cinematica dos solidos 2a ed_ - arduino francesco lauricella.pdf
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CINEMÁTICA DOS SÓLIDOS
TeoriaExercícios resolvidosExercícios propostos com respostasExercícios para entregar com resposta
CINEMÁTIC/4 DOS SÓLIDOS
TeoriaExercícios resolvidosExercícios propostos com respostasExercícios para entregar com resposta
C ' I ( C C C 1 < C C t i < C * 1 < I i 1 C 1 C ' C C 1 c c c < c
AUTORES
ARDUINO FRANCESCO LAURICELLA
Bacharel em Física pela Universidade de S. Paulo-USP
Mestre em Engenharia Mecânica -EPUSP
Professor Adjunto da Universidade Paulista - UNIP
Professor da Faculdade de Engenharia Industrial - FEI
BRASÍLIO CAMARGO DE BRITO FILHO
Bacharel em Física pela Universidade de S. Paulo-USP
Mestre em Física do Estado Sólido pela Universidade de S. Paulo-USP
Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP
FRANCISCO XAVIER SEVEGNANI
Licenciado e Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica -PUCSP
Mestre em Física pela PUCSP e em Engenharia de Produção pela UNIP
Doutor em Física pela PUCSP
Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP
Professor Titular da Pontifícia Universidade Católica - PUCSP
Professor Adjunto da Faculdade de Engenharia Industrial - FEI
PEDRO AMÉRICO FRUGOLI
Bacharel em Física pela Universidade de S. Paulo-USP
Mestre em Física do Estado Sólido pela Universidade de S. Paulo-USP
Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP
ROBERTO GOMES PEREIRA FILHO
Licenciado em Física pela Universidade de S. Paulo-USP
Professor Adjunto da Universidade Paulista - UNIP
Professor Assistente da Faculdade de Engenharia Industrial - FEI
Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UNIP
Mestrando em Engenharia de Produção
/O
ÍNDICE
1. MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO.................................................... 01
1.1 PROPRIEDADES..................................................................................011.2 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.................................................... 041.3 EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR................................................... 07
2. ROTAÇÃO COM EIXO FIXO.............................................................11
2.1 VELOCIDADE ANGULAR DO SÓLIDO.........................................132.2 EQUAÇÕES ESCALARES................................................................. 162.3 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO...........................................................172.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS...............................................................262.5 EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR.................................................... 35
3. MOVIMENTO PLANO............. ............................................................ 39
3.1 VELOCIDADE VETORIAL................................................................403.2 CENTRO INSTANTÂNEO DE ROTAÇÃO..................................... 443.3 PROPRIEDADES DO CIR.................................................................. 463.4 ROLAMENTO DE UM DISCO.......................................................... 473.5 TEOREMA DAS PROJEÇÕES.......................................................... 493.6 ACELERAÇÃO NO MOVIMENTO PLANO................................... 503.7 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.......................................................... 523.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS...............................................................673.9 EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR.................................................... 79
4. ANEXOS.................................................................................................. 83
4.1 TRIGONOMETRIA..............................................................................834.2 PRODUTO ESCALAR E VETORIAL...............................................874.3 DERIVADAS E INTEGRAIS..............................................................914.4 GEOMETRIA PLANA......................................................................... 934.5 PARADOXO GEOMÉTRICO DE GALILEU................................... 97
1. MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO.
No estudo do movimento dos corpos suficientemente pequenos em relação aos seus deslocamentos, tais corpos são considerados pontos materiais. Quando a extensão do corpo é considerável, esta simplificação não é mais cabível, tomando-se necessário conhecer o movimento de cada ponto do móvel.
O problema simplifica-se quando o corpo é classificado como rígido ou sólido perfeito, ou seja, quando são invariáveis as distâncias entre seus pontos. Os corpos ditos sólidos são boas aproximações reais de sólidos idealmente perfeitos.
A posição de um sólido é determinada quando, em relação ao referencial adotado, se conhecem as posições de três pontos (A, B e C) não alinhados do mesmo. Todos os demais pontos do sólido são determinados por suas distâncias àqueles três pontos.
1.1-PROPRIEDADES.
Durante um movimento de translação, duas retas não paralelas do sólido conservam suas direções respectivas. Pode-se demonstrar que todas as demais retas do sólido também conservam suas direções respectivas.
Exemplos de movimentos de translação: uma gaveta realizando trajetória retilínea, as gôndolas de uma “roda gigante” realizando translação circular e a gôndola de um bonde aéreo executando translação curva.
A figura 1-1 ilustra um sólido perfeito (S), sendo A, B e C pontos não alinhados. Em relação ao referencial adotado, a posição do triângulo ABC é determinada pelas coordenadas de seus vértices A, B e C. Ao mesmo tempo, fica determinada a posição do sólido, pois quaisquer pontos deste (por exemplo, o ponto P) guarda distâncias invariáveis aos pontos A, B C.
1
X yFigura 1-1. Sólido perfeito (S) e pontos não alinhados.Os pontos A, B e C do sólido (S), em certo intervalo de tempo,
passam para as posições A , B' e C'. Se o movimento for translatório,: A B 11 AB e B C II BC. Sendo A'B' = AB (corpo rígido) e A B II AB (translação), conclui-se que o quadrilatero AA'BB' é um paralelogramo, sendo BB'=CC' e BB' j | CC'. Ou seja: AA'=BB'=CC', e AA' | | BB' | | CC'. Portanto: (A' - A) = (B' - B) = (C' - C)
Figura 1-2. Translaçao de um corpo rígido: A B | | AB e B C | | BC , resultando: (A - A ) = (B - B ) = (C - C ) . Toda reta fixa no sólido mantem sua direção
2
Figura 1-3. Translação circular: os pontos do sólido descrevem circunferências, mas estas não são concêntricas. Todas as circunferências têm raios iguais.
B
Figura 1-4. Translação curva qualquer: os pontos do sólido descrevem trajetórias idênticas, não coincidentes, porém “superponíveis”.
3
1.2- VELOCIDADE E ACELERAÇÃO.A velocidade absoluta de um ponto qualquer de um sólido é a
derivada, em relação ao tempo, de seu vetor posição em relação a um ponto fixo. A aceleração absoluta é a derivada temporal da velocidade absoluta.
No sólido (S), em movimento de translação, os pontos A e B descrevem suas respectivas trajetórias vistas de um referencial fixo com origem no ponto 0. Em cada instante vale a equação:
(B - 0) = (A - 0) + (B - A)
Derivando em função do tempo, obtem-se:
A ( b - o) = í -(a - < » + £ ( b - a ) dt dt dtComo o movimento do sólido é de translação, o vetor (B-A)
mantém sua direção invariante no tempo, portanto — (B - A) = 0 . Logo:dt(B - 0) = (A - 0), ou seja:
V B = V A
Derivando a expressão acima em relação ao tempo obtém-se:d _ d _— v R = — v . . Portanto: dt B dt A
a B = a A
4
Figura 1-5. O polígono de vetores indica que se o vetor (B -A ) for constante então os pontos A e B possuem, em cada instante, a mesma velocidade e a mesma aceleração.
