construção de polígonos para resolução de … · construção de poligonos para resolução de...

Construção de Polígonos para

Resolução de Problemas

JULIO CESAR FERRI

CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS PARA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Julio Cesar Ferri

Laura Marisa Carnielo Calejon

CONSTRUÇÃO DE POLÍGONOS PARA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Universidade Cruzeiro do Sul

2015

© 2015

Universidade Cruzeiro do Sul

Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa

Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática

Reitor da Universidade Cruzeiro do Sul – Profa. Dra. Sueli Cristina Marquesi

PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA

Pró-Reitor – Profa. Dra. Tania Cristina Pithon-Curi

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Coordenação – Profa. Dra. Norma Suely Gomes Allevato

Banca examinadora

Profa. Dra. Laura Marisa Carnielo Calejon

Prof. Dr. Juliano Schimiguel

Prof. Dra. Rosemary Aparecida Santiago

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

F45c

Ferri, Julio Cesar.

Construção de poligonos para resolução de problemas / Julio

Cesar Ferri. -- São Paulo: Universidade Cruzeiro do Sul, 2015.. 34 p. : il. Produto educacional (Mestrado em ensino de Ciências e

Matemática).

1. Ensino de geometria 2.Construção de polígonos 3. Geometria – Ensino Fundamental. 4. Geogebra (software) 5. Processo de ensino – aprendizagem. I. Título. II. Série.

CDU: 514:373.3

Sumário

1 APRESENTAÇÃO ..................................................................................................................5

2 A APRENDIZAGEM E ESCOLARIZAÇÃO NA PERSPECTIVA HISTÓRICO-

CULTURAL ................................................................................................................................8

3 PROCEDIMENTO PARA UTILIZAR O GEOGEBRA COMO RECURSO

PEDAGÓGICO NO ENSINO DA GEOMETRIA ..................................................................10

3.1 ATIVIDADE 1 .....................................................................................................................18

3.2 ATIVIDADE 2 .....................................................................................................................20

3.3 ATIVIDADE 3 .....................................................................................................................23

4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ...................................................................................29

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................32

REFERÊNCIAS .......................................................................................................................34

Julio Cesar Ferri

5


1 APRESENTAÇÃO

O produto apresentado relaciona-se com uma tendência do ensino de

Matemática e com o desenvolvimento dos recursos da tecnologia da

comunicação e da informação (TIC), tomando como foco o ensino de conteúdos

de geometria e o software denominado GeoGebra.

O ensino matemática inclui conceitos geométricos. Estes são

apresentados nos livros didáticos por meio de axiomas, definições, teoremas e

exercícios. Muitas vezes, as práticas de aprendizagem consistem na

memorização, com o objetivo de aplicar os conceitos diretamente para resolver

exercícios simples. Dentro dessa prática tradicional de memorização, não se

pode esperar um bom desempenho dos alunos em exercícios que exigirem a

validação de determinadas fórmulas ou para resolver problemas conceituais.

Esse ambiente não oferece aos alunos a oportunidade de compreender

profundamente os conceitos de geometria e as fórmulas introduzidas e, assim,

eles não conseguem revolver problemas conceituais de diferentes exercícios de

rotina.

Uma compreensão conceitual da geometria, que é um entendimento

baseado no discernimento, exige imaginação e criatividade, uma vez que as

derivações de fórmulas se baseiam na flexibilidade e generalização de figuras

ou formas. Deste modo, os livros didáticos não podem visualizar a natureza

dinâmica das figuras geométricas no papel.

Como consequência, os alunos são obrigados a investigar mentalmente

as possíveis propriedades de objetos geométricos sem uma forma externa para

aumentar a compreensão dos conceitos relacionados e, portanto, eles muitas

vezes não conseguem desenvolver insights sobre os conteúdos ensinados.

Assim, a internalização das representações geométricas é um desafio mental

para os alunos, que enfrentam dificuldades de aprendizagem quando a

apresentação desses conceitos é realizada apenas por meio de livros didáticos.

Este problema continua persistente em um ambiente de aprendizagem que

Julio Cesar Ferri

6


carece de recursos dinâmicos que podem facilitar a justificação e validação de

definições, axiomas e teoremas de uma forma perspicaz.

A proposta é propiciar ambientes de estudo em que a participação do

professor seja de mediação nas atividades, e onde os alunos possam exercer a

liberdade para externar seus pensamentos, participando na construção do

conhecimento, é o que realmente se espera das novas tendências da educação

brasileira.

Dessa maneira, é importante desenvolver procedimentos que ajudem os

alunos a serem ativos no processo de ensino-aprendizagem, motivando-os à

produção de conhecimento e transformando-os em cidadãos atuantes, constitui-

se em um grande desafio para as escolas, nos dias atuais.

