transformação integral das equações de navier stokes para escoamento laminar em canais de...
TRANSCRIPT
BR99H0135
"TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES PARA ESCOAMENTO LAMINAR EM CANAIS DE
GEOMETRIA BIDIMENSIONAL ARBITRÁRIA"
Jesus Salvador Pérez Guerrero
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM
ENGENHARIA MECÂNICA.
Aprovada por:
/ ' . L •• • : --L _
Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.
Prof. Átila Pantaleão Silva Freire, Ph.D.
Prof. Mikhail Dimiter Mikhailov, Ph. D..
.JProf. Sergio H. Sphaier, Dr.-Ing.
Prof. Francesco Scofano NgloJD.Sc.
Prof. Carlos Antonio Cabral dos Santos, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
OUTUBRO DE 1995
, 3 0 - 2 0
PAGES ARE MISSING IN THE
ORIGINAL DOCUMENT
Page 57
PEREZ GUERRERO, JESUS SALVADOR
Transformação Integral das Equações de Navier-Stokes paraEscoamento Laminar em Canais de Geometria BidimensionalArbitrária [Rio de Janeiro] 1995.xvi ,121 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.Sc., EngenhariaMecânica, 1995)Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE.1. Equações de Navier-Stokes.2.Escoamento em Canais de Geometria Arbitrária.3. Transformação Integral.I. COPPE/UFRJ II. Título (série)
Ill
Resumo da tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para
obtenção do grau de Doutor em Ciências (D. Sc).
TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-
STOKES PARA ESCOAMENTO LAMINAR EM CANAIS DE
GEOMETRIA BIDIMENSIONAL ARBITRÁRIA
Jesus Salvador Pérez Guerrero
OUTUBRO, 1995
Orientador: Renato Machado Cotta
Programa: Engenharia Mecânica
O desenvolvimento do escoamento laminar em canais de geometria arbitrária é
estudado, resolvendo-se as equações de Navier-Stokes na formulação de função corrente,
pela Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT).
A função corrente é expandida em autofünções obtidas ao considerar-se unicamente
os termos difusivos da formulação original. As equações de Navier-Stokes são
transformadas num sistema diferencial ordinário infinito, ao fazer-se uso das fórmulas de
transformação e inversão. As séries infinitas são truncadas para fins computacionais, de
acordo com um procedimento de controle automático de erro, resolvendo-se o sitema
diferencial ordinário com subrotinas bem estabelecidas, em bibliotecas matemáticas
amplamente disponíveis.
O clássico caso do desenvolvimento do escoamento entre placas paralelas é
inicialmente analisado, tanto para a condição de entrada uniforme e paralela, como
IV
irrotacional. O efeito do truncamento do comprimento do duto na precisão da solução
obtida é abordado. A convergência das soluções via GITT é apresentada e comparada com
resultados obtidos por diferenças finitas e elementos finitos para diferentes valores do
número de Reynolds.
O caso do escoamento sobre um degrau ("backward-facing step") é estudado a
seguir. Comparações com dados experimentais existentes na literatura indicam uma
excelente concordância. A covalidação numérica é estabelecida para um caso teste,
conseguindo-se perfeita concordância com os resultados considerados benchmark na
literatura recente. Os resultados mostram-se mais coerentes fisicamente que outros
conseguidos por métodos puramente numéricos, em particular para situações onde já se
identificam efeitos tridimensionais.
Por último, um caso teste de duto irregular é estudado e os resultados comparados
com os existentes na literatura, mostrando-se uma boa concordância, com excelentes taxas
de convergência do campo da função corrente ao longo de todo o canal, para diferentes
números de Reynolds.
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as partial fulfilment of the
requirements for the degree of Doctor of Sciences (D. Sc).
INTEGRAL TRANSFORMATION OF THE NAVIER-STOKES
EQUATIONS FOR LAMINAR FLOW IN CHANNELS OF
ARBITRARY TWO-DIMENSIONAL GEOMETRY
Jesus Salvador Perez Guerrero
OCTOBER, 1995
Thesis Supervisor: Renato Machado Cotta
Department: Mechanical Engineering
Laminar developing flow in channels of arbitrary geometry was studied by solving
the Navier-Stokes equations in the streamfunction-only formulation through the
Generalized Integral Transform Technique (GITT).
The stream function is expanded in an infinite system based on eigenfunctions
obtained by considering solely the diffusive terms of the original formulation. The Navier-
Stokes equations are transformed into an infinite system of ordinary differential equations,
by using the transformation and inversion formulae. For computational purposes, the
infinite series is truncated, according to an automatic error control procedure. The ordinary
differential is solved through well-established scientific subroutines from widely available
mathematical libraries.
The classical problem of developing flow between parallel-plates is analysed first,
as for both uniform and irrotational inlet conditions. The effect of truncating the duct
length in the accuracy of the obtained solution is studied. A convergence analysis of the
VI
results obtained by the GITT is performed and compared with results obtained by finite
difference and finite element methods, for diferent values of Reynolds number.
The problem of flow over a backward-facing step then follows. Comparisons with
experimental results in the literature indicate an excellent agreement. The numerical
co-validation was established for a test case, and perfect agreement is reached against
results considered as benchmarks in the recent literature. The results were shown to be
physically more reasonable than others obtained by purely numerical methods, in particular
for situations where three-dimensional effects are identified. Finally, a test problem for an
irregular by shoped duct was studied and compared against results found in the literature,
with good agreement and excellent convergence rates for the streamfunction field along the
whole channel, for different values of Reynolds number.
Vil
A mi adorada hijita Estefanita.
A mi amada esposa y companera de
toda Ia vida Mariluz.
A mi adorada madre Alicia y mi
inolvidable padre Manuel.
VIII
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Renato M. Cotta pela orientação.
À CAPES, pelo suporte financeiro durante todo o doutorado.
Ao Núcleo de Atendimento de Computação em Alto Desempenho (NACAD/UFRJ)
pela utilização de seus recursos computacionais.
À minha amada esposa Mariluz, pela paciência e apoio durante todo o trabalho.
Aos meus irmãos Manuel e Miguel, pelo incentivo.
Aos meus grandes amigos Roseane Barcelos Santos e Ricardo Gondim dos Santos,
pela inestimável ajuda prestada neste trabalho.
A Alípio Castelo Branco Jr. e Luis Cláudio Gomes Pimentel pela colaboração.
A todo pessoal do Laboratório de Transmissão e Tecnologia do Calor (LTTC), pela
colaboração sempre atenta em todos os momentos.
Aos professores da COPPE/UFRJ pelos conhecimentos fornecidos em suas aulas.
Ao Dr. José Ananias e Sra. Ana Lúcia Figueira da Silva pela ajuda num momento
crítico.
IX
GLOSSÁRIO
- LETRAS LATINAS
a Posição para especificar a altura do degrau.
A jjk Coeficiente de transformação.
A o,jjç Coeficiente de transformação.
b Metade da separação entre placas paralelas
B yk Coeficiente de transformação.
b j , b2 Especifica separação das paredes do duto.
B<»jk Coeficiente de transformação.
c Parâmetro de compressão da escala.
C jjk Coeficiente de transformação.
Coojk Coeficiente de transformação.
D j : Coeficiente de transformação.
D h Diâmetro hidráulico (Dh = 4b).
F Filtro para caso de domínio irregular.
FOOjjk Coeficientes de transformação do duto irregular
FOljjk Coeficientes de transformação do duto irregular
F02jjk Coeficientes de transformação do duto irregular
F03jjk Coeficientes de transformação do duto irregular
F lop Coeficientes de transformação do duto irregular
Fl ljjk Coeficientes de transformação do duto irregular
F12;jk Coeficientes de transformação do duto irregular
FOy Coeficientes de transformação do duto irregular
Fly Coeficientes de transformação do duto irregular
F2jj Coeficientes de transformação do duto irregular
F3jj ' Coeficientes de transformação do duto irregular
fj Distribuição de velocidade axial na entrada do duto (caso dutos
regulares).
Distribuição de velocidade axial na saída do duto (caso dutos
irregulares).
Coeficientes de transformação do duto irregular
FCDj Coeficientes de transformação do duto irregular
Coeficientes de transformação do duto irregular
Coeficientes de transformação do duto irregular
Coeficientes de transformação do duto irregular
Coeficientes de transformação do duto irregular
Coeficientes de transformação do duto irregular
Subíndice de termo na série.
Subíndice de termo na série.
Subíndice de termo na série.
Valor da função-corrente nas paredes do duto.
Posição de truncamento do duto.
Número de termos de truncamento da série.
Norma.
Campo de pressões adimensional e dimensional respectivamente.
Coeficiente de balanço de massa.
Vazão por unidade de comprimento.
( A\Jb\Re Número de Reynolds Re = I (Caso do Duto Regular);
Re = — (Caso Geral do Duto Irregular),v J
Velocidade axial adimensional e dimensional respectivamente.
Velocidade média axial.
Velocidade transversal adimensional e dimensional respectivamente.
Posição de realocamento da condição de contorno transformada.
Função do sistema diferencial ordinário.
Coordenada vertical adimensional e dimensional respectivamente.
Autofunção.
Autofunção normalizada
Hl
H2
H3
i
j
k
L
N ,
N;
P ,
q
Q
Ü
Ü
Ü
,k2
Nt
,N*
P
u ,U
v ,
*o
X
y-
u
•V
*
y
XI
- LETRAS GREGAS
s Controle automático do erro global.
4 Variável Auxiliar.
r\ Variável de transformação do domínio.
|ij Autovalores.
fj.; Autovalores.
v Viscosidade.
p Densidade.
\|/ Função-corrente.
\\im Função-corrente do campo de velocidade completamente desenvolvido.
\j7j Campo Transformado, caso do duto domínio Írrregular.
co Vort ic idade.
-SÍMBOLOS MATEMÁTICOS:
V Gradiente.
V2 Laplaciano.
V 4 Operador biharmônico
xn
ÍNDICE DE FIGURAS
FIGURA 2 .1 -
FIGURA 2.2 -
FIGURA 3.1-
FIGURA 3.2-
FIGURA 3.3 -
FIGURA 3.4 -
FIGURA 4 .1 -
FIGURA 4.2 -
FIGURA 4.3 -
FIGURA 4.4 -
FIGURA 4.5 -
FIGURA 4.6 -
FIGURA 4.7 -
FIGURA 4.8 -
FIGURA 4.9 -
FIGURA 5.1-
FIGURA 5.2 -
FIGURA 6.1-
FIGURA 6.2.a,b
FIGURA 6.3 -
Representação geral do problema em duto regular 5
Especificação das condições de contorno 11
Tipos de condições de contorno na entrada do duto 25
Velocidade u (x, 0) ao longo do duto para condições de contorno
uniforme e irrotacional na entrada, comparada com resultados de
camada limite 34
Desenvolvimento do perfil de velocidades u (x, y), ao longo do duto
para condições de contorno uniforme e irrotacional na entrada
(Re = 300) 34
Desenvolvimento do perfil de velocidades v (x, y), com condição de
contorno uniforme e paralela na entrada do duto 35
Esquema do problema de escoamento sobre um degrau ("Backward
Facing Step") 37
Desenvolvimento da componente transversal da velocidade ao longo
do canal (Re = 438) 46
Desenvolvimento da componente transversal da velocidade ao longo
do canal (Re = 1374) 46
Isolinhas da Função Corrente (Re = 438) 47
Isolinhas da Função Corrente (Re = 1374) 47
Comparação dos Perfis da componente transversal da velocidade ao
longo do duto (x = 14 e x = 30 ; Re = 1600) 54
Desenvolvimento da velocidade transversal ao longo do duto
(Re = 1600) 54
Isolinhas da Função Corrente (Re = 1600) 55
Isolinhas da Função Corrente (Re = 1942) 55
Esquema do duto irregular 57
Geometria que identifica o filtro F (x, y) 61
Geometria do problema-teste: Canal com expansão gradual 83
Condições de contorno no duto com espansão gradual 84
Isolinhas da Função Corrente (Re = 10) 93
Xlll
FIGURA 6.4 - Isolinhas da Função Corrente (Re = 100) 93
FIGURA 6.5 - Vorticidade ao longo da parede do duto (Re =10) 98
FIGURA 6.6 - Vorticidade ao longo da parede do duto (Re =100) 98
FIGURA A. 1 - Geometria do Escoamento Completamente Desenvolvido entre
placas paralelas 109
XIV
ÍNDICE DE TABELAS
TABELA 3.1-
TABELA 3.2-
TABELA 3.3 -
TABELA 3.4-
TABELA 3.5.a,b-
TABELA 4.1-
TABELA 4.2 -
TABELA 4.3 -
TABELA 4.4 -
TABELA 4.5 -
TABELA 6.1-
TABELA 6.2 -
TABELA 6.3. a,b -
TABELA 6.4.a,b -
Convergência da velocidade no centro do duto, u (x, 0), para
Re=0. (u= 1, v = 0) 29
Convergência e comparação da velocidade no centro do duto,
u (x, 0), para Re = 40. ( condições de contorno na entrada u = 1,
v = 0) 30
Convergência e comparação da velocidade no centro do duto,
u (x, 0), para Re = 300. (condições de contorno na entrada u = 1,
v = 0) 30
Convergência e comparação da velocidade no centro do duto,
u (x, 0), para Re = 300. (condições de contorno na entrada u = 1,
o = 0) 31
Velocidade na linha de centro do duto, u (x, 0) , para diversas
posições de truncamento do duto 32
Convergência da componente longitudinal do campo de
velocidades (Re = 438 ) 44
Convergência da componente longitudinal do campo de
velocidades (Re= 1374) 45
Convergência da componente longitudinal do campo de velocidade
emx=14 (Re=1600) 49
Convergência da componente longitudinal do campo de velocidade
em x=30 (Re=1600) 50
Convergência da componente longitudinal do campo de velocidade
(Re = 1942) 53
Convergência da Função Correntei)/ (x/ xout,0.5) (Re = 1 0 ) 91
Convergência da Função Corrente \\f (x / xout,0.5) (Re =100 ) 92
Convergência da vorticidade na parede do duto (Re =10) 95
Convergência da vorticidade na parede do duto (Re = 100) 96
XV
ÍNDICE
Página
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO 1
LI - MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS 1
1.2 - A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA 4
CAPÍTULO II - ESCOAMENTO EM DUTOS REGULARES 5
II. 1 - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 5
II.2 - SOLUÇÃO VIA GITT 9
11.2.1 - Problema Auxiliar 10
11.2.2 - Par Transformada-Inversa 13
11.2.3 - Transformação Integral do Problema 15
11.2.4 - Algoritmo Computacional 18
CAPÍTULO III - ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS 24
111.1 - DESCRIÇÃO DO PROBLEMA 24
111.2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 27
111.3 - RESULTADOS 28
CAPÍTULO IV - ESCOAMENTO SOBRE UM DEGRAU 36
IV.l - DESCRIÇÃO DO PROBLEMA 36
IV.2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 40
IV.3 - RESULTADOS 43
CAPÍTULO V - ESCOAMENTO EM CANAIS DE GEOMETRIA ARBITRÁRIA. 56
V.l - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 56
V.2 - SOLUÇÃO VIA GITT 59
V.3 - O FILTRO F (x, y) 60
V.4 - PROBLEMA DE AUTOVALOR 63
V.4.1 - Propriedade de Ortogonalidade 65
V.5 - PAR TRANSFORMADA-INVERSA 65
XVI
V.6 - TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO PROBLEMA 67
V.7 - ALGORITMO COMPUTACIONAL 77
CAPÍTULO VI - ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO COM EXPANSÃO
GRADUAL 81
VI. 1 - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA 81
VI.2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 85
VI.3 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA 86
VI.3.1 - Duto Truncado 86
VI.3.2 - Duto Infinito 88
VI.4 - RESULTADOS 89
CAPÍTULO VII - CONCLUSÕES 99
CAPÍTULO VIII - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 101
APÊNDICE A - Escoamento completamente Desenvolvido entre Placas Paralelas 109
APÊNDICE B - Derivadas da Fórmula de Inversão 112
APÊNDICE C - Coeficientes do Sistema Diferencial Ordinário 114
I - INTRODUÇÃO
I.I - MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS
O estudo do desenvolvimento hidrodinâmico de escoamentos laminares em dutos é
um tema de interesse permanente na engenharia pelas inúmeras aplicações em
equipamentos hidráulicos e térmicos, na busca pela determinação acurada de fatores de
atrito e coeficientes de transferência de calor ao longo do canal. A modelagem teórica deve
ser realizada a partir das equações de Navier-Stokes, ou através das equações simplificadas
de camada limite. A validade da aplicação neste último caso é circunscrita a situações de
número de Reynolds altos e em posições não muito próximas da entrada do duto. Este
aspecto é analisado no Capítulo III do presente trabalho.
A dificuldade na análise numérica do desenvolvimento de escoamentos em dutos,
está na adequada especificação de condições de contorno na entrada e saída do canal e na
necessidade de se resolver, com precisão controlada, um sistema diferencial parcial elíptico
e não linear, representado pelas equações de Navier-Stokes.
Soluções para problemas de escoamento dentro de dutos foram obtidas ainda em
meados dos anos 60 para o caso de placas paralelas, ampliando-se os estudos com a
evolução dos métodos numéricos para resolver equações diferenciais parciais e dos
computadores, tanto em velocidade quanto em memória. Ainda assim, a gama de análises
para escoamentos em canais não-regulares permanece restrita, ao introduzir regiões de
recirculação e adicionar a dificuldade do adequado mapeamento do domínio irregular.
Por outro lado, problemas convectivo-difusivos têm sido resolvidos com grande
sucesso pela Técnica da Transformada Integral Generalizada ( GITT ) [ 1 ], em inúmeras
aplicações.
Por sua concepção híbrida numérico-analítica, esta técnica tem as vantagens de
manter um controle sobre o erro relativo dos resultados, o qual é estabelecido a priori e
controlado automaticamente, e de ser uma ferramenta de simples implementação
computacional.
A ampla gama de aplicações do método, pode ser agrupada nas seguintes classes:
- Problemas com coeficientes variáveis nas condições de contorno [ 2-5 ]:
• Aplicações: problemas condutivos com número de Biot dependente do tempo,
convecção forçada em dutos aletados externamente, etc.
- Problemas com coeficientes variáveis na equação [ 6- 8 ]:
• Aplicações: análise transiente de aletas com dissipação dependente do tempo,
desenvolvimento simultâneo de velocidade e temperatura dentro de canais, etc,
- Problemas com Contornos Variáveis [ 9-15 ]:
• Aplicações: problemas de contorno móvel, tais como fusão/solidificação,
ablação e oxidação; domínio de forma irregular com respeito ao sistema de
coordenadas considerado, como no caso da transferência de calor em
trocadores com dutos triangulares, trapezoidais, hexagonais, etc.
- Problemas que Envolvem Problema Auxiliar Difícil [ 16-22 ]:
• Aplicações: convecção forçada interna em regimes transiente e periódico,
transferência de calor em escoamentos com condução axial, convecção em
dutos retangulares, problemas conjugados de transferência de calor, trocadores
de calor bitubulares, etc.
- Problemas Não- Lineares [23-41, 76-78 ]:
• Aplicações: condução de calor com condutividade térmica variável, condições
de contorno com troca radiante, solução das equações de camada limite para
regimes laminar e turbulento, e as equações de Navier-Stokes.
