UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECNICA SISTEMAS FLUIDO-MECNICOS

1-1. Assunto: Sistemas de Unidades e fatores de converso, Manometria e Princpios, Leis Gerais e particulares a. Qual a presso em um ponto situado a 2m de profundidade no interior de um tanque dgua, sabendo que: Psuperfcie = 1 Atm e gua = 0,998.10

3 kg/m3. Para soluo desse exerccio aplicam-se noes de manometria, e sistemas de unidades. A presso total que atua no sistema : Ptotal = PAtm + Pgua Mas, sabendo que Pgua = . g . h , e que PAtm = 101,3 KN/m

2 Substituindo os valores temos: Ptotal = 101,3 KN/m

2 + ( 998 kg/m3 . 9,81 m/s2 . 2 m ) Ptotal = 101300 N/m

2 + ( 998 kg/m3 . 9,81 m/s2 . 2 m ) Fazendo as devidas simplificaes temos: Ptotal = 120,881 KPa

2m

1-2. Uma fora de 89 KN deve ser produzida na prensa hidrulica da figura. Obtenha o valor do peso W necessrio para que isto ocorra. A rea do pisto maior vale 9,3 m2 e a do pisto menor vale 0,093 m2. O fluido tem densidade igual a 0,80. Para soluo desse exerccio aplicam-se noes de equilbrio de foras, conceitos de densidade, massa especfica, peso especfico e manometria. Da equao da manometria fazemos o equilbrio de foras. PAtm + h = P2 Sabendo que a presso igual fora normal sobre a rea, temos: W/A1 + . g . h = F/A2 W/A1 = F/A2 - . g . h W/A1 = ( 89 . 1000/ 9,3) (0,8 . 1000 . 9,81 . 0,7) W = [( 89 . 1000/ 9,3) (0,8 . 1000 . 9,81 . 0,7)] . 0,093 W = 379,1 N

A1

F

W

h

A2

1-3. Uma bomba recalca gua em uma instalao com ambos os reservatrios presso atmosfrica. Sabe-se que a altura manomtrica de 50 m e um manmetro instalado em sua sada indica uma presso de 4,5 kgf/cm. A altura baromtrica de 10 m e a perda de carga na aspirao de 2 m.

Determine a altura em que a bomba est instalada. Soluo:

H= (p + p)/ Onde, H= altura manomtrica = peso especfico da gua = 1000 kgf/m p= presso manomtrica p = presso vacuomtrica Ento, 50 m = (45000 + p) kgf.m- / 1000 kgf.m-3 p = 5000 kgf/m ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- (p/ ) + (p0 / ) = Hb Onde, Hb = altura baromtrica (p0/ ) = 10 5000/1000 (p0/ ) = 5 m ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- ha = Hb (p0/ + V0

2/2g + Ja) Desprezando-se todas as variaes de velocidade nas tubulaes: ha = 10 ( 5 + 0 + 2 )

Comentrio: A altura de aspirao ou suco da bomba (ha) representa a diferena de cota

entre o nvel do centro da bomba e o da superfcie livre do reservatrio de captao.

ha = 3 m

1-4. Assunto: Princpios, leis gerais e particulares. Aplicao da 1 lei da termodinmica para sistema fechado.

Em um cilindro, 1,05 kg de ar comprimido a uma presso de 107 kPa, a uma temperatura de 25 C. Mantendo-se a presso constante, o ar aquecido a uma temperatura de 708 C. Determinar a quantidade de calor adicionado durante o processo de aquecimento do ar. Dados:

Cilindro com ar mar = 1,05 kg; T1 = 25 C; T2 = 708 C; Pabs = 107 kPa = constante. Q Soluo: Fludo de trabalho sendo m = 1,05 kg de ar; Equao Bsica: 1 lei da termodinmica para o sistema: Q12 W12 = E2 E1 Consideraes:

1) E = U, visto que o sistema opera em regime estacionrio; 2) Gs ideal com calores especficos constantes;

Com as consideraes feitas acima podemos reescrever a equao: E2 E1 = U2 U1 = m(u2 u1) = mcv (T2 T1) O Trabalho realizado o da fronteira em movimento: 2 W12 = pd = p ( 2 - 1)

1 Como gs ideal, segue a lei: p = mRT, Portanto:

w

W12 = mR(T2 - T1). Ento a equao da 1 primeira lei se torna: Q12 = E2 E1 + W2 = mcv(T2 - T1) + mR(T2 T1) Q12 = m(T2 T1) (cv + R) Q12 = mcp (T2 T1), pois {R = cp cv} Para o ar, temos que cp = 1004 J/(kg.K), (obtido atravs da tabela de propriedades termodinmicas de gases comuns na condio padro ou standard) Para T2 T1 = 708 25 = 683 C Ento resolvendo a equao, temos: Q12 = 1,05 kg X 1004 J/(kg.K) X 683 K Q12 = 720 kJ Comentrios: o objetivo deste problema revisar o emprego da primeira lei da termodinmica para um sistema, e desenvolvimento da equao de estado para um gs ideal.

1-5. Qual deve ser a potncia de uma bomba hidrulica para a instalao abaixo, considerando que a vazo de gua transportada de 10 m3 /h? Dados: Dimetro da tubulao de suco (PVC Liso) : 1,5 Dimetro da tubulao de recalque(Metal): 2 Rugosidade relativa do metal: e/D = 0,03 1m3 de gua = 1000 kg Clculo de perdas localizadas para o PVC e para o metal: Lsuco = Lvalv. p + Lcurva + Ltrecho reto Lsuco = 18,3 + 9 + 1,2 = 28,5 m Lrecalque = Lrg + Lvr + Ltrecho reto + 3 Lcurvas + Lsada Lrecalque= 0,4 + 6,4 + 33 + (3 x 0,9) + 1,5 = 44 m Soluo: Clculo do fluxo de massa: 10 m3 /h / 3600 s = 0,00277 m3/s x 1000 = 2,77 kg/s Tendo a rea de cada seco e a vazo (0,00277 m3/s), a velocidade de escoamento da gua no ponto 2 (sada) determinada por: V2= Vazo / rea 2 = 1,371 m/s J a velocidade da suco determinada pela equao: V1= Vazo / rea 1 = 2,43 m/s Com as velocidades podemos determinar os nmeros de Reynolds para a suco e para o recalque: Re = V . D / n onde n = 1,006 x 10-6 Resuco = 9,2 x 10

4 Rerecalque = 6,9 x 10

4 Com Reynolds e sabendo que na suco o tubo liso e no recalque o tubo tem rugosidade estimada da forma e/D = 0,03, encontramos os valores dos fatores de atrito f da suco e do recalque. Utilizando o diagrama de Moody: Para Re = 9,2 x 104 e tubo liso (e/D = 0), o fator de atrito na suco f1 = 0,0185 Para Re = 6,9 x 104 e e/D = 0,03, o fator de atrito no recalque f2 = 0,058 Com os valores de fator de atrito determinados podemos calcular a perda de energia na suco e no recalque:

D

VLfe

.2

.. 2=

Logo temos que e 1 = 40,85 m2/s2 e que e 2 = 47,21 m2/s2

O valor da perda total de energia de 88,06 m2/s2

Aps as devidas simplificaes na equao de Bernoulli, podemos calcular a potncia da bomba:

WegzV

mbW t 5,70806,881781,92

371,1.77,2

2

2

2

22 =

++=

++= &&

2-1. Qual a perda de carga em 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de dimetro por onde escoa gua a uma velocidade de 2 m/s?

Soluo: Inicialmente devemos calcular o Nmero de Reynolds:

Com o nmero de Reynolds e o Diagrama de Moody, obtemos para o tubo liso que o fator de atrito f = 0,02. Ento, temos que:

2-2. ASSUNTO: Balano de Massa e Energia

gua escoa atravs de uma canalizao horizontal de PVC (e/D =0,0002) de dimetro nominal 400 mm e com vazo igual a 950 litros por minuto. Determine:

A) A velocidade media de escoamento;

B) O numero de Reynolds e o regime de escoamento;

C) A perda de carga por unidade de comprimento determinada pela formula de Darcy-Weisback;

D) A perda de carga unitria determinada pela formula de flamant. Respostas:

A) Temos que a vazo igual ao produto da velocidade de escoamento pela rea da

seo.

B) Considerando a viscosidade absoluta da gua igual a temos que:

C) Sabe-se que a frmula de Darcy-Weisback igual a , sendo preciso apenas

achar o fator de atrito f, que determinado pelo diagrama de Moody, uma vez que conhecida a rugosidade relativa e/D.

D) Calculando a perda de carga pela formula de Flamant,

Esses valores significam que numa situao de bombeamento com estas caractersticas, haveria uma perda de carga aproximada de de presso a cada metro linear de tubo.

2-3. Escoamento de gua a 0,01 m3/s atravs de um tubo de 75 mm de dimetro, com L = 100 m, ligado a um reservatrio de nvel constante. Entrada de borda viva. Determine a profundidade do reservatrio, d, para manter o escoamento.

Soluo: Equaes bsicas:

p Vgz

p Vgz h h hlt l lm

1 12

12 2

2

22 2 + +

+ +

= = +

(1)

onde

h fL

D

Vl =

2

2 e h f

L

D

Vlm

e=2

2

Para o problema dado, p1 = p2 = patm, V1 0 , V V2 = . Se z2 = 0, ento z1 = d. Simplificando a equao (1) temos

gdV

fL

D

VKV

= +2 2 2

2 2 2

Logo

dg

fL

D

VKV V V

gfL

DK= + +

= + +

1

2 2 2 21

2 2 2 2

Como VQ

A

Q

D= =

42, ento

dQ

D gfL

DK= + +

8

12

2 4

Considerando a gua a 20C, = 999 Kg/m3 e = 1,0 x 10-3 kg/(m.s). Assim,

Re

Re,

, ,,

= =

=

=

VD Q

D

Kg

m

m

s

m s

m

4

4999

0 01

1 0 10

1

0 0751 70 103

3

35

Para escoamento turbulento em um tubo liso, f = 0 0162, . K = 0,5. Ento,

( )( )

( )

dQ

D gfL

DK

dm

s m

s

m

m

m

d m m

= + +

= + +

=

81

80 01

1

0 075 9 810 0162

100

0 0750 5 1

6 02 6

2

2 4

2

26

2 4 4

2

,

, ,,

,,

,

2-4. Qual a potncia da bomba?