Figura 1-6. Os vetores velocidade dos pontos A e B são tangentes às respectivas trajetórias. Os vetores aceleração desses pontos têm sentido para “dentro” da trajetória, formando o mesmo ângulo com as respectivas velocidades.
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As pnnclpais conclusões são as seguintes:Em um intervalo de tempo t -> t’, o deslocamento de um ponto é igual ao deslocamento de qualquer outro ponto.A trajetória de um ponto é igual à trajetória de qualquer outro ponto. As trajetórias não coincidem, porém são “superponíveis” e igualmente dispostas.Em cada instante a velocidade de um ponto é igual à velocidade de qualquer outro ponto.Em cada instante a aceleração de um ponto é igual à aceleração de qualquer outro ponto.
Em resumo: Para determinar o movimento de um sólido em translação, basta caracterizar sua posição em um instante qualquer e fornecer a lei do movimento de um ponto qualquer.
6
1.3. EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR
Nome:
Número: Turma:
Disciplina: Professor:
1- Cite três propriedades do movimento de translação. Dê exemplos.
7
r~\
2- O esquema ilustrado a seguir representa um sistema para retirar água de um poço. Qual tipo de movimento o balde executa? Explicar.
r s
rSC\r \
c >
r \
r \
O
o
2. ROTAÇÃO COM EIXO FIXO.
É o movimento no qual dois pontos não coincidéntes do sólido permanecem imóveis. Sendo M e N os pontos imóveis, todos os demais pontos da reta MN também são imóveis. A reta MN é denominada eixo de rotação do sistema. Todos os pontos fora do eixo, e só eles, são móveis.
Os ponteiros de um relógio, uma porta giratória, o volante de uma máquina a vapor e uma “roda gigante” executam movimentos de rotação com eixo fixo.
Em um sólido com eixo fixo, consideremos um ponto A que se desloca para a posição A . Têm-se: AN = A N e AM = AM , portanto ÁAMN = AA MN.
As alturas com base MN são AH = AH. O plano AHA é perpendicular a MN.
Consideremos no sólido dois pontos A e B quaisquer e distintos fora do eixo. Enquanto A se move para A , B se move para B . O raio HA gira para HA . O raio JB gira para JB . Devido à rigidez do corpo, vale AHA = BJB . Conclui-se que:
Cada ponto descreve um arco de circunferência em um plano normal ao eixo de rotação, cujo centro é o ponto no qual este plano intercepta o eixo.Em intervalo de tempo t-> t , todos os pontos do corpo descrevem arcos de circunferências que correspondem a ângulos centrais iguais. Este ângulo de rotação comum a todos os pontos do corpo é denominado ângulo de rotação do sistema.
- Em cada instante a velocidade angular de um ponto fora do eixo é igual à velocidade angular de qualquer outro ponto, e ela é a velocidade angular do corpo.
- Em cada instante a aceleração angular de um ponto fora do eixo é igual à aceleração angular de qualquer outro ponto e esta é a aceleração angular do corpo.
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Em resumo: Para determinar o movimento de um sólido em rotação, basta dar a posição do móvel em um instante qualquer, o eixo de rotação e a lei do movimento de um ponto qualquer náo pertencente ao eixo.
Figura 2-1. Rotação de um solido em tomo de um eixo fixo. Todos os pontos do sólido, que não pertencem ao eixo de rotaçao, descrevem arcos de circunferências que correspondem ângulos centrais iguais.
Aos pontos do sólido, que estão em movimento, aplicam-se as propriedades do movimento circular. Explicitando:
Em intervalo de tempo t -> t , os arcos descritos são proporcionais às distâncias do eixo.Em cada instante, as velocidades lineares são proporcionais as distancias do eixo.Em cada instante, as acelerações lineares são proporcionais às distâncias do eixo. Esta propriedade também vale para as componentes intrínsecas da aceleração.
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2.1- VELOCIDADE ANGULAR DO SÓLIDO
Considere um ponto material descrevendo uma trajetória circular de centro C e raio R. Seja P a sua posição no instante t e P no instante t , onde t = t+dt. O deslocamento escalar do ponto P é ds = R.dcp, onde dcp é o ângulo central. O eixo de rotação é OC que é perpendicular em C aoplano do movimento. Este eixo é orientado pelo vetor unitário b . Tem- se:
v = — (P -0 ) dt
A velocidade escalar v é dada por:
ds dcp v = — = R.— dt dt
A velocidade angular co do sólido é, por definição:
d(pco =
dt
O vetor velocidade angular é perpendicular ao plano de movimento e, portanto, paralelo ao eixo de rotação. Seu sentido é definido pelo sentido do movimento, utilizando a “regra da mão direita”. Apontam-se os dedos da mão direita no sentido de rotação do corpo com a palma da mão “para dentro”, o polegar aponta para o sentido do vetor velocidade angular. Aplicando-se esta regra a Figura 2-2, então:
cõ = co.b
Se o sentido do movimento fosse o oposto, então:cõ = -co.b
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A velocidade escalar do ponto P é:v = R.co
O raio da trajetória circular pode ser representado como:
R = |(P -O)|.sen(0)
Portanto, a velocidade escalar pode ser escrita como:
v = |(P -O)|.(D.sen(0)
A equaçao acima pode ser representada na forma vetorial como:v = (D a (P - 0)
A derivada da equação acima fornece a aceleraçao do ponto P, que é explicitada em termos de suas componentes intrínsecas.
ã = i { õ A ( P - 0 ) }
A aceleração angular do sólido é:
_ d .. a = — to dtA aceleração fica:
ã = ã A ( P - 0 ) + cõAVO primeiro termo da equação acima representa a aceleraçao
tangencial ã t e o segundo termo a aceleração normal ou centrípeta ã n.
dv a = — dtã = — ã a (P —0) + (o a — (P -0 ) dt dt
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a t = a A (P - 0 ) e ã n =cÒAV
A aceleração do ponto P é a resultante destas componentes, ã = ã t + a n, e também pode ser escrita como:
a = ã a (P - 0) + có a {© a (P - 0)}
Para o caso particular da intensidade de cô ser constante, ou seja, S = 0 , a componente tangencial é nula,ãt = 0 , e a aceleração é igualsomente a componente centrípeta, ã = w a v ou ã = õõ a {cd a ((P - 0)}
componentes intrínsecas da aceleração do ponto P são ã t e a n.
