equa˘c~oes de navier-stokes e turbul^encia - labma.ufrj.brrrosa/dvifiles/lnccnsetwoup.pdf ·...

Equacoes de Navier-Stokes e turbulencia

Ricardo M. S. Rosa

Instituto de Matematica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

(IM-UFRJ)

24 a 27 de fevereiro de 2003

Programa de Verao do LNCC

1

Tıtulo alternativo:

Metodos matematicos em dinamica dos fluidos

Topicos:

• Teoria estatıstica convencional de turbulencia

• Sistemas dinamicos

• Teoria matematica das equacoes de Navier-Stokes

• Formulacao matematica da teoria convencional de

turbulencia

2

1. Conceitos basicos da teoria convencional de

turbulencia

– Ordem e medias estatısticas

– Turbulencia homogenea e isotropica

– Espectro de energia

– Cascata de energia

– A teoria homogena isotropica local de Kolmogorov

– estruturas coerentes e intermitencia

– Graus de liberdade

– Lei de dissipacao de energia

– Numero de Reynolds, lei de Moore e DNS

– Cascata de enstrofia e espectro de Kraichnan em 2D

3

2. Algumas aplicacoes de sistemas dinamicos

– imprevisibilidade determinıstica

– ligacoes homoclınicas e intermitencia

– turbulencia fraca × plenamente desenvolvida

– bifurcacoes e transicao para turbulencia

– dinamica de lobulos e transporte lagrangiano

– ENS como sistema dinamico em dimensao infinita

– atratores, dimensao e graus de liberdade

– variedades inerciais/lentas e o problema da

inicializacao em previsoes

4

3. Teoria matematica das equacoes de Navier-Stokes

– O premio de US$ 1, 00 × 106 da Fundacao Clay

– Formulacao matematica das ENS segundo Leray

– Existencia global de solucao fraca

– Unicidade local de solucao forte

– Singularidades no tempo

– Dimensao de Hausdorff das singularidades temporais

– Singularidades no tempo e no espaco

– Dimensao de Hausdorff das singularidades

espaco-temporais

– Regularidade eventual e regularidade assintotica

5

4. Formulacao matematica da teoria convencional de

turbulencia

– Solucoes estatısticas e equacao de Liouville-Foias

– As equacoes de Reynolds para solucoes estatısticas

– Equacoes de fluxo de energia

– Cascata de energia

– Estimativas de quantidades fısicas

– Cascata de enstrofia em duas dimensoes

– Condicoes para turbulencia forcada

– Turbulencia homogenea em decaimento

– Leis de potencia

6

Escoamentos turbulentos: varias escalas presentes, se

movendo de maneira imprevisıvel, mas bem comportadas

em um sentido estatıstico.

7

Reynolds (1895):

Decomposicao do escoamento em

escoamento medio + flutuacoes

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−1.2

−0.8

−0.4

0

0.4

0.8

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−1.2

−0.8

−0.4

0

0.4

0.8

1.2

Escoamento medio previsıvel?

8

Tipos de media:

Media temporal: U(x) ≈1

T

∫ T

0

u(t,x) dt

Media experimental: U(x) ≈1

N

N∑

n=1

u(n)(t,x)

Hipotese ergodica:

Os valores medios independem do tipo de media

considerada

Reynolds:

Operacao formal de media, satisfazendo propriedades de

linearidade.

9

Quantidades medias - notacao

ϕ(u) ou 〈ϕ(u)〉 =1

N

N∑

n=1

ϕ(u(n))

onde u = u(t,x) e ϕ = ϕ(u).

Exemplos:

u1(t,x), 〈u1(t,x)〉,ρ0

2〈|u(t,x)|2〉

Linearidade:

∂u3

∂x2=

∂u3

∂x2, 〈

∫

Ω

u(t,y) dy〉 =

∫

Ω

〈u(t,y)〉 dy,

〈u1(x)u2(y)〉 6= 〈u1(x)〉〈u2(y)〉

10

Pausa para a notacao

• Regiao Ω ⊂ R3 ocupada pelo fluido

• Variaveis espacial x = (x1, x2, x3) ∈ Ω e temporal t ≥ 0

• Campo de velocidades u = u(t,x) = (u1, u2, u3) ∈ R3

• Pressao p = p(t,x) ∈ R e forca de volume f = (f1, f2, f3)

• Equacoes de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento

incompressıvel e homogeneo, viscosidade cinematica ν:

forma

escalar

∂ui

∂t+

3∑

j=1

uj∂ui

∂xj+

∂p

∂xi= ν∆ui + fi,

3∑

i=1

∂ui

∂xi= 0

forma

vetorial

∂u

∂t+ (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f , ∇ · u = 0

11

• Escoamento medio

U(x, t) = 〈u(t,x)〉 =1

N

N∑

n=1

u(n)(t,x)

• Energia cinetica media por unidade de massa:

e(t,x) =1

2〈|u(t,x)|2〉 =

1

N

N∑

n=1

1

2|u(n)(t,x)|2

• Razao de dissipacao viscosa de energia por unidade

de tempo e unidade de massa:

ε(t,x) = ν〈|∇ ⊗ u(t,x)|2〉 =ν

N

N∑

n=1

3∑

i,j=1

(

∂u(n)i

∂xj

)2

12

Equacao de energia

• Equacoes de Navier-Stokes:

∂u

∂t− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f , ∇ · u = 0,

• Multiplicando as ENS por u e integrando no domınio:

∫

Ω

(ENS) · u dx = 0

• Usando as condicao de incompressibilidade:

1

2

d

dt

∫

Ω

|u|2 + ν

∫

Ω

|∇ ⊗ u|2 + (termos no bordo) = 0

Fora os termos de producao de energia.

13

Equacoes de Reynolds para o escoamento medio


∂u

∂t− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = 0, ∇ · u = 0.

• Substituindo u = U + u′ e tomando a media:

∂U

∂t− ν∆U + (U · ∇)U + ∇P = −∇ · (u′ ⊗ u′), ∇ ·U = 0.

• ρ0(u′ ⊗ u′) = ρ0(u′iu

′j)

3i,j=1 = tensor de Reynolds.

14

Escoamentos turbulentos medios

Em canais:

camadas

Varias camadas com diferentes perfis de velocidade media

(simplificacao do tensor de Reynolds via simetrias, analise

dimensional, argumentos fenomenologicos, ...)

Analogamente para outras geometrias (canos, etc.)

15

Correlacoes e metodos estatısticos - Taylor (1921,35)

Correlacoes (2-pontos): 〈ui(x)uj(x + `)〉

PSfrag replacementsu(x)

u(x + `)

• u(n)(x + `) e u(n)(x) apontam frequentemente na mesma

direcao e mesmo sentido ⇒ 〈ui(x)ui(x + `)〉 > 0 e as

velocidades estao correlacionadas.

• u(n)(x + `) e u(n)(x) apontam em direcoes

arbitrariamente diferentes ⇒ 〈ui(x)ui(x + `)〉 = 0 e as

velocidades nao estao correlacionadas.

16

Turbulencia homogenea - Taylor (1935)

Em certos escoamentos, correlacoes sao homogeneas:

〈ui(x)uj(x + `)〉 = funcao apenas de `, independe de x

17

Comprimento de Taylor (1921,1935)

Correlacao lateral de segunda ordem normalizada:

g(`) =〈u1(x)u1(x + `e2)〉

〈u1(x)2〉, ` ∈ R.

• g(0) = 1

• Homogeneidade implica em g(−`) = g(`), logo

g′(0) = g′′′(0) = . . . = 0.

• g(`) = 1 −(

``T

)2

+ O

(

(

``′

T

)4)

• `T = comprimento de Taylor

•1

`2T= lim

`→0

1 − g(`)

`2=

1

2g′′(0) =

1

2

〈(

∂u1(x)∂x2

)2

〉

〈u1(x)2〉

18

Comprimento de Taylor - verificacao experimental

g(`) =〈u1(x)u1(x + è2)〉

〈u1(x)2〉= 1 −

(

`

`T

)2

+ O

(

(

`

`′T

)4)

`T = “comprimento medio dos menores turbilhoes

responsaveis pela dissipacao de energia pela viscosidade”

19

Turbulencia homogenea isotropica - Taylor (1935)

Em certos escoamentos turbulentos, em particular quando o

escoamento medio e desprezıvel, as correlacoes sao

homogeneas e isotropicas no espaco, isto e independentes

de translacoes e rotacoes do conjunto de pontos.

