aula 3 capacitores e diel tricos

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Disciplina: Física III ( Capacitores e Dielétricos ) Professor: Douglas Esteves (e-mail: [email protected]) Página 1 Curso: Engenharia Elétrica Disciplina: Física III Professor: Douglas Assunto: Eletrostática ( Capacitores e Dielétricos ) Neste momento é apresentado o capacitor, componente eletrônico presente muitos dos circuitos , devido a sua funcionalidade. Confundido por muitos com uma pilha por apresentar função semelhante, contudo, as reações químicas servem como base para a pilha e para os capacitores, a capacitância. Desta forma, o objetivo desta aula é a apresentação do funcionamento de um capacitor. Capacitor É um componente eletrônico constituído de duas placas condutoras de corrente elétrica paralelas (armaduras), separadas por um material isolante denominado de dielétrico. . A forma como são dispostas suas partes, favorece ao capacitor o acúmulo de cargas elétricas, sendo esta a sua principal característica. Para representar o capacitor no esquema elétrico podem ser utilizados três tipos de símbolos que são: para capacitores sem polarização, com polarização e variável .

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Page 1: Aula 3 Capacitores e Diel Tricos

Disciplina: Física III ( Capacitores e Dielétricos )

Professor: Douglas Esteves (e-mail: [email protected]) Página 1

Curso: Engenharia Elétrica

Disciplina: Física III

Professor: Douglas

Assunto: Eletrostática ( Capacitores e Dielétricos )

Neste momento é apresentado o capacitor, componente eletrônico presente muitos dos circuitos , devido a sua funcionalidade. Confundido por muitos com uma pilha por apresentar função semelhante, contudo, as reações químicas servem como base para a pilha e para os capacitores, a capacitância.

Desta forma, o objetivo desta aula é a apresentação do funcionamento de um capacitor.

Capacitor

É um componente eletrônico constituído de duas placas condutoras de

corrente elétrica paralelas (armaduras), separadas por um material isolante denominado de dielétrico.

. A forma como são dispostas suas partes, favorece ao capacitor o

acúmulo de cargas elétricas, sendo esta a sua principal característica. Para representar o capacitor no esquema elétrico podem ser utilizados

três tipos de símbolos que são: para capacitores sem polarização, com polarização e variável .

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CAPACITÂNCIA

A capacidade de armazenar cargas elétricas, é denominada de capacitância.

Farad (F) é a unidade de medida da capacitância. Um capacitor tem uma capacitância de

um FARAD quando armazena uma carga elétrica de um COULOMB e sendo a tensão

entre as suas placas de um VOLT.

1 farad = 1 coulomb / 1volt

Para um determinado capacitor a relação entre a carga adquirida (Q) e a

diferença de potencial plicada (VAB), sempre será constante (C).

A capacitância de um corpo mede a quantidade de carga que esse corpo pode

armazenar quando aplicamos um determinado potencial

Unidade de medida do SI: C/volt = F -> Farad .Geralmente se usam os submúltiplos

do F, como:

mF = 10-3

F ( milifarad)

μF = 10-6

F ( microfarad )

nF = 10-9

F ( nanofarad )

pF = 10-12

F ( picofarad)

Ao colocarem duas placas condutoras de corrente elétrica bem próximas,

paralelas e ligadas aos pólos de uma fonte de tensão elétrica, cada placa carregará até

este conjunto adquirir o mesmo valor de tensão da fonte, caracterizando o carregamento

do capacitor.

Ao conectarmos o capacitor a um gerador, ocorre um fluxo ordenado de elétrons

nos fios de conexão, pois inicialmente há uma diferença de potencial entre a

armadura e o terminal do gerador ao qual está ligada.

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Na figura acima, a armadura A tem, inicialmente, potencial elétrico nulo e está

conectada ao terminal positivo da pilha; logo, os elétrons migram da armadura para a

pilha, já a armadura B, que também tem potencial elétrico nulo, está conectada ao

terminal negativo da pilha, e assim elétrons migram do terminal da pilha para a

armadura B.

Acontece que, enquanto a armadura A está perdendo elétrons, ela está se eletrizando

positivamente e seu potencial elétrico está aumentando; o mesmo ocorre na armadura B,

só que ao contrário, ou seja, B está ganhando elétrons, eletrizando-se negativamente, e

seu potencial elétrico está diminuindo.