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2.2 - EQUAÇÕES ESCALARESAs grandezas cinemáticas em movimento de rotação são:
• posição angular => 0• velocidade angular => co• aceleração angular => a
As definições são:
a = — co e co = ía.dt + cte ; co = — 0 e 0 = fcodt + cte dt J dt JPara um movimento com velocidade angular co constante
obtemos:
a = 0 ; 0 = co.t + 0O
Para um movimento com aceleração angular a constante obtemos:
1 9co = a.t + co0 ; 0 = —.a.t +coo.t + 0o
(Qz = C0q + 2.a.(0 - 0 O)
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2.3- EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.
1- A velocidade angular de um ponto de um disco é dada pela equação: co = 3.t2 +2.t + l (SI). Determinar:
a) a aceleração angular a no instante t = 2 s;b) o ângulo descrito pelo disco entre os instantes ti = 1 s e t2 = 2 s.
Solução:
a) a = — © a = — Í3.t2 +2.t + l) a = 6.t + 2 (S I)' dt d tV ’
no instante t = 2 s => a = 14 rad/s
<P2 *2.}d<p =
<Pl »1
*2(p2 — (p2 = J (3 .t2 + 2 .t + l).dt
J V2 ‘2b) © = dtp = ©.dt Jdcp = j©.dt
<P 2 — cp2 = J(3.t2 + 2 .t + l).dt
<p2 - <p2 = 3 .i|2> - 13]+ 2 ,i[2 ’ - 12]+ [2-1]
(p2 - cp2 = 11 rad cp2 - ( p 2 = — .180° cp2 - cp2 s 6 3 0 c71
o que é equivalente 1,75 voltas do disco.
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2- Numa polia, ligados por cordas inextensiveis, estão suspensos dois corpos A e B, conforme ilustrado. O corpo A tem aceleraçao constante a A e velocidade inicial v* , ambas com o sentido de baixopara cima. Determinar, após um intervalo de tempo de 3 s:
a) o numero de voltas dadas pela polia e a velocidade do corpo A;b) o deslocamento escalar, a velocidade e a aceleração do corpo B.
Dados: r2 = 0,03 m n = 0,05 m a A= 0,1 m/s2 v*= 0,15 m/s
Solução:
a) v* =(*>0.^ , onde co0 é a velocidade angular inicial da polia. Logo co0 = — . A aceleração do ponto A vale a A = a .r ,, onde a é a
r.
aceleraçao angular da polia. Logo: a = — a = 2rad/s2. O movimento da polia é uniformemente acelerado, portanto a permanece
18
doo 01 4constante: a = — doo = a.dt Jdco = Ja.dt / . co = oo0 + a . t .
od©
Fazendo t = 3 s, co = 3 + 2x3 co = 9rad/s. Sendo co = —dt
e t 2d0 = co.dt /. Jd0 = J(co0 + a.t)dt 0 = coo.t + a .— .Fazendo t = 3
0 0 2
3 2s 0 = 3x3 + 2x — /. 0 = 18 rad. Uma volta corresponde 2n rad,
18portanto o número de voltas efetuadas pela polia será n = ---- /. n =2.71
2,86 voltas. v A = co. vA = 9 x 0,05 vA = 0,45 m/s
b) Para o corpo B: ÀsB = r2.0. Considerando t = 3 s então, ÀsB = 0,03x18 ÁsB =0,54m e vB = co.r2 v B =9x0,03vB = 0,27m/s. a B=a.r2 a B = 2x0,03 aB = 0,06m/s2.
3- A freqüência do cilindro B ilustrado a seguir passa uniformemente de 200 rpm para 500 rpm em 10 s. Sabe-se que rA-0,06m e re=0,02m. Determinar:a) aceleração angular do cilindro vazado A, em tomo de seu eixo central;b) o número de voltas dadas pelo cilindro vazado A no tempo de 10 s.
® A
Solução:
(500-200) 2% , / 2a) a B = - ------ ----- ••• a B = ti rad/s a B.rB = a A.rA10 60a A = — -aB
rA
a a A = — rad/s" a A =1,0472 rad/szA 0,06 A 3 A
b) coB.rB = coA.rA <aA = — .cdb . Para o instante inicial, temosTa
200x271co „ = ----------- rad/s /.B 600.02 200x 2tico. = ------.------------ .. co. =6.98 rad/sA 0,06 60
Como o movimento uniformemente variado, então 0A = coA.t + —.aA.t2
0A = 6 ,9 8 x l0 + | . l ,0 4 7 2 x l0 2 .\ 0A =122,16 rad1 2 2 16Portanto o número correspondente de voltas v a le -----:— = 19,5 voltas.271
4- Quando a polia indicada na figura está com velocidade angular co0 , o motor e desligado. Verifica-se que o corpo ainda sobe uma altura H até parar. Determinar:
a) a aceleração angular da polia;b) o tempo gasto até parar.
Dados: g = 10 m/s2 co0 = 120 rpm H = 0,8 m
20
Solução:
a) coo = 120 rpm =120 X 2n
60coq = 4.n rad/s vjj = 2.g.H
v0 = 4 m/s
AS = —R
a =2.A0
v0 = œ0.R R = — 4.71
À0 = 2,51 rad
a = 31,5 rad/s2
R = 0,32 m
©o = 2.a. AO
b ) t =(Ona
t =4.71
3Ï5
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5- Injeta-se lentamente vapor numa turbina, de modo que a aceleração angular aumente linearmente com o tempo. Sabe-se que, no instante inicial t =0, o rotor está parado e no instante ti executou um numero de voltas igual aN i. Determinar:a) o numero de voltas por minuto no instante t2ib) o tempo necessanr para executar um numero de voltas igual a N .
Dados: ti = 10 s N| = 20 voltas Í2 = 20 s N = 40 voltas Solução:
t 2 - 3 . t . ia) a = cte .t co = cte.— 0 = cte.—2 6
01 =Ni.27i 0, = cte.— cte = 66.N,.2ji
t?
cte = 6 x 20 x 271 1Õ1 = 0,754 co, = 0,754 x — 2 2
co2 =150,8 rad/s co2 = x 60 cd2 =1440 rpm
0 = N.2jc 6 x N x 27i 3 cte
6x40x271 J 0,754 t = 12,6 s
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6- Um corpo, colocado sobre um disco, começa a deslizar quando a intensidade da sua aceleração total for a . O disco é posto em movimento, a partir do repouso, com aceleração angular constante a . A distância do corpo ao eixo é r. Determinar:a) o tempo para o corpo começar a deslizar;b) a correspondente velocidade angular em rpm.
Dados: a = 0,25 m/s2 a = 4 rad/s2 r = 0,06 m
Solução:
a)
ca = a.t
o = 1,080 rad/st _ 1,080 t = 0,27 s
a 4
co = 10,3 rpm
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7- A terra completa uma revolução em tomo do Sol em 365,24 dias. Suponha trajetória circular de raio igual a 1.50x10° km. Determinar a velocidade e a aceleração da Terra.