Com relação às equações de Navier-Stokes, a técnica está estendendo-se
gradativamente para problemas que envolvem escoamento laminar e turbulento e para as
aplicações em coordenadas cilíndricas.
Neste contexto, o objetivo do presente trabalho é estender a aplicabilidade da GITT
na solução das equações de Navier-Stokes para casos mais gerais, explorando a formulação
em função corrente. Desta forma, pretende-se abordar a solução do problema de
escoamento em desenvolvimento no interior de dutos bidimensionais com domínio regular
e irregular para o caso do escoamento incompressível e laminar em regime permanente,
abrindo-se assim perspectivas para aplicação da presente técnica em casos bem mais gerais
com dependência no tempo e em regime turbulento. Os problemas de escoamento
resolvidos no presente trabalho têm sido escolhidos, tanto pelo interesse físico que eles
apresentam, como também porque servem como excelentes testes de validação de métodos
computacionais.
O presente trabalho encontra-se inserido no escopo da cooperação técnica entre a
University College of Swansea, Institute for Numerical Methods in Engineering, e o
PEM/COPPE/UFRJ, sob fmancimento do British Council. Neste esforço mais amplo,
busca-se a co-validação de resultados de simulações via transformação integral e elementos
finitos, fazendo-se uso da interessante característica de controle automático de erro da
presente técnica, permitindo o estabelecimento de resultados benchmark para problemas -
teste de uso corrente na literatura, como aqueles aqui analisados.
1.2 - A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA
A aplicação da GITT pode ser resumida nos seguintes passos:
a) Definição do problema auxiliar, com base nos termos difusivos da formulação
original.
b) Solução do problema auxiliar e obtenção das autofunções, autovalores, normas
e propriedade de ortogonalidade.
c) Desenvolvimento do par transformada-inversa.
d) Transformação integral do problema diferencial parcial num sistema diferencial
ordinário acoplado.
e) Truncamento do sistema diferencial ordinário infinito e solução numérica do
sistema diferencial resultante, para obtenção dos campos transformados.
f) Obtenção do potencial original, fazendo-se uso da fórmula de inversão.
A idéia básica na técnica generalizada, é relaxar a necessidade de encontrar-se uma
transformação integral exata, ou seja, que resulte num sistema diferencial transformado
não-acoplado. Assim, pode-se escolher um problema auxiliar (de autovalor) que seja
característico do problema original ou não, desenvolver o par transformada-inversa e
efetuar a transformação integral, chegando-se a um sistema diferencial ordinário infinito e
acoplado. Após truncamento em ordem suficientemente grande para a precisão requerida,
automaticamente selecionada durante o próprio processo de solução, o sistema diferencial
ordinário é resolvido numericamente por algoritmos bem estabelecidos, com controle
automático de erro, disponíveis em bibliotecas de subrotinas científicas. A fórmula
explícita de inversão fornece então uma representação analítica nas demais variáveis
independentes eliminadas pela transformação integral.
II - ESCOAMENTO EM DUTOS REGULARES
II. 1 - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
O problema de escoamento em duto regular é definido geometricamente por duas
placas planas infinitas e paralelas, entre as quais escoa um fluido Newtoniano com
condições de contorno especificadas na entrada e saída do canal (Figura 2.1).
Deseja-se encontrar as características do desenvolvimento do escoamento ao longo
do duto.
f.[y] f2[y*]
-b
FIGURA 2.1 - Representação geral do problema em duto regular.
O problema físico é formulado ao considerar-se:
- Escoamento bidimensional em regime laminar e estacionário.
- Escoamento incompressível.
- Propriedades do fluido constantes.
- Impermeabilidade e não deslizamento nas paredes do duto.
- Fluido newtoniano.
O escoamento dentro do duto é governado pelas equações de continuidade e de
Navier-Stokes, que em termos das variáveis primitivas adimensionais; são dadas por:
õx õy
õu. õu Õp 4 f õ V õ2n)
u
õx õy õx Re^õx õy
õv õv õp 4 j õ2v õ2v
õx õy õy Rel^õx õy J
onde os parâmetros adimensionais foram definidas a partir de:
(2.1.C)
(2.2.a,b)
* * *u = — , v = — , P = - ^ T (2.2.C, d, e)
U U ' V pU2
notando-se que "*" identifica as variáveis dimensionais. O número de Reynolds foi
definido a partir do diâmetro hidráulico e da velocidade média na entrada do duto:
UDh 4UbRe = = (2.2.f)
Como é sabido, uma das dificuldades na solução das equações (2.1) está no
desconhecimento do campo de pressões nos contornos.
Uma alternativa que permite evitar esta dificuldade, é fazer uso da função-corrente
\)/ (x,y), representada a partir do campo de velocidades, na forma:
| ( , y ) ôv|/(x,y)u(x ,y) = — , v(x,y) = - — (2.3.a,b)
Portanto, derivando a equação (2.1.b) em relação a "y" e a equação (2.1.c) em
relação a "x", com posterior subtração de ambas e tendo-se em conta (2.1.a), obtém-se a
seguinte equação não linear do tipo biharmônico para a função-corrente:
ôfy ô\\i Õ3\\i dy õ\ dy di|/ 4 4+ = V VI/ (Z.T-)
Re Yôy õx3 õy Õxdy2 õx õx2õy õx õy3 Re
válida para todo x > 0 , -1 < y < 1 e onde V4 representa o operador biharmônico:
õx ôx õy ( 2 - 5 )
As oito condições de contorno requeridas na solução da equação (2.4) são
especificadas ao considerar-se:
- Impermeabilidade e não-deslizamento nas paredes do duto:
u ( x , - l ) = 0 ; v ( x , - l ) = 0 ; x > 0 (2.6.a, b)
u ( x , l ) = 0 ; v (x , l ) = 0 ; x > 0 (2.6.c, d)
que ao ser representadas em termos da função-corrente tornam-se:
— = 0 (2.7.a, b)
^ = 0 (2.7.c,d)
onde k[ e k2 são constantes, que especificam o valor da função-corrente nas paredes.
- Perfil de velocidades conhecido na entrada do duto:
u(0,y) = f,(y) ; v(0,y) = 0 (2.8.a,b)
Usando a definição da função-corrente (2.3) e integrando-se diretamente:
j (Ç)d^ ; ^ ' y ) = 0 (2.9.a,b)
- Perfil de velocidades paralelo completamente desenvolvido para x —> oo :
; v(oo,y) = o (2.io.a,b)
ou em termos da função-corrente:
onde "q" é uma constante que garante o balanço de conservação da massa.
A constante k2 pode ser encontrada a partir de (2.9.a) ou (2.11.a). Fazendo-se uso
desta última:
k 2 = k t + 2 q (2.12)
Desta forma, o problema de escoamento em duto regular fica formulado apenas em
termos da função-corrente.
II.2 - SOLUÇÃO VIA GITT
Para facilitar a aplicação do método (GITT) e melhorar sua performance
computacional, é conveniente fazer uma homogeneização parcial das condições de
contorno. Para este fim, se considera o seguinte filtro:
onde ^ ( y ) representa a função-corrente na região completamente desenvolvida
M̂7 (°°>y)) e •t' (x>y) é o potencial a ser determinado.
Substituindo (2.13) em (2.4), e nas condições de contorno (2.7,9-11) obtém-se:
10
ô(j) cP_§_ dty õ3 (j) 3(j) a3 <|> S(() ô3 <|)
õy õx3 õy dxôy2 õx õx2õy ~ õx ôy3
| K, 5 ( | d i t / M a>j, = _4_ v
dy õxdy 2 dy 3 õx Re|
dy 5x 3 dy õxdy 2 dy 3 õx Re(2.14.a)
(2.14.b,c)5y
4õy
o, y)
(2.14.d,e)
(2.14.f,g)
Assim, o problema encontra-se reformulado para a solução da função auxiliar
<Kx,y).
II.2.1 - PROBLEMA AUXILIAR
Dado às características homogêneas do sistema (2.14) na direção "y", escolheremos
o problema de autovalor nessa coordenada.
= fi(y)
11
•• y
u=0 v=0
u = 0 v = 0
u = -q(i-y2)
x v = 0
jf,- l
©d
ax
¥
yY|/ = k, + 2q —— = 0
—y x
3 y3
y
ox
j— 1
J
y = 0 — = 0
X
— = 0
FIGURA 2.2 - Especificação das condições de contorno.
12
Um problema de autovalor associado à versão linear homogênea de (2.14),
detalhadamente discutido em [34] e já empregado na solução das equações de Navier-
Stokes via GITT [34-36,41] é definido como:
(2.15.a)
com condições de contorno:
(2.15.b,c)
(2.15.d,e)
onde Y[ (y) e ji; são as autofunções e autovalores, respectivamente, que satisfazem a
seguinte propriedade de ortogonalidade:
, i * j
e Nj é a norma ou integral de normalização.
A equação (2.15) pode ser analiticamente resolvida, encontrando-se uma
combinação linear de funções trigonométricas e hiperbólicas:
Y,(y) = i sinu^y sinhfj-jy, l — 2,4,0,...
(2.18.a-b)
Os autovalores são encontrados ao resolver-se as seguintes equações
transcendentais:
13
, , , ,
. . . . (2.19.a-b)i , 1 = 2,4,6,... v '
A norma, definida como:
i
Y2dy ; i = l , 2 , 3 , . . . (2.20)
apresenta o seguinte valor numérico:
Ni = 2 ; i = 1,2,3,... (2.21)
Para os próximos passos no uso da GITT, é conveniente normalizar a autofunção a
partir de:
Nf2
onde Yj (y) representa a autofunção normalizada.
II.2.2 - PAR TRANSFORMADA INVERSA
O uso da GITT baseia-se na idéia de que uma função pode ser representada como
uma expansão em autofunções, provenientes de um problema auxiliar, o qual tem
informação sobre os termos difusivos do problema original. Assim, consideramos que a
função (J) (x, y) pode ser representada como:
14
onde <(» i (x) é uma função desconhecida, que depende apenas de "x", representando os
coeficientes a serem determinados na expansão proposta.
Uma relação que permita definir fo (x), pode ser encontrada ao se fazer uso das
propriedades de ortogonalidade da autofunção Yj.
Operando ambos os membros de (2.23) com í Vy :
dy (2.24)J Yj(y)*(x,y)dy= J Yj (y)
e reordenando convenientemente:
J Yj(y)4>(x,y)dy= X <f>i(*) J % (y) Yj(y) dy (2.25)
Pelas propriedades de ortogonalidade que gozam as autofunções Yj , pode-se
facilmente deduzir que os termos do somatório em (2.25) tem um único valor diferente de
zero quando i = j , logo:
fc(x)= JYi(y)(j)(x,y)dy (2.26)
Esta última expressão define a transformação integral, indicando que o campo
original pode ser transformado pelo seu produto interno com a autofunção.
Denomina-se potencial transformado a <t>j(x), sendo a eq. (2.26) conhecida como
fórmula da transformada. A eq. (2.23), que por sua vez recupera o potencial original a
partir do conhecimento dos campos transformados, denomina-se fórmula da inversa.
15
II.2.3 - TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO PROBLEMA
O processo de transformação integral das equações diferenciais parciais (2.14) num
sistema diferencial ordinário, é iniciado ao se fazer uso do operador J Yj (y) dy na
equação (2.14.a):
dv + fi ôy ax3 d y + J Yi dy õxôy
Re L -I
(2.27)
Neste ponto, é conveniente fazer uso da definição da inversa (2.23), que facilitará
reagrupar convenientemente os termos e aplicar as propriedades de ortogonalidade onde for
possível.
A utilização da inversa assegura a transformação de uma equação diferencial
parcial, inclusive onde os termos não forem transformáveis exatamente.
16
dY,dy
dy +hi d y Lfcf d x
dxL k = l dx2 dy
d y -
d y -
JY«L k = l
dy + 1 dy dxJ -Y: dy +
dx dy2 dy - h dx
y d2^ft dx2yft dx2 dy2 dy +
dy
(2.28)
Reordenando convenientemente e aplicando as propriedades de ortogonalidade
(2.16) e (2.17), no primeiro e terceiro termos do lado direito de (2.28):
dx4
00 00
ZZj=l k=l
C i j^ dx
ijk dx dx2
d ^ijk d
A
dx3C
dx U"'J dx
(2.29.a)
onde os coeficientes podem ser calculados analiticamente a partir das integrais:
17
l\ : :u —
d y-dy (2.29.b)
B-., = Y Y - d v (2.29.c)
'ijk - J iY i dy-dy (2.29.d)
1 A2
(2.29.e)
A»ij = i ^i^j-T^dydy
(2.29.Í)
ij J Y i dy2 dy-dy (2.29.g)
»u = J Y i Y J~x^ d y-i J dy-(2.29.h)
Note-se que a equação (2.29.a), apresenta também as mesmas características não-
lineares, as quais não são removidas na transformação integral. O mesmo procedimento de
transformação é aplicado nas condições de contorno (2.14.f, g, h, i), obtendo-se
respectivamente:
dy (2.30.a)
^j (0)
dx= 0 (2.30.b)
18
O») = O (2.30.c)
dx= O (2.30.d)
Desta forma, o problema diferencial parcial foi transformado num sistema de
equações diferenciais ordinárias não lineares, infinito e acoplado, com condições de
contorno em dois pontos.
II.2.4 - ALGORITMO COMPUTATIONAL
O sistema diferencial ordinário não-linear (2.29) deve ser resolvido a partir de
procedimentos numéricos devido à impossibilidade de se obter soluções analíticas.
Por outro lado, obter soluções exatas do sistema (2.29) implicaria em se resolver o
sistema infinito de equações, o que seria impossível de ser realizado sob o ponto de vista
computacional.
Uma característica importante do método é a garantia de convergência das soluções
para ordens crescentes de truncamento nas séries. Esta característica indica que é possível
obter soluções com um número de algarismos significativos "exatos" (convergidos) para
um determinado número de termos nas expansões. Por isso, diz-se que o método da
transformada integral é um método de precisão controlada, devido a esse controle
estabelecido na ordem de truncamento das expansões, que pode ser automaticamente
determinado durante o processo de solução, assemelhando bastante o presente
procedimento ao de uma solução puramente analítica.
Após truncamento do sistema infinito numa ordem N, a eq.(2.29) torna-se:
19
dx4 ar d<t>k
" A i ji * dx dx2 " A i j k d x * k
N
I °°ij dx3 ^ dx °°ij dx
(2.31)
Por outro lado, as condições de contorno (2.30.C, d) encontram-se especificadas no
infinito. Nos métodos numéricos clássicos, essa dificuldade é tradicionalmente resolvida
ao considerar-se as condições de contorno no infinito especificadas numa posição
suficientemente distante da origem, resolvendo-se assim o problema para essas condições
artificiais. Mas, como não é possível saber-se a priori, se tal aproximação pelo
truncamento do domínio infinito afeta os resultados finais dentro da precisão desejada,
torna-se indispensável resolver-se repetidamente o problema, considerando-se as condições
de contorno em outras posições e verificando se a convergência das soluções foi atingida
nas regiões de interesse.
Esta dificuldade é facilmente contornada pelo presente método, por uma
transformação da variável independente x, redefinindo o domínio de [ 0, oo ] a [ 0, 1 ].
A transformação do domínio aqui considerada foi:
-ex (2.32)
onde c é um parâmetro de compressão de escala.
Um aspecto interessante desta transformação é que ela permite comprimir a escala
onde os gradientes são menos significativos.
O uso da transformação do domínio é completado ao definir-se:
20
(2.33)
Assim, o problema a ser resolvido seria (2.31), usando-se a equação (2.32) em
conjunto com a (2.33), ficando as condições de contorno (2.30.C, d) especificadas em r) =
1.
A solução numérica deste sistema pode ser obtida através de algoritmos bem
estabelecidos e testados, disponíveis em bibliotecas de subrotinas matemáticas, como o
sistema IMSL [42]. Esta biblioteca possui a subrotina DBVPFD para a solução de
problemas diferenciais ordinários não lineares, com condições de contorno em dois pontos,
que apresentam comportamento rígido (stiff) .
Esta rotina resolve problemas do tipo:
x ' = f ( x , X ) , x e [ a ,b ] (2.34.a)
g[X(a),X(b)]=0 (2.34.b)
Seu algoritmo é baseado na rotina PASVA3 [43], e faz uma discretização sobre
uma malha não uniforme, que é escolhida adaptativamente para conseguir um erro local
aproximadamente o mesmo em qualquer posição, mantendo-se um controle de erro global
automático. O sistema algébrico não-linear resultante é resolvido mediante o método de
Newton generalizado.
Para fazer uso da DBVPFD é necessário reescrever o sistema de quarta ordem
como um sistema de primeira ordem:
Xj = fc (2.35.a)
21
dx
dx
(2.35.b)
(2.35.c)
X 3N+i " dx3 (2.35.d)
dX3N+i
dx dx1 (2.35.e)
e, auxiliando-se da regra da cadeia, é possível reescrever em termos do domínio
transformado r\:
(2.35.Í)
.fin'sendo —- uma função que depende apenas de r[ e do parâmetro c.Vdx;
O sistema diferencial ordinário pode ser reescrito como:
dX 3N + iN
dTJ
Re4
N Nv —/ , (k=l
- B; j k X N + j X 2 N + k - A j j k X N + j X k
X3N+j +B°oij
parai= 1, 2,..., N (2.36.a)
22
As outras 3N equações que completam o sistema diferencial de primeira ordem são
dadas por:
dX;(2.36.b)
com as condições de contorno:
Xi(0)=jYi JL
f,©dH Ty-V dy (2.36-c)
• = o (2.36.d)
(2.36.e)
dX t(l) = 0 (2.36.Í)
para i = 1, 2 , . . . , N.
Obtidos assim os potenciais transformados, o campo de função-corrente pode ser
calculado a partir da fórmula de inversão (2.23), considerando também (2.13). O campo de
velocidades, conseqüentemente, será obtido a partir de (2.3.a,b).
Como todas as tarefas computacionais intermediárias são realizadas dentro dos
limites de precisão prescritos pelo usuário, resta controlar a ordem de truncamento das
expansões e, em decorrência, a ordem do sistema diferencial ordinário, para se chegar ao
controle automático do erro global. Para tanto, faz-se uso da natureza analítica da presente
técnica, realizando-se um teste de convergência interno no algoritmo em cada posição onde
se deseja obter a solução, a partir da fórmula:
s = max( x , y )
23
N+AN
i=N+l
N+AN
(2.37)
incrementando-se em intervalos, o número de termos na expansão, até que o valor de s
satisfaça a precisão requerida em todo o domínio. Os valores obtidos com ordens N
menores, ainda não completamente convergidas, oferecem excelentes aproximações
iniciais no procedimento iterativo da subrotina DBVPFD para as ordens superiores, N +
AN.
24
III - ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS
III.l - DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
Este clássico problema consiste no estudo do desenvolvimento do escoamento
laminar entre duas placas paralelas semi-infinitas, sendo que na entrada o escoamento
preenche completamente as placas paralelas e na saída (no infinito) o escoamento é
completamente desenvolvido.
