CONSTRUES FUNDAMENTAISSo construes simples que sero necessrias em desenhos mais complexos e elaborados. So exemplos de construes fundamentais: ponto mdio, mediatriz, bissetriz de um ngulo, traar paralela ou perpendicular, dividir um segmento em partes iguais, desenhar ngulos de , construir um polgono regular, etc. Ponto mdio. 1.Problema: Dado um segmento (ou dois pontos distintos) encontrar o ponto mdio dele (ou um ponto alinhado com os dois e a igual distncia deles). 2.Construo: Se so dados 2 pontos, ligue-os formando um segmento. Com a ponta seca do compasso em um dos extremos e abertura maior que a metade (por que?) dele, trace um crculo. Repita o procedimento para o outro vrtice, mantendo a abertura do compasso. Os dois crculos cortam-se em dois pontos. Ligando esses pontos com o uso da rgua e lpis obtemos o ponto mdio procurado. 3.Justificativa: Repare que os extremos do segmento e os dois pontos de interseo dos crculos formam um losango, cujas diagonais cortam-se ao meio ... 4.Figura: O desenho a seguir foi executado no GEOGEBRA. O raio do crculo foi o tamanho do segmento dado, para poder ser reobtido.

Mediatriz de um segmento A mesma construo acima. A nica diferena que procuramos o segmento (ou a reta) que passa pelo ponto mdio. Traado de perpendiculares 1.Problema: Levantar uma perpendicular a um segmento ou uma reta, passando por um ponto P dado ou por um ponto qualquer. O ponto pode estar em qualquer lugar. 2.Construo 1-Ponto na reta: Se P no for um ponto extremo, com o compasso e abertura apropriada determine dois pontos A e B que tem P como ponto mdio. Novamente com o compasso e abertura apropriada determine os pontos de interseo de dois crculos. Os quatro pontos so vrtice de um losango e o problema est resolvido. Se P for um extremo do segmento e for vivel estende-lo, faa isso e ento recamos na soluo j dada. Se for invivel estender o segmento (no h papel ou proibido estender) faa o que segue: Escolha um ponto Q auxiliar fora do segmento e distncia razovel de P (5 cm!). Com o compasso trace o crculo com centro Q e raio ou a parte dele que for possvel. Esse crculo corta o segmento ou seu prolongamento (*) num ponto R.

Trace o dimetro por R. Se S o extremo desse crculo ento a reta por P e S a perpendicular procurada. Observao (*) Se no for possvel prolongar escolha outro ponto Q para que o crculo corte o segmento. 3.Justificativa: No primeiro caso obtemos um losango e est justificado. No segundo caso, veja que o ponto P vrtice de um ngulo inscrito num semi-crculo, logo mede . 4.Figura 1: Desenho da primeira situao:

5.Construo 2-Ponto fora da reta: Com o compasso vamos obter dois pontos no segmento (ou prolongamento dele). Com a mesma abertura e ponta seca em cada um destes pontos completamos o losango. 6.Justificativa: J feita. 7.Figura: Ver abaixo:

Antes de prosseguir vamos a atividades prticas manuais: Exerccios Propostos 1 Transporte de ngulos: 1.Problema: Desenhar um ngulo igual a um ngulo dado, em outro local. 2.Construo: Marque o novo vrtice e trace um dos lados do ngulo. Com o compasso trace arcos cortando os dois lados do ngulo dado e o primeiro lado do ngulo que j temos. Com o compasso mea o arco compreendido entre os lados do ngulo. Transporte essa medida para o novo ngulo. Trace o segundo lado. 3.Justificativa: Os dois ngulos ( original e copia) so ngulos centrais e ``enxergam'' arcos iguais, logo so iguais. 4.Figura:

Traado de paralelas 1.Problema: Desenhar uma reta paralela uma reta r dada, passando por um ponto P dado. 2.Construo 1 Marque Q na reta r. Desenhe . Com o compasso marque R e S vrtice de um losango de lado . A justificativa bvia. e ponta seca em

3.Construo 2 Marque Q na reta r. Com o compasso e abertura

Q determine R em r. Com a mesma abertura trace o crculo de centro P. Marque o arco QS igual ao arco PR. Trace a reta PR. 4.Figura:

5.Construo 3 Marque Q na reta r. Marque R na reta r. Transporte o ngulo com novo vrtice R. Transporte a partir de R obtendo S. Trace a reta por P e S.

