desenho técnico (constr geom)

112
construc ¸˜ oes Fundamentais Inscric ¸˜ ao de Pol´ ıgonos Regulares Desenho T ´ ecnico - Aula02 Em´ ılio Eiji Kavamura Eng. Mec ˆ anica Universidade Positivo 27 de fevereiro de 2008 [email protected] (UP) Desenho T ´ ecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 1 / 29

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Aula de construções geométricas.

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Page 1: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Desenho Tecnico - Aula02

Emılio Eiji Kavamura

Eng. MecanicaUniversidade Positivo

27 de fevereiro de 2008

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 1 / 29

Page 2: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

1 construcoes FundamentaisPerpedincular a uma reta dada por um ponto distintoBissetriz de um anguloTransportar o anguloDivisao de um angulo em 4 partes iguaisParalela a uma reta por um pontoParalela de uma reta a uma determinada distanciaDivisao um segmento em partes iguais

2 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 2 / 29

Page 3: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

SUMARIO

1 construcoes FundamentaisPerpedincular a uma reta dada por um ponto distintoBissetriz de um anguloTransportar o anguloDivisao de um angulo em 4 partes iguaisParalela a uma reta por um pontoParalela de uma reta a uma determinada distanciaDivisao um segmento em partes iguais

2 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 3 / 29

Page 4: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta

Dada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 4 / 29

Page 5: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta

a

Dada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 4 / 29

Page 6: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta

a

PDada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 4 / 29

Page 7: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta

a

PDada uma reta a eum ponto P fora dela,tracar por P a perpendiculara reta dada.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 4 / 29

Page 8: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

a

P

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

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Page 9: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

a

P

r

1 Tracar umacircunferencia comcentro em P e raio rmaior que a distancia doponto a reta a;α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 5 / 29

Page 10: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

a

P

A B

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 a circunferenciaintercepta a reta nospontos A e B;α ∩ a = {A,B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 5 / 29

Page 11: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

a

P

A B

β2β1

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 tracar 2 circunferencias

com centro nos pontosA e B;β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 5 / 29

Page 12: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

a

P

A B

β2β1

I

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 as 2 circunferencias seinterceptam no ponto I;I = β1 ∩ β2;

5 r3 ⊂ {P, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 5 / 29

Page 13: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

a

P

I

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 tracar uma reta que

passa por P e por I, quee a procurada;r3 ⊂ {P, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 5 / 29

Page 14: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Perpedincular a uma reta

Problema no1 - Perpedincular a uma reta - solucao

a

P

1 α = �{P, r},r > dist{P,a};

2 α ∩ a = {A,B};3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1}

4 I = β1 ∩ β2;5 r3 ⊂ {P, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 5 / 29

Page 15: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo

O

r

s

Dado um par de retas r e s eo ponto O de cruzamento.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 6 / 29

Page 16: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo

O

r

s

Dado um par de retas r e s eo ponto O de cruzamento.Determine a bissetrizdo angulo formado por elas.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 6 / 29

Page 17: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

O

r

s

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 7 / 29

Page 18: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

O

r

s

γ

1 Tracar um arco de circunferencia,γ,com centro em O eraio r qualquer; γ = �{O, r};

2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 7 / 29

Page 19: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

O

r

s

γ

A

B

1 γ = �{O, r};2 o arco intercepta as retas nos

pontos A e B;γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 7 / 29

Page 20: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

O

r

s

γ

A

B

β1

β2

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 Traca-se dois arcoscom centro em A e em B;β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

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Page 21: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

O

r

s

γ

A

B

β1

β2I

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 a interseccao das2 circunferenciasdefine o ponto I;I = β1 ∩ β2;

5 r1 ⊂ {O, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 7 / 29

Page 22: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

O

r

s

r1

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 tracar uma reta que

passa por O e por I,que e a procurada;r1 ⊂ {O, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 7 / 29

Page 23: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Bissetriz

Problema no2 - bissetriz de um angulo - solucao

O

r

s

r1

1 γ = �{O, r};2 γ ∩ r = {A};γ ∩ s = {B};