_ , 2rc.r Solucao: v = -----T v = 27txl,50.108.103365,24x24x3600 v = 29866.2 m/s
a n = 5,95x l0~3 m/s2
8- A velocidade angular da roda dentada A é <aA, no sentido horano, conforme ilustrado a seguir. O movimento da roda B deve ser um movimento de translação curvilínea Determinar:a) a velocidade coB da roda B.b) a velocidade angular co^ do braço AB;
Dados: (0A = 24 rad/s rA = 0,1 m rB = 0,05 m
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Solução:
a) a velocidade angular da roda B deve ser nula para que seu movimento seja de translação: coB =0
b) seja P um ponto pa periferia da roda A: v p = coA .rA v p = 2,4 m/s.
2.4 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS.
1- A figura ilustra duas polias A e B, ambas com velocidade angular co0, girando no mesmo sentido no instante em que são encostadas uma na outra. O escorregamento dura até o instante t , com as polias mantendo aceleraçao angular constante. Nesse instante, a polia A gira com velocidade angular cõA no mesmo sentido inicial. Determinar:a) a aceleração angular de cada polia durante o escorregamento;b) o tempo gasto para que a velocidade angular da polia B seja nula. Dados: ra0 = 300 rpm t = 3 s cõA= 60 rpmrA = 0,05 m rB = 0,03 m
Resp.-a) a A = 8 ,3 8 rad/s2 a B = 1 3 ,9 6 rad/s2 b ) t = 2 ,25s
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2 — Numa bobina de papel para imprensa, o papel deve ser puxado com velocidade constante v, conforme indicado na figura. Sendo r o raio da bobina, num dado instante, e b_a espessura do papel, deduzir a expressão correspondente à aceleração angular da bobina.
3- No sistema indicado na figura, o bloco B cai com aceleração constante ae, saindo do repouso em t = 0. Determinar a aceleração angular do disco
gde centro 0. Não há escorregamento e o fio é inextensível. Dado: ae = —
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4- O movimento do eixo de um motor é definido pela equação:0 = 2.sen(3.t) (SI). Determinar os valores máximos da velocidade angular e de aceleração angular do eixo.
Resp.- comáximo = 6rad/s a máxuno =18 rad/s2
5- O rotor de um motor elétrico atinge velocidade angular co0. Quando se corta a alimentaçao o rotor estaciona depois de executar um número de voltas igual a N. Considerando o movimento uniformemente retardado, determinar:a) a aceleraçao angular a ;b) o tempo decorrido pelo eixo ate o repouso.
Dados: co0 = 2000 rpm N = 600 voltas
Resp. - a ) a = 5,82 rad/s2 b) t = 36 s
6- Uma roda está presa ao eixo de um motor eletnco. A roda atinge a velocidade angular co, no tempo ti . Quando o motor é desligado a roda estaciona no tempo t2. Admitindo que o movimento seja uniformemente acelerado ou retardado, determinar o número de voltas executadas pelo motor:
Dados: 00, = 120 rpm t L = 5 s t2 = 2 0 s
a) até o instante ti;b) entre os instantes ti e t2.Resp.- a) Ni = 5 voltas b) N J2 = 15 voltas
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7- A caixa indicada na figura gira em tomo da diagonal EB no sentido anti-horário, com velocidade angular constante co. Determinar, para o ponto P situado no meio da face ABGH:a) o vetor velocidade angular cô;b) o vetor velocidade v e aceleração ã do ponto P.
Dados: ED = a = 3 m EF = b = 6 m EH = c = 2 m
co = 14 rad/s
Resp.- a) côEB = 6.i+12.j+4.k rad/s b) v p = 1 2 .i—6.j (m/s)
ã P = 24.1 + 48.j-180.k (m/s2)
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8 - Uma correia move-se entre duas polias. No intervalo de tempo A t, a velocidade da correia aumenta uniformemente de vi até V2. Considerando que não ocorra deslizamento, determinar:a) a aceleração angular a A do tambor A;b) o número de voltas efetuadas pelos tambores durante esse intervalo de tempo.Dados: At = 5 s vi = 0,8 m/s V2 = 2,4 m/s
rA = 0,06 m rB = 0,02 m
Resp. - a) ocA = 5,33 rad/s2 ocB = 16 rad/s2b) Na = 21,22 voltas NB = 63,7 voltas
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9 - Uma polia gira devido a ação de duas massas, conforme ilustrado a seguir. A massa A possui aceleração aA. No instante t=0, o corpo A está com velocidade v* . Determinar:a) o número de voltas da polia até o instante t ;b) a correspondente velocidade e o deslocamento do corpo B neste instante;c) a aceleração centrípeta do ponto C da polia no instante t=0.
Dados: aA = 4 m/s2 v* = 5 m/s t = 2 s ri = 0,8 m r2 = 1,5 m
Resp.- a) N = l,91 voltas b) v B =6,93 m/s AhB =9,58 mo
c) a c =16,66 m/s
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1 0 - A correia ilustrada a seguir move-se com velocidade constante v e aciona a polia dupla de centro 0. O bloco A esta ligado a polia conforme ilustrado. Determinar:a) a intensidade da aceleração, do ponto P da polia e do bloco.b) o deslocamento Ah do bloco, no intervalo de tempo A t;c) o correspondente número de voltas N efetuadas pela polia.Dados: v = 0,5 ms ri = 0,08 m r2 = 0,12 m At = 4 s
correia
32
11- Uma barra ABCD foi dobrada como mostra a figura. A barra pode girar em tomo de mancais nos pontos A e D. Suponha que a velocidade angular da barra aumente uniformemente numa taxa a . Determinar:
a) o vetor velocidade angular da barra para a posição indicada na figura;b) o vetor velocidade v e aceleração a do ponto B.
Dados: AB = 3 m BC = 6 m DC = 6 m
ca = 3 rad/s a = 6 rad/s
Resp-a) cÒad = i+ 2 . j - 2 .k (rad/s) b) v B = - 6 . j - 6 .k (m/s)
SB = —24.i — 6.j — 18.k (m/s2)
33
2.5. EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR
r"\
Nome:
Número: Turma:
Disciplina: Professor:
1- Duas polias idênticas são articuladas por uma barra AB, conforme ilustrado a seguir. O ponto A executa movimento circular uniforme com velocidade angular co. Para a posição da barra definida pelo ângulo 0, determinar:
a) o vetor velocidade e o vetor aceleração do ponto A e de um ponto P qualquer da barra AB;
b) os tipos de movimentos descritos pelas polias e pela barra AB.
Dados: © = 4 rad/s R = 0,1 m AB = 0,5 m 0 = 60°
B
35
Resp.a) vA = 0,2.V3-i -0 ,2 .j (m/s) ; ãA = -0 ,8 .i-0 ,8 .V 3 .j (m/s2)
vp = vA ; ãp = ãAb) Polia => Rotaçao em tomo de eixo fixo.
