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Estatística: Revelando o Poder dos Dados Lock5

Seção 3.3

Construção de Intervalosde Confiança Bootstrap

Estatística: Revelando o Poder dos Dados

Sumário

Amostras bootstrap

Distribuição bootstrap

Erro-padrão de uma distribuição bootstrap

Intervalo de confiança de 95% com base em erro-padrão bootstrap


Intervalos de Confiança

População Amostra

Amostra

Amostra

AmostraAmostraAmostra

. . .

Distribuição Amostral

Erro-Padrão (EP): desvio-padrão da distribuição amostral

Margem de Erro (ME)(95% IC: ME = 2×EP)

estatística ± ME

Calcule estatísticapara cada amostra


Ideal• Para criar um intervalo plausível de valores

para um parâmetro:o Pegue muitas amostras aleatórias da população e

calcule a estatística da amostra para cadao Calcule o erro-padrão como o desvio-padrão de

todas essas estatísticaso Use estatística 2EP

• Um pequeno problema…


Realidade

… APENAS TEMOS UMA AMOSTRA!!!!

• Como sabemos o quanto as estatísticas amostrais variam, se temos apenas uma amostra?!?

BOOTSTRAP!


Amostra: 52/100 laranja

Onde poderia estar o “verdadeiro” p?

UMA Amostra de Confetes (m&m’s)

ˆ 0.52p


• Imagine que a “população” seja muitas, muitas copias da amostra original

• (O que você tem que assumir?)

“População”


“População” de Confetes (m&m’s)

Amostre repetidamentedesta “população”


• Para simular uma distribuição de amostragem, podemos apenas recolher amostras aleatórias repetidas desta “população” composta de muitas cópias da amostra

• Na prática, não podemos fazer cópias infinitas da amostra…

• … mas podemos fazer isso por amostragem com reposição da amostra que temos (cada unidade pode ser selecionada mais de uma vez)

Amostragem com Reposição


Suponha que tenhamos uma amostra aleatória de 6 pessoas:


Amostraoriginal

Uma “população” simulada para fazer amostras


Amostra Bootstrap: Amostra com

reposição da amostra original, usando o mesmo tamanho de amostra.

Amostra original Amostra Bootstrap


• Como você pegaria uma amostra bootstrap da sua amostra de m&m’s?

Confetes (m&m’s)


Sua amostra original possui valores de dados

18, 19, 19, 20, 21

A seguinte é uma possível amostra bootstrap?

18, 19, 20, 21, 22

Amostra Bootstrap

Não. 22 não é um valor da amostra original



18, 19, 19, 20, 21


18, 19, 20, 21

Amostra Bootstrap

Não. Amostras bootstrap deve ter o mesmo tamanho da amostra original



18, 19, 19, 20, 21


18, 18, 19, 20, 21

Amostra Bootstrap

Sim. De mesmo tamanho, pode ser sido obtida por amostragem com reposição


Bootstrap

Uma amostra bootstrap é uma amostra aleatória tirada com reposição da amostra original, do

mesmo tamanho da amostra original

Uma estatística bootstrap é a estatística calculada de uma amostra bootstrap

Uma distribuição bootstrap é a distribuição de muitas estatísticas bootstrap


AmostraOriginal

AmostraBootstrap

AmostraBootstrap

AmostraBootstrap

.

.

.

EstatísticaBootstrap

EstatisticaAmostral



.

.

.

DistribuiçãoBootstrap


Distribuição Bootstraplock5stat.com/statkey/

http://lock5stat.com/statkey/


“Pull yourself up by your bootstraps”

Porque “bootstrap”?

• Levante-se no ar simplesmente puxando para cima os laços de suas botas

• Metáfora para realização de uma tarefa “impossível” sem ajuda externa


Distribuição Amostral

População

µ

MAS, na prática, não vemos a "árvore" ou todas as "sementes" -só temos UMA semente


Distribuição Bootstrap

Bootstrap“População”

O que podemos fazer com apenas uma semente?

Cultive umaNOVA árvore!

ҧ𝑥

Estimar a distribuição e a variabilidade (EP) dos ҧ𝑥’s das amostrasbootstraps

µ


As estatísticas bootstrap estão para a estatística amostral original

assim como

a estatística amostral original está para o parâmetro da população

Regra de Ouro do Bootstrap


Centro

•A distribuição amostral é centrada em torno do parâmetro populacional

• A distribuição bootstrap é centrada em torno da estatística da amostra

•Felizmente, não nos importamos com o centro… nos preocupamos com a variabilidade!


Erro-Padrão

• A variabilidade da estatística bootstrap é semelhante à variabilidade das estatísticas amostrais

• O erro-padrão de uma estatística pode ser estimado usando o desvio-padrão da distribuição bootstrap!


Intervalos de Confiança Bootstrap

AmostraAmostrabootstrap

Amostrabootstrap

AmostrabootstrapAmostra

bootstrap

Amostrabootstrap . . .

Distribuição Bootstrap

Erro-Padrão (EP): desvio-padrão da distribuição bootstrap

Margem de Erro (ME)(95% IC: ME = 2×EP)

estatística ± ME

Calcule estatísticapara cada amostrabootstrap


Quanto a Outros Parâmetros?Estime o erro-padrão e/ou um intervalo de confiança para ...