6.Justificativa Na construo procuramos desenhar um paralelogramo, que tem lados opostos paralelos. 7.Figura:

8.Construo 4: Trace primeiro a perpendicular s a r por P. Depois trace a perpendicular a s, por P. Traar a bissetriz de um ngulo dado 1.Problema: Desenhar a bissetriz de um ngulo, ou seja, dividir um ngulo dado em dois ngulos iguais. 2.Construo: Com a ponta seca do compasso traamos um arco cortando os dois lados do ngulo. O problema agora reside em dividir o arco entre os lados em duas partes iguais. Com o compasso (mudando a abertura ou no) , ponta seca em um extremo do arco e depois no outro, encontramos um ponto. Ligando esse ponto ao vrtice do ngulo teremos traado a bissetriz. 3.Justificativa: J feita na exposio dos passos para a construo. 4.Figura:

Desenhar ngulos Mltiplos e submltiplos de So muitos os ngulos que podemos construir. Comeando com o ngulo de obter, traando bissetrizes, , , , etc. Somando ngulos podemos obter , , , , , , podemos , etc...

Subtraindo ngulos podemos obter, entre outros, Antes de prosseguir, construa todos os ngulos com ,

e assim por diante. ,

com medidas

Dividir um segmento dado em partes iguais 1.Problema: Temos um segmento fixo e precisamos dividi-lo em 2, 3, 4, etc, partes iguais. 2.Justificativa: A figura a seguir constituda por um feixe de paralelas cortadas por duas transversais. Numa das transversais ( a que est abaixo) marcamos segmentos iguais A teoria diz que na outra transversal os segmentos tambm sero iguais, o que resolve o problema..

Dividir um segmento em partes proporcionais 1.Problema: Dividir um segmento dado em partes proporcionais a nmeros inteiros dados ou a segmentos dados. 2.Construo: A partir de um vrtice qualquer marque o segmento a ser dividido.. A partir do mesmo vrtice, em outra semi-reta, com uma unidade de comprimento qualquer, digamos o cm, marque sucessivamente, segmentos com medidas iguais aos nmeros dados. Ligue a extremidade do ltimo segmento extremidade do segmento dado. Pelos pontos obtidos trace paralelas. 3.Figura: Na figura a seguir os pontos esto numerados na ordem em foram obtidos.

4.Justificativa: Teorema Linear de Tales. Operaes de soma e subtrao de segmentos: 1.Problema: Dados dois ou mais segmentos obter a soma deles ou dados dois segmentos obter a diferena deles. 2.Construo: No caso da soma, transportar cada um dos segmentos sobre uma reta, de modo consecutivo.

No caso da diferena, transporte o maior sobre uma freta, a partir de algum ponto. Em seguida, transporte o menor segmento, a partir do final do primeiro e em sentido contrrio. Essa construo extremamente fcil e a justificativa bvia. Produto de segmentos: Em termos matemticos esta construo no pode ser feita uma vez que o resultado seria uma rea. Mas com o artifcio de incluir na questo um segmento de comprimento unitrio, podemos construir . 1.Justificativa: O teorema de Tales nos garante que a partir da figura:

Se desenhamos o segmento do denominador valendo

, segue que

2.Construo: Desenhe duas semi-retas formando um ngulo qualquer. Numa delas marque o segmento de e um dos dois segmentos, digamos . Na outra marque . Ligue os extremos de e . Finalmente, pelo extremo de trace uma paralela formando a figura acima. Pronto. . Quociente de segmentos: Novamente, esta construo no pode ser feita, matematicamente falando. Mas com o artifcio de uso de um segmento com comprimento . Como acima, marque numa das retas e e na outra e . Da voc obter , um segmento de medida igual ao quociente das medidas modo que ou seja, e e . e ao nmero de Quarta Proporcional: Chamamos de quarta proporcional aps , acima, marcando numa semi-reta e na outra, obtendo .

. Para determinar a quarta proporcional referida faa como

Terceira proporcional ou Mdia Geomtrica: Chamamos de terceira proporcional entre e ao nmero de modo que ou seja, . 1.Construo: Sobre uma reta marque consecutivamente os segmentos e . Pelo ponto comum deles levante uma perpendicular, Desenhe o crculo de dimetro . A mdia geomtrica ser o segmento 2.Figura: da figura a seguir.

Segmentos do tipo

onde

segmento e

um nmero natural

1.Problema: Dado um segmento de medida , obter os segmentos onde um nmero natural. 2.Justificativa: Se construmos o tringulo retngulo issceles de catetos iguais a ento sua hipotenusa ser . Se construmos o tringulo retngulo de catetos Se construmos o tringulo retngulo de catetos hipotenusa medir . a partir do segmento , e e sua hipotenusa medir veremos que sua .

3.Figura: Como exemplo vamos obter o segmento

Mdia e extrema razo: 1.Pesquisa na Internet Este tema muito importante para os arquitetos. Consulte as pginas e vdeos a seguir para se inteirar do assunto: desenhodearquitetura.blogspot.com/.../o-numero-de-ourophi-0618034.html www.slideshare.net/.../phi-e-o-mundo-hoje goldennumber.net/architecture.htm

Ao final produza um texto de aproximadamente 10 linhas sintetizando o assunto. 2.A Questo: Para os gregos, um ponto divide um segmento em mdia e extrema razo ou na razo urea quando a razo entre o segmento todo e a parte maior fosse igual a razo entre a parte maior e a menor. Essa razo foi denominada . Elegeram como ideal de beleza coisas que estivessem na razo . 3.Resoluo: Na figura a seguir, suponha seja a medida do segmento e que seja o segmento maior. Ento o segmento menor ter medida .

