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1. (Pucrj) A medida da área, em 2cm , de um quadrado que pode ser inscrito em um círculo de raio igual a 5 cm é? a) 20 b) 25 2 c) 25 d) 50 2 e) 50 2. (Insper) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles.

A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale a) S(2 2 1).+ b) S( 2 2).+ c) 2S( 2 1).+ d) 2S( 2 2).+ e) 4S( 2 1).+ 3. (Insper) Um polígono regular possui n lados, sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois vértices desse polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P1 e P2, congruentes entre si. O número de lados do polígono P1 é igual a

a) n 2.2+

b) n 1.2+

c) n .2

d) n 1.2−

e) n 2.2−

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4. (Ucs) Dois pontos A e E estão situados na margem esquerda de um rio, a uma distância de 40 m um do outro. Um ponto C, no qual está ancorado um bote, está situado na margem

direita, de tal modo que os ângulos CAE e CEA medem 60°. Considerando as margens praticamente retas e paralelas, qual e, em metros, a largura aproximada do rio no local em que está o bote? Para efeitos de cálculo utilize: 3 1,7.≅ a) 17 b) 34 c) 45 d) 68 e) 80 5. (Enem) Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5m e 14m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é a) 4. b) 8. c) 9. d) 12. e) 20. 6. (Fgv) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele.

O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a a) 4 2+ b) 4 3+ c) 6 d) 4 5+ e) 2(2 2)+ 7. (Mackenzie) A área de um triângulo regular inscrito em uma circunferência de raio r, em função do apótema a de um hexágono regular inscrito na mesma circunferência é a) 2a b) 22 a c) 22 2 a

d) 21 3 a2

e) 23 a

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8. (Insper) O quadrado ABCD está inscrito na circunferência de centro O e raio de medida 2 2 cm, como mostra a figura.

Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao lado CD e os vertesses G e H pertencem à circunferência. Assim, a medida do lado do quadrado EFGH, em cm, é igual a a) 0,8. b) 0,9. c) 1,0. d) 1,1. e) 1,2. 9. (Ufsj) O uniforme da escola circense “Só alegria” tem o logotipo abaixo bordado no seu agasalho.

Desse desenho, borda-se o contorno de cada um dos seis triângulos equiláteros da figura. Com 1m de linha são bordados 10 cm do contorno e, para cada agasalho bordado, cobram-se R$0,05 por 10 cm de linha gasta acrescidos do valor de R$2,50. Sabendo disso, em uma encomenda de 50 agasalhos, serão gastos a) R$125,00. b) R$131,75. c) R$161,25. d) R$192,50. 10. (Uepb) A área de um triângulo equilátero cujo apótema mede 2cm é igual a: a) 23 cm

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b) 29 3 cm c) 24 3 cm d) 216 3 cm e) 24 2 cm 11. (Enem) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para 3. O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere o texto a seguir para responder à(s) questão(ões) a seguir. As “áreas de coberturas” a serem atendidas por um serviço de telefonia móvel são divididas em células, que são iluminadas por estações-radiobase localizadas no centro das células. As células em uma mesma área de cobertura possuem diferentes frequências, a fim de que uma célula não interfira na outra. Porém, é possível reutilizar a frequência de uma célula em outra célula relativamente distante, desde que a segunda não interfira na primeira. Cluster é o nome dado ao conjunto de células vizinhas, o qual utiliza todo o espectro disponível. Uma configuração muito utilizada está exemplificada na Figura 1, que representa um modelo matemático simplificado da cobertura de rádio para cada estação-base. O formato hexagonal das células é o mais prático, pois permite maior abrangência de cobertura, sem lacunas e sem sobreposições. A figura 2 ilustra o conceito de reutilização de frequência por cluster, em que as células com mesmo número utilizam a mesma frequência.

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12. (Fatec) Na figura 2, os hexágonos são congruentes, regulares, têm lado de medida R e cobrem uma superfície plana. Para determinar a distância D, distância mínima entre o centro de duas células que permitem o uso da mesma frequência, pode-se traçar um triângulo cujos vértices são os centros de células convenientemente escolhidas, conforme a figura 3.

Assim sendo, o valor de D, expresso em função de R, é igual a a) R 21 b) 5R c) 3R 3 d) R 30 e) 6R 13. (Uff) No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular, é comum se encontrar um modelo no qual as torres de transmissão estão localizadas nos centros de hexágonos regulares, congruentes, justapostos e inscritos em círculos, como na figura a seguir.