• proporção (𝑝)

• diference nas médias (µ1 − µ2 )

• diference nas proporções (𝑝1 − 𝑝2 )

• Desvio-padrão (𝜎)

• correlação (𝜌)

• ... Gere amostras com reposiçãoCalcule a estatística da amostraRepita...


• Podemos usar bootstrap para avaliar a incerteza em torno de qualquer estatística amostral!

• Se tivermos dados amostrais, podemos usar o bootstrap para criar um intervalo de confiança de 95% para qualquer parâmetro!

(bem, quase isso…)

A Magia do Bootstrap


Mustangs Usados

Qual é o preço médio de um carro usado Mustang?

Selecione uma amostra aleatória de n = 25 Mustangs de um website (autotrader.com) e registre o preço (em US $ 1.000) para cada carro.


Amostra de Mustangs:

Nossa melhor estimativa para o preço médio dos Mustangsusados é de $ 15.980, mas quão exata é essa estimativa?

Price

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

MustangPrice Dot Plot

𝑛 = 25 ҧ𝑥 = 15.98 𝑠 = 11.11

BOOTSTRAP!


Amostra Original 1. Amostra Bootstrap

2. Calcule o preço médio da amostra bootstrap

3. Repitamuitas vezes!


Mustangs Usados

Erro-padrão


Mustangs Usados

95% IC:

𝐸𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 ± 2 ∙ 𝐸𝑃

$15.980 ± 2 ∙ $2.178

($11.624; $20.336)

Temos 95% de confiança de que o preço médio de um Mustang usado no autotrader.com esteja entre US $ 11.624 e US $ 20.336.


Mobilidade em Atlanta

Qual é o tempo médio de deslocamento para trabalhadores na região metropolitana de Atlanta?

Dados: O American Housing Survey (AHS) coletou dados de Atlanta em 2004


Onde poderia estar o “verdadeiro” μ?

Time

20 40 60 80 100 120 140 160 180

CommuteAtlanta Dot Plot

Amostra Aleatória de 500 Deslocamentos

PODEMOS BOOTSTRAPear PARA DESCOBRIR


Amostra Original


“População” = muitas cópias da amostra


Mobilidade em Atlanta

Intervalo de confiança de 95% para o tempo médio de deslocamento para os atlantes:

29,11 ± 2 × 0,915 27,3 a 30,9


Qual a porcentagem de americanos que acreditam no aquecimento global?

Uma pesquisa com 2.251 indivíduos selecionados aleatoriamente, realizada em outubro de 2010, descobriu que 1.328 responderam "Sim" à pergunta

“Existe evidência sólida de aquecimento global?”

Forneça e interprete um IC de 95% para a proporção de americanos que acreditam que há evidências sólidas de aquecimento global.

Aquecimento global

Source: “Wide Partisan Divide Over Global Warming”, Pew Research Center, 10/27/10. http://pewresearch.org/pubs/1780/poll-global-warming-scientists-energy-policies-offshore-drilling-tea-party

http://pewresearch.org/pubs/1780/poll-global-warming-scientists-energy-policies-offshore-drilling-tea-party


Aquecimento globalwww.lock5stat.com/statkey

Temos 95% de certeza de que a verdadeira porcentagem de todos os americanos que acreditam existir evidências sólidas de aquecimento global esteja entre 57% e 61%

0.59 2(0.01)= (0.57, 0.61)

http://www.lock5stat.com/statkey


A crença no aquecimento global difere por partido político?

“Existe evidência sólida de aquecimento global?”

A proporção da amostra que respondeu "sim" foi de 79% entre os democratas e 38% entre os republicanos.(números exatos para cada partido não dada, mas assuma n = 1000 para cada grupo)

Dê um IC 95% para a diferença nas proporções.

Aquecimento global

Fonte: “Wide Partisan Divide Over Global Warming”, Pew Research Center, 10/27/10. http://pewresearch.org/pubs/1780/poll-global-warming-scientists-energy-policies-offshore-drilling-tea-party

http://pewresearch.org/pubs/1780/poll-global-warming-scientists-energy-policies-offshore-drilling-tea-party


Aquecimento globalwww.lock5stat.com/statkey

Temos 95% de certeza de que a diferença na proporção de democratas e republicanos que acreditam no aquecimento global esteja entre 0,37 e 0,45.

0,41 2(0,02)= (0,37; 0,45)

http://www.lock5stat.com/statkey


Aquecimento global

Com base nos dados que acabamos de analisar, você pode concluir com 95% de certeza que a proporção de pessoas que acreditam no aquecimento global difere por partido político?

Sim. Temos 95% de confiança de que a diferença está entre 0,37 e 0,45 e esse intervalo não inclui o 0 (nenhuma diferença)


Resumo Para gerar uma distribuição bootstrap, nós:

Gere amostras bootstrap por amostragem com reposição da amostra original, usando o mesmo tamanho de amostra

Calcule a estatística de interesse, uma estatística bootstrap, para cada uma das amostras bootstrap

Colete as estatísticas para muitas amostras bootstrap para formar uma distribuição bootstrap

Se a distribuição bootstrap é simétrica e em forma de sino, um IC 95% pode ser estimado por 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 ± 2 ∙ 𝐸𝑃, onde EP pode ser estimado como o desvio-padrão de uma distribuição bootstrap

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