Primeiramente, temos que determinar as perdas de carga nos trechos retos e nos acessrios da (vlvulas, curvas etc.):

Suco Recalque VP = 15 m Curvas 90 = 2 x 2 = 4 m

Curva 90 = 2 m VR = 20 m Trechos retos = 12 m Trechos retos = 30 m

Total (Ls) = 29 m

Sada = 3 m Total (Lr) = 57 m

Clculo da velocidade de escoamento da gua: Considerando o fluxo de massa igual a 2 kg/s, podemos determinar a vazo

simplesmente dividindo esse valor por 1000, pois a vazo dada em [m3/s]. Fazendo

o clculo, obtm-se Vazo Vz = 0,002 m3/s. Agora, sabendo que o dimetro da

tubulao de 50 mm, podemos calcular a rea da seo transversal do tubo:

Tendo a rea e a vazo, a velocidade de escoamento da gua determinada por:

Agora nos resta calcular a perda de carga total na tubulao:

Com Re, obtemos o fator de atrito f no Diagrama de Moody. Encontramos f = 0,021. Logo:

2

222

66,1805,0.2

02,1.86.021,0

.2

..s

mD

VLfe totaltotal ===

Finalmente, aps as devidas simplificaes na equao de Bernoulli, podemos calcular a potncia da bomba da seguinte forma:

WezgV

mbW t 2,352)1,176(266,181681,92

02,1.00,2.

2

2

2

22 ==

++=

++= &&

Observe que a altura z2 igual a 15m + 1m = 16m, j que o ponto 1 considerado na

superfcie livre da gua.

2-5. Calcular a perda de carga na tubulao de recalque, correspondente a uma vazo de 0,01 m/s, com dimetro da tubulao de aspirao igual a 150mm e de recalque igual a 100mm e componentes conforme a figura abaixo. Fluido: gua a 15 C. Desprezar variao da energia cintica em relao s perdas de carga.

1 Clculo da rea da seo do tubo de recalque: = 100mm A = * D / 4 A = 0,007854m 2 Clculo da velocidade mdia: V = Q / A V = 0,01 / 0,007854 V = 1,27 m/s 3 Clculo do nmero de Reynolds:

Para gua a 20C, a viscosidade v = 1,127x10-6 Re = V * D / v Re ~ 113.000 arredondando... 1,1 x 105

4 Clculo da rugosidade relativa, usando Rugosidade equivalente de =0,15mm ou =0,00015m (valor tabela). / D = 0,00015/0,1 0,0015 5 Com os valores de Re e D/, no diagrama de Moody encontramos f=0,024 6 A perda de carga no tubo do recalque (Jr) ser: Comprimento da tubulao= 155m 2 Curvas 45 = 3,0m 1 curva 90 raio longo = 2,1m 1 Registro globo = 34,0m 1 Vlvula de reteno leve = 6,4m L = 200,5m

Jr = 0,024 * (200,5/0,1) * (1,27) / (2*9,81)

Jr = 3,98m

3-1. Assunto: Escoamento em redes-anel Calcule as vazes em cada trecho da rede de distribuio esquematizada na figura

abaixo. Utilize o mtodo Hardy-Cross empregando a expresso de Hazen-Williams (n = 1,85). So conhecidos: C = 120 e D = 0,20m. Formulrio:

1,85

2,63

QH = L

0,2785.C.D

H

= -H

n.Q

Resoluo: Primeiro arbitrado as vazes e o sentido da corrente em cada trecho conforme a

figura:

Em seguida construda a planilha com a soluo Hardy-Cross:

1 correo

Anel Trecho L Q H H/Q Q H H/Q

A

1 20 3 0,0016 0,0005

2,89

5,89 0,0057 0,0010

0,60 2 10 -12 -0,0107 0,0009 -10,29 -0,0080 0,0008

3 10 -2 -0,0004 0,0002 0,89 0,0001 0,0001

-0,0094 0,0016 -0,0022 0,0018

B

2 10 12 0,0107 0,0009

1,17

10,29 0,0080 0,0008

0,49

4 10 15 0,0161 0,0011 16,17 0,0185 0,0011

5 30 -15 -0,0483 0,0032 -13,83 -0,0416 0,0030

6 10 10 0,0076 0,0008 11,17 0,0093 0,0008

-0,0140 0,0059 -0,0057 0,0058

2 correo 3 correo

Q H H/Q Q H H/Q

6,49 0,0068 0,0011

0,20

6,69 0,0072 0,0011

0,05 -10,18 -0,0079 0,0008 -10,09 -0,0077 0,0008

1,49 0,0002 0,0002 1,69 0,0003 0,0002

-0,0008 0,0020 -0,0002 0,0020

10,18 0,0079 0,0008

0,11

10,09 0,0077 0,0008

0,03

16,67 0,0196 0,0012 16,78 0,0198 0,0012

-13,33 -0,0389 0,0029 -13,22 -0,0383 0,0029

11,67 0,0101 0,0009 11,78 0,0103 0,0009

-0,0013 0,0057 -0,0004 0,0057

Figura resposta:

A vazo e perda de carga obtida podem ser verificadas atravs do software de anlise rede-anel disponvel na pgina http://www.cee.ucf.edu/software :

Trecho Q arbitrado Q planilha Q software H planilha H software

1 3 6,69 6,7663 0,0072 0,0074

2 -12 -10,09 -10,0613 0,0077 0,0077

3 -2 1,69 1,7663 0,0003 0,0003

4 15 16,78 16,8277 0,0198 0,0200

5 -15 -13,22 -13,1724 0,0383 0,0381

6 10 11,78 11,8277 0,0103 0,0127

A inverso do sinal na vazo do trecho 3 indica que o sentido do fluxo contrrio ao que foi arbitrado inicialmente.

3-2. Assunto: Balanos de massa e energia em instalaes hidrulicas

Na instalao da figura, a carga total na seo (2) 12 m. Nessa seo, existe um piezmetro que indica 5 m. determinar: a) a vazo; b) a presso em (1); c) a perda de carga ao longo de toda a tubulao; d) a potncia que o fluido recebe da bomba.

Resoluo:

%80

5

6

1

000.136

10

2

1

3

34

2

=

=

=

=

=

=

B

Hg

OH

cmD

cmD

mhm

Nm

N

Item (a):

s

l

s

mQ

s

mV

V

g

VPZH

6,190196,04

05,010

1020

52122

32

2

22

222

22

=

=

=++=++=

Item (b): KPaPaPP 76000.76000.5000.101000.1361 11 ===+

Item (c):

2,2162,150

2,1520

1052

20

94,6

000.10

000.762

22

94,64

510

4

6

3

22

222

2

211

121

1

22

12211

=+=++=+

=++=++

++=+++=+

=

=

PTPTPTBO

BB

BB

HHHHHH

mHH

g

VPZH

g

VPZHHH

s

mVVAVAV

Item (d): KWWHQN B 98,22,979.22,15106,19000.10

3 ==

3-3. A seguir, apresentada uma instalao de bombeamento:

Neste desenho, a bomba deve transportar o fluido do reservatrio A at o reservatrio B. Com base nas informaes dadas, marque a alternativa correta:

A) A energia consumida pela bomba independe do fluido utilizado. B) As perdas de carga so constantes para qualquer vazo volumtrica. C) No projeto deste sistema, devem ter sido levados em considerao, aspectos

referentes cavitao da bomba, uma vez que a cavitao pode gerar danos s instalaes.

D) A curva do sistema constante e igual a 52m. E) As vlvulas e joelhos no devem contabilizar no dimensionamento hidrulico

deste sistema. Resoluo: Seguem abaixo as equaes de Bernouli e da perda de carga para facilitar a interpretao da questo: Equao de Bernouli:

2

222

1

211

22z

gv

gP

hltHzg

vg

P+

+

=++

+

(1)

Equao da Perda de Carga:

22

22 vKf

vDL

fhlt += (2)

Comentrio das alternativas: Alternativa A Incorreta: a energia consumida pela bomba funo do Head (H), que por sua vez funo da densidade do fludo conforme a equao (1). O Head tambm funo da viscosidade porque para encontrar a perda de carga (hlt) necessrio encontrar o nmero de Reynolds que funo desta propriedade fsica. Alternativa B Incorreta: como a vazo volumtrica produto da velocidade com a densidade do fluido, ento, de acordo com a equao (2), a perda de carga depende da vazo volumtrica.

Alternativa C Correta: se a diferena da perda de carga por suco disponvel com a energia da presso de vapor for menor que a perda de carga por suco requerida pela bomba, pode ocorrer a formao de uma cavidade de vapor que leva vibrao da mquina. Alternativa D Incorreta: a curva do sistema (H) funo da velocidade (v). Se ocorrer variao na velocidade de escoamento ir ocorrer uma variao da curva do sistema. Alternativa E Incorreta: as vlvulas e joelhos contabilizam no dimensionamento hidrulico pela equao da perda de carga atravs do coeficiente de perda localizada (K).

Alternativa C correta

3-4. Assunto: Manometria

Os reservatrios fechados R e S (figura abaixo) contm respectivamente, gua e um lquido de peso especfico S. Sabe-se que a presso em R ( PR ) igual a 1,1 kgf/cm e que a presso em S ( PS ) igual a 0,8 kgf/cm. Calcular S.

SOLUO: Este exerccio tem sua soluo atravs da utilizao da Equao Fundamental da Hidrosttica. Partindo do ponto R ao ponto S, PR + H2Ox5 - Hgx0,2 - S x8,3 = PS 11000 kgf/m + 5000 kgf/m + 2720 kgf/m - S x 8,3 = 8000 kgf/m S = 636 kgf/m

3-5. De acordo com o diagrama abaixo calcule a presso no ponto 2 e o delta h solicitado desconsiderando as alturas das bases dos medidores de presso. Resoluo: Parte 01)

Parte 02)

hgPP += 112

msm

mkg

cmkgf

P 45,0

81,9

101000

49,0 52 =

446,02 cm

kgfP = mcaP 5,42 =ou

5600.13

1000=h

mh 37,0=

4-1. Assunto: Clculo de escoamento em tubulaes paralelas

Assumindo um coeficiente de atrito constante para todas as tubulaes e igual a f=0,0020, desprezando as perdas localizadas e as cargas cinticas, determine a vazo que chega ao reservatrio R2 as vazes nos trechos de 4 e 6e a presso disponvel no ponto B.

Convm transformar as linhas em dimetros nicos, usando a eq. 4.2 tem-se: Adutora de 2500m de comprimento e 8 dimetro A cota piezomtrica no ponto B pode ser calculada atravs da perda de carga no trecho BC

mLL

1600600

4

750

685,0

5,2

5,0

5,2

5,0

5,2

+=

mLL

1600600

1,0

750

15,02,05,0

5,2

5,0

5,2

5,0

5,2

+=

255

2

20,0

2500020,00827,0200827,0 Q

D

fLQH ==

smQ /0393,0 3=

00,5730393,020,0

900020,00827,0.00,573. 2

5+== PBCHPBC BC

mPBC 20,580. =

26515,0

750020,00827,020,58000,593 QH AB ==

smQ /028,0 36 =

24510,0

600020,00827,020,58000,593 QH AB ==

smQ /0114,0 34 =

4-2. Assunto: Leis gerais para volume de controle

Considere uma bomba dgua operando nas condies da figura abaixo. Calcule a fora de cisalhamento Fx e a fora normal Fy que atuam em sua base (gua = 999 kg/m

3, g = 9,81 m/s2).