Barra => Translaçao.36
2- Mediante uma correia inextensível, que não desliza, a polia 1 aciona a polia 2, conforme ilustrado a seguir. Seja v a velocidade escalar de um ponto qualquer da correia, mantida constante, e ri e r2 os respectivos raios das polias 1 e 2. Determinar:
r '■ a) as velocidades angulares das polias em rpm;b) o número de voltas de cada polia no intervalo de tempo A t.
Dados: v = 0,4 m/s ri = 0 ,lm r2 = 0,25 m Át = 30s
37
Respa) (Oj = 3 8 ,2 rpmb) N i = 19,1 v o ltas
CO 2 = 1 5 ,3 rp m N2 = '7,6 voltas
38
3. MOVIMENTO PLANO.
Um corpo está dotado de movimento plano quando cada ponto do corpo mantém, com o decorrer do tempo, sempre a mesma distância de um plano fixo. A trajetória descrita por um ponto P do corpo está num plano (3 que passa pelo ponto e é paralela ao plano fixo. O vetor unitário b ligado ao ponto P do corpo é normal ao plano p. Com o movimento
esse vetor não varia, isto é ^ = 0 . Como a aceleração não admite
componentes na direção de b , deduz-se que as acelerações de todos os pontos do corpo são vetores paralelos ao plano fixo. As componentes tangencial e normal estão no plano p. Segue-se que, para todos os pontos do corpo, os vetores velocidade são paralelos também ao plano fixo. Na figura o próprio plano do papel. Nessas condições, esse movimento pode ser estudado considerando-se uma seção plana do corpo que passe pelo ponto em estudo e paralelo ao plano fixo. Considere-se uma seção do corpo, na qual P e O’ são dois pontos que determinam um segmento de reta do corpo. A reta r está no plano fixo. O ângulo entre r e o segmento PO’ é 0. Sendo r fixa, durante o movimento do corpo, PO’ pode mudar de direção, isto é, o ângulo 0 é uma função de t. Tem-se então:
d0 d©© = — e a = —
dt dt
No aspecto vetorial, essas grandezas são:
© = ©.b e ã = a.b
A perpendicular ao plano fixo fica também caracterizada pelo vetor unitário b , com o sentido do papel para o leitor.
39
Figura 3-1. Plano (3 de um sólido em movimento plano. Adistancia 0’P permanece constante no decorrer do movimento. A reta r éfixa. Havendo uma rotação em tomo de 0’, a velocidade angular será
d0 (0 = — . dt3.1 VELOCIDADE VETORIAL
Considere um sólido em movimento plano. Sejam 0 um ponto fixo e 0’ e P aois pontos quaisquer do corpo sólido. Observa-se que:
(P - 0) = (0 -0 ) H- (P - 0’)
Com o decorrer do tempo esses vetores devem variar. Derivando em relação ao tempo, tem-se:
— (P -0 ) representa a velocidade do ponto P do corpo em dt
relação ao ponto fixo 0. - ( 0 - 0 ) representa a velocidade do ponto 0’ emdt
relação ao ponto fixo 0.
representam as velocidades dos pontos indicados pelas setas em relação às suas origens respectivas.
Considere agora o vetor (P-0’). Sabe-se que P e 0’são dois pontos do sólido considerado como rígido. Portanto, com o decorrer do tempo |(P — 0')| permanece constante. Se houver uma rotação do sólido em tomo de um eixo normal ao plano fixo e passando por 0’ então teremos:
— (P -0 ') = ã A ( P -0 ') dt
Tudo se passa como se um observador, localizado no ponto 0’ do corpo, observasse o ponto P girando com a velocidade angular cõ. Isso se passa com qualquer outro ponto do corpo distinto de 0’. Logo:
— (P - 0) = — (0'-0) + cõ a (P - 0') dt dt
41
Ou seja:vp = v0, + õ> a (P — 0')
A interpretação é a seguinte:Sendo 0’ um ponto do corpo em movimento plano com
velocidade angular cõ, a velocidade de um de seus pontos é a soma geometrica da velocidade v 0,, correspondente a uma translação instantanea, e da velocidade periférica ã a ( P - 0 ' ) , correspondente a uma rotaçáo instantânea em tomo de um eixo passando por 0’ e normal ao plano de movimento. Esse movimento pode ser então considerado como resultante de uma translaçao, associada a uma rotação. Considere, por exemplo, uma roda movimentando-se sobre uma superfície horizontal. Num certo intervalo de tempo, dois pontos tais como 0’ e Ai passam a ocupar as posições 0’ e A2.. A figura 3-3 justifica a natureza do movimento.
Movimento plano = Translaçao + RotaçãoAi Ai Aj
Figura 3-3. O movimento plano pode ser interpretado como translaçao + rotação.
Considere agora uma seção plana do corpo paralela a um plano fixo. A interpretação do movimento ainda é a mesma.
42
Figura 3-3. Seção plana de um corpo em movimento plano interpretado como translação + rotação.
A velocidade v p é a velocidade absoluta de P, a velocidade v 0, é a velocidade absoluta de 0’ e o termo cõ a (P - 0') é a velocidade relativa entre os pontos P e 0’.
Figura 3-3. Composições de velocidades no movimento plano. O termo v0, representa a velocidade de translação que, somada ao termo ã> a (P - 0') que representa a rotação, resulta na velocidade absoluta vp.
43
3.2 CENTRO INSTANTANEO DE ROTAÇÃO (CIR).O deslocamento elementar de uma figura plana em movimento
pode ser interpretado como uma rotação em tomo de um ponto, denominado centro instantâneo de rotação, abreviado como CIR. Seja AjBi um segmento de reta no corpo rígido na sua posição inicial e A2B2 o mesmo segmento após o deslocamento, isto é, na sua posição final. Para um corpo rígido tem-se:
A 1B 1 = A2B2
Deve-se admitir que esses dois segmentos estão num mesmo plano. Tomando os pontos medins entre A 1B 1 e A2B2 e por eles as perpendiculares, pela intersecção fica determinado o ponto C indicado na figura 3-4. Segue-se que:
CAi = CA2 e CBi = CB2A rotação em tomo de um eixo passando pelo ponto C e normal
ao plano de A 1B 1 e A2B2 faz com que o segmento seja levado para A2B2. Convém lembrar que o segmento de reta AjBi foi escolhido arbitrariamente.
Figura 3-4. O plano do sólido em movimento interpretado como uma rotação em tomo do CIR.
44
Para a determinação analítica do centro instantâneo de rotação, admite-se que © * 0 , havendo, neste caso, o ponto C no plano P que contém os pontos P e 0’ tal que vc = 0. Logo:
v c = 0 = v 0, + © a ( C - 0 ' )
Os vetores v0, e © a ( C - 0 ' ) possuem a mesma direção e sentidos opostos. Pode-se então escrever:
r| é um vetor unitário que é paralelo ao vetor (C - 0 '). Deduz-se, ao utilizar as regras do produto vetorial, que:
A equação acima pode ser aplicada para determinar a posição do centro instantâne~ Aa
Figura 3-5. O CIR é determinado pelo vetor ( C - 0 ') , que pertence ao plano P e é perpendicular ao vetor v0, e cuja intensidade vale 0'C = v0, /© .