〈ui(x)uj(x + `)〉 =

funcao apenas do modulo ` = |`|,

independe de x e da direcao`

|`|

PSfrag replacements

u1(x− è1) u2(x)

u2(x + è2)

u1(x)

`

`

20

Consequencias da isotropia

Karman e Howarth (1937) mostraram que em escoamentos

homogeneos isotropicos, correlacoes de segunda ordem

podem ser escritas em termos de apenas uma correlacao

(

〈ui(x)uj(x + `)〉

〈u(x)2〉

)3

i,j=1

=f(`) − g(`)

`2` ⊗ ` + g(`)δi,j ,

onde

f(`) =〈u1(x)u1(x + `e1)〉

〈u(x)2〉, g(`) =

〈u1(x)u1(x + `e2)〉

〈u(x)2〉

e, da condicao de incompressibilidade,

f(`) +`

2f ′(`) = g(`).

Verificado experimentalmente por Taylor (1937).

21

Espectro de energia e correlacoes - Taylor (1938)

• Traco do tensor de correlacoes

TrR(`) = R11(`) + R22(`) + R33(`), Rij = 〈ui(x)uj(x + `)〉

• Transformada de Fourier Q(κ) de TrR(`)

TrR(`) =1

(2π)3/2

∫

R3

Q(κ)ei`·κ dκ

• Espectro de energia (segundo Batchelor (1953))

S(κ) =1

2

1

(2π)3/2

∫

|κ|=κ

Q(κ) dΣ(κ)

=⇒ e =1

2〈|u(x)|2〉 =

1

2TrR(0) =

∫ ∞

0

S(κ) dκ

22

Cascata de energia - Richardson (1922)

PSfrag replacements

injecao de energia transferencia/cascata dissipacao de energiade energia

23

Teoria de Kolmogorov

• Producao de energia nas grandes escalas ` ∼ `0

• No intervalo de equilıbrio, ` `0, o escoamento tem

um comportamento universal, independente das

caracterısticas de producao de energia e dependentes

apenas de ν e ε.

• A viscosidade se torna importante apenas a partir de

escalas muito menores, da ordem do comprimento de

Kolmogorov, `ε = (ν3/ε)1/4.

• No intervalo inercial, `0 ` `ε, a viscosidade e

desprezıvel em relacao as forcas de inercia (cineticas),

com o espectro de energia S(κ) ∼ ε2/3κ−5/3.

24

Teoria de turbulencia homogenea isotropica local -

Kolmogorov (1941)

• Correlacoes de diferencas de velocidades sao

homogeneas e isotropicas no espaco e em equilıbrio

estatıstico (homogeneas) no tempo.

• (Homogeneidade) ε = ν2 〈|∇ ⊗ u(t,x)|2〉 independe de t, x.

• 1.a hipotese de similaridade: correlacoes dependem

apenas de ε e ν (nas escalas suficientemente menores

que as de producao de energia, `0)

• 2.a hipotese de similaridade: Ha um subintervalo de

escalas no qual as correlacoes dependem apenas de ε

25

Comprimento de Kolmogorov (1941)

E o comprimento `ε para o qual os efeitos de viscosidade e

inercia sao comparaveis e significativos.

Pela transformacao `′ = `/λ, t′ = t/τ , temos

ν′ =τ

λ2ν, ε′ =

τ3

λ2ε.

Logo,

ν′ = 1 = ε′ ⇐⇒ `ε = λ =( ε

ν3

)1/4

.

26

A lei de potencia 2/3 de Kolmogorov (1941)

Pela segunda hipotese de similaridade, as correlacoes para

`ε ` `0 so dependem de ε.

S2(`) = 〈

(

(u(x + `) − u(x)) ·`

|`|

)2

〉 = g(`, ε).

Pela similaridade, S′2(`

′) = g(`′, ε′), logo

τ2

λ2S2(`) = g(

`

λ,τ3

λ2ε).

Tomando`

λ= 1,

τ3

λ2ε = 1,

=⇒ S2(`) = g(1, 1)λ2

τ2= g(1, 1)

`2

(`2/3/ε1/3)2= const. (ε`)2/3.

27

O espectro −5/3 de Kolmogorov

• S(κ) = espectro de energia ⇒ dimensao =L3

T

• ε = razao de dissipacao de energia no tempo =L2

T 3

• Hipotese de similaridade ⇒ S(κ) depende de ε e κ (no

intervalo inercial)

• Intervalo inercial: κ0 κ κε, κ0 = `−10 , κε = `−1

ε

• Analise dimensional ⇒

S(κ) = const. ε2/3κ−5/3, κ0 κ κε

28

Espectro de energia - mecanismo de Oboukhof (1941)

• Energia cinetica media para os turbilhoes de

comprimento ` = 1/κ:

eκ = S(κ)κ

• Tempo caracterıstico para esses turbilhoes:

τκ = (S(κ)κ3)1/2

• No intervalo inercial, energia cinetica e transferida para

as escalas menores, a razao temporal da ordem da

razao de dissipacao de energia:eκ

τκ∼ ε

• Logo,S(κ)κ

(S(κ)κ3)1/2∼ ε =⇒ S(κ) ∼ ε2/3κ−5/3

29

Teoria de Kolmogorov

• Producao de energia nas grandes escalas ` ∼ `0

• No intervalo de equilıbrio, ` `0, o escoamento tem

um comportamento universal, independente das

caracterısticas de producao de energia e dependentes

apenas de ν e ε.

• A viscosidade se torna importante apenas a partir de

escalas muito menores, da ordem do comprimento de

Kolmogorov, `ε = (ν3/ε)1/4.

• No intervalo inercial, `0 ` `ε, a viscosidade e

desprezıvel em relacao as forcas de inercia (cineticas),

com o espectro de energia S(κ) ∼ ε2/3κ−5/3.

30

Diagrama da teoria de Kolmogorov

Os espectros de energia e de dissipacao de energiaPSfrag replacements

κ

S(κ)κ/e νκ2S(κ)κ/ε

intervalo de equilıbrio

intervaloinercial

intervalode dissipacao

κ0

κε

31

Espectro de energia

32

Estruturas coerentes e intermitencia

• Universalidade questionada devido a variacoes

intermitentes na dissipacao de energia ε

• Estruturas coerentes: filamentos de vortices com baixa

dissipacao de energia, diametro da ordem do

comprimento de Kolmogorov e comprimento variando

entre comprimento de Taylor e escala integral.

33

34

Graus de liberdade - Landau e Lifchitz (1971)

• Teoria de Kolmogorov: escalas ` `ε sao dominadas

pela dissipacao e irrelevantes para o movimento

• Basta representarmos as escalas de ordem ate `ε

• Basta uma malha de espacamento ∼ `0/`ε

• Graus de liberdade: (`0/`ε)3

PSfrag replacements

`0

`ε

35

Numero de Reynolds

• Escala de comprimento: L

• Escala de velocidade: U

• Dimensao fısica do termo inercial: (u · ∇)u ∼U2

L

• Dimensao fısica do termo viscoso: ν∆u ∼νU

L2

• Razao entre os dois termos:

Re =inercial

viscoso=

LU

ν

• Re >> 1 ⇒ termo inercial domina

• Re << 1 ⇒ viscosidade domina

36

Lei de dissipacao de energia

• Comprimento das grandes escalas: `0

• Velocidade das grandes escalas: U0

• Energia cinetica das grandes escalas: e0 = U20 /2

• Tempo de circulacao das grandes escalas: τ0 = `0/U0

• Razao de dissipacao de energia por unidade de tempo

(escoamentos em equilıbrio estatıstico):

ε ∼e0

τ0⇒ ε ∼

U30

`0(lei de dissipacao de energia)

• Mais precisamente, lei considerada para escala integral

`′0 =1

〈u21〉

∫ ∞

0

〈u1(x)u1(x + `e1)〉 d`

e velocidade turbulenta U ′0 = 〈u1(x)2〉1/2

37

Graus de liberdade em termos do numero de Reynolds

• Numero de Reynolds das grandes escalas: Re = `0U0/ν

• Comprimento de Kolmogorov: `ε = (ν3/ε)1/4

• Lei de dissipacao de energia: ε ∼ U 30 /`0

• Logo, `0/`ε ∼ Re3/4

• Graus de liberdade:

N ∼

(

`0`ε

)3

∼ Re9/4

38

Exemplos de numeros de Reynolds de escoamentos

• Tunel de vento `0 ∼ 2m, U0 ∼ 5m/s, ν ∼ 10−5m2/s

⇒ Re ∼ 106, N ∼ 1013, `ε ∼ 0.1mm

• Escoamentos geofısicos `0 ∼ 10000km, U0 ∼ 100km/h,

⇒ Re ∼ 1012, N ∼ 1027, `ε ∼ 1cm

Obs: estimativas aproximadas, pois nao estamos

considerando a escala integral e a intensidade turbulenta.

39

Numero de Reynolds e CFD

• Para a representacao espacial apropriada do

escoamento: N ∼ Re9/4 graus de liberdade.

• Para escoamentos periodicos 3D (via fft): N ln N

operacoes de ponto flutuante (flop) por iteracao.