Este produto foi elaborado a partir da dissertação “O Uso do GeoGebra

no Ensino de Matemática”, ano 2015, em que pesquisador se dedicou a iniciar

novas formas para comunicar-se com os alunos, como condição importante do

processo de ensino.

O público alvo deste produto foi pensado para os anos finais do ensino

fundamental II, 9º Ano, estes estudantes têm dificuldades em assimilar os

conteúdos de geometria, pois não conseguem traçar parâmetros ou conexões

cabíveis entre os conceitos apresentados. Além disso, não conseguem de

imediato relacionar a aplicabilidade desses conteúdos em profissões futuras.

Essas assertivas são baseadas na própria experiência de aprendizagem do

pesquisador, tanto como aluno do Ensino Fundamental, como atualmente ao

exercer a função de professor. Estes dados coincidem, de certa forma, com as

experiências vividas pelo pesquisador, enquanto estudante, no seu processo de

escolarização.

Posteriormente, a partir da experiência profissional como professor, foi

possível observar que a qualidade da aprendizagem dos conceitos da geometria

era menor e as dificuldades nesta área aumentavam entre os estudantes,

trazendo, com isso, desinteresse, dispersão e até repulsa em relação às aulas.

Julio Cesar Ferri

7


Com um olhar mais atento e experiente em sala de aula, esse problema

recorrente aguçou o interesse do pesquisador, que buscou alternativa para

articular o computador a geometria, num processo educacional, surge então o

desafio de como a tecnologia da comunicação e da informação contribui na

produção de contextos de ensino dos conteúdos da Geometria no Ensino

Fundamental.

O referencial teórico assumido para compreender a complexidade e

integralidade do fenômeno pesquisado foi o enfoque histórico-cultural. No campo

do ensino de matemática a pesquisa assumiu conceitos sistematizados pela

modelagem matemática. O uso dos recursos da tecnologia da comunicação e da

informação representa uma alternativa importante na organização de contextos

de ensino capazes de levar os alunos na superação de suas dificuldades.

O produto deste estudo consiste num procedimento para utilizar o

GeoGebra como recurso pedagógico no ensino da geometria.

Julio Cesar Ferri

8


2 A APRENDIZAGEM E ESCOLARIZAÇÃO NA PERSPECTIVA HISTÓRICO-

CULTURAL

Entre as tendências no ensino da disciplina ora em foco, a Modelagem

Matemática (MM) tem se mostrado adequada no que se refere a atender às

necessidades impostas pela sociedade, pois oferece mais uma alternativa para

o professor organizar o contexto de ensino.

Logo, ao se observar com maior ênfase a Modelagem Matemática

agregada à tecnologia, notar-se-á que esta pode ser compreendida a partir das

proposições de Vygotsky, ainda que o tempo transcorrido entre as duas

explicações seja bastante extenso. Este produto analisa uma proposta de ensino

organizada nestas bases, buscando contribuir com professores e estudantes no

sentido de organizar situações de ensino capazes de contribuir para o

crescimento intelectual dos estudantes e estudiosos de Matemática.

Segundo Rosa (2014), uma primeira constatação de Vygotsky é que o

pensamento e a linguagem, que para um adulto parecem entidades idênticas,

são, na verdade, dois processos independentes, que convergem para uma

mesma trajetória em um dado momento. A base a partir da qual Vygotsky parte

para chegar a essa conclusão são estudos com primatas superiores, realizados

por vários antropólogos.

De acordo com Vygotsky (1996), o pensamento ocorre por intermédio das

relações que a criança estabelece com a cultura, em sua ação no mundo real.

Essa ação é mediada por signos ou "instrumentos psicológicos":

Os instrumentos psicológicos são elaborações artificiais; são sociais por natureza e não são orgânicos ou individuais; são destinados ao controle dos processos do próprio comportamento ou do comportamento dos outros, assim como a técnica é destinada ao controle dos processos da natureza. Aqui estão alguns exemplos de instrumentos psicológicos: a linguagem, as diversas formas de contagem e de cálculo, os símbolos algébricos, as obras de arte, a escrita, os esquemas, os diagramas, os mapas, todos os signos possíveis (VYGOTSKY, 1996, p. 38).

Julio Cesar Ferri

9


Vygotsky pressupõe uma relação de interdependência entre

aprendizagem e desenvolvimento.

Desta forma, a aprendizagem cria a zona de desenvolvimento potencial

porque aciona processos internos de desenvolvimento quando a criança interage

com um parceiro mais experiente. Daí a importância da realização de trabalhos

em grupo. Resulta desta compreensão e deste conceito que o processo de

ensino e aprendizagem se constitui em um espaço colaborativo, marcado por

elações interpessoais entre o sujeito e outros mais desenvolvidos. Assim a zona

de desenvolvimento proximal configura uma experiência emocional

caracterizada por um desenvolvimento real ou atual e o desenvolvimento

potencial do sujeito, assim como por níveis de ajuda oferecidos por ¨outros¨ que

são portadores de cultura, incluindo o domínio dos recursos da comunicação e

da informação.