© ©
(C -0 ') =© A V 0.
Plano do / sólido
3.3 PROPRIEDADES DO CIR.Caso as direções das velocidades de dois pontos do corpo sejam
conhecidas, o centro instantâneo de rotaçao fica determinado pela intersecção das normais às direções das velocidades. Isto resulta em:
vA = co.rA e vB = co.rB Quando as velocidades sào paralelas, o centro instantâneo C é um
ponto improprio, neste caso co = 0 e o movimento é de translaçao.
Figura 3-6. O centro instantâneo de rotação é determinado traçando-se duas perpendiculares as direções das velocidades de dois pontos do sólido em um determinado instante.
O ponto C pode estar localizado no proprio corpo e um ponto do corpo com ele coincidente no instante t tem a velocidade nula, conforme ja foi considerado. Pode-se supor o plano p correspondente a uma seção do corpo em movimento, como um cartao em movimento sobre a superfície de uma mesa (que representa o plano fixo). O centro C pode ser determinado a cada instante. As suas posições podem ser marcadas no cartão C e tambem sobre a mesa C \ Obtem-se entào, com o movimento, duas curvas diferentes I e II. Imagina-se o cartão deslizando sobre a borda da mesa, onde uma saliência representa a curva II. O lugar geométrico dos pontos C no cartao é a curva I. A curva I é movei e a II é fixa. A curva I rola sobre a curva II que esta parada.
46
Figura 3-6. O plano P de contorno contínuo, representado pela curva I, move-se sobre a curva II, denominada base rolante. O rolamento é puro.
3.4. ROLAMENTO DE UM DISCO.
Se o ponto de contato coincidir com o centro de instantâneo, fica caracterizado o rolamento puro (rolamento sem escorregamento). No caso do escorregamento puro, o movimento ocorre paralelamente a reta tangente ao ponto de contato (ato translatório). Havendo rolamento com escorregamento, o centro instantâneo não coincide com o ponto de contato.
47
escorregamento escorregamento
Figura 3-7. Caso (a): o ponto de contato tem velocidade nula. Caso (b): o ponto de contado tem escorregamento para frente. Casos (c) e (d): escorregamento para tras do ponto de contato.
48
3.5. TEOREMA DAS PROJEÇÕES.
“As componentes das velocidades de dois pontos quaisquer de um plano (3 ao longo da reta que une estes pontos são iguais“
Este resultado deve-se ao fato de que o corpo é rígido. A distância entre os pontos A e B é constante. Então:
vA.cos(0) = vB.cos(a)
A velocidade angular co é obtida pela equação:
_ vA.sen(0) + vB.sen(a)ÃB
Figura 3-8: Sendo o corpo rígido, a distância AB é constante. Logo: vA.cos(0) = vB.cos(a).
49
3.6. ACELERAÇÃO NO MOVIMENTO PLANO.
A aceleraçao de um ponto P do corpo pode ser calculada pela própria definição de aceleração instantânea:
_ d _ a = — v p dt P
V p = Vg. + ( D A ( P - 0 ' ) ã p = — V 0. + — [ f f l A ( P - 0 ' ) ]dt dt
a p = ã 0 + — © a ( P - 0 ' ) + co a — ( P - 0 ' ) P 0 dt dt
ã = — CÕ — ( P - O ^ õ a CP-O’)dt dt
a tange ocial Bnonml
ãp = ã 0. + ã a (P - 0' j + G) a {© a (P - 0')}
Figura 3-9. Uma translação instantânea com aceleração a 0. , associada a uma rotação instantânea em tomo de 0’, com aceleraçao tangencial e normal.
50
A velocidade do centro instantâneo é nula, porém isto não implica em aceleração nula. O motivo é que, em um instante qualquer, um ponto do corpo pode ter velocidade nula, mas, em um instante posterior, este mesmo ponto possui velocidade não nula. Considere, como exemplo, o movimento de um disco que rola sem deslizamento em um piso horizontal, conforme ilustrado a seguir. Vamos determinar a aceleração do centro instantâneo.
Disco rolando sem deslizamento
CIR
v p - v c + w a (P -C ) vc = 0 v p = oia (P -C )
<ã = -co.k (P -C ) = R.j v p = -co.k a R.j
vp = oo.R.idco
a = —dt
a = -a.k a p = a.R.i
ã p = ã c + ã a (P -C ) + cô a [co a (P -C )]
a.R.i = ã c + -a .k a R. j + -co.k a [- oo.k a R. j Ja.R.i = a c + a.R.i + co2 .R.j i c = co2.R.j
51
3.7. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO.
1- Uma tábua desce por meio de dois cabos aplicados nos pontos 0’ e A, conforme ilustrado a seguir. As veiocidades dos cabos são iguais. Para parar, são aplicados os freios e verifica-se que os retardamentos dospontos 0’ e A são ã 0. = 3j m/s2 e ã A = 5j m/s2 respectivamente. Calcular:a) a aceleraçao angular da tábua;b) a aceleraçao do ponto B no instante em que os freios foram aplicados.
. _________ ± E ___________ .
2 mSolução:a) Como as velocidades dos cabos são iguais no instante em que os freios são aplicados então a velocidade angular da tábua é nula ( cô = 0 ) . Logo:
ãA = ã0. + ã a (A -0 ' ) 5.j =3.j+a.kA4.i 2. j = 4aj
a = 0,5 ã = — .k rad/s2 2b) ãA = ã B+ ã A ( A - B ) 5.j = ã B +0,5.ka 2.í
5 . j = ã „ + l . j /. ã B = 4 .j m/s
52
2- As duas polias indicadas são solidárias. Seus raios são ri e r2. Elas podem girar em tomo de um eixo ligado ao bloco B. Sabe-se que a velocidade da corda no lado A é v corda, direção vertical e sentido para cima. A aceleração tem intensidade ac0rda, direção vertical e sentido para baixo. A velocidade angular num dado instante tem intensidade co, no sentido horário. Determinar:
a) a posição do centro instantâneo de rotação;b) a velocidade do bloco;c) a aceleração angular da polia.d) as acelerações dos pontos 0’ e C;
Dados: ri = 0,05 m Xj = 0,10 m vcorda = 0,6 m/s a^rda= 0,5 m /s2
co = 4 rad/sy
Corda
53
Solução:
a) © = -4 .k rad/s .\ vA = 0,6.j m/s ( C - A ) = C° AVato2(C -A ) = 4-k A ° ’6-j ... (C -A ) = 0,15.1 m 4b) vA = vcorda /. v A = 0,6.j m/s .-. v 0. = v A + © a (0'-A )
v0. = 0,6. j - 4.k a 0,1 .i
v0, = 0,2. j m/s ( velocidade do bloco )
c) ãA = ( - 0 ,5 . j+ C x.i) m/s2 ;
ã 0 = ã A + ã a (0 '-A ) + cò a {© a (0'-A)}
ã0 = (—0,5.j + C x.i) + a.k a 0,1.í + -4 .k a {-4.Íc a 0,1.í )
S0. = -0 ,5 .j + Cx.i + 0,1 .a j + -4 .k A -0,4.j
ã0. = (—0,5.j + C x.i) + 0,l.a j — l,6.i
ã 0. = (Cx - 1,6).I + (0,1 .a - 0,5). j /. Cx = 1,6 m/s2
í c = ãA + ã a (C - A) + © a {w a (C - A)}
ãc = (—0,5.j + C x.i) + a.k a 0,15.í -4 .k a |-4 .k a 0,15 .i}
ãc = -0 ,5 .j + 0,15 a .j + (Cx - 2,4)i .\
54
ãc = (0,15 .a - 0,5)] + (Cx - 2,4)1
O centro instantâneo de rotação possui somente aceleração normal, logo:
0,15.a -0 ,5 = 0 a = — a= 3 ,33rad /s20,15
ã = 3,33.k rad/s2
d) ãc = (0,15.a - 0,5) j + (Cx - 2,4).í
ãc = (Cx - 2,4).I m/s2 /. Sc = (-0,8).i
ã0’ = (Cx - 1,6).I + (0,1 .a - 0,5). j
ã0,= (0,1.0,5/0,15-0,5).]