Resoluo:

Analisando a instalao como um volume de controle e atravs das equaes de balano da quantidade de movimento temos: Na horizontal

x 1 v 1F = mV - P A& substituindo m = Q.& e 11

Q V =

A

221

x v 1 v21 1

.DQ 4.Q .F = Q.. - P A = - P .

A .D 4

3Q = 40 l/s = 0,04 m / s 2 2

3x 2

4.0,04 .999 .0,15F = - 220.10 . = - 3797,27 N

.0,15 4 xF = - 3,80 kN

Analogamente, na vertical

y 2 M 2F = mV +P A + mg& substituindo m = Q.& e 22

Q V =

A

222

y M 2 M22 2

.DQ 4.Q .F = Q.. + P .A + mg = + P . + mg

A .D 4

2 23

y 2

4.0,04 .999 .0,10F = + 110.10 . + 100 . 9,81 = 2048,45 N

.0,10 4 yF = 2,05 kN

4-3. Assunto: Escoamento em tubos paralelos

Em uma empresa foi construdo um conjunto de condutos paralelos para o escoamento de um fludo (H2O) em um determinado processo. Para esta construo, como mostra a figura abaixo, foram utilizados quatro materiais diferentes nas tubulaes.

Sabendo que a vazo do fludo de 25 litros por segundo na entrada e o

escoamento incompressvel regular, determine as vazes em cada tubo. Soluo: Inicialmente com base nos dados fornecidos :

Material Dados Ao Soldado Usado Di = 2,0 / c = 90 P.V.C. Di = 1,5 / c = 140 Ao Soldado Novo Di = 2,0 / (f) = 0,35 Ferro Fundido Di = 2,0 / (f) = 0,05

Como os condutos esto ligados em paralelo, o ponto de presso inicial igual

para todas as tubulaes, assim como o ponto final de escoamento, logicamente a presso inicial ser a mesma. (Desconsiderando as perdas de cargas localizadas na juno dos tubos)

Sabendo que a perda de carga pode ser dada inicialmente por duas relaes bsicas

ligadas ao escoamento do fludo (H2O) em vazo, a relao de Hazem Williams e Darcy- wesback:

Hazem Williams : Q = 0,2788 x (C) x D 2,63 x (Hp / L ) 0,54

Darcy- wesback: Hp = f(L/D) x (V2/ 2g) / Hp = 8f(L/D) 5 x ( Q2 / (Pi)2 x g) ) Pelos dados do problema a perda de carga nos tubos de P.V.C. e de Ao Soldado

Usado podem ser calculados pela equao de Hazem Williams e os tubos de Ao Soldado Novo e Ferro Fundido pela relao de Darcy- wesback.

Sabendo que as presses nos pontos finais de cada tubo so iguais, mesma presso, implicitamente est subentendido que as perdas de carga sero iguais em todos os tubos. Cabe uma observao, todas as perdas de carga sero iguais, mas as vazes sero diferentes e as relaes de velocidade em cada tubo tambm.

Como variveis desejadas teremos as vazes, teremos que otimizar as equaes deixando Hp em evidncia:

Hazem Williams : Original : Q = 0,2788 x (C) x D 2,63 x (Hp / L ) 0,54 Melhorada : Hp = K x Qn Sendo K = L x [ 1 / ( 0,2788 x (C) x D 2,63 ) ] 1,85 e n = 1,85 Final : Hp = K x Q1,85 Darcy- wesback : Original : Hp = 8f(L/D) 5 x ( Q2 / (Pi)2 x g) ) Melhorada : Hp = K x Qn Sendo K = ( 8f x L) / ( (Pi)2 x g x Di5 ) e n = 2 Final : Hp = K x Q2 Para usarmos as relaes acharemos o valor de k para cada material: A) Tubo de ao Soldado usado : Di = 2,0 / c = 90 / g = 9,81 m/s2 K1 = L x [ 1 / ( 0,2788 x (C) x D 2,63 ) ] 1,85 K1= 5 x [ 1 / ( 0,2788 x (90) x (2 x 2,5 x 10 2 ) 2,63 ) ] 1,85 = 27,59 . 10 3 ( M.c.f. x s ) / m 3

B) Tubo de P.V.C. Di = 1,5 / c = 140 / g = 9,81 m/s2 K2 = L x [ 1 / ( 0,2788 x (C) x D 2,63 ) ] 1,85 K2= 5 x [ 1 / ( 0,2788 x (140) x (1,5 x 2,5 x 10 2 ) 2,63 ) ] 1,85 = 49,403 . 10 3 ( M.c.f. x s ) / m 3 C) Tubo de Ao Soldado Novo e Ferro Fundido:

Ao Soldado Novo Di = 2,0 / (f) = 0,35 Ferro Fundido Di = 2,0 / (f) = 0,05

Como vemos no desenho da tubulao, no enunciado, h dois canos paralelos com

metade do comprimento de Ao Soldado Novo unidos em srie com outra mesmo conjunto na mesma situao de canos de Ferro Fundido. Sabendo que a soma das duas perdas de carga produzir a perda de carga igual as dos outras duas tubulaes :

Hp = Hp fofo + Hp Ao sold. Novo Pode-se perceber que a vazo que passa nos dois conjuntos de tubos a mesma,

logo : Hp = K 3 x Qn Sendo: K3 = K (tubo de fofo) + K (Ao novo soldado) Por Darcy- wesback : K (tubo de fofo) = ( 8f x L) / ( (Pi)2 x g x Di5 Di = 2,0 / (f) = 0,05 K (tubo de fofo) = ( 8 x 0,05 x( 2 x 2,5 ) ) / ( (Pi)2 x 9,81 x (2 x 2,5 x 10 2 )5 K (tubo de fofo) = 66,101 x 10 3 ( M.c.f. x s ) / m 3

K (Ao novo soldado)= K = ( 8f x L) / ( (Pi)2 x g x Di5 Di = 2,0 / (f) = 0,35 K (Ao novo soldado)= K = ( 8x 0,35 x 5) / ( (Pi)2 x 9,81 x (2 x 2,5 x 10 2 )5 K (Ao novo soldado)= 46,271 x 10 3 ( M.c.f. x s ) / m 3

K3 = K (tubo de fofo) + K (Ao novo soldado) K3 = K (66,101 x 10 3) + K (46,271 x 10 3) = 112,372 x 10 3 ( M.c.f. x s ) / m 3 Logo : Hp1 = K1 x Q1 1,85 ; Hp2 = K2 x Q2 1,85 ; Hp3 = K3 x Q3 2 Hp1 = Hp2 = Hp3 Sabendo que Q = Q1 + Q2 +Q3 E que Qn = ( Qn /Q ) Q / Qn = (Hp / Kn) n Deduzi-se que as vazes so proporcionais aos valores de K inverso sobre o

inverso das somas de todos os Ks. Q( %) = (1 / Kn) n / [(1 / Kn1) n1 + (1 / Kn2) n2 + (1 / Kn3) n3 ] Resolvendo aplicando as concluses acima : Para Q1 : Q1( %) = (1 / K1) 1,85 / [(1 / K1) 1,85 + (1 / K2) 1,85 + (1 / K3) 2 ] Q1( %) = (1 / 27,59 . 10 3) 1,85 / [ (1 / 27,59 . 10 3) 1,85 + (1 / 49,403 . 10 3) 1,85 +

(1 / 112,372 x 10 3) 2 ] Q1( %) = 0,7388 Para Q2 : Q2( %) = (1 / K2) 1,85 / [(1 / K1) 1,85 + (1 / K2) 1,85 + (1 / K3) 2 ] Q2( %) = (1 / 49,403 . 10 3) 1,85 / [ (1 / 27,59 . 10 3) 1,85 + (1 / 49,403 . 10 3) 1,85 +

(1 / 112,372 x 10 3) 2 ] Q2( %) = 0,2516 Para Q3 : Q3( %) = (1 / K3) 2 / [(1 / K1) 1,85 + (1 / K2) 1,85 + (1 / K3) 2 ] Q3( %) = (1 / 112,372 x 10 3) 2 / [ (1 / 27,59 . 10 3) 1,85 + (1 / 49,403 . 10 3) 1,85 +

(1 / 112,372 x 10 3) 2 ] Q3( %) = 0,0096

Sendo Q = 25 litros / segundo = 25 x 10 -3 m 3 Q1 = Q x Q1(%) = ( 25 x 10 -3 ) x (0,7388) = 18,47 x 10 -3 m 3 Q2 = Q x Q2(%) = ( 25 x 10 -3 ) x (0,2516) = 6,29 x 10 -3 m 3 Q1 = Q x Q1(%) = ( 25 x 10 -3 ) x (0,0096) = 0,24 x 10 -3 m 3

4-4. Clculo de escoamento em Tubulaes Tubulaes em srie

Um sistema de distribuio de gua feito por uma adutora com um trecho de 1500m de comprimento e 150mm de dimetro, seguido por outro trecho de 900m de comprimento e 100mm de dimetro, ambos com o mesmo fator de atrito f=0,028.

A vazo total que entra no sistema de 0,025m3/s e toda gua distribuda com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazo de distribuio unitria) nos dois trechos, de modo que a vazo na extremidade da jusante seja nula.

Determine a perda de carga total na adutora desprezando as perdas localizadas ao longo da adutora.

SOLUO: A vazo de distribuio ao longo da adutora vale: q = (Qi - Qf)/L = 0,025/2400 = 1,0410

-2 L/sm No final do primeiro trecho a vazo vale: 25 - 1,0410-2 1500 = 9,4 L/s que a vazo de montante do segundo trecho. As vazes fictcias nos dois trechos valem: Qf1 = (25+9,4)/2 = 17,2 L/s Qf2 = 9,4/ 3 = 5,43 L/s . Como os dois trechos esto em srie a perdas de carga total a soma:

235

235

)10*43,5(1,0

900028,00827,0)10*2,17(

15.

1500028,00827,0 +=H

1448,65318,13 +=H 7,19=H

4-5. Escoamento de fluidos e equaes fundamentais da energia, continuidade e quantidade de movimento

Desprezando-se as perdas, determine a fora exercida contra o conduto pelo bocal representado na figura abaixo. Considere que o fluido leo (d=0,85) e p1=100 psi. Dados: Dimetro na seo 1 (D1) = 3 polegadas Dimetro na seo 2 (D2) = 1 polegada

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soluo: Para se determinar a vazo, utiliza-se a equao de Bernoulli entre a seo 1 e a seo extrema do bocal, onde a presso nula.