• Como a escala de tempo dos menores turbilhoes e

τε = (`2ε/ε)1/3 = (ν/ε)2, precisamos (usando ε ∼ U0/`0), de

τ0/τε = (`0U0/ν)1/2 = Re1/2 iteracoes para integracao em

um ciclo de circulacao das grandes escalas, logo

N11/9 lnN ∼ Re11/4 lnRe flop para cada ciclo.

• Com os supercomputadores teraflop (1012 flop/s),

podemos chegar a aproximadamente Re ∼ 104.

• Para escoamentos com simetria: Re ∼ 105, 106.

40

• Lei de Moore: performance ×1.58 por ano.

• Mudancas na arquitetura: performance ×1.82 por ano.

41

Previsao para DNS: Re= 1013 em 2100?

• Para simulacao DNS homogenea: P ∼ Re3 flop/s.

• Como a “performance” P ∼ Re4/11 se multiplica por 1.82

por ano, temos Re se multiplica por (1.82)4/11 ≈ 1.243.

2000 2010 2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 2090 2100

410

510

610

710

810

910

1010

1110

1210

1310

1410

42

Turbulencia em duas dimensoes

• Conservacao de enstrofia:1

2

∫

Ω

|ω(x)|2 dx

• Cascata de enstrofia para as escalas menores

• Cascata inversa de energia para as escalas maiores

PSfrag replacements

κ

S(κ)κ/e νκ2S(κ)κ/ε νκ4S(κ)κ/η

cascatainversade energia

producaode enstrofia

cascatade enstrofia

dissipacaode enstrofia

43

O espectro de Kraichnan (1967)

• Injecao de enstrofia nas escalas κ ∼ κf

• Razao de dissipacao de enstrofia η

• Comprimento de Kraichnan κη = (η/ν3)1/6

• Dissipacao de enstrofia nas escalas κ & κη

• Cascata de enstrofia em κf κ κη

• Espectro de Kraichnan S(κ) ∼ η2/3κ−3 em κf κ κη

• Cascata inversa de energia em κ0 κ κf

• Espectro de Kolmogorov S(κ) ∼ ε2/3κ−5/3 em

κ0 κ κf

44


Ricardo M. S. Rosa



(IM-UFRJ)



1



Topicos:





turbulencia

2

Algumas aplicacoes de sistemas dinamicos:

• imprevisibilidade determinıstica

• ligacoes homoclınicas e intermitencia

• turbulencia fraca × plenamente desenvolvida

• bifurcacoes e transicao para turbulencia

• dinamica de lobulos e transporte lagrangiano

• NSE como sistema dinamico em dimensao infinita

• atratores, dimensao e graus de liberdade

• variedades inerciais/lentas e o problema da inicializacao

em previsoes

3

Sistema de Lorenz (1963)

Sistema obtido a partir de equacoes de conveccao termica,

de um fluido aquecido por baixo, truncando bruscamente as

equacoes em apenas tres modos de Fourier (um para a

velocidade e dois para a temperatura), representando

perturbacoes das celulas de conveccao de Benard (dois

modos de Fourier)

x′ = −σx − σy

y′ = rx − y − xz

z′ = xy − bz

Parametros classicos: σ = 10, r = 28, b = 8/3

4

Atrator de Lorenz (1963)

E a serie temporal de x(t)

44.8

25.2

5.6

Z

22

−1

−24Y

−18.0 −0.5 17.1X 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

−19

−15

−11

−7

−3

1

5

9

13

17

21

5

Imprevisibilidade I

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40−19

−15

−11

−7

−3

1

5

9

13

17

21

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40−17

−13

−9

−5

−1

3

7

11

15

19

PSfrag replacements

x(0) = −3, y(0) = −6, z(0) = 12

x(0) = −3.01, y(0) = −6, z(0) = 12

6

Imprevisibilidade II

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40−19

−15

−11

−7

−3

1

5

9

13

17

21

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40−18

−14

−10

−6

−2

2

6

10

14

18

PSfrag replacements

x(0) = −3, y(0) = −6, z(0) = 12

x(0) = −3 + 10−12, y(0) = −6, z(0) = 12

7

Sistemas dinamicos

• Poincare ja havia observado, no inıcio do seculo XX, a

imprevisibilidade e a riqueza da dinamica de sistemas

determinısticos, estudando o problema da estabilidade

do sistema solar (e extrapolando para a meteorologia);

• Sistemas autonomos de duas equacoes diferenciais

ordinarias sao bem comportados;

• Sistemas autonomos de mais de duas equacoes podem

exibir comportamento caotico;

• Sistemas nao-autonomos de duas equacoes e

mapeamentos (sistemas dinamicos discretos) de uma

ou mais dimensoes tambem podem exibir

comportamento caotico.

8

Crescimento exponencial

Um dos mecanismos responsaveis pela imprevisibilidade

(quando associado a nao-linearidade, etc.)

Se x2(t) − x1(t) = eλt(x2(0) − x1(0)) e λ = 3, entao em t = 10,

erro e amplificado por e30 ≈ 1013.

PSfrag replacements

x1(0)

x2(0)

x1(t)

x2(t)

t

x

9

Quebra de ligacao homoclınica

10

Ligacoes heteroclınicas

11

Ciclos homocınicos e intermitencia

x

12

Transporte de temperatura na Corrente do Golfo

13

Transporte Lagrangiano - escoamento de Rossby

• Campo de velocidades do escoamento u(t,x)

• Transporte Lagrangiano:dx(t)

dt= u(t,x(t))

• Escoamento de Rossby:

14

Transporte Lagrangiano - perturbacao do Rossby

• Quebra da ligacoes heterocınicas

• Aproximacao de variedades invariantes

15

Metodo de Melnikov e dinamica de lobulos

16

Turbulencia fraca × plenamente desenvolvida

• Teoria estatıstica convencial trata de turbulencia

plenamente desenvolvida

• Teoria geometrica de sistemas dinamicos tem sido util

em turbulencia fraca

• Aplicacao da teoria de bifurcacoes em transicao para

turbulencia

• DNS (Simulacao numerica direta): auxılio fundamental

nos metodos de sistemas dinamicos

17

Transicao para turbulencia

18

O problema de Couette-Taylor

Couette: ωi = 0, ωe 6= 0

Mallock, Taylor: ωi 6= 0, ωe = 0

PSfrag replacements

ri

reωi

ωe

19

Couette-Taylor - bifurcacoes, ωe = 0, ωi > 0

ponto fixo

escoamento de Couette escoamento de Taylor

ponto fixo

escoamento "wavy vortex"

órbita quasi−periódica (toro T^2)

ondas moduladas

órbita quasi−periódica (toro T^n)

20

Bifurcacoes Couette-Taylor - 2 parametros Reynolds

Rei =ri(re − ri)ωi

ν, Ree =

re(re − ri)ωe

ν.

21

Bifurcacoes e transicao para turbulencia

• Bifurcacoes para outros pontos fixos, orbitas periodicas,

toros T 2, T 3, T 4, . . ., do tipo Ruelle-Takens-Sell de T 2

para um atrator estranho, etc.;

• Bifurcacoes: em um certo sentido, extensao nao-linear

do metodo de linearizacao - procuramos reduzir a

equacao para x′ = λx, com λ 6= 0, mas se λ = 0,

precisamos dos termos de ordem mais alta;

• Bifurcacoes locais e globais

22

Bifurcacoes unidimensionais - “pitchfork”

• x′ = λx − x3, λ ∈ R

• pontos fixos: x = 0 (se λ ≤ 0), x = 0,±√

λ (se λ > 0)

• λ ≤ 0 ⇒ todas solucoes x(t) →t−→∞

0

• λ > 0 ⇒ x(t) →t−→∞

±√

λ

• λ = 0 ⇒ derivada de F (x) = λx − x3 se anula em x = 0

PSfrag replacements

λ

x

x2 = λ

23

Bifurcacoes unidimensionais - sela-no e transcrıtica

• x′ = λ − x2

PSfrag replacements

λ

x

x2 = λ

• x′ = λx − x2

PSfrag replacements

λ

x

x2 = λ

λ

xx = λ

24

Bifurcacao de Hopf

• Em coordenadas cartesianas

x′ = λx − y − x3 − xy2

y′ = x + λy − x2y − y3

• Em coordenadas polares

r′ = λr − r3

θ′ = 1

PSfrag replacements x

y

λ

25

Mapas de Poincare e bifurcacoes dinamicas

Bifurcacoes a partir de orbitas periodicas, homoclınicas,

etc., podem ser estudadas construindo-se mapeamentos

dentro do espaco de fase de sistemas contınuos

26

Duplicacao de perıodo

Atraves de bifurcacao tipo “flip” (“multiplicacao por −1”)

no mapeamento de Poincare

27

Bifurcacao de Hopf de orbita periodica para toro

Atraves de bifurcacao de Hopf no mapa de Poincare

28

Reducao de dimensao

• Variedade central

• Em x′ = F (x), multiplicidade algebrica n do autovalor

zero de DF (x) ⇒ reducao para sistema de dimensao n

• Reducao de Liapunov-Schmidt para x′ = F (x, λ)

• Formas normais, teoria de singularidades, etc.

