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SOLUÇÕES EXATAS 2DSOLUÇÕES EXATAS 2DDA EQ. DE NAVIER-STOKESDA EQ. DE NAVIER-STOKES

1. 1o Problema de Stokes

2. Escoamento na vizinhança de um ponto de estagnação (Hiemenz 1911)

3. Canal Convergente ou Divergente (Jeffery & Hamel )

IM250– Prof. Eugênio Rosa

Stokes 1Stokes 1stst Problem Problem

• Mecanismo de transporte: difusão de quantidade de movimento.

• O transporte é proporcional ao gradiente da propriedade transportada.

• Placa plana colocada em movimento num meio semi-infinito.

filme 200cs

dJ

dn


Formulação Formulação

IM250– Prof. Eugênio RosaPropriedades Função Erro


Efeito da ViscosidadeEfeito da Viscosidade• Para problema puramente difusivos, foi visto que quanto maior

for a difusividade mais rapidamente o domínio sente o movimento da parede, veja expressão para a altura de penetração (1% de velocidade da fronteira)

t • Observe este efeito quando a parede externa do cilindro começa a girar (a)

fluido 100 cP e (b) 10000 cP


Reversibilidade 1º Prob. StokesReversibilidade 1º Prob. Stokes

• Um fluido viscoso preenche o cilindro. • Sua parede é posta a girar, após alguns instantes

ela para e inverte a rotação.• Observe o que acontece com o marcador do

fluido: ele retorna para mesma posição. Porque?

• O escoamento é reversível pq o fluido não possui termo convectivo (não-linear). Na ausência deste termo a equação permanece linear e portanto o esc. é reversível.

Filme reverso


Transporte por DifusãoTransporte por Difusão• Quantidade de movimento, vorticidade, temperatura, concentração (escalares

em geral , , h, s etc) são variáveis que são transportadas por difusão.

• Note que as equações de transporte são similares!

• A Difusão turbulenta é muitas vezes maior que a laminar. De fato o movimento aleatório dos vórtices transporta de forma eficaz as propriedades

difusão laminar x turbulenta


Com

pet

ição

Dif

usã

o x

Con

vecç

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omp

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ão D

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x C

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cção


Hiemenz Problem (1911)Hiemenz Problem (1911)• Escoamento viscoso próximo a um ponto de estagnação 2D.

• Mecanismo de transporte: difusão e convecção de quantidade de movimento

K. Hiemenz , Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Göttingen Dingl. Polytech. J. 326 (1911).


Hiemenz ProblemHiemenz Problem

z

kxf yu kxf ' e v = -ky

u vkxf "

y x

• Procura-se solução em termos de , satisfaz massa, uma eq. a menos!

z

kxyu kx e v = -ky

0

• Região efeitos viscosos ausentes:

• Região efeitos viscosos presentes: o não deslizamento muda dependência de (u,v) em y mas não é evidente que ele altere a dependência de (u,v) em x


Sch

ilich

ting,

7th

ed


Figure 8.1 – Flow past a circular cylinder at Re = 0.16. The flow is from left to right. It resembles superficially the pattern of potential flow. The flow of water is shown by aluminum dust. (Courtesy of The Parabolic

Press, Stanford, California. Reprinted with permission.)


Jeffery Hamel Flow (2D) Jeffery Hamel Flow (2D) • Escoamento desenvolvido num canal convergente / divergente

formado por duas placas paralelas inclinadas entre si.

• Linhas de corrente são retas que passam pela origem, em coordenadas cilindrico-polar (r, ):– u = 0 (desenvolvido) & rur = F()

George Barker Jeffery (9 May 1891 – 27 April 1957) was a leading mathematical physicist in the early twentieth century.Georg Karl Wilhelm Hamel (12 September 1877 – 4 October 1954) was a German mathematician with interests in mechanics, the foundations of mathematics and function theory.


=


Perfil de Velocidade (10º)Perfil de Velocidade (10º)


Comentários da SoluçãoComentários da Solução• O perfil de velocidades para um canal

convergente ou divergente diferem entre sí. • Para o canal convergente a medida que Re

aumenta o perfil tende a ficar cada vez mais uniforme em toda a extensão do canal;

• Para o canal divergente o perfil depende de Re e pode apresentar valores negativos! Isto é, recirculação.

• Para haver recirculação é necessário que o escoamento tenha separado (um estágio anterior). O modelo mostra que separação ocorre com o aumento do ângulo e a diminuição de Re

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