tende a ocorrer em tubulações horizontais ou com ângulos de inclinação moderados. Este tipo

de escoamento é bastante comum nas indústrias de extração de óleo e gás, petroquímica e

nuclear, onde duas ou mais fases escoam juntamente através de dutos ou tubulações.

Figura 1.1: Escoamento bifásico, estratificado ondulado. Fonte: Marins e Frez

(2015).

1.1 CONFIGURAÇÕES DE ESCOAMENTO MULTIFÁSICOS

Os escoamentos multifásicos têm diferentes configurações. O regime estratificado,

quando uma fase está acima da outra e a interface é razoavelmente lisa, é o tipo estudado neste

trabalho. Além da classificação estratificada já apresentada, algumas outras são: pistonado ou

de golfadas, anular e escoamentos em que uma fase fica dispersa na outra. No entanto, estes

tipos não serão estudados no presente trabalho, pois o foco é apenas o bifásico estratificado.

1.2 APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS

Na atualidade, os escoamentos internos multifásicos estão vastamente presentes em

diversas indústrias. A indústria petrolífera tem grande demanda pela compreensão física deste

tipo de escoamentos. Devido à grande representatividade econômica da indústria de petróleo e

gás, por ser, mundialmente, cada vez mais competitiva e em busca de fontes de energia mais

eficientes, o avanço nesta área de engenharia se torna importante na qualidade da produção de

seus produtos derivados.

Fase gasosa Fase líquida

17

O petróleo simplificadamente é uma matéria prima composta por diversos

hidrocarbonetos. A extração é feita através de plataformas offshore em alto mar, ou também a

extração em terra, onshore. O petróleo está inicialmente na crosta terrestre a pressões bastante

altas. Em alto mar, o petróleo bruto é bombeado desde grandes profundidades até as

plataformas, em muitos casos através de tubulações flexíveis. Neste percurso, a diferença das

pressões na tubulação e da crosta são enormes, portanto os hidrocarbonetos que estavam

dissolvidos na temperatura e pressão original do reservatório tenderão a mudar de fase. Isto

significa que este processo deve ser entendido com um escoamento no mínimo bifásico. Além

deste processo natural de formação de escoamento bifásico, há técnicas de injeção de gases ou

água no reservatório. Isto faz com que o petróleo a ser extraído tenha uma viscosidade menor e

fique mais leve para facilitar o transporte na parte final da tubulação, conhecida como riser,

orientada verticalmente.

Apesar de haver o trecho vertical, riser, no percurso do leito marinho à superfície, este

trecho é muito pequeno em relação ao percurso total. A maior parte da tubulação é praticamente

horizontal ou com pequenas inclinações, por ser muito longa. Isto, portanto, favorece os

regimes estratificados ondulado e liso. O fluido multifásico pode ser separado na própria

plataforma, como navios FPSO (Floating, production, Storage and Offloading), mas de forma

geral é transferido em pipelines horizontais para uma estação em terra para fazer a separação

das fases.

Figura 1.2: Esquema da extração de petróleo offshore. Fonte: Konrad (2012).

18

1.3 APLICAÇÕES HISTÓRICAS

O escoamento interno em dutos e em canais planos não tiveram o início de suas

aplacações recentemente. Um exemplo clássico do escoamento interno na antiguidade era o uso

de Aquedutos para transporte de água por escoamentos internos em canais planos. O fluxo se

dava devido à gravidade, sendo necessária um desnível para tal objetivo. Há mais de 2000 anos,

os romanos usavam este tipo de construção para abastecimento de água na cidade. É importante

mencionar que por mais que o objetivo dos aquedutos fosse transportar apenas água,

provavelmente não havia escoamentos apenas monofásicos. É mais provável que fossem ar e

água.

1.4 OBJETIVO

O objetivo deste trabalho é desenvolver uma ferramenta para calcular o escoamento

bifásico estratificado e turbulento em canais, em condições completamente desenvolvidas. A

ferramenta é validada através de comparações com a literatura, em particular pela correlação

de Lockhart-Martinelli (1949). A turbulência é definida como a desordem do escoamento,

ocorre simultaneamente em grandes escalas e pequenas escalas. Para o estudo desta, há

diferentes modelos e considerações a serem feitas. Para o presente trabalho, será utilizado o

modelo de RANS para o escoamento médio

19

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O trabalho é iniciado com o escoamento laminar de Poiseuille bifásico e estratificado.

Esta etapa é importante para entender como analisar os escoamentos bifásicos e estratificados,

pois é este tipo de escoamento é laminar, sendo assim a solução de seus parâmetros é feita uma

análise simplificada em relação a um turbulento.

Para o escoamento laminar a solução é analiticamente conhecida, o que não acontece no

caso turbulento. Apesar de no caso turbulento haver mais variáveis desconhecidas, para um

escoamento bifásico estratificado as condições de contorno e de interface, que posteriormente

serão definidas, são as mesmas que para o caso laminar. Isto significa que a metodologia da

solução para o caso laminar é uma ótima forma para a compreensão do procedimento de solução

do caso turbulento.

O referencial teórico de estudo para este trabalho foram alguns artigos que tratavam

diretamente do tema estudado. O presente trabalho adota a abordagem de Akai et al. (1980)

como base teórica para o desenvolvimento. Lockhart-Martinelli (1949) também foi importante

para a abordagem da correlação entre as fases. Pope (2000) teve significativa importância para

enriquecer o conhecimento sobre turbulência, especificamente sobre o modelo de RANS

(Reynolds Average Navier-Stokes) e a turbulência de parede.

2.1 CORRELAÇÃO LOCKHART-MARTINELLI

Segundo Lockhart-Martinelli (1949), os escoamentos bifásicos estratificados têm

parâmetros importantes para quantificar a proporção do canal que é ocupada pela fase mais

densa. São eles: 𝑋, 𝛷𝐿 𝑒 𝛷𝐺, sendo relacionados com a proporção ocupada pela fase gasosa, α.

No caso deste trabalho, onde o escoamento é composto por uma fase de líquido e outra por gás,

o parâmetro medirá a proporção de líquido no canal. A seguir, é apresentada a equação para o

parâmetro X. Por convenção neste trabalho, as variáveis dimensionais são apresentadas com o

asterisco.

𝑋2 =

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝐿

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝐺

(1.1)

onde:

20

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝐿= Gradiente de pressão dimensional da fase líquida, para a situação monofásica,

[MPa/m].

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝐺

= Gradiente de pressão dimensional da fase gasosa, para a situação monofásica,

[MPa/m].

Este parâmetro é proporcional à razão do gradiente de pressão da fase mais densa pelo

gradiente de pressão da fase menos densa, para uma situação aonde cada fase escoasse

individualmente no canal com uma mesma vazão volumétrica determinada. É importante

ressaltar que estes gradientes de pressão individuais não são conhecidos. Para determiná-los, é

preciso uma associação com as vazões proporcionadas por cada fase para o caso bifásico. Ou

seja, vazão de uma fase na situação bifásica deve ser a mesma na situação monofásica. Desta

forma, pode-se determinar os gradientes de pressão correspondentes, caso cada fase escoasse

individualmente na tubulação.

Lockhart-Martinelli (1949) estabeleceram ainda outros parâmetros, 𝛷𝐿 e 𝛷𝐺 . Estes dois

parâmetros são as razões entre os gradientes de pressão para o caso bifásico e o gradiente de

pressão para a situação monofásica, para a fase líquida e gasosa respectivamente. O gradiente

de pressão para o caso bifásico é o mesmo para ambas as fases. É muito importante ficar claro

que as vazões que proporcionam os gradientes de pressão para as fases líquida e gasosa, no caso

monofásico, devem ser equivalentes às vazões de suas respectivas fases no caso bifásico.

Portanto, as vazões de uma fase no caso monofásico e bifásico são iguais.

O objetivo do parâmetro de Lockhart-Martinelli (1949) é condensar todos os resultados

experimentais de diferentes vazões de cada fase, substâncias líquidas e gases, em curvas 1 – α

vs X e X vs 𝛷𝐿. O parâmetro ReL, nas legendas a seguir, é o número de Reynolds para a fase

líquida.

Figura 2.1: Parâmetro X vs 𝟏 − 𝜶 para o caso ar com mercúrio, ∆𝐑𝐞𝐋= 5660, ▲ 𝐑𝐞𝐋 = 8040, ●

𝐑𝐞𝐋 = 4000, ○ 𝐑𝐞𝐋= 2490. Fonte: Akai et al. (1980).

21

𝛷𝐿2 =

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝑇𝑃

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝐿

(1.2)

𝛷𝐺2 =

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝑇𝑃

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝐺

(1.3)

onde:

𝑑𝑃∗

𝑑𝐿∗𝑇𝑃

: Gradiente de pressão para o caso bifásico, [MPa/m].

2.2 TURBULÊNCIA

Para o caso do problema turbulento é necessário introduzir o conceito de flutuações da

velocidade e da pressão. Esse conceito é entendido com a chamada decomposição de Reynolds

para ambas. A velocidade e a pressão instantâneas do escoamento, que são medidas em relação

ao tempo e ao espaço, são decompostas em uma componente média em relação ao tempo e

outra de flutuações acima desta. Nas equações a seguir os termos de pressão e velocidade, que

são funções apenas do tempo, são as chamadas flutuações e estão indicados com aspas simples

como sobrescrito.

𝑢∗𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑈∗

𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑢′∗𝑖(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (1.4)

Figura 2.2: Parâmetro X vs 𝜱𝑳 para o caso ar com mercúrio, ∆𝐑𝐞𝐋= 5660, ▲ 𝐑𝐞𝐋 = 8040,

● 𝐑𝐞𝐋 = 4000, ○ 𝐑𝐞𝐋= 2490. Fonte: Akai et al. (1980).

22

𝑃∗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑃∗(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑝′∗(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) (1.5)

Figura 2.3: Decomposição de Reynolds. Fonte: Laffourgue (2007).

onde:

𝑖 = 1, 2 e 3.

𝑢∗𝑖(𝑦, 𝑡): Velocidade instantânea, [m/s]

𝑈∗𝑖(𝑦): Velocidade média em relação ao tempo, [m/s]

𝑢′∗𝑖(𝑡): Flutuações de velocidade, [m/s]

A equação acima é válida para as três componentes de velocidade, isto é indicado pelo

índice i. Convencionalmente 𝑢∗1, 𝑢∗

2 e 𝑢∗3 são, respectivamente, as velocidades 𝑢∗, 𝑣∗ 𝑒 𝑤∗.

Para encontrar a equação governante do problema, o procedimento é substituir as Equações

(1.4) e (1.5) nas equações de Navier-Stokes.

O fenômeno da turbulência tem suas características particulares. É um escoamento com

alta difusividade, ocorre para números de Reynolds maiores que em casos laminares, é um

fenômeno dissipativo e ocorre em múltiplas escalas espaciais e temporais. Essas características

ocorrem em diferentes escalas de turbulência ou dos vórtices, normalmente chamados de

redemoinhos. A produção de energia turbulenta ocorre em grandes vórtices e é transportada e

posteriormente dissipada em vórtices de menores escalas até desaparecer. Essa característica,

assim como as escalas dos vórtices, é apresentada no espectro de energia turbulenta, onde é

mostrado que os modelos turbulentos são válidos para específicas escalas de comprimentos dos

vórtices. Esta escala é medida pelo número de onda, que é inversamente proporcional ao

comprimento de onda.

𝑘∗ =2𝜋

∆∗ (1.6)

23

onde:

k∗= Número de onda, [m−1].

∆∗= Comprimento de onda, [m].

Figura 2.4: Espectro de energia turbulenta com os modelos para suas respectivas escalas. Fonte:

Grete (2018).