Esse processo cessa ao equilibrarem-se os potenciais elétricos das armaduras

com os potenciais elétricos dos terminais do gerador, ou seja, quando a diferença de

potencial elétrico (ddp) entre as armaduras do capacitor for igual à ddp nos terminais do

gerador, e nesse caso dizemos que o capacitor está carregado com carga elétrica

máxima.

Quando um capacitor está carregado as placas contêm cargas de mesmo valor

absoluto e sinais opostos + q e – q. Entretanto, quando nos referimos à cargas de um

capacitor estamos falando de q, o valor absoluto da carga de uma das placas

Caso as placas sejam energizada com valores diferentes da primeira situação

como mostra a figura abaixo o comportamento será semelhante, resultando num valor

idêntico, ou seja, constante, chamado de capacitância.

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Exemplo: Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida

é colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial

entre elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância

vale 50 pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V?

Fatores que Influenciam na Variação de Capacitância

1º - A capacitância de um capacitor depende

diretamente da área de cada placa.

Área da placa do Capacitor 1 < Área da placa do Capacitor 2

Capacitância do Capacitor 1 < Capacitância do Capacitor 2

2º Quanto maior for a distância

entre as duas placas menor será

o valor da capacitância.

Distância entre as placas do Capacitor 1 < Distância entre as placas do Capacitor 1

Capacitância do Capacitor 1 > Capacitância do Capacitor 2

3º - O valor da capacitância do capacitor depende da

natureza do dielétrico (constante dielétrica). Ao ser

introduzido outro material diferente do vácuo ou do ar, a

capacitância passa a ser C = KC0.

Capacitância do Capacitor 1 < Capacitância do Capacitor 2

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Cálculo da Capacitância

Comumente são encontrados capacitores do tipo Plano, Cilíndrico e Esférico,

construídos usando diversos materiais, como: cerâmica, tântalo, metálico, papel

alumínio, ...

Vamos agora discutir o caçulo da capacitância de um capacitor a partir da sua

forma geométrica. Como serão analisadas diferentes formas geométricas, é conveniente

definir um método único para facilitar o trabalho.

1 – Supomos que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q;

2 – Calculamos o campo elétrico entre as placas em função da carga, usando a

lei de Gauss;

3 – A partir do campo elétrico, calculamos a diferença de pontencial ( V ) entre

as placas.

Cálculo do Campo Elétrico

Para relacionar o campo elétrico entre as placas de um capacitor à carga q de

uma das placas, usamos a lei de Gauss:

∮ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ o essa equação se reduz a

Onde q é carga envolvida por uma superfície gaussiana e ∮ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ é o fluxo

elétrico que atravessa a superfície e A é a área da parte da superfície gaussiana através

da qual existe um fluxo.

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Por conveniência, vamos sempre desenhar a superfície gaussiana de forma a

envolver totalmente a carga da placa positiva.

Cálculo da Diferença de Potencial

A diferença de potencial entre as placas de um capacitor está relacionada ao

campo elétrico através da equação:

∫ ⃗

Onde a integral deve ser calculada ao longo de uma trajetória que começa em

uma das placas e termina na outra. Vamos sempre escolher uma trajetória que coincida

com uma linha de campo elétrico, da placa negativa até a placa positiva.

Para essa trajetória os vetores ⃗ tem sentidos opostos e , portanto o

produto ⃗ é igual a - ⃗ assim temos:

∫ ⃗

Onde os sinais – e + indicam que a trajetória de integração começa na placa

negativa e termina na placa positiva.

Capacitor Plano

Como a capacitância é definida por

, substituindo os valores da carga ( campo

elétrico) e da diferença de potencial temos:

( capacitor de placas paralelas )

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Exemplo:

Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,22

cm e 1,31 mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que

aparecerá nas armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas?

Solução:

(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não

importando a forma geométrica de suas placas, é dada por:

b)

Capacitor Cilíndrico

Neste capacitor, as placas são constituídas de dois cilindros coaxiais, isolados

geralmente por óleo. O cilindro interno é o terminal (+) e o cilindro externo, o terminal

(-). Sua Capacitância C também depende de sua geometria, ou seja, de seu comprimento

l, e dos raios a e b dos cilindros.