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Supondo que, nessa figura, o raio de cada círculo seja igual a 1km, é correto afirmar que a distância 3,8d (entre as torres 3 e 8 ), a distância 3,5d (entre as torres 3 e 5 ) e a distância

5,8d (entre as torres 5 e 8 ) são, respectivamente, em km, iguais à a) 3,8 3,5 5,8d 2 3, d 3, d 3 2 3.= = = + b) 3,8 3,5 5,8d 4, d 3, d 5.= = =

c) 3,8 3,5 5,83 3 3 3d 4, d , d 4 .

2 2= = = +

d) 3,8 3,5 5,8d 2 3, d 3, d 21.= = =

e) 3,8 3,5 5,83 3 9d 4, d , d .

2 2= = =

14. (Enem) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estatua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? a) R L/ 2≥ b) R 2L/π≥ c) R L/ π≥ d) R L/2≥ e) ( )R L/ 2 2≥ TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 15. (Pucrs) Para uma engrenagem mecânica, deseja-se fazer uma peça de formato hexagonal regular. A distância entre os lados paralelos é de 1cm, conforme a figura abaixo.

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O lado desse hexágono mede ______ cm.

a) 12

b) 33

c) 3

d) 55

e) 1 16. (Upe) Em um polígono convexo regular de n lados, chamamos de corda qualquer segmento de reta entre dois vértices distintos. Um lado é, portanto, uma corda ligando vértices adjacentes. Se o polígono regular tem número par de vértices, chamamos de diâmetro uma corda ligando o vértice m ao vértice m+n/2 onde consideramos que os vértices do polígono estão numerados no sentido anti-horário, a partir de um vértice qualquer, de zero (inclusive) a n-1. Nessas condições, a probabilidade de que uma corda não seja nem um diâmetro nem um lado do polígono é igual a a) 1/2 b) (n-6)/(n-1) c) (n-5)/(n-1) d) (n-4)/(n-1) e) 1. 17. (Espm) Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O comprimento do segmento AD é igual a: a) 2 b) 1 2+ c) 2 2 1− d) 2 2 1+ e) 2 2 18. (Eewb) Um ciclista deu 100 voltas em uma pista que tinha a forma de um hexágono regular. Cada lado do hexágono media 15 m. Quantos quilômetros ele percorreu? a) 9 b) 90 c) 900 d) 9000 19. (Ufpr) Com base nos estudos de geometria, identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são as

respectivas semirretas opostas aos lados do outro.

( ) A razão entre dois ângulos suplementares é igual a 27

. O complemento do menor vale

140 graus.

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( ) A hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles que gira em torno de um dos catetos,

gerando um sólido cujo volume é 3cm , é 2 cm.3π , é 2 cm.

( ) Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, então, por qualquer ponto de uma das retas, passa uma reta que se apoia nas outras duas.

( ) Se um polígono regular possui, a partir de um dos seus vértices, tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono, então esse polígono é um dodecágono.

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo. a) V – F – V – F – V. b) F – V – F – V – F. c) F – V – V – F – V. d) V – V – V – V – V. e) V – F – F – F – F. 20. (Uece) Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de um vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos de Q é a) 144 graus. b) 150 graus. c) 156 graus. d) 162 graus. 21. (Pucrj)

Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto vale o ângulo ACE? a) 24° b) 30° c) 36° d) 40° e) 45° 22. (Ufrgs) Um hexágono regular tem lado de comprimento 1. A soma dos quadrados de todas as suas diagonais é a) 6. b) 12. c) 18. d) 24. e) 30. 23. (Unifesp) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito a esse triângulo, em centímetros, mede a) 3 b) 2 3 c) 4

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d) 3 2 e) 3 3

24. (Ita) Seja Pn um polígono regular de n lados, com n > 2. Denote por an o apótema e por bn o comprimento de um lado de Pn. O valor de n para o qual valem as desigualdades bn ≤ an e b n-1 > an-1, pertence ao intervalo a) 3 < n < 7. b) 6 < n < 9. c) 8 < n < 11. d) 10 < n < 13. e) 12 < n < 15. 25. (Ufla) As aranhas são notáveis geômetras, já que suas teias revelam variadas relações geométricas. No desenho, a aranha construiu sua teia de maneira que essa é formada por hexágonos regulares igualmente espaçados. Qual é a menor distância que a aranha deve percorrer ao longo da teia para alcançar o infeliz inseto?