29

Equacao funcional para ENS


∂u

∂t− ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f , ∇ · u = 0.

• Tomando divergente da ENS obtemos equacao para

pressao (assumindo ∇ · f = 0), como funcao de u

−∆p = ∂xiuj∂xj

ui (condicoes de Neumann no bordo)

• No espaco das funcoes de divergente nulo, equacao

apenas para o campo de velocidades u:

du

dt= F(u), F(u) = f − νAu − B(u,u)

30

ENS como sistema dinamico de dimensao infinita

• ENS funcional em espacos de divergente nulo

du

dt= F(u), F(u) = f − νAu − B(u,u)

• Existencia e unicidade de solucao global (ENS 2D):

∀u0, ∃u(t), ∀t ≥ 0, u(0) = u0

• Sistema dinamico: S(t)u0 = u(t), t ≥ 0PSfrag replacements

u0 S(t)u0 = u(t)

• Varios conceitos se aplicam em 3D, apesar de faltar

existencia/unicidade global (no tempo)

31

Atrator globalPSfrag replacements

A

orbita

Exemplo 1

• Conjunto compacto A

• Invariante: S(t)A = A, ∀t ∈ R

• Atrai todas as orbitas, uniformemente para condicoes

iniciais limitadasPSfrag replacements

A

orbita

Exemplo 1A

orbita

Exemplo 2

32

Existencia de atrator global

• Existencia de um conjunto absorvente limitado B

u(n)0 n limitado ⇒ ∃T, S(t)u0 ∈ B, ∀t ≥ T

• Compacidade assintotica para conjuntos limitados de

condicoes iniciais

∃ subsequencia convergente S(tnj)u

(nj)0 , ∀tn → ∞

• A = ω(B) =

v = limt→∞ S(tnj)u

(nj)0 , u0(nj) ⊂ B

PSfrag replacements

Bu

(1)0u

(2)0

u(3)0

u(4)0

ω(u(3)0 )

33

Dimensao do atrator global

• Sendo compacto, A pode ser aproximado por

subespacos afins de dimensao finita

• Na maioria dos casos, A tem dimensao fractal finita

• Nesses casos, A pode ser imerso em variedades

euclidianas de dimensao finita

• Possibilidade de se obter sistemas finitos de EDOs com

o mesmo comportamento assintotico

diminuição de volumes para dimensão fractal finita

34

Dimensao do atrator das ENS

• dimfA . graus de liberdade Landau-Lifchitz

• ENS 2D periodico: dimfA .

(

`0`η

)2 (

1 + ln

(

`0`η

))1/3

• ENS 2D com aderencia na fronteira: dimfA .

(

`0`ε′

)2

• ENS 3D, para conjuntos invariantes regulares V:

dimfA .

(

`0`ε

)3

• onde η e ε′ similares a

ε = ν lim supT→∞

supu0∈V

1

T

∫ T

0

∫

Ω

|∇ ⊗ u(t,x)|2 dxdt

35

Variedade inercial

• Variedade Lipschitz de dimensao finita

• Positivamente invariante, i.e. S(t)M ⊂ M, ∀t ≥ 0

• Atrai todas as orbitas exponencialmente e

uniformemente para condicoes iniciais limitadas

PSfrag replacements

A

M

u0

u = u(t)

36

Completude assintotica de variedades inerciais

• Em geral, para toda solucao u = u(t), existe solucao

v = v(t) ∈ M com o mesmo comportamento assintotico

limt→∞

|u(t) − v(t)| = 0 e ω(u) = ω(v)

• Atracao exponencial ⇒ M captura boa parte do

comportamento transiente

PSfrag replacements

u

v

M

37

Existencia de variedades inerciais

• Requer forte dissipacao (contracao uniforme de

volumes)

• Existencia demonstrada para varias equacoes em uma

dimensao espacial e em casos especiais em 2D

• Em aberto para NSE 2D e 3D

• Transformada de Kwak ainda incompleta

• Relacao com variedades lentas em meteorologia

variedade inercial

dados atmosféricos

inicializações

38

Aproximacao de variedades inerciais

• Metodos numericos mais precisos baseados em

aproximacoes de variedades inerciais

• Eficiencia depende da regularidade das solucoes e do

objetivo do estudo

• Apropriado para estudos da dinamica (e.g. captura de

ligacoes heteroclınicas)

variedade inercial

aproximação de Galerkin

variedade inercial aproximada

39

Controle de dimensao finita

• Variedade inercial ⇒ dinamica de dimensao finita

• Possibilidade de controle de dimensao finita, para

aumentar ou diminuir comportamento caotico

• Resultados teoricos positivos

• Controle distribuido × controle no bordo

• Viabilidade dos metodos?

• Utilizacao de aproximacoes de variedades invariantes

40

Atrator exponencial

• Intermediario entre atrator global e variedade inercial

• Aproxima exponencialmente as orbitas mas nao e

variedade euclidiana

• Existencia para varias equacoes, inclusive ENS 2D

• Parametrizacao por mapeamentos Holder-contınuos

• Resultados parciais sobre existencia de sistemas de

dimensao finita com dinamica equivalente

atrator exponencial

parametrização do atrator exponencial

41

Atratores locais e teoria ergodica

42


Ricardo M. S. Rosa



(IM-UFRJ)



1



Topicos:





turbulencia

2

Teoria matematica das equacoes de Navier-Stokes

• O premio de US$ 1, 00 × 106 da Fundacao Clay

• Formulacao matematica das ENS segundo Leray

• Existencia global de solucao fraca

• Unicidade local de solucao forte

• Singularidades no tempo

• Dimensao de Hausdorff das singularidades temporais

• Singularidades no tempo e no espaco

• Dimensao de Hausdorff das singularidades

espaco-temporais

• Regularidade eventual e regularidade assintotica

3

Equacoes de Navier-Stokes

• Regiao Ω ⊂ R3 ocupada pelo fluido

• Variaveis espacial x = (x1, x2, x3) ∈ Ω e temporal t ≥ 0

• Campo de velocidades u = u(t,x) = (u1, u2, u3) ∈ R3

• Pressao p = p(t,x) ∈ R e forca de volume f = (f1, f2, f3)

• Equacoes de Navier-Stokes (ENS) para um escoamento

incompressıvel e homogeneo, viscosidade cinematica ν:

forma

escalar

∂ui

∂t+

3∑

j=1

uj∂ui

∂xj+

∂p

∂xi= ν∆ui + fi,

3∑

i=1

∂ui

∂xi= 0

forma

vetorial

∂u

∂t+ (u · ∇)u + ∇p = ν∆u + f , ∇ · u = 0

4

Premio: US$ 1, 00 × 106 da Clay Foundation

Problema A: (Solucao global) Dado u0 suave, com

∇ ·u0 = 0 e |∂kxi

u0(x)| ≤ ckm(1 + |x|)−m, k, m ∈ N, x ∈ R3, achar

solucoes suaves u = u(t,x), p = p(t,x) das ENS em Ω = R3,

com u, p ∈ C∞([0,∞) × R3),∫

Ω|u(t,x)|2 dx ≤ C, ∀t ≥ 0, e

u(0,x) = u0(x).

Problema B: (explosao em tempo finito) Mostrar

existencia de u0 e f suaves, com ∇ · u0 = 0 e

|∂kxi

u0(x)| ≤ ckm(1 + |x|)−m, |∂rt ∂k

xiu0(x)| ≤ crkm(1 + t + |x|)−m,

r, k, m ∈ N, t ≥ 0, x ∈ R3, tais que que nao existam solucoes

das ENS em R3 como acima.

Problemas A’, B’: versoes com condicoes periodicas de

contorno.