A solução do escoamento turbulento é feita através de modelos ou por métodos de

simulação numérica, como DNS (Direct Numerical Simulation) e LES (Large Eddies

Simulation). O DNS consiste em resolver numericamente todas as escalas temporais e espaciais

de turbulência. Este método precisa de uma malha espacial e temporal bastante fina, da ordem

das menores escalas temporais e espaciais turbulentas possíveis. Por este motivo, além de ter

uma faixa de resolução muito grande, torna este método difícil de ser aplicado, devido à alta

capacidade requerida pelos computadores para a resolução. O LES é um método utilizado para

escalas de turbulência maiores, sendo assim haverá escalas pequenas o suficiente para não

serem resolvidas. Estas escalas são chamadas de SGS (Subgrid Scales). Um modelo bastante

usado é o RANS (Reynolds Average Navier-Stokes), útil apenas para a resolução do escoamento

médio, escalas médias de tempo e espaço, sem calcular as flutuações turbulentas. Apesar de

Vórtices

Solucionável

Solucionável (SGS), não solucionável

Produção

Dissipação

Número de onda

Transferência

24

analisar apenas o escoamento médio, o seu custo computacional é baixo. Os critérios para a

escolha do modelo são:

-Nível de descrição

-Confiabilidade

-Faixa de aplicação

-Custo computacional

Neste trabalho, o interesse está na determinação do escoamento médio. Portanto, o

modelo de interesse é o RANS. Este modelo consiste na média em relação ao tempo das

equações de Navier-Stokes, com a substituição da decomposição de Reynolds. As informações

sobre as velocidades e pressões de flutuação turbulenta são desconhecidas. Isto significa que

eventuais termos, aonde apareçam estas variáveis de flutuação turbulenta serão desconhecidas,

aparecendo assim o problema de fechamento. Desta forma, tem-se:

∂𝑈∗

𝑖 + 𝑢′∗𝑖

∂𝑡∗ +

𝜕(𝑈∗𝑖 + 𝑢′∗

𝑖)(𝑈∗𝑗+ 𝑢′∗

𝑗)

𝜕𝑥𝑗∗ = −

1

𝜌∗·𝜕(𝑃∗ + 𝑝′∗)

𝜕𝑥𝑖∗ + 𝜈∗

𝜕2(𝑈∗𝑖 + 𝑢′∗

𝑖)

𝜕𝑥𝑖∗𝜕𝑥𝑗

∗ (1.7)

𝜕𝑈∗

𝑖

𝜕𝑥𝑖∗ +

𝜕𝑢′∗𝑖

𝜕𝑥𝑖∗ = 0 (1.8)

Ao fazer esta substituição, haverá componentes relacionadas às flutuações de velocidade.

As equações RANS são obtidas ao considerar as propriedades média no tempo, nas equações

(1.7) e (1.8).

∂𝑈∗

𝑖 + 𝑢′∗𝑖

∂𝑡∗ +

𝜕(𝑈∗𝑖 + 𝑢′∗

𝑖)(𝑈∗𝑗+ 𝑢′∗

𝑗)

𝜕𝑥𝑗∗ = −

1

𝜌∗·𝜕(𝑃∗ + 𝑝′∗)

𝜕𝑥𝑖∗ + 𝜈∗

𝜕2(𝑈∗𝑖 + 𝑢′∗

𝑖 )

𝜕𝑥𝑖∗𝜕𝑥𝑗

∗ (1.9)

𝜕𝑈∗

𝐽 + 𝑢′∗𝐽

𝜕𝑥𝐽∗ = 0 (1.10)

Ao aplicar a média em relação ao tempo nas equações de Navier-Stokes, é importante ter

em mente as seguintes propriedades:

25

𝜕𝑈∗

𝐽 + 𝑢′∗𝐽

𝜕𝑥𝐽∗ =

𝜕𝑈∗𝐽

𝜕𝑥𝐽∗ +

𝜕𝑢′∗𝐽

𝜕𝑥𝐽∗ = 0 (1.11)

𝜕(𝑈∗

𝑖 + 𝑢′∗𝑖)(𝑈∗

𝑗 + 𝑢′∗𝑗)

𝜕𝑥𝑗∗ ≠

𝜕(𝑈∗𝑖 + 𝑢′∗

𝑖) · (𝑈∗𝑗 + 𝑢′∗

𝑗)

𝜕𝑥𝑗∗ (1.12)

∂𝑈∗

𝑖 + 𝑢′∗𝑖

∂𝑡∗ =

𝜕𝑈∗𝑖

𝜕𝑡∗ +

𝜕𝑢′∗𝑖

𝜕𝑡∗ = 0 ;

𝜕𝑈∗𝑖

𝜕𝑡∗ = 0 𝑒 𝑢′∗

𝑖 = 0 (1.13)

A velocidade média, 𝑈∗𝐽, é uma constante com relação ao tempo. Desta forma, a seguinte

propriedade pode ser escrita:

𝜕𝑈∗

𝑖 · 𝑢′∗𝑗

𝜕𝑥𝑗∗ =

𝜕𝑈∗𝑖

· 𝑢′∗𝑗

𝜕𝑥𝑗∗

= 0 (1.14)

Desta forma, a equação de momentum de Navier-Stokes, fica de uma forma generalizada

da seguinte maneira.

𝑈∗𝑗 ·

𝜕𝑈∗𝑖

𝜕𝑥𝑗∗ = −

𝜕𝑢′∗𝑖𝑢

′∗𝑗

𝜕𝑥𝑗∗ −

1

𝜌∗ ·𝜕𝑃∗

𝜕𝑥𝑖∗ + 𝜈∗ 𝜕2𝑈∗

𝑖

𝜕𝑥𝑖∗𝜕𝑥𝑗

∗ (1.15)

onde:

𝑢′∗𝑖𝑢

′∗𝑗

= Tensor das tensões de Reynolds.

𝑢′∗𝑖𝑢

′∗𝑗

= [𝑢′∗𝑢′∗ 𝑢′∗𝑣′∗ 𝑢′∗𝑤′∗

𝑣′∗𝑢′∗ 𝑣′∗𝑢′∗ 𝑣′∗𝑤′∗

𝑤′∗𝑢′∗ 𝑤′∗𝑣′∗ 𝑤′∗𝑤′∗

] (1.16)

A equação anterior é bastante similar a equação de Navier-Stokes para o caso laminar.

A diferença é que o tensor das tensões de Reynolds que não é conhecido, pois depende das

flutuações de velocidade, portanto precisa de um modelo para o seu cálculo. O modelo de

RANS tem duas abordagens gerais para o cálculo do tensor das tensões de Reynolds. São eles:

- Modelar diretamente 𝑢′∗𝑖𝑢

′∗𝑗

26

- Encontrar equações para 𝑢′∗𝑖𝑢

′∗𝑗

, a partir das equações de Navier Stokes.

Neste trabalho, apenas será trabalhada a modelagem diretamente do tensor das tensões

de Reynolds. Esta abordagem é conhecida como Modelo de Viscosidade Turbulenta. Nela, o

termo 𝑢′∗𝑖𝑢

′∗𝑗

é tratado como uma função de outras variáveis conhecidas, no caso a velocidade

média e seus gradientes, e modelada como um incremento local da viscosidade efetiva. Na

equação a seguir, é apresentada a viscosidade cinemática turbulenta. Esta variável física é uma

propriedade do escoamento, diferente da viscosidade cinemática molecular que é uma

propriedade do fluido. 𝑆𝑖𝑗 é o tensor velocidade de deformação do escoamento médio. O termo

𝛿𝑖𝑗 é o delta de Kronecker.

𝑢′∗𝑖𝑢

′∗𝑗

−1

3𝛿𝑖𝑗𝑢

′∗𝑘𝑢

′∗𝑘

= −2𝜈∗𝑇𝑆𝑖𝑗 (1.17)

onde:

𝛿𝑖𝑗 = 1 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗. Se i ≠j, 𝛿𝑖𝑗 = 0.

𝑆𝑖𝑗 = 1

2(𝜕𝑈∗

𝑖

𝜕𝑥𝑗∗ +

𝜕𝑈∗𝑗

𝜕𝑥𝑖∗ ).

𝜈∗𝑇 ∶ Viscosidade cinemática turbulenta, [𝑚2/𝑠].

2.2.1 Turbulência de parede

A maioria dos escoamentos contém ao menos uma superfície sólida como limitante. Nesta

seção, será apresentada a influência de uma parede em um escoamento turbulento. Para os casos

de escoamentos com mais de uma fase, onde há interface, os efeitos de uma superfície sólida

são semelhantes aos efeitos da interface. Portanto, nestes casos a interface é tratada como uma

parede.

De acordo com Pope (2000), perto de superfícies sólidas, os efeitos viscosos são maiores

que longe das paredes. Perto de paredes, há diferentes regiões aonde os efeitos são particulares.

Estas regiões perto da parede são as camadas limites turbulentas e podem ser definidas em dois

grupos: camada limite turbulenta interna ou camada limite turbulenta externa. Na região da

camada limite interna, o perfil de velocidade do escoamento médio é dominado pela viscosidade

molecular em contato com a parede, e gradualmente passa a ser dominada pela turbulência

27

conforme o afastamento da parede. Já na região da camada limite externa, a velocidade média

é dependente apenas dos efeitos turbulentos, podendo desprezar os efeitos da viscosidade

molecular. Dentro da camada interna, há sub-regiões que são definidas a partir da variável 𝑦+, a

distância em relação à superfície mais próxima em unidades de parede.

𝑦+ = 𝑦𝑟𝑒𝑓

∗𝑢𝜏∗

𝜈∗=

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝛿𝜈∗

(1.18)

onde:

𝜏𝑤∗ : Tensão cisalhante na superfície mais próxima, [MPa].

𝑦𝑟𝑒𝑓∗:Distância em relação à superfície mais próxima, [m].

𝑢𝜏∗ = √|

𝜏𝑤∗

𝜌∗ | ∶ Velocidade de fricção, [m/s].

𝛿𝜈∗: Escala de comprimento para camada limite interna, [m].

𝜈∗:Viscosidade cinemática molecular, [𝑚2/𝑠].

O perfil de velocidade média do escoamento para as duas regiões de camada limite,

externa e interna, depende apenas de dois parâmetros adimensionais. Da mesma maneira, o seu

gradiente vai depender desta função. O cálculo do gradiente de velocidade é importante, pois o

seu valor é requerido para o cálculo de variáveis, que serão definidas posteriormente. Sendo

assim, o gradiente pode ser calculado da seguinte forma:

𝑑𝑈∗

𝑑𝑦∗ =𝑢𝜏

∗

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ · 𝛷 (

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝛿𝜈∗ ,

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝐿∗ ) (1.19)

onde:

𝐿∗ = Metade da altura do canal, [m].

2.2.1.1 Regiões da camada da camada limite interna e a lei de parede

De acordo com Prandtl (1925), para um canal plano 𝑦𝑟𝑒𝑓∗ << 𝐿∗ , sendo 𝐿∗ metade da

altura do canal, o perfil de velocidade média é função apenas de parâmetros viscosos. Portanto,

𝛷 é função apenas de 𝑦𝑟𝑒𝑓

∗

𝛿𝜈∗ . Foi definido, anteriormente, o parâmetro chamado de velocidade

28

de fricção, para o cálculo de 𝑦+. Este parâmetro é relevante para regiões perto da parede. Para

camada interna de um canal plano, o gradiente de velocidade pode ser calculado como:

𝑑𝑢+

𝑑𝑦+=

1

𝑦+· 𝛷(𝑦+) (1.20)

𝑢+ = 𝑈∗

𝑢𝜏∗ (1.21)

onde:

𝛷: Função adimensional.

A integral da Equação (1.20) é conhecida como a lei da parede. De acordo com as

hipóteses de Prandtl (1925), seu resultado é válido para a região da camada interna, 𝑦𝑟𝑒𝑓∗ <<

𝐿∗ e 0 < 𝑦+ < 1000, sendo o resultado da integral dependente apenas de 𝑦+.

𝑢+ = ∫1

𝑦′· 𝛷(𝑦′) 𝑑𝑦′

𝑦+

0

(1.22)

De acordo com Pope (2000), para valores do número de Reynolds longe da faixa de

transição de laminar para turbulento, há numerosos resultados experimentais que validam a

Equação (1.22) não apenas para canais planos e sim para tubulações circulares e escoamentos

externos. Para as sub-regiões da camada interna, o que varia para cada uma delas é o tipo de

função 𝛷(𝑦+).

2.2.1.1.1 Sub-região Viscosa

A região de parede viscosa ocorre para 𝑦+ < 5, onde a tensão cisalhante está associada

inteiramente à viscosidade molecular.

Para determinar uma equação para a velocidade média nesta sub-região, que é a mais

próxima possível de uma parede, usa-se a Série de Taylor tendo como referência 𝑦+ = 0, a

própria parede. Neste ponto, são conhecidas as seguintes informações das propriedades de

mecânica dos fluidos:

Da condição de não deslizamento:

𝑢+(𝑦+) = 0 (1.23)

29

Como na parede há necessariamente a tensão cisalhante viscosa e que esta é definida como:

τ∗ = µ∗𝜕𝑈∗

𝜕𝑦∗ (1.24)

Então, em variáveis de parede 𝑦+, 𝑢+ e assumindo τ∗ ≈ constante, por 𝑦+ ser muito pequena:

𝑑𝑢+(0)

𝑑𝑦+= 1 (1.25)

Portanto, uma Série de Taylor para a função 𝑢+(𝑦+) pode ser escrita, tendo como ponto de

referência 𝑦+ = 0.

𝑢+(𝑦+) = 𝑦+ + 𝑂(𝑦+2) (1.26)

O que se pode concluir da equação anterior é para valores muito próximos de paredes e de

interfaces, a função 𝑢+(𝑦+) é linear. O termo do erro, 𝑂(𝑦+2) , é aproximadamente zero.