Segundo o desenvolvido no Capítulo II, o problema estará completamente
formulado ao considerar-se as condições de contorno na entrada. Dois tipos de condições
de contorno são utilizadas com maior frequência na literatura, sendo que a mais usual
(Figura 3.1.a) especifica que a velocidade longitudinal é uniforme e constante, com
escoamento paralelo:
u = l , v = 0 (3.1.a,b)
Um outro tipo de condição de contorno especifica que o perfil de velocidades é
uniforme e irrotacional na entrada:
5vu = l , co = 0 | — = 0 | (3.2.a,b)
u = l
v=0
u = l
25
u = 0 v = 0
u = 0 v = 0
u = 0 v = 0
u = 0 v = 0
v = 0
v = 0
u=0 v=0
u = l
co=0
u = 0 v = 0
u = 0 v = 0 =0 v = 0
v = 0
FI GURA 3.1 - Tipos de condições de contorno na entrada do duto.
26
Ambas as condições de contorno (3.1) e (3.2) apresentam uma descontinuidade em
y = ± 1. Para evitar esta descontinuidade, um outro tipo de condição de contorno é também
usado, no qual o perfil de velocidades é idealizado como uniforme e paralelo em x = -oo
[44].
No presente trabalho se utilizará a condição (3.1) , principalmente por ter sido a
mais comumente usada em trabalhos anteriores, o que permitirá fazer comparações de
soluções via GITT com outros métodos.
Também se considerará a condição de contorno (3.2) , para compará-la com as
soluções a partir de (3.1) e estabelecer sua influência no desenvolvimento do perfil de
velocidades.
No caso das condições (3.1) , o perfil de velocidades na entrada e o coeficiente de
balanço q são dados por:
u = f 1 ( y ) = l (3.3)
q = l (3.4)
enquanto as condições de contorno na entrada, segundo (2.36.c,d), tornam-se:
X, (0 )= J ^ — - - y | d y (3.5.a)
dX;(0)- ^ = 0 ; i = l , 2 , 3 , . . . ,N (3.5.b)
No outro caso, com condições de contorno segundo as equações (3.2), o perfil de
velocidade f, (y) e o coeficiente de balanço q são os mesmos, visto que a condição de
contorno (3.5.a) se mantém inalterada. O efeito de irrotacionalidade é imposto através das
condições:
27
d Xj (0)= 0 ; i = l , 2 , 3 , . . . , N (3.6)
III.2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O problema do desenvolvimento do escoamento laminar entre placas paralelas tem
sido abordado na literatura com uma frequência razoável.
A primeira solução numérica das equações de Navier-Stokes para o escoamento
entre placas paralelas foi feita por Wang e Longwell [45], publicada no clássico artigo de
1964. Estes autores formularam o problema em termos da vorticidade e função corrente,
especificando escoamento irrotacional na entrada (casos b, c da Fig. 3.1). Consideraram
uma transformação da coordenada axial para um tratamento mais adequado da condição de
contorno no infinito. A implementação computacional foi feita através do método de
diferenças finitas, reportando-se resultados convergidos até Re = 300. Mostraram ainda
que o desenvolvimento da velocidade longitudinal era caracterizado por uma concavidade
com um mínimo local no centro do duto.
Brandt e Gillis [46] formularam o problema com base na função corrente,
resultando em um problema do tipo biharmônico-não linear. Truncaram o domínio infinito
em distâncias muito afastadas da entrada para especificar condições de escoamento
completamente desenvolvido. Na entrada consideraram velocidade uniforme e paralela
(u = 1, v = 0) e, usando o método de diferenças finitas, obtiveram resultados até Re = 1000.
McDonald, Denny e Mills [47] empregaram uma formulação de vorticidade e
função corrente e consideraram dois tipos de condição de contorno na entrada: velocidade
uniforme e paralela, equações (3.1) e irrotacional, equações (3.2). O método empregado foi
diferenças finitas, usando uma malha de 21 x 201 para resolver o caso de Re = 300000. O
método de solução foi estendido até Re = 300 para o caso de escoamento irrotacional na
entrada, mas aparentemente com pouca precisão devido à malha grosseira utilizada (21 x
41). Os resultados para Re = 300 , apresentam uma boa concordância com Brandt e Gillis
28
[46] no caso de entrada uniforme e paralela, sendo que no caso irrotacional os resultados de
Wang e Longwell [45] encontram-se ligeiramente diferentes daqueles reportados em [47].
Narang e Krishnamoorthy [48] linearizaram os termos de inércia na equação de
Navier-Stokes e assumiram velocidade não uniforme na entrada do duto, truncando o
domínio infinito. Obtiveram uma representação analítica da função corrente, e resolveram
um sistema de 150 equações para determinar os coeficientes desta solução semianalítica,
obtendo resultados aproximados desde Re = 2 até 4000.
Comini e Del Guidice [49] empregaram o método de elementos finitos para uma
formulação em variáveis primitivas, considerando velocidade uniforme na entrada do
canal, e reportando resultados para Re = 40.
III.3 - RESULTADOS
Os cálculos foram realizados no VAX8810, e um erro relativo de 10"4 foi imposto
na solução do sistema diferencial ordinário para todos os casos, bem como no controle do
erro global do campo original.
Resultados benchmark são mostrados nas Tabelas (3.1 - 3.4) para Re = 0, 40 e 300,
que são os valores mais típicos encontrados na literatura.
Em posições próximas da entrada , a convergência, para a precisão desejada, é algo
mais lenta que em regiões mais afastadas da entrada. Este é um comportamento esperado e
típico da metodologia empregada. A função \y„ (y ) , usada como filtro, é o perfil
completamente desenvolvido de \\i (x, y); então, ao avançar o escoamento ao longo do
duto, \j/ (x, y) tende para \\i^ (y) , requerendo-se um número cada vez menor de termos
na expansão.
As quatro tabelas mostram claramente que o controle de erro é estabelecido numa
determinada posição, ao se variar o número de termos da série que representa o campo.
29
Outro comportamento relevante é o fato de que ao se aumentar o número de
Reynolds, maior é o número de termos necessários na expansão para convergência numa
precisão desejada. Esta tendência é devida da representação da função-corrente numa
expansão em autofunções, que provém de um problema de autovalor puramente difusivo,
extraído do caso Re —» 0.
Assim, os operadores difusivos vão cedendo sua importância para os termos
convectivos, que têm a característica de termo fonte, ao se incrementar o número de
Reynolds.
Nas Tabelas (3.2) - (3.4) verifica-se os resultados anteriores, reportados na
literatura, encontrados a partir da aplicação dos métodos de diferenças finitas e elementos
finitos. Note-se que ordens de truncamento relativamente baixas, já fornecem resultados
com desvio pouco significativo, em relação aos resultados obtidos por técnicas puramente
numéricas.
TABELA 3.1 - Convergência da velocidade no centro do duto, u (x, 0 ), para Re —» 0.
(condições de entrada: u = 1, v = 0)
N
3
5
7
9
11
13
x = 0.2
1.031
1.058
1.065
1.066
1.067
1.066
x = 0.4
1.193
1.198
1.198
1.198
1.198
1.198
x-0.6
1.319
1.320
1.321
1.321
1.321
1.321
x = 0.8
1.405
1.405
1.406
1.406
1.406
1.406
30
TABELA 3.2 - Convergência e comparação da velocidade no centro do duto, u (x, 0),
para Re = 40 (condições de contorno na entrada: u = 1, v = 0).
N
3
5
7
9
11
13
Ref. [46]
Ref. [49]
x = 0.2
0.977
1.012
1.020
1.022
1.022
1.022
1.0223
1.0243
x = 0.4
1.075
1.083
1.083
1.083
1.083
1.083
1.0849
1.0884
x=0.6
1.162
1.165
1.166
1.166
1.166
1.166
1.1693
1.1737
x=0.8
1.246
1.250
1.251
1.251
1.251
1.251
1.2535
1.2580
TABELA 3.3 - Convergência e comparação da velocidade no centro do duto,u(x,0), para
Re = 300 (condições de contorno na entrada: u = 1, v = 0).
3
5
7
9
11
13
15
17
Ref. [47]
;i..:::;X:^0j2pp:::::;
0.918
0.974
0.998
1.006
1.008
1.007
1.007
1.007
1.008
1.054
1.072
1.071
1.071
1.071
1.071
1.071
1.071
1.075
1.273
1.279
1.280
1.280
1.280
1.280
1.280
1.280
1.283
ww-mmÊMmm1.423
1.425
1.425
1.425
1.425
1.425
1.425
1.425
1.425
31
TABELA 3.4 - Convergência e comparação da velocidade no centro do duto, u(x,0),
para Re = 300 (condições de contorno na entrada: u = 1, co= 0).
N
5
7
9
11
13
15
17
19
Ref. [45]
Ref. [47]
x = 0.20833
1.022
1.041
1.047
1.048
1.049
1.050
1.051
1.052
1.0581
1.050
x = 0.8333
1.134
1.145
1.153
1.159
1.163
1.166
1.168
1.170
1.1880
1.170
x = 3.3333
1.316
1.324
1.328
1.331
1.333
1.335
1.336
1.337
1.3572
1.34
x=7.5
1.437
1.440
1.441
1.442
1.443
1.443
1.444
1.444
1.4509
1.44
Para o estudo do efeito do truncamento do domínio infinito, construiu-se um código
auxiliar, onde impõe-se a condição de contorno da saída em diversas posições truncadas do
duto. Os resultados dos testes realizados são mostrados nas Tabelas (3.5.a,b). Nos dois
casos, é observado que a posição do truncamento afeta as zonas próximas a saída, tendo
menor influência em posições mais próximas da entrada do canal.
Uma inadequada especificação dessa posição não produz problemas de divergência
na solução das equações diferenciais, mas deteriora a solução em zonas próximas à saída.
Por isso é necessário verificar a posição de truncamento em várias posições intermediárias,
a fim de se controlar a convergência dos resultados.
A incerteza da posição adequada do contorno é eliminada ao se considerar a
transformação proposta em (2.32), onde o problema sempre é resolvido num domínio finito
de [0,1].
32
Uma outra vantagem em se usar a transformação do domínio é a redução do número
de pontos na malha computacional, necessários para resolução do sistema diferencial
ordinário.
TABELA 3.5.a,b - Velocidade na linha de centro do duto, u(x,0), para diversas
posições de truncamento do duto.
mWSÊÊÊÊÊÊmí
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.0
1.022
1.166
1.323
1.421
1.480
1.5
llÉIIlillil1.022
1.166
1.322
1.417
1.463
1.475
í:i::i:::SSí;;iiiI|;:Sí6i:y;íí:t::::ííÍ
1.022
1.166
1.322
1.417
1.463
1.475
WÊ^&ÈÊSmmM1.022
1.166
1.322
1.417
1.463
1.475
(a) Re = 40
X
0.20833
0.8333
3.3333
7.5
L=8
1.007
1.071
1.280
1.437
L-Í0
1.007
1.071
1.280
1.425
L = 15
1.007
1.071
1.280
1.425
L ==00
1.007
1.071
1.280
1.425
(b) Re = 300
As Tabelas (3.3) e (3.4) mostram o comportamento da convergência para dois
diferentes casos de condições de contorno na entrada. O caso de entrada uniforme e
paralela apresenta uma tendência de convergência mais rápida que o caso de entrada
irrotacional.
33
Nota-se, por exemplo, na posição x = 0.8333, que apenas 7 termos foram
necessários para a convergência com 3 dígitos significativos ao se considerar entrada
uniforme e paralela, enquanto 19 termos foram requeridos ao se assumir entrada
irrotacional.
Comparações entre resultados obtidos a partir das equações de camada limite
[29,50] e Navier-Stokes (para as duas opções de condições de entrada) são mostradas na
Figura (3.2). Demonstra-se que soluções das equações de Navier-Stokes, com números de
Reynolds crescentes, se aproximam das soluções das equações da camada limite. Ressalta-
se, entretanto, as diferenças neste comportamento entre as duas situações de entrada no
canal.
A solução das equações de Navier-Stokes, para o caso de entrada com escoamento
irrotacional tem notadamente melhor concordância com a solução de camada limite,
inclusive para números de Reynolds relativamente baixos. Fica portanto evidente a
necessidade de ser bem caracterizada a condição de entrada real do escoamento a ser
simulado, em particular para baixos números de Reynolds, e sua grande influência na
decisão de adotar-se o modelo simplificado de camada limite, tendo em vista os resultados
acima.
Nas Figuras (3.3) e (3.4) são mostrados resultados típicos do desenvolvimento dos
perfis das componentes de velocidade, u e v.
Nota-se da Figura (3.3), que o perfil de velocidades, para o caso de entrada
irrotacional, se desenvolve mais rapidamente do que no caso de entrada uniforme e
paralela. Da Figura (3.4), observa-se a progressiva atenuação axial e transversal da
componente transversal da velocidade, no caso de entrada uniforme e paralela, a partir da
condição v = 0 na entrada, que volta a assumir essa distribuição no escoamento
completamente desenvolvido.
34
1.50-
1.40-
1.30-
1.20 —
1.10 —
1.00-
U = 1 , W =" 0 ;t> III U * 1 , V * 0
= 300
Re =600
Ro = 1200
O Camada Limite [29],[50]
0.0000\ i rr \ \ r r i 1111 i r i i i 1111 i i i TTTTT]
0.0001 0.0010 0.0100 0.10CX=x/(Dh - Re)
FIGURA 3.2 - Velocidade u (x,0) ao longo do duto para condições de contorno
uniforme e irrotacional na entrada, comparada com resultados de camada limite
u = 1 , v = 0
U = 1 , ( 0 = 0 Re = 3001.00
0.50 —
0 . 0 0 -
-0.50 —
-1.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10X
FIGURA 3.3 - Desenvolvimento do perfil de velocidades u (x,y) ao longo do duto para
condições de contorno uniforme e irrotacional na entrada (Re = 300).
35
1.00-
0.80—I
0 .60 -
0.40 —
0 .20 -
0.00-
Re = 300
a
j .
= 7.5
= 3.33333
= 0.83333
= 208333
i n i i i i i I i i i i i i i i i i i i n i n i n n n i r t
-0.20 -0.15 -0.10v(x,y)
-0.05 0.00
FIGURA 3.4 - Desenvolvimento do perfil de velocidades v (x,y), com condição de
contorno uniforme e paralela na entrada do duto.
36
IV - ESCOAMENTO SOBRE UM DEGRAU
IV.l - DESCRIÇÃO DO PROBLEMA
Neste capítulo estuda-se o desenvolvimento do escoamento laminar entre placas
paralelas que abruptamente ampliam sua separação numa determinada posição (Figura
4.1.a). O objetivo deste clássico problema-teste em mecânica de fluidos computacional
("Backward Facing Step"), é avaliar se as soluções, provenientes do uso de um
determinado método numérico, representam as zonas de recirculação adequadamente e
estudar a influência que as condições de contorno específicas na saída do canal têm sobre
tal solução.
O problema do escoamento sobre um degrau como caso-teste tem sido simplificado
ao excluir-se do domínio de solução o duto de placas paralelas anterior ao degrau, e
assumindo-se que na entrada e na saída do segundo canal o escoamento é completamente
desenvolvido (Figura 4.1 .b).
Assim, o problema pode ser incluído dentro da classe de dutos regulares até aqui
analisados. Esta definição do problema do degrau, permite que se façam comparações de
soluções obtidas pela aplicação de diferentes métodos numéricos, bem como com
resultados experimentais. As condições de contorno na entrada podem então ser
especificadas como:
O ; - l < y < 0u(O,y) = (4.1.a, b)
[6(y-yz) ; 0 < y < l
v(0 ,y) = 0 ; - 1 < y < 1 (4.1.c)
u = 6 y - 6 y 2
u = 0v = 0
u = f,(y)v = 0
u = 0v = 0
37
(a)
u=0 v=0
u=0 v=0
(b)
u=0 v=0
u = 0 v=0
(c)
4'
u = -d-y2)
v = 0
FIGURA 4.1 - Esquema do problema de escoamento sobre um degrau ("Backward Facing
Step").
38
Considerar que na entrada do segundo canal o escoamento é completamente
desenvolvido é uma hipótese válida para comparações numéricas entre diferentes métodos.
Mas, nas situações reais, o perfil de velocidades no início do degrau não necessariamente
encontra-se completamente desenvolvido. Assim, uma alternativa viável para comparações
de resultados numéricos com medições experimentais é utilizar os valores medidos na
entrada do duto, interpolá-los adequadamente e adotar-se este perfil como condição de
contorno na simulação.
O estudo experimental que serve de referência às comparações que se seguem, é
devido a Denham e Patrick [51]. Neste caso os pontos medidos na entrada são interpolados
via cubic-splines. Considera-se também que o escoamento é paralelo, por não dispor-se de
nenhuma informação sobre a componente transversal da velocidade, v (Figura 4.1.c).
Portanto, as condições de contorno na entrada são dadas por:
f,(y)
v(0,y) = 0 ; - 1 < y < 1 (4.2.c)
onde f( (y) representa a curva que interpola os valores da componente u medidos na
entrada.
Sendo assim estabelecidas as condições na entrada do canal e sendo o escoamento
completamente desenvolvido na saída, é simples reescrever as condições de contorno
transformadas na entrada, segundo (2.14.f,g) e (2.36.c,d).
Para o perfil teórico dado pela eq. (4.1):
39
r f° rX i ( 0 ) = J Y,<KO,y)dy = J Y^CO,y)dy + J ?
- 1 - I O(4.3.a)
onde
4>(0,y) = i 3 1- - y - ~ ; 0< y < 1
4 ; 2
(4.3.b-c)
dX,(0)
dT)= 0 ; i = l,2,3,...,N (4.4)
e o coeficiente de balanço torna-se
q = (4.5)
No caso da comparação com os dados experimentais, o processo de transformação é
similar, expressando-se a integral acima nos dois subdomínios.
Assim :
= J Yi(j>(O,1
X,(0)= J Yi(j>(O,y)dy +-1 a
(4.6.a)
r (4.6.b)
- ^ - - q ; a < y < l
40
j (0)= 0 ; i = l,2,3,...,N (4.7)d 0 ; i l,2,3,...,N
onde o coeficiente q édeterminado através do balanço global de massa
Ah
IV.2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O problema de escoamento sobre um degrau tem sido tratado com razoável
frequência na literatura tanto para regime laminar como para turbulento, sendo na mecânica
dos fluidos computacional um problema-teste que também motiva o interesse da pesquisa
em termos físicos.
Denham e Patrick [51], estudaram este problema experimentalmente. Mediram a
componente longitudinal, u, em diversas posições ao longo do duto, utilizando
anemometria laser com sensibilidade direcional. Conseguiram medições para Re = 438 até
1374 (de acordo à definição de Re no presente trabalho). Não reportaram vórtices
localizados na parede superior do duto, mas encontraram recirculações transversais na
região do vórtice primário. Compararam seus resultados com avaliações numéricas,
obtendo alguma concordância, mas concluíram que o comprimento da recirculação
estimado numericamente era maior que na situação experimental.
Campion-Renson e Crochet [52] utilizaram o método de elementos finitos com uma
formulação vorticidade-função corrente. Usaram elementos retangulares quadráticos e
obtiveram resultados até Re = 50.