ã0. = -0,17. j m/s2
ãA = (—0,5.j +1,6 .i) m/s2
3- Uma roda, de raio R, está apoiada em pista reta e horizontal, sobre a qual ela rola sem deslizar. Partindo do repouso, ela é acelerada de tal modo que sua velocidade de rotação cresce uniformemente e atinge 240rpm em 6 s. Após girar algum tempo com essa velocidade, os freios são aplicados e a roda para após 5 s. Ao todo, a roda efetua 3100 revoluções. Calcular:
a) a duração total do processo;b) o percurso feito pelo centro da roda.
Dado: R = 0,2 m
55
Solução:
a) co = 240 r p m /. co = 87trad/s .\ (Q = (p£ + a.ti 871 = a , .6
871 4 7t . / 1 2 a 1 471 , 2a , = — ai = — 0, =^B0.t1+ - x i 1.t1 e i = 2 - y - 6 •0, = 2471 rad
^ ^ 87cco = to0 - a 3.t3 /. co = 87E-a3.5 = 0 a 3 = — rad/s
0,=4O 7i-2O 7i .\ 0, = 207C rad
® totai =3100x271 = 0, + 0 2 + 0 3 6200ti = 247i + 0 2 +2071
0 2 = 6 15 6 7 1 rad 02 = 87t.t 6 15 6 7 1 = 87i.t .\ t = 769,5 s
totai = + 1 2 + 13 t loul = 6 + 769,5 + 5 ttotai = 780,5 s
b) As = 3100x27ix0,2 As = 3895,6m
4- A barra AB ilustrada a seguir, de comprimento L, está articulada, no ponto A, a um disco de raio R, que gira com velocidade angular © constante e a um pistão em B. Determinar, para 0 = 30°:a) a posição do centro instaniâneo de rotação da barra;b) a velocidade, a aceleração do pistão e aceleraçao angular da barra.
Dados: R = 0,4 m L = 0,8 m co = 100 rpm56
Solução:
La)
R OBsen(9) sen(P) sen(l 80° - 0 - 13)
0,4
sen(p) = sen(0).
sen(P) = 0,5 x0,8
sen(P) = 0,25 p = 14,5C
V3OB = R.cos(P) + Lcos(a) /. OB = 0,4 x — + 0,8 x 0,9682
0B = 1,121 m ; BC = OB.tan(0) BC = 1,121 x 0,577
BC = 0,647 m
57
b)co = 100x— © = 10,47 m/s ; OC = VOB2 + B C 260
0C = V U 212 + 0,6472 /. 0C = 1,294 m ; AC = OC-F
AC = 1,294 - 0,4 AC = 0,894 m
vA = CO.R vA = 10,47 X 0,4 vA = 4,2 m/s
0) ^ = — 00 = - ^ - CO Aß = 4 ,70 rad/sAC " 0,894
vb = cüab-BC vB = 4,70 X 0,647 vB =3,04m/s
b) ãB = ã A+ ã AB a (B -A ) + còab a (B -A ))
© a b = — ® A B ' ^ • • a AB = ^ A B
(B - A ) = L. cos(ß).i - L sen(ß). j
ã A = -œ 2.R.cos(0).i -co2.R.sen(0).j ; ãB = - a B.iã A = — 3 8 ,4 .i —22,0 } (m/s2)
.k a {— co AB .k A(L.cos(ß).i -L.sen(ß).j)} =
-co^B.L.cos(ß).i H-co^gX.se^P).] -a A B -k A(L.cos(ß).i -L.sen(ß).j = -c tA B -L .c o s^ .j - c
58
A ßJL .seniß)^
- a B.i = -co2.R.cos(0).i -co2.R.sen(0).j +
-aAg.L.cosCP).] - a AB.L.sen(p).i +
- co lB.L.cos(|3).í +cD^B.L.sen((3).j
- a B = -cD2.R .cos(0 )-aAB.L.sen(|3)-(jo^B.L.cos(P)
0 = -® 2.R .sen (0 )-aAB.L.cos(p) + co^B.L.sen(P)
(Xab ~ 22,6 rad/s■y
aB = 51 m/s
5- A manivela ilustrada a seguir gira com velocidade angular co constante. Para a posição figurada, determinar para o pistão:
a) a velocidade;b) a aceleração.
Dados: co = 60 rpm 0 = 30° R = 0,4 m
co
59
Soluçào:
60x 2ji _a) © = --------- ca = 2n rad/s60
d d x d d 0X = R.sen(O) vp = — vp = R .—P dt P dtd0co = — Vp = K.œ.cos(0) Vpdt
Vp = 2,18 m/s
b) ap = ap = R.©.— .cos(6)dt P dtd0ap = -R.©.— ,sen(6) a p = -R.©^.sen(0)
X = 0,4 X sen(30°) x = 0,2 m a p =
ap = -7 ,9 m/s2
.cos(0)
= 0 ,4 x 2 íc.cos(3 0 o)
ap = -ffl2.x
O ) 2 x 0,2
60
6- No sistema indicado, o bloco A desliza na vertical com velocidade constante. Determinar:
a) a posição do centro instantâneo de rotação da barra;b) a velocidade angular co da barra AB e a velocidade do bloco B.
