dados de deus - resolução 1o simulado ita (matemática)

1º Simulado ITA - Resolução MATEMÁTICA 4/22/2011 http://dadosdedeus.blogspot.com Marcos Valle (IME)

2 Dados de Deus – 1º simulado ITA (Resolução)

2

GABARITO

1 D 6 E 11 A 16 E

2 C 7 E 12 B 17 B

3 D 8 A 13 B 18 C

4 E 9 D 14 C 19 C

5 D 10 E 15 B 20 E


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NOTAÇÕES

: conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos

: conjunto dos números inteiros : unidade imaginária:

: conjunto dos números racionais : conjugado do número

: conjunto dos números reais : módulo do número

: conjunto das matrizes reais

: determinante da matriz

: adjunta da matriz M

: parte real do complexo

: parte imaginária do complexo .

: segmento de reta unindo os pontos e .

: ângulo formado pelos segmentos e , com vértice no ponto

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

Questão 1. Dado , então o valor de

em é igual a

A ( )

. B ( )

. C ( )

. D ( )

. E ( ) .

Solução:


4

Mas:

Questão 2. Sejam A, B e C três conjuntos de números complexos como definido abaixo

O número de elementos do conjunto é

A ( ) . B ( ) 0. C ( ) 1. D ( ) 2. E ( ) .

Solução: Vamos representar geometricamente em um mesmo plano Argand-Gauus os três conjuntos:

A : conjunto dos pontos sobre e acima da reta .

B : conjunto dos pontos pertencentes à circunferência de centro e raio .

C : .

De fato, há apenas 1 ponto possível.

Questão 3. Se e , então o LG dos pontos

é

A ( ) reta que não passa pela origem. B ( ) uma circunferência. C ( ) o eixo .

D ( ) o eixo . E ( ) um ponto.

Solução:

. Como

é imaginário puro, o conjunto dos

pontos é o próprio eixo y.

Questão 4. Um sinal que pode ser verde ou vermelho, com probabilidades 4/5 e 1/5 respectivamente, é

recebido pela estação A e depois retransmitido para a estação B. A probabilidade de cada estação receber o sinal corretamente é ¾. Se o sinal recebido em B é verde, então a probabilidade de o sinal original fosse verde é


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A ( )

. B ( )

. C ( )

. D ( )

. E ( )

.

Solução:

Evento G : probabilidade do sinal original ser verde.

Evento E1 : A recebe o sinal correto.

Evento E2 : B recebe o sinal correto.

Evento E : Sinal recebido por B é verde.

Calculemos a probabilidade do evento E ocorrer:

A probabilidade de o sinal original ser verde e B receber verde é

A probabilidade de ocorrer o evento G dado que ocorre E (condicional) é:

Questão 5. Para x pertencente ao conjunto dos reais, seja .

I – não é injetiva mas é sobrejetiva.

II – é sobrejetiva mas não injetiva.

III – não é injetiva nem sobrejetiva

IV – é bijetiva.

V – Não é possível determinar se é sobrejetiva.

é verdadeira

A ( ) I. B ( ) II. C ( ) III. D ( ) IV. E ( ) V.

Solução: Sejam tal que . Temos que:

Mas

(pois

). Logo:


6

Assim, é estritamente crescente e portanto bijetiva.

Questão 6. Considere o sistema de equações e as seguintes proposições

I - o sistema não possui solução para .

II - o determinante

, para .

III - é impossível para qualquer valor de .

é (são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas II. C ( ) apenas III.

D ( ) apenas II e III. E ( ) apenas I e II.

Solução: Seja o determinante da matriz incompleta do sistema:

Assim, o sistema é possível indeterminado ou impossível. Para que ocorra o primeiro caso (e haja solução),

devemos ter :

Logo, o sistema não possui solução para .

Questão 7. Considere as afirmações abaixo:


7

I – se A e B são matrizes ortogonais, então (AB) é ortogonal.

II –

III – os únicos valores possíveis para o determinante de uma matriz ortogonal são e .

é (são) verdadeira(s)

A ( ) apenas I. B ( ) apenas I e II. C ( ) apenas II e III.

D ( ) nenhuma. E ( ) todas.

Solução:

(I) Uma matriz Mé dita ortogonal se . Mas se e , então:

(II) Sabemos que . Primeiramente, se M é inversível, então e e então .