41
Leschziner [53], utilizou três esquemas de diferenças finitas para o cálculo de
recirculações dentro de escoamentos em estado estacionário, considerando malhas grossas
e finas. Seus resultados, comparados com os de Denham e Patrick [51], mostraram
coerência, encontrando-se discrepância similar entre resultados teóricos e experimentais.
Armaly, Durst, Pereira e Schõnung [54], fizeram um estudo experimental amplo,
para número de Reynolds entre 140 e 16000, efetuaram comparações com resultados
teóricos. Usando anemometria laser, encontraram que o escoamento sobre degrau com
razão de aspecto 0.5 possuía uma estrutura laminar bidimensional para números de
Reynolds inferiores a 800. Acima deste valor o escoamento permanecia laminar, mas com
características tridimensionais, até Re = 2400. A partir deste valor de Re, o escoamento se
encontrava numa região de transição, tornando-se totalmente turbulento-bidimensional
acima de Re = 13200. Na faixa de números de Reynolds estudada, encontraram até três
tipos de vórtice. O vórtice primário permanecia para todos os valores de Reynolds, mas
variava o comprimento da recirculação, atingindo um máximo no limite do regime laminar
para transição, e mantendo-se quase constante no regime turbulento. O vórtice secundário
aparecia quando o escoamento era tipicamente tridimensional, desaparecendo quando o
escoamento atingia o regime turbulento. Já o vórtice terciário aparecia no início da
transição, desaparecendo em Re = 4600. Seus resultados concordaram com cálculos
teóricos, obtidos a partir do código TEACH [55], até Re = 800, concluindo-se que efeitos
tridimensionais, que foram detectados experimentalmente, aumentaram as discrepâncias
entre resultados teóricos e experimentais.
Thamgam e Knight[56], usaram uma formulação das equações de Navier-Stokes em
coordenadas generalizadas e em variáveis primitivas e utilizaram o método de volumes
finitos para sua solução. Fizeram um estudo do comprimento da recirculação ao se variar
a altura do degrau, para diferentes valores do número de Reynolds, desenvolvendo uma
correlação para predizer o comprimento do vórtice primário.
42
Gartling [57], motivado pelos Minisymposium sobre "Outflow Boundary
Conditions" organizado pela University College of Swansea em 1989 e 1991, quando se
definiram problemas-teste para se avaliar diferentes condições de contorno de saída,
resolveu o problema do degrau para Re = 1600, fornecendo resultados benchmark para
futuras comparações numéricas. Utilizou o método de elementos finitos, discretizando o
domínio com diferentes números e tamanhos de elementos do tipo biquadrático. A solução
numérica foi feita usando o código NACHOS II [58], o qual é baseado numa formulação de
Galerkin. A verificação dos resultados foi feita através do programa FIDAP [59], o qual é
também baseado no método de elementos finitos. Em todos os casos foi empregada a
formulação em variáveis primitivas das equações de Navier-Stokes.
Rogers e Kwak [60], discretizaram as equações de Navier-Stokes num esquema
upwind e usaram a formulação de compressibilidade artificial. Seus resultados tiveram boa
concordância com os de Armaly et ai. [54], mas distanciaram-se para altos números de
Reynolds.
Srinivasan e Rubin [61], recentemente, usaram um procedimento multimalha
adaptativo com decomposição do domínio, mostrando seus resultados grande concordância
com Gartling [57] na componente "u" e alguma discrepância na componente "v".
Truncaram o domínio infinito em diversas posições, mostrando que as soluções tinham
concordância concluindo assim que o efeito de truncamento do canal era de pouca
relevância.
Onur e Baydar [62], fizeram um estudo teórico-experimental do escoamento sobre
um obstáculo quadrado. Para efeitos de validação da análise teórica resolveram o problema
apresentado por Armaly et ai. [54]. Usaram para tal um esquema de diferenças finitas
similar ao do código TEACH [55], considerando as recomendações de Van Doormaal e
Raithby [62] para incrementar a taxa de convergência. Assim obtiveram resultados
numéricos com melhor concordância com os experimentais do que aqueles obtidos por
Armaly et ai. [54].
43
IV.3 - RESULTADOS
Similarmente ao caso de placas paralelas, o erro relativo foi estabelecido em IO"4,
tanto na solução do sistema diferencial ordinário como no esquema de controle global do
erro no campo original. Os casos testados foram computados no VAX.8810 e no CRAY
EL - 94 da COPPE/UFRJ.
Como primeiro caso teste, foi simulado o experimento de Denham e Patrick [51].
Foram escolhidos para o presente estudo,o menor e maior número de Reynolds empregados
naquele estudo (Re = 438 e Re = 1374), em que foram estabelecidas as condições de
entrada.
O comportamento da convergência para o campo de velocidades foi estudado nas
mesmas posições ao longo do duto em que foram feitas as medições experimentais. As
tabelas (4.1) e (4.2) mostram detalhadamente os resultados para ordens crescentes de
truncamento das séries, até atingir-se a tolerância solicitada. Para Re = 438, foram
necessários N = 20 termos na expansão da função-corrente, mas apenas 8 termos são
requeridos para uma convergência em escala gráfica. Para o Re = 1374, foram necessários
mais termos na expansão (N = 22) a fim de satisfazer a tolerância, ao passo que em escala
gráfica 10 termos foram suficientes.
44
TABELA 4.1 - Convergência da componente longitudinal do campo da velocidade
(Re - 438).
::!H§!
4
8
12
16
20
-2.69E-2
-5.13E-2
-5.23E-2
-5.22E-2
-5.23E-2
:. •::x==^333|i|:
-7.76E-2
-8.88E-2
-9.30E-2
-9.27E-2
-9.28E-2
-4.64E-2
-5.09E-2
-5.01E-2
-5.00E-2
-5.00E-2
4.64E-2
5.02E-2
5.30E-2
5.29E-2
5.28E-2
;;r|Iiiiii3.3|i:i|::
0.120
0.125
0.126
0.126
0.127
4
8
12
16
20
1.188
1.221
1.204
1.202
1.203
1.220
1.228
1.221
1.220
1.220
1.226
1.248
1.247
1.246
1.246
1.250
1.226
1.225
1.225
1.225
1.201
1.181
1.180
1.180
1.180
u(x,0.S)
4
8
12
16
20
1.339
1.374
1.362
1.361
1.362
1.263
1.291
1.284
1.284
1.284
1.043
1.069
1.065
1.066
1.066
0.839
0.861
0.858
0.859
0.859
0.736
0.756
0.754
0.755
0.755
45
TABELA 4.2 - Convergência da componente longitudinal do campo da velocidade
(Re =1374).
6
10
14
18
22
6
10
14
18
22
f|ÍÍ:;p.|5»l
-0.103
-6.91 E-2
-7.57 E-2
-7.48 E-2
-7.53 E-2
1.054
1.040
1.018
1.020
1.020
llillill
-0.123
-0.111
-0.113
-0.113
-0.113
-0.144
-0.157
-0.160
-0.161
-0.161
1.046
1.030
1.019
1.020
1.019
1.051
1.032
1.031
1.031
1.031
iiiiiiiOJQOj:!
-0.154
-0.178
-0.181
-0.181
-0.181
lilMíii1.049
1.031
1.032
1.032
1.032
-0.127
-0.126
-0.121
-0.119
-0.120
1.021
1.003
1.001
1.000
1.000
u (x, 0.5)
6
10
14
18
22
1.088
1.067
1.082
1.083
1.081
1.076
1.055
1.060
1.060
1.060
1.013
0.991
0.989
0.988
0.988
0.902
0.860
0.849
0.847
0.847
0.732
0.662
0.642
0.639
0.640
46
Re = 438
(Re = 73 [51])
GITT
O Experimental [51]
90 100 110 130 140 15
1 I
130 140 15
x(mm)
FIGURA 4.2 - Desenvolvimento da componente longitudinal da velocidade ao longo
do canal (Re = 438).
Re = 1374
(Re = 229 [51])
GITT
O Experimental [51]
x(mm)
FIGURA 4.3 - Desenvolvimento da componente longitudinal da velocidade ao longo
do canal (Re = 1374).
47
i.o
Re = 438
(Re = 73 [51])
FIGURA 4.4 - Isolinhas da Função Corrente (Re = 438).
REYNOLDS= 1374
(Re = 229 [51])
FIGURA 4.5 - Isolinhas da Função Corrente (Re = 1374).
48
As figuras (4.2) e (4.3) mostram, comparativamente, o perfil da componente
longitudinal da velocidade em desenvolvimento calculado via GITT e os respectivos
valores experimentais, evidenciando-se que existe uma excelente concordância entre eles.
Para Re = 438, a concordância é mais notória que para Re = 1374, sendo este fato
explicável a partir da condição de contorno assumida na entrada do canal. Denham e
Patrick [ 51 ], mostraram que em Re = 438, a velocidade longitudinal medida no degrau
difere muito pouco do perfil parabólico (escoamento completamente desenvolvido),
demonstrando-se portanto que a componente transversal de velocidade é quase nula, fato
que não ocorre no caso de Re = 1374, onde existe uma diferença mais perceptível entre o
perfil medido e o perfil parabólico, traduzindo-se isto numa componente transversal da
velocidade ainda significativa. Devido a não possuir-se informação da componente
transversal da velocidade, foi assumido como condição de contorno apenas a componente
longitudinal, refletindo-se isto em uma ligeira discrepância entre os resultados teóricos e
experimentais nas vizinhanças da entrada do canal.
Nas figuras (4.4) e (4.5), se apresentam isolinhas da função corrente para ambos os
valores do número de Reynolds. Claramente são mostradas as zonas de recirculação que se
posicionam justamente atrás do degrau. Para o maior número de Reynolds, o comprimento
do vórtice localizado é maior, apresentando além disso o início de uma recirculação
secundária na parede superior.
O segundo passo no presente estudo foi uma covalidação com os resultados
benchmark de Gartling [ 57 ], obtidos via elementos finitos. Para tal efeito, se analisou a
convergência da componente longitudinal da velocidade em duas posições ao longo do
duto, x = 1 4 e x = 3 0 . O processo de convergência até N = 20 termos é mostrado nas
tabelas (4.3) e (4.4), obtendo-se uma excelente concordância com os resultados obtidos por
Gartling, covalidando-se assim os resultados.
49
TABELA 4.3 - Convergência da componente longitudinal do campo de velocidadeemx=14(Re=1600)
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
mmm4m0
0.187
0.386
0.591
0.787
0.955
1.076
1.134
1.123
1.045
0.912
0.743
0.559
0.379
0.219
0.089
-0.004
-0.058
-0.075
-0.057
0
0
0.235
0.437
0.621
0.797
0.954
1.068
1.120
1.103
1.020
0.882
0.705
0.516
0.343
0.200
0.091
0.014
-0.034
-0.030
-0.038
0
11111111!0
0.234
0.430
0.615
0.795
0.950
1.063
1.119
1.105
1.023
0.884
0.708
0.520
0.348
0.203
0.092
0.014
-0.032
-0.049
-0.038
0
lillliiill0
0.233
0.429
0.614
0.793
0.949
1.063
1.118
1.105
1.023
0.885
0.709
0.522
0.348
0.203
0.092
0.015
-0.032
-0.049
-0.038
0
iililiiiil0
0.233
0.428
0.614
0.793
0.949
1.063
1.118
1.105
1.024
0.885
0.709
0.522
0.349
0.204
0.093
0.015
-0.032
-0.049
-0.038
0
;!MIÍÍI!:I0
0.232
0.428
0.613
0.792
0.948
1.062
1.118
1.105
1.024
0.885
0.709
0.522
0.349
0.204
0.092
0.015
-0.032
-0.049
-0.038
0
50
TABELA 4.4 - Convergência da componente longitudinal do campo de velocidade
emx=30(Re=1600).
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
0.105
0.213
0.322
0.432
0.541
0.643
0.733
0.803
0.846
0.857
0.836
0.784
0.709
0.618
0.517
0.412
0.307
0.204
0.101
0
0
0.109
0.218
0.328
0.439
0.547
0.650
0.738
0.805
0.845
0.854
0.831
0.779
0.704
0.612
0.512
0.407
0.304
0.202
0.101
0
0
0.109
0.218
0.328
0.438
0.547
0.649
0.737
0.805
0.844
0.853
0.831
0.779
0.704
0.613
0.512
0.408
0.304
0.202
0.101
0
EÊKmm0
0.109
0.218
0.328
0.438
0.547
0.649
0.737
0.805
0.844
0.853
0.831
0.779
0.704
0.613
0.512
0.408
0.304
0.202
0.101
0
0
0.109
0.218
0.327
0.438
0.547
0.649
0.737
0.805
0.845
0.853
0.831
0.779
0.704
0.613
0.512
0.408
0.304
0.202
0.101
0
0
0.109
0.218
0.328
0.438
0.547
0.649
0.737
0.804
0.844
0.853
0.831
0.779
0.704
0.613
0.512
0.408
0.304
0.202
0.101
0
51
Um outro aspecto estudado foi o esclarecimento das discordâncias entre os
resultados obtidos pelos recentes trabalhos de Gartling [57] Srinivasan e Rubin [61], uma
vez que esses estudos concordaram muito bem para a componente longitudinal da
velocidade, não ocorrendo o mesmo para a componente transversal. Na fig. (4.6)
apresenta-se resultados comparativos para x = 1 4 e x = 30. Claramente é observada uma
excelente concordância entre Gartling e o presente trabalho, já os resultados de Srinivasan
e Rubin apresentam diferenças. Isto deve-se, possivelmente, a uma convergência
insuficiente nos resultados da referência [61], não se constituindo, portanto, em uma
solução benchmark.
As isolinhas da função corrente para este exemplo são também apresentadas na
fig. (4.8). Os vórtices primário (na parede inferior) e secundário ( na parede superior) são
plenamente descritos.
Um terceiro estudo foi feito com base no clássico trabalho de Armaly et ai. [54], no
qual se levanta a questão da validade da formulação bidimensional para valores crescentes
do número de Reynolds. As comparações feitas naquele trabalho, entre os valores medidos
experimentalmente e os simulados através do código TEACH [55] mostram excelente
concordância até Re = 400 (definição de Reynolds de [54], Re = VD/v , V = 2/3 da
velocidade máxima na entrada, D é o diâmetro hidráulico na entrada do canal, equivalente
a duas vezes sua altura, v = viscosidade cinemática), mas mostram-se marcantemente
discordantes para números de Reynolds maiores, como no caso de Re = 1000, apresentado
em [54].
Inicialmente, mostra-se a convergência da componente longitudinal da velocidade
ao longo do duto, requerendo-se 22 termos nas expansões, na pior situação, tal como
mostrado na tabela (4.5). A seguir, compara-se as velocidades assim obtidas pela GITT
com os resultados experimentais da referência [54](fig. 4.7). Uma boa concordância é
alcançada na maioria das posições do duto mostradas, discordando para um segmento em
uma região intermediária ao longo do comprimento do duto. Estas discrepâncias são
52
justificadas pela influência das paredes laterais do canal, as quais não são consideradas
numa formulação bidimensional, e que é mais significativa ao incrementar-se o número de
Reynolds. O efeito tridimensional é marcante, essencialmente nessa região intermediária
do duto, onde as camadas limites das paredes laterais interferem mais fortemente sobre o
escoamento principal que está se desenvolvendo.Sob este aspecto, os resultados obtidos
pela GITT demonstram esta coerência física, a qual não é reproduzida na simulação
numérica feita por Armaly et ai. [ 54 ].
A reprodução das intensas zonas de recirculação primária e secundária, são
apreciadas na fig. (4.9) para este exemplo.
53
TABELA 4.5 - Convergência da componente longitudinal do campo de velocidade
(Re=1942).
S l l l l
4
8
12
16
18
20
22
EÊÍMÈÊÊÊKÍ
-5.98 E-2
-0.105
-0.105
-0.106
-0.106
-0.106
-0.106
ÉIIiiilÉi
-7.28 E-2
-8.78 E-2
-8.70 E-2
-8.77 E-2
-8.79 E-2
-8.78 E-2
-8.78 E-2
liiliiili:liiilliii
0.514
0.484
0.475
0.469
0.466
0.468
0.467
Ililiili:
1.062
1.032
1.030
1.030
1.030
1.030
1.030
IlIIIilI
0.856
0.865
0.862
0.863
0.863
0.863
0.863
liiiiii
0.557
0.638
0.639
0.639
0.639
0.639
0.639
u (x, 0)
4
8
12
16
18
20
22
4
8
12
16
18
20
22
0.444
0.494
0.505
0.505
0.504
0.504
0.504
1.146
1.428
1.429
1.430
1.431
1.431
1.431
0.675
0.757
0.757
0.755
0.754
0.755
0.755
1.320
1.280
1.280
1.282
1.282
1.282
1.282
1.219
1.214
1.217
1.218
1.219
1.218
1.219
!§!l!!l!lf0.376
0.404
0.412
0.419
0.423
0.421
0.421
0.836
0.822
0.824
0.824
0.825
0.824
0.825: , ; • : • • • : . • • : • : • : • ; • : • : - : • ; • : • : • : • : • > : • : • : • ; • : • : • ; • : • : • :
•:-.;;: : •::::-:-:-.;-:-;:x-x-:-:"xo:-:^x':X-
2.88 E-2
5.02 E-2
5.17 E-2
5.12 E-2
5.13 E-2
5.13 E-2
5.13 E-2
0.953
0.937
0.938
0.937
0.937
0.937
0.937
lillllllllll
0.182
0.176
0.177
0.176
0.176
0.176
0.176
1.001
0.980
0.980
0.980
0.980
0.980
0.980
0.439
0.368
0.368
0.367
0.367
0.367
0.367
54
1.00
0.50 —
y 0.00 —
-0.50 —
Re = 1600
GirrO BementosRnitos[57]
0 Elementos Rnitos[ 57]
rj Diferenças Rnitas [ 61 ]
" ' I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I T I I I I I I I I I
-0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.0v(x,y)
FIGURA 4.6 - Comparação dos Perfis da componente transversal da velocidade ao
longo do duto (x =14 e x = 30 ; Re = 1600).
Re «1942
( Re=1000 [16])
GITT
O Experimental (16]
U (cm/s)
180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180 180
0.00 2.55 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 15.53 16.12 20.00 22.45 23.88 30.20 49.59x
FIGURA 4.7 - Desenvolvimento da velocidade longitudinal ao longo do duto(Re =1942).
55
•t.o
Re= 1600
(Re = 800 [54])
20 25
FIGURA 4.8 - Isolinhas da Função Corrente (Re = 1600).
4.0
3.0
2.0
1-0,
Re= 1942
(Re = 294 [55])
FIGURA 4.9 - Isolinhas da Função Corrente (Re = 1942).
56
V - ESCOAMENTO EM CANAIS DE GEOMETRIA ARBITRÁRIA
V.l - DEFINIÇÃO DO PROBLHMA
Considera-se agora um duto cujas paredes são definidas por uma geometria
arbitrária, identificada pelas funções que descrevem o contorno, y{ (x) e y2 (x), dentro do
qual escoa um fluido newtoniano em regime laminar permanente. Para maior generalidade
da formulação do problema, assume-se que não existe simetria com relação à linha de
centro do duto como descrito na figura 5.1.