2.2.1.1.2 Sub-região logarítmica

A sub-região logarítmica começa dentro da camada limite interna, no entanto esta sub-

região também se estende para fora da camada. Nesta sub-região, a velocidade média é descrito

como uma função logarítmica de 𝑦+, além de ser a sub-região mais externa possível da camada

interna. Desta forma, para esta sub-região, 𝛷(𝑦+) é definido como independente da viscosidade

molecular, assim sendo dependente apenas das tensões de Reynolds. É assumido que estas são

proporcionais a 𝑦+, resultando em:

𝛷1(𝑦+) =

1

𝐶 , 𝑦𝑟𝑒𝑓

∗ << 𝐿∗ e 𝑦+ > 30 (1.27)

Portanto:

𝑢+ = 1

𝐶· 𝑙𝑛 𝑦+ + 𝐵 (1.28)

A constante 𝐶 é a constante von Kármán. Em geral, na literatura os valores usados para

C e B são:

𝐶 = 0,41 𝑒 𝐵 = 5,2.

30

2.2.1.1.3 Sub-região de amortecimento

Entre as sub-regiões viscosa e logarítmica, 5 < 𝑦+ < 30, ocorre a sub-região de

amortecimento. É uma sub-região de adaptação gradual entre as duas outras sub-regiões, que

são cada uma caracterizadas por efeitos dominantes viscosos e turbulentos. A figura a seguir

demonstra esquematicamente estas divisões.

Figura 2.5: Distribuição das regiões camada limite turbulenta. Fonte: Clement (2015), (adaptado).

2.2.2 Região da camada limite externa.

Segundo Pope (2000), para a camada limite exterior. a função 𝛷 (𝑦𝑟𝑒𝑓

∗

𝛿𝜈∗ ,

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝐿∗ )

apresentada na Equação (1.19) há a hipótese de que esta função seja independente da

viscosidade molecular, e inteiramente dependente da turbulência. Isto significa que para altos

valores de 𝑦𝑟𝑒𝑓

∗

𝛿𝜈∗ , 𝛷 tende assintoticamente a uma função apenas de

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝐿∗ . Ou seja:

lim𝑦𝑟𝑒𝑓

∗/ 𝐿∗ →∞ 𝛷(

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝛿𝜈∗ ,

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝐿∗ ) = 𝛷0 (𝑦𝑟𝑒𝑓

∗

𝐿∗ ) (1.29)

Para determinar a equação do perfil de velocidade para esta região é necessário

substituir o valor da função 𝛷 para esta região, Equação (1.27), na Integral (1.22) e resolver

Fora da camada limite turbulenta

Camada limite externa

Camada limite interna

Sub-região

logarítmica

Sub-regiões viscosa e de amortecimento

31

esta como os limites de integração 𝑦+ qualquer até a metade da altura do canal 𝐿∗. Nesta altura,

o valor da velocidade média é máximo, 𝑈𝑜∗.

𝑈𝑜

∗ − 𝑈∗

𝑢𝜏∗

= −∫ 1

𝑦′· 𝛷 (

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝐿∗) 𝑑𝑦′

1

𝑦/𝐿∗

(1.30)

Figura 2.6: Figura 8: Perfil e velocidade em variáveis de parede. Fonte: Maltese

(2017), (adaptado).

2.3 ESCOAMENTO BIFÁSICO ESTRATIFICADO TURBULENTO

O escoamento turbulento do tipo bifásico estratificado conta com o fenômeno de tensão

induzida pela onda de interface. Na seção anterior, foi apresentado o cálculo para a tensão

cisalhante total, considerando apenas a tensão cisalhante de Reynolds e a tensão viscosa. Para

o escoamento estratificado é necessário considerar a tensão induzida pelas ondas e rugosidades

da interface. É muito importante observar que este termo ocorre apenas quando há interface,

portanto apenas nos casos de escoamentos estratificados com mais de uma fase. Neste trabalho,

esse cálculo foi aplicado para o escoamento em canal plano, como Akai et al. (1980).

Motivado pelos desafios no desenvolvimento de escoamentos multifásicos condensados,

Biberg et al. (2007) apresentou um modelo algébrico logarítmico para bifásicos estratificados.

A característica do modelo é reproduzir os efeitos das ondas de interface e da transferência de

momentum para altos gradientes de pressão. Foram apresentadas equações para a “parede

32

média” e o atrito interfacial. Estas equações são ideais para modelos 1-D e foram obtidas por

similaridade hidráulica. Estas fórmulas tornam acessível a simulação de complexos sistemas de

tubulações com precisão e consistência, enquanto mantendo a avalição da velocidade do

modelo 1-D.

Ó Naraigh et al. (2011) estudou sobre instabilidade em escoamentos turbulentos bifásicos

ar e uma fina camada líquida. Este tema até este momento já havia sido bastante estudado, no

entanto ainda não havia um modelo que não exigisse ajustes de parâmetros e um estado base.

Portanto, Ó Naraigh et al. (2011) introduziu um modelo da velocidade turbulenta base, que

exige apenas um parâmetro, o gradiente de pressão ou a vazão. Não são necessários parâmetros

de ajuste para este caso.

O modelo investigou a distribuição das tensões turbulentas, usando o DNS. Foram

descobertos dois modos instáveis para a camada líquida, modos interfacial e interno. Os

conceitos de ondas velozes e lentas foram introduzidos, sendo constatado que a maioria das

ondas nestes escoamentos são lentas. Por fim, os parâmetros previstos de estabilidade linear são

comparados com os parâmetros experimentais críticos para a formação de onda de interface.

Estes estão de acordo com as tolerâncias para erros experimentais.

3 METODOLOGIA

3.1 EQUAÇÕES DE GOVERNO DO PROBLEMA BIFÁSICO

Conforme citado na introdução, o escoamento bifásico estratificado é definido por duas

fases imiscíveis, sobrepostas e com uma interface deformável. A análise é feita com as equações

de Navier-Stokes, da continuidade, tensor das tensões, condições de contorno e de continuidade,

para cada fase. Por convenção neste trabalho, os parâmetros e variáveis dimensionais são

descritos com um asterisco na lateral direita superior. Desta forma, os parâmetros adimensionais

são os sem asterisco. Caso haja uma exceção, isto será explicitamente escrito. Sendo assim,

tem-se as equações de momentum e da continuidade:

Continuidade:

𝜕𝜌∗

𝜕𝑡 + 𝛻 ∙ (𝜌∗𝑉∗) = 0 (3.1)

Quantidade de movimento:

33

𝜌∗ 𝐷𝑉∗

𝐷𝑡= 𝜌∗𝑔 − 𝛻𝑝∗ + 𝛻 ∙ 𝑇∗

𝑖𝑗 (3.2)

𝑇∗𝑖𝑗 = [

τ∗𝑥𝑥 τ∗

𝑥𝑦 τ∗𝑥𝑧

τ∗𝑦𝑥 τ∗

𝑦𝑦 τ∗𝑦𝑧

τ∗𝑧𝑥 τ∗

𝑧𝑦 τ∗𝑧𝑧

] (3.3)

onde:

ρ∗ = Densidade do fluido [𝐾𝑔/𝑚3 ].

V∗ = Velocidade [m/s].

p∗ = Pressão [N/𝑚2].

𝑇∗ = Tensor das tensões viscosas [N/𝑚2].

Este trabalho considera um escoamento entre placas planas paralelas. Considerando

então este caso, podemos visualizar as equações de Navier-Stokes decompostas em três

direções. Sendo assim, será necessário o uso de coordenadas cartesianas. É importante domínio

destas coordenadas.

Continuidade:

𝜕ρ∗

𝜕𝑡+

𝜕ρ∗u∗

𝜕x∗ +𝜕ρ∗v∗

𝜕y∗ + 𝜕ρ∗𝑤∗

𝜕z∗ = 0 (3.4)

As equações de Navier-Stokes para um escoamento incompressível contêm as equações

de momentum nas direções x, y e z. Estas são mostradas a seguir:

Direção x∗:

ρ∗ · ( 𝜕u∗

𝜕t∗+

𝜕u∗2

𝜕x∗ +𝜕u∗v∗

𝜕y∗ + 𝜕u∗w∗

𝜕z∗ ) = −𝜕p∗

𝜕x∗ +𝜕τ∗

𝑥𝑥

𝜕x∗ + 𝜕τ∗

𝑥𝑦

𝜕y∗ + 𝜕τ∗

𝑥𝑧

𝜕z∗ (3.5)

𝜕τ∗

𝑥𝑥

𝜕x∗ = 𝜕

𝜕x∗ (𝜇∗ (

𝜕u∗

𝜕x∗ + 𝜕u∗

𝜕x∗)) (3.6)

𝜕τ∗

𝑥𝑦

𝜕y∗ = 𝜕

𝜕y∗ (𝜇∗ (𝜕u∗

𝜕y∗ + 𝜕v∗

𝜕x∗)) = 𝜕

𝜕y∗ (𝜇∗ 𝜕u∗

𝜕y∗) = 𝜇∗ 𝑑²u∗

𝑑y∗2 (3.7)

𝜕τ∗

𝑥𝑧

𝜕z∗ =𝜕

𝜕z∗ (𝜇∗ (

𝜕u∗

𝜕z∗ + 𝜕w∗

𝜕x∗)) = 0 (3.8)

34

Direção y∗:

ρ∗ · (𝜕v∗

𝜕t∗+

𝜕v∗u∗

𝜕x∗ +𝜕v∗2

𝜕y∗ + 𝜕v∗w∗

𝜕z∗ ) = −𝜕p∗

𝜕y∗ +𝜕τ∗

𝑦𝑥

𝜕x∗ + 𝜕τ∗

𝑦𝑦

𝜕y∗ + 𝜕τ∗

𝑦𝑧

𝜕z∗ (3.9)

𝜕τ∗

𝑦𝑥

𝜕x∗ = 𝜕

𝜕x∗ (𝜇∗ ( 𝜕v∗

𝜕x∗ + 𝜕u∗

𝜕y∗)) = 0 (3.10)

𝜕τ∗

𝑦𝑦

𝜕y∗ = 𝜕

𝜕y∗ (𝜇∗ (𝜕v∗

𝜕y∗ + 𝜕v∗

𝜕y∗)) = 0 (3.11)

𝜕τ∗

𝑦𝑧

𝜕z∗ =𝜕

𝜕z∗ (𝜇∗ (𝜕v∗

𝜕z∗ + 𝜕w∗

𝜕y∗)) = 0 (3.12)

Direção z∗:

ρ∗ · ( 𝜕w∗

𝜕t∗+

𝜕w∗u∗

𝜕x∗ +𝜕w∗v∗

𝜕y∗ + 𝜕w∗2

𝜕z∗ ) = −𝜕p∗

𝜕z∗ +𝜕τ∗

𝑧𝑥

𝜕x∗ + 𝜕τ∗

𝑧𝑦

𝜕y∗ + 𝜕τ∗

𝑧𝑧

𝜕z∗ (3.13)

𝜕τ∗

𝑧𝑥

𝜕x∗ = 𝜕

𝜕x∗ (𝜇∗ (

𝜕w∗

𝜕x∗ + 𝜕u∗

𝜕z∗)) = 0 (3.14)

𝜕τ∗

𝑧𝑦

𝜕y∗ = 𝜕

𝜕y∗ (𝜇∗ (𝜕w∗

𝜕y∗ + 𝜕v∗

𝜕z∗)) = 0 (3.15)

𝜕τ∗

𝑧𝑧

𝜕z∗ =𝜕

𝜕z∗ (𝜇∗ (

𝜕w∗

𝜕z∗ + 𝜕w∗

𝜕z∗ )) = 0 (3.16)

35

3.2 PROBLEMA DE POISEUILLE BIFÁSICO ESTRATIFICADO EM UM CANAL PLANO

Figura 3.1: Sistema de coordenadas.

O escoamento de Poiseuille considera a hipótese de ser completamente desenvolvido na

direção do escoamento e em regime permanente. A geometria de análise é um canal plano com

a origem na parede inferior. Sendo assim, os termos da equação de quantidade de movimento

nas direções y∗e z∗ são nulos e há apenas uma componente da velocidade. É possível concluir

isto, ao observar as equações de momentum, que os termos viscosos são nulos nestas direções.

Portanto a equação final de quantidade de movimento para um canal plano é apenas a equação

de momentum simplificada na direção x∗ e com o gradiente de pressão constante na mesma

direção.

𝜇∗ 𝑑²𝑢∗

𝑑𝑦∗2 =𝜕𝑝∗

𝜕𝑥∗ = constante (3.17)

3.2.1 Condições de contorno

Por definição, um fluido em contato com uma parede sólida tem a mesma velocidade que

a parede no ponto de contato. Essa é a condição de não deslizamento e ambas as paredes:

𝑢∗ = 0 (3.18)

3.2.2 Condições de interface

As condições de interface são que as velocidades de ambas as fases sejam iguais, que as

cisalhantes sejam também iguais e que a diferença nas tensões normais seja balanceada pela

tensão interfacial. Os subscritos l e 𝑔 indicam as variáveis pertencentes a cada fase.