=++g

PZ V

2

2

111

g

PZ V

2

2

222 ++

Como P2=0 e Z1=Z2:

=+gftlb

ftininlb V2)/4,62(85,0

)/144)(/100(2

13

222

02

2

2 +g

V

Como 11

2

2

12 9VVD

DV =

= tem-se que:

=+ )811(2)/4,62(85,0

)/144)(/100(2

13

222

gftlb

ftininlb V 0

sftV /78,141 = ; sftV /1332 =

V.C.

cfsQ 725,04

1

478,14

2

=

=

Seja Px a fora exercida pelo bocal contra o lquido contido no volume de

controle. Ento:

)/78,14/133)(/725,0)(85,0)(/935,1()3(4

)/100( 3322 sftsftsftftslugPininlb x =

Soluo comentada: O leo aplica uma fora de 565 lb para a direita contra o bocal e o bocal exerce uma fora de trao de 565 lb (256,5 kgf) no conduto. Neste exerccio, foi aplicado ao volume de controle as equaes da energia, continuidade e quantidade de movimento. Da, tem-se que a segunda lei de Newton transformada na equao da quantidade de movimento:

+

=VC

SC

vvdAvdVt

F

Esta relao vetorial, aplicada na direo do escoamento (direo x no exerccio) fica na seguinte forma:

+

=VC

SC

xxx vdAvdVvtF

No volume de controle escolhido, adotaram-se as superfcies normais s velocidades nas sees (sees 1 e 2) atravessadas pelo escoamento.

lbPx 565=

5-1. Assunto: Similaridade Hidrodinmica Curvas de iso-eficincia

A figura abaixo representa a curva (HxQ) de uma bomba com dimetro de 210mm. Determinar a raspagem a ser feita no rotor, para ela recalcar 600 l/h a uma altura manomtrica de 25 m.

0

5

10

15

20

25

30

100 300 600 900 1200

Para determinao do ponto solicitado (Q=500l/s e Hman=26m) necessrio locar no grfico um ponto homlogo e traar a curva de iso-eficincia. Ponto de partida para a soluo do problema. A equao da iso-eficincia a seguinte: Q2 = Q2 = Cte H H Aplicando a equao para Q = 500l/s e H = 26m, temos; Cte = 5002 = 9615,38 26 De posse desse valor, monta-se uma tabela e arbitra-se valores para H e obtemos os respectivos valores de Q.

H (m) Q (l/s) 29,0 528,05 26,5 504,78 24,0 480,38 21,5 454,67 19,0 427,43

Com os valores plotados no grfico devemos verificar onde a curva de iso-eficincia intercepta a curva do rotor de dimetro 210mm, logo esse ponto encontrado homlogo de Q = 500l/s e H = 26m. H = 27,5 m Q = 585 l/s Para pontos homlogos aplicam-se as equaes de Rateaux Q = d2 , logo 585 = 2102 , donde d = 194,15 mm Q d 500 d2

Com o valor do novo dimetro a raspagem a ser feita deve ser: R = d d = 210,0 194,15 = 7,925 mm 2 2

5-2. Assunto: Fora exercida por um lquido.

A gua contida no tanque (1) descarregada sem atrito. O jato incide sobre uma placa de peso desprezvel e de grandes dimenses que cobre a sada do bocal do tanque (2). Os bocais so iguais. Se h2 = 2m, determinar h1, tal que a fora do jato seja suficiente para manter a placa em repouso.

Dados: Densidade da gua =

Peso especfico da gua = rea da seo dos bocais = A Acelerao da gravidade = g Soluo: Para que a placa permanea em repouso, necessrio que a soma das foras na direo horizontal seja zero. Fhoriz. = 0 Ry = F

.A.V =.A

(/g).A.V = .h2.A V = gh2 (Eq.1) Aplicando a equao de Bernoulli no trecho (0) (1) temos: 0

Z0 + 0/ + V0/2g = Z1 + 1/ + V0/2g Z0 Z1 = h1 = V/2g V = 2gh1 (Eq.2)

Das equaes 1 e 2 temos: V = gh2 = 2gh1 h1 = h2/2 h1 = 2m/2 h1 = 1m Resposta: Para que a placa permanea em repouso, preciso que haja uma altura h1 no tanque (1) de 1m.

5-3. Velocidade especfica, mximo rendimento e bombas homlogas O ensaio de uma bomba com uma seo de sada de 72 (1,83m) de dimetro, operando a 225 rpm, forneceu os seguintes resultados: H (ft) Q (cfs) (%) H (ft) Q (cfs) (%) H (ft) Q (cfs) (%) 60 200 69 47,5 330 87,3 35 411 82 57,5 228 75 45 345 88 32,5 425 79 55 256 80 42,5 362 87,4 30 438 75 52,5 280 83,7 40 382 86,3 27,5 449 71 50 303 86 37,5 396 84,4 25 459 66,5 Qual o dimetro da seo de sada e a rotao sncrona (60 Hz) de uma bomba homloga para descarregar 200 cfs (5,66 m3/s) a 60 ft (18,3m) de carga manomtrica no ponto de mximo rendimento? Determinar a curva caracterstica desta bomba. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soluo:

O ndice 1 refere-se bomba de 72. No ponto de mximo rendimento,

H1= 45 ft, Q1=345 cfs e =88%. Como teconsND

Qtan

3= e tecons

DN

Htan

22= ,

tem-se que:

21

21

122 DN

H

DN

H=

311

13 DN

Q

ND

Q=

2222 72225

4560

=

DN

33 72225

345200

=

ND

Resolvendo o sistema de equaes:

A rotao sncrona (3600 dividido pelo nmero de pares de plos do motor) mais prxima 360. Para manter a carga manomtrica especificada de 60 ft necessrio alterar o dimetro D. O novo valor dado por:

72360

225

45

60=D

Ento, a vazo no ponto de mximo rendimento :

cfsDN

Q

ND

Q208

72

52

225

360345

3

311

13

=

==

D= 51,1 N = 366 rpm

D= 52

Essa vazo de 208 cfs um pouco maior do que a especificada (200 cfs). Com N=360 e D=52, pode-se estabelecer as equaes para o clculo dos valores de H e Q correspondentes a qualquer outro rendimento:

21

21

122 DN

H

DN

H= 1

2

1

2

111 335,172

52

225

360HH

DN

NDHH =

=

=

311

13 DN

Q

ND

Q= 1

3

1311

3

1 603,072

52

225

360QQ

DN

NDQQ =

==

A curva caracterstica da bomba homloga tabelada abaixo: H (ft) Q (cfs) (%) H (ft) Q (cfs) (%) H (ft) Q (cfs) (%) 80,1 121 69 63,5 200 87,3 46,7 248 82 76,7 138 75 60 208 88 43,4 257 79 73,4 155 80 56,7 219 87,4 40 264 75 70 169 83,7 53,5 231 86,3 36,7 271 71 66,7 183 86 50 239 84,4 33,4 277 66,5 E o grfico abaixo ilustra as curvas das bombas original e homloga:

Curva Caracterstica das Bombas

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 100 200 300 400 500

Q (cfs)

H (ft)

Bombahomloga

Bombaoriginal

Soluo comentada: O rendimento da bomba de 52 pode ser um pouco inferior ao da bomba de 72, pois os raios hidrulicos das sees e os nmeros de Reynolds correspondentes so menores. Entre as variveis do estudo dos escoamentos em bombas semelhantes, deve existir uma relao funcional f (H, Q, N, D, g)=0. H duas dimenses envolvidas, L e T; N e D que podem ser escolhidas para formar a base, resultando

0,,23

=

DN

gNH

NDQ

f

Resolvendo em relao a H,

=DN

g

ND

QDfH

231,

Ento,

=32

22

ND

Qf

g

DNH ou

=3222 ND

Qf

DN

gH

O grfico da funo Q/ND3 em abscissas e H/(N2D2/g) em ordenadas a curva caracterstica adimensional de uma bomba. Esta curva, obtida a partir do ensaio de uma determinada bomba, aplica-se a todas as unidades homlogas e pode ser transformada na curva caracterstica usual (H em funo de Q) fixando-se os valores de N e D. Como a potncia proporcional a QH , o termo adimensional correspondente :

53223 / DN

potncia

gDN

H

ND

Q

=

5-4. Assunto: escoamento em redes-anel.

gua escoando em uma rede-anel conforme mostrada no desenho abaixo, tem uma vazo na entrada de Q=50L\s. Calcule Q1 e Q2, sabendo que k1|k2 = 0,6.

Dados:

Q = 50 L\s

k1\k2 = 0,6

K1 = K2 x 0,6

Soluo e comentarios:

Sabemos que em uma rede em anel Hp1 = Hp2 (1) e que, devido a

conservao da massa Q1 + Q2 = Q (2), Temos,

Hp1 = K2 x 0,6 x Q12

Hp2 = K2 x Q22

Como, Hp1 = Hp2, temos,

0,6 Q12 = Q22

Simplificando teremos,

0,7745 Q1 = Q2 e

Substituindo na equao (2).

0,7745Q1 + Q1 = 50

Q1 = 28,1769 L\s

Q2 = 21,8230 L\s

5-5. Teoria da semelhana aplicada a mquinas de fluxo

A bomba Worthington D-1011 tem curvas caractersticas representadas na figura abaixo. Suponhamos, porm, que estivesse representada apenas a curva correspondente ao rotor de 6,50 (165mm) e que desejssemos saber que dimetro deveria ter o rotor cortado, para que a bomba operasse com Qx = 150m

3/h e Hx = 33m correspondente ao ponto A. Consideremos uma descarga Q2 um pouco superior a Qx, digamos Q2 = 180m3/h.

Resposta: Calculemos a ordenada H2 correspondente, para acharmos o ponto B que deve ficar acima da curva dada. H2 = Hx (Q2/Qx)

2 = 33(180/150)2 = 47,5m Liguemos A e B e acharemos o ponto C sobre a curva correspondente ao dimetro primitivo (6,50). Podemos achar a descarga desse ponto C, que ser Qc = 175 m

3/h Calculemos o dimetro que dever ter o rotor cortado. d2

2/d22 = Qx/Qc

d2 = d2 (Qx/Qc)

0,5 = 165(150/175)0,5 = 151,8mm = 5,97 O Valor achado praticamente igual ao encontrado no grfico do fabricante, que corresponderia ao dimetro de 5,9

6-1. Assunto: NPSH e Cavitao

A bomba hidrulica utilizada na instalao de suco conforme figura abaixo, possui NPSHR = 4,0 m. Verifique a partir dos dados fornecidos se h o risco de ocorrer cavitao.