a) 8 cm b) 10 cm c) 8 2 cm d) 10 3 cm 26. (Ufla) Uma questão interessante é obter círculos que tangenciam um círculo central e que sejam consecutivamente tangentes. Considerando o problema de se tentar envolver um círculo central com 7 círculos, com os oito círculos de mesmo raio, um esboço da solução seria da forma:

Nesse caso, pode-se afirmar que

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a) o desenho está correto e vale para qualquer valor de raio. b) o desenho está correto; porém, tal fato é válido apenas para um valor específico do raio. c) tal situação não pode ocorrer e o desenho não representa a solução do problema. d) o desenho está correto, mas o raio tem que ser suficientemente pequeno. e) o desenho é falso, pois um círculo não pode tangenciar simultaneamente outros três

círculos. 27. (Ufpb) A figura a seguir representa um barril totalmente fechado, que foi construído unindo-se 12 tábuas encurvadas e iguais, encaixadas e presas a outras 2 tábuas circulares e iguais, de raio 10 cm.

Com base nessas informações, pode-se concluir que a medida, em cm, do segmento de reta AB é igual a: a) 10 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 28. (Uel) Uma das propriedades dos Fractais é a autosimilaridade, isto é, a repetição do todo em cada parte. "Floco de neve", (curva cn ) de Helge Von Koch - 1904, é uma curva matemática que é um fractal primitivo, podendo ser construído sem o auxílio de um computador. Para a construção desse fractal devem ser seguidos os seguintes passos: 1. Tome um triângulo equilátero cujo lado tem uma unidade de comprimento e chame-o de curva c1. 2. Divida cada lado desse triângulo em três partes iguais e, tomando como base o terço médio de cada lado, construa um novo triângulo equilátero apontando para fora, (apague as partes comuns aos triângulos antigos), a nova curva é chamada c2. 3. Repita o processo em c2 , para obter c3. 4. Repetindo o processo n vezes, obtemos a curva cn.

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Sejam p1, p2, p3 ,..., pn os perímetros das curvas c1, c2, c3, .., cn, respectivamente. Com base nas imagens e nos conhecimentos sobre o tema, é correto afirmar: a) p1 > p2 > p3 b) O perímetro pn é inversamente proporcional a n. c) As curvas são simétricas em relação ao eixo vertical central de cada uma delas. d) ( ) ( )1 2

1 1 . p . p2 3= e) A curva c5 é constituída por 344 lados. 29. (Uff) A Escola Pitagórica desenvolvia estudos em Matemática, Filosofia e Astronomia. O símbolo dessa Escola era a estrela de cinco pontas, que pode ser construída ligando-se os vértices de um pentágono regular, conforme a figura.

Sejam S1 e S2 as áreas dos pentágonos regulares MNPQR e STUVX, respectivamente.

Sabendo que MU/MT = (1 5)

2+

, assinale a opção que contém a razão 1

2

SS

.

a) 2[( 5) 1][( 5) 1]

+

−

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b) 2[( 5) 1]

4+

c) 2[( 5) 1]

[( 5) 1]+−

d) 2(1 5)

(1 5)−+

e) 4[1 ( 5)]

4+

30. (Pucrs) Os vértices de um hexágono regular estão localizados nos pontos médios das arestas de um cubo conforme a figura a seguir.

Se a aresta do cubo é dada por a, a área do hexágono é

a) 2(3a 2)2

b) 23a

2

c) 2(3a 2)4

d) 2(3a 3)4

e) 2(3a 3)2

31. (Fuvest) A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é a) 5 3 b) 6 3 c) 7 3 d) 8 3 e) 9 3 32. (Ufrgs) Na figura a seguir, o pentágono ABCDE, inscrito no círculo, é regular.

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A soma das medidas dos ângulos a, b, c, d e e, indicados na figura, é a) 150°. b) 180°. c) 270°. d) 360°. e) 450°. 33. (Fatec) No centro de uma praça deve ser pintada uma linha com o formato de um polígono regular, não convexo, como mostra o projeto a seguir.