Fase gasosa

Fase líquida

36

Velocidades iguais:

𝑢∗𝑔

= 𝑢∗𝑙

(3.19)

Tensões cisalhantes iguais:

�� 𝑇· 𝑇∗

𝑔 · 𝑡 = �� 𝑇· 𝑇∗

𝑙 ·𝑡 (3.20)

Tensões normais iguais:

�� 𝑇· 𝑇∗

𝑔 · �� −�� 𝑇· 𝑇∗

𝑙 ·�� = 𝜎∗𝐾 (3.21)

onde:

�� = Versor na direção normal à interface.

�� 𝑇= Versor transposto de �� .

𝑡 = Versor na direção tangente à interface.

𝜎∗ = Coeficiente de tensão interfacial.

K = Curvatura da interface.

𝑇∗ = Tensor das tensões.

No caso de escoamento completamente desenvolvido, a curvatura é zero, desta forma

a Equação (3.21) fala que a pressão deve ser igual nas duas fases.

3.3 EQUAÇÕES DE RANS PARA O CANAL PLANO

Conforme comentado anteriormente, neste trabalho é usado o modelo de RANS para a

a modelagem dos termos turbulentos para a aplicação de estudo, geometria de um canal plano.

Sendo assim, é necessário a aplicação da equação de Navier-Stokes, já apresentada, para o caso

de escoamento entre placas, completamente desenvolvido. Desta forma, a Equação (1.9) é:

𝜌∗(𝑈∗𝜕𝑈∗

𝜕 𝑥∗+ 𝑉∗

𝜕𝑉∗

𝜕 𝑦∗) = −

𝜕𝜌∗𝑢′∗𝑣′∗

𝜕𝑦∗− 𝜌∗

𝜕𝑃∗

𝜕𝑥∗+ µ∗

𝑑²𝑈∗

𝑑𝑦∗2 (3.22)

onde:

37

𝜕𝑈∗

𝜕 𝑥∗ = 0 (Escoamento completamente desenvolvido)

𝜕𝑉∗

𝜕 𝑦∗ = 0. (Vem da equação da continuidade).

𝜕𝑈∗

𝜕 𝑡∗ = 0. (A componente média da velocidade não é função do tempo).

Esta equação fica simplificada, pois os termos do lado esquerdo são nulos. Além disto,

na equação, há uma novidade do caso turbulento. A derivada do termo −𝜌𝑢′𝑣′ , em relação à

y, é nova, pois no caso laminar ela não existe. Esse termo é chamado de tensão de Reynolds. É

importante frisar que este termo não é conhecido analiticamente, sendo então necessário um

modelo para seu cálculo. O modelo de RANS modela este termo da seguinte forma:

−𝜌∗𝑢′∗𝑣′∗ = 2𝜈∗𝑇 (

1

2 𝜕𝑈∗

𝜕 𝑦∗ +𝜕𝑉∗

𝜕 𝑥∗)

= 𝜈∗𝑇

𝜕𝑈∗

𝜕 𝑦∗ (3.23)

𝜏∗ = 𝜌∗(𝜈∗ + 𝜈∗𝑇)

𝜕𝑈∗

𝜕 𝑦∗ (3.24)

onde:

𝑢′∗𝑣′∗ : Tensão cisalhante de Reynolds.

𝜈∗𝑇: Viscosidade cinemática turbulenta.

Com esta etapa feita, é preciso outro modelo. A viscosidade cinemática turbulenta

também não é conhecida. Para o presente trabalho, foi adotado o modelo a seguir de McEligot

(1970).

𝜈∗

𝑇

𝜈∗=

𝑘

6[𝑦+ − 𝑦𝐿

+𝑡𝑎𝑛ℎ𝑦+

𝑦𝐿+] (2 −

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝐻∗) [1 + 2(1 −

𝑦𝑟𝑒𝑓∗

𝐻∗)

2

] (3.25)

𝑦+ = 𝑦𝑟𝑒𝑓

∗

𝜈∗ √

𝜏𝑟𝑒𝑓∗

𝜌∗ (3.26)

onde:

38

𝜏𝑟𝑒𝑓∗ : Tensão cisalhante na parede ou na interface. O valor atribuído à tensão 𝜏𝑟𝑒𝑓

∗ pode ser a

tensão na interface ou em uma das paredes. O que vai depender é qual das três é a mais próxima

para a região, como será discutido em seguida.

𝑦𝑟𝑒𝑓∗: Distância 𝑒m relação à superfície mais próxima. No caso de escoamentos estratificados,

a interface é interpretada também como uma superfície.

k= 0,4225.

𝑦𝐿+ = 11

O escoamento bifásico estratificado turbulento é convencionalmente divido em quatro

regiões. Nessas quatro regiões alguns parâmetros são diferentes, isto faz com que gráficos de

algumas variáveis turbulentas tendam a ter descontinuidades nos pontos em que ocorram

mudanças de regiões. As quatro regiões são definidas da seguinte forma:

Região I: 0 < 𝑦∗ < h∗

2

Região II: h∗

2 < 𝑦∗ < h∗

Região III: h∗ < y∗ < 𝑦𝑃∗

Região IV: 𝑦𝑃∗ < y∗ < 𝐿∗

Figura 3.2: Divisões das regiões no escoamento turbulento bifásico estratificado. Fonte:

Akai et al. (1980).

Gás

Líquido Região I

Região II

Região III

Região IV

39

O parâmetro 𝐻∗, que consta no modelo de McEligot (1970) para a viscosidade cinemática

turbulenta varia conforme a região do canal. O seu valor para cada região é descrito a seguir:

𝐻∗ = h∗

2 , para as regiões I e II.

𝐻∗ = h∗ − 𝑦𝑃∗ , para a região III.

𝐻∗ = 𝐿∗ − 𝑦𝑃∗ , para a região IV.

Conforme já mencionado, a tensão 𝜏𝑟𝑒𝑓∗ varia conforme a região. Além dela, o valor de

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ também varia com a região. Os seus valores são:

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ = 𝑦∗, para as regiões I.

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ = ℎ∗ − 𝑦∗, para a região II.

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ = 𝑦∗ − ℎ∗, para a região III.

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ = 𝐿∗ − 𝑦∗, para a região IV.

onde:

h∗= Altura da interface.

𝑦𝑃∗ = Altura onde a tensão cisalhante é nula.

3.4 TURBULÊNCIA INDUZIDA PELA RUGOSIDADE DE INTERFACE

Os escoamentos estratificados contam com a parcela de tensão chamada tensão induzida

pela onda de interface. Este termo de tensão ocorre apenas em escoamentos com interface,

portanto estratificados. Esta parcela de acordo com Akai et al. (1980) é calculada de acordo

com a Equação (3.27). Para este cálculo há a particularidade de usar 𝑦𝑤𝑖𝑠+ e não 𝑦+.

−𝜌∗𝑢∗𝑣 ∗ = 𝜏𝑖∗𝐴𝑒𝑥𝑝(−𝐶𝑦𝑤𝑖𝑠

+ ) (3.27)

onde:

𝜏𝑖∗: Tensão na interface.

𝐴: Constante que mede a relação entre a tensão induzida pela onda com a tensão total na

interface.

𝐶: Fator de amortecimento.

40

𝑦𝑤𝑖𝑠+ : Semelhante ao 𝑦+, mas em relação à interface. Usado apenas no cálculo da tensão

induzida pela onda de interface.

𝑦𝑤𝑖𝑠+ =

(ℎ∗ − 𝑦∗)

𝜈∗ √

𝜏𝑟𝑒𝑓∗

𝜌∗ , regiões I e II (3.28)

𝑦𝑤𝑖𝑠+ =

(𝑦∗ − ℎ∗)

ν∗ √

τref∗

ρ∗ , regiões III e IV (3.29)

3.5 ADIMENSIONALIZAÇÃO DE PARÂMETROS

A resolução deste problema se torna mais simples e aplicável a casos gerais, quando feita

a adimensionalização das variáveis a de todas a equações governantes do problema.

O fluido de referência para adimensionalização será o fluido gasoso, na parte superior da

interface. As suas propriedades serão os valores característicos. Conforme citado anteriormente,

as propriedades adimensionais são indicadas sem o asterisco.

ℎ = ℎ∗

𝐿∗ (3.30)

𝜌𝑔 = 𝜌𝑔

∗

𝜌𝑔∗ = 1 (3.31)

𝜌𝑙 = 𝜌𝑙

∗

𝜌𝑔∗ = χ (3.32)

𝜇𝑔 = 𝜇𝑔

∗

𝜇𝑔∗ = 1 (3.33)

𝜇𝑙 = 𝜇𝑙

∗

𝜇𝑔∗ = η (3.34)

𝑢 = 𝑢∗

𝑈∗𝑐 (3.35)

𝑦 =𝑦∗

𝐿∗ (3.36)

onde:

χ = Razão das densidades

𝜇 = Viscosidade dinâmica, [adimensional].

ρ = Densidade, [adimensional].

41

u = Velocidade na direção x, [adimensional].

𝑢∗ = Velocidade na direção x, [m].

𝑈∗𝑐 = 1 𝑚/𝑠, Velocidade característica.

ℎ∗ = Altura da interface, [m].

h = Altura adimensional da interface, [adimensional].

𝐿∗ =Altura do canal, [m].

Como as variáveis de tensões e pressões têm as mesmas dimensões, pode-se fazer a

adimensionalização da mesma maneira. Para isso é feita uma associação com a pressão

dinâmica em um escoamento da fase gasosa, apenas para saber a melhor forma de adimensionar

com os dados conhecidos.

𝑃𝑑∗ = 𝜌𝑔

∗𝑈𝑐∗2 (3.37)

Então:

𝑃 = 𝑃∗

𝜌𝑔∗𝑈𝑐

∗2 (3.38)

𝜏 = 𝜏∗

𝜌𝑔∗𝑈𝑐

∗2 (3.39)

Adimensionalização do Parâmetro 𝐻∗:

𝐻 =𝐻∗

𝐿∗ = ℎ∗

2𝐿∗ = ℎ

2, para as regiões I e II.

𝐻 =𝐻∗

𝐿∗ = ℎ∗

𝐿∗ − 𝑦𝑃

∗

𝐿∗ = ℎ − 𝑦𝑝 , para a região III.

𝐻 =𝐻∗

𝐿∗ = 𝐿∗

𝐿∗ − 𝑦𝑃

∗

𝐿∗ = 1 − 𝑦𝑝 , para a região IV.

Adimensionalização de 𝑦𝑟𝑒𝑓∗:

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ = 𝑦∗, para as regiões I.

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ = ℎ∗ − 𝑦∗, para a região II.

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ = 𝑦∗ − ℎ∗, para a região III.

𝑦𝑟𝑒𝑓∗ = 𝐿∗ − 𝑦∗, para a região IV.

3.5.1 Números adimensionais

42

Para a compreensão do trabalho, é importante definir os números adimensionais de

Reynolds e Froude, Re e Fr respectivamente.

O número de Reynolds mede a razão entre as forças de inércia e forças viscosas do

escoamento. Para a sua definição são necessários parâmetros característicos, como um

comprimento, velocidade, massa específica e viscosidade molecular. A massa específica e a

viscosidade molecular são propriedades do fluido. O comprimento característico é a espessura

da fase de interesse para calcular o número adimensional. A velocidade característica é 1 m/s

para ambas as fases. 𝑅𝑒 sem subscrito é para a fase gasosa. O Reynolds é definido da seguinte

forma:

𝑅𝑒 =𝜌𝑔

∗ 𝑈𝑐∗(𝐿∗−ℎ∗)

µ𝑔∗ (3.40)

O número de Froude é definido pela razão entre as forças de inércia e forças de

gravidade, do escoamento.

𝐹𝑟 =𝑈𝑐

∗

√𝑔∗𝐿∗ (3.41)

onde:

𝜌1∗ = Densidade do fluido da fase gasosa, [kg/𝑚3].

𝜇∗ = Viscosidade dinâmica, [kg/ms].

𝑔∗ = Aceleração da gravidade, [m/𝑠2].

3.6 SOLUÇÃO ANALÍTICA ADIMENSIONAL PARA O CASO LAMINAR

O resultado da simplificação da equação de momentum para cada fase, resulta nas

equações (3.42) e (3.44). As equações do perfil de velocidade são determinadas ao se integrar

duas vezes essas equações com relação a y.