Dados: comprimento total de suco (incluindo comprimentos equivalentes): L = 10 m fluido de trabalho: gua (Pvapor = 0,433 mca, = 1000 kgf/m

3) Q = 4 l/s g = 9,81 m/s2 Dsuco = 2 Ktotal = 4,0 f = 0,02 Patm = 9,58 mca

Resoluo:

Fazendo o balano de energia desde o nvel do reservatrio de suco at a entrada da bomba temos:

2vap1 1

1 2 pe

2vap2

rd2

as

PP V + + Z =

PP V + -

+ Z + H +

2g 2g onde:

2vap

D2 2

PP V + - NPSH =

2g

2 2

perdas

L V VH = f + K

D 2g 2g

2

QV

A=

P1 = Patm (reservatrio de suco aberto para atmosfera) V1 = 0 (reservatrio de suco muito grande) Com isto, a equao de balano de energia torna-se:

2 2atm vap

D 1 2

P - P L V VNPSH = - f + K + Z - Z

D 2g 2g

Substituindo os valores e fazendo a devida converso de unidades (1,0 mca = 1000 kgf/m2, 1L = 0,001 m3 e 1 = 0,0254 m) obtemos:

2 2

0,004.4V = = 1,9735 m/s

(0,0254.2)

2 2

D

(9,58 - 0,433).1000 10 1,9735 1,9735NPSH = - 0,02 . . + 4 - 2

1000 2.0,0254 2.9,81 2.9,81

DNPSH = 5,57 m

Com base na recomendao de que o NPSH disponvel (NPSHD) deve ser no mnimo igual ou maior do que o NPSH requerido (NPSHR) acrescido de 1,5 vemos que:

5,57 > 4,0 + 1,5 Portanto a bomba, operando nas condies fornecidas, ir funcionar normalmente e

no haver cavitao.

6-2. Potncia eltrica requerida e presso manomtrica na seo (10.26-Fox) Dados medidos durantes testes de uma bomba centrfuga a 3000 rpm so:

Parmetro Entrada, Seo 1 Entrada, Seo 2

Presso manomtrica, p (kPa) 90

Elevao mdia do referencial, z (m) 2 10

Velocidade mdia do escoamento, ( )smv / 2 5

A vazo de 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba 6,5 N.m. A

eficincia da bomba 75% e a eficincia do motor eltrico 85%. Determine a potncia eltrica requerida e a presso manomtrica na seo 2.

Soluo:

&&

&

&,

,

&,

,& ,

WW

WT

Wrpm N m

Wrad N m

s

W kW

em

m

em

e

e

e

=

=

=

=

=

3000 6 5

0 85

3000 2 6 5

60 0 85

2 4

HP

g

v

gz

P

g

v

gz

W

W

W W

QgH T

QgP

g

v

gz

P

g

v

gz T

p

ph

m

h m p

p p

p

= + +

+ +

=

=

=

+ +

+ +

=

2 22

21 1

2

1

2 22

21 1

2

1

2 2

2 2

&

&

& &

Considerando que o fluido bombeado gua, temos

[ ]

kPaPsm

mkgmmmmmmP

s

m

m

kg

mms

sm

mkgm

smNm

ms

sm

kgmms

mssmNradP

gzg

v

g

Pz

g

v

Qg

TP p

37,368

9810220,017,91027,145,37

81,91000

281,92

4

81,91000

109010

81,92

25

10001581,960

360075,05,623000

22

2

32

23

2

22

2

233

2

22

3

32

2

1

211

2

22

2

=

+++=

+

+

+

=

+++=

6-3. ndice NPSH Um sistema de bombeamento est sendo planejado nos moldes da estrutura

abaixo:

O dimetro de sada da tubulao no

reservatrio superior de 10 cm e no encanamento de suco de 20 cm. O lquido (gua) dever ser descarregado a velocidade de 3m/s na sada e que ambas as tubulaes so feitas de dutos de PVC e a presso de vapor de 9,37 m.c.a. . Determine se ser possvel esta instalao sem cavitao na Bomba.

Obs.: Desconsidere as perdas localizadas do

sistema.

Soluo : Sabendo que a vazo de sada deve ser realizada na velocidade de 3 m/s e sabendo

o dimetro : D= 10 cm ; v s = 3m/s Sendo : Q = V x A = V x (pi) x(D 2) / 4 Q1 = 3 x (pi) x ((10 x 10 -2) 2) / 4 = 7,854 x 10-2 m3/s Calculando a velocidade na suco: Q2= V2 x A2 ; Q1 =Q2 V2 = Q / (pi) x(D 2) / 4 = 7,854 x 10-2 / ( (pi) x ((20 x 10 -2) 2) / 4 ) = 0,75 m/s Considerando a equao de perda de carga de Hazem Williams : Q = 0,2788 x (C) x D 2,63 x (Hp / L ) 0,54 Sabendo que a constante c para duto de pvc de 140

Calcula-se a perda de carga na suco do tubo at a bomba : Q = 0,2788 x (C) x D 2,63 x (Hp / L ) 0,54

7,854 x 10-2 = 0,2788 x (140) x (20 x 10 -2) 2,63 x (Hp / 1,5 ) 0,54 Hp = 306,827 m.c.a. Fazendo o balano de energia na entrada da bomba :

(Prs / Y ) + (Vrs2/ 2g) + Zrs = (P1 / Y ) + (V12/ 2g) + Z1 + Hp Adicionando o termo de Presso de vapor : ( P vap / Y - P vap / Y)

(Prs / Y ) + (Vrs2/ 2g) + Zrs = (P1 / Y ) + (V12/ 2g) + Z1 + Hp + P vap / Y - P vap/Y Sabendo que NPSH = P1 / Y - P vap / Y + V12/ 2g

(Prs / Y ) + (Vrs2/ 2g) + Zrs = NPSH + Z1 + Hp + P vap / Y Levando em considerao que a velocidade energia cintica na suco desprezvel e que a altura geomtrica do reservatrio de origem zero: (Prs / Y ) = NPSH + Z1 + Hp + P vap / Y

NPSH = (Prs / Y ) (+ Z1 + Hp + P vap / Y )

NPSH = (Patm / Y ) (+ Z1 + Hp + P vap / Y )

NPSH = (101245 / 103 ) (+1,5 + 306,827 + 9,37)

NPSH = - 307,38 M.C.A.

Comentrio Esta instalao no possvel, uma vez que o ndice NPSH se mostrou negativo

indicando que a cavitao j ocorreu na bomba, no sendo possvel este tipo de bombeamento por bomba centrfuga.

6-4. Tringulos de velocidades e dimenses de rotores

Uma bomba centrfuga para gua tem um rotor com r2=12 (305mm), r1=4 (102mm), 1=20, 2=10. O rotor tem 2 (51mm) de largura para r = r1 e (19mm) para r = r2. Para a rotao de 1800 rpm e desprezando-se as perdas e a espessura das ps, determinar:

(a) a vazo para 1 = 90, admitindo-se entrada sem choques; (b) 2 e a carga manomtrica terica H; (c) a potncia absorvida; (d) o aumento de presso que ocorre no rotor.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soluo:

(a) As velocidades perifricas so:

3

12

60

18001 = u sftuu /5,1883 12 ==

Os diagramas de velocidades esto mostrados abaixo:

1 1

1

V1

1

ntrada

2

V2

Vr2

2

2

Vu2 u2

u2

Sada

Conhecidos u1 e os ngulos 1 e 1, determina-se o diagrama na seo de entrada: sfttguV /85,222011 == Ento,

12

2

3

285,22 = Q

cfsQ 97,7=

ftH 430=

(b) A velocidade radial Vr2 na seo de sada :

sftVr /3,2075,02

1297,72 =

=

Atravs do desenho de u2 e de uma paralela distante Vr2, determina-se o tringulo de velocidades a partir da marcao do ngulo 2. Assim: sftgu /11510cot3,202 == sftVu /5,731155,1882 ==

'26153

202 =

= arctg sftecV /2,76'2615cos3,202 ==

Como 2,32

5,735,188cos 22222 ===g

Vu

g

VuH

(c) 550

4304,6297,7

550

==

QHP

(d) Aplicando a equao da energia entre as sees de entrada e de sada do rotor, levando-se em conta a carga fornecida H e desprezando-se a variao de cota entre as sees consideradas, resulta em:

2

221

21

22

p

g

Vp

g

VH +=++ ft

pp348

4,64

2,76

4,64

85,22430

2212 =+=

Soluo comentada:

As bombas geralmente so projetadas de modo que o momento da quantidade de movimento do fluido na seo de entrada do rotor seja nulo:

'26152 =

hpP 388=

212 /6,10151433,0348 cmkgfpsipp ===

gVuH

2cos22 =

Supondo que todas as linhas de corrente tm a mesma energia total:

Hbg

VuVuz

p

g

Vz

p

g

VHb

=

++

++= 1112221

121

22

22 coscos

22

As relaes entre a velocidade absoluta V, a velocidade relativa em relao ao rotor e a velocidade u do rotor podem ser obtidas a partir dos tringulos de velocidades com o auxlio das leis dos cossenos:

21111

21

21 cos2 =+ VuVu

22222

22

22 cos2 =+ VuVu

Eliminando as velocidades absolutas V1 e V2 entre estas relaes:

)(22 12

1221

22

21

22 zz

pp

gg

uuH L

=

As perdas so dadas pela diferena entra as energias cinticas

especficas

g

uu

2

21

22 e pela variao da carga total no movimento relativo.

Quando no h perdas, o aumento da carga piezomtrica dada por:

gg

uuzz

pp

22

21

22

21

22

1212

=+

Quando h escoamento, o aumento da carga piezomtrica igual ao ganho de energia cintica especfica devido rotao menos a diferena entre as energias cinticas especficas no movimento relativo.

6-5. EXERCCIO TERICO SOBRE NPSH Qual o significado do termo bomba trabalhando afogada?

Se diz que uma bomba trabalha afogada quando a presso de lquido na sua suco sempre maior que a presso atmosfrica. Esta situao a melhor para a operao do sistema de bombeamento, evitando uma srie de problemas.

As bombas que no trabalham afogadas precisam de dispositivos que impeam a entrada de ar no tubo de suco quando elas no esto trabalhando, para evitar que se tenha que escorvar (encher o tubo de suco) na partida. Em geral, com ar na suco, as bombas no conseguem criar uma depresso suficiente para aspirar a gua at a sua entrada.

Uma bomba dita como afogada, quando o NPSH disponvel pelo sistema na suco maior que o NPSH requerido pela bomba em, pelo menos, 1m em toda a extenso da sua curva de performance.