5

Resultados conhecidos

• Existencia global (no tempo) de solucoes fracas (nao

necessariamente regulares)

• Existencia por tempo finito de solucoes suaves

• Um pouco de regularidade (e.g. H1(Ω)) implica em

solucoes suaves

• Existencia global de solucoes regulares em duas

dimensoes

• Solucoes fracas nao sao necessariamente unicas (para

cada condicao inicial dada)

• Um pouco de regularidade implica em unicidade

6

Uma formulacao matematica das ENS

• Primeiro passo: eliminar a pressao considerando

espacos de divergente nulo

• Condicao natural para o campo de velocidades:

∫

Ω

|u(x)|2 dx < ∞ ⇔ energia cinetica finita

• Espaco de partida:

L2(Ω) =

u : Ω → R3, |u|2def=

∫

Ω

|u(x)|2 dx < ∞

• Subespaco de divergente nulo:

H =

u ∈ L2(Ω); ∇ · u = 0 + (condicoes de contorno)

7

• H e um subespaco vetorial fechado de L2

• Decomposicao ortogonal L2 = H ⊕ H⊥

PSfrag replacements

H

H⊥

• Projecao ortogonal PLH : L2 → H e QLH = I − PLH

• Decomposicao das ENS (assumindo PLHf = f):

PLH

(

∂u

∂t+ (u · ∇)u− ν∆u + ∇p − f

)

= 0

QLH

(

∂u

∂t+ (u · ∇)u − ν∆u + ∇p − f

)

= 0

=⇒

∂u

∂t+ PLH(u · ∇)u − νPLH∆u = f (eq. evolucao para u)

QLH(u · ∇)u− νQLH∆u + ∇p = 0 (eq. p = p(u))

8

Espaco de enstrofia finita

• Para o tratamento do termo inercial:

V =

u ∈ H1(Ω); ∇ · u = 0 + (condicoes de contorno)

,

H1(Ω) =

u ∈ L2(Ω), ‖u‖2 def=

∫

Ω

|∇ ⊗ u|2 dx < ∞

,

onde ∇ ⊗ u = (∂xiuj)

3i,j=1.

• Com condicoes de contorno de aderencia (u|∂Ω = 0) ou

periodicas:

enstrofiadef=

1

2

∫

Ω

|ω|2 dx =1

2

∫

Ω

|∇ ⊗ u|2 dx,

onde ω = ∇ × u = curlu.

9

Formulacao funcional das ENS

•∂u

∂t+ PLH(u · ∇)u − νPLH∆u = f

• Operador de Stokes Au = −νPLH∆u

• Termo inercial B(u,u) = PLH(u · ∇)u

• Espaco dual V ⊂ H ⊂ V ′ :

(u,v)def=

∫

Ω

u(x) · v(x) dx −→ 〈u,v〉V ′,V .

• A : V → V ′, B : V × V → V ′

=⇒du

dt+ νAu + B(u,u) = f

10

Formulacao variacional (fraca) das ENS

• Multiplicar ENS por funcao teste v de divergente nulo e

suporte compacto em Ω e integrar em Ω:

∫

Ω

(

∂u

∂t+ (u · ∇)u− ν∆u + ∇p

)

· v dx = 0;

• Integrando por partes e usando que ∇ · v = 0,

d

dt

∫

Ω

u·v dx+

∫

Ω

[((u·∇)u)·v)] dx+ν

∫

Ω

∇⊕u : ∇⊕v dx = 0;

• Ou, para funcionais apropriados, e incluindo f ,

d

dt(u,v) + b(u,u,v) + a(u,v) = (f ,v), ∀v ∈ V.

11

Existencia de solucao fraca

• Via aproximacao de Galerkin, obter aproximacoes u(n)

em espacoes de Galerkin Vn de dimensao finita,

d

dt(u(n),v) + b(u(n),u(n),v) + a(u(n),v) = (f ,v), ∀v ∈ Vn.

• Obter estimativas de energia, tomando v = u(n):

1

2

d

dt|u(n)|2 + ν‖u(n)‖2 = (f ,v)

• Usando Cauchy-Schwarz e Young no ultimo termo,

d

dt|u(n)|2 + ν‖u(n)‖2 ≤

1

νλ1|f |2,

onde λ1 > 0 primeiro autovalor do operador de Stokes

12

Estimativas globais

• Assumindo f independente de t,

|u(n)(t)|2 ≤ |u0|2e−νλ1t +

1

ν2λ21

|f |2(1 − e−νλ1t)

• Para a enstrofia,

ν

T

∫ T

0

‖u(n)(t)‖2 dt ≤1

T|u0|

2 +1

νλ1|f |2

• Para a derivada temporal de u(n),

1

T

∫ T

0

‖∂tu(n)(t)‖

4/3V ′ dt ≤ C

• Por um teorema de compacidade (Aubin), temos

convergencia (forte) em H, suficiente para a passagem

ao limite

13

Solucao fraca de Leray-Hopf

Apos a passagem ao limite, obtemos solucao fraca

satisfazendo

• u ∈ L∞(0,∞; H) ∩ L2loc(0,∞; V );

• ∂tu ∈ L4/3loc (0,∞; V ′);

• u ∈ C([0,∞); Hw), onde Hw : topologia fraca;

• u(t) → u0, quando t → 0;

• u e solucao das ENS no sentido das distribuicoes

• u satisfaz a desigualdade de energia no sentido das

distribuicoes em t > 0:

1

2

d

dt|u(t)|2 + ν‖u(t)‖2 ≤ (f ,u(t))

14

Regularidade

• Para a regularidade, estimar enstrofia

• Solucao fraca satisfaz

d

dt(u,v) + b(u,u,v) + a(u,v) = (f ,v), ∀v ∈ V.

• Tomando v = Au(n),

d

dt(u(n), Au(n)) + b(u(n),u(n), Au(n)) + a(u(n), Au(n))

= (f , Au(n)),

=⇒1

2

d

dt‖u(n)‖2 +

ν

2|Au(n)|2 + b(u(n),u(n), Au(n)) =

1

2|f |2

15

• Para estimar o termo b(u(n),u(n), Au(n)), fazemos

|b(u(n),u(n), Au(n))| ≤ |u(n)|L6‖u(n)‖L3 |Au(n)|

≤ ‖u(n)‖(

‖u(n)‖1/2|Au(n)|1/2)

|Au(n)|1/2

≤ ‖u(n)‖3/2|Au(n)|3/2 ≤ C‖u(n)‖6 +ν

4|Au(n)|2.

• Assim,d

dt‖u(n)‖2 +

ν

2|Au(n)|2 ≤ C‖u(n)‖6 + |f |2.

• Utilizando λ1‖u‖2 ≤ |Au|2, chegamos a

d

dt‖u(n)‖2 +

λ1ν

2‖u(n)‖2 ≤ C‖u(n)‖6 + |f |2,

que e da forma r′ + r ≤ r3 + k, para r = ‖u(n)‖2.

16

• A solucao de r′ + r = r3 + k explode em tempo finito, se

r > r∗, e e limitada, se 0 ≤ r ≤ r∗, onde r∗ e a maior raiz

de r3 − r + k.

PSfrag replacements

r3− r − k

r t

r

r∗

r∗

• Conclusao:

– existencia de solucoes regulares locais;

– existencia de solucoes regulares globais para forcas

externas e dados iniciais pequenos.

17

Singularidades no tempo

• As estimativas anteriores indicam a possibilidade de

explosao em tempo finito de solucoes regulares;

• Possibilidade de perda de regularidade das solucoes

fracas em certos instantes de tempo (singularidades

temporais - a enstrofia/vorticidade deixa de ser

limitada):

singularidades

PSfrag replacements u(t)

r

t

• Segundo Leray, essas singularidades estariam

associadas a escoamentos turbulentos.

18

Estimativa da “quantidade” de singularidades

temporais

• Considere solucao fraca u = u(t), t ≥ 0, e o conjunto de

singularidades temporais S = t ≥ 0; ‖u(t)‖ = ∞;

• Como∫ T

0‖u(t)‖2 dt < ∞, temos S de medida nula;

• Mas quao grande ou pequeno e S? S e denso na reta,

como os numeros racionais? S e discreto?

• S nao e denso: pela existencia local de solucoes

regulares, o conjunto de instantes regulares (‖u(t)‖ < ∞)

e uniao de intervalos semi-abertos e de medida cheia

• Como podemos medir o “tamanho” de S?

19

Dimensao de Hausdorff

• Quantificar o tamanho de S pela dimensao de Hausdorff

• Medida de dimensao D de Hausdorff de S

µD(S) = limε0

µD,ε(S) = supε>0

µD,ε(S),

onde µD,ε = inf∪j(t

−

j,t+

j)⊃S, |t+

j−t−

j|≤ε

∑

j

(t+j − t−j )D;

• Dimensao de Hausdorff dimH(S) = infD; µD(S) = 0;

• dimH pode ser definida em varias dimensoes e coincide

com a dimensao euclidiana de subvariedades euclidianasPSfrag replacements

cobertura: ε 7→ ε/2

n.o de “bolas”: nε 7→ 2dnε

d = dimensao euclidiana

µD,ε/2j = 2j(d−D)µD,ε

20

Dimensao de Hausdorff das singularidades temporais

Leray (1934), Scheffer (1976)

• Da inequacao r′ + r ≤ r3 + k para enstrofia r = 12‖u‖

2

considere r′ = r3, cuja solucao positiva e

r(t) = (r−20 −2(t− t0))

−1/2, 0 ≤ t− t0 < 1/2r20, r0 = r(t0);

• Em cada intervalo (t−, t+) de regularidade,

t+ − t ≥1

2‖u(t)‖4⇒

1

(t+ − t)1/2≤ 2‖u(t)‖2;

• Integrando no tempo: (t+ − t−)1/2 ≤

∫ t+

t−

‖u(t)‖2 dt;

•∑

intervalos

regulares

(t+j − t−j )1/2 ≤

∫ T

0

‖u(t)‖2 dt < ∞;

• No conjunto complementar (singular) ... dimH(S) ≤ 1/2.