Para h ≤ 𝑦 ≤ 1:

𝑑²𝑢𝑔

𝑑𝑦2 =𝑑𝑝

𝑑𝑥= 𝐹𝑔 (3.42)

𝑢𝑔 = 1

2· 𝐹𝑔 · 𝑦2 + 𝐵𝑔𝑦 + 𝐶𝑔 (3.43)

Para 0 ≤ 𝑦 ≤ ℎ:

𝑑²𝑢𝑙

𝑑𝑦2 =1

𝜂

𝑑𝑝

𝑑𝑥= 𝐹𝑙 (3.44)

43

𝑢𝑙 = 1

2· 𝐹𝑙 · 𝑦2 + 𝐵𝑙𝑦 + 𝐶𝑙 (3.45)

Condições de contorno:

𝑢𝑔(𝑦 = 1) = 0 (3.46)

𝑢𝑙 (𝑦 = 0) = 0 (3.47)

Condições de interface:

𝑢𝑔(𝑦 = ℎ) = 𝑢𝑙(𝑦 = ℎ) (3.48)

𝑑𝑢𝑔

𝑑𝑦= 𝜂

𝑑𝑢𝑙

𝑑𝑦 (3.49)

A partir das condições de contorno e de interface, pode-se encontrar os valores das

constantes das equações dos perfis de velocidade. Desta forma:

𝐹𝑙 = 𝐹𝑔

𝜂 (3.50)

𝐵𝑙 =[(𝐹𝑔− 𝐹𝑙 )ℎ

2− 𝐹𝑔]

2ℎ−2𝜂ℎ+2𝜂 (3.51)

𝐶𝑔 = −𝐹𝑔

2− 𝜂𝐵𝑙 (3.52)

𝐵𝑔 = 𝜂𝐵𝑙 (3.53)

Além da adimensionalização, é importante estabelecer a origem do sistema de

coordenadas. É conveniente trabalhar inicialmente com o sistema de coordenadas cartesiano,

pois este é o mais simples. Posteriormente, caso seja necessário muda-se para outro tipo de

coordenadas. O ponto escolhido para a origem foi na base inferior do tubo.

3.6.1 Cálculo das vazões mássicas para cada fase

O cálculo das vazões mássicas deve ser feito para cada fase, nesse caso a largura do canal

sendo igual a um. Desta forma, pode-se calcular a vazão mássica total por pela soma das vazões

mássicas de cada fase.

𝑚𝑔 = ∫ 𝜌𝑔𝑢𝑔(𝑦)𝑑𝑦1

ℎ (3.54)

44

𝑚𝑙 = ∫ 𝜌𝑙𝑢𝑙(𝑦)𝑑𝑦ℎ

0 (3.55)

São respectivamente as vazões mássicas das fases gasosa e líquida. O subscrito 𝑔, indica

que tal valor é em referência ao fluido da fase gasosa, o análogo vale para o da fase líquida.

𝑚𝑙 = 𝜒 · (1

6𝜂·𝑑𝑝

𝑑𝑥· (ℎ)3 + 𝐵𝑙 ·

(ℎ)²

2) (3.56)

𝑚𝑔 = (1

6·𝑑𝑝

𝑑𝑥· [1 − ℎ]3 + 𝐵𝑔 ·

[1−ℎ]²

2+ 𝐶𝑔(1 − ℎ)) (3.57)

𝑚𝑡 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝑙 (3.58)

onde:

�� = Vazão mássica, [adimensional].

h = Altura da interface, [adimensional].

Re = Número de Reynolds para a fase gasosa,[adimensional].

3.7 EQUAÇÕES ADIMENSIONAIS PARA O CASO TURBULENTO

Com todos os parâmetros devidamente adimensionalizados, o próximo passo é

determinar as equações adimensionais para tensão cisalhante, viscosidade cinemática

turbulenta, tensão cisalhante induzida pela onda e a vazão. Apesar de 𝑦+ser adimensional, sua

forma particular em função das outras variáveis adimensionais deve ser definida. Isto é, deve-

se adimensionar estes parâmetros. Sendo assim, para a tensão cisalhante:

𝜌𝑔∗𝑈𝑐

∗2𝜏 = µ𝑔

∗ 𝑈𝑐∗

𝐿∗𝜌(𝜈 + 𝜈𝑇)

𝜕𝑈

𝜕𝑦 − 𝜌𝑔

∗𝑈𝑐∗2𝜌���� (3.59)

Esta equação pode ser simplificada como:

𝜏 = 1

𝑅𝑒(µ + µ𝑇)

𝜕𝑈

𝜕𝑦 − 𝜌���� (3.60)

Como:

𝜌∗ = 𝜌𝑔∗𝜌 ; 𝑢∗ = ��𝑈𝑐

∗ e 𝑣 ∗ = ��𝑈𝑐∗

Portanto:

45

𝜏 =µ

𝑅𝑒(1 +

µ𝑇

µ)𝜕𝑈

𝜕𝑦− 𝜌���� (3.61)

Como:

µ𝑇

µ =

𝜈𝑇

𝜈

Então:

𝜏 = µ

𝑅𝑒(1 +

𝜈𝑇

𝜈)𝜕𝑈

𝜕𝑦 − 𝜌���� (3.62)

Para 𝑦+ 𝑒 𝑦𝑤𝑖𝑠+ :

𝑦+ =𝑦∗𝑢𝜏

∗

𝜈∗ =

𝐿∗𝑈𝑐∗

𝜈𝑔∗

· 𝑦𝑟𝑒𝑓𝑢𝜏

𝜈= 𝑅𝑒

𝑦𝑟𝑒𝑓𝑢𝜏

𝜈 𝑒 𝑦𝑤𝑖𝑠

+ =𝑅𝑒(𝑦 − ℎ)𝑢𝜏

𝜈 (3.63)

Para 𝑢𝜏∗:

𝑢𝜏∗ = √

𝜏𝑤∗

𝜌∗ = √

𝜌𝑐∗𝑈𝑐

∗2𝜏𝑤

𝜌𝑔∗𝜌

= 𝑈𝑐∗√

𝜏𝑤

𝜌 = 𝑈𝑐

∗𝑢𝜏 (3.64)

Para a viscosidade cinemática turbulenta:

𝜈∗

𝑔 · 𝜈𝑇

𝜈∗𝑔 · 𝜈

=𝑘

6[𝑦+ − 𝑦𝐿

+𝑡𝑎𝑛ℎ𝑦+

𝑦𝐿+] (2 −

𝑦𝑟𝑒𝑓∗𝐿∗

𝐻𝐿∗) [1 + 2(1 −

𝑦𝑟𝑒𝑓∗𝐿∗

𝐻𝐿∗)

2

] (3.65)

Simplificadamente:

𝜈𝑇

𝜈=

𝑘

6[𝑦+ − 𝑦𝐿

+𝑡𝑎𝑛ℎ𝑦+

𝑦𝐿+] (2 −

𝑦𝑟𝑒𝑓

𝐻) [1 + 2 (1 −

𝑦𝑟𝑒𝑓

𝐻)2

] (3.66)

46

3.8 SOLUÇÃO NUMÉRICA

A integração numérica requer a discretização dos pontos do domínio, no caso o eixo

y. As discretizações de ambas as fases foram feitas com 𝑁𝑦 divisões igualmente espaçadas em

cada fase. Ambas as fases contêm 𝑁𝑦 − 1 intervalos. No entanto como as espessuras de cada

fase são diferentes, os comprimentos entre os intervalos das fases são diferentes. O software

utilizado para a solução numérica foi o MATLAB.

Figura 3.3: Discretização de ambas as fases com 𝑵𝒚 − 𝟏 pontos.

A solução por integração numérica é feita para ambas as fases. Este processo requer a

cada fase um valor de contorno da variável a ser integrada. Para a fase líquida, o valor conhecido

para 𝑢𝑙 é nulo devido à condição de não deslizamento. Então a integração numérica para esta

fase vai de y = 0 até y = h. Para a fase gasosa é no sentido oposto, pois o valor conhecido é na

parede superior. Então a integração é de y = 1 até y = h. Os intervalos para as fases líquida e

gasosa são representados por 𝛥𝑦𝑔 e 𝛥𝑦𝑙, respectivamente. O procedimento é mostrado na figura

a seguir:

𝛥𝑦𝑙 = (ℎ − 0)

(𝑁𝑦 − 1) (3.67)

𝛥𝑦𝑔 = (1 − ℎ)

(𝑁𝑦 − 1) (3.68)

Além das os valores de contorno para as velocidades, é necessário saber o valor das

derivadas de primeira ordem de ambas os perfis de velocidade. Como os perfis não são

conhecidos, as suas derivadas também não são. Desta forma, é necessário estipular valores, com

o método numérico esses serão corrigidos a cada iteração.

Fase líquida

Fase gasosa

47

𝑑𝑢𝑙

𝑑𝑦 = α, para y = 0 (3.69)

𝑑𝑢𝑔

𝑑𝑦 = β , para y = 1 (3.70)

É importante observar que os valores de alfa e beta para as derivadas não são

independentes. Estes estão diretamente relacionados entre si pela relação de interface para as

tensões viscosas.

Condições de contorno:

Em y = 0:

𝜇𝑙𝑑𝑢𝑙

𝑑𝑦= 𝜇𝑙(𝐹𝑙0 + 𝐵𝑙) = 𝜇𝑙𝐵𝑙 = 𝛼 = 𝜏𝑙 (3.71)

Em y = 1:

𝜇𝑔𝑑𝑢𝑔

𝑑𝑦= 𝜇𝑔(𝐹𝑔 · 1 + 𝐵𝑔) = 𝐹𝑔 + 𝐵𝑔 = 𝛽 = 𝜏𝑔 (3.72)

Condições de interface:

Em y = h:

𝜇𝑔𝑑𝑢𝑔

𝑑𝑦= 𝜇𝑙

𝑑𝑢𝑙

𝑑𝑦 (3.73)

𝜇𝑔(𝐹𝑔 · ℎ + 𝐵𝑔) = 𝜇𝑙(𝐹𝑙 · ℎ + 𝐵𝑙) (3.74)

𝐵𝑔 = 𝜇𝑙 𝐵𝑙 (3.75)

Portanto em y = 1:

𝜇𝑔𝑑𝑢𝑔

𝑑𝑦= 𝐹𝑔 + 𝐵𝑔 = 𝛽 = 𝐹𝑔+ α (3.76)

Portanto, há apenas um valor desconhecido, para a tensão cisalhante na parede

inferior. Deve-se estipular um valor para alfa, de modo que esse será corrigido a cada iteração,

pelo método de tiro com o método da secante.

3.8.1 Método de Euler explícito para o caso laminar

Para a integração numérica para determinação dos perfis de velocidade, o método

usado foi o de Euler explícito. As equações a seguir, são obtidas da equação simplificada de

momentum. As equações para o método de Euler explícito são baseadas nestas equações.

48

𝑑2𝑢𝑙

𝑑𝑦2 = 𝐹𝑙 𝑒 𝑑2𝑢𝑔

𝑑𝑦2 = 𝐹𝑔 (3.77)

𝑑𝑢𝑔

𝑑𝑦= 𝜏𝑔 𝑒

𝑑𝑢𝑙

𝑑𝑦= 𝜏𝑙 (3.78)

𝑑𝜏𝑙

𝑑𝑦= 𝐹 𝑒

𝑑𝜏𝑔

𝑑𝑦= 𝐹 (3.79)

As seguintes equações são a integração numérica para o método de Euler explícito. As

equações são apresentadas na correta ordem de integração no código.

𝑦𝑙(𝑖) = 𝑦𝑙(𝑖 − 1) + 𝛥𝑦𝑙 ; 𝑦𝑔(𝑖) = 𝑦𝑔(𝑖 − 1) + 𝛥𝑦𝑔 (3.80)

𝑢𝑙(𝑖) = 𝑢𝑙(𝑖 − 1) + 𝜏𝑙(𝑖 − 1) · 𝛥𝑦𝑙 ; 𝑢𝑔(𝑖) = 𝑢𝑔(𝑖 − 1) + 𝜏𝑔(𝑖 − 1) · 𝛥𝑦𝑔 (3.81)

𝜏𝑙(𝑖) = 𝜏𝑙(𝑖 − 1) + 𝐹 · 𝛥𝑦𝑙 ; 𝜏𝑔(𝑖) = 𝜏𝑔(𝑖 − 1) + 𝐹 · 𝛥𝑦𝑔 (3.82)

𝑔𝑙(𝑖) = 𝑔𝑙(𝑖 − 1) + 𝑢𝑙(𝑖 − 1) · 𝛥𝑦𝑙; 𝑔𝑔(𝑖) = 𝑔𝑔(𝑖 − 1) + 𝑢𝑔(𝑖 − 1) · 𝛥𝑦𝑔 (3.83)

Tabela 1: Valores de contorno para o caso laminar.

