cmp189 algoritmos geom tricos

CMP189Algoritmos

Geométricos

Prof. João Comba

ProximidadeDiagrama de Voronoi (1907)

Planejamento de movimento

Encontrar o caminho mais curto sem colidir com paredes e objetos

Sobreposição de Mapas

Sobreposição de Mapas

Algoritmos Geométricos

Geometria Computacional:

Início na década de 70

Problemas geométricos

Meta: Buscar algoritmos e estruturas de dados com bom desempenho quando os problemas escalam de tamanho

Aplicações: Computação Gráfica, Processamento de Imagens, Robótica, Sistemas Geográficos de Informação, VLSI, CAD, etc.

Algoritmos Geométricos

Problemas Típicos:

Entrada: Objetos Geométricos (pontos, linhas, planos, etc)

Saída: Resultados de consulta sobre os objetos, ou um novo objeto geométrico

Ingredientes:

Geometria, Topologia, Algoritmos, Estruturas de dados, Análise de algoritmos, Problemas numéricos

Algoritmos GeométricosLimitações Comuns:

Natureza discreta: aproximações discretas de fenômenos contínuos

Objetos planares ou lineares (aproximações de objetos curvos)

Permite concentrar em aspectos combinatórios dos problemas em detrimento de aspectos numéricos

Problemas de baixa dimensão

Primordialmente 2D (fácil de visualizar) e 3D (até certos limites)

Histórico da área

• Década de 80:

Desenvolvimento de técnicas eficientes de projeto e análise de algoritmos

• Década de 90:

Maioria dos problemas abertos foi resolvida

Problema: distância muito grande entre teoria e prática (muitas das soluções eram quase impossíveis de serem implementadas ou sensíveis a casos especiais)

• Atualmente:

Simplificar algoritmos existentes, lidar com problemas numéricos, produzir bibliotecas de procedimentos geométricos

Projeto de algoritmos geométricos

1. Projeto de algoritmo básico ignorando situações especiais (casos degenerados). Ex. Pontos colineares, segmentos de linha verticais, etc). Assumir posição geral.

Projeto de algoritmos geométricos1. Projeto de algoritmo básico ignorando

situações especiais (casos degenerados). Ex. Pontos colineares, segmentos de linha verticais, etc). Assumir posição geral.

2. Lidar com casos degenerados

• Adicionar vários casos especiais

• Modificar o algoritmo original para integrar casos especiais

Projeto de algoritmos1. Projeto de algoritmo básico ignorando

situações especiais (casos degenerados). Ex. Pontos colineares, segmentos de linha verticais, etc). Assumir posição geral.

2. Lidar com casos degenerados

• Adicionar vários casos especiais

• Modificar o algoritmo original para integrar casos especiais

3. Implementação

• Usar biblioteca de algoritmos geométricos

• Desenvolver suas próprias classes

Aplicações

• Computação Gráfica:

Interseções entre primitivas

Primitiva apontada pelo mouse

Subconjunto de primitivas dentro de uma região

Remoção de superfícies ocultas em 3D

Cálculos de sombras em ray-tracing e radiosidade

Detectar colisões entre objetos

Aplicações

• Robótica:

Planejamento de movimento de robô

Planejamento de articulações de robo

Alcance do braço

Orientações das diferentes juntas

Aplicações• Sistemas Geográficos de Informação:

Representações de dados geográficos:

Topografica, Hidrografica, Separações físicas e políticas, estradas (mapas diversos)

Dados são muito numerosos

Extrair informações eficientemente:

Qual a média de chuva em uma dada região

Como guiar um carro e definir rotas de navegação

Sobreposição de mapas

Aplicações

• CAD/CAM:

Placas de Circuitos, Projetos arquitetônicos

Entidades geométricas (problemas geométricos aparecem)

Interseções e uniões de objetos

Decomposição de objetos em formas mais simples

Visualização dos objetos projetados

Conteúdo

1. Fundamentos

2. Interseções de Segmentos de Linha

3. Particionamento de Polígonos

4. Envoltórias Convexas

5. Diagramas de Voronoy

6. Triangulações de Delaunay

7. Algoritmos de Busca Pontual e Intervalar

8. Quadtrees, BSP-trees, R-trees

9. Grafos de Visibilidade

10.Planejamento de Movimento

Conteúdo • Técnicas de Projeto de Algoritmos

Lugares geométricos

Transformações geométricas

Dualidade

Space Sweep

Estruturas Hierárquicas

• Estruturas de Dados:

Cascadeamento Fracional

Estruturas de Dados Persistentes

Estruturas de Dados Cinéticas

Análise caso médio

Avaliação• Trabalhos teóricos e práticos

• Trabalho Final:Definido de comum acordo com o aluno / orientador

Alguns temas sugeridos

Sugestões por parte dos alunos são estimuladas

Preferencialmente dentro da área de pesquisa de mestrado

Resultados esperados: Artigo técnico mostrando os resultados obtidos (em inglês)

Apresentação final

• Prova Final

BibliografiaBIBLIOGRAFIA BÁSICA:

• Computational Geometry: Algorithms and Applications. M. de Berg, M. van Kreveld, M. Overmars, O. Scwarzkopf. Springer Verlag, 1997.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

• Computational Geometry in C. Joseph O’Rourke. Cambridge University Press, 1993.

• Applications of Spatial Data Structures. Hanan Samet. Academic Press, 1990.

• Ruler, Compass, and Computer: The Design and Analysis of Geometric Algorithms. Leo Guibas, Jorge Stolfi

• Computational Geometry: Course Notes. David Mount (Univ. Of Maryland)

• Introduction to Algorithms. Cormen, Leiserson, Rivest. McGraw Hill.

Exemplo: Envoltória Convexa

convexo

não convexo


p9

p2

p8

p6

p5

p4

p11

p1

p7p3

p10

Entrada: p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8,p9,p10,p11

Saída : p2,p9,p11,p4,p5,p6,p8,p2

EC é um polígono convexo


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Envoltória Convexa 1

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(n2-n)

Algoritmo EC1:

Entrada: Conjunto de pontos P no plano

Saída: Uma lista de vértices da EC em ordem

1. E = ø

2. FOR todos pares (p,q)∈PxP (p!=q)

3. DO valido = true

4. FOR todos pontos r∈P(r!=p and r!=q)

5. IF r está a direita da reta pq

6. THEN valido = false

7. IF valido THEN adicione pq para E

8. Para o conjunto E de arestas, construa uma lista de vertices classificados em ordem cronológica


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(n2-n) * (n-2) = n3-3n2+2n

Algoritmo EC1:



1. E = ø


3. DO valido = true







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Algoritmo EC1:



1. E = ø


3. DO valido = true






Como implementar o passo 8 ?


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p1

p7p3

p10

Algoritmo EC1:



1. E = ø


3. DO valido = true






n3 -3n2 + 2n + n2 = O(n3)

Complexidade de Algoritmos•Modelo: máquina de acesso randômico

instruções sequenciais, sem ops. concorrentes

•Tamanho da entrada

•Tempo de execução:

número de operações

• Linear (a*n+b)

• Quadrático (a*n2+b*n+c)

• Cúbico (a*n3+b*n2+c*n+d)

• Logarítmico: a * log n

•Tamanho da saída

Complexidade de Algoritmos

n0

c2 g(n)

c1 g(n)

f(n) = !(g(n))

f(n)

n0

c g(n)

f(n) = O(g(n))

f(n)

n0

c g(n)

f(n) = "(g(n))

f(n)

Primitivas GeométricasComo testar se um ponto esta a esquerda ou a direita de uma linha ?

Ex. Ponto (5,7) e linha conectando pontos (2,3)e (3,8)

Ex. ponto (5,7) e linha 2x + 3y = 5

Primitivas Geométricas

Linhas;

y = mx + b

ax + by + c = 0

292 13. Geometry

points (x1, y1) and (x2, y2) which lie on it. Lines are also completely describedby equations such as y = mx + b, where m is the slope of the line and b is they-intercept, i.e., the unique point (0, b) where it crosses the x-axis. The line l hasslope m = ∆y/∆x = (y1 − y2)/(x1 − x2) and intercept b = y1 − mx1.