Outro fator importante a ser considerado refere-se à linguagem. Segundo

Vygotsky (1996), o desenvolvimento do pensamento é determinado pela

linguagem, isto é, pelos instrumentos linguísticos do pensamento e pela

experiência sociocultural da criança. O crescimento intelectual da criança

depende de seu domínio dos meios sociais do pensamento, isto é, da linguagem.

Julio Cesar Ferri

10


3 PROCEDIMENTO PARA UTILIZAR O GEOGEBRA COMO RECURSO

PEDAGÓGICO NO ENSINO DA GEOMETRIA

O produto consiste num procedimento para utilizar o software GeoGebra

como recurso pedagógico no ensino da Geometria.

Os recursos tecnológicos ultrapassam limites de tempo e espaço,

oferecendo flexibilidade para as pessoas que, em circunstâncias diversas,

utilizem-se das vantagens que a TIC proporciona, gerando uma fonte de estímulo

educativo.

Uma possível solução para o problema descrito na apresentação deste

produto, é a partir da introdução de um ambiente de geometria dinâmica, com a

utilização do software GeoGebra (http://www.geogebra.org) para o ensino e

aprendizagem de geometria. A geometria dinâmica pode ser incorporada em

uma sala de aula de geometria regular a fim de fornecer, por meio do recurso

GeoGebra, uma representação visual dos conceitos de geometria no sentido

físico. Para os alunos, a geometria dinâmica desempenha o papel de uma

ferramenta intelectual para o estudo de objetos de geometria empiricamente. O

objetivo da aprendizagem ao utilizar a geometria dinâmica, a fim de fornecer

suporte para processos baseados no livro didático de geometria. Para isso,

foram formuladas atividades baseadas em uma série de lições de geometria

dinâmica, com a utilização do GeoGebra, a fim de explorar o uso desse recurso

na aprendizagem de geometria.

Com base na teoria de Vygotsky uma formação mais eficaz pode ser

induzida por meio da utilização da TIC. A proposta deste produto é provocar

possíveis efeitos práticos da utilização do GeoGebra sobre a aprendizagem de

geometria em termos de melhoria da motivação, participação ativa,

entendimento conceitual e estratégias de resolução de problemas por partes dos

alunos. A incorporação do GeoGebra em uma aula de geometria regular é uma

iniciativa para o desenvolvimento e extensão de uma pedagogia centrada no

aluno.

Julio Cesar Ferri

11


Neste produto, o GeoGebra foi usado para apoiar a construção de

conhecimentos teóricos de geometria, e aumentar a motivação e suporte aos

alunos na construção conceitos e ideias através da experiência empírica.

O recurso GeoGebra tem uma variedade de ferramentas que permitem

aos alunos construir objetos geométricos e visualizar conjecturas geométricas

ou ideias em um nível perceptivo. Além disso, as ferramentas oferecem

flexibilidade dos objetos (ferramenta de arrastar). A flexibilidade da construção

geométrica possibilita aos alunos a oportunidade de justificar, validar ou refutar

as conjecturas ou ideias, bem como construir conjecturas baseadas na evidencia

empírica. Assim, o GeoGebra é um recurso que garante uma nova configuração

de aprendizagem e novas interações, porque inclui características únicas que

suportam a aprendizagem de geometria.

O GeoGebra fornece ferramentas para manipular objetos em um sentido

físico, pois possibilita diferentes formas de manipular as figuras geométricas

(arrastar). Este produto possibilita um novo meio de aprendizagem que

proporciona experiências tangíveis para os alunos através de interações físicas

realizadas com o GeoGebra. Este suporte físico para a construção de processos

mentais está alinhado com a visão de Vygotsky (1996), indicando que o uso da

TIC na educação tem um potencial promissor no processo de internalização do

conhecimento.

O GeoGebra é um software com suporte livre (código aberto) da

comunidade matemática, em um ambiente de aprendizagem que integra

múltiplas representações dinâmicas, vários domínios da matemática, e uma rica

variedade de utilidades computacionais para MM e simulações (BU; SCHOEN,

2011).

O GeoGebra criou um efeito positivo, centrado em torno da integração da

tecnologia no ensino-aprendizagem da Matemática, que se estendeu a partir

deum projeto de design de pós-graduação na Universidade de Salzburg, por

intermédio de fronteiras internacionais para todas as regiões do mundo,

atingindo desde estudantes universitários e seus professores até crianças em

Julio Cesar Ferri

12


áreas rurais. Para a maioria dos interessados, o uso do GeoGebra e as

atividades curriculares baseadas nesse software, considerado um fenômeno

popular, é motivada distintamente pelo compromisso profissional dos

professores e sua curiosidade matemática e didática (BU; SCHOEN, 2011;

SPECTOR et al., 2011).