Se os vértices pertencem a circunferências de raios 4 m e 2 m, respectivamente, o comprimento total da linha a ser pintada, em metros, é igual a a) 5 - 2 b) 8 . [ ( 5 - 2 ) ] c) 16 . [ ( 5 - 2 )] d) 4 . [ ( 5 - 2 2 )] e) 16 . [ ( 5 - 2 2 )] 34. (Pucsp) Para formar uma estrela regular de seis pontas foram superpostos dois triângulos equiláteros, cada qual com 12 cm2 de área, como mostra a figura a seguir.

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Nessas condições, a área da superfície da estrela, em centímetros quadrados, é a) 16 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27 35. (Pucpr) Quatro triângulos congruentes são recortados de um retângulo de 11x13. O octógono resultante tem oito lados iguais.

O comprimento do lado deste octógono é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 36. (Mackenzie) Na figura, á = 30°, O é o centro da circunferência e AB é o lado do polígono regular inscrito na circunferência. Se o comprimento da circunferência é 4ð, a área desse polígono é:

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a) 4 3 b) 6 3 c) 8 3 d) 12 3 e) 16 3 37. (Unifesp) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura.

Nestas condições, o ângulo è mede a) 108°. b) 72°. c) 54°. d) 36°. e) 18°. 38. (Ita) Considere três polígonos regulares tais que os números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780°. O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: a) 63 b) 69 c) 90 d) 97 e) 106 39. (Ufes)

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O polígono ABCDEFGH, representado acima, é um octógono regular. Dentre os triângulos listados a seguir, o de maior área é o triângulo a) BCE b) DEG c) GHB d) HAE e) CFH 40. (Enem) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Nome Triângulo Quadrado Pentágono

Figura

Ângulo interno 60° 90° 108°

Nome Hexágono Octágono Eneágono

Figura

Ângulo interno 120° 135° 140°

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Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono. d) hexágono. e) eneágono. 41. (Ufes) Os pontos P=(a,b), Q=(a,-b) e R=(b,a) são vértices de um dodecágono regular (polígono regular de 12 lados); P e Q são vértices consecutivos. A soma das coordenadas de um vértice qualquer desse polígono poderá tomar quantos valores distintos? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 42. (Pucrj) Qual a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero de lado a? a) 2. b) 3 . c) 2 . d) 3a. e) 23a . 43. (Ufscar) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. d) 12 lados. e) 20 lados. 44. (Uel) Se um círculo de 5 cm de raio está inscrito em um hexágono regular, o perímetro do hexágono, em centímetros, é igual a a) 20 3 b) 18 3 c) 15 2 d) 12 3 e) 9 2 45. (Pucpr) Unindo-se três a três os vértices de um polígono regular obteve-se 120 triângulos. Qual era o polígono? a) hexágono. b) pentágono. c) icoságono. d) decágono. e) octógono. 46. (Fatec) Dada a figura:

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Sobre as sentenças I. O triângulo CDE é isósceles. II. O triângulo ABE é equilátero. III. AE é bissetriz do ângulo BÂD. é verdade que a) somente a I é falsa. b) somente a II é falsa. c) somente a III é falsa. d) são todas falsas. e) são todas verdadeiras. 47. (Unirio) Um carimbo com o símbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica. Ele é formado por um triângulo equilátero que está inscrito numa circunferência e que circunscreve um hexágono regular. Sabendo-se que o lado do triângulo deve medir 3 cm, então a soma das medidas, em cm, do lado do hexágono com a do diâmetro da circunferência deve ser: a) 7 e) 77/32 48. (Ita) Um hexágono regular e um quadrado estão inscritos no mesmo círculo de raio R e o hexágono possui uma aresta paralela a uma aresta do quadrado. A distância entre estas arestas paralelas será:

a) 3 2 R

2−

b) 2 1R2+

c) 3 1R2+

d) 2 1R2−

e) 3 1R2−

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49. (Mackenzie) Sejam r e R, respectivamente, os raios das circunferências inscrita e circunscrita a um polígono regular de n lados. Então, qualquer que seja n, r/R vale: a) sen (2ð/n) b) tg (ð/n) c) cos (ð/n) d) sen (ð/n) e) cos (2ð/n) 50. (Ita) O comprimento da diagonal de um pentágono regular de lado medindo 1 unidade é igual à raiz positiva de:

a) x2 + x - 2 = 0 b) x2 - x - 2 = 0 c) x2 - 2x + 1 = 0 d) x2 + x - 1 = 0 e) x2 - x - 1 = 0 51. (Unesp) A distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular é igual a 2 3 cm. A medida do lado desse hexágono, em centímetros, é: b) 2. c) 2,5. d) 3. e) 4.