Vertical lines cannot be described by such equations, however, because divid-ing by ∆x means dividing by zero. The equation x = c denotes a vertical line thatcrosses the x-axis at the point (c, 0). This special case, or degeneracy, requiresextra attention when doing geometric programming. We use the more generalformula ax + by + c = 0 as the foundation of our line type because it covers allpossible lines in the plane:

typedef struct {double a; /* x-coefficient */double b; /* y-coefficient */double c; /* constant term */

} line;

Multiplying these coefficients by any non-zero constant yields an alternate repre-sentation for any line. We establish a canonical representation by insisting thatthe y-coefficient equal 1 if it is non-zero. Otherwise, we set the x-coefficient to 1:

points_to_line(point p1, point p2, line *l){

if (p1[X] == p2[X]) {l->a = 1;l->b = 0;l->c = -p1[X];

} else {l->b = 1;l->a = -(p1[Y]-p2[Y])/(p1[X]-p2[X]);l->c = -(l->a * p1[X]) - (l->b * p1[Y]);

}}

point_and_slope_to_line(point p, double m, line *l){

l->a = -m;l->b = 1;l->c = -((l->a*p[X]) + (l->b*p[Y]));

}

• Intersection — Two distinct lines have one intersection point unless they areparallel; in which case they have none. Parallel lines share the same slope buthave different intercepts and by definition never cross.

Material de “Programming Challenges. Skiena e Revilla


292 13. Geometry




} line;



if (p1[X] == p2[X]) {l->a = 1;l->b = 0;l->c = -p1[X];


}}



}


292 13. Geometry




} line;



if (p1[X] == p2[X]) {l->a = 1;l->b = 0;l->c = -p1[X];


}}



}


representação canônica

Primitivas Geométricas13.1. Lines 293

bool parallelQ(line l1, line l2){

return ( (fabs(l1.a-l2.a) <= EPSILON) &&(fabs(l1.b-l2.b) <= EPSILON) );

}

bool same_lineQ(line l1, line l2){

return ( parallelQ(l1,l2) && (fabs(l1.c-l2.c) <= EPSILON) );}

A point (x′, y′) lies on a line l : y = mx + b if plugging x′ into the formula for xyields y′. The intersection point of lines l1 : y = m1x + b1 and l2 : y2 = m2x + b2is the point where they are equal, namely,

x =b2 − b1

m1 − m2, y = m1

b2 − b1

m1 − m2+ b1

intersection_point(line l1, line l2, point p){

if (same_lineQ(l1,l2)) {printf("Warning: Identical lines, all points intersect.\n");p[X] = p[Y] = 0.0;return;

}

if (parallelQ(l1,l2) == TRUE) {printf("Error: Distinct parallel lines do not intersect.\n");return;

}

p[X] = (l2.b*l1.c - l1.b*l2.c) / (l2.a*l1.b - l1.a*l2.b);

if (fabs(l1.b) > EPSILON) /* test for vertical line */p[Y] = - (l1.a * (p[X]) + l1.c) / l1.b;

elsep[Y] = - (l2.a * (p[X]) + l2.c) / l2.b;

}

• Angles — Any two non-parallel lines intersect each other at a given angle. Linesl1 : a1x + b1y + c1 = 0 and l2 : a2x + b2y + c2 = 0, written in the general form,intersect at the angle θ given by:

tan θ =a1b2 − a2b1

a1a2 + b1b2

For lines in slope-intercept form this reduces to tan θ = (m2 − m1)/(m1m2 + 1).


13.1. Lines 293

bool parallelQ(line l1, line l2){

return ( (fabs(l1.a-l2.a) <= EPSILON) &&(fabs(l1.b-l2.b) <= EPSILON) );

}

bool same_lineQ(line l1, line l2){

return ( parallelQ(l1,l2) && (fabs(l1.c-l2.c) <= EPSILON) );}

A point (x′, y′) lies on a line l : y = mx + b if plugging x′ into the formula for xyields y′. The intersection point of lines l1 : y = m1x + b1 and l2 : y2 = m2x + b2is the point where they are equal, namely,

x =b2 − b1

m1 − m2, y = m1

b2 − b1

m1 − m2+ b1

intersection_point(line l1, line l2, point p){

if (same_lineQ(l1,l2)) {printf("Warning: Identical lines, all points intersect.\n");p[X] = p[Y] = 0.0;return;

}

if (parallelQ(l1,l2) == TRUE) {printf("Error: Distinct parallel lines do not intersect.\n");return;