Em y = 0 Em y = 1

yl(1) = 0 𝑦𝑔(1) = 0

𝜏𝑙(1) = 𝛼 𝜏𝑔(1) = 𝛼+F

𝑢𝑙(1) = 0 𝑢𝑔(1) = 0

𝑔𝑙 = 0 𝑔𝑔 = 0

onde:

𝑔𝑔 𝑒 𝑔𝑙: Vazões nas fases gasosa e líquida, respectivamente.

𝑢𝑙(𝑖 = 1) 𝑒 𝑢𝑔(𝑖 = 1): Velocidades nos pontos de contorno.

𝜏𝑙(𝑖 = 1) 𝑒 𝜏𝑔(𝑖 = 1) ∶ Tensões cisalhantes nos pontos de contorno.

𝑦𝑙(𝑖 = 1) 𝑒 𝑦𝑔(𝑖 = 1): Coordenadas nos pontos de contorno

49

3.8.2 Solução numérica para o caso turbulento

O cálculo das variáveis para o caso turbulento deve ser feito de forma bastante similar

ao caso laminar, a discretização do domínio é idêntica. O que muda são novos termos em

algumas equações, no caso turbulento devem ser consideradas as parcelas das tensões de

Reynolds e das induzidas pela onda de interface.

O cálculo numérico é iniciado com apenas uma variável de entrada, a tensão cisalhante

na parede inferior. O valor de entrada para esta variável é uma estimativa, sendo assim

necessária uma correção a cada iteração. É estimada uma tolerância de comparação e o valor

de entrada é corrigido a cada iteração. O método para correção foi o da secante.

3.8.2.1 Método de Euler explícito para a integração numérica

Nesta seção, são apresentadas as equações das variáveis a serem calculadas para a

situação turbulenta. Há novas equações e novos termos a serem considerados. As equações são

apresentadas na ordem em que devem ser calculadas no código numérico.

𝜏𝑙(𝑖) = 𝜏𝑙(𝑖 − 1) + 𝐹 · 𝛥𝑦𝑙 ; 𝜏𝑔(𝑖) = 𝜏𝑔(𝑖 − 1) + 𝐹 · 𝛥𝑦𝑔 (3.84)

𝑦𝑙(𝑖) = 𝑦𝑙(𝑖 − 1) + 𝛥𝑦𝑙 ; 𝑦𝑔(𝑖) = 𝑦𝑔(𝑖 − 1) + 𝛥𝑦𝑔 (3.85)

𝑦𝑙+(𝑖) =

𝑅𝑒 · 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑓(𝑖)

𝜈𝑙 · √

𝜏𝑙𝑟𝑒𝑓

𝜌𝑙 ; 𝑦𝑔

+(𝑖) = 𝑅𝑒 · 𝑦𝑔𝑟𝑒𝑓(𝑖) · √𝜏𝑔𝑟𝑒𝑓 (3.86)

𝑦𝑤𝑖𝑠𝑔+ (𝑖) =

𝑅𝑒 · (𝑦𝑔(𝑖) − ℎ)𝑢𝜏

𝜈𝑔 ; 𝑦𝑤𝑖𝑠𝑙

+ (𝑖) =𝑅𝑒 · (ℎ − 𝑦𝑙(𝑖))𝑢𝜏

𝜈𝑙 (3.87)

𝜈𝑇𝑙(𝑖) =𝜈𝑙𝑘

6[𝑦𝑙

+(𝑖) − 𝑦𝐿+𝑡𝑎𝑛ℎ

𝑦𝑙+(𝑖)

𝑦𝐿+ ] (2 −

𝑦𝑙𝑟𝑒𝑓(𝑖)

𝐻) [1 + 2(1 −

𝑦𝑙𝑟𝑒𝑓(𝑖)

𝐻)

2

] (3.88)

𝜈𝑇𝑔(𝑖) =𝑘

6[𝑦𝑔

+(𝑖) − 𝑦𝐿+𝑡𝑎𝑛ℎ

𝑦𝑔+(𝑖)

𝑦𝐿+ ] (2 −

𝑦𝑔𝑟𝑒𝑓(𝑖)

𝐻) [1 + 2(1 −

𝑦𝑔𝑟𝑒𝑓(𝑖)

𝐻)

2

] (3.89)

50

− 𝜌𝑙𝑢��𝑣�� (𝑖) = 𝜏𝑖𝐴𝑒𝑥𝑝(−𝐶𝑙𝑦𝑙

+(𝑖)) ; − 𝑢��𝑣�� (𝑖) = 𝜏𝑖𝐴𝑒𝑥𝑝(−𝐶𝑔𝑦𝑔

+(𝑖)) (3.90)

𝑈𝑙(𝑖) = 𝑈𝑙(𝑖 − 1) + (𝜏𝑙(𝑖 − 1) + 𝜌𝑙𝑢��𝑣��

(𝑖 − 1)) · 𝛥𝑦𝑙

(µ𝑙 + µ𝑙 ·𝜈𝑇𝑙(𝑖 − 1)

𝜈𝑙)

(3.91)

𝑈𝑔(𝑖) = 𝑈𝑔(𝑖 − 1) + (𝜏𝑔(𝑖 − 1) + 𝑢��𝑣��

(𝑖 − 1)) · 𝛥𝑦𝑔

(1 + 𝜈𝑇𝑔(𝑖 − 1)) (3.92)

De acordo com Akai et al. (1980), as constantes 𝐶𝑙 e 𝐶𝑔 são definidas a seguir. No

entanto esses valores podem variar, pois esses valores foram os ideais para o experimento feito

no artigo.

𝐶𝑙 = 84.8 · (1 −𝜏𝑖

𝜏𝑙(𝑦𝑙 = 0))17,8

(3.93)

𝐶𝑔 = 4.8 · 10−5 · (1 −𝜏𝑔(𝑦𝑔 = 1)

𝜏𝑖)

13,7

(3.94)

Os valores de 𝑦𝑔𝑟𝑒𝑓, 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑓, 𝜏𝑙𝑟𝑒𝑓, 𝜏𝑔𝑟𝑒𝑓 e H variam conforme as regiões I, II, III e IV definidas

anteriormente. Os valores destas variáveis e parâmetros são apresentados a seguir para cada uma

das quatro regiões. Como os valores de 𝑦𝑔𝑟𝑒𝑓 e 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑓 variam para cada região, então os de 𝑦𝑙+ e 𝑦𝑔

+

também são diferentes para cada região.

Tabela 2: Dados de cada região. Caso turbulento.

Região I Região II Região III Região IV

𝐻 =ℎ

2 𝐻 =

ℎ

2

𝐻 = 𝑦𝑃 − ℎ 𝐻 = 1 − 𝑦𝑃

𝑦𝑙𝑟𝑒𝑓 = 𝑦𝑙 𝑦𝑙𝑟𝑒𝑓 = ℎ − 𝑦𝑙 𝑦𝑔𝑟𝑒𝑓 = 𝑦𝑃 − ℎ 𝑦𝑔𝑟𝑒𝑓 = 1 − 𝑦𝑃

𝜏𝑙𝑟𝑒𝑓 = 𝛼 𝜏𝑙𝑟𝑒𝑓 = 𝜏𝑖 𝜏𝑔𝑟𝑒𝑓 = 𝜏𝑖 𝜏𝑔𝑟𝑒𝑓 = 𝛼 + 𝐹

Alguns valores de contorno das variáveis calculadas numericamente para o caso turbulento

são idênticos aos do caso laminar. Todos os valores de contorno para o cálculo numérico do

caso turbulento são:

51

Tabela 3: Valores de contorno para o caso turbulento.

Em y = 0 Em y = 1

𝑦𝑙(𝑖 = 1) = 0 𝑦𝑔(𝑖 = 1) = 0

𝜏𝑙(𝑖 = 1) = α 𝜏𝑔(𝑖 = 1) = 𝛼+F

𝑢𝑙(𝑖 = 1) = 0 𝑢𝑔(𝑖 = 1) = 0

𝑔𝑙 = 0 𝑔𝑔 = 0

−𝜌𝑙𝑢��𝑣�� (𝑖 = 1) = 0 −𝑢��𝑣��

(𝑖 = 1) = 0

𝜈𝑇𝑙(𝑖 = 1) = 0 𝜈𝑇𝑔(𝑖 = 1) = 0

onde:

𝜌𝑙𝑢��𝑣�� (𝑖 = 1) e 𝑢��𝑣��

(𝑖 = 1): Tensões induzidas pela onda de interface nos pontos de

contorno.

𝜈𝑇𝑙(𝑖 = 1) e 𝜈𝑇𝑔(𝑖 = 1): Viscosidades turbulentas nos pontos de contorno.

3.8.2.2 Método da secante com o método de tiro

O método da secante com o método do tiro é usado com a aproximação do valor de

determinada variável, neste caso chamada de alfa.

Neste trabalho, o objetivo é calcular os valores dos perfis de velocidade para ambas as

fases, a partir dos valores estipulados da variável desconhecida alfa. Para saber se o

procedimento está coerente, deve-se estabelecer uma tolerância e um critério de parada para o

erro. Este erro é a diferença entre as velocidades de ambas as fases na interface. O critério de

parada é que o erro da variável deve ser menor que a tolerância, conforme a Desigualdade

(3.100). Caso isto ocorra, a iteração deve ser interrompida. Se o erro entre as velocidades for

maior que a tolerância, deve-se prosseguir para a próxima iteração. A cada nova iteração, o

valor dos erros cometidos em iterações anteriores é usado para estimar um valor corrigido para

α. Para isto, é usado o método da secante:

𝜏𝑙(y = 0) = α (3.95)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛+1 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛 + 𝑑𝑒

𝑑𝛼· (𝛼𝑛+1 − 𝛼𝑛) (3.96)

52

𝑑𝑒

𝑑𝛼=

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛−1

𝛼𝑛 − 𝛼𝑛−1 (3.97)

Deve-se considerar que o erro da iteração n+1 seja nulo. Desta forma, a seguinte

equação é obtida:

𝛼𝑛+1 − 𝛼𝑛 = − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛

𝑑𝑒

𝑑𝛼

(3.98)

𝛼𝑛+1 = 𝛼𝑛 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛 (𝛼𝑛+1 − 𝛼𝑛)

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛 − 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑛−1 (3.99)

𝑒𝑟𝑟𝑜 = 𝑢𝑔(ℎ) − 𝑢𝑙(ℎ) < 𝑡𝑜𝑙𝑒𝑟â𝑛𝑐𝑖𝑎 (3.100)

4 RESULTADOS E COMPARAÇÕES

Nesta seção será feita uma abordagem sobre os resultados, através de estudos de caso e

comparações com pesquisas anteriores. A discretização para a integração numérica dos casos

turbulentos foi feita com 𝑁𝑦 = 70 pontos e uma tolerância de 10−8 para o caso laminar, de

forma a garantir a convergência. Para o caso turbulento 𝑁𝑦 = 10000 é aproximadamente onde

ocorre a convergência. Para a solução analítica, Figura 4.1, foram usados menos pontos para

que fosse possível distinguir as curvas. A cada iteração esta diferença é avaliada e estes valores

garantem uma solução satisfatória.

4.1 MODELO ANALÍTICO PARA O CASO COM ÁGUA E AR

A seguinte análise foi feita para um escoamento bifásico, estratificado de Poiseuille com

ar e água. A partir de parâmetros dimensionais de ambos os fluidos, foram calculados os

parâmetros adimensionais. As principais medições do escoamento estão na tabela 4.

A tabela 4 foi montada com os dados de entrada, h e dP/dx, e com resultados calculados

da solução analítica. O parâmetro 𝑈𝑠𝐿∗ apresentado nas tabelas 4 e 5 é a velocidade superficial

da fase líquida. Está dimensional, mas pode ser adimensionalizado em relação à velocidade

superficial da fase gasosa, 𝑈𝑠𝑔∗ = 1 m/s.

Para plotar o gráfico, os valores das constantes devem ser conhecidos. Como as

equações estão sendo trabalhadas na forma adimensional, o que é necessário é o conhecimento

dos valores adimensionais de determinados parâmetros de ambas as fases com relação aos

53

parâmetros de referência, que neste caso são os parâmetros do fluido da fase gasosa, sendo

assim dispensável o conhecimento dos valores dimensionais.

Dados:

𝜌𝑔 = 1

𝜇𝑔 = 1

𝜌𝑙 = 𝜒 = 833

µ𝑙 = 𝜂 = 52

Re = 3109

𝐹𝑔 = 𝑑𝑃

𝑑𝑥

𝐹𝑙 = 𝐹1

η

Tabela 4: Valores correspondentes à solução analítica do escoamento bifásico laminar.

Tabela 5: Valores correspondentes à solução numérica do escoamento bifásico laminar.