Como a superfície gaussiana escolhida é um cilindro de comprimento L e raio r

que pode ser visto na figura abaixo temos:

- a carga envolvida pela superfície gaussiana é dada pela

equação: , como a área lateral do cilindro é dada

pela equação , isolando o campo elétrico temos:

Substituindo o valor do campo elétrico na equação do potencial

temos:

(

)

Onde usamos o fato de que ds = -dr ( integramos na direção radial de fora para dentro) .

Usando a relação C = q/V, temos:

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O capacitor cilíndrico é muito comum nos equipamentos eletroeletrônicos como,

televisores, computadores, rádios, etc.

Capacitor Esférico

Mais raro, mas de importância acadêmica, é constituído de duas esferas

concêntricas isoladas, sendo a esfera interna positiva (+), e a externa negativa (-).

Neste caso, a Capacitância é dada por:

R1 e R2 – raios da esfera interna(+) e externa(-).

Exemplos:

Considere um capacitor esférico, isolado a vácuo. Calcule sua capacitância C, sendo dados os raios das esferas externa igual a 10 e interna igual 9 cm.

Solução:

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Energia armazenada no Capacitor

Para carregar um capacitor é necessário a realização de um trabalho, que

corresponde à energia potencial elétrica U armazenada no capacitor. O cálculo do

trabalho para transferir cargas ao capacitor, resulta na energia U:

Exemplo:

As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bem-

sucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio

pesado existente na água do mar, envolvem usualmente a passagem de correntes elétricas

muito intensas por pequenos períodos de tempo em bobinas que produzem campos

magnéticos. Por exemplo, o reator ZT-40, do Laboratório Nacional de Los Alamos (EUA),

tem salas cheias de capacitores. Um dos bancos de capacitores tem capacitância de 61,0 mF

a 10,0 kV. Calcular a energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h.

Solução:

a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à

uma diferença de potencial V, é dada por:

b) Lembrando-se que:

Teremos:

Associação de Capacitores

Nem sempre se encontra no mercado o capacitor de valor adequado. Assim, a

associação de vários capacitores é usada a fim de se obter um determinado valor

resultante. Podemos montar associações de capacitores em série e em paralelo.

a) Associação em Série

Neste tipo de associação, os capacitores são ligados em seqüência e apenas os

terminais do primeiro e do último são ligados na tensão ou d.d.p. V. Desta forma, todos

absorvem a mesma carga q.

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A tensão V entre os extremos da associação é: V=V1+V2+V3+V4 onde V1, V2,

... são as tensões em cada capacitor individual.

Assim, a tensão nos terminais de cada capacitor associado é:

A partir da definição de Capacitância C, podemos substituir V = q/C. Com isto

definir a capacitância equivalente da associação:

Exemplo:

Dois capacitores, um de 2,12 μF e outro de 3,88 μF são ligados em série, com uma

diferença de potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia

total armazenada nos capacitores.

Solução.

Podemos representar a associação em série dos capacitores C1

e C2

pelo capacitor

equivalente C12

:

A energia potencial acumulada no capacitor C12

sujeito à diferença de potencial V vale:

Logo:

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b) Associação em Paralelo

Neste caso, os capacitores são conectados de forma que todos terão contato

direto com os pontos de tensão V. Desta forma, todos sentem o mesmo Potencial V.

Agora, a carga total absorvida pela associação, é: q = q1 + q2 + q3

A carga em cada um dos capacitores associados é dada por:

O capacitor equivalente da associação é aquele que tem a mesma carga e a

mesma diferença de potencial V que os demais capacitores associados , assim temos:

Exemplo:

1)Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de

5,0 μF cada, é usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco

até a diferença de potencial nos terminais da associação atingir 55 kV, supondo um

custo de 3 centavos por kW.h?

Solução.

Considere o seguinte esquema:

A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia acumulada nos N capacitores (C

N).

Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos

capacitores da associação.

Logo temos:

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2) Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. Abaixo. Suponha que C1

=

10,3 μF, C2 = 4,80 μF e C

3 = 3,90 μF.

Solução.

Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em

série de C1 e C

2, cuja capacitância equivalente chamaremos

de C12

e, em seguida, resolveremos a associação em

paralelo entre C12

e C3, cuja capacitância equivalente

chamaremos de C123

.