}

p[X] = (l2.b*l1.c - l1.b*l2.c) / (l2.a*l1.b - l1.a*l2.b);

if (fabs(l1.b) > EPSILON) /* test for vertical line */p[Y] = - (l1.a * (p[X]) + l1.c) / l1.b;

elsep[Y] = - (l2.a * (p[X]) + l2.c) / l2.b;

}

• Angles — Any two non-parallel lines intersect each other at a given angle. Linesl1 : a1x + b1y + c1 = 0 and l2 : a2x + b2y + c2 = 0, written in the general form,intersect at the angle θ given by:

tan θ =a1b2 − a2b1

a1a2 + b1b2

For lines in slope-intercept form this reduces to tan θ = (m2 − m1)/(m1m2 + 1).

Interseção entre duas linhas

Área de um triângulo

AREA(T), onde T é definido por pontos a, b, c

13.2. Triangles and Trigonometry 297

Solving triangles is the art of deriving the unknown angles and edge lengths of atriangle given a subset of such measurements. Such problems fall into two categories:

• Given two angles and side, find the rest — Finding the third angle is easy, sincethe three angles must sum to 180o = π radians. The Law of Sines then gives us away to find the missing edge lengths.

• Given two sides and an angle, find the rest — If the angle lies between the twoedges, the Law of Cosines gives us the way to find the remaining edge length.The Law of Sines then enables us to mop up the unknown angles. Otherwise, wecan use the Law of Sines and the angle sum property to determine all angles, andthen the Law of Sines to get the remaining edge length.

The area A(T ) of a triangle T is given by A(T ) = (1/2)ab, where a is the altitude andb is the base of the triangle. The base is any one of the sides while the altitude is thedistance from the third vertex to this base, as shown in Figure 13.2(r). This altitudecan be easily calculated via trigonometry or the Pythagorean theorem, depending onwhat is known about the triangle.

Another approach to computing the area of a triangle is directly from its coordinaterepresentation. Using linear algebra and determinants, it can be shown that the signedarea A(T ) of triangle T = (a, b, c) is

2 · A(T ) =

∣∣∣∣∣∣

ax ay 1bx by 1cx cy 1

∣∣∣∣∣∣= axby − aybx + aycx − axcy + bxcy − cxby

This formula generalizes nicely to compute d! times the volume of a simplex in ddimensions.

Note that the signed areas can be negative, so we must take the absolute value tocompute the actual area. This is a feature, not a bug. We will see how to use the signof this area to build important primitives for computational geometry in Section 14.1.

double signed_triangle_area(point a, point b, point c){

return( (a[X]*b[Y] - a[Y]*b[X] + a[Y]*c[X]- a[X]*c[Y] + b[X]*c[Y] - c[X]*b[Y]) / 2.0 );

}

double triangle_area(point a, point b, point c){

return( fabs(signed_triangle_area(a,b,c)) );}

13.2. Triangles and Trigonometry 297

Solving triangles is the art of deriving the unknown angles and edge lengths of atriangle given a subset of such measurements. Such problems fall into two categories:

• Given two angles and side, find the rest — Finding the third angle is easy, sincethe three angles must sum to 180o = π radians. The Law of Sines then gives us away to find the missing edge lengths.

• Given two sides and an angle, find the rest — If the angle lies between the twoedges, the Law of Cosines gives us the way to find the remaining edge length.The Law of Sines then enables us to mop up the unknown angles. Otherwise, wecan use the Law of Sines and the angle sum property to determine all angles, andthen the Law of Sines to get the remaining edge length.

The area A(T ) of a triangle T is given by A(T ) = (1/2)ab, where a is the altitude andb is the base of the triangle. The base is any one of the sides while the altitude is thedistance from the third vertex to this base, as shown in Figure 13.2(r). This altitudecan be easily calculated via trigonometry or the Pythagorean theorem, depending onwhat is known about the triangle.

Another approach to computing the area of a triangle is directly from its coordinaterepresentation. Using linear algebra and determinants, it can be shown that the signedarea A(T ) of triangle T = (a, b, c) is

2 · A(T ) =

∣∣∣∣∣∣

ax ay 1bx by 1cx cy 1

∣∣∣∣∣∣= axby − aybx + aycx − axcy + bxcy − cxby

This formula generalizes nicely to compute d! times the volume of a simplex in ddimensions.