Para o clculo do NPSH disponvel pelo sistema, aplica-se a frmula: NPSHd = (Patm Pvap) / Visc +- Hs hs, sendo: - Patm presso atmosfrica do local da instalao; - Pvap presso de vapor do lquido temperatura de bombeamento; - Hs altura de suco = distncia vertical entre a pior condio de nvel dgua, no reservatrio de suco e na linha de centro da suco da bomba; - hs somatrio de todas as perdas de carga que ocorrerem da sada do reservatrio at a suco do equipamento. Obs: A curva de NPSHd uma parbola do 2 grau, visto que o aumento da perda de carga diretamente proporcional ao quadrado da vazo. O NPSH requerido pelo equipamento est sempre indicado na curva de performance, na rea abaixo da curva de performance, usando os mesmos valores de vazo. Se a bomba no tiver uma folga entre os dois tipos de NPSH, poder ocorrer um fenmeno, altamente destrutivo, que a cavitao.

7-1. Alturas de carga dinmica, potncia hidrulica entregue ao fluido, eficincia da bomba, Potncia do motor eltrico para a acionar a bomba e potncia eltrica

(10.25-Fox) Dados medidos durante testes de uma bomba centrfuga a 2750 rpm so:

Parmetro Entrada, Seo 1 Entrada, Seo 2

Presso manomtrica, p (kPa) 120 500

Elevao mdia do referencial, z (m) 2,5 9

Velocidade mdia do escoamento, ( )smv / 2,5 3,5

A vazo de 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba 8,5 N.m. Avalie as

alturas totais de carga dinmica na entrada e na sada da bomba, a potncia hidrulica entregue ao fluido e a eficincia da bomba. Especifique o tamanho (potncia) do motor eltrico necessrio para acionar a bomba. Se a eficincia do motor eltrico for 85%, calcule a potncia eltrica necessria.

Soluo:

Considerando que o fluido bombeado gua

=

31000

m

kg obtemos:

mH

mm

s

s

m

kg

m

m

s

m

kNH

zg

v

g

PH i

iii

1,15

5,281,92

25,6

100081,9

120

2

1

2

2

2

23

2

2

21

2

=

+

+=

++=

mH

mm

s

s

m

kg

m

m

s

m

kNH

6,60

981,92

25,12

100081,9

500

2

2

2

2

23

2

2

22

=

+

+=

( )

kWW

mms

m

s

m

m

kgW

QgHW

h

h

ph

86,1

1,156,6081,9

3600

1510002

3

3

=

=

=

&

&

&

76,0

5,822750

6086,1

=

=

=

=

p

p

hp

m

hp

mNrad

skWT

W

W

W

&

&

&

kWW

s

mNradW

WW

e

e

m

me

88,2

85,060

5,822750

=

=

=

&

&

&&

7-2. ASSUNTO: Clculo de vazo e curva caracterstica

Coeficientes C para fofo (ferro fundido)

C idade (anos) 130 0 110 10 100 20 90 > 30

Verifique, em primeiro lugar, as condies de funcionamento do sistema em

1965 e 1995. Caso a adutora RsRo precise de reforo, estude a viabilidade da instalao, nesta linha, de uma bomba centrfuga cuja curva caracterstica :

Q (l/s) 0 10 20 30 40 50 Hm (m) 70 65 60 55 50 45

Redimensione a aduo de forma a ser atendida a vazo prevista para 1998. Usar

a soluo do reservatrio de compensao Rc, sugerida no desenho, cujo nvel dgua est cota 370 m, distante 2000 m do reservatrio Ro, ligado a este por uma linha (tambm em fofo), com dimetro de 300 mm. Examine a capacidade dos trechos 0-1 e 1-2 em suportar novas vazes. Proponha o reforo em paralelo para este trecho necessrio manuteno da presso mnima de 10 mca na distribuio. Dimensione os dimetros dos novos trechos do sistema de distribuio para atender demanda prevista. Referencial Terico: Paschoal Silvestre. Hidrulica Geral. Cap. 4 , 5 e 7, pg. 50 e 91. Soluo : O consumo previsto, por rua, para o plo industrial, inaugurado em 1965, :

10 lotes * 1 l/s (por lote) = 10l/s (por rua). O consumo global estabelecido para o plo, na configurao de 1965 de: 10 l/s (por rua) * 4 ruas = 40 l/s.

Em 1965 o sistema era novo possuindo um coeficiente C (para Hazen Willians) igual a 130 e uma perda de carga entre os reservatrios Rs e Ro no deveria ultrapassar: 400 - 350 = 50 mca. Assim, pela frmula de Hazen-Willians pode-se calcular a vazo mxima que a linha entre os reservatrios era capaz de conduzir em 1965:

Q65 = 0,278531 . C . D2,63 . (hp/L)0,54

onde: C : constante da tubulao;

D : dimetro da tubulao (m); hp : perda de carga entre os reservatrios (m); L : comprimento da linha (m);

Q65 = 0,278531

. 130 . (0,2)2,63 . (50/5000)0,54 = 0,0437 m3/s = 43,7 l/s A vazo maior do que 40 l/s, portanto, compatvel com a demanda em 1965.

Em 1995, a tubulao completou 30 anos de uso e suas paredes internas ficaram enrugadas devido ao qumica dos componentes da gua. Com 30 anos de uso o coeficiente C passa a valer 90. Assim, a vazo mxima de transporte, por Hazen-Willians, :

Q95 = 0,278531 . 90 . (0,2)2,63 . (50/5000)0,54 = 0,03025 m3/s = 30,25 l/s.

Conclui-se que, em 1995, havia escassez de gua. O sistema envelheceu e deixou de atender a seus usurios. Isto sem levar em considerao que a tendncia normal da demanda crescer com o passar do tempo. Para restabelecer a capacidade de atendimento pode-se, entre outras providncias, instalar uma bomba na linha Rs-Ro. Caso seja adotada a bomba centrfuga, cuja curva caracterstica indicada abaixo, pode-se verificar se esta ir restaurar o atendimento:

CURVA CARACTERSTICA DA BOMBA

Q (m3/s) 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Hm (m) 70 65 60 55 50 45

Esta curva caracterstica se aproxima de uma reta cuja equao :

Hman = a . Q + b

Utilizando dois pontos descobre-se os coeficientes a e b: para Q = 0 Hman = 70 70 = a

. 0 + b b = 70 para Q = 0,020 Hman = 60 60 = a

. 0,020 + 70 a = - 500 A equao da curva caracterstica da bomba :

HmanB = - 500 . Q + 70

Por sua vez, acurva caracterstica da tubulao ser determinada por:

HmanT = - Hg + hp onde: Hman : altura manomtrica (m); Hg : altura geomtrica (m);

hp : somatria das perdas de carga ao longo da tubulao (as perdas localizadas sero consideradas irrelevantes neste caso); Entre os reservatrios Rs e Ro teremos: - Hg = 400 - 350 = 50 m - hp = K . L . Q1,852/D4,87 onde : K = 0,00256 (C95 = 90) hp = 0,00256 . 5000 . Q1,852/(0,2)4,87 = 32448,44 . Q1,85 A curva caracterstica da tubulao ser, ento:

HmanT = - 50 + 32448,44 . Q1,85

O ponto de funcionamento do conjunto Bomba-Adutora ser a interseco das duas curvas caractersticas, encontrando-se, assim, a vazo de funcionamento do sistema:

HmanT = HmanB

- 500 . Q + 70 = - 50 + 32448,44 . Q1,85 Q = 0,0435 m3/s

Hman = 48,25 m O mesmo resultado pode ser encontrado graficamente:

Observe que a curva caracterstica da tubulao corta o eixo das vazes no ponto Q = 30 l/s, que corresponde vazo da adutora em 95, funcionando soba a ao da gravidade.

7-3. Assunto: (Bombas - NPSH)

Para uma instalao de bombeamento, atender a demanda de 200 m/h de vazo durante 24 horas/dia, recalcando a uma altura de 24m. Determine o NPSHdisponvel e verifique se est adequado, atravs dos dados fornecidos: Dados: - Vazo Q = 200 m/h - P0 = 9,23 m - Pv = 0,25 m - hs = 0,4 m - Curvas caractersticas da bomba Mark-Peerless, modelo RO 16 e curva do sistema:

O que se pede:

- NPSHdisponvel Soluo: O NPSHrequerido deve ser obtido diretamente da curva caracterstica correspondente, obtendo-o da mesma forma que no rendimento, logo: NPSHrequerido = 0,8m

Logo: NPSHdisponvel= 9,23 - 2 - 0,25 - 0,4 = 6,57m___________________________NPSHdisponve Portanto: Como NPSHdisponvel (6,57 m) maior que o NPSHrequerido (0,8m), no haver problemas de cavitao nesta instalao.

7-4. Rendimento e potncia de acionamento de turbobombas Determine a potncia de acionamento de uma turbobomba que dever trabalhar em uma instalao com 14m de desnvel recalcando 90 L/s entre os reservatrios abertos para a atmosfera. Os rendimentos mecnicos e volumtricos desse equipamento so estimados em 80% e 90% respectivamente. O peso especfico do fluido 900 kgf/m3, as perdas de carga nas tubulaes de aspirao e recalque so da ordem de 4 mc.fluido e as perdas de carga na bomba ao estimadas em 1 m.c.fluido. Considerar desprezveis todas as variaes de energia cintica no encanamento.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soluo: Desnvel = he Q= 90L/s = 90x10-3 m3/s Rendimento mecnico= =0,80 Rendimento volumtrico = v = 0,90 Peso especfico do fluido = = 900 kgf/m3 Perdas de carga na aspirao e no recalque = Ja + Jr = 4m = J Perdas de carga na bomba = J = 1m

iosreservatre

PJhH

++=

Mas, como os reservatrios esto submetidos apenas presso atmosfrica:

0=

iosreservatrP

414 += H

'e

v HH

= 118' +=+= JHH e

19

1890,0 =

mH 14=

mH e 19' =

85,0=

= = 85,080,0

68,075

181090900

75

3

==

QH

N

Soluo comentada:

A altura esttica de elevao (he) a diferena de cotas entre os nveis em que o lquido abandonado ao sair pelo tubo de recalque e o nvel livre no reservatrio de captao. tambm denominada de altura topogrfica ou altura geomtrica e dada por

he=ha + hr

O rendimento hidrulico )( a relao entre a potncia til e a de elevao:

e

u

H

H=

E o rendimento total a relao entre a potncia til e a motriz:

m

u

H

H=

Tendo em vista a fabricao dos motores em srie, so os mesmos construdos em potncias determinadas (potncias comerciais). Num primeiro estgio, a potncia instalada recomendvel deve ser a potncia do motor comercial imediatamente superior potncia calculada (potncia necessria ao acionamento).