3 β1 = �{A, r1};β2 = �{B, r1};

4 I = β1 ∩ β2;5 r1 ⊂ {O, I};

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 7 / 29

Page 24: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo

b

a

O

Dado duas retas a e b, distintas

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 8 / 29

Page 25: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo

b

a

O

θ

c

P

Dado duas retas a e b, distintasDeseja-se transportaro angulo θ formado por elas,para uma terceira reta c em seu ponto P.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 8 / 29

Page 26: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

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Page 27: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

γ

1 Tracar um arco decircunferencia, γ,com centro em O e raioqualquer r ;γ = �{O, r}, ∀r ;

2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 9 / 29

Page 28: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

γB

A

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 o arco intercepta

as retas no pontos A e B;γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 9 / 29

Page 29: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 Tracar o arco β1 com centroem P eraio r ;β1 = �{P, r};

4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

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Page 30: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

C

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 A interseccao do arco

com a reta c e o ponto C;C = β1 ∩ c;

5 dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 9 / 29

Page 31: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

C

dist (A,B)

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 Transportar o arco AOB para

CPD ; dist(A,B) = dist(C,D);

67 PD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 9 / 29

Page 32: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

C

dist (A,B)

D

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D esta sobre o arco β1 a uma

distancia AB do ponto C;D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));

7 PD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 9 / 29

Page 33: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

γB

A

β1

C

dist (A,B)

D

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));7 A reta definida por P e D e a

reta procurada;PD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 9 / 29

Page 34: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Transportar o angulo

Problema no4 - transporte de angulo - solucao

b

a

O

θ

c

P

D

1 γ = �{O, r}, ∀r ;2 γ ∩ a = {A};γ ∩ b = {B};

3 β1 = �{P, r};4 C = β1 ∩ c;5 dist(A,B) = dist(C,D);6 D = β1 ∩ �(C,dist(A,B));7 PD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 9 / 29

Page 35: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Angulo em 4 partes

Problema no5 - Angulo em 4 partes iguais

O processo consiste em repetir a construcao da bissetriz 3 vezes:para dividir o angulo em duas partes iguais;para dividir cada uma das partes obtidas;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 10 / 29

Page 36: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela

P

a

Dado uma reta a, eum ponto P distintos.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 11 / 29

Page 37: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela

P

a

Dado uma reta a, eum ponto P distintos.Deseja-se tracar uma segunda reta bparalela a a pelo ponto P.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 11 / 29

Page 38: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela - solucao

P

a

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸

γ2

∩a = {B};

4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 PC;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 12 / 29

Page 39: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela - solucao

P

a

r

γ1

1 Trace um arco de circunferencia,γ1, com centro em P eraio r maior quea distancia do ponto P a reta a;γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);

2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸

γ2

∩a = {B};

4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 PC;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 12 / 29

Page 40: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela - solucao

P

a

r

γ1

A

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 intercepta a reta a no ponto A;γ1 ∩ a = {A};

3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸γ2

∩a = {B};

4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 PC;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 12 / 29

Page 41: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela - solucao

P

a

r

γ1

A

γ2

B

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 γ2 arco com centro em A e raio AP

intercepta a no ponto B;�(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸

γ2

∩a = {B};

4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 PC;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 12 / 29

Page 42: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela - solucao

P

aA

γ3 γ4

B

C

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸

γ2

∩a = {B};

4 o arco centro em B eabertura BP e transderido para A;γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 PC;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 12 / 29

Page 43: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela - solucao

P

a

C

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸

γ2

∩a = {B};

4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 a direcao definidapelos pontos P e Csuporta a reta procurada;PC;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 12 / 29

Page 44: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Reta paralela

Problema no3 - Reta paralela - solucao

P

a

1 γ1 = �{P, r}, r > dist(P,a);2 γ1 ∩ a = {A};3 �(A,dist(a,P))︸ ︷︷ ︸

γ2

∩a = {B};

4 γ3 = �(A,dist(B,P))γ4 = �(P,dist(B,P))γ3 ∩ γ4 = {C};

5 PC;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 12 / 29

Page 45: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta

d

aDado uma reta a, e uma distancia d .