Note that the signed areas can be negative, so we must take the absolute value tocompute the actual area. This is a feature, not a bug. We will see how to use the signof this area to build important primitives for computational geometry in Section 14.1.

double signed_triangle_area(point a, point b, point c){

return( (a[X]*b[Y] - a[Y]*b[X] + a[Y]*c[X]- a[X]*c[Y] + b[X]*c[Y] - c[X]*b[Y]) / 2.0 );

}

double triangle_area(point a, point b, point c){

return( fabs(signed_triangle_area(a,b,c)) );}

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b

a

A

B

C

a

b

c

Figure 13.2. Notation for solving triangles (l) and computing their area (r).

These functions are important, because they enable us to relate the lengths of anytwo sides of a right triangle T with the non-right angles of T . Recall that the hypotenuseof a right triangle is the longest edge in T , that edge opposite the right angle. The othertwo edges in T can be labeled as opposite or adjacent edges in relation to a given anglea, as shown in Figure 13.1(r). Then

cos(a) =|adjacent|

|hypotenuse| , sin(a) =|opposite|

|hypotenuse| , tan(a) =|opposite||adjacent|

These relations are worth remembering. As a mnemonic, we use the name of thefamous Indian Chief Soh-Cah-Toa, where each syllable of his name encodes a differentrelation. “Cah” means Cosine equals Adjacent over Hypotenuse, for example.

Chief Soh-Cah-Toa would not be of much use without inverse functions mappingcos(θ), sin(θ), and tan(θ) back to the original angles. These inverse functions are calledarccos, arcsin, and arctan, respectively. With them, we can easily compute the remainingangles of any right triangle given two side lengths.

These trigonometric functions are properly computed using Taylor series expansions,but don’t worry: the math library of your favorite programming language already in-cludes them. Trigonometric functions tend to be numerically unstable, so be careful. Donot expect that θ exactly equals arcsin(sin(θ)), particularly for large or small angles.

13.2.3 Solving TrianglesTwo powerful trigonometric formulae enable us to compute important properties oftriangles. The Law of Sines provides the relationship between sides and angles in anytriangle. For angles A, B, C, and opposing edges a, b, c (shown in Figure 13.2(l)),

a

sin A=

b

sin B=

c

sin C

The Law of Cosines is a generalization of the Pythagorean theorem beyond rightangles. For any triangle with angles A, B, C, and opposing edges a, b, c,

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A

Propriedades de Triângulos

Circumcentro: Centro

da circunferência circunscrita

ortocentro: Ponto

de interseção das alturas

Baricentro: Ponto

de interseção das medianas

Incentro: Ponto de

interseção das 3 bissetrizes

O que acontece se os pontos estiverem sobre as linhas ?


casos degenerados

Uma aresta pq é uma aresta da envoltória convexa se e somente se todos os outros pontos da entrada estão estritamente a direita da linha dirigida entre p e q, ou eles se ele estão sobre a aresta pq



casos degenerados

p

q

r


• r está a direita de pq

• p está a direita de rq

• q está a direita de pq



casos degenerados

p

q

r


• r está a direita de pq

• p está a direita de rq

• q está a direita de pq

p

q

r• r está a esquerda de pq

• p está a esquerda de rq

• q está a esquerda de pq

Envoltória Convexa Incremental

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• Abordagem incremental: Adicionar pontos um por um e atualizar a solucao

•


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• Abordagem incremental: Adicionar pontos um por um e atualizar a solucao

• Classificar os pontos em x, obtendo umasequencia ordenada p1, p2, ..., pn

• Calcular a EC superior percorrendo a lista acima da esquerda para a direita

• Calcular a EC inferior percorrendo a lista acima da direita para a esquerda


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VIRADA P/ ESQ


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Envoltória Convexa

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Envoltória Convexa 2 (Grahan's Scan 1972)

Algoritmo EC_GS:



1. Classificar os pontos pela coordenada x (p1 .. pn)

2. Colocar p1 e p2 na lista L_SUP

3. FOR i:=3 TO n

4. DO Adicionar pi a L_SUP

5. WHILE L_SUP > 2 pontos e últimos!três fazem uma virada para esquerda

6. DO delete o penultimo ponto de L_SUP

7. Coloque os pontos pn e pn-1 na lista L_INF

8. FOR i: n-2 DOWNTO 1

9. Repita passos 4-6 com L_INF no lugar de L_SUP10.

10. Remover o primeiro e ultimo pontos de L_SUP e L_INF

11. RETURN Concatenacao de L_SUP e L_INF


Algoritmo EC_GS:



1. Classificar os pontos pela coordenada x (p1 .. pn)

2. Colocar p1 e p2 na lista L_SUP

3. FOR i:=3 TO n

4. DO Adicionar pi a L_SUP

5. WHILE L_SUP > 2 pontos e últimos!três fazem uma virada para esquerda

6. DO delete o penultimo ponto de L_SUP

7. Coloque os pontos pn e pn-1 na lista L_INF

8. FOR i: n-2 DOWNTO 1

9. Repita passos 4-6 com L_INF no lugar de L_SUP10.

10. Remover o primeiro e ultimo pontos de L_SUP e L_INF

11. RETURN Concatenacao de L_SUP e L_INF

O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)

Casos Degenerados

O que acontece se 2 pontos possuem a mesma coordenada x ?

A ordenação na coordenada x é incorreta

O que acontece se 3 pontos são colineares ?

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não aparece na envoltória convexa

Problema 1Resolver Ex. 681: Convex Hull Finding

http://acm.uva.es/p/v6/681.html

Data 18/3 (Mandar e-mail com aceitação Em Valladolid

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1. Find point with smallest y coordinate

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2. Find edge that minimizes counter-clockwise angle with respect to supporting line

3. Repeat until reach last vertex

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p10

p8

p5

p4p9

p6




Gift Wrapping

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6


2. Find edge that minimizes counter-clockwise angle with

respect to supporting line


Gift Wrapping

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6





Gift Wrapping

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6





Gift Wrapping

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6

O(n2)





Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6

Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6

1. Find extreme points above, below, left and right

2. Define a quadrilateral connecting extreme points, discard internal points

3. Process 4 triangles recursively

4. For each triangle, find vertex with greater distance from the triangle baseline.

5. Define another triangle and discard internal triangles


Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6



Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6




Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6






Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6







Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6







Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6







Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6







Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6







a B

Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6

T(n) = O(n) + T(a) + T(b)







Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6

T(n) = O(n) + 2T(n/2)

T(n) = O(n) + T(a) + T(b)







Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6

T(n) = O(n) + 2T(n/2) -> O(nlogn)

T(n) = O(n) + T(a) + T(b)







Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6

T(n) = O(n) + 2T(n/2) -> O(nlogn)T(n) = O(n) + T(n-1)

T(n) = O(n) + T(a) + T(b)







Quickhull

p3

p1

p2

p7

p11

p10

p8

p5

p4p9

p6

T(n) = O(n) + 2T(n/2) -> O(nlogn)T(n) = O(n) + T(n-1) ->O(n2)

T(n) = O(n) + T(a) + T(b)







Divide-and-Conquer

p9

p8p6

p5

p4

p11

p1

p7 p3

p10

Divide-and-Conquer

p9

p8p6

p5

p4

p11

p1

p7 p3

p10

1. Sort points in X2. Divide points in two sets A

and B with similar number of elements

3. Compute Convex Hull of A and B recursively

4. Merge A and B to define convex hull

Divide-and-Conquer

p9

p8p6

p5

p4

p11

p1

p7 p3

p10





Divide-and-Conquer

p9

p8p6

p5

p4

p11

p1

p7 p3

p10





Divide-and-Conquer

p9

p8p6

p5

p4

p11

p1

p7 p3

p10





• Find lower tangent common to A and B

• Find rightmost point a of A and leftmost point b of B

• While ab is not lower tangent to a, decrease a

• While ab is not lower tangent of b, decrease b

Divide-and-Conquer

p9

p8p6

p5

p4

p11

p1

p7 p3

p10





• Find lower tangent common to A and B

• Find rightmost point a of A and leftmost point b of B

• While ab is not lower tangent to a, decrease a

• While ab is not lower tangent of b, decrease b

Right chLeft ch

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

e1

e2

e3

e4

e5e6

e7

e8

e9

e10 e11

e12

e13

21

34

56

7

8

910

11

12

13

14

15

cmp189 algoritmos geom tricos

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