A capacitância equivalente final vale:

Capacitores com dielétricos

Os isolantes, também conhecidos como dielétricos , são materiais utilizados no

confinamento da energia elétrica, seja para fins de segurança (isolação) como no

armazenamento de energia.

Ao contrário dos materiais condutores e semicondutores, nos materiais isolantes

a presença de campo elétrico (aplicação de tensão), provoca o deslocamento das cargas

sem liberá-las dos átomos ou moléculas. A conseqüência é a formação de dipolos

elétricos.

Portanto, quando um isolante é submetido a um campo elétrico ele sofre

polarização.

Sabe-se empiricamente que a capacitância aumenta quando o capacitor é

preenchido com um material dielétrico. Os primeiros a constatarem isto foram

(independentemente) Faraday (1837) e Cavendish (1773). Todo dielétrico pode ser

caracterizado por uma grandeza denominada constante dielétrica, denotada pela letra

grega , definida por

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Onde C e C0 são as capacitâncias de um mesmo capacitor respectivamente com

e sem dielétrico. Note que o valor mínimo ocorre no caso em que o capacitor

está vazio, ou seja, C = C0 . O valor de a temperatura de 25ºC é 1,00059 para o ar,

2,25 para a parafina, 78,2 para água destilada.

Outro efeito da introdução de um dielétrico é limitar a diferença de potencial que

pode ser aplicada entre as placas a um Vmáx , conhecido como potencial de ruptura.

Quando esse valor é excedido o material dielétrico sofre um processo conhecido como

ruptura e passa a permitir a passagem de cargas de uma placa para outra. A todo

material dielétrico pode ser atribuída uma rigidez dielétrica, que corresponde ao

máximo valor do campo elétrico que o material pode tolerar sem que ocorra o processo

de ruptura.

Quando um capacitor é carregado com carga Q e mantido isolado, de tal forma

que sua carga não pode variar, a mudança da capacitância deve ser acompanhada de

uma mudança do potencial entre as placas. De fato, como Q = CV não muda, então:

C0.V0 = CV

Onde V0 e V são os potenciais respectivamente antes e depois da introdução do

dielétrico. Portanto, o novo potencial.

Exemplo:

1) Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 13,5 pF é carregado

por uma bateria até que haja uma diferença de potencial V = 12,5V entre as

placas. A bateria é desligada e uma placa de porcelana ( k = 6,50 ) é

introduzida entre as placas.

a) Qual é a energia potencial do capacitor antes da introdução da placa?

( )( )

b) Qual é a energia potencia do conjunto capacitor – placa depois que a

placa é introduzida?

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2) É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a

projetar um capacitor que armazene até 6,61 μJ com uma diferença de potencial

máxima de 630 V. Qual dos dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o

espaço entre as armaduras do capacitor, supondo que todos os dados são exatos,

isto é, a margem de erro é zero?

Solução:

Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C0, com ar entre as

placas for C1 e com outro dielétrico for C

2, valem as seguintes relações:

A energia potencial acumulada no capacitor C2 vale:

Substituindo-se (1) em (2):

Exercícios:

1) Pretende-se usar duas placas de metal com 1m2 de área par construir uma

capacitor de placas paralelas.Qual deve ser a distância entre as placas para que a

capacitância do dispositivo seja 1,00F? ( Exercício 4 do PLT )

2) Considere uma gota de mercúrio com um capacitor esférico. Qual é a

capacitância de uma gota formada pela fusão de duas gotas esféricas de mercúrio

com 2,00 mm de raio? ( Exercício 5 do PLT )

3) As placas de um capacitor esférico tem 38,0 mm e 40,0 mm de raio.

a) Calcular a capacitância;

b) Qual é a área das placas de um capacitor de placas paralelas de mesma

capacitância e mesma distância entre as placas? ( Exercício 6 do PLT )

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4) Um campo elétrico de 2,00.104V/m existe entre as placas circulares de um

capacitor de placas paralelas cuja separação é de 2,00mm. Qual a diferença de

potencial entre as placas do capacitor?

5) Um capacitor C1 de 3,55F é carregado até que seus terminais fiquem à diferença

de potencial 0 V 6,30V . A bateria utilizada para carregar o capacitor é então

removida e o capacitor é ligado, como na figura, a um capacitor 2 C descarregado,

com 2 C 8,95F . Depois que a chave S é fechada, a carga escoa de 1 C para 2 C até

que o equilíbrio seja atingido, com ambos os capacitores à mesma diferença de

potencial V. (a) Qual é esta diferença de potencial comum? (b) Qual a energia

armazenada no campo elétrico, antes e depois de fecharmos a chave S na figura.