O escoamento é governado pelas equações de continuidade e de Navier-Stokes, que
em sua forma adimensional e em termos de função-corrente somente, são dadas por:
onde o número de Reynolds ( Re ) é definido a partir da semidistância entre as paredes e a
velocidade média, ambas na entrada do duto. V4 é o operador biharmônico definido
anteriormente na equação (2.5).
As hipóteses consideradas são:
- escoamento bidimensional
- escoamento incompressível
- propriedades do fluido constantes
- impermeabilidade e não deslizamento das paredes do duto
- fluido newtoniano
As condições de contorno nas paredes do duto são especificadas ao considerar-se
impermeabilidade e não deslizamento, assim:
58
duto o campo de velocidades é dado pelas componentes nx (y) e Vj (y), que em termos de
função corrente são dados por:
— ; - v , ( y ) = -£- (5.2.a,b)
Integrando-se ambas as equações:
v | / ( O , y ) = k 1 + j u , ( y ) d y ( 5 . 3 . c )
- J v lv | / ( 0 , y ) = k 2 ( y ) - J V l ( y ) d x (5.3.d)o
Dado que estamos interessados em determinar v|/ (0,y), a integral na equação (5.3.d)
é nula e a relação resultante apenas nos informa que a função corrente na entrada depende
de "y". Por outro lado, a equação (5.3.c) descreve o valor da função corrente na entrada do
duto em função de Uj (y).
A partir de (5.3.c) é possível determinar \\i (0,y2):
+ J u , ( y ) d y (5.4)
A integral em (5.4) define a vazão por unidade de comprimento (Q), na entrada do
duto, ou seja:
v}/(0,y2) = k 2 = Q + k, (5.5)
59
V.2 - SOLUÇÃO VIA GITT
Para facilitar a solução do sistema (5.1) fazendo-se uso de transformações integrais,
é conveniente definir uma função "filtro" que permita homogeneizar as condições de
contorno na direção "y". Isto permitirá posteriormente escolher o problema de autovalor
em tal direção. Assim:
\)/(x,y) = \|/ (x,y) + F(x,y) (5.6)
onde y* (x,y) é o potencial desconhecido a ser determinado, e F (x, y) é o filtro, o qual
tem os mesmos valores que i|/(x,y) nas paredes do duto. A função F (x, y) não é
necessariamente uma solução particular de y (x,y).
Logo, o sistema (5.1) pode ser reescrito, considerando-se (5.2), como:
õy õ y õy õ y õy õ y õy õ y
õy Õx3 + õy Õxõy2~ õx Õx2õy~ õx Õy3
a. * ^3-n a. * ÍS3T-' a. * a3 T̂ 5. • 3 3 rõy o r õy õ r õy o r õy o r1 1
õy õx3 õy õxõy2 õx õx2õy õx õy3
'Yn ^3 * a-n o3 * OT^ a3 * ai^ -̂ 3 *
õr õ y or o 11/ ar õ y õr õ yõy õx3 õy õxõy õx ôx2õy õx õy
õy õx3 õy Õxõy2 õx Õx2 õy õx õy3
Õ4F Ô4F2
1 í õ\ Õy Õy ÕF
R e j õx4 +2Õx2ôy2+ Õy4 + õx4+2ôx2õy2 + Õy4}
(5.7.a)
A filtragem das condições de contorno na direção y resulta em:
60
V|/*(x,-y,) = k 1 - F ( x , - y 1 ) (5.7.b)
õy * (x-yl )= 0 (5.7.c)
vj ;*(x,y 2) = k 2 - F ( x , y 2 ) (5.7.d)
= 0 (5.7.e)
A filtragem das condições de contorno na entrada e saída do duto serão analisadas
no capítulo seguinte para um problema específico.
Nota-se que os termos convectivos conservam um núcleo não linear, com a mesma
estrutura da equação original, além de alguns termos com uma estrutura linear devido ao
"filtro". Os termos difusivos resultam em estruturas semelhantes tanto para o filtro F(x,y),
como para a nova variável incógnita \|/ * ( x, y ) .
V.3 - O FILTRO F (x. vi
O filtro F (x, y) deve ser tal que reproduza o valor da função corrente nas paredes
do duto, ao longo do seu comprimento. Esta função pode ser construída ao se considerar
que em cada posição ao longo do duto se tem um perfil de velocidades desenvolvido, o
qual vai se adaptando à irregularidade do canal.
61
FIGURA 5.2 - Geometria que identifica o filtro F (x, y)
A relação entre o sistema de coordenadas original (x, y) e o sistema transformado
(T|, X) é dado, por:
(5.8,9)
onde y3 representa a defasagem entre eixos "y" e "T|" . Assim, em analogia à função
corrente do escoamento desenvolvido, tal como mostrado no anexo A, é possível descrever
a função F como:
F(X,T1) = -ri I 1 TI
(5.10)
ou em termos das coordenadas originais:
62
y-y3 (5.11)
onde Q é a vazão entre A - A'.
A dependência em x do filtro F (x, y) recai sobre y3 (x) e y0 (x) os quais definem as
supostas "placas paralelas" que passam pelas paredes do duto.
Uma verificação do valor de F (x, y) nas paredes fornece:
F ( x , y 2 ) = (5.12.a)
F ( x , - y , ) = (5.12.b)
Fica claro que y pertence ao intervalo [ - y i ( x ) , y 2 ( x ) ] , e r| a
[ - y o ( x ) , y o ( x ) ] , mas é útil definir uma nova variável, £, , a qual permitirá determinar
mais facilmente os coeficientes que aparecem da transformação integral, tal como mostrado
posteriormente.
Assim, define-se:
ri y - y 3 (5.13)
onde o domínio de % e [ —1, 1 ] .
O filtro F (x, y) pode ser emtão representado como:
3Q
4(5.14)
63
V.4 -PROBLEMA PR AUTOVALOR
Dadas as condições homogêneas (5.7.b-c) escolhe-se o problema auxiliar na direção
y. Deve ficar claro que a escolha do problema de autovalor na direção x não é apropriado
pela presença de condições de contorno não homogêneas.
Analogamente ao caso de dutos regulares o problema auxiliar de 4â ordem é dado
por:
, -yi(x)<y<y2(x) (5.15.a)n Í Y , ( x , y
com condições de contorno:
on= 0 (5.15.b,c)
Y i ( x , y 2 ) = 0 ; ^ = 0 (5.15.d,e)on
Considerando a relação (5.13), o sistema (5.15) pode ser reescrito em termos de t,
como:
*4 " ' - (5.16.a)
dY-, (-1)' ^ = 0 (5.16.b,c)
(5.16.d,e)
64
A solução de (5.16) é dada, similarmente a (2.15.a), por:
cosh(ni
cos()j.* ) cosh(fi*
sinh(^j Ç)
sin(u.-) sinh((x-)
i = 1,3,5,.
i = 2,4,6,.
(5.17.a,b)
onde o autovalor |_tj , é encontrado a partir de:
Nas coordenadas originais:
(5.18)
Y i = i
cos[Hj(y-y3 j (y-y3
sinh[Hj ( y - y
i = 1,3,5,.
i = 2,4,6,.
(5.19.a,b)
A norma é calculada a partir de sua definição:
Ns = 1 Yf dy i = 1,2,3,.. (5.20)
Fazendo-se a transformação de variável indicada por (5.13), obtém-se:
i = y 0(5.21)
65
Logo:
N j ( x ) = 2 y o ( x ) (5.22)
Fica também evidente que a norma é independente da ordem i, de forma que daqui
por diante denominaremos a norma apenas por N.
V.4.1 - PROPRIEDADE DE ORTOGONALIDADE
Para determinar a propriedade ortogonalidade de que gozam as autofunções
operamos com J Yj dy ambos os membros da equação (5.15.a):- y i
f yi ô4Y- fJ a 4 J •> ~ i j Y.Yjdy (5.23)
-y,
O lado esquerdo de (5.23) pode ser integrado por partes e, utilizando as condições
de contorno (5.15.b-e), obtém-se:
3 4 Y : f y i d 3 Y . ô Y i Çy> Õ2Y-õ2Y-Yd i i^ i7 d - L ^wL ̂ w (5-24)
Logo:
( 5 - 2 5 )
Intercambiando os sub-índices, i -> j , j -> i :
66
y2 d4 Y : f " f »» a 2 Y-f' Y < d y = JFl
Subtraindo entre si as equações (5.25) e (5.26):
- . J ) íV2
í
ou seja:
~yi 2 y 0 , para i = j
Y,Y j dy = 0 (5.27)
Dado que \x f * jLt j , a integral é nula:
Y iY jdy = 0 ,parai?ij (5.28)
J Y iY jdy = i (5.29.a,b)
V.5 - PAR TRANSFORMADA-INVERSA
Representando a função desconhecida \\i* (x,y) como uma expansão em torno da
autorunção Y^
(5.30)
Operando-se ambos os lados da equação (5.30) com o operador J Yj dy:
67
Çyi Çyi
J Y j M / * d y = J Yj
(
i=i
dy (5.31)
Reordenando o segundo membro da equação (5.31), dado que a integração é em "y"
e o domínio de ijT; é em "x" :
fy2 « j-
J YjM/*dy = 2 J V j J Yi Yj dy (5.32)i=l - y i
Fica evidente reconhecer, pela propriedade de ortogonalidade, que o somatório do
lado direito da equação (5.32) tem apenas um único termo não nulo, para o caso i = j .
Obtém-se desta forma a regra de transformação:
1 fyi= ^7T J Y«<x'y> ̂ W
^\X) -v,(5.33)
V.6 - TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL DO PROBLEMA
Tendo estabelecido o par de transformação, transformada e inversa, equações (5.30,
5.33), e havendo sido definidas a autofunção e as propriedades de ortogonalidade do
problema de autovalor escolhido, podemos agora proseguir com a transformação integral
do problema diferencial original. Para tal, opera-se com JYj dy ambos os lados da- yi
equação (5.7). Mostramos a seguir a transformação de cada um dos termos de equação
(5.7), a fim de evidenciar a aplicação da GITT. Em todos os casos, v|/* (x ,y ) foi
representada pela expansão (5.30); as suas derivadas, tanto em x como em y, encontram-se
no apêndice B.
68
fJ
y2 * J r—dy = I1 v
Y,- y i
a2Y k
j=l k=l
j õ 3Yk
1 dydy+
__, f3W :\lf k I
J w
" S Y J-dy +
fT J T K J dy
(5.34.a)
J'- y i
^ a 3 Yk _ a2 Yk _ ,dy =
j=l k=l - y i
1 ay axay:- - P2v
+ VjVk J Y,- y iay ay: -dy
(5.34.b)
69
í r^=í Y=k _
õ2Yk _ ,
*y = 2.2.j=i k=i
- - f y2^7"
1
k
õx2õy Y
VjVk J Y:1 ax Õxôy-dy + - - • f
VjM>k J- y i
i dx
2xj7 jVk J52Yk
Y.Y.-r^-dy- y i
+ ¥jVk J YiYi-rf-dy- y i
"jVk" J• yi
(5.34.C)
í Y:1 ax ay3- fd y = l Y,L k=l
dy =
+VjVk J Y-Y- ^ d y
(5.34.d)
í dy 5 J F1 3y õx 3 -í Y: dy =
-;íy2
ôy
(5.34.e)
70
f -Ay2
Y,t? ay YJ dxõy
dy =
,-i Y;dxõy
•dy
(5.34.Í)
Í- y i 5x
= jy2
- y ij ^ j \õK2õy
U í dY=Y; -dy
- y i
53FYi YJ TTT-dy
yi õx õy(5.34.g)
J Y,6 3 F
dy =
,-A + W J(5.34.h)
71
Ô2Y;j _ _ .
3VJT;32Yj aF
Y, -r^—dy-- y i - yi
1 Ôx
*•; í " V, Yj f dy
(5.3.Í)
í-yi
^"i Y : - — - ^ ^ d y + vjT:" Y:J J_ ' Sxôy dy J J_
(5.34.J)
ôy õxdy
(5.34.k)
í * °o
5y: J JY: (5.34.1)
72
FC, = íY,ÕF Ô 3 F ÕF 5 3 F
i
ox3 3y ôxdy2 dx õx28ydy (5.34.m)
í»
- y i
a4Yj r;J y2
- y i - y i OX'dy
ax-- f
J wY i17d y
Observa-se que nesta última expressão utilizou-se a relação:
(5.34.n)
í- y i
,-•• Í- y i
(5.34.O)
í 1 a,. 4 •íd y = J Ys- y i
dy=nf Nil/, (5.34.p)
FD > J Ys
a4F a 4 F2 a., 2. a x ax ay
dy (5.34.q)
a4F
~õy~'= 0 (5.35)
Fatorando os termos comuns se chega ao seguinte sistema diferencial ordinário:
73
s +\|/jV|/kF10 i jk
j=l k=l
ijk +MTjVk'F12ijk j + X i ^ J 1 7 0 ' ] +vl rj'F1iJ +HTj"F2iJ +vjrj'"F3ij
j"E2 i j +vjTj"E3fl ] f »if NijT, +Nijriiv +FD;
(5.36)
Deixando em evidência o diferencial de 4a ordem e reordenando convenientemente,
tem-se:
j=i k=i
ijk +\jrjVkFllijk +^j NHlii +
(5.37)
onde os coeficientes, que dependem de cada posição em x, são calculados a partir de:
74
F00 : ;
f fJ
» j a 3 Y kd y -
-í- y i - y i
1 ÕX
FO1f
ük = 3 J- y i
• d y -
(5.38.a)
Í2 Y:- y i
1 ox 5xõy-dy
(5.38.b)
F02 i ; t =5 Y J
- y i
j ox ay(5.38.c)
FO3 Ük - J- y i
(5.38.d)
=̂-1 \ V1 53Yk
F10i!lr = - I Y : Y ; — r ^ d y - J " "dy-J Y^i^^dyJ(5.38.e)
F l lrvi Õ 2 Y | . y 2
dy~ J Y.Y ^^ (5.38.Í)
F12 ijk - - JaYk (5.38.g)
75
F0 ; i = íõxõy :
-dy-
fJ Y;
Í Y:-y, ' ax 3
r» a3Yj OF:dy+J Y i T — r —dy-
Í- y i õy
(5.38.h)
Fl 0 =~ J Í 53F
5y;Y i Y j — d y
Í
2 Y;
Í- y i
- y iôxõy dx.
dy
(5.38.Í)
-dy (5.38.J)
F3,,=" J e y
(5.38.k)
Í ax' - y i
(5.38.1)
76
, - íE l i j = 4 j Y i — ^ d y + 4 j Y i - — T d y (5.38.m)ox _y, õxõy
Ç ôY-. Çy> ÕY:
ij=6j Y d 2j YÇ ô2Y-. Ç
E 2 i j = 6 j Y i T T - d y + 2 j Yi — - dy (5.38Jd 5dx
E 3 i i = 4 j Y i — - d y (5.38.0)- y , OX
FCD i = Re (FC i ) - FD i (5.38.p)
HOü=Re(FOu)-EOu (5.38.q)
Hlu = R e ( n u ) - E l u (5.38.r)
H2 i j =Re(F2 i j ) -E2 i j (5.38.s)
-ES,, (5.38.t)
O passo seguinte na aplicação da GITT, é a avaliação dos coeficientes, oriundos da
transformação integral em y.
Uma análise do sistema diferencial ordinário resultante mostra que em boa parte o
custo computacional de obter-se resultados em problemas de domínio irregular via GITT
recai sobre o cálculo dos coeficientes.
Avaliar diretamente os coeficientes em forma numérica traz a desvantagem que eles
podem somente ser calculados dentro do processo de solução do sistema diferencial
ordinário e não previamente. Isto porque os coeficientes têm uma dependência da posição
"x", o que traria um alto custo computacional e como conseqüência uma baixa performance
do código computacional como um todo.
77
Uma outra estratégia para a obtenção dos coeficientes foi estudada, a qual permitiu
uma abordagem analítica.
Em primeiro lugar uma transformação de domínio, em y, foi realizada. Valendo-se
da relação (5.13), foi possível transformar os limites de integração de [—Vj , y2 ] para [—1,
1] e, através da regra da cadeia, foi possível estabelecer as derivadas, em termos de 4 , que
aparecem nos coeficientes.
Em segundo lugar, uma análise da nova estrutura dos coeficientes permitiu
descobrir que eles eram formados por uma combinação de integrais, as quais denominamos
de "núcleos", que apareciam repetidamente nos coeficientes. O interessante destas
integrais núcleo é que elas são independentes da posição "x", permitindo portanto, calcular
os coeficientes em separado, uma única vez, e armazená-los num arquivo. Portanto, o
custo de calcular os coeficientes numa determinada posição foi reduzido substancialmente,
ao ponto de serem necessárias apenas algumas operações aritméticas para a sua obtenção.
Para esta abordagem analítica no cálculo dos coeficientes, se fez uso do software
MATHEMATICA [ 63 ], a fim de facilitar toda a manipulação algébrica necessária.
Por sua vez, para uma simplificação no processo de aplicação da regra da cadeia se
fez uso das relações que são mostradas no apêndice C. No mesmo anexo mostra-se
também a estrutura dos coeficientes assim encontrada.
V.7 - ALGORITMO COMPUTACIONAL
Tal como visto no caso de dutos regulares, é necessário truncar as séries infinitas
em um número de termos suficientemente grande que garanta o erro relativo prefixado para
obtenção dos potenciais originais.
Portanto, o sistema diferencial ordinário pode ser reescrito como:
78
Revví dyk
LL\¥00 +F01 i j k ijT
¥kiF03,ik V- 1 ? - + F101Jk
(5.39)
onde Nt é a ordem de truncamento das séries infinitas.
É também necessário transformar o domínio infinito para um outro finito, usando a
mesma relação que para o caso de dutos regulares, equação (2.32).
A natureza híbrida da GITT é evidenciada ao resolver-se numericamente o sistema
diferencial ordinário não-linear. Este sistema diferencial ordinário possui um
comportamento stiff acentuado, o qual se intensifica ao aumentar-se o número de Reynolds.
O uso de subrotinas matemáticas encontradas em softwares bem estabelecidos, que
possuem controle automático do erro global na solução de um problema diferencial
ordinário é muito conveniente. Este fato, acompanhado da característica do controle do
erro do potencial original pela ordem de truncamento da expansão, fazem da presente
metodologia uma ferramenta muito forte na obtenção de resultados acurados.
Assim, foi selecionada a subrotina DBVPFD do IMSL [ 42 ] para obtenção dos
resultados numéricos, como na seção anterior para dutos regulares.