O GeoGebra oferece a oportunidade de explorar uma grande variedade

de conceitos algébricos e geométricos por meio da prática da manipulação de

gráficos, tabelas, fórmulas e formas. É também uma maneira conveniente e fácil

de gerar gráficos e imagens para apresentações, perguntas de testes, e

problemas (GARBER, 2010).

O GeoGebra oferece novas ferramentas que vão além dos métodos

tradicionais, desse modo, amplia o leque de construções geométricas acessíveis

e suas soluções. Ele pode ser usado para a visualização de objetos e para

melhorar o processo de aprendizagem pela descoberta, permitindo que os

alunos explorem uma quantidade maior de exemplos na tela do computador, o

que não seria possível em uma aula tradicional de geometria, devido ao tempo

na construção do objeto.

Com o GeoGebra os alunos podem começar a explorar conceitos por si

mesmos. Outras razões importantes que podem levar um professor a adotar o

uso do GeoGebra em sala de aula são descritas por Mainali e Key (2012):

O GeoGebra dá flexibilidade aos professores: o papel

desempenhado pela tecnologia não é fixo e pode ser alterado ao

longo do tempo, conforme a experiência do professor aumenta. Isto

significa que os professores terão maior flexibilidade no que eles

querem fazer e no modo como vão apresentar as atividades par os

alunos. Esse ambiente de aprendizagem permite aos professores

adaptar seus métodos de instrução e de ensino de forma mais

eficaz às necessidades dos seus alunos.

Julio Cesar Ferri

13


Professores e alunos se tornam co-aprendizes: a tecnologia pode

transformar o ensino da geometria, estimulando os alunos em

demonstrações interativas, construções e explorações dos

conteúdos. Os professores, por vezes, são co-aprendizes dos

alunos nesses empreendimentos sobre como eles instituem

explorações de um conceito de geometria e, assim, envolver-se em

discussões com seus alunos sobre estas explorações.

Permite a aprendizagem centrada no aluno: o GeoGebra promove

programas de investigação dirigidos pelo aluno e trabalho

colaborativo com as atividades adequadamente concebidas por

meio das quais os professores podem oferecer aos alunos a

oportunidade de formular teorias e tirar suas próprias conclusões.

Desenvolve habilidades de pensamento nos alunos: a intuição dos

alunos pode ser trazida para um nível superior, expondo-os a uma

ampla gama de conceitos geométricos que eles podem explorar

por si mesmos e, às vezes, até mesmo descobrir um pouco mais

sobre matemática além da geometria. Essa atividade também dá

aos alunos mais controle sobre sua própria aprendizagem.

O GeoGebra é um exemplo de software matemático onde as figuras

geométricas podem ser manipuladas e operações algébricas podem ser

realizadas não apenas pelos professores, mas também pelos alunos que

trabalham de forma independente do professor. Uma vantagem importante do

GeoGebra é que é um software de código aberto e, portanto, não exige esforço

financeiro extra para as escolas, professores ou alunos para adquiri-lo, podendo

ser realizado o download gratuito do software pela internet

(http://www.geogebra.org).

O GeoGebra pode ser particularmente atraente para os professores,

porque fornece uma plataforma para atividades que requerem um alto nível de

abstração dos alunos. Ao trabalhar com essas atividades os alunos permanecem

engajados com os recursos interativos que o GeoGebra oferece, aprendendo a

Julio Cesar Ferri

14


partir do feedback, vendo padrões, fazendo conexões, e trabalhando com

imagens dinâmicas.

A tela inicial do GeoGebra contém uma barra de menus, barra de

ferramentas, janela de visualização, janela de álgebra, campo de entrada para

fórmulas, conforme demonstra a figura 1.

Figura 1: Interface do GeoGebra Fonte: GeoGebra, 2015.

A caixa de ferramentas do GeoGebra contém os menus para a utilização

do software. Para acessar esses menus basta clicar em cada item e escolher a

opção desejada. A interface do GeoGebra é intuitiva e facilita a acessibilidade

tanto para professores como para os alunos.

O recurso vem a atender uma situação específica do conceito de

Semelhança de Triângulos, matéria bem difundida no Ensino Fundamental.

Duas figuras geométricas são semelhantes se têm a mesma forma, mas

não necessariamente o mesmo tamanho, uma delas pode ser ampliada ou

reduzida, é um modelo exato da outra.

Um exemplo bem simples trata-se da ampliação e redução de fotografias,

fotos 3x4 podem ser ampliadas para os mais diversos tamanhos: 10x15; 13x18

e assim por diante, o contrário também é verdadeiro, podemos reduzir.

Julio Cesar Ferri

15


Vamos construir um triângulo qualquer, com ajuda do software GeoGebra

para demonstrar redução e ampliação, ou seja, semelhança de polígonos.