A partir da figura teremos: ou seja,

. Da primeira igualdade tiramos

uma equao do segundo grau cujas razes so:

e

. A primeira negativa e deve ser abandonada por no convir ao problema. Resta ento

que d

ou

. O inverso deste nmero

que tambm chamado

por algumas

pessoas, como vimos nas pginas da internet.

4.Construo: Desenhe as semi-retas e , com a mesma origem e perpendiculares. Sobre marque o segmento de medida de extremos e . A seguir determine o ponto mdio do , e, com o compasso marque essa medida sobre , com extremos e . Desenhe a hipotenusa do tringulo e sobre ela, com o compasso, aplique o segmento , com extremos e . A razo entre e . 5.Justificativa: A hipotenusa acima referida tem medida igual a resta retirando-se

. Preferimos esta construo pois a mesma se presta bem a construir o

decgono e o pentgono, que sero vistos a seguir. 6.Figura:

Arco capaz de um ngulo: 1.O Problema: Se um ngulo inscrito num crculo, ento um arco fica determinado pela seguinte propriedade: qualquer ngulo inscrito nesse arco ter a medida . Dizemos tambm que o ponto ``enxerga'' o segmento sob ngulo . 2.Figura:

Para tentar encontrar o arco que contem todos os pontos que enxergam sob ngulo , tem os uma coisa conhecida: o segmento uma corda do circulo, logo o centro dele est na mediatriz de . Temos ainda dois pontos que esto no crculo: e , e o ngulo de segmento de vrtice (ou ) tambm mede . Um dos lados do ngulo de segmento tangente ao crculo em , logo seu centro est na

perpendicular a esse lado passando por . Pronto! Achamos o centro do crculo e consequentemente o ``arco capaz`` do ngulo . 3.Construo: So dados: o segmento Trace uma semi-reta e sobre ela transporte e o ngulo . . Trace a mediatriz de . e

Transporte o ngulo de modo que seu vrtice seja , que um lado contenha que o outro fique no semi-plano que no contenha o centro procurado.

Como exerccio, desenhe um tringulo no qual

,

e com

.

Polgonos regulares inscritos e circunscritos: Vamos agora tratar das construes dos polgonos regulares (inscritos ou circunscritos). Antes de mais nada bom saber que poucos polgonos regulares podem ser desenhados de ''modo exato``. Para a grande maioria os mtodos so aproximados. bom que o arquiteto saiba que se precisar desenhar um polgono regular, poder utilizar o AutoCAD e ficar muito satisfeito com o resultado. Podemos desenhar, com exatido (ao menos teoricamente) os polgonos de (3, 6, 12, 24, 48, ...), os de 20, ...) e os de lados (4, 8, 16, 32, ...);os de lados lados (5, 10,

lados (17, 34, 68, ...) ainda que o nmero de passos para a figura

seja muito grande e o erro fatalmente aparecer (*). prefervel uma construo aproximada neste caso.

1.Construes de polgonos inscritos no exatos: Teoria: A figura a seguir mostra parte de um polgono regular de lados, destacando o ngulo central , o lado e o raio do crculo.

Pela lei dos co-senos, temos: seja, ou,

ou ou, finalmente,

Pesquisa do ''melhor 2R`` Vamos a seguir organizar uma tabela contendo os valores de e do ''melhor`` valor de , para uma construo com menor erro. Voc deve calcular . Como uma rgua tem graduao at milmetros ser melhor que a primeira casa decimal aps milmetro seja 1 (que ser arredondado para 0), 0 ou 9 (que ser arredondado para maior).

Construo: Construa o crculo de dimetro 2R encontrado. Trace um dimetro dele. Desenhe parte o ''timo`` e, com o compasso transporte essa medida a partir dos extremos do dimetro ( se n for par) ou a partir de um dos extremos apenas (se n impar), no sentido horrio e anti-horrio (para espalhar o erro ao invs de concentr-lo na ltima marcao). Exemplo: Construo do polgono regular de 17 lados. Vimos que o valor ''timo`` para 2R 6. Ento traamos um crculo de raio 3. Como , vamos aproxim-lo por . Traamos um dimetro do crculo e aplicamos dimetro, para obter: nos dois sentidos, a partir de um dos extremos do

Deixamos na figura os dois ltimos crculos para mostrar o erro da construo. Questionamento: E se o polgono procurado tem que estar inscrito num crculo de raio 12? Nesse caso, desenhamos o crculo de raio 12, com o mesmo centro do anterior, depois do desenho anterior estar completo. Cada vrtice j desenhado dar origem a um vrtice novo, pelo prolongamento dos raios. Da teremos

2.Construes de polgonos circunscritos no exatos: Teoria: A figura a seguir mostra um crculo de raio polgono circunscrito e metade do ngulo central .