Assim , admite-se uma certa folga ou margem de segurana que evitar que o motor venha, por qualquer razo, operar com sobrecarga:

68,0=

cvN 58,28=

Fonte da tabela: http://www.schneider.ind.br/

Potncias de motores comerciais normalmente disponveis no mercado

CV 1 2 3 5 7,5 10 12 15 20 25 30 35

CV 40 45 50 60 80 100 125 150 200 250 300 350

Fontes das tabelas: http://www.schneider.ind.br/

7-5. ASSUNTO: Curva caracterstica

Uma bomba operando a 1750 rpm possui uma curva elevao como e indicado na figura abaixo. A bomba deve recalcar gua atravs de 1500 ft de tubo de 6 in f=0,025. A altura esttica e de 40 ft e as perdas menores podem ser desprezadas. Calcular a vazo e a altura de elevao sob estas condies.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0,11 0,4 0,7 1,1 1,4

Como se sabe a perda de carga aumenta em funo do aumento de vazo, logo uma curva caracterstica em funo do fluxo pode ser traada para o sistema

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0,11 0,4 0,7 1,1 1,4 1,6 1,97

O segundo grfico nos mostra que quando a vazo e de 1,05ft3/s a altura

desenvolvida pela bomba se igualar a altura total que esta sendo recalcada .

8-1. Relaes de Semelhana (12.35-LT modificado) Uma bomba centrfuga, cujo dimetro do rotor D1 = 320 mm, requer uma potncia de eixo W1 = 45,2 kW quando a vazo e carga so Q1 = 0,223 m3/s e H1 = 19,7 m. O rotor original trocado por outro que apresenta dimetro D2 = 289 mm. Determine a vazo esperada, a carga e a nova potncia de eixo se a rotao da bomba for mantida constante.

Q2 = ? H2 = ? W2 = &W2 = ? Soluo:

Utilizando as relaes de semelhana temos:

Q

Q

D

DQ Q

D

D

Qm

s

m

m

Q m s

1

2

13

23 2 1

23

13

2

3 3

23

0 2230 289

0 320

0 164

= =

=

=

,,

,

, /

H

H

D

DH H

D

D

H mm

m

H m

1

2

12

22 2 1

22

12

2

2

2

19 70 289

0 320

16 7

= =

=

=

,,

,

,

W1 = &W1 &

&& &

& ,,

,

& ,

W

W

D

DW W

D

D

W kWm

m

W kW

1

2

15

25 2 1

25

15

2

5

2

45 20 289

0 320

27 2

= =

=

=

8-2. Assunto: Semelhana.

Uma bomba centrfuga com um impelidor de 200mm de dimetro, com a vazo

de 100m3/h e AMT de 76m, consumindo uma potncia de 46hp. Quais seriam as novas

condies de trabalho se reduzssemos o dimetro do impelidor para 180mm?

Vazo:

Q2/Q1 = D2/D1

Q2/100 = 180/200

Q2=90m3/h

AMT:

AMT2/AMT1 = (D2/D1)2

AMT2 = 80 x (180/200)2 = 64,8m

Potncia:

Pot2/Pot1 = (D2/D1)3

Pot2 = 46 x (0,9)3 = 33,5hp

8-3. Teoria da Semelhana aplicada a mquinas de fluxo

Uma bomba centrfuga recalcou 300 g.p.m. a uma altura de 16,5m quando a rotao do motor era de 1.500 rpm. O dimetro do rotor era de 318 mm e desenvolvia 6 HP de potncia.

Uma bomba geomtricamente semelhante de 380 mm est girando a 1.750 rpm. Considerando eficincias iguais, pede-se: a) Qual a altura a ser desenvolvida? b) Qual a vazo recalcada? c) Qual a potncia desenvolvida? Dados: Q1 = 300gpm H1 = 16,5 m ns1 = 1500 rpm N1 = 6 HP D1 = 318 mm D2 = 380 mm ns2 = 1750 rpm Soluo:

a) Qual a altura a ser desenvolvida?

Como: H2/ ns2

2 = H1/ ns1

2

Ento: H2 = H1 (ns2/ns1)

2 H2 = 16,5 (1750/1500)

2

Logo: H2 = 22,46 m

b) Qual a vazo recalcada? Como: Q2/ ns2 = Q1/ ns1 Ento: Q2 = Q1 (ns2/ns1)

1 Q2 = 300 (1750/1500)

Logo: Q2 = 350 gpm

c) Qual a potncia desenvolvida?

Como: N2/ ns2

3 = N1/ ns1

3

Ento: N2 = N1 (ns2/ns1)

3 N2 = 6 (1750/1500)

3

Logo: N2 = 9,53 HP

8-4. Ponto de operao e curvas da bomba e do sistema

Na figura abaixo, est representada a curva caracterstica (Hman, Q) de uma bomba opera em uma instalao com 40m de desnvel e perdas de carga totais da ordem de 10m. Considerando-se ambos os reservatrios abertos, traar a curva do sistema.

Curva caracterstica da bomba

0

10

20

30

40

50

60

0 50 100

Q(m3/h)

H(m

)

Bomba

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Soluo:

A curva do sistema tem como equao:

P

kQHHman

++= 20

Como os reservatrios esto abertos:

20 kQHHman +=

A instalao tem mHman 501040 =+= . Verificando-se a curva HxQ da bomba, a vazo recalcada de 40m3/h. A caracterstica k do sistema ser:

22

0

40

4050=

=

Q

HHk man

0063,0=k

Logo, arbitrando-se valores para Q, calcula-se os correspondentes valores de Hman de acordo com a equao do sistema

20 kQHHman += ,

obtendo-se a tabela, para k=0,0063 e H0=40m Q (m3/h) kQ2 Hman

0 0,00 40,00 10 0,63 40,63 20 2,50 42,50 30 5,67 45,67 50 15,75 55,75 60 22,68 62,68 70 30,87 70,87

Plotando-se os pares de valores (Hman, Q) obtm-se a curva do sistema:

Curvas caractersticas da bomba e do sistema

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 50 100

Q (m3/h)

H(m

)

Bomba

Sistema

Soluo comentada:

Para se interpretar o comportamento de uma turbobomba, exige-se a associao, no plano (H,Q) da curva caracterstica da bomba com a

curva caracterstica do sistema dada pela equao P

kQHHman

++= 20 .

A interseo das duas curvas caractersticas define o PONTO DE OPERAO onde, para a vazo Q, tem-se a altura manomtrica desenvolvida pela bomba igual altura manomtrica exigida pelo sistema.

8-5. Assunto: Semelhana e associao de Bombas Quando operando a ns1= 1170 rpm, uma bomba centrfuga, com dimetro de impulsor D1 = 8 pol., tem altura de carga no bloqueio H1 = 25 ps de gua. Na mesma velocidade de operao, a melhor eficincia ocorre para Q = 300 gpm. A) O que aconteceria caso instalssemos outra bomba srie com mesmo dimetro? B) E em paralelo? Dados: ns1 = 1170 rpm D1 = 8 pol H1 = 25 ps Q1 = 300gpm D2 = 8 pol Determinar: _ Q1e2 e H1e2 em associaes em srie _ Q1e2 e H1e2 em associaes em srie Soluo: Para bomba 2, similar a bomba 1, calcularemos seu ponto de operao dada similaridade: Dimetro: D2/D1 = ns1/ns2 ns2 = ns1D1/D2 ns2 = (1170 X 8)/8 = 1170 rpm Vazo: Q2 = Q1 (ns2/ns1) Q2 = 300 (1170/1170) = 300 gpm Altura: H2 = H1 (ns2/ns1)2 H2 = 25 (1170/1170)2 = 25 ps Assim, calcularemos a associao em srie:

Q1e2 = Q1 = 300 gmp

H1e2 = H1 + H2 = 25 + 25 = 50 ps

Associao em paralelo:

Q1e2 = Q1 + Q2 = 600 gmp

H1e2 = H1= = 25 ps

9-1. ASSUNTO: BOMBAS EM PARALELO --------------------------- RESOLUO NO EES Definir toda a geometria e dados da tubulao para obter os valores e k dos trechos considerados, para o sistema ilustrado em anexo, que consiste de 2 bombas em paralelo e 3 reservatrios. Os dados do problema encontram-se abaixo, junto nomenclatura utilizada para as variveis. ************************************************************************************************************* NOMENCLATURA HB1=ALTURA GEOMTRICA DA BOMBA 1 HB2=ALTURA GEOMTRICA DA BOMBA 2 H01=ALTURA SHUT-OFF DA BOMBA 1=50 H02=ALTURA SHUT-OFF DA BOMBA 2=30 K1=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO TRECHO 1=1 K2=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO TRECHO 2=1,4 KS1=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO SISTEMA 1=1,5 KS2=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO SISTEMA 2 =1 KS3=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO SISTEMA 3=1 HB1C=CURVA DA BOMBA 1 CORRIGIDA HB2C=CURVA DA BOMBA 2 CORRIGIDA Qeq=VAZO DA BOMBA EQUIVALENTE *************************************************************************************************************SOLUO" "{CURVA DA BOMBA 1} HB1=H01 - K1*Q^2 H01=50 K1=1 {CURVA DO SISTEMA 1} HS1=HG1+KS1*Q^2 HG1=30 KS1=1,5 {CURVA DA BOMBA 2} HB2=H02-K2*Q^2 H02=40 K2=1,4 {CURVA DO SISTEMA 2} HS2=HG2+KS2*Q^2 HG2=5 KS2=1 {CURVA DA BOMBA 1 CORRIGIDA} HB1C=HB1-HS1 {CURVA DA BOMBA 2 CORRIGIDA} HB2C=HB2-HS2 {CURVA DO SISTEMA 3} HS3 = HG3 + KS3*Q^2 HG3 = 15 KS3 = 1,0" "{REGRESSO DA CURVA DA B1C} H=20 + 4,15341E-17*QB1C - 2,5*QB1C^2 {REGRESSO DA CURVA DA B2C} H=35 + 1,18669E-16*QB2C - 2,4*QB2C^2

{EQUAO DA BOMBA EQUIVALENTE EM PARALELO} Qbeq = QB1C + QB2C {REGRESSO DA CURVA DO S3} HPF=15 - 1,78003E-17*QPF + 1*QPF^2 {REGRESSO DA CURVA DA BOMBA EQUIVALENTE} H=18,1737 + 2,91506*Qbeq - 0,852921*Qbeq^2" {PONTO DE FUNCIONEMTO PARA A BOMBA EQUIVALENTE e SISTEMA 3} HPF=15 - 1,78003E-17*QPF + 1*QPF^2 HPF=18,1737 + 2,91506*QPF - 0,852921*QPF^2 "{} HPF=20,35 QPF=2,314 HPF=20 + 4,15341E-17*QB1C - 2,5*QB1C^2 HPF=35 + 1,18669E-16*QB2C - 2,4*QB2C^2" "SOLUO COMENTADA Na tubulao comum do sistema das 2 bombas em paralelo h a descarga delas funcionando simultaneamente. Para se obter a curva caracterstica da funo f(Q,H)=0, do conjunto de bombas, somou-se, para cada valor de H, as abscissas de Q de cada bomba, considerando-se que giram com a mesma rotao. Atravs dos grficos obtidos, observa-se que a descarga obtida com 2 bombas menor que o dobro da vazo fornecida por uma nica bomba. A variao da altura manomtrica tanto menor quanto menor so as perdas de carga na tubulao.Como a altura manomtrica resultante de um sistema de bombas em paralelo maior do que para uma bomba apenas, a tubulao de recalque deve atender a essa condio. "