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Gabarito: Resposta da questão 1: [E]

Na figura x é a medida do lado do quadrado e AC 10cm,= daí temos:

2 2 2 2x x 10 x 50+ = ⇒ = Portanto, a área do quadrado é 250cm . Resposta da questão 2: [C] Sabendo que o ângulo interno de um octógono regular mede 135 ,° segue-se que os quatro triângulos, resultantes da decomposição do octógono, são retângulos isósceles de catetos

iguais a a 2 .2

Logo, como a área do quadrado destacado no centro do octógono é 2S a ,=

tem-se que o resultado pedido é

2 21 a 2 a 2 a 24 S a 2 2a Sa2 2 2 2

2S 2 2S

2S( 2 1).

⋅ + = + +⋅ ⋅ + ⋅

= +

= +

Resposta da questão 3: [B] Os polígonos 1P e 2P possuem dois vértices em comum (vértices do polígono de n lados), e n 2 n 1

2 2−

= − vértices distintos. Logo, o número de vértices de 1P é n n1 2 1,2 2− + = + isto é,

n 12+ lados.

Resposta da questão 4: [B] Dado que CAE CEA 60 ,≡ = ° é imediato que o triângulo ACE é equilátero. Logo, queremos calcular a altura do triângulo ACE relativa ao lado AE.

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Portanto, sendo 40 metros a medida do lado do triângulo, o resultado é igual a 40 3 20 1,7 34 m.

2≅ ⋅ =

Resposta da questão 5: [C] Considere a figura, em que os círculos têm raio igual a 3 m e as mudas correspondem aos pontos vermelhos.

Portanto, segue que o resultado pedido é 9. Resposta da questão 6: [B] Como EF FA AQ QC 1dm,= = = = basta calcularmos CE. Sabendo que CDE 120= ° e CD DE 1dm,= = pela Lei dos Cossenos, obtemos

2 2 2

2 2

CE CD DE 2 CD DE cosCDE11 1 2 1 12

3.

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅ −

=

Portanto, CE 3 dm= e o resultado pedido é EF FA AQ QC CE (4 3)dm.+ + + + = + Resposta da questão 7: [E]

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r 3 2aa r

2 3⋅

= ⇒ = (no hexágono regular)

A área S do triângulo será dada por:

22 21 1 2a 3S 3 r sen120 3 a 3.

2 2 23

= ⋅ ⋅ ⋅ ° = ⋅ ⋅ ⋅ =

Resposta da questão 8: [A] Considere a figura.

Sejam e x, respectivamente, os lados dos quadrados ABCD e EFGH. Sabendo que = =OC OG 2 2 cm, vem

= ⋅ ⇔ = ⋅⇔ =

2 2 OC 2 2 2 24cm.

Além disso, temos que 4MO 2cm2 2

= = = e MN FG 2 NG.= = ⋅ Portanto, aplicando o Teorema

de Pitágoras no triângulo retângulo GON, encontramos

22 2 2 2 2

2

xNG ON OG (x 2) (2 2)2

5x 16x 16 0x 0,8.

+ = ⇔ + + =

⇔ + − =⇒ =

Resposta da questão 9: [D] Soma dos perímetros de todos os triângulos: (1+1+1+2+2+2).3 = 27 cm. Total de linha em cm: 27/10 = 2,7m = 270 cm. Valor total: (0,05.270/10+2,50).50 = R$192,50. Resposta da questão 10:

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ANULADA (Questão anulada, conforme gabarito) Sabendo que o lado de um triângulo equilátero é dado por 2a 3,= com a sendo o seu apótema, podemos concluir que a área desse triângulo é igual a

2 2

2

3 (2 2 3) 34 4

12 3 cm .

⋅ ⋅=

=

Portanto, não há alternativa correta. Resposta da questão 11: [C] Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta OC

com o círculo de raio 30cm e centro

em C.

Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que

60 3OC 34cm.3

= ≅

Portanto, R OC CD DE

34 30 1074cm.