21

Singularidades espaco-temporais - Scheffer (1976),

Caffareli, Khon, Nirenberg (1982), ...

• Analise mais precisa no conjunto E de singularidades

espaco-temporais (de “suitable weak solutions”):

(t∗,x∗), u(t,x) ilimitado em vizinhancas de (t∗,x∗);

• ∃ε > 0, lim supR→0 R−1∫

QR(t,x)|∇⊗u|2 < ε ⇒ (t,x) regular;

• P1(E) = 0, onde PD e uma versao parabolica da medida

de Hausdorff (com cilindros parabolicos Qε = Iε2 × Bε ao

inves de bolas);

• @ singularidade tipo folha de vortice em nenhum

instante de tempo (singularidade de dimensao dois);

• @ singularidade tipo vortice pontual existindo em um

intervalo de tempo (tb. dimensao dois devido a Iε2).

22

• Varios condicoes para a regularidade ou explosao foram

obtidas e tem sido refinadas;

• Condicoes geometricas sobre o alinhamento de vortices

sao particularmente interessantes:

(∂t + u · ∇ − ν∆)|ω| + ν|ω||∇ ⊗ ξ|2 = α|ω|,

α(x) =3

4πP.V.

∫

D(y/|y|, ξ(x + y), ξ(x))|ω(x + y)| dy/|y|3

ξ = ω/|ω|, D(s1, s2, s3) = (s1 · s3) det(s1, s2, s3), ∀|si| = 1;

• ϕ = angulo entre ξ(x + y) e ξ(x), entao |D| ≤ | sinϕ| e

angulo local pequeno reduz α, associado ao

crescimento de singularidades;PSfrag replacements

ϕξ(x)

ξ(x + y)

23

Um resultado condicional de regularidade

| sinϕ(y)| ≤ c|y|1/2 em (t,x); |ω(t,x)| ≥ M, 0 < t < T ⇒

@ explosao em t = T (Beirao da Veiga-Berselli (2002)).

24

Regularidade eventual de Leray

• Considere o caso sem forca externa, f = 0;

• Nesse caso 2ν

∫ T

0

‖u(t)‖2 dt ≤ |u0|2, ∀T > 0;

• Entao, lim inft→∞ ‖u(t)‖ = 0, i.e. a solucao assume

valores arbitrariamente pequenos de enstrofia;

• Pelo resultado de regularidade global para dados iniciais

com enstrofia suficientemente pequena, segue que a

solucao u e regular a partir de algum tempo t ≥ TL

suficientemente grande.PSfrag replacements

u(t)r

tTL

25

Regularidade assintotica?

• Para f 6= 0, nao ha, necessariamente, regularidade

eventual;

• Um possıvel resultado intermediario de regularidade e o

conjunto ω-limite fraco ter enstrofia limitada;

• Outro, mais fraco, seria o suporte de medidas

invariantes (“solucoes estatısticas” em 3D) ter

enstrofia limitada;

• Este ultimo resultado tem relacao com o esperado

decaimento exponencial do espectro, na teoria

estatıstica de turbulencia, associado ao espectro de

funcoes analıticas.

26

Atrator global fraco

• As estimativas a priori obtidas na teoria de existencia

das ENS sao suficientes para mostrar a existencia de

um atrator global na topologia fraca:

Aw =u0 ∈ H; ∃ solucao global, supt∈R

|u(t)|<∞,u(0) = u0;

• Pelas estimativas Aw e limitado em H e atrai todas as

solucoes na topologia fraca, uniformemte para

condicoes iniciais limitadas.

• Se Aw ⊂ V (regularidade assintotica), entao todas as

solucoes sao atraıdas na topologia forte.

27


Ricardo M. S. Rosa



(IM-UFRJ)



1



Topicos:





turbulencia

2

Formulacao matematica da teoria convencional de

turbulencia

• Solucoes estatısticas e equacao de Liouville-Foias

• Equacoes de Reynolds para solucoes estatısticas

• Equacoes de fluxo de energia

• Cascata de energia e condicoes para sua ∃ forcada

• Estimativas de quantidades fısicas

• Cascata de enstrofia em duas dimensoes

• Condicoes para “turbulencia” 2D forcada

• Turbulencia homogenea em decaimento

• Leis de potencia

3

Formalizacao do conceito de medias amostrais

• As medias amostrais sao definidas a partir de N

escoamentos u(n)(t,x), n = 1, . . . , N :

〈ϕ(u)〉 =1

N

N∑

n=1

ϕ(u(n))

• Em termos probabilısticos: N escoamentos

considerados, cada um com peso 1/N .

PSfrag replacementsu

(2)

u(medio)

u(1)

t

u

4

• Mais geralmente: podemos ter escoamentos com pesos

diferentes θn, com∑

n θn = 1,

〈ϕ(u)〉 =N

∑

n=1

ϕ(u(n))θn

• Ou uma infinidade de escoamentos u(ω), com densidade

de probabilidade dρ(ω),

〈ϕ(u)〉 =

∫

ϕ(u(ω)) dρ(ω)

PSfrag replacements

u(ω)dρ(ω)

u (medio)

ω

5

• Podemos usar probabilidades ρ = ρ(ω) em um espaco de

probabilidades (P,Σ, ρ) e considerar variaveis aleatorias

u = u(ω) para representar os possıveis escoamentos.

• Ou podemos usar medidas de probabilidade µ em algum

espaco “natural” para escoamentos, e.g. H da teoria

de Leray (campos de velocidades de energia finita,

divergente zero e com as condicoes de contorno):

〈ϕ(u)〉 =

∫

H

ϕ(v) dµ(v).

Nesse caso, v e uma variavel de integracao, como s em

〈u2〉 =

∫ π/2

0

s2 sin(s) ds = π + 2.

• P = H,Σ =borelianos de H, µ =medida de Borel em H

6

Medidas relevantes

• As medidas µ podem depender do tempo (µ = µt, e.g.

turbulencia em decaimento), ou nao (turbulencia

estatisticamente estacionaria)

• As informacoes estatısticas do escoamento estao

contidas em µ. Os momentos generalizados, sao as

expressoes

〈ϕ(u)〉 =

∫

H

ϕ(v) dµ(v)

de onde podemos tirar os momentos classicos, para

funcoes polinomiais apropriadas, e.g. ϕ(u) = (u − 〈u〉)k.

• Quais sao as medidas relevantes para um escoamento?

• Equacao para µ ou µt?

7

• Se pensarmos na media amostral de N escoamentos

com peso, os momentos generalizados ϕ : H → R

satisfazem

d

dt〈ϕ(u(t))〉 =

d

dt

N∑

n=1

θnϕ(u(n)(t)) =

N∑

n=1

θnd

dtϕ(u(n)(t))

=N

∑

n=1

θnϕ′(u(n)(t)) d

dtu

(n)(t)

=N

∑

n=1

θnϕ′(u(n)(t))) F(u(n)(t))

=

N∑

n=1

θn

(

F(u(n)(t)), ϕ′(u(n)(t)))

V ′,V

8

• Em termos de medida de probabilidade em H, podemos

escrever

µt =N

∑

n=1

θnδu(n)(t),

onde δu = medida de Dirac em u. Dessa forma,

〈ϕ(u(t))〉 =N

∑

n=1

θnϕ(u(n)(t)) =

∫

H

ϕ(v) dµt(v)

• Assim, podemos reescrever a equacao anterior:

d

dt〈ϕ(u(t))〉 =

N∑

n=1

θn

(

F(u(n)(t)), ϕ′(u(n)(t)))

⇐⇒ d

dt

∫

H

ϕ(v) dµt(v) =

∫

H

(F(v), ϕ′(v)) dµt(v)

9

• A formulacao obtida elimina a dependencia explıcita na

solucao das ENS, introduzindo uma variavel de

integracao v e a incognita µt:

d

dt

∫

H

ϕ(v) dµt(v) =

∫

H

(F(v), ϕ′(v)) dµt(v)

• Essa equacao para µt e em termos dos momentos

generalizados (a regra para medidas) e e linear(!) em µt

• E uma equacao do tipo Liouville da mecanica

estatıstica e pode ser chamada de equacao de

Liouville-Foias ou equacao de Navier-Stokes estatıstica

• O termo F(u) = f − νAu −B(u,u) “mora” no espaco

dual V ′, logo so os momentos com ϕ′(v) em V podem

ser considerados

10

Solucoes estatısticas das ENS

Famılia µtt≥0 de medidas de probabilidade de Borel:

• [0,∞) 3 t 7→∫

Hϕ(v) dµt(v) contınuo, ∀ϕ ∈ C(Hw) limitado

• t 7→∫

H|v|2 dµt(v) em L∞(0,∞) e contınuo em t = 0

• t 7→∫

H‖v‖2 dµt(v) em L1

loc(0,∞)

• Inequacao de energia no sentido das distribuicoes em

(0,∞):

1

2

d

dt

∫

H

|v|2 dµt(v) + ν

∫

H

‖v‖2 dµt(v) ≤∫

H

(f ,v) dµt(v);

• Satisfaz as ENS estatısticas no sentido das distribuicoes

em (0,∞), para todo momento generalizado apropriado

ϕ (suficientemente regulares em um certo sentido).