Somente alguns passos antes da atividade.

Construa um triângulo de lados ABC: clicar em: e com o

botão lado esquerdo do mouse, construa o triângulo, no final do

terceiro clique você terá os pontos ABC, (aparecerá

automaticamente) e ligue o ponto C até A para finalizar a figura.

Figura 2: Triângulo de lados ABC Fonte: GeoGebra, 2015.

Agora vá em: , clique fora (botão esquerdo mouse) de seu

triângulo criando o ponto D.


Clicar em: , reta e clicar no ponto D e A. repita o mesmo

processo no ponto D e C.

Julio Cesar Ferri

16



Neste momento, criaremos a homotetia da figura, clicar em:

homotetia, após clicar no ABCD e no ponto D, aparecerá uma janela

pedindo o fator (razão entre ampliação e redução), coloque um

valor mais baixo, caso contrário a figura ficará muito grande ou

muito pequena, a sugestão é colocar fator 2 e clicar em OK.

Figura 5: Triângulo de lados ABC – homotetia Fonte: GeoGebra, 2015.

Será criado o ' ' 'A B CD , a figura foi ampliada com fator 2, então,

colocaremos os ângulos internos, para isso clicar em: ,

ângulo, após clicar no triângulo ' ' 'A B CD e ao repetir no ABCD ,

teremos os valores dos ângulos internos destes triângulos.

Julio Cesar Ferri

17


Figura 6: Triângulo de lados ABC – ampliado Fonte: GeoGebra, 2015.

Vamos agora indicar os valores dos segmentos dos dois triângulos.

Clicar em: , Distância, Comprimento ou Perímetro, após

clicar no segmento AC, o valor aparecerá.

Figura 7: Triângulo de lados ABC – com valores Fonte: GeoGebra, 2015.

Repetir com todos os lados dos triângulos.

Julio Cesar Ferri

18


Figura 8: Triângulo de lados ABC – com valores

Fonte: GeoGebra, 2015.

Agora está pronto o triângulo semelhante, podendo na sequência

explorar alguns conceitos desta construção.

3.1 ATIVIDADE 1

Com base na construção abaixo, e os mesmos conceitos na que foram

abordados anteriormente, verifique, explore e valide suas hipóteses para

responder as questões:

Figura 9: Atividade 1

Fonte: GeoGebra, 2015.

Julio Cesar Ferri

19


1. O que você nota nos triângulos são semelhantes?

Defina o que leva a sua conclusão.

Sugestão: Para comprovar se dois triângulos são semelhantes devemos

verificar se os pares de ângulos são congruentes ou os pares de lados

homólogos são proporcionais.

Resolução pelo GeoGebra:

No campo de entrada, , digitar : a’/a, irá

aparecer o fator de ampliação ou redução (homotetia), pois teremos de ter o

mesmo fator em pelo menos dois pontos para serem semelhantes. Repetir o

processo para B e C. Rapidamente nota-se que o fator é 2 em todos os pontos.

A partir dos segmentos homólogos ' ' ' ' ' 'A B C B C A

AB CB CA= = , vamos

calcular se proporcionalmente os lados são iguais, logo:

' ' 12,36

26,18

A B

AB= =

' ' 4,4

22,2

C B

CB= = \

' ' ' ' ' 'A B C B C A

AB CB CA: :

' ' 12,24

26,12

C A

CA= =

Podemos calcular também pelos ângulos, se temos pelo menos

dois, dos três ângulos congruentes, têm uma proporção na figura.

Podemos destacar que todas as informações já estão na própria figura

construída, podemos observar já “janela de álgebra”, canto esquerdo da tela.

Julio Cesar Ferri

20


Figura 10: Janela de Álgebra Fonte: GeoGebra, 2015.

Onde as letras f, g e i são respectivamente ' ' ' ' ' 'A B C B C A

AB CB CA= = .

3.2 ATIVIDADE 2

No ABCD traçando uma reta paralela a C’A’ formará um novo triângulo

BFE, podemos dizer que BFED é semelhante ao ABCD ?

Figura 11: Atividade 2 Fonte: GeoGebra, 2015.

Sugestão: Deixe os alunos procurarem uma relação que satisfaça em

seus próprios arquivos possibilitando altera-los.

Sugestão 2: Faça uma reta paralela a um dos lados do triângulo e outra

perpendicular a um lado (qualquer) destaque os ângulos para estabelecer uma

relação e deixem explorar as diferenças.

Julio Cesar Ferri

21


Questione qual é a figura semelhante, já que as duas tem como origem

o mesmo triângulo ABC. Por que uma sai semelhante e outra não?

Figura 12: Atividade 2 (Sugestão 2) Fonte: GeoGebra, 2015.