6) Quantos capacitores de 1,00 F devem ser ligados em paralelo para armazenar

uma carga de 1,00 C com uma diferença de potencial de 110 V entre as placas

dos capacitores? ( Exercício 7 do PLT )

7) Determine a capacitância equivalente dos circuitos das figuras abaixo: (Dados:

C1 = 10 F , C2 = 5,0 F e C3 = 4 F. ( Exercício 8 e 9 do PLT )

a) b)

8) Os três capacitores da figura abaixo estão inicialmente descarregados e têm uma

capacitância de 25 F . Uma diferença de potencial V = 4200V entre as placas

dos capacitores é estabelecida quando a chave é fechada. Qual é a carga total

que atravessa o medidor A? ( Exercício 10 do PLT )

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9) Na figura abaixo uma diferença de potencial V = 100V é aplicada ao circuito, e

os valores das capacitâncias são C1 = 10 F , C2 = 5 F e C3 = 4 F. Se a

capacitor 3 sofre uma ruptura dielétrica a passa a se comporta como um

condutor, determine o aumento da carga no capacitor 1 e o aumento da ddp entre

as placas do capacitor 1. ( Exercício 11 do PLT )

10) Na figura abaixo a bateria tem uma ddp de 10V e os cinco capacitores têm uma

capacitância de 10,0 F. Determine a carga dos capacitores 1 e 2. ( Exercício 12 do

PLT )

11) Dois capacitores de placas paralelas( com ar entre as placas) são ligados

a uma bateria. A área das placas do capacitor 1 é 1,5 cm2, e o campo elétrico

entre as placas é 2000V/m. a área das placas do capacitor 2 é 0,70 cm2 e o

campo elétricos entre as placas é de 1500V/m. Qual é a carga total

12) Qual é a energia armazenada em 1,00 m3 de ar devido ao campo elétrico em um

dia de “tempo bom”, que tem um módulo da ordem de 150V/m? ( Exercício 24 do

PLT )

13) Qual é a capacitância necessária para armazenar uma energia de 10 KW.h com

uma ddp de 1000V? ( Exercício 25 do PLT )

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14) Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com uma ddp

de 600V. A área das placas é 40 cm2 e a distância entre as placas é 1,0 mm.

Determine: (a) a capacitância, (b) o valor absoluto da carga em uma das placas,

(c) a energia armazenada. ( Exercício 26 do PLT )

15) Um capacitor de 2 e um capacitor de 4 são ligados em paralelo a uma

fonte de tensão de 300V. Calcule a energia total armazenada nos capacitores. (

Exercício 27 do PLT )

16) Na figura abaixo C1

= 10,0 μF , C2

= 20,0 μF e C3

= 25,0 μF. Nenhum dos capacitores

pode suportar uma diferença de potencial de mais de 100V sem que o dielétrico se

rompa, determine: ( Exercício 33 do PLT )

a) A maior diferença de potencial que pode existir entre os pontos A e B.

b) A maior energia que pode ser armazenada no conjunto dos três capacitores.

17) Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar tem uma capacitância de

1,3 pF. A distância entre as placas é multiplicada por dois e o espaço entre as

placas é preenchido com cera, o que faz a capacitância aumentar para 2,6 pF.

Determine a constante dielétrica da cera. ( Exercício 34 do PLT )

18) Dado um capacitor de 7,4 pF cujo dielétrico é o ar, você recebe a missão de

convertê – lo em um capacitor capaz de armazenar até 7,4 com uma diferença

de potencial máxima de 652V. Qual deveria ser o valor de K do material

dielétrico que teria que ser colocado dentro do capacitor? ( Exercício 35 do PLT )

19) Um capacitor de placas paralelas cujo o dielétrico é o ar tem uma capacitância

de 50pF. Se a área das placas é de 0,35 m2, qual a distância entre as placas? Se a

região entra as placas for preenchida por um material com k = 5,6 qual é a nova

capacitância? ( Exercício 36 do PLT )

20)

21) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A,

com espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas

de um único capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua

capacitância seja igual à da associação em paralelo? Repita o cálculo supondo que a

associação seja em série.