𝑈𝑠𝑙∗ (m/s) 0.18 0.2 0.21 0.23 0.24

H 0.5429 0.5538 0.5589 0.5682 0.5726

-dP/dx x10² 3.526 3.757 3.870 4.092 4.202

𝑦𝑢𝑚𝑎𝑥 0.7599 0.7656 0.7683 0.7732 0.7755

𝑈𝑚𝑎𝑥 3.1317 3.1964 3.2418 3.3078 3.3273

𝐺𝑔 0.9947 0.9933 0.9971 0.9982 0.9949

𝐺𝑙 149.0716 165.4572 174.5135 191.2533 198.9908

𝑈𝑠𝑙∗ (m/s) 0.18 0.2 0.21 0.23 0.24

H 0.5429 0.5538 0.5589 0.5682 0.5726

-dP/dx x10² 3.526 3.757 3.870 4.092 4.202

𝑦𝑢𝑚𝑎𝑥 0.7600 0.7648 0.7675 0.7716 0.7739

54

onde:

𝑈𝑠𝑙∗ : Velocidade superficial da fase líquida.

𝑈𝑠𝑔∗ : Velocidade superficial da fase gasosa.

h: Altura adimensional da interface.

𝑦𝑢𝑚𝑎𝑥 : Altura adimensional correspondente à máxima velocidade.

𝑈𝑚𝑎𝑥 : Máxima velocidade adimensional.

𝐺𝑔 :Vazão mássica adimensional da fase gasosa.

𝐺𝑙 : Vazão mássica adimensional da fase líquida.

Figura 4.1: Perfis de velocidade para diferentes valores de h e dP/dx.

𝑈𝑚𝑎𝑥 3.1502 3.1967 3.2421 3.3083 3.3279

𝐺𝑔 1.0003 0.9933 0.9971 0.9982 0.9949

𝐺𝑙 149.9195 165.4572 174.5135 191.2533 198.9908

U

y

55

Tabela 6: Legenda da plotagem escoamento laminar e as legendas das curvas da figura 3.

Curva 1 Curva 2: Curva 3: Curva 4: Curva 5:

Linha cheia Ponto traço Linha tracejada Ponto Círculo

h = 0.5682 h = 0.5726 h = 0.5589 h = 0.5538 h= 0.5429

dP/dx x100= 4.092

dP/dx x100= 4.202

dP/dx x100=3.870

dP/dx x

100=3.757 dP/dx x 100=3.526

4.2 RESULTADOS PARA O CASO TURBULENTO

4.2.1 Resultados para o caso mercúrio com ar

Nesta seção são apresentados os resultados do caso bifásico turbulento com os fluidos

mercúrio e ar. Os seguintes resultados foram comparados com os de Akai et al. (1980). Para

cada variável, são apresentados dois gráficos. As variáveis analisadas são o perfil de velocidade

médio, tensão cisalhante, tensão cisalhante induzida pelas ondas de interface e viscosidade

turbulenta. Os da esquerda para a altura de interface h = 0,35 e os da direita h =0,55. Neste caso,

o mercúrio é o fluido correspondente à fase líquida e o ar à fase gasosa. As propriedades dos

fluidos necessárias são mostradas na tabela a seguir:

Tabela 7: Propriedades do mercúrio e do ar.

Ar Mercúrio

𝜌𝑎𝑟∗ = 1,2 𝑘𝑔 · 𝑚−3 𝜌𝐻𝑔

∗ = 13595 𝑘𝑔 · 𝑚−3

µ𝑎𝑟∗ = 1,78 · 10−5 𝑃𝑎 · 𝑠 µ𝐻𝑔

∗ = 1,7 · 10−2 𝑃𝑎 · 𝑠

𝜂 =µ𝐻𝑔

∗

µ𝑎𝑟∗

= 955,06 ; ꭓ =𝜌𝐻𝑔

∗

𝜌𝑎𝑟∗

= 11329,17 ; 𝑅𝑒 = 6333 ; 𝑑𝑃

𝑑𝑥 = 0,5372

Tabela 8: Valores Ny pontos para validar a convergência. Caso mercúrio e ar, h = 0.55.

𝑁𝑦 50 10000 50000

𝐺𝑙 1004.30 843.9484 843.2453

𝐺𝑔 2.7481 2.9307 2.9304

56

O que se pode concluir da tabela anterior é que o número de pontos que garanta a

convergência é um pouco superior a 10000. Observa-se que os valores das vazões de ambas as

fases para 10000 pontos são bem próximos das vazões para 50000 pontos, que constatou-se ser

um valor de pontos que garanta seguramente a convergência.

O perfil de velocidade na figura anterior retrata um comportamento bastante diferente do

caso laminar, demonstrado na Figura 4.1. A característica turbulenta é notável, pois a curva não

tem o mesmo perfil parabólico da Figura 4.1. Na fase gasosa, a menos densa, o efeito da

turbulência é maior. A curva fica mais achatada, apenas na regiões próximas às paredes

interface há uma rápida queda do valor da velocidade. Pode-se notar, portanto, os efeitos da

turbulência de parede. A fase líquida tem sua velocidade muito inferior à fase gasosa.

0 2 4 6 8 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

𝑈

0 5 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

𝑈

Figura 4.2: Perfil de velocidade médio. Para h = 0,55 na esquerda e h = 0,35 na

direita.

y y

57

−𝜌���� − 𝜌����

Figura 4.3: Tensão induzida pela onda de interface, para h= 0,35 e 0,55.

A tensão induzida pela onda de interface em cada fase está diretamente ligada à

densidade do respectivo fluido. Este é o motivo pela tamanha diferença entre os valores desta

tensão entre as fases gasosa e líquida. Na fase gasosa, o efeito da tensão induzida pela onda e

rugosidade da interface é desprezível, pois o mercúrio tem uma densidade mais de 11000 vezes

superior à do ar.

𝜏 𝜏

Figura 4.4: Tensão cisalhante para h= 0,35 e 0,55

A velocidade máxima ocorre no ponto y, onde a tensão cisalhante é nula. Este ponto y é

à metade da altura da fase gasosa.

-0.2 0 0.2 0.4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y y

y y

0 0.05 0.1 0.1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

58

𝜈𝑇 𝜈𝑇

Figura 4.5: Gráfico da viscosidade turbulenta, h= 0,35 e 0,55.

Conforme o modelo de viscosidade turbulenta, perto das paredes e da interface a

viscosidade turbulenta tem o valor nulo e cresce conforme à função de parede incluída na

expressão (3.25). As descontinuidades são esperadas, conforme a Figura 3.1. Elas ocorrem

devido às quatro regiões da seção transversal, pois para cada região os valores das tensões e da

distância em relação à parede muda.

4.2.2 Resultados da velocidade próxima à parede

0 20 40 60 80 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y y

𝑢+

10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 0

10

20

30

40

50

Mercúrio Ar Água Ar

Figura 4.6: Perfis de velocidade em variáveis de parede, 𝒖+e 𝒚+. Re = 6333.

59

Figura 4.7: Perfis de velocidade em variáveis de parede, 𝒖+e 𝒚+. Re = 633300.

Com estes gráficos é possível identificar as regiões de camada limite turbulenta. Os

valores limites para os casos mercúrio com ar e água com ar são praticamente idênticos. Para

diferenciar, há plotagem simultânea nos dois casos.

Tabela 9: Regiões de camada limite turbulenta.

Subcamadas Viscosa Amortecimento Logarítmica Camada Externa

Mercúrio (Hg

− ar)

0 < 𝑦+ < 5 5 < 𝑦+ < 30 13 < 𝑦+ < 80 𝑦+ > 80

Ar (Hg/ar) 0 < 𝑦+ < 5 5 < 𝑦+ < 30 13 < 𝑦+ < 900 𝑦+ > 900

Água (H2O/ar) 0 < 𝑦+ < 5 5 < 𝑦+ < 30 13 < 𝑦+ < 150 𝑦+ > 150

Ar (H2O/ar) 0 < 𝑦+ < 5 5 < 𝑦+ < 30 13 < 𝑦+ < 900 𝑦+ > 900

10 1

10 2

10 3

10 4

10 5

0

10

20

30

40

50

60

70 Água Ar Mercúrio Ar

𝑢+

𝑦+

60

4.2.3 Resultados para o caso turbulento ar com água

As variáveis a serem determinadas para o caso do escoamento com ar e água são as

mesmas do anterior, mercúrio e ar. A determinação do número de pontos de discretização de

forma que garanta a convergência é a mesma para o caso mercúrio e ar. É esperado que as

curvas tenham formatos semelhantes, mas os valores das variáveis serão bastante diferentes. As

propriedades dos fluidos são:

Tabela 10: Propriedades da água e do ar.

Ar Água

𝜌𝑎𝑟∗ = 1,2 𝑘𝑔 · 𝑚−3 𝜌𝐻2𝑂

∗ = 1000 𝑘𝑔 · 𝑚−3

µ𝑎𝑟∗ = 1,78 · 10−5 𝑃𝑎 · 𝑠 µ𝐻2𝑂

∗ = 9,2 · 10−4 𝑃𝑎 · 𝑠

𝜂 =µ𝐻𝑔

∗

µ𝑎𝑟∗

= 52 ; ꭓ =𝜌𝐻𝑔

∗

𝜌𝑎𝑟∗

= 833 𝑒 𝑅𝑒 = 6333 ; 𝑑𝑃

𝑑𝑥 = 0,5372

𝑈 𝑈

Figura 4.8: Perfis de velocidade para a combinação ar e água. À esquerda

corresponde ao perfil para h = 0,35. À direita para h= 0,55.

0 5 10 15 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y y

61

É notável que a influência da turbulência na fase gasosa, ar, para a combinação ar e água

é superior à da mesma fase para a combinação ar e mercúrio. Isto é observado pelo formato do

perfil de velocidade na fase gasosa. Nesta combinação, o perfil desta fase é mais achatado, e

queda da velocidade ao se aproximar das paredes e da interface é mais abrupta. Isto representa

uma menor influência da viscosidade molecular e camadas limites turbulentas de menores.

−𝜌���� − 𝜌����

Figura 4.9: Tensão induzida pela onda de interface, caso ar e água. À esquerda h =0,35

e à direita h =0,55.

𝜏 𝜏

Figura 4.10: Tensão cisalhante, caso ar e água. À esquerda h =0,35 e à direita h =0,55.

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.05 0.1 0.15 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.02 0.04 0.06 0.0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y y

y y

62

𝜈𝑇 𝜈𝑇

Figura 4.11: Viscosidade cinemática turbulenta, ar e água. À esquerda h =0,35 e à direita

h =0,55.

A diferença dos valores da viscosidade turbulenta é notável para a combinação ar e água

em relação à ar e mercúrio. Para a água, os valores da viscosidade turbulenta são cerca de cinco

vezes maior que a viscosidade do mercúrio, nas mesmas condições. Certamente, isto se deve

ao fato do mercúrio ter uma viscosidade molecular e a densidade maior que a da água.

É notável também o aumento da viscosidade turbulenta, para a fase líquida, quando a altura

desta fase é aumentada. Isto reforça a influência que a parede tem de neutralizar a turbulência,

e que quanto mais longe dela, maior a turbulência será.

4.2.4 Curvas de nível das vazões para os casos bifásicos ar com água e ar com mercúrio

ℎ ℎ

0 50 100 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8

dP

/dx

y y

Figura 4.12: Curvas de nível para as vazões para o caso ar com água. À esquerda é

para a fase gasosa, ar, e à direita para a fase líquida, água.

63

ℎ ℎ

Figura 4.13: Curvas de nível para as vazões para o caso ar com mercúrio. À esquerda

é para a fase gasosa, ar, e à direita para a fase líquida, mercúrio.

Estas curvas de nível para as vazões têm comportamentos bastante similares, quase

indistinguíveis, caso olhe apenas o formato. Nas duas combinações, a vazão de ar obteve

valores bastante parecidos. As curvas para as fases líquidas, apesar dos formatos quase

idênticos, têm valores bem distintos. Para um mesmo gradiente de pressão e altura, a vazão da

do mercúrio é cerca de quatro vezes menor, o que é coerente por ser uma substância bem mais

densa e viscosa que a água.

4.2.5 Comparação dos resultados dos parâmetros de Lockhart-Martinelli dos casos ar

com água e ar com mercúrio

Para a comparação dos resultados das variáveis X e 𝛷𝐿, tanto para os casos mercúrio

com ar e ar com água, o procedimento foi elaborar tabelas para diferentes gradientes de pressão

com as suas correspondentes vazões considerando cada fluido escoando individualmente no

canal. Isto é feito para determinar os gradientes de pressão das fases individuais no canal,

dP/dLG e dP/dLL, que geram as mesmas vazões que na situação bifásica. Apenas o gradiente de

pressão, dP/d𝐿𝑇𝑃, no caso bifásico é conhecido. Por exemplo, no caso bifásico a uma certa altura

de interface a fase líquida gera uma certa vazão. O gradiente de pressão, dP/dLL, é aquele que

proporciona esta mesma vazão quando apenas a fase líquida escoa no canal. Isto foi feito, para

as fases gasosa e líquida, para todas as alturas registradas nas tabelas dos casos bifásicos.

dP

/dx

64

Foram duas tabelas para o caso bifásico, considerando o conhecido gradiente de

pressão. As alturas da interface foram variadas de 0.1 até 0.9, foi contabilizado os valores das

vazões de cada fase. Para as tabelas monofásicas, variou-se o valor do gradiente de pressão

adimensional, como valor inicial de 1x10−3 até 7. Nem sempre, os valores das vazões foram

iguais, sendo necessário fazer interpolações. As tabelas a seguir contém os valores das vazões.