Os pontos em destaque na figura D e E, são móveis, portanto percebe-se

que os ângulos não se mexem, são o mesmo em toda extensão do triângulo

ABC.

Veja em outra demonstração a mesma figura anterior em movimento.

Figura 13: Atividade 2 (Sugestão 2 após movimento) Fonte: GeoGebra, 2015.

Julio Cesar Ferri

22


Resolvendo pelo GeoGebra: Como reta e não é paralela a nenhum lado

do triângulo ABC, não podemos estabelecer nenhuma semelhança, pois os

ângulos e os lados não são correspondentes. Para haver semelhança

deveríamos notar que ângulos ou lados homólogos são correspondentes.

Portanto a reta d, demonstrou ser paralela a base AC pois seus ângulos

são congruentes, sendo assim:

Figura 14: Atividade 2 (resolução parte 1) Fonte: GeoGebra, 2015.

Separando os triângulos ABC e GB’H, temos:


Δ GB’H

Julio Cesar Ferri

23



Δ AB’C

Como d // AC, temos:

B'B

HGB' ΔC AB'ΔHC

GA

^^

^^

^^

≡

≈⇒≡

≡

3.3 ATIVIDADE 3

Atividade desafio: (Unicamp – Vestibular). Uma rampa de inclinação

constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em Brasília, tem 4

metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-

la, nota que, após caminhar 12,3 m sobre a rampa, está a 1,5 m de altura em

relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para

atingir o ponto mais alto da rampa.

Sugestão: represente no GeoGebra um triângulo assim feito nos

exercícios anteriores e coloque as medidas, usa-se o botão , texto e

aparecerá uma janela, coloque a medida se desejar, tecle OK. Procure observar

semelhança entre triângulos na figura, monte uma proporção com os lados e

resolva a equação correspondente usando inicialmente uma regra de três.

Julio Cesar Ferri

24


Sugestão 2: Represente em valores com escala, nesse caso usei para

cada centímetro 1 metro na representação em tamanho natural, ou seja, escala

em 1:100 cm.

Primeiramente na tela vamos marcar no eixo y a altura da rampa,

clicar ponto e depois sobre o 4.

Após, traçar uma reta paralela ao eixo x, vá em reta paralela,

clique e clique também na reta x, arraste a reta para a posição 4 no

ponto ela se moverá.

Após clicar e realizar uma construção clique em mover,

serve para “limpar” e dar o próximo comando (pode repetir este

passo, sempre que for conveniente).

Clicar na origem do sistema, marcando mais um ponto igual ao

primeiro passo.

Temos que criar mais uma reta (será a rampa), clicar em

reta, e logo após no ponto criado na origem do sistema.

Vamos agora interceptar, criando um ponto no final da “rampa”,

clique em intersecção de dois objetos e logo após onde cria-

se o ponto D, figura a seguir.

Julio Cesar Ferri

25


Figura 17: Atividade desafio Fonte: GeoGebra, 2015.

Para criar os pontos F e E, basta no campo de entrada

, que fica em baixo da tela, o par ordenado do

problema (12.3, 1.5) aperte enter, cria-se o ponto F, logo após

digite (12.3, 0), cria-se o ponto E.

Falta apenas um ponto para finalizar, podemos clicar em

reta paralela e clicar em y, a reta se moverá, levaremos ela até o

ponto D. clicar em ponto e teremos o último ponto marcado.

Agora iremos apenas criar o polígono clicar em e construir o

triângulo, destacando.

Para finalizar clique em distância, comprimento e perímetro

e ir clicando no segmento que desejar descobrir a medida, ela irá

aparecendo com seus respectivos segmentos. (Lembre-se que

está em escala).

Observe na janela de Álgebra, você tem todas as informações que

necessita sobre o triângulo construído.

Julio Cesar Ferri

26


Figura 18: Atividade desafio (janela de álgebra) Fonte: GeoGebra, 2015.

Figura 19: Atividade desafio (resolução) Fonte: GeoGebra, 2015.

Estima-se que melhore o desempenho na interpretação de enunciados,

grande dificuldade quando ocorre uma transposição do escrito para a figura.

Atividade em dupla: (Adaptado livro didático – Matemática uma aventura

do pensamento. Oscar Guelli, 2º edição São Paulo 2005, p. 119).

Julio Cesar Ferri

27


Para calcular a largura de um rio, Luis observa duas árvores, uma em

cada margem.

Luis coloca-se a certa distância da árvore mais próxima, de tal

forma que não consegue ver outra.

Luís caminha para o rio, perpendicularmente à margem, e conta 24

passos até a margem.

Depois vai até a árvore, contando 18 passos.

Continua a caminhar no mesmo sentido, até ficar em frente à árvore

da outra margem.

Nesse trecho, Luís contou 72 passos.

Pergunta-se: Qual é a largura do rio se 60 passos de Luís correspondem

a 30 m?