79
A implementação do programa para uso dessa subrotina torna necessário
transformar o sistema diferencial ordinário de 4â ordem em um outro de lâ ordem. Para
isto é necessário definir-se:
X; =yi (5.40.a)
j dvjj:
~ " Xi+Nt" "17 (5-40-b)
(5-40-d)
dXi+3Nt _ d V idx dx4 (5.40.e)
Devido à transformação ao domínio finito de [0, 1] é conveniente definir-se o
seguinte operador:
dx dr| dx
- ^ = c[l--n] (5.42)dx
Portanto o sistema pode ser reescrito como:
!ÍÍ1L (5.43 .a)dr| (dri/dx)
80
dXi+Nt Xi+2Nt
~A = (A IA ^ (5-43-b)
dr| (dri/dx)
(dT!/dx)
Nt
+X jXk+NtF01 i j k +F02ijk XjXk+2Nt
k=l
F03yk XjX k + 3 N t +F10jjk Xj+ N tXk +F l ly k Xj+ N tXk + N t
ijk Xj+NtXk+2Nt
Nt
1 F C D i a 1 /H25j Xj+2Nt +H3ÍJ Xj+3Nt ] + - — — vt V, /(dTi/dx)N
(5.43.d)
81
VI - ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO COM
EXPANSÃO GRADUAL
Uma grande variedade de problemas envolvendo dutos irregulares são encontrados
na literatura, os quais têm sido resolvidos por métodos numéricos tradicionais, como
volumes finitos, elementos finitos ou diferenças finitas.
Um caminho para comparar performances de diferentes metodologias de solução na
abordagem de problemas de dutos de geometria complexa foi estabelecido pelo V
Congresso da International Association for Hydraulic Research (IAHR), no qual foi
especificado como caso teste um problema recomendado por Roache [64]. O congresso
foi realizado em Roma em 1982, com participação de 15 grupos, os quais forneceram seus
resultados para tal problema proposto. A compilação dos trabalhos foi feita por Napolitano
e Orlandi [ 65 ], fazendo uma extensa comparação entre eles.
Devido à ampla quantidade de resultados, o problema proposto por Roache foi
também escolhido no presente trabalho como caso teste.
VI. 1 - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
Trata-se de um duto o que se expande gradualmente e mantém simetria ao longo do
eixo x. A geometria das paredes é definida analiticamente, tal como se mostra na fig. 6.1.
Como se observa na fig. 6.1, a geometria do duto é dependente do número de
Reynolds, definido a partir da velocidade média e metade da distância entre as paredes na
entrada do duto.
É evidente que quando o número de Reynolds aumenta o canal fica mais comprido
e estreito. Roache [ 64 ], mostra que para grandes valores do número de Reynolds o
escoamento exibe uma forma similar. Isto deve-se ao fato de que para altos Reynolds , o
duto tende à uma situação de placas paralelas.
82
A condição de contorno, na entrada do duto, é de velocidade uniforme e paralela:
ou em termos de função corrente:
Considera-se que o duto tem um comprimento finito, sendo truncado na posição:
Rexout =
As condições de contorno na saída do duto não foram especificadas, deixando-as
em aberto para a escolha de cada participante do congresso na solução do problema teste.
No presente estudo, o problema teste será resolvido considerando-se tanto o duto
trancado como duto infinito, com as condições de contorno adequadas em cada caso.
No caso de duto finito, as condições de contorno na saída são especificadas
similarmente às usadas por Magi & Napolitano (diferenças finitas), e Quartapelle &
Napolitano (elementos finitos) [ 65 ].
= 0 ; v (x o u t , y ) = 0 (6.4.a,b)
Isto permitirá comparar resultados obtidos por outras metodologias, as quais
fizeram uso das mesmas condições de contorno.
83
u=0 v=0
3̂
2v = 0
(0,1)
(0,-1)
u = 0 v=0
tanh(2)-tanh 2 -30x
V Re
FIGURA. 6.1 - Geometria do Problema teste: Canal com expansão gradual
Para o caso de duto infinito, as condições de contorno especificadas são as do
escoamento completamente desenvolvido, uma vez que a geometria tende para um canal de
placas paralelas para cada caso:
J3_2a - f v(°o,y) = (6.5.a,b)
Assumindo que o duto é infinito, as condições de contorno na saída ficam melhor
definidas, removendo assim a incerteza da posição do truncamento do duto e a correta
especifição das condições de contorno.
Na figura (6.2.a, b) são mostradas as oito condições de contorno para os dois casos
de estudo.
84
^ = 0
t y
&=°ãc = o
(a)
xout = Re/3
5vi/- . 0
(oo, a)
3 y
(oo, -a)
(b)
FIGURA 6.2.a, b - Condições de contorno no duto com expansão gradual.
85
VI.2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Os resultados do problema teste, apresentados no V Congresso do IAHR, foram
resumidos e comparados por Napolitano e Orlandi [ 65 ]. Alguns dos trabalhos desse
encontro podem ser citados:
K.A. Cliffe et ai. [ 66 ] usaram o método de elementos finitos para resolver as
equações de Navier-Stokes, as quais foram formuladas em variáveis primitivas. Utilizaram
elementos isoparamétricos com nove nós e interpolação biquadrática. Os resultados
obtidos por este grupo foram considerados como benchmark.
V. Magi e M. Napolitano [ 67, 68 ] usaram uma formulação transiente de
vorticidade - função corrente. As equações foram discretizadas pelo método de diferenças
finitas, utilizando um esquema ADI.
Quartapelle e M. Napolitano [ 69 ] usaram uma formulação transiente de
vorticidade - função corrente, mas empregaram o método de elementos finitos para a
discretização, usando elementos quadriláteros do tipo bilinear.
A. Wada e K. Ada Chi [ 65 ] apresentaram duas soluções do problema. Empregaram
um método que envolve transformação de coordenadas usando funções analíticas
complexas para a transformação de variáveis e diferenças finitas para sua solução
numérica.
W. Schonauer [ 65 ] usou o método de diferenças finitas com malha autoadaptativa,
para uma formulação de velocidade - vorticidade. Seus resultados mostraram boa
concordância com os de Cliffe et ai. [ 66 ].
I. Demirovic e A. D. Gosman [ 65 ] usaram uma formulação em variáveis primitivas
das equações de Navier-Stokes e o método de diferenças finitas para sua solução. Foi
empregado um ADI iterativo para resolver as equações simultâneas.
86
Existem na literatura outras referências que utilizaram este problema para validação
de códigos gerados para solução de problemas em dutos de domínio arbitrário [ 70 - 74 ]
que mostram similar acuracia nos resultados, com relação aos apresentados no congresso
em questão [ 65 ].
VI.3 - SOLUÇÃO DO PROBLEMA
A solução do problema de escoamento em desenvolvimento no interior de dutos
irregulares foi apresentada no capítulo anterior numa forma geral, deixando-se em aberto a
especificação das condições de contorno na entrada e saída do duto. Portanto, a seguir
mostramos apenas a transformação integral das condições de contorno para os dois casos
analisados.
VI.3.1 - DUTO TRUNCADO
As condições de contorno filtradas são dadas por:
- na entrada (0, y)
v|/* = i|/ — F (6.6.a)
(6.6.b)ôx õx õx
- na saída (xout, y)
dij/ õ\\f õF
õx õx õx
5x3 + õxõy2 ôx3 + õxõy2 õx3 õxõy2
(6.6.c)
87
Operando com JY; dy e ordenando convenientemente:- yi
1 Ç y i
= - J Yi[M/(0,y)-F(0,y)]dy (6.7.a)
1 fy i ra|/(O,y) SF(0,y)l f̂ _ f
Neste ponto, é necessário advertir que na entrada do duto existe uma singularidade,
uma vez que a geometria que define as paredes do duto não tem gradiente nulo,
questionando assim, a validade de ter-se um perfil completamente desenvolvido.
Portanto, admitir escoamento completamente desenvolvido justifica assumir que o
filtro não tem dependência em x, nessa posição, resultando então:
Nota-se que o filtro é exatamente igual ao valor da função corrente em x=0. Desta
forma, as condições de contorno ficam reduzidas a:
ijT, (0) = 0 (6.9.a)
= 0 (6.9.b)dx
A transformação das outras duas condições de contorno fornece as seguintes
relações acopladas:
dx
dx
88
1 fyz OF v ^ _• = — — I Y: — d y - / 11/
ÕY;Y,
j=i1 dx
• = — Y:
fa3õ3F a 3 F V
õxdydy
ax3 axay•
j \ A OUt s I
dx
dx- J- y i
- y i aydy +
(6.10.a)
(6.10-b)
VI.3.2 - PUTO INFINITO
Como no item anterior, o primeiro passo é especificar a variável filtrada:
— na entrada (0, y):
\|/ = \\i - F
d\|/ ÕF
dx 3x ôx
(6.11.a)
(6.1 l.b)
- na saída (co, y):
\\f* - \\i - F (6.12.a)
89
ôy õv/ SF~ã ~~x~~!T~ (6.12.b)õx ôx ôx v '
Tanto na entrada como na saída do duto, o filtro F adota os mesmos valores que a
função corrente em cada uma dessas posições; realizando a transformação integral resulta:
(6.13.a,b)
Y ^ =0 (6.14.a,b)
VI.4 - RESULTADOS
Foi gerado um código em FORTRAN - 77, o qual foi executado no CRAY EL - 94
do Núcleo de Atendimento de Computação de Alto desempenho (NACAD) da
COPPE/UFRJ.
As tarefas numéricas envolvidas no caso de duto irregular, ficaram restritas à
solução do sistema diferencial ordinário não linear de quarta ordem, que surge como
conseqüência da transformação integral do problema. Para tal fim, foi usada a subroutina
DBVPFD do IMSL [ 42 ], na qual um erro relativo global de IO"4 foi sempre solicitado.
Alguns coeficientes núcleo foram calculados numericamente com as subrotinas DQDAG e
DQDAGS, ambas do IMSL. Os outros coeficientes foram calculados analiticamente e em
alguns casos o desenvolvimento analítico foi auxiliado pelo uso do software
MATHEMATICA [ 63 ].
Em primeiro lugar, foi estabelecido o processo de convergência da função corrente,
nos dois tipos de dutos considerados e para os dois valores de número de Reynolds
90
analisados (Re = 10, 100). Os resultados para ambos os casos, ao longo da linha y = 0.5,
são mostrados nas tabelas 6.1 e 6.2, respectivamente.
Foram requeridos somente Nt = 6 termos em todos os casos estudados, para
satisfazer à tolerância solicitada no campo original. Os cálculos foram conduzidos até Nt =
10, para ilustrar como o potencial original se mantém inalterável, verificando-se portanto a
convergência na precisão requerida.
Quando o IAHR definiu o problema teste, tratou que ele fosse de tal forma que
qualquer tratamento numérico dos termos convectivos fosse de segunda importância, dado
que problemas com dominância dos termos convectivos eram extremamente sensíveis ao
processo de discretização [ 75 ] . Este fato explica o baixo número de termos requerido
para a convergência na presente solução, uma vez que a expansão empregada é fortemente
baseada nos termos difusivos.
O efeito do truncamento do duto é também registrado nas tabelas 6.1 e 6.2. Em
posições próximas da entrada, a condição de contorno na saída do duto tem pouca
influência, pois o escoamento, tanto no duto infinito como finito, comporta-se
identicamente, já que a condição de contorno na entrada é a mesma. Para posições um
pouco mais distantes da entrada do duto, os valores da função corrente de ambos os casos
estudados ( duto truncado e infinito ) ficam ligeiramente diferentes, intensificando-se a
diferença para distâncias maiores como conseqüência do truncamento. No caso de Re =
10, a diferença de valores da função corrente, entre o duto truncado e o infinito, é de 1.4%;
já para Re = 100 a diferença se reduz a 0.1%. A melhor concordância para este segundo
caso deve-se ao fato de se ter um canal mais longo e daí uma expansão mais suave.
Nas figuras 6.3 e 6.4, apresenta-se as isolinhas da função corrente. Se observa o
surgimento de vórtices localizados, os quais ficam mais marcantes para o menor valor de
Re.
91
TABELA 6.1 -Convergência da Função Corrente \\> ( x / x out , 0.5)
( R e - 1 0 )
:'/ OUt :
•:'._. ;.;.;;.;.; .; ;.;.;.;..-.;. .-. . i
0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.6875
1.6762
1.6617
1.6446
1.6257
1.6063
1.5869
1.5680
1.5500
1.5330
1.5171
1.5023
1.4886
1.4760
1.4645
1.4539
1.4444
1.4357
1.4280
1.4210
1.4148
Düto Infiiiitb
1.6875
1.6761
1.6618
1.6447
1.6259
1.6063
1.5869
1.5680
1.5500
1.5330
1.5171
1.5023
1.4886
1.4760
1.4645
1.4540
1.4444
1.4358
1.4280
1.4210
1.4148
Éiill
1.6875
1.6762
1.6617
1.6447
1.6259
1.6064
1.5869
1.5680
1.5500
1.5330
1.5171
1.5023
1.4886
1.4760
1.4645
1.4540
1.4444
1.4358
1.4280
1.4210
1.4158
1.6875
1.6761
1.6617
1.6447
1.6259
1.6064
1.5869
1.5680
1.5500
1.5330
1.5171
1.5023
1.4886
1.4761
1.4645
1.4540
1.4444
1.4358
1.4280
1.4210
1.4158
i l l l l1.6875
1.6762
1.6617
1.6446
1.6257
1.6064
1.5870
1.5682
1.5504
1.5336
1.5179
1.5034
1.4902
1.4782
1.4676
1.4582
1.4502
1.4437
1.4388
1.4358
1.4347
um1.6875
1.6762
1.6618
1.6447
1.6260
1.6065
1.5871
1.5683
1.5504
1.5336
1.5179
1.5035
1.4903
1.4783
1.4676
1.4582
1.4503
1.4438
1.4389
1.4358
1.4347
•111!1.6875
1.6762
1.6618
1.6447
1.6259
1.6065
1.5871
1.5683
1.5504
1.5336
1.5179
1.5035
1.4903
1.4783
1.4676
1.4582
1.4503
1.4438
1.4389
1.4358
1.4347
If*-11.6875
1.6762
1.6618
1.6447
1.6259
1.6065
1.5871
1.5683
1.5504
1.5336
1.5179
1.5035
1.4903
1.4783
1.4676
1.4582
1.4503
1.4438
1.4389
1.4358
1.4347
92
TABELA 6.2 - Convergência da Função Corrente \j/ (x / x out , 0.5)
(Re= 100)
W ;í
%/ x p u t ;0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
1.6875
1.6793
1.6619
1.6340
1.6041
1.5782
1.5559
1.5355
1.5166
1.4991
1.4831
1.4688
1.4561
1.4448
1.4349
1.4261
1.4185
1.4119
1.4061
1.4011
1.3968
1.6875
1.6794
1.6619
1.6340
1.6041
1.5782
1.5559
1.5355
1.5166
1.4991
1.4831
1.4688
1.4561
1.4448
1.4349
1.4261
1.4185
1.4119
1.4061
1.4011
1.3968
wmm.1.6875
1.6794
1.6619
1.6340
1.6041
1.5782
1.5559
1.5355
1.5166
1.4991
1.4831
1.4688
1.4561
1.4448
1.4349
1.4261
1.4185
1.4119
1.4061
1.4011
1.3968
1.6875
1.6794
1.6619
1.6340
1.6041
1.5782
1.5559
1.5355
1.5166
1.4991
1.4831
1.4688
1.4561
1.4448
1.4349
1.4261
1.4185
1.4119
1.4061
1.4011
1.3968
; M : ' : 7 Í V . " : .•••V-^yy-íy-:y>y í f i : f > y y - •: . • . . . ; : : ; ; y i y y y y y y y y . - y •]:•• •• • • : • • . " . - • • • • • • • : • . • : : .
iOíy-: ; í : • í-..'-; y< :ÍV:ÍÍ ;.'i :.;:>.; • i K s f :::::i;:::í:V: : í : i : í i : í f : í í í : íf ™ i •': y lii 'f •-.•'. • y yi\hy : .í:;:í ' í
igmãã
1.6875
1.6793
1.6619
1.6340
1.6041
1.5782
1.5559
1.5356
1.5166
1.4991
1.4832
1.4689
1.4561
1.4448
1.4349
1.4262
1.4186
1.4119
1.4062
1.4012
1.3983
S.1ÜÍI1
1.6875
1.6794
1.6619
1.6340
1.6041
1.5782
1.5559
1.5356
1.5166
1.4991
1.4832
1.4689
1.4561
1.4448
1.4349
1.4262
1.4185
1.4119
1.4062
1.4012
1.3983
isms1.6875
1.6794
1.6619
1.6340
1.6041
1.5782
1.5559
1.5356
1.5166
1.4991
1.4832
1.4689
1.4561
1.4448
1.4349
1.4262
1.4186
1.4119
1.4062
1.4012
1.3983
1.6875
1.6794
1.6619
1.6340
1.6041
1.5782
1.5559
1.5356
1.5166
1.4991
1.4832
1.4689
1.4561
1.4448
1.4349
1.4262
1.4186
1.4119
1.4062
1.4012
1.3983
93
Re= 10
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 X
FIGURA 6.3 - Isolinhas da Função Corrente [ Re = 10 ].
Re = 100
y
1.5
1.0
0.5
n n
^^, -y ' 1~
/ V u ^ ^ ^^-— •
^———' - 1.5-
=—— I I I ^ - - - - ^ ^r • " '__ ' ' 3
, , 1 , , , , 1 . , , . 1 . • . . 1 . . . . 1
•
_ „ -. •
—1.6
—1.4
. i , . , 1 , • ,
IS 20 25 30 X
FIGURA 6.4 - Isolinhas da Função Corrente [ Re =100 ].
94
Em seqüência ao presente estudo, calculou-se a vorticidade nas paredes do duto,
possibilitando comparações com resultados obtidos através de outras metodologias.
O processo de convergência da vorticidade na parede é mostrado nas tabelas (6.3.a,
b) para Re = 10 e (6.4.a, b) para Re = 100. De fato, como pode apreciar-se, um maior
número de termos foi requerido a fim de se respeitar a tolerância imposta em relação à
convergência da função corrente. Em alguns casos, para posições muito próximas da
entrada, é notório que a convergência da vorticidade ainda não foi completamente atingida
com as ordens de truncamento empregadas.
Este comportamento de convergência retardado em relação ao caso da função
corrente era esperado. A segunda derivada da função corrente na direção y, requerida no
cálculo da vorticidade, incide diretamente na autofunção, trazendo ao numerador da
expansão o quadrado do auto-valor, adquirindo maior importância para ordens cada vez
mais crescentes, manifestando-se num retardamento de convergência.
A vorticidade, calculada nos dois tipos de dutos estudados, mostra pouca diferença
entre si para Re = 100 (menos de 1.9%) e uma distância muito mais pronunciada para o
caso de Re = 10 (menos de 19%).
95
TABELA 6.3.a, b - Convergência da vorticidade na parede do duto
(Re =10)
w%/... Xput
0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
•till
3.000
2.657
1.672
0.478
-0.222
-0.138
-0.087
-0.088
-0.079
-0.046
0.006
0.069
0.135
0.201
0.265
0.232
0.378
0.427
0.470
0.509
0.543
3.000
2.707
1.570
0.362
-0.087
-0.094
-0.076
-0.083
-0.078
-0.047
0.004
0.068
0.136
0.203
0.267
0.327
0.381
0.430
0.473
0.512
0.546
'••yyyy)Xym-y--'''-V.