Agora, se M não for inversível, . Logo, . Se , então e está provado. Se ,

então M possui uma linha não nula, digamos . Mas como , , o que implica

que não é inversível e portanto a adjunta também não é. Com isso, e está provado.

(III) . Mas o determinante da transposta é igual ao da matriz e o da inversa é

seu inverso, logo

.

Questão 8. Os valores de para os quais a soma dos cubos das raízes da equação é igual a 1 são

A ( ) 0 e

. B ( )

e

. C ( )

e

.

D ( ) 0 e

. E ( ) Não há valores possíveis.

Solução: Sejam a e b as raízes. Das relações de Girard, temos que:

Logo:

Logo, ou

.

Questão 9. Sejam as raízes da equação e

, as raízes da equação .

O valor de é


8

A ( )

B ( )

. C ( )

.

D ( )

. E ( )

.

Solução: Das Relações de Girard, temos que:

De (I) e (II):

e

Substituindo em (III):

Questão 10. O resto da divisão do polinômio pelo polinômio , é

igual a

A ( ) 0. B ( ) 40. C ( ) 60. D ( ) 80. E ( ) 120.

Solução: Podemos escrever o polinômio dado como:

Para , temos:

Questão 11. Se e são as raízes da equação , então é igual a

A ( ) -1. B ( ) 1. C ( ) -2. D ( ) 2. E ( ) 0.

Solução: A raízes da equação são:

e

Logo:


9

Questão 12. O conjunto solução da desigualdade é igual a

A ( )

. B ( )

. C ( )

D ( )

. E ( )

Solução: Como , temos que:

Por inspeção, 3 é raíz. Logo:

Colocando tudo em um quadro de sinais:

Portanto,

e , ou seja

.

Questão 13. A reta

intersecta a elipse

nos pontos A e B. Existe o ponto P na elipse tal

que a área de PAB é vale 3. Podemos afirmar que a quantidade possível de pontos P é

A ( ) 1. B ( ) 2. C ( ) 3. D ( ) 4. E ( ) .

Solução: Se P está na elipse, então faça na elipse.Quando P e a origem não estão no

mesmo lado de AB, a distância de P a AB é

Mas , então .


10

Portanto, quando a área de PAB é 3, P e O estão do mesmo lado de AB. Existem 2 pontos P.

Questão 14. Seja

. Então o valor máximo de

é igual a

A ( )

B ( )

. C ( )

. D ( )

. E ( ) .

Solução: Seja

, então

e

. Temos que:

.

Logo:

Como

e são monótonos decrescentes neste caso, atinge o máximo em

, e

.

Questão 15. Seja um quadrilátero com área , com lado paralelo ao lado e .

Seja AD perpendicular a e . Se um círculo é desenhado dentro de tocando todos seus lados, seu

raio, em , é igual a

A ( ) 3. B ( ) 2. C ( )

. D ( ) 1. E ( )

.

Solução:

Solução:


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Podemos verificar que é solução do sistema.

Questão 16. Se os ângulos e de um triângulo formam uma progressão aritmética e denotam os

comprimentos dos lados opostos a e respectivamente, então o valor da expressão

é

igual a

A ( )

. B ( )

. C ( ) c) . D ( )

. E ( ) .

Solução: Da Lei dos Senos:

Logo:

Mas se A, B e C estão em P.A., e , então e .

Questão 17. No triângulo PQR isósceles, com PQ = PR = 3 cm e QR = 2 cm, a tangente à sua circunferência circunscrita no ponto Q encontra o prolongamento do lado PR em X. O valor de RX, em cm, é igual a

A ( )

. B ( )

. C ( )

. D ( )

. E ( )

.

Solução:

Primeiramente, vamos calcular o raio da circunferência circunscrita:


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Montamos agora as equações de e :

Como :

E:

Igualando (I) e (II):

Voltando em (II):

Logo:

Questão 18. Seja um triângulo e seja o ponto no semi – plano contrário ao do vértice , gerado pela

reta , tal que , e . Então o ângulo é igual a

A ( ) . B ( ) . C ( ) . D ( ) . E ( ) .

Solução:


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Teorema do Ângulo Externo:

Teorema do Ângulo Externo:

Substituindo (II) em (I):

Questão 19. A região definida pelas curvas , , e . é o volume do sólido

obtido rotacionando-se a região descrita em torno do eixo . Uma outra região é formada pelos pontos que satisfazem , e . é o volume do sólido obtido

rotacionando-se esta região em torno do eixo . A relação entre e é igual a

A ( )

. B ( )

. C ( ) . D ( ) . E ( ) .