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Page 46: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta

d

a

Dado uma reta a, e uma distancia d .Deseja-setracar uma segunda reta bparalela a a e distante de d .

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Page 47: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao

d

a

1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};

a2 ∩ �{B,d} = {D};4 {C,D} ∈ b;

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Page 48: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao

d

a A B

1 Escolha 2 pontos distintosquaiquer, A e B;A,B ∈ a, A 6= B;

2 a1⊥a, {A} ∈ a1;a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};

4 {C,D} ∈ b;

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Page 49: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao

d

a A B

a1 a2

1 A,B ∈ a, A 6= B;2 Trace as perpendiculares a

a por A e por B;a1⊥a, {A} ∈ a1;a2⊥a, {B} ∈ a2;

3 a1 ∩ �{A,d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};

4 {C,D} ∈ b;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 14 / 29

Page 50: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao

d

a A B

a1 a2

C D

1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;3 Transfira

a distancia dsobre a1 esobre a2;a1 ∩ �{A, d} = {C};a2 ∩ �{B,d} = {D};

4 {C,D} ∈ b;

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Page 51: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao

a A B

C D

1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};

a2 ∩ �{B,d} = {D};4 a reta que

contem os pontos C e D e aresposta;{C,D} ∈ b;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 14 / 29

Page 52: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Paralela de uma reta

Problema no6 - Paralela de uma reta - solucao

a

b 1 A,B ∈ a, A 6= B;2 a1⊥a, {A} ∈ a1;

a2⊥a, {B} ∈ a2;3 a1 ∩ �{A,d} = {C};

a2 ∩ �{B,d} = {D};4 {C,D} ∈ b;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 14 / 29

Page 53: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento

A DDado um segmento de reta AD,dividi-la em tres partes iguais.

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Page 54: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

A D

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 16 / 29

Page 55: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

AD

b

A D

1 Trace um segmento de reta bcom extremidade na reta dada;b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};

2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 16 / 29

Page 56: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

b

A D

B1

C1

D1

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 Marque tres pontos equidistantes

sobre b:B,C,D;�{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 16 / 29

Page 57: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

b

A D

B1

C1

D1

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 Trace D1D;D1D;

4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;B1B//D1D, {B} ∈ AD;

5 AB = BC = CD;

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Page 58: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

b

A

B C

D

B1

C1

D1

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 Trace as parelelas a D1D:

C1C, B1B;C1C//D1D, {C} ∈ AD ;B1B//D1D, {B} ∈ AD;

5 AB = BC = CD;

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Page 59: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

A

B C

D

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 o segmento AD e dividido em

tres partes iguais pelos pontos Be CAB = BC = CD;

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Page 60: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Divisao de segmento

Problema no7 - Divisao de segmento - solucao

A

B C

D

1 b, b 6= AD, b ∩ AD = {A};2 �{A, r} ∩ b = {B1},�{B1, r} ∩ b = {C1},�{C1, r} ∩ b = {D1};

3 D1D;4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ;

B1B//D1D, {B} ∈ AD;5 AB = BC = CD;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 16 / 29

Page 61: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

SUMARIO

1 construcoes FundamentaisPerpedincular a uma reta dada por um ponto distintoBissetriz de um anguloTransportar o anguloDivisao de um angulo em 4 partes iguaisParalela a uma reta por um pontoParalela de uma reta a uma determinada distanciaDivisao um segmento em partes iguais

2 Inscricao de Polıgonos RegularesInscricao de um triangulo numa circunferenciaInscricao um quadrado numa circunferenciaInscricao de um pentagono numa circunferenciaInscricao de um hexagono numa circunferenciaInscrever um heptagono numa circunferenciaInscricao de um octogono numa circunferencia

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 17 / 29

Page 62: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Triangulo inscrito

Problema no8 - Triangulo inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um triangulo equilatero.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 18 / 29