= + += + +=

Resposta da questão 12: [A]

Apótema do hexágono regular: 2

3Ra =

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No triângulo assinalado da figura, temos:

2 22 2 25R 3 3RD D 21 R D R 21.

2 2 = + ⇔ = ⇒ =

Resposta da questão 13: [D]

3,84.1. 3d 4.a 2 3

2= = =

3,5d 1 1 1 3= + + =

2 2

5,83 9 84d 212 2 4=

+ = =

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Resposta da questão 14: [A]

Considerando R o raio da menor plataforma para se apoiar uma estátua e L o lado da base da estátua, podemos escrever: R2 + R2 = L2

22 LR

2

LR2

=

=

Portanto:

LR .2

≥

Resposta da questão 15: [B] Como o raio r do círculo inscrito no hexágono é a metade da distância entre os lados

paralelos, segue que 1r cm.2

= Logo, o lado do hexágono regular é dado por

12 3 32 cm.3 3

⋅=

Resposta da questão 16: [D]

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Número de cordas =2

)1.()!2!.(2

!2,

−=

−=

nnnnCn

P = 14

2)1.(

22)1.(

−−

=−

−−−

nn

nn

nnnn

Resposta da questão 17: [B] Sabendo que o número de diagonais (d) de um polígono regular em função do número de

lados (n) é dado por n (n 3)d ,2

⋅ −= temos que 2n (n 3)20 n 3n 40 0 n 8.

2⋅ −

= ⇔ − − = ⇒ =

Logo, A, B, C e D são vértices consecutivos de um octógono regular, cujo ângulo interno mede 180 (n 2) 180 (8 2) 135 .

n 8° ⋅ − ° ⋅ −

= = °

De posse desses dados, considere a figura abaixo.

Como os triângulos AB'B e CC'D são congruentes, basta calcularmos AB', pois BB'C'C é retângulo.

Assim, AB 1 2AB' .22 2

= = =

Por conseguinte, AD 2 AB' B'C'

22 12

2 1.

= ⋅ +

= ⋅ +

= +

Resposta da questão 18: [A] Perímetro do hexágono = 6.15 = 90m. Distância percorrida em 100 voltas na pista = 100. 90 = 9000m = 9km. Resposta da questão 19: [A] (verdadeiro) definição de ângulos opostos pelo vértice.

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(falsa) 2x + 7x = 180 ⇔ x = 20o e 2x = 40o. O complemento de 40o (menor) é 50O (Verdadeiro)

V = 21 1 .1

3 3π π

=

(falso) definição de retas reversas.

(verdadeiro) d = 1293

92

)36.(6

=⇔=−

=−

nn

Resposta da questão 20: [B]

Diagonais de P: 92

)36.(6=

−

Lados de Q: n – 3 = 9 ⇔ n = 12

Ângulo interno de Q: 12

)212(180 − = 150 graus

Resposta da questão 21: [C] Resposta da questão 22: [E] O número de diagonais do hexágono é dado por:

.92

362

)3(=⋅=

−=

nnd

Destas, três medem 2 e seis medem .3 Logo, .30130303643 2222 =⋅==⋅+⋅

Resposta da questão 23: [B] Resposta da questão 24: [B] Resposta da questão 25: [B] Resposta da questão 26: [C]

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Resposta da questão 27: [A] Resposta da questão 28: [C] Resposta da questão 29: [A] Resposta da questão 30: [D] Resposta da questão 31: [B] Resposta da questão 32: [B] Resposta da questão 33: [E] Resposta da questão 34: [A] Resposta da questão 35: [C] Resposta da questão 36: [B] Resposta da questão 37: [D] Resposta da questão 38: [D] Resposta da questão 39: [E] Resposta da questão 40: [B]

Cada ângulo interno do octógono regular mede 135° e cada ângulo interno do quadrado mede 90°. Somando 135° + 135° + 90° = 360°. Portanto, o polígono pedido é o quadrado.

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Resposta da questão 41: [B] Resposta da questão 42: [A] Resposta da questão 43: [C] Resposta da questão 44: [A] Resposta da questão 45: [D] Resposta da questão 46: [E] Resposta da questão 47: [B] Resposta da questão 48: [A] Resposta da questão 49: [C] Resposta da questão 50: [E] Resposta da questão 51: [B]

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