11

Existencia de solucoes estatısticas

Dada uma medida de Borel de probabilidade µ0 em H, com

energia cinetica media finita∫

H|v|2 dµ0(v) <∞

(µ0 representando a distribuicao de probabilidades do

campo inicial de velocidades)

• Existencia via metodo de Galerkin, passando ao limite

as medidas definidas por µ(n)t (t)(E) = µ0(S

(n)(−t)E), para

qualquer boreliano E ⊂ H, onde S(n)(t)t≥0 e o

operador solucao associado a aproximacao de Galerkin

• Ou ...

12

• Existencia pelo Teorema de Krein-Milman: aproximar

µ0 por combinacao convexa de pontos extremos, que

sao deltas de Dirac δu

(n)0

, n = 1, . . . , N , considerar

aproximacoes µ(N)t definidas como as combinacoes

convexas das deltas de Dirac δu

(n)(t), nas solucoes

fracas correspondes das ENS, e passar ao limite quando

N → ∞

PSfrag replacements

t

HH solucoes fracas

suporte damedida µt

suporte damedida µ0

13

• As solucoes estatısticas acima sao importantes para o

tratamento de turbulencia em decaimento ou sem ser

em equilıbrio estatıstico no tempo (estatisticamente

estacionaria)

• Solucoes estatısticas homogeneas e isotropicas podem

ser definidas em Ω = R3

• Solucoes auto-semelhantes podem ser definidas e que

satisfazem as leis de estrutura de Kolmogorov

14

Solucao estatıstica estacionaria

Medida de probabilidade de Borel µ em H, satisfazendo

• Energia cinetica media finita:∫

H|v|2 dµ(v) <∞

• Enstrofia media finita:∫

H‖v‖2 dµ(v) <∞

• Inequacao de energia

∫

e1≤12 |v|

2<e2

ν‖v‖2 − (f ,v)

dµ(v) ≤ 0,

para todos os nıveis de energia 0 ≤ e1 ≤ e2 ≤ ∞

• Equacao de NS estatıstica estacionaria:

∫

H

(F(v), ϕ′(v)) dµ(v) = 0,

para momentos generalizados apropriados (regulares)

15

Limite generalizado

• Para o tratamento das medias temporais e para evitar a

hipotese ergodica, utilizamos o limite generalizado, que

estende, via Teorema de Hahn-Banach, o conceito de

limite para qualquer funcao limitada (e um funcional

linear no espaco linear das funcoes limitadas)

• Limite generalizado nao satisfaz propriedade do limite

de produto ser o produto dos limites e nao e unico

• Para funcoes periodicas, e a media dos valores

assumidos, ponderada pelo numero de vezes assumido

PSfrag replacements1, 2, 1, 2, 1, 2, · · · → 1.5 1, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 3, · · · → 2.2

16

Existencia de solucoes estatısticas estacionarias e

medias temporais

• Dada uma solucao fraca u = u(t), t ≥ 0, e um momento

generalizado ϕ (contınuo de Hw em R) as medias

temporais sao limitadas uniformemente em T > 0

• O limite generalizado das medias temporais define uma

medida de probabilidade que e uma solucao estatıstica

estacionaria das ENS:

LimT→∞

1

T

∫ T

0

ϕ(u(t)) dt =

∫

H

ϕ(v) dµu(v)

• Essa solucao estatıstica estacionaria depende, em

princıpio, da solucao fraca u = u(t), pois nao estamos

assumindo nenhuma hipotese ergodica

17

Turbulencia em equilıbrio estatıstico

• As medias amostrais associadas a escoamentos

turbulentos em equilıbrio estatıstico (equilıbrio no

tempo, i.e. estatisticamente estacionaria) sao, agora,

interpretadas como medias em relacao a solucoes

estatısticas estacionarias

• As solucoes estatısticas estacionarias das ENS colocam

as medias amostrais em um contexto rigoroso

• A partir desse conceito, sao consideradas rigorosamente

as equacoes medias de Reynolds, as equacoes de

energia media, as cascatas de energia, o espectro de

energia, etc.

18

O escomento medio e outras quantidades medias

• Ate agora, as medias que fazem sentido sao as de

momentos escalares ϕ : Hw → R, contınuos e limitados

• Pela regularidade de µ (suporte limitado em H e de

enstrofia finita), as medias podem ser estendidas para

|ϕ(u)| ≤ C(|u|)(1 + ν−2κ−10 ‖u‖2), ∀u ∈ V,

• Por dualidade, podemos definir as medias do campo de

velocidades, 〈u〉, do termo bilinear, 〈B(u,u)〉, etc. etc.

(〈u〉,w) =

∫

H

(v,w) dµ(v),

(〈B(u,u)〉,w) =

∫

H

(B(v,v),w) dµ(v)

19

As equacoes medias de Reynolds

• As solucoes estatısticas estacionarias satisfazem

∫

H

(F(v), ϕ′(v)) dµ(v) (∀ϕ apropriado)

• Tomando ϕ(u) = ψ((u, Pm,w)), onde w ∈ V e ψ e C1 e

de suporte compacto, fazendo, primeiro, ψ′ → 1 e,

depois, m→ ∞, onde Pm = projecao de Galerkin,

∫

H

(F(v),w) dµ(v) = 0

que e a versao fraca das equacoes medias de Reynolds:

νA〈u〉 + 〈B(u,u)〉 = f (em V ′)

com 〈u〉 ∈ V , 〈B(u,u)〉 ∈ D(A−3/8)

20

• A versao classica pode, entao, ser recuperada:

−ν∆〈u〉+(〈u〉 ·∇)〈u〉+∇P = f −∇ · 〈u′ ⊗ u′〉, ∇ · 〈u〉 = 0.

onde u′ = u − 〈u〉 (passa para a variavel de integracao)

• A equacao de Hopf (para a funcao caracterıstica de µ –

sua transformada de Fourier) tambem pode ser feita

rigorosa

21

Decomposicao espectral do escoamento

• Consideramos um escoamento em um domınio limitado

suave Ω ⊂ Rd, d = 2, 3, para simplificar

• Consideramos condicoes de aderencia com fronteira

fixa e/ou condicoes periodicas, e.g. um canal periodico

• Decomposicao espectral em autofuncoes do operador

de Stokes, Awj = λjwj, 0 < λ1 ≤ . . .

u =∞∑

j=0

ujwj

22

Decomposicao em numero de onda

• Para cada autovalor λ, que tem dimensao 1/L2, onde

L = comprimento, associamos numero de onda κ = λ1/2

• Para um numero de onda κ, a componente uκ com esse

numero de onda e

uκ =∑

λj=κ2

ujwj

• E o componente uκ′,κ′′ com os numeros de onda (κ′, κ′′]:

uκ′,κ′′ =∑

κ′<κ≤κ′′

uκ

23

Numeros caracterısticos

• Comprimento macroscopico `0 > 0 dado (tipicamente

da ordem de λ−1/21 , com numero de onda κ0 = 1/`0

• ρ0 = densidade de massa (uniforme) do fluido

• unidade de massa ρ0`30 = ρ0/κ

30

• Energia cinetica media por unidade de massa

e =κ3

0

2〈|u|2〉

• Razao media de dissipacao de energia por unidade de

tempo, por unidade de massa

ε = νκ30〈‖u‖2〉

24

• Velocidade media caracterıstica U = 2e1/2

• Numero de Reynolds

Re =`0U

ν=κ

1/20 〈|u|2〉1/2

ν

• Numero de onda de Kolmogorov κε = (ε/ν3)1/4

• Numero de onda de Taylor

κτ =

( 〈‖u‖2〉〈|u|2〉

)1/2

=( ε

2νe

)1/2

Nao e exatamento o numero de Taylor original,

κT = 1/`T , mas assumindo homogeneidade e isotropia,

κτ =√

15κT

25

Equacoes de fluxo de energia

• Analogamente ao feito para a equacao de Reynolds,

∫

H

(f ,uκ′,κ′′) − ν‖uκ′,κ′′‖2 − b(u,u,uκ′,κ′′)

dµ(u) = 0

onde b(u,u,v) = (B(u,u),v) =

∫

Ω

(u · ∇)u · v dx

• Logo (para todo 0 ≤ κ′ < κ′′ <∞)