Por convenção 𝐺𝑙 é a vazão da fase líquida e 𝐺𝑔 a da fase gasosa. Um exemplo de interpolação

é feita a seguir:

𝑑𝑃𝑑𝐿𝐺

− 0.01

0.02 − 0.02 =

1.3548 − 0.9802

1.4845 − 0.9802 , →

𝑑𝑃

𝑑𝐿𝐺= 0.0174

𝑑𝑃𝑑𝐿𝐿

− 3

4 − 3 =

0.9085 − 0.8635

0.9928 − 0.8635 , →

𝑑𝑃

𝑑𝐿𝐿= 3.3480

Assim, determina-se os parâmetros X e 𝛷𝐿.

X = √

𝑑𝑃𝑑𝐿𝐿

𝑑𝑃𝑑𝐿𝐺

𝛷𝐿 = √

𝑑𝑃𝑑𝐿𝑇𝑃

𝑑𝑃𝑑𝐿𝐿

Tabela 11: Vazões da fase gasosa, ar, no caso bifásico ar com mercúrio para dP/d𝑳𝑻𝑷 =

0.5372.

H 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.8 0.9

𝐺𝑔 9.3879 7.7346 6.9480 6.1927 4.7785 3.5053 2.397 1.46 1.062 0.7136 0.1911

65

Tabela 12: Vazões da fase líquida, mercúrio, no caso bifásico ar com mercúrio para dP/d𝑳𝑻𝑷 = 0.5372.

H 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.8 0.9

𝐺𝑙 0.0116 0.0302 0.0394 0.0483 0.0601 0.066 0.0834 0.1031 0.1139 0.13 0.156

Tabela 13: Vazões para apenas a fase gasosa, ar, no canal.

dP/dx 𝐺𝑔 dP/dx 𝐺𝑔 dP/dx 𝐺𝑔 dP/dx 𝐺𝑔

1x10^-3 0.2678 1x10^-2 1.1294 1x10^-1 4.2656 1 15.4445

2x10^-3 0.4214 2x10^-2 1.6965 2x10^-1 6.3028 2 22.6389

3x10^-3 0.5441 3x10^-2 2.1456 3x10^-1 7.9091 3 28.2881

4x10^-3 0.6501 4x10^-2 2.5316 4x10^-1 9.2864 4 33.1179

5x10^-3 0.7451 5x10^-2 2.8766 5x10^-1 10.5149 5 37.4154

6x10^-3 0.8321 6x10^-2 3.1919 6x10^-1 11.6363 6 41.3302

7x10^-3 0.9130 7x10^-2 3.4846 7x10^-1 12.6757 7 44.9519

Tabela 14: Vazões para apenas a fase líquida, mercúrio, no canal

dP/dx 𝐺𝑙 dP/dx 𝐺𝑙 dP/dx 𝐺𝑙 dP/dx 𝐺𝑙

1x10^-3 .0005474 1x10^-2 0.0047 1x10^-1 0.0265 1 0.1106

2x10^-3 0.0011 2x10^-2 0.0083 2x10^-1 0.0415 2 0.1659

3x10^-3 0.0016 3x10^-2 0.0114 3x10^-1 0.0534 3 0.2098

4x10^-3 0.0021 4x10^-2 0.0141 4x10^-1 0.0638 4 0.2474

5x10^-3 0.0026 5x10^-2 0.0165 5x10^-1 0.0731 5 0.2811

6x10^-3 0.0030 6x10^-2 0.0187 6x10^-1 0.0815 6 0.3119

7x10^-3 0.0035 7x10^-2 0.0208 7x10^-1 0.0894 7 0.3405

66

Tabela 15: Vazões da fase líquida, no caso bifásico ar com água para dP/d𝑳𝑻𝑷= 0.5372.

h 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.8 0.9

𝐺𝑙 0.066 0.138 0.173 0.204 0.218 0.282 0.357 0.439 0.484 0.533 0.661

Tabela 16: Vazões da fase gasosa, no caso bifásico ar com água para dP/d𝑳𝑻𝑷= 0.5372.

H 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0,75 0,8 0,9

𝐺𝑔 9.7740 8.0746 7.2642 6.480 4.972 3.6585 2.5185 1.5545 1.1421 0.7802 0.2289

Tabela 17: Vazões para apenas a fase líquida, água, no canal.

dP/dx 𝐺𝑙 dP/dx 𝐺𝑙 dP/dx 𝐺𝑙 dP/dx 𝐺𝑙

1x10^-3 0.0073 1x10^-2 0.0352 1x10^-1 0.1392 1 0.5144

2x10^-3 0.0121 2x10^-2 0.0538 2x10^-1 0.2072 2 0.7574

3x10^-3 0.0161 3x10^-2 0.0687 3x10^-1 0.2610 3 0.9486

4x10^-3 0.0195 4x10^-2 0.0815 4x10^-1 0.3072 4 1.1125

5x10^-3 0.0226 5x10^-2 0.0929 5x10^-1 0.3485 5 1.2586

6x10^-3 0.0254 6x10^-2 0.1034 6x10^-1 0.3862 6 1.3918

7x10^-3 0.0281 7x10^-2 0.1132 7x10^-1 0.4212 7 1.5152

67

𝑋 𝑋

Figura 4.14: Parâmetros de Lockhart-Maritnelli (1949), para os casos de Mercúrio com

ar e água com ar. Re = 6333, para a fase gasosa.

Para as duas combinações de ar com água e ar com mercúrio, a fase gasosa possui o

mesmo número de Reynolds. No entanto, as fases líquidas de cada uma destas combinações

têm diferentes Reynolds. Considera-se para as duas fases o mesmo comprimento característico,

𝐿∗, e a mesma velocidade característica, 𝑈𝑐∗ . Neste caso é 𝑈𝑐

∗ = 1 𝑚/𝑠. Desta forma, é possível

determinar o número de Reynolds para o mercúrio e para a água.

𝑅𝑒 = 𝜌𝑎𝑟

∗ 𝑈𝑐∗𝐿∗

µ𝑎𝑟∗

= 6333

Para o mercúrio:

𝑅𝑒𝐿 = 𝜌𝐻𝑔

∗ 𝑈𝑐∗𝐿∗

µ𝐻𝑔∗

Para a água:

𝑅𝑒𝐿 = 𝜌𝐻2𝑂

∗ 𝑈𝑐∗𝐿∗

µ𝐻2𝑂∗

Tabela 18: Propriedades do ar, mercúrio e da água

Ar Água Mercúrio

𝜌𝑎𝑟∗ = 1,2 𝑘𝑔 · 𝑚−3 𝜌𝐻2𝑂

∗ = 1000 𝑘𝑔 · 𝑚−3 𝜌𝐻𝑔∗ = 13595 𝑘𝑔 · 𝑚−3

µ𝑎𝑟∗ = 1,78 · 10−5 𝑃𝑎 · 𝑠 µ𝐻2𝑂

∗ = 9,2 · 10−4 𝑃𝑎 · 𝑠 µ𝐻𝑔∗ = 1,7 · 10−2 𝑃𝑎 · 𝑠

𝛷𝐿

1−

𝛼

68

Como:

𝜌𝐻𝑔

∗

𝜌𝑎𝑟∗

= 11329,17; µ𝐻𝑔

∗

µ𝑎𝑟∗

= 955,06 ; 𝜌𝐻2𝑂

∗

𝜌𝑎𝑟∗

= 833; µ𝐻2𝑂

∗

µ𝑎𝑟∗

= 52

Então, para o mercúrio:

𝑅𝑒𝐿 = 𝜌𝐻𝑔

∗ 𝑈2∗𝐿∗

µ𝐻𝑔∗ =

11329,17 · 𝜌𝑎𝑟∗ · 0,01 · 𝑈1

∗𝐿∗

955,06 · µ𝑎𝑟∗

= 7,51 · 102

Para a água:

𝑅𝑒𝐿 = 𝜌𝐻𝑔

∗ 𝑈2∗𝐿∗

µ𝐻𝑔∗ =

833 · 𝜌𝑎𝑟∗ · 0,01 · 𝑈1

∗𝐿∗

52 · µ𝑎𝑟∗

= 10,14 · 102

Figura 4.15: Parâmetro X de Lockhart e Maritnelli (1949) para o caso ar com mercúrio, ∆

𝐑𝐞𝐋= 5660, ▲ 𝐑𝐞𝐋 = 8040, ● 𝐑𝐞𝐋 = 4000, ○ 𝐑𝐞𝐋 = 2490. Fonte: Akai (1980).

69

Figura 4.16: Parâmetro 𝜱𝑳 vs X de Lockhart-Maritnelli (1949) para o caso ar com mercúrio,

∆ 𝐑𝐞𝐋 = 5660, ▲ 𝐑𝐞𝐋 = 8040, ● 𝐑𝐞𝐋 = 4000, ○ 𝐑𝐞𝐋 = 2490. Fonte: Akai (1980).

A correlação de Lockhart-Martinelli (1949) visa juntar dados do escoamento como as

vazões, gradientes de pressão e a altura da interface em uma única curva. Teoricamente, a curva

deve ser independente dos fluidos, das densidades e de suas viscosidades, além disso o número

de Reynolds não é um fator explícito para a curva.

As curvas da Figura 4.14 mostram as curvas muito próximas para fluidos da fase líquida

de propriedade física de valores completamente diferentes, como a densidade e a viscosidade.

É possível comparar com as Figura 4.15 e 4.16 de Akai et al. (1980).

O efeito da modelagem da turbulência é influente implícita no formato das curvas. Caso

a viscosidade turbulenta não tivesse sido considerada, as curvas seriam bem diferentes.

O comportamento das curvas na Figura 4.14 é o mesmo apresentado nas Figuras 4.15 e

4.16 de Akai et al. (1980). Nelas, é possível identificar um padrão para diferentes valores do

número de Reynolds. O mesmo padrão é apresentado na Figura 4.14, pois nela os valores do

número de Reynolds para a água e para o mercúrio são diferentes.

70

5 CONCLUSÕES E PESPECTIVAS FUTURAS

Neste trabalho, o objetivo foi desenvolver uma ferramenta para o cálculo do campo

turbulento médio em canais. O tipo de escoamento estudado foi um bifásico estratificado, onde

uma fase é gasosa e a outra líquida

O modelo de turbulência usado foi o de RANS, com modelagem direta da viscosidade

turbulenta pelo modelo de McEligot (1970), onde está detalhamente explicado por Akai et al.

(1980). Inicialmente foi feita uma solução do caso bifásico estraficado do problema laminar de

Poiseuille, como forma de familiarização do tipo do problema, como as condições de interface,

que são características particulares desta configuração de escoamento.

A solução turbulenta foi feita com o método de integração numérica de Euler explícito.

Neste método é necessário um valor de contorno conhecido, que neste caso não era. Desta

forma, a opção foi estipular este valor para a tensão cisalhante da parede inferior e corrigir a

cada iteração, pelo método da secante até um valor de tolerância aceitável. A integração de

ambas as fases se inicia nas paredes e marcham no sentido à interface.

Os resultados obtidos foram o perfil de velocidade médio, tensão cisalhante, tensão

induzida pela onda de interface, viscosidade turbulenta, as vazões de cada fase para cada

gradiente de pressão e altura de interface e por fim os parâmetros de Lockhart-Martinelli. Todos

estes resultados foram obtidos para os casos ar com água e ar com mercúrio e comparados com

Akai et al. (1980).

Pode-se avaliar dos resultados que o efeito da turbulência é comparativamente menor

em fluidos de maior viscosidade e densidade, através principalmente dos gráficos dos perfis de

velocidade e da viscosidade turbulenta. É possível avaliar também os efeitos da turbulência de

parede, visto que quando se aumentou a espessura de ambas as fases, nos dois casos, a

viscosidade turbulenta aumentou, da mesma maneira que o perfil de velocidade médio passou

a ter o formato esperado de uma situação turbulenta.

Como sugestão de um trabalho futuro, fazer a solução do mesmo problema com o

modelo de RANS, mas ao invés do modelo de McEligot (1970), usar o modelo k-ϵ. Esta

metodologia é feita em Akai et al. (1981). Além desta, é válido o estudo para o caso

tridimensional, onde deve ser considerada a influência das paredes laterais.

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