Sugestão: Neste exercício a proposta é por em prática o conhecimento,

que foi sendo construído com o auxílio do software GeoGebra, é livre a

interpretação, pode ser feito por desenho, pelo computador ou até mesmo

simulando o problema, o que vale é a construção do pensamento e onde

podemos intervir, o software ajuda a montar uma dinâmica, mas vale ressaltar

que é um dos recursos, nessa hora, não podendo inibir nenhuma outra

manifestação.

Resolvendo pelo GeoGebra:

Julio Cesar Ferri

28


Figura 20: Atividade em dupla Fonte: GeoGebra, 2015.

Resolução: NQ QR

PO RP= ( Lados homólogos no triângulo)

24 18

72x=

24 18

72x=

18 1728

1728

18

x

x

=

=

96

9648

2

x =

\ =

Se 60 passos de Luís equivalem a 30 metros, para andar 1 metro terá de

dar 02 passos. A cada 02 passos equivalem a 1 metro percorrido por Luís.

Portanto o rio tem uma largura de 48 metros.

Julio Cesar Ferri

29


4 ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Ao utilizar o GeoGebra para a aprendizagem de conceitos de geometria,

cabe ao professor o papel de gestor e orientador do processo de aprendizagem.

Todas as aulas devem ser planejadas antecipadamente, com o objetivo de

atender às necessidades de aprendizagem dos alunos e motivá-los no estudo

dos conceitos geométricos.

Pelas fases interligadas de tarefas orientadas para objetivos com o

recurso GeoGebra, o professor cria uma cultura rica em tecnologia apropriada

para a aprendizagem, que se baseia nas habilidades instrumentais dos alunos e

competências do conhecimento em geometria/matemática.

As ações do professor, sua fala e gestos durante a atividade de classe

devem destacar seu foco em como o GeoGebra pode ser usado para explorar a

geometria/matemática, criando uma estrutura para a partilha, participação e

colaboração entre os alunos.

Para manter os alunos interessados e motivados, é preciso que o

professor tenha foco na tarefa atual e, posteriormente, apresente uma tarefa

mais desafiadora e interessante em cada transição para uma nova fase da

atividade. O elevado nível de autonomia e independência que o GeoGebra

oferece aos alunos é útil para ajudá-los a fazer escolhas individuais, resolvendo

sozinhos suas atividades. Em alguns casos, os alunos podem trabalhar em

duplas para discutir o que está sendo aprendido.

O professor deverá intervir apenas em intervalos necessários para apoio

e suporte adequado aos alunos, de modo a garantir que as atividades estão

procedendo em direção ao objetivo definido para a aula.

O desenvolvimento do conhecimento de geometria está em o aluno saber

o que fazer quando estiver engajado em uma tarefa no ambiente GeoGebra, e o

conhecimento técnico torna-se uma exigência para que ele possa usar esse

recurso pedagógico.

Julio Cesar Ferri

30


Neste sentido, o professor é mais do que um guia, ele também é um

recurso de suporte para os alunos, fornecendo a introdução inicial ao uso do

GeoGebra e estando prontamente disponível para dar apoio técnico e as

informações necessárias para incentivar a construção de técnicas pelos próprios

alunos. Com o suporte do professor, os alunos se sentem mais confiantes para

usar o GeoGebra, pois sabem que em caso de dúvidas pode contar com o auxílio

do professor.

Quando surgirem dúvidas é importante que elas sejam discutidas em

conjunto com a classe, assim, o professor organiza as condições para o

surgimento de um debate sobre o assunto, motivando todos a buscar soluções

para problemas comuns relacionados ao GeoGebra e aos conceitos de

geometria, onde os alunos se envolvem em um processo de colaboração e

compartilhamento de experiências.

A interatividade é considerada uma função da TIC que permite um

feedback rápido e dinâmico, com respostas contingentes sobre as ações do

usuário, levando a diversas interações sociais, entre professor e alunos, alunos

e alunos, por intermédio do GeoGebra.

O feedback do professor é fundamental na motivação do aluno para a

aprendizagem, tendo como pano de fundo a interatividade social e o uso de

técnicas orquestradas pelo professor e apoiadas pelo ambiente de

aprendizagem dinâmica com o uso da TIC.

A estratégia de aula com o uso do GeoGebra visa a interação entre os

alunos, e o papel do professor é tornar essa interação possível, motivando os

alunos a se envolverem nas atividades propostas.

Esse tipo de interatividade técnica e pedagógica possibilita o início de um

diálogo, permitindo a participação ativa e a colaboração entre professor e alunos

enquanto se envolve com a atividade usando o GeoGebra. Apesar de o professor

manter a direção da aula para as atividades a serem realizadas, com o

Julio Cesar Ferri

31


GeoGebra, os alunos podem aprender em seu próprio ritmo, sendo orientados

pelo professor.