0 0,5 1 1,5 2 2,5 30

10

20

30

40

50

Q

HB1, HS1, HB1C

HB1C=20 + 4,15341E-17Q - 2,5Q2

BOMBA 1, SISTEMA 1 E BOMBA CORRIGIDA 1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 35

10

15

20

25

30

35

40

Q

HB2, HS2, HB2C

HB2C=35 + 1,18669E-16Q - 2,4Q2

BOMBA 2, SISTEMA 2 E BOMBA CORRIGIDA 2

1,5 2 2,5 3

12

16

Qbeq

H

BOMBA EQUIVALENTE

0 0,5 1 1,5 2 2,5 30

4

8

12

16

20

QB1C

H

H x QB1C

2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 40

4

8

12

16

20

QB2C

H

H x QB2C

2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 70

4

8

12

16

20

Qbeq

H

H x Qeq

10-1. ASSUNTO: BOMBAS EM SRIE --------------------------- RESOLUO NO EES Definir toda a geometria e dados da tubulao para obter os valores e k dos trechos considerados, para o sistema ilustrado em anexo, que consiste de 2 bombas em srie e 3 reservatrios. Os dados do problema encontram-se abaixo, junto nomenclatura utilizada para as variveis. Como comparao, foram utilizados coeficientes de resistncia, alturas de shut-off e alturas geomtricas iguais s do exerccio anterior para 2 bombas em paralelo. *************************************************************************************************************NOMENCLATURA HB1=ALTURA GEOMTRICA DA BOMBA 1 HB2=ALTURA GEOMTRICA DA BOMBA 2 H01=ALTURA SHUT-OFF DA BOMBA 1=50 H02=ALTURA SHUT-OFF DA BOMBA 2=30 K1=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO TRECHO 1=1 K2=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO TRECHO 2=1,4 KS1=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO SISTEMA 1=1,5 KS2=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO SISTEMA 2 =1 KS3=COEFICIENTE DE RESISTNCIA DO SISTEMA 3=1 HB1C=CURVA DA BOMBA 1 CORRIGIDA HB2C=CURVA DA BOMBA 2 CORRIGIDA Qeq=VAZO DA BOMBA EQUIVALENTE Heq=ALTURA DA BOMBA EQUIVALENTE *************************************************************************************************************SOLUO" "{CURVA DA BOMBA 1} HB1=H01 - K1*Q^2 H01=50 K1=1 {CURVA DO SISTEMA 1} HS1=HG1+KS1*Q^2 HG1=30 KS1=1,5 {CURVA DA BOMBA 2} HB2=H02-K2*Q^2 H02=40 K2=1,4 {CURVA DO SISTEMA 2} HS2=HG2+KS2*Q^2 HG2=5 KS2=1 {CURVA DA BOMBA 1 CORRIGIDA} HB1C=HB1-HS1 {CURVA DA BOMBA 2 CORRIGIDA} HB2C=HB2-HS2 {CURVA DO SISTEMA 3} HS3 = HG3 + KS3*Q^2 HG3 = 15 KS3 = 1,0" "{REGRESSO DA CURVA DA B1C} HB1=20 + 4,15341E-17*QB1C - 2,5*QB1C^2

{REGRESSO DA CURVA DA B2C} HB2C=35 + 1,18669E-16*QB2C - 2,4*QB2C^2 {EQUAO DA BOMBA EQUIVALENTE EM SRIE} Hbeq = HB1C + HB2C {REGRESSO DA CURVA DO S3} HPF=15 - 1,78003E-17*QPF + 1*QPF^2 {REGRESSO DA CURVA DA BOMBA EQUIVALENTE} H=55 + 1,18669E-16*Qbeq - 4,9*Qbeq^2" {PONTO DE FUNCIONAMENTO PARA A BOMBA EQUIVALENTE e SISTEMA 3} HPF=15 - 1,78003E-17*QPF + 1*QPF^2 HPF=55 + 1,18669E-16*QPF - 4,9*QPF^2 "{} HPF=21,78 QPF=2,604 HPF=20 + 4,15341E-17*QB1C - 2,5*QB1C^2 HPF=35 + 1,18669E-16*QB2C - 2,4*QB2C^2" "{BOMBA EQUIVALENTE} H=55 + 1,18669E-16*Qbeq - 4,9*Qbeq^2" "SOLUO COMENTADA Na tubulao comum do sistema das 2 bombas em srie ambas so atravessadas pela mesma descarga e cada uma fornece uma parcela de altura total H. Para se obter a curva caracterstica H=f(Q) do conjunto de bombas, somou-se, para cada valor de Q, as ordenadas de H de cada bomba, considerando-se que giram com a mesma rotao. Esse sistema empregado quando se deseja variar muito a altura manomtrica. A descarga tambm aumentada. Como comparao, as mesmas duas bombas ligadas em paralelo tem-se que HPF=20,35 e QPF=2,314 enquanto que em srie HPF=21,78 e QPF=2,604."

0 0,5 1 1,5 2 2,5 30

10

20

30

40

50

Q

HB1, HS1, HB1C

HB1C=20 + 4,15341E-17Q - 2,5Q2

BOMBA 1, SISTEMA 1 E BOMBA CORRIGIDA 1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 35

10

15

20

25

30

35

40

Q

HB2, HS2, HB2C

HB2C=35 + 1,18669E-16Q - 2,4Q2

BOMBA 2, SISTEMA 2 E BOMBA CORRIGIDA 2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 315

16

17

18

19

20

21

22

23

Q

HS3

HS3=15 - 1,78003E-17Q + 1Q2

Q x HS3

0 0,5 1 1,5 2 2,5 315

20

25

30

35

40

45

50

55

Q

Hbeq

Hbeq=55 + 1,18669E-16Q - 4,9Q2

Q x Hbeq

BOMBA EQUIVALENTE

0 0,5 1 1,5 2 2,5 30

5

10

15

20

25

30

35

Q

H

EXERCCIOS EXTRAS SELECIONADOS

(12.45 FOX) A Fig. P12.45 mostra o esquema de uma turbina Pelton. O raio da linha da ao da fora tangencial de reao em cada p igual a 0,305m. Cada p obriga o escoamento a defletir de 135. Admita que todos os escoamentos ocorrem num plano Horizontal. Cada um dos jatos incide sobre as ps com velocidade de 30,5 m/s e os jatos apresentam dimetro iguais a 25,4 mm. O mdulo da velocidade do jato permanece constante ao longo da superfcie. a) Qual o torque necessrio para manter a roda estacionria? b) Qual a rotao da roda se o atrito for desprezvel e qual a potncia de eixo nestas condies? T = n rm (U - V1)(1 - cos ) onde n = 4

a) Com a roda estacionria U = 0 logo, T = -4 rm V1(1 cos ) onde

= A = (999kg /m 3 ) ( / 4 (0,0254m)2) (30.5m/s ) = 15,44kg/s

T = -4 15.44 0.305 30.51 (1 - cos 135) = -980.77kg m

b) Quando T = 0,U = V 1 U=rm = V 1 ou = = 100rad/ s W = T = 0

(12.35 LT) Uma bomba centrfuga, dimetro do rotor = 305 mm, requer uma potncia de eixo igual a 44,7 KW quando a vazo e a carga so 0,202 m3/s e 18,3 m. O rotor original trocado por outro que apresenta dimetro igual a 254 mm.

Determine a vazo esperada, a carga e a nova potncia de eixo se a rotao da bomba for mantida constante.

Soluo Temos que: Dl =305 mm Wl =44,7 KW Ql =0,202 m3/s Hl = 18,3 m D2= 254 mm Q2 = ? H2 = ? W2 = ?

Sabemos que:

Ql /Q2 = D13/D23

0,202 / Q2 = (305 . 10-3 )3 / (254 . 10-3 )3

Q2 = 0,116m3/s

E tambm que:

Hl /H2 = D12 /D22 = 18,3/H2 = (305 . 10-3)2/(254. 10-3)2 = H2 = 12,71 m

Wl /W2 = D15 /D25 = 44,7/W2 = (305 . 10-3 )5 /(254. 10-3)5 =W2 = 17,88 m

(12.59) Uma turbina Pelton alimentada com gua de um lago cuja superfcie livre est acima da turbina. A tubulao de alimentao tem comprimento 1, dimetro D e o fator de atrito do escoamento na tubulao de alimentao da turbina f. As perdas de carga singulares so desprezveis.

Mostre que a potencia desenvolvida pela turbina mxima quando a carga de velocidade no bocal 2H/3. Observao: o resultado do problema 12.58 pode ser til. Po + Vo2 + Zo = P1 + V12 +Z1 + f L.V2

7 2g 2g D2g Po = P1 = 0 Vo=0 Zo-Z1 = H H = V12 + fL.V2

2g D2g Tem-se que: A1V1=AV ou D12V1/4 =D

2V/4

Figura 12.32Sees

(12.63 LT) Ns devemos escolher uma turbina com potncia de 22,4 MW e que deve operar a 60 rpm quando a carga manomtrica for igual a 21,4 m. Qual tipo de turbina mais recomendvel para esta aplicao. Estime a vazo de gua necessria para a operao da turbina. Dados: 60 rpm = 22,4 MW => 30455,5 hp = Weixo 21,4 m=> 70,2 ft = ht Assim: N'sd = [ (Weixo)

1/2] / (ht)5/4

N'sd = [60 rpm (30455,5 hp)

l/2] / (70,2 ft)5/4

N'sd = 51.53 De acordo com a Fig. 13.32, devemos usar uma turbina Francis. Para calcular a vazo: Weixo= Q ht Q = {30455,5 hp)(550 [(ft lb/s)/hp]}/(62.4 lb/ft3)(70.2 ft) Q = 382.4 ft3/s Q = 10.83 m3/s

(12.65) gua a 27,57 MPa est disponvel para girar uma turbina a 1750 rpm.

Qual tipo de turbina voc sugeriria sabendo que a potncia de eixo da turbina deve ser prxima de 150kW? Po = 27,57 MPa = 400psi 150kW = 200 hp

ht = Po / = (400 lb/in2) x (144 in2/ft2) / (62,4 lb/ ft3) = 923 ft

Nsd = ( x (Weixo)1 /2)/ (h)5/4 = (1750 x (200)1/2)/ (923)5/4 = 4,86

=> Para este valor recomendado uma turbina de impulso.