ν〈‖uκ′,κ′′‖2〉 + 〈b(u,u,uκ′,κ′′)〉 = 〈(f ,uκ′,κ′′)〉

• Para interpretacao fısica correta, multiplicamos por κ30

νκ30〈‖uκ′,κ′′‖2〉 + κ3

0〈b(u,u,uκ′,κ′′)〉 = κ30〈(f ,uκ′,κ′′)〉

equacao de fluxo de energia nos modos (κ′, κ′′], κ′′ <∞

26

• Pela condicao de ortogonalidade (ou conservacao de

energia pelo termo inercial) b(u,v,v) = 0, obtemos

−κ30〈b(u,u,uκ′,κ′′)〉 = 〈eκ′(u)〉 − 〈eκ′′(u)〉,

onde

〈eκ(u)〉 = −κ30b(u0,κ,u0,κ,uκ,∞) + κ3

0b(uκ,∞,uκ,∞,u0,κ)

e o fluxo medio por unidade de tempo de energia

cinetica por unidade de massa transferida para os

modos altos uκ,∞ pelos efeitos de inercia

• E a equacao de fluxo de energia se escreve

νκ30〈‖uκ′,κ′′‖2〉 = κ3

0〈(fκ′,κ′′ ,uκ′,κ′′)〉 + 〈eκ′(u)〉 − 〈eκ′′(u)〉.

27

• No caso κ′ = 0 and κ′′ = κ,

νκ30〈‖u0,κ‖2〉 = κ3

0〈(f0,κ,u0,κ)〉 − 〈eκ(u)〉

• A inequacao de energia total e

νκ30〈‖u‖2〉 ≤ κ3

0〈(f ,u)〉

• Subtraindo,

νκ30〈‖uκ,∞‖2〉 ≤ κ3

0〈(fκ,∞,uκ,∞)〉 + 〈eκ(u)〉.

que estende para o caso κ′′ = ∞, mas com desigualdade

(possıvel “vazamento” de energia cinetica para κ′′ = ∞devido a potencial falta de regularidade da solucao

estatıstica, similar a potencial perda de regularidade das

solucoes fracas)

28

Fluxo de energia restrito

• Observe que os seguintes limites existem (MCT e

LDCT)

limκ→∞

〈‖u0,κ‖2〉 = 〈‖u‖2〉, limκ→∞

〈(f0,κ,u0,κ)〉 = 〈(f ,u)〉.

• Defina

〈e(u)〉∞ def= lim

κ→∞〈eκ(u)〉

= limκ→∞

κ30〈(f0,κ,u0,κ)〉 − νκ3

0〈‖u0,κ‖2〉

= κ30〈(f ,u)〉 − νκ3

0〈‖u‖2〉 ≥ 0.

• Fluxo de energia restrito:

e∗κ(u) = eκ(u) − 〈e(u)〉∞,

29

Equacao de fluxo de energia “com modos altos”

• Da equacao do fluxo de energia para κ′′ <∞,

νκ30〈‖uκ′,κ′′‖2〉 = κ3

0〈(fκ′,κ′′ ,uκ′,κ′′)〉 + 〈eκ′(u)〉 − 〈eκ′′(u)〉

• Tomamos κ′ = κ e fazemos κ′′ → ∞:

νκ30〈‖uκ,∞‖2〉 = κ3

0〈(f ,uκ,∞)〉 + 〈e∗κ(u)〉.PSfrag replacements

κ′ κ′′

〈eκ′ (u)〉 −〈eκ′′(u)〉

30

Cascata de energia

• Como

limκ→∞

κ30〈(f ,uκ,∞)〉 = 0, νκ3

0〈‖uκ,∞‖2〉 (κ0)

νκ30〈‖u‖2〉 = ε,

podemos definir numeros de onda κε e κε como o

menor e, respectivamente, o maior, tais que

∣

∣κ30〈(f ,uκ,∞)〉

∣

∣ ε, ∀κ ≥ κε, e νκ30〈‖uκε,∞‖2〉 ≈ ε,

PSfrag replacements

injecao de energiaabaixo de κ

ε

dissipacao de energiaacima de κε

κκε

κε

• Mas em geral nada garante que κε < κε

31

• Podemos quantificar as relacoes anteriores com a ajuda

de um parametro adimensional δ pequeno,

representando a ordem de precisao nas relacoes

• Assim, κε e o maior numero de onda tal que

νκ30〈‖uκε,∞‖2〉 ≥ (1 − δ)ε,

• E κε e o menor numero de onda tal que

∣

∣κ30〈(f ,uκ,∞)〉

∣

∣ ≤ δε, ∀κ ≥ κε

32

• Uma base para a teoria de Kolmogorov e a separacao

entre as escalas de injecao e de dissipacao de energia

• Se κε < κε, entao para κε ≤ κ ≤ κε, segue de

νκ30〈‖uκ,∞‖2〉 = κ3

0〈(f ,uκ,∞)〉 + 〈e∗κ(u)〉,

que 〈e∗κ(u)〉 = νκ30〈‖uκ,∞‖2〉 − κ3

0〈(f ,uκ,∞)〉

≥ (1 − 2δ)ε,

≤ (1 + δ)ε.

• Logo, −δ ≤ 1 − 〈e∗κ(u)〉ε

≤ 2δ. ou seja, no intervalo [κε, κε],

vale a cascata de energia:

〈e∗κ(u)〉 ≈ ε.

• Quanto maior [κε, κε], mais significativa a cascata

33

Condicoes suficientes para existencia da cascata

• Para qualquer numero de onda κ > 0,

νκ30〈‖u0,κ‖2〉 ≤ νκ3

0κ2〈|u0,κ|2〉 ≤ νκ3

0κ2〈|u|2〉 ≤

(

κ

κτ

)2

ε.

Se κ2 κ2τ , entao νκ3

0〈‖u0,κ‖2〉 ε, logo, κε ≥ δ1/2κτ .

• Se κ2τ κ2

ε , entao κε ≥ κε, com um pequeno intervalo

de cascata

• Se κτ κε, entao δ ≥ κε/κτ , e κε ≥ κ1/2ε κ

1/2τ , e uma

cascata existe com κ2ε κ2

ε .

• Se κ2/3τ κ

2/3ε , entao δ ≥ κ

2/3ε /κ

2/3τ , logo κε ≥ κ

1/3ε κ

2/3τ , e

uma ampla cascata de energia existe, com κε κε.

34

Confirmacao parcial de estimativas heurısticas

• Para f em V , considere o numero de onda caracterıstico

κf = (|A1/2f |/|A−1/2

f |)1/2

• Para κf ≤ Cκ0, e para Reynolds suficientemente grande,

ε ≤ cκ0U3, κε ≤ cκ0 Re3/4, κτ ≤ cκ

1/30 κ2/3

ε , κτ ≤ cκ0 Re1/2,

confirmando parcialmente (e com quantidades definidas

de maneira precisa) as estimativas heurısticas da teoria

de Kolmogorov:

ε ∼ κ0U3, κε/κ0 ∼ Re3/4, κτ ∼ κ

1/30 κ2/3

ε , κτ/κ0 ∼ Re1/2 .

35

• Em 3D, transferencia inversa de energia das escalas de

injecao para as escalas maiores tambem pode ser

provada

• Em 2D, condicoes similares para a existencia de cascata

direta de enstrofia e de cascata inversa de energia

• Em 2D, o numero de onda que faz o papel do de

Taylor e

κσ =

( 〈|Au|2〉〈‖u‖2〉

)1/2

=(ν

ε

)1/2

• Em 2D, ha estimativas mais precisas para a existencia

da cascata de enstrofia e do espectro de Kraichnan

36

• Em 2D, pode-se mostrar que a transferencia de energia

para os modos mais altos e muito mais “fraca” que a

de enstrofia, justificando a existencia da cascata de

enstrofia ao inves da de energia

• Em 2D, vale

κ2σ =

r+κ2+ − r−κ

2−

r+ − r−,

r+ = κ20

∑

κ>0

〈(fκ,uκ)〉+, r− = κ20

∑

κ>0

〈(fκ,uκ)〉−,

κ2+ =

κ20

∑

κ>0 κ2〈(fκ,uκ)〉+r+

, κ2− =

κ20

∑

κ>0 κ2〈(fκ,uκ)〉−r−

,

• Se r− = 0, e possıvel mostrar que κ2σ . κ2

η,

comprometendo a cascata de enstrofia

37

equa˘c~oes de navier-stokes e turbul^encia - labma.ufrj.brrrosa/dvifiles/lnccnsetwoup.pdf ·...

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