como descobrir o mmc de um conjunto de números
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Como descobrir o MMC de um conjunto de nmeros?Um prtico mtodo para se determinar o MMC de um conjunto de nmeros naturais a decomposio em fatores primos.
Para que possamos fazer uma comparao, vamos tomar novamente os nmeros 6, 8 e 12 como exemplo.
Da fatorao destes trs nmeros temos:
6=2.3 8 = 23 12 = 22 . 3
O MMC(6, 8, 12) o produto dos fatores comuns e no comuns, com os maiores expoentes.
O fator 2 comum a todos eles, mas tomemos o 23, pois o que possui o maior expoente.
O fator 3 no comum ao nmero 8, mas independente disto tambm deve ser considerado e como nos dois casos onde ele mltiplo, o expoente 1, iremos considerar somente o 3 mesmo.
Note que cada fator considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o nmero 6, quanto para o nmeros 12, mas o consideramos apenas uma vez.
Logo:
MMC(6, 8, 12) = 23 . 3 = 24
Clculo detalhado do MMC e do MDC de um conjunto de nmerosCalcule o MMC e o MDC dos nmeros abaixo:
108 245 875Fatorando o nmero 105 temos:
Logo: 105 = 3 . 5 . 7
Fatorando o nmero 245 temos:
Logo: 245 = 5 . 72
Fatorando o nmero 875 temos:
Logo: 875 = 53 . 7
Levando-se em conta os fatores comuns e no comuns, com os maiores expoentes temos que:
MMC(105, 245, 875) = 3 . 53 . 72 = 18375
Considerando-se os fatores comuns com os menores expoentes temos que:
MDC(105, 245, 875) = 5 . 7 = 35
Portanto:
MMC(105, 245, 875) = 18375 e MDC(105, 245, 875) = 35.
Exemplos de MMC
Qual o MMC(15, 25, 40)?
Fatorando os trs nmeros temos:
15 = 3 . 5 25 = 52 40 = 23 . 5
Para uma melhor identificao, os fatores comuns e no comuns com os maiores expoentes foram marcados em vermelho.
MMC(15, 25, 40) = 23 . 3 . 52 = 600
Portanto:
O MMC(15, 25, 40) igual 600
Qual o MMC(250, 225, 294, 245)?
Da Fatorao dos quatro nmeros temos:
250 = 2 . 53 225 = 32 . 52 294 = 2 . 3 . 72 245 = 5 . 72
MMC(250, 225, 294, 245) = 2 . 32 . 53 . 72 = 110250
Logo:
O MMC(250, 225, 294, 245) igual a 110250
Qual o MMC(27, 81)?
A decomposio dos dois nmeros em fatores primos nos d:
27 = 33 81 = 34
MMC(27, 81) = 34 = 81
Portanto:
O MMC(27, 81) o prprio nmero 81.
Se o MDC(27, 72) = 9, qual o MMC(27, 72)?
Segundo a propriedade do MMC e do MDC temos que :
Logo:
O MMC(27, 72) igual a 216
Dados dois ou mais nmeros naturais no nulos, denomina-se mximo divisor comum (MDC) o maior nmero que divisor de todos eles.
Entenda por divisor, um nmero natural no nulo, que ao dividir um outro nmero natural, produz uma diviso com resto igual a zero, isto , produz uma diviso exata.
Com este sentido, o conjunto dos nmeros formados pelos divisores de um nmero natural qualquer um conjunto finito.
Caso o nmero 1 seja o nico divisor comum a um conjunto de nmeros naturais, dizemos que os nmeros deste conjunto so primos entre si.
Divisores de um Nmero Natural e o seu MDCAnalisemos os nmeros naturais 108, 135 e 63. Seus divisores so respectivamente:
{ 1, 3, 4, 9, 12, 27, 36, 108 } { 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135 } { 1, 3, 7, 9, 21, 63 }
De todos os divisores que cada um dos nmeros possui, o nmero 9 o maior deles que comum a todos os trs.
Temos ento que:
MDC(108, 135, 63) = 9
Como descobrir o MDC de um conjunto de nmeros?Um mtodo prtico para se determinar o MDC de um grupo de nmeros naturais a fatorao.
Para podermos comparar o resultado obtido pelo mtodo acima e o obtido pela fatorao, vamos utilizar de novo os nmeros 108, 135 e 63 como exemplo
Da fatorao deles ns temos que:
108 = 33 . 4 135 = 33 . 5 63 = 32 . 7
O MDC(108, 135, 63) o produto dos fatores comuns com os menores expoentes.
No caso apenas o fator 3 comum a todos eles, mas tomemos o 32, pois o que possui o menor expoente.
Logo: MDC(108, 135, 63) = 32 = 9
Exemplos de MDCQual o MDC(15, 75, 105)?
Fatorando os trs nmeros temos:
15 = 3 . 5 75 = 3 . 52 105 = 3 . 5 . 7
Note que cada fator considerado apenas uma vez. O fator 3, por exemplo, ocorre tanto para o nmero 15, quanto para o nmero 75 e para o 105, mas o consideramos uma nica vez. De forma anloga agimos em relao ao fator 5.
MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15
Portanto:O MDC(15, 75, 105) igual 15