Page 63: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Triangulo inscrito

Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 19 / 29

Page 64: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Triangulo inscrito

Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 19 / 29

Page 65: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Triangulo inscrito

Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

A

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 19 / 29

Page 66: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Triangulo inscrito

Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

A

β

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 19 / 29

Page 67: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Triangulo inscrito

Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

A

β

CB

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 19 / 29

Page 68: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Triangulo inscrito

Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

D

A

β

CB

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 19 / 29

Page 69: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Triangulo inscrito

Problema no8- Triangulo inscrito - solucao

O

α

A

CB

1 α = �{O, r}{D} ∈ α;

2 DO ∩ α = {A};3 β = �{D, r};4 β ∩ α = {C,D};5 AB,BC,CA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 19 / 29

Page 70: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um quadrado.

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Page 71: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29

Page 72: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29

Page 73: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29

Page 74: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

D

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29

Page 75: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29

Page 76: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29

Page 77: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Quadrado inscrito

Problema no9 - Quadrado inscrito - solucao

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{C} ∈ α;

2 CO ∩ α = {A};3 OD⊥AC;4 OD ∩ α = {B};5 AB,BC,CD,DA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 21 / 29

Page 78: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um pentagono.

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Page 79: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 80: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 81: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 82: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

N

M

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 83: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

N

M

P

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 84: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A β1

N

P

β2

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 85: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A

β2

Q

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 86: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A

β2

Q

E

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 87: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A

E H

F G

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 88: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Pentagono inscrito

Problema no10 - Pentagono inscrito - solucao

α

O

α

A

E H

F G

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 β2 = �{P,PA};6 β2 ∩OD = {Q};7 �{A,AQ} ∩ α = {E}8 AE = EF = FG = GH = HA

AE ,EF ,FG,GH,HA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 23 / 29

Page 89: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um hexagono.

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 24 / 29

Page 90: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

α 1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 25 / 29

Page 91: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 25 / 29

Page 92: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

β1

β2

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 25 / 29

Page 93: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

β1

β2

B F

C E

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 25 / 29

Page 94: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

B F

C E

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 25 / 29

Page 95: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Hexagono inscrito

Problema no11 - Hexagono inscrito - solucao

O

αA

D

B F

C E

1 α = �{O, r}{A} ∈ α;{D} ∈ α, {O} ∈ AD;

2 β1 = �{A, r};β2 = �{D, r};

3 β1 ∩ α = {B,F};β2 ∩ α = {C,E};

4 AB,BC,CD,DE ,EF ,FA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 25 / 29

Page 96: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito

O

α

Dada uma circunferencia α,inscrever um heptagono.

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Page 97: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 98: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 99: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 100: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

N

M

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 101: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

C

A

D B

β1

N

M

P

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 102: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

AM

P

E

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 103: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

A

E

F

GH

I

J

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 104: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

α

O

α

A

E

F

GH

I

J

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 105: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Heptagono inscrito

Problema no12 - Heptagono inscrito - solucao

O

A

E

F

GH

I

J

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BDAC ∩ BD = {O}

2 β1 = �{B, r};3 β1 ∩ α = {M,N};4 MN ∩OB = {P};5 MP = AE6 AE = EF = FG = GH =

= HI = IJ = JA7 AE ,EF ,FG,GH,HI, IJ, JA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 27 / 29

Page 106: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito

Dada uma circunferencia α,inscrever um octogono.

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Page 107: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

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Page 108: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 29 / 29

Page 109: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

E

H

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 29 / 29

Page 110: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

E

F

G

H

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 29 / 29

Page 111: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

E

F

G

H

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 29 / 29

Page 112: Desenho Técnico (Constr Geom)

construcoes Fundamentais Inscricao de Polıgonos Regulares

Octogono inscrito

Problema no13 - Octogono inscrito - solucao

αO

C

A

D B

E

F

G

H

1 α = �{O, r}{A,B,C,D} ∈ α;AC⊥BD;AC ∩ BD = {O}

2 AOE = EOB;3 AOG = GOD;4 AE ,EB,BF ,FC,

CH,HD,DG,GA;

[email protected] (UP) Desenho Tecnico - Aula02 27 de fevereiro de 2008 29 / 29