3.000
2.727
1.536
0.355
-0.060
-0.086
-0.073
-0.082
-0.079
-0.048
0.004
0.068
0.136
0.204
0.268
0.327
0.382
0.430
0.474
0.512
0.546
• • l i3.000
2.736
1.520
0.357
-0.051
-0.084
-0.072
-0.082
-0.079
-0.049
0.003
0.068
0.136
0.204
0.268
0.328
0.382
0.431
0.474
0.513
0.547
lilli!3.000
2.657
1.672
0.477
-0.223
-0.139
-0.087
-0.089
-0.080
-0.047
0.038
0.064
0.129
0.192
0.251
0.303
0.349
0.385
0.412
0.428
0.434
I l l l l l l l
3.000
2.706
1.569
0.362
-0.087
-0.095
-0.076
-0.083
-0.079
-0.049
0.002
0.064
0.130
0.194
0.254
0.307
0.353
0.390
0.417
0.434
0.439
;i;i;i|li||
3.000
2.727
1.535
0.355
-0.601
-0.087
-0.073
-0.082
-0.079
-0.050
0.002
0.064
0.130
0.195
0.255
0.308
0.354
0.391
0.418
0.435
0.440
iiiii3.000
2.736
1.520
0.357
-0.051
-0.084
-0.072
-0.082
-0.080
-0.050
0.001
0.064
0.131
0.195
0.255
0.309
0.355
0.392
0.419
0.435
0.441
96
TABELA 6.4.a, b - Convergência da vorticidade na parede do duto
(Re =100)
: : / Xout :
0
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.95
1.00
3.000
2.541
1.743
0.733
0.102
-0.092
-0.126
-0.095
-0.029
0.054
0.142
0.224
0.299
0.366
0.424
0.474
0.516
0.553
0.584
0.611
0.634
W§Ê§,
3.000
2.530
1.728
0.726
0.102
-0.092
-0.125
-0.095
-0.029
0.055
0.142
0.225
0.300
0.367
0.425
0.475
0.517
0.554
0.585
0.612
0.635
3.000
2.528
1.726
0.725
0.102
-0.092
-0.125
-0.095
-0.029
0.055
0.142
0.225
0.301
0.367
0.425
0.475
0.518
0.554
0.585
0.612
0.635
l l l l l l l lf l
3.000
2.528
1.725
0.724
0.102
-0.092
-0.125
-0.095
-0.029
0.055
0.143
0.225
0.301
0.367
0.425
0.475
0.518
0.554
0.585
0.612
0.635
lillij;
3.000
2.541
1.743
0.733
0.102
-0.092
-0.126
-0.095
-0.029
0.054
0.141
0.224
0.299
0.366
0.423
0.473
0.516
0.553
0.584
0.610
0.623
3.000
2.530
1.728
0.726
0.102
-0.092
-0.125
-0.095
-0.029
0.055
0.142
0.225
0.300
0.367
0.425
0.475
0.517
0.554
0.585
0.611
0.623
iiilii!3.000
2.528
1.726
0.725
0.102
-0.092
-0.125
-0.095
-0.029
0.055
0.142
0.225
0.300
0.367
0.425
0.475
0.517
0.554
0.585
0.611
0.623
3.000
2.528
1.725
0.724
0.102
-0.092
-0.125
-0.095
-0.029
0.055
0.142
0.225
0.301
0.367
0.425
0.475
0.518
0.554
0.585
0.611
0.623
97
Gráficos comparando o valor da vorticidade na parede com aqueles obtidos por
outras metodologias são apresentados nas figuras (6.5) e (6.6). Para o caso de Re = 100, os
resultados do presente trabalho concordam muito bem com os demais, mas para Re = 10
uma ligeira discrepância é observada na região de entrada do duto, possivelmente por uma
diferença na definição da vorticidade na parede do duto. Em [ 65 ], apenas um dos
participantes define que a vorticidade deverá ser avaliada pela expressão:
co = ducos9- õvsinG (6.15)
onde 9 é o ângulo entre a normal à parede e a direção da coordenada x; õ u, õ v são os
valores das normais das componentes da velocidade nas direções x e y.
A implementação desta fórmula forneceu resultados díspares. Uma outra
expressão, definindo a vorticidade como:
õu õvoo = —cosG- — sinG (6.16)
õy ox
onde 9 é o ângulo entre a tangente à curva que define a parede e a direção positiva do eixo
x, forneceu os resultados mostrados nas figuras (6.5) e (6.6).
4.00
-1.00
Re = 10
••oA
OA
GITT (duto infinito)
GITT (duto truncado)
Cliffe et. ai. [ 66 ]
Magi et. ai. [ 67,68]
Quartapelle et. ai. [ 69 J
Demirovic et. ai. [ 65 ]
Wada et. ai. [ 65 ]
Schonaueret. ai. [ 651
0.00 0.20 0.40 0.60X/Xout
0.80 1.00
<B
CO
a.
ICOTO
O
4.00 - n
3.00
2.00
1.00 —
0.00
-100
••oA
O•
Re =100
- GITT (duto infinito)
- GITT (duto truncado)
Cliffe et ai. [66]
Magl et ai. [ 67, 68 ]
Quartapelle et ai. [ 69 ]
Demirovic et ai. [65]
Wada et ai. [65]
Schonaueret ai. [65]
0.00 0.20 0.40 0.60X/Xout
0.80 1.00
FIGURAS 6.5, 6 - Vorticidade ao longo da parede do duto ( Re = 10 , 100)
99
VII - CONCLUSÕES
- A Técnica da Transformada Integral Generalizada, mostrou-se uma ferramenta capaz de
conseguir resultados acurados em problemas de escoamentos dentro de canais de geometria
arbitrária. A característica de controlar automaticamente o erro relativo no campo estudado
faz com que a presente metodologia seja empregada com sucesso como ferramenta para
obter-se resultados benchmark.
Outra vantagem oferecida pela GITT é que pode oferecer resultados bastante
acurados com poucos termos nas expansões que definem os campos originais, traduzindo-
se isto num baixo custo computacional. Esta vantagem é muito interessante para obtenção
de resultados práticos de engenharia.
- A estratégia de se resolver o problema de dutos sem truncamentos, transformando o duto
infinito num domínio finito por meio de uma relação algébrica, mostrou-se efetiva e
prática, evitando-se a incerteza de onde truncar o duto. Além disso, desta forma é possível
obter-se melhores resultados próximos à saída do duto, sem serem perturbados pelo
truncamento.
- A correta especificação das condições de contorno é de crucial importância no processo
de simulação do escoamento. Condições de contorno inadequadas destroem a coerência
física e portanto a acurácia dos resultados.
- No caso de dutos regulares é adequado usar o escoamento completamente desenvolvido
como solução filtro, pois além de homogeneizar o contorno, serve como acelerador de
convergência, mais marcante em zonas distantes da entrada.
- Foi gerado um código capaz de resolver problemas de escoamentos em dutos de
geometria arbitrária para escoamentos bidimensionais em regime laminar e estado
permanente. A flexibilidade do código desenvolvido permite que no "input" se identifique
as condições de contorno na entrada e saída do canal, a geometria do canal e o número de
Reynolds em que se deseja simular o escoamento. Esta experiência de solução pode ser
100
agora estendida para casos mais gerais, que possam ter dependência no tempo, geometria
tridimensional e regime turbulento.
- Em seqüência ao presente estudo, buscar-se-á a implementação do problema térmico, o
qual permitirá estudar problemas de transferência de calor em dutos de geometria irregular.
101
VIII - REFERÊNCIAS
[1] COTTA, R.M., "Integral Transforms in Computational Heat e Fluid Flow". CRC
Press, Boca Raton, FL., 1993.
[2] ÕZISIK, M.N. e MURRAY, R.L., "On the Solution of Linear Diffusion Problems
with Variable Boundary Conditions Parameters", J. Heat Transfer. V.96, pp.48-
51, 1974.
[3] COTTA, R.M. e SANTOS, C.A.C., "Transient Diffusion Problems with Time-
Dependent Boundary Condition Coefficients", J. Eng. Physics. V.61, nfl 5,
pp.1411-1418,1992.
[4] YENER, Y. e ÕZISIK, M.N., "On the Solution of Unsteady Heat Conduction in
Multi-Region Finite Media with Time Dependent Heat Transfer Coefficient",
Anais da 5° Conf. Int. Transf. de Calor. Tóquio, Setembro, 1974.
[5] SANTOS, C.A.C., COTTA, R.M. e ÔZISIK, M.N., "Laminar Forced Convection
Inside Externally Finned Tubes", Anais do 2o Encontro Nacional de Ciências
Térmicas - ENCIT 88. pp.87-90, Rio de Janeiro, 1988.
[6] COTTA, R.M. e ÕZISIK, M.N., "Diffusion Problems with General Time
Dependent Coefficients", Revista Brasileira de Ciências Mecânicas. RBCM, V.9,
na4,pp.269-292, 1987.
[7] COTTA, R.M., LEIROZ, A.J.K. e APARECIDO, J.B., "Steady- State Diffusion
Problems with Variable Equation Coefficients", Int. J.Heat & Technology. V.10,
ns 3-4, pp.104, 1992.
[8] MIKHAILOV, M.D., "On the Solution of the Heat Equation with Time
Dependent Coefficient". Int. J. Heat & Mass Transfer. V.18, pp.334-345,1975.
[9] APARECIDO, J.B., COTTA, R.M. e ÔZISIK, M.N., "Analytical Solutions to
Two-Dimensional Diffusion Type Problems in Irregular Geometries", J. Franklin
Inst. V. 326, pp.421-434, 1989.
[10] APARECIDO, J.B. e COTTA, R.M., "Laminar Flow Inside Hexagonal Ducts",
Computational Mech.. V.6, pp.93-100, 1990.
102
[11] DINIZ, A.J., APARECIDO, J.B. e COTTA, R.M, "Heat Conduction with
Ablation in a Finite Slab", Int. J. Heat & Technology. V.8, pp.30-43, 1990.
[12] APARECIDO, J.B. e COTTA, R.M., "Laminar Thermally Developing Flow
Inside Right Triangular Ducts", Applied Scientific Research. V.49, pp.355-368,
1992.
[13] ÕZISIK, M.N. e GUÇERI, S.I., "A Variable Eigenvalue Approach to the Solution
of Phase-Change Problems", Canadian J. Chem. Eng.. V.55, pp. 145-148, 1977.
[14] LEITE, S.Q.B., ÕZISIK, M.N. e VERGHESE, K., "On the Solution of Linear
Diffusion Problems in Media with Moving Boundaries", Nucl. Science & Eng..
V.76, pp.345-350, 1980.
[15] COTTA, R.M., "Diffusion in Media with Prescribed Moving Boundaries
Application to Metals Oxidation at High Temperatures", Anais do II Congresso
Latino-Americano de Transferência de Calor e Massa. V.I, pp.502-513, São
Paulo, 1986.
[16] COTTA, R.M. e ÕZISIK 5, M.N., "Laminar Forced Convection in Ducts with
Periodic Variation of Inlet Temperature", Int. J. Heat & Mass Transfer. V.29, n°
10, pp.1495-1501, 1986.
[17] APARECIDO, J.B. e COTTA, R.M., "Thermally Developing Laminar Flow
Inside Rectangular Ducts", Int. J. Heat & Mass Transfer. V.33, nQ 2, pp.341-347,
1990.
[18] COTTA, R.M., "On the Solution of Periodic Multidimensional Diffusion
Problems", Int. Comm. Heat & Mass Transfer. V.I6, pp.549-579, 1989.
[19] COTTA, R.M. e ÕZISIK, M.N., "Transient Forced Convection in Laminar
Channel Flow with Stepwise Variations of Wall Temperature", Can. J. Chem.
Eng.. V.64, pp.734-742, 1986.
[20] GUEDES, R.O.C., COTTA, R.M. e BRUM, N.C.L., "Conjugated Heat Transfer
in Laminar Flow Between Parallel-Plates Channels", Anais do X Congresso
Brasileiro de Enegenharia Mecânica, pp.285-288, Rio de Janeiro, Dezembro,
1989.
103
[21] KAKAÇ S., LI W. e COTTA, R.M., "Theoretical e Experimental Study of
Transient Laminar Forced Convection in Duct with Timewise Variation of Inlet
Temperature", ASME Winter Annual Meeting. HTD. V.123, pp.57-63, San
Francisco, 1989.
[22] BAYAZITOGLU, Y. e ÒZISIK, M.N., "On the Solution of Graetz Type
Problems with Axial Conduction", Int. J. Heat & Mass Transfer. V.23, pp. 1399-
1402, 1980.
[23] COTTA, R.M., "Hybrid Numerical Analytical Approach to Nonlinear Diffusion
Problems", Num. Heat Transfer. Part B - Fundamentals. V.I7, pp.217-226, 1990.
[24] SERFATY, R. e COTTA, R.M., "Integral Transform Solutions of Diffusion
Problems with Nonlinear Equation Coefficients", Int. Comm. Heat & Mass
Transfer, V. 17, n~ 6, pp.852-864,1990.
[25] SERFATY, R. e COTTA, R.M., "Hybrid Analysis of Transient Nonlinear
Convection -Diffusion Problems", Int. J. Num. Meth. Heat & Fluid Flow. V.2,
pp.55-62, 1992.
[26] COTTA, R.M. e SERFATY, R., "Integral Transform Algorithm for Parabolic
Diffusion Problems with Nonlinear Boundary e Equation Source Terms", Proc. of
the 7° Int. Conf. on Num. Meth. for Thermal Problems. Part 2. pp.916-926,
Stanford, CA, Julho 1991.
[27] COTTA, R.M. e MIKHAILOV, M.D., "The Integral Transform Method", Appl.
Math. Modeling. V.17, pp.156-161, 1993.
[28] COTTA, R.M. e CARVALHO, T.M.B., "Hybrid Analysis of Boundary Layer
Equations for Internal Flow Problems", Proc. of the 7a Int. Conf. on Num. Meth.
in Laminar & Turbulent Flow. Part 1. pp. 106-115, Stanford, CA, Julho 1991.
[29] CARVALHO, T.M.B., COTTA, R.M. e MIKHAILOV, M.D., "Flow
Development in the Entrance Region of Ducts", Comm. Num. Meth. Eng.. V.9,
pp.503-509, 1993.
104
[30] MACHADO, H.A. e COTTA, R.M., "Integral Transform Method for Boundary
Layer Equations in Simultaneous Heat e Fluid Flow Problems", Int. J. Num.
Meth. Heat & Fluid Flow. V.5, 225-237,1995.
[31] MIKHAILOV, M.D. e COTTA, R.M., "Unified Integral Transform Method", L
Braz. Assoc. Mech, Sciences. RBCM (Invited Paper), V.12, n2 3, pp.301-310,
1990.
[32] LEIROZ, A.J.K. e COTTA, R.M., "On the Solution of Nonlinear Elliptic
Convection -Diffusion Problems Through the Integral Transform Method", Num.
Heat Transfer - Part B: Fundamentals. V.25. 401 -41.1. 1993.
[33] BAOHUA, C. e COTTA, R.M., "Integral Transform Analysis of Natural
Convection in Porous Enclosures", Int. J. Num. Meth. in Fluids. V.I7, 787-801,
1993.
[34] PEREZ GUERRERO, J.S., "Solução das Equações de Navier- Stokes em
Formulação de Função Corrente via Transformação Integral", COPPE/UFRJ,
M.Sc, Tese, Rio de Janeiro, 1991.
[35] PEREZ GUERRERO, J.S. e COTTA, R.M., "Integral Transform Method for
Navier-Stokes Equations in Stream-Function Only Formulation", Int. J. Num.
Methd. in Fluids. V.15, pp.399-409, 1992.
[36] COTTA, R.M., PEREZ GUERRERO, J.S. e SCOFANO NETO, F., "Hybrid
Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equations via Integral
Transformation", Proc. of the 2° Int. Conf. Advanced Computational Methods in
Heat Trasnfer. Heat Transfer 92. V.I, pp.735-750, Milão, Itália, Julho 1992.
[37] RIBEIRO, J.W. e COTTA, R.M., "Numerical-Analytical Study of Nonlinear
Drying Problems with Radiative Boundaries", 6 "International Symposium on
Transport Phenomena. V.I, pp.209-214, Seoul, Korea, Maio, 1993.
[38] COTTA, R.M., "Computational Integral Transform Approach in Nonlinear
Diffusion e Convection -Diffusion Problems", Laboratório de Ingegneria
Nucleane di Montecuccolino. Serie Scientifica (Invited Lecture), Universitá degli
Studi di Bologna, Itália, Julho 1992.
105
[39] RAMOS, R., "Análise Bidimensional e Não-Linear de Aletas Longitudinais de
Perfil Variável via Técnica de Transformada Integral Generalizada",
COPPE/UFRJ, M.Sc, Tese, Rio de Janeiro, 1993.
[40] PIMENTEL, L.C.G., "Simulação do Escoamento Turbulento em Dutos via
Modelo Algébrico de Turbulência e Transformação Integral", COPPE/UFRJ,
M.Sc, Tese, Rio de Janeiro, 1993.
[41] PÉREZ GUERRERO, J.S., COTTA, R.M. e SCOFANO NETO, F., "Integral
Transformation of Navier-Stokes Equations for Incompressible Laminar Flow in
Channels", Proc. 8° International Conference on Numerical Methods in Laminar e
Turbulent Flow. Swansea, v.2,pp. 1195-1206, Julho, 1993.
[42] IMSL Library, Math/Lib., Houston, TX 1989.
[43] PEREYRA, V., "PASVA3: An Adaptive Finite-Difference FORTRAN Program
for First Order Non Linear Boundary Value Problems", Lee. Notes in Comp.
Science. 76, Springer-Verlag, Berlim, pp.67-88, 1978.
[44] SHAH, R.K. e LONDON, A.L., "Laminar Flow Forced Convection in Ducts".
Adv. Heat Transfer, Suppl.l, 1978.
[45] WANG, Y.L. e LONGWELL, P.A., "Laminar Flow in the Inlet Section of
Parallel Plates", AICHE J.. V.10, pp.323-329, 1964.
[46] BRET, A. e GILLIS, J., "Magnetohydrodynamic Flow in the Inlet Region of a
Straight Channel". Phys. Fluids. V.9, pp.690-699, 1966.
[47] McDONALD, J.W., DENNY, V.E. e MILLS, A.F. , "Numerical Solutions of the
Navier-Stokes Equations in Inlet Regions", J. Appl. Mech.. V.39, pp.873-878,
1972.
[48] NARANG, B.S. e KRISHNAMOORTHY, G., "Laminar Flow in the Entrance
Region of Parallel Plates". J. Appl. Mech.. V.43, pp.186-188, 1976.
[49] COMINI, G. e DEL GIUDICE, S., "Finite-Element Solution of the
Incompressible Navier-Stokes Equations", Num. Heat Transfer. V.5, pp.463-478,
1982.
106
[50] BODOIA, J.R. e OSTERLE, J.F., "Finite Difference Analysis of Plane Poiseuille
e Couette Flow Developments", Appl. Sci. Res.... V.10, pp.265-276,1961.
[51 ] DENHAM, M.K. e PATRICK, M.A., "Laminar Flow over a Dowmstream-Facing
Step in a Two-Dimensional Flow Channel", Trans. Inst. Chem. Engns.. 52,
pp.361, 1974.
[52] CAMPION -RENSON, A. e CROCHET, M.J., "On the Stream-Function Vorticity
Finite Element Solutions of Navier-Stokes Equations", Int. J. Num. Meth. Eng..
12, pp.1809-1818, 1978.