Solução:

Como mostrado no diagrama acima, os dois sólidos de rotação obtidos rotacionando-se respectivamente as duas

regiões em torno do eixo y estão entre dois planos paralelos, distantes 8 unidades um do outro. Cortamos os dois sólidos de rotação por qualquer plano perpendicular ao eixo y. Suponha que a distância do plano à origem é

. Assim, as áreas hachuradas são:

Pelo princípio de Cavalieri, temos que .

Questão 20. A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de de diâmetro. Se

a área da base é a décima parte da área lateral, então a altura da pirâmide, em , é igual a

A ( )

. B ( ) . C ( )

. D ( ) . E ( ) .

Solução: Seja g a geratriz das faces e h a altura buscada.


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Mas

AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE 21 A 30, DEVEM SER

RESOLVIDAS E REPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES.

Questão 21. Sabendo que

:

a) prove que .

b) calcule

.

Solução:

a)

b) Do item anterior, temos que

.

Logo:

Questão 22. Determine todos os números complexos tais que

.

Solução: . Logo:

Assim, o conjunto solução é formado por todos os reais diferentes de 0 e todos os complexos de módulo unitário.

Questão 23. Um torneio é disputado por quatro times A, B, C e D. É três vezes mais provável que A vença do

que B, duas vezes mais provável que B vença do que C e três vezes mais provável que C vença do que D. Quais são as probabilidades de ganhar para cada um dos times?

Solução: A soma de um evento com seu complementar é igual a 1. Logo:


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Do enunciado,

Com isso,

Questão 24. Resolva a inequação em : .

Solução: Façamos as condições de existência:

Para a última condição:

Montamos o quadro de sinais para determinar o intervalo buscado:

Logo, ou . Das outras condições, temos que . Assim:

Portanto, .

Questão 25. Sendo A, B e C matrizes inversíveis de ordem , prove que:

a) .


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b) .

c) .

Solução:

a)

Logo: .

b) .

c) .

Questão 26. Resolva a equação em :

.

Solução:

Mas

. Logo:

Voltando em

De fato, para par

logo as condições de existência são atendidas. Assim, o conjunto

solução é

.

Questão 27. O triângulo , cujos lados medem , , é base de uma

pirâmide de vértices S, cujas faces laterais , e formam diedros de com o plano da base.

a) Calcule o volume da pirâmide.


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b) Calcule o raio da esfera inscrita na pirâmide.

Solução:

a) Sejam , o vértice da pirâmide e sua projeção sobre o plano da base, respectivamente e o ponto em que o

raio da circunferência inscrita ao toca a aresta . O raio da cinrcunferência inscrita ao triângulo é

. Como projeção de V conincide com o incentro da base e se H é a altura da pirâmide:

Logo:

b) Seja O o centro da esfera inscrita:


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Questão 28. Mostre que

.1

Solução: Sejam

e

. Logo:

Igualando as expressões:

Considerando apenas as primeiras determinações positivas:

Questão 29. Dado um quadrado de lado unitário e um um ponto O interno a tal que .

a) Prove que é equilátero.

b) Calcule o comprimento de .

Solução:

a) .

Por simetria, e .

:

:

. Logo, é equilátero.

b)

.

1 A questão original estava errada.


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Questão 30. Conforme ilustrado nas figuras abaixo, existe uma sequência de curvas , , , .... Sabe-se que a

área definida por vale 1 e que é um triângulo equilátero. Obtemos de pelo seguinte procedimento:

Dividimos cada lado de e construímos um trângulo equilátero externamente a cada lado de sobre o

segmento do meio e depois retiramos esse segmento ( ).

a) Escreva como a área da região limitada por e determine uma fórmula fechada para a mesma.

b) Determine o valor de para quando assume valores muito grandes.

Solução:

a) Primeiramente, note que cada lado de vira 4 lados de e cada lado de vira mais 4 de e assim

sucessivamente, o que nos dá o número de lados em igual a .

A cada passo, estamos ainda adicionando um triângulo equilátero de área

a cada lado de . Logo:

,

,

,

.

Vamos provar essa conjectura via indução finita. Para a expressão é válida. Suponha para e

.

Para , é fácil perceber que, após operações, teremos adicionado um triângulo de área

a

cada lado de este possui lados. Assim:

.

b) De a) temos que

. Logo:


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.

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