No uso do GeoGebra em sala de aula o papel do professor pode ser

resumido como um orientador desta tecnologia, estimulando os alunos a se

manterem focados na tarefa a ser realizada, além de projetar sequências

progressivas de atividades de aprendizagem e facilitar o processo de reflexão

dos alunos sobre a tarefa realizada. Todo esse processo irá desenvolver nos

alunos a autonomia e independência para o uso do GeoGebra, e com a prática

eles irão começar a buscar suas respostas construindo e assimilando os

conceitos de geometria.

É importante que o professor adquira o conhecimento técnico necessário

para a utilização do GeoGebra em sala de aula, antes de apresenta-lo aos seus

alunos. A forma como o professor apresenta uma tecnologia, tem grandes

consequências para a sua aplicação em sala de aula. O estudo realizado pelo

pesquisador demonstrou que os problemas técnicos poderiam ser um fator

crítico para professores de matemática utilizarem os recursos tecnológicos em

sala de aula.

Com a experiência no uso do GeoGebra o professor se torna mais

confiante, por esse motivo, o conhecimento técnico e o planejamento das aulas

é fundamental.

Julio Cesar Ferri

32


5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O produto apresentado neste estudo foi um procedimento para utilizar o

software GeoGebra como recurso pedagógico no ensino da Geometria.

O uso do GeoGebra em sala de aula visa, essencialmente, melhorar a

aprendizagem dos conceitos geométricos através da criação de um contexto em

que as atividades fazem sentido para os alunos, tornando-os motivados e com

maior autonomia sobre seu processo de aprendizagem.

A experiência do pesquisador com o uso do GeoGebra tem demonstrado

uma boa receptividade por parte dos alunos com o uso desse recurso

pedagógico, facilitando a assimilação dos conteúdos de geometria, além de

motivar os alunos na realização das atividades por intermédio desse recurso.

O suporte do professor e as interações entre professor, alunos para a

utilização conjunta do GeoGebra em sala de aula, cria um espaço de trabalho

coletivo dentro do qual as técnicas utilizadas geram novos conhecimentos

geométricos, permitindo aos alunos maior autonomia, responsabilidade e

independência sobre seu processo de aprendizagem.

O uso do GeoGebra em sala de aula para a aprendizagem dos conteúdos

de geometria faz com que o professor tenha um papel vital no suporte aos

alunos, sua intervenção adequada e a importância do feedback instantâneo

podem ser motivadores para a aprendizagem dos alunos. Apesar de visar a

autonomia dos alunos para a aprendizagem, o suporte por parte do professor e

seu feedback é sempre necessário.

A utilização do GeoGebra em sala de aula oferece oportunidades amplas

para a criatividade e produtividade entre os alunos e o professor através dos

níveis de interações desse recurso pedagógico.

O produto apresentado neste estudo pode informar aos professores de

matemática como utilizar o GeoGebra em sala de aula e sugere um possível

modelo de atividades a serem exploradas.

Julio Cesar Ferri

33


A expectativa do pesquisador é que as características dinâmicas do

GeoGebra serão inteiramente utilizadas como o progresso dos alunos em suas

atividades de aprendizagem, promovendo maior interação entre professor e

alunos, e ampliando a autonomia dos alunos em seu próprio processo de

aprendizagem dos conceitos de geometria.

Julio Cesar Ferri

34


REFERÊNCIAS

BU, L.; SCHOEN, R. GeoGebra for model-centered learning in mathematics: an

introduction. In: SPECTOR, J.M.; SEEL, N. M.; MORGAN, K. Modeling and

simulations for learning and instruction. v. 6. Sense Publishers, 2011.

GARBER, K. Exploring algebra and geometry concepts with GeoGebra.

Technology Tips: Mathematics Teacher. 2010;104 (3): 226-8.

GEOGEBRA. Introducing GeoGebra – Dynamic Mathematics Software – Part

I. 2014. Disponível em <http://emrefirat.edublogs.org/2014/07/12/introducing-

geogebra-dynamic-mathematics-software-part-i/>. Acesso em 10 out. 2015.

GUELLI, O. Matemática uma aventura do pensamento. 2ª ed. São Paulo:

Atual, 2005.

MAINALI, B.R.; KEY, M.B. Using dynamic geometry software GeoGebra in

developing countries: a case study of impressions of mathematics teachers in

Nepal. International Journal for Mathematics Teaching & Learning; 2012.

ROSA, P.R.S. Teoria de Vygotsky – capítulo V. UFMS, 2014.

SPECTOR, J.M.; SEEL, N.M.; MORGAN, K. Modeling and simulations for

learning and instruction. v. 6. Sense Publishers, 2011.

VYGOTSKY, L.S. Teoria e método em psicologia. São Paulo: Martins Fontes,

1996.

construção de polígonos para resolução de … · construção de poligonos para resolução de...

Documents