[53] LESCHZINER, M.A., "Practical Evaluation of Three Finite Difference Schemes
for the Computation of Steady-State Recirculating Flows", Comp. Meth. Appl.
Eng., 23, pp.293-299, 1980.
[54] ARMALY, B.F., DURST F., PEREIRA, J.C.F. e SCHONUNG, B., "Experimental
e Theoretical Investigation of Backward Facing Step Flow", J. Fluid Mech.. 172,
pp.473-496, 1983.
[55] GOSMAN, A.D. e PUN, W.M., Lecture notes for course entilled: "Calculation of
Recirculating Flow", Heat Transfer Rep. HTS/74/2. Imperial College. London,
1974.
[56] THANGAM, S. e KNIGHT-DOYLE, D., "A Computational Scheme in
Generalized Coordinates for Viscous Incompressible Flows", Computers &
Fluids. Vol.18, n24, pp.317-327,1990.
[57] GARTLING, D.K., "A Test Problem for Outflow Boundary Condition: Flow
Over Backward Facing Step", Int. J. Num. Meth. in Fluids. 11, pp.953-967, 1990.
[58] GARTLING, D.K., "NACHOS II - A Finite Element Computer Program for
Incompressible Flow Problems", SE86-1816 e SE86-1817, Seia National
Laboratories, Albuquerque, NM, 1987.
[59] FIDAP Theoretical Manual, Version 4, 5, Fluids Dynamics International,
Evanston, IL, 1988.
107
[60] ROGERS, S. e KWAK, D., "An Upwind Differencing Scheme for the
Incompressible Navier-Stokes Equations", Appl. Num. Math.. V.8, pp.43-64,
1991.
[61 ] SRINIVASAN, K. e RUBIN, S.G.,"Segmented Multigrid Domain Decomposition
Procedure for Incomprssible Viscous Flows", Int. J. Num. Meth. in Fluids. V.I5,
pp.1333-1355, 1992.
[62] ONUR, H.S. e BAYDAR, E., "Laminar Channel Flow Over a Square Step", Int. J.
Eng. Science. V.30. na 9, pp.1109-1116, 1992.
[63] MATHEMATICA Standard Version 2.2, Champaign, Illinois, 1993.
[64] ROACHE, P. ; "Scaling of high Reynolds number weakly separated channel
flows", Symposium on Numerical e Physical Aspects of Aerodynamic Flows,
pp. 1-8, California State Univ., Long Beach, CA, 1981.
[65] NAPOLITANO, M. e ORLANDI, P. ; "Laminar Flow in a Complex Geometry: a
Comparison", Int. J. Num. Meth. Fluids 5, 667-683,1985.
[66] CLIFFE, K.A., JACKSON CP. e GREENFIELD A.C.; "Finite element Solutions
for Flow in a Symmetric Channel with a Smoth Expansion", AERE - R10608.
[67] MAGI, M. e NAPOLITANO, M.; "Calcolo del Flusso Laminare en un Canale de
Geometrea Complessa"; VI Congresso Nazionale AIMETA. Gênova, 7-9,
Octover, 1982.
[68] NAPOLITANO, M., "Efficient ADI e Spline ADI Methods for the Steady state
Navier-Stokes Equations", Int. J. Num. Meth. Fluids. 4,1101-1115, 1984.
[69] QUARTAPELLE, L. e NAPOLITANO, M.; "A method for Solving the
Factorized Vorticity-stream Function Equations by finite elements", Int. J. Num.
Meth. Fluids. 4, 109-125, 1984.
[70] NAPOLITANO, M., "Efficient Solution of Two-dimensional Steady Separated
Flows", Computers & Fluids. 20, 3, 213-222, 1991.
[71] JORDAN, S.A.; "An Interative Scheme for Numerical Solution of Steady
Incompressible Viscous Flows", Computers & Fluids. 21,4, 503-517, 1992.
108
[72] NAPOLITANO, M. e WALTERS, R.W.; "An Incrementai Block-Line-Gauss-
Seidel Method for the Navier-Stokes Equations", AIAA J..V.24. ns 5 , pp. 770-
776, may, 1986.
[73] VRADIS, G., ZALAK, V. e BENTSON, J.; "Simultaneous Variable Solutions of
the Incompressible Steady Navier-Stokes Equations in General Curvilinear
Coordinate Systems., J. Fluids Eng.. 114, 299-305, 1992.
[74] YAO-HSIN, H.; "Arbitrary Domain Velocity Analysis for the Incompressible
Navier-Stokes Equations", J. Comp. Phys.. 110, 134-149, 1994.
[75] SMITH, R.M. e HUTTON, A.G., "The Numerical Treatment of Advection. A
Comparison of Current Methods", Num. Heat Transfer. 5, 4, 439-462, 1982.
[76] LIMA J.A., "Solução das Equações de Navier-Stokes Médias para Escoamento
Turbulento via Transformação Integral", COPPE/UFRJ, M.Sc, Tese, Rio de
Janeiro, 1995.
[77] PEREIRA, L.M.; "Transformação Integral das Equações de Navier-Stokes em
Coordenadas Cilíndricas: Desenvolvimento Hidrodinâmico em Dutos Anulares",
COPPE/UFRJ, M.Sc, Tese, Rio de Janeiro, 1995.
[78] PÉREZ GUERRERO, J.S. e COTTA R.M.; "Benchmark Integral Transform
Results for Flow over a Backward-Facing Step"; Computers & Fluids, in press.
109
APÊNDICE A
Escoamento completamente Desenvolvido entre Placas Paralelas
Considera-se um duto de placas paralelas, tal como o esquematizado na fig A.l.
Quando o escoamento torna-se completamente desenvolvido, a velocidade
transversal é nula, e as equações de Navier-Stokes então se reduzem a:
dy
com as condições de contorno:
u(-b) = 0 ; u(b) = 0
b
h
y u=0 V = 0
u=0 v = 0
FIGURA A.l
Geometria do escoamento completamente desenvolvido
entre Placas Paralelas
110
A solução de (A.l) fornece a componente longitudinal da velocidade no
escoamento desenvolvido:
Kb'u = — • (A.2)
considerando que a vazão por unidade de comprimento no canal é Q:
Q= Judy- b
(A.3)
Integrando-se esta última expressão, resulta que:
- K b 2 3Q
4b(A.4)
Logo o perfil da componente de velocidade u pode ser expresso convenientemente
em função de Q:
u =3Q
4b1- (A.5)
A função corrente é encontrada a partir de:
u =õy
(A.6)
Logo,
J dy = J uk, - b
dy (A.7)
I l l
onde kj é um valor arbitrário do valor de \\i ( - b) .
Integrando-se a equação (A.7), obtém-se:
v|/=-3Q y iy
bJ 3 lb .(A.8)
O valor da função corrente na parede superior, isto é, em y = b, é dado por:
(A.9)
112
APÊNDICE B
Derivadas da Fórmula de Inversão
ôx
„ 5Y; ,„4 ^
(B.l)
(B.3)
Z l -^ÜT; +3 -̂ -\j7V +3—-üTi" + Y:\jT:'" (B.4)
(B, )
ôyn t f Uy11 J (B.6)
õy:
5 2 Y S , 5Y, „ j+ 2 -viTi +—LvjT i (B.8)
113
Õx2õy2
Õ2Y;(B.9)
114
APÊNDICE C
Coeficientes do Sistema Diferencial Ordinário
Tem-se que:
y o ( x )
p - q (C2)
Portanto:
(C5)7 y p q
onde (n), indica a ordem da derivada.
Além disso:
y = 4 y o + y 3 (C6)
Logo:
— - = ^ y 0 p ( n ) +y 3 P - q ( (c-8)ox"
115
ou:
(C.9)
onde:
W n = y o p ( n ) ; S n = y 3 p < n > - q ( n > (C.10,11)
Desta forma, qualquer derivada de autofunção com respeito a x, poderá ser
representada facilmente como uma derivada em Ç, ao se aplicar a regra da cadeia.
A derivada da autofunção com respeito a y é encontrada mais facilmente como:
(C l 2)õya
L = ( p ) n
Õyn
As expressões dadas acima foram fornecidas ao MATHEMATICA, com o qual se
gerou a seguinte representação dos coeficientes:
F00ijk = 2*CeO*p**2*pl - B2eO*p2*sl - 2*CeO*pl*sl**2 + 2*CeO*p*sl*s2 +B2eO*p*s3 -B2el*p2*wl -4*Cel*pl*sl*wl +2*Cel*p*s2*wl -2*Ce2*pl*wl**2 + 2*Cel*p*sl*w2 + 2*Ce2*p*wl*w2 + B2el*p*w3
(Cl 5)
116
F01ijk = CeO*p**3 - 2*B2eO*pl*sl + CeO*p*sl**2 + 3*B2eO*p*s2 - 2*B2el*pl*wl +2*Cel*p*sl*wl + Ce2*p*wl**2 + 3*B2el*p*w2
(C.I 6)
F02ijk = 2*B2eO*p*sl + 2*B2el*p*wl(C.17)
F10ijk = -(AeO*p**3) - BeO*p2 - 2*EeO*pl*sl - AeO*p*sl**2 - EeO*p*s2 -2*Eel*pl*wl - 2*Ael*p*sl*wl - Ae2*p*wl**2 - Eel*p*w2
(C.18)
Fll i j k = 2*Be0*pl -2*EeO*p*sl -2*Eel*p*wl(C.19)
FOy = 2*DeO*fq*p**2*pl - 2*De2*fq*p**2*pl - 4*Dlel*fq*p**2*pl -2*DleO*fq*p2*sl + 2*Dle2*fq*p2*sl - 2*DeO*fq*pl*sl**2 +
2*De2*fq*p*sl*s2 - 4*Dlel*fq*p*sl*s2 + 2*DleO*fq*p*s3 -2*Dle2*fq*p*s3 - 2*Dlel*fq*p2*wl + 2*Dle3*fq*p2*wl -4*Del*fq*pl*sl*wl +4*De3*fq*pl*sl*wl + 8*Dle2*fq*pl*sl*wl +2*Del*fq*p!l:s2*wl - 2*De3*fq*p*s2*wl - 4*Dle2*fq*p*s2*wl -2*De2*fq*pl*wl**2 + 2*De4*fq*pl*wl**2 + 4*Dle3*fq*pli|twl**2 +2*Del*fq*p*sl*w2 - 2*De3*fq*p*sl*w2 - 4*Dle2*fq*p*sl*w2 +2*De2*fq*p*wl*w2 - 2*De4*fq*p*wl*w2 - 4*Dle3*fq*p*wl*w2 +2*Dlel*fq*p*w3 - 2*Dle3*fq*p*w3
(C.20)
Fly = 2*CroeO*fq*p**3 + DeO*fq*p**3 - De2*fq*p**3 - CroeO*fq*p2 +Croe2*fq*p2 + 4*Croel*fq*pl*sl - 2*DleO*fq*pl*sl +2*Dle2*fq*pl*sl + 2*CroeO*fq*p*sl**2 + DeO*fq*p*sl**2 -De2*fq*p*sl**2 + 2*Croel*fq*p*s2 + 3*DleO*fq*p*s2 -3*Dle2*fq*p*s2 + 4*Croe2*fq*pl*wl - 2*Dlel*fq*pl*wl +2*Dle3*fq*pl*wl + 4*Croel*fq*p*sl*wl +2*Del*fq*p*sl*wl -2*De3*fq*p*sl*wl + 2*Croe2*fq*p*wl:|!*2 + De2*fq*p*wl**2 -De4*fq*p*wl**2 + 25|!Croe2*fq*p*w2 + 3*Dlel*fq*p*w2 -3*Dle3*fq*p*w2
(C.21)
F2y = 2*DleO*fq*p*sl - 2*Dle2*fq*p*sl + 2*Dlel'*fq*p*wl " 2*Dle3*fq*p*wl(C.22)
F3jj = CroeO*fq*p - Croe2*fq*p(C.23)
117
j = -4*Autel*fq**2*p**2*pl + 4*Aute3*fq**2*p**2*pl - AuteO*fq**2*p2*sl +2*Aute2*fq**2*p2*sl - Aute4*fq**2*p2*sl +4*Autel*fq**2*pl*sl**2 - 4*Aute3*fq**2*pl*sl**2 -4*Autel*fq**2*p*sl*s2 + 4*Aute3*fq**2*p*sl*s2 +AuteO*fq**2*p*s3 - 2*Aute2*fq**2*p*s3 + Aute4*fq**2*p*s3 -Autel*fq**2*p2*wl + 2*Aute3*fq**2*p2*wl -Aute5*fq**2*p2*wl + 8*Aute2*fq**2*pl*sl*wl -8*Aute4*fq**2*pl*sl*wl - 4*Aute2*fq**2*p*s2*wl +4*Aute4*fq**2*p*s2*wl + 4*Aute3*fq**2*pl*wl**2 -4*Aute5*fq**2*pl*wl**2 - 4*Aute2*fq**2*p*sl*w2 +4*Aute4*fq**2*p*sl*w2 - 4*Aute3*fq**2*p*wl*w2 +4*Aute5*fq**2*p*wl*w2 + Autel*fq**2*p*w3 -2*Aute3*fq**2*p*w3 + Aute5*fq**2*p*w3
(C.24)
= -8*Autel*fq*pl**2 - 8*Autel*fq*p*p2 - 16*AuteO*fq*p*pl*sl -4*AuteO*fq*p**2*s2 - 12*AuteO*fq*sl**2*s2 -6*Autel*fq*s2**2 - 8*Autel*fq*sl*s3 + AuteO*fq*s4 -Aute2*fq*s4- 16*Autel*fq*p*pl*wl - 24*Autel*fq*sl*s2*wl -8*Aute2*fq*s3*wl - 12*Aute2*fq*s2*wl**2-4*Autel*fq*p**2*w2 - 12*Autel*fq*sl**2*w2 -12*Aute2*fq5|;s2*w2 - 24*Aute2*fq*sl*wl*w2 -12*Aute3*fq*wl**2*w2 - 6*Aute3*fq*w2**2 - 8*Aute2*fq*sl*w3 -8*Aute3*fq*wl*w3 + Autel*fq*w4 - Aute3*fq*w4
(C.25)
EOjj = 4*DeO*pl**2 + 4*DeO*p*p2 + 8*D2eO*p*pl*sl + 2*D2eO*p**2*s2 +6*D2eO*sl**2*s2 + 3*DeO*s2**2 + 4*060*81*83 + DleO*s4 +2*CroeO*p:|i*2*sl**2*uj + CroeO*sl**4*uj + 8*D2el*p*pl*wl +12*D2el*sl*s2*wl +4*Del*s3*wl +4*Croel*p**2*sl*uj*wl +4*Croel*sl**3Hsuj*wl + 6*D2e2*s2*wl**2 +2*Croe2*p**2*uj*wl**2 + 6*Croe2*sl**2*uj*wl**2 +4*Croe3*sl*uj*wl**3 + Croe4*uj*wl**4 + 2*D2el*p**2*w2 +6*D2el*sl**2*w2 + 6*Del*s2*w2 + 12*D2e2*sl*wl*w2 +6*D2e3*wl**2*w2 + 3*De2*w2**2 + 4*Del*sl*w3 + 4*De2*wl*w3 +Dlel*w4
(C.26)
Ely - 8*DeO*p*pl + 4*D2eO*p**2*sl + 4*D2eO*sl**3 + 12*DeO*sl*s2 +4*DleO*s3 + 4*D2el*p**2*wl + 12*D2el*sl**2*wl +12*Del*s2*wl + 12*D2e2*sl*wl**2 + 4*D2e3*wl**3 +12*Del*sl*w2 + 12*De2*wl*w2 + 4*Dlel*w3
(C.27)
E2y = 2*DeO*p**2 + 6*060*81**2 + 6*DleO*s2 + 12*Del*sl*wl + 6*De2*wl**2 +6*Dlel*w2
(C.28)
118
E3ÍJ = 4*DleO*sl + 4*Dlel*wl(C.29)
As integrais núcleo são definidas como:
AeO= J YjYjYk'dC (C.30)
= J ^YjYjY^d^ ((Ael-1
-r= J YJYJY;
- i
'= J YiY;Yk
, _ Í ' Y Y Y
- f
A P 9 — I ? Y Y Y d? (C 3?"»4 ~ ' J K ~ v
-1
BeO= I YjYjYkd^ (C.33)
B2eO= J YjYjYkd^ (C.34)
f . .B2el= ^Y:Y:Yk d£ (C.35)
-1
CeO= J YiYjYk dÇ (C.36)- i
Cel= ^Y:Y:Ykd^ (C.37)/ J hv
_ I
Ce2= I l2 Y:Y|Yk ' d£ (C.38)
119
•= J YÍYJY:EeO= I Y i Y j Y ^ (C.39)- i
. .J 1Eel=J ^ Y j Y , ^ (C.40)
-1
•1
DeO= J YjYj" d^ (C.41)
-rDel= J ^Y;Yj d£, (C.42)- i
-fDe2= V Y:Yi d£ (C.43)-1
- fDe3= t; Y:Y: d^ (C.44)-1
•ÍDe4= J ^4 YiYj d§ (C.45)
DleO= J YjY- (C.46)
Dlel= J ^YjYjd^ (C.47)
Dle2= t2 Y:Yi d£ (C.48)-1
Dle3= ^3Y:Y|d4 (C.49)
120
'= Í YiYj"D2eO= I YiYj dÇ (C.50)
D2el= J ÇYjY^dÇ (C.51)- í
, fD2e2= J r YjYj d^ (C.52)- i
-fD2e3= J Ç3 YiYj-'dC (C.53)- i
D2e4= J Ç4 YiYJ"d^ (C.54)
-fv.y,CroeO = J YjYjdÇ (C.55)- i
•fCroel= ^Y:Y=dE (C.56)- i
2
- l
Croe2= J \ l Y ^ d Ç (C.57)
• i
Croe3= J ^ YjYjdÇ (C.58)- i
Croe4= J ^4 YjYjd^ (C.59)
121
AuteO=|Y id^ (C.60)
•A
(C.62)
Aute3= I Ç3 Yj d£ (C.63)- i
Aute4= J Ç4 Y; dÇ (C.64)- i
(C.65)
A família de coeficientes "Aen" e "Een" pode ser calculada ao se fazer integração
por pontos, resultando uma combinação de outros já avaliados.
Aen i j k = J Ç - Y . Y j Y , ; ' ^- i
- J [n^"1 YiYjY,: +^n YJYjY; +^n Y, Y^Y^- i
(C.66)
Portanto:
i j k = - jApO _ _ ??Y Y Y + ? 2 Y Y Y + ? z Y Y Y H? (C 671-i
Ae2 i jk = - ( 2 E e l i j k +Ce2 j i k +Ce2 i j k ) (C.68)
122
Ael i jk =-(EeO i j k +Cel j i k +Cel i j k ) (C.69)
AeOijk =- (CeO j i k +CeO i j k) (C.70)
No outro caso:
Een i j k = J Ç" Y,YjY;d4 =
- J [n^"-1 Y.Yj Yk + Ç" YiYjY, + £" Y, Y^Y ]
(C.71)
Eel i jk =-(BeO i j k +B2e l j i k +B2el i j k ) (C.72)
EeOijk = - (B2eO j i k +B2eO i jk ) (C.73)