, um lado

de um

imediato que

donde tiramos

. Em seguida

que d

A seguir vamos pesquisa pelo melhor para uma construo com poucos erros. Segue a seguir uma tabela com alguns valores bons para .

Construo: Como exemplo vamos construir um heptgono regular circunscrito. Pela tabela, um bom valor para o dimetro . O valor de que ser arredondado para . Traamos um crculo de raio , um dimetro, e por uma extremidade traamos uma perpendicular. A partir da extremidade, sobre a perpendicular marcamos para cima ou para baixo, obtendo P . Traamos outro crculo com o mesmo centro e passando por P. Neste novo crculo, a partir de P, aplicamos nos dois sentidos, para encerrar.

3.Polgonos com construo (teoricamente) possvel com rgua e compasso Comeamos com os polgonos da foram depois octgono, de 16, 32, 64, 128 lados, etc. Quadrado Inscrito Num crculo, com raio adequado, traamos dois dimetros perpendiculares. Unindo esses 4 pontos obtemos o quadrado inscrito> A seguir a figura: . O primeiro deles o quadrado,

Quadrado Circunscrito: Mesma construo acima, at obter os 4 pontos. A seguir trace retas perpendiculares aos dimetros, por cada um dos 4 pontos A seguir a figura:

Passamos agora aos polgonos do tipo Hexgono Inscrito:

. O primeiro deles o tringulo,

depois o hexgono, dodecgono, polgono de 24, 48,96 lados, etc. No crculo de raio dado desenhe um dimetro. Sem mudar a abertura do compasso, a partir de cada extremo, acima e abaixo, marque 6 pontos. Unindo esses 6 pontos teremos um hexgono regular inscrito. Veja a seguir a figura:

Hexgono Circunscrito: Faa a mesma construo at obter os 6 pontos. A seguir trace os 3 dimetros determinados pelos 6 pontos. Para completar trace perpendiculares aos dimetros em cada um dos 6 pontos. Veja a figura a seguir:

Tringulo Equiltero Inscrito ou Circunscrito: Faa a mesma construo feita para o hexgono at obter os 6 pontos. Una-os alternadamente, (pulando um) e obter o tringulo. Na figura que segue, temos o hexgono inscrito (em azul), o circunscrito (em vermelho), o tringulo inscrito em preto e o tringulo circunscrito (em amarelo).

Finalmente, vamos construo dos polgonos regulares do tipo 4.Decgono inscrito: Teoria: Observe o tringulo que issceles, formado por dois raios consecutivos e um lado do decgono. O ngulo central mede 36 , . Trace a bissetriz interna do ngulo . No issceles, temos: , e . Assim na figura. finalmente, os segmentos

.O

primeiro deles o pentgono, depois o decgono, icosgono, com 40, 80,160 lados.

que

. Observe,

Pelo teorema da bissetriz interna, temos:

Como

, resulta

o que pode ser traduzido em:

o maior segmento de uma diviso urea

de (todo o segmento est para o maior assim como o maior est para o menor). Construo: Vamos dividir o raio maior que . dado em mdia e extrema razo e utilizar o segmento

5.Decgono circunscrito: Aps desenhado o decgono inscrito, ache os pontos mdios dos seus lados. Trace os raios que passam por esses pontos mdios, os quais determinaro os pontos de tangncia do decgono circunscrito. Por esses pontos trace as retas paralelas ao decgono inscrito.

6.Pentgono inscrito: Proceda como se estivesse construindo um decgono, at obter os 10 pontos. Desenhe o pentgono inscrito ligando os pontos alternadamente (pulando um...).

7.Pentgono circunscrito: Proceda como no desenho do decgono circunscrito at obter os 10 vrtices dele. Obtenha o pentgono inscrito e aproveitando os pontos de tangncia do decgono desenhe os lados do pentgono circunscrito traando paralelas ao pentgono inscrito.

8.Os outros polgonos construtveis: Podem ser obtidos por duplicao no nmero de lados aplicados sucessivamente. Mais explicitamente, a partir do quadrado obtemos os polgonos de 8, 16, 32, 64 lados, etc. A partir do tringulo equiltero obtemos o polgono de 6, 12, 24, 48 lados, etc e a partir do pentgono obtemos os polgonos de 10, 20, 40, 80, etc, lados. Com exemplo construiremos o polgono inscrito de 16 lados. Comeamos pelo quadrado, passamos pelo octgono e chegamos ao polgono pedido.