Dados: va = 2 m/s L = AB = 10 m 0 = 45°
a) O CIR coincide com a extremidade B da barra, logo vB = 0.v 2
b) co = — co = — co = 0,2 rad/sL 10
7- Um disco, de centro O e raio R, rola com escorregamento sobre um eixo horizontal. São conhecidas a velocidade angular do disco co e a velocidade do centro do disco v<>. Determinar:
a) a posição do centro instantâneo de rotação do disco;b) a velocidade do ponto de contato do disco com o piso.
71Dados: R = 0,2 m co = — rad/s vq = 0,2 m/s
61
y aï
Oo>
CIR ___i!V yX î /
V — /
‘ m
iX
ai
Soluçào:
vA
a) (C - 0) = C 0 A V „to œ = - —.k rad/s 2 v0 = -0 ,2 .i m/s
- —.kA -0 ,2 .i(C - 0) = 2 - 2------- (C - 0) = -0,127.] m
7t ]
X
|(C - 0)| = OC = 0,127 m
b) vA = ©.AC AC = R - OC AC = 0,2 - 0,12762
AC = 0,073 m vA = .0,073 vA = 0,115 m/s
8- No sistema planetário indicado, a circunferência de raio R é fixa e a barra 0B, articulada no centro dessa, gira com velocidade angular ©. Determinar as velocidades angulares dos discos A e B, desprezando os escorregamentos.
Dados: R = 0,5 m <a = 20rad/s Ra — Rb = 0,25 m
vA = <ö.(R+Ra) vA = 15 m/s vB = o .(R+2.Ra+Rb) v b = 25m/s
Os pontos, dos discos, que estão momentaneamente em contato possuema mesma velocidade.vp = coa- 2.Ra vp = 30 m/s
fixo
Solução:
©a = 60 rad/s
63
coB = Rr
BC = -S- cou
(Dg —3 0 -2 00,25
BC = 0,625 m
(db = 40 rad/s
9- No sistema ilustrado a seguir, a barra AB possui velocidade angular constante <dab> no sentido horário. Determinar as velocidades angulares das barras BC e CD.
Solução:
tg(0) = — tg(0) = 0,75 cos(0) = 0,8 0,8
vb = coab.AB vB = 6 m/s vA = Vy-- vA = 7,5m/sOOM u )
® B C = V A ' ^ ( 9 ) - ® B C = 9 m d / S ^
© c d - 7,5 rad/s
10- Sabendo que a velocidade do cursor D ilustrado a seguir é vd para cima, determinar:
a) o centro instantâneo de rotação de BD;b) a velocidade do ponto médio de BD.
Dados: Vd = 2 m/s
Solução:CD = 0,8 m CM = yjo,32 + 0,42 = 0,5 m conn = V D
BD CDv BcoBD = 2,5 rad/s vB = cobd.CB vb = 1,5 m/s = —
“ ab = 3,75 rad/s v M = cúbd.CM vM = 1,25 m/s
66
3.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS.
1- No esquema representa-se um ioiô. O centro é 0’, os raios são a e b. O fio é flexível e inextensível. A extremidade E do fio é mantida fixa. Em uma revolução do ioiô:
a) qual é o percurso do ponto 0’?b) que extensão do fio se desenrola?
2- No esquema representa-se um carretel de linha apoiado em uma mesa.O centro é 0’ e os raios são a e b. O fio é flexível e inextensível. Tracionando-se lentamente a extremidade E da linha, em direção horizontal e ortogonal ao eixo do carretel, este rola sem deslizar. Quandoo carretel der uma volta, determinar:
a) o percurso de 0’;b) o percurso de E;c) o segmento de fio desenrolado.
Efio
Resp. a) 27ta b) 2na
67
carretel
Resp. a) 2n.b b) 27i.(b + a) c) 27i.a
3- Retomar o enunciado precedente supondo que o fio seja tracionado por baixo. Para uma revolução do carretel, determinar:a) o percurso de 0’;b) o percurso de E;c) o segmento de fio que se enrola no carretel.
0’
Resp. a) 2ji.b b) 27i.(b-a) c) 27i.a
68
4- Um automóvel está com velocidade constante va- O raio de sua roda é R. Calcular a velocidade e a aceleração dos pontos B, C, D e E da roda ilustrada a seguir, admitindo que não ocorra escorregamento.
y t
Dados: 0 = 30° R = 0,3m vA = 18 m/s
Resp. vB = 36.i m/s vc = 0 vE = 18.i — 18.j (/m/s)
vD = 33,6.i+9.j (m/s) ac = 1080.j (m/s2) ãB = -1080.j (m/s2)
ãE = -1080.1 (m/s2) ãD = 540.1-935,3.] (m/s2)
5- A velocidade do ponto A da cremalheira ilustrada a seguir é Va, no sentido da esquerda para a direita. Calcular:
a) a velocidade angular;b) a velocidades dos pontos B,C e D.
Dados: R = 0,2 m r = 0,12 m vA = 2 m/s
69
Resp. a) cô = — 10.k (rad/s) b) vB = 3,2.i (m/s) vc =0 vD = 2A + 2.j (m/s)
6- Très rodas dentadas A, B e C, de raios Ta, Tb e rc, estão ligadas nos seus centros por um braço ABC, conforme ilustrado a seguir. A roda A é fixa. A velocidade angular do braço é cobraço. Calcular a velocidadeangular das rodas B e C.Dados: cobraço =2n rad/s rA = 0,3 m rs = 0,1 m rc - 0,1 m
70
7- A velocidade angular da roda dentada A, de raio rA, é coA no sentido horário, conforme ilustrado a seguir. O movimento da roda B, de raio rB, deve ser um movimento de translação curvilínea. Determinar:
a) a velocidade angular do braço AB;b) a velocidade da roda B.
Dados: rA = 0 ,lm rB = 0,05 m coA = 24 rad/s
Resp. coB = 25,1 rad/s coc = 12,6 rad/s
Resp. a ) = 16 rad/s vB = 2,4 m/s
8- Um carretel tem raios R e r, conforme ilustrado a seguir. Um fio é enrolado no carretel e puxado horizontalmente com velocidade constante Vf,0. O carretel movimenta-se sobre um plano horizontal sem escorregar. Determinar:
a) a velocidade angular do carretel;b) a velocidade do centro do carretel;c) o comprimento do fio que enrola ou desenrola por unidade de tempo.
Dados: R = 0,06 m r = 0,04 m Vfl0 = 0,05 m/s
71
Resp. a) õj = -2,5 .k rad/s b) v0 =0,15.i (m/s) c) 0,1 m/s
9- Uma roda de raio R, movimenta-se para a direita num plano horizontal, com velocidade constante vo, conforme ilustrado a seguir. Uma barra de comprimento L está articulada no ponto B da roda. Determinar:a) a velocidade angular da barra AB;b) a velocidade linear do ponto A da barra.Dados: R = 0,1 m AB = L = 0,3 m vq = 0,04 m/s (3 = 30°
Resp. a) ©ab = -0,085.k (rad/s) b) v A = 0 ,0 5 9 8 .i (m/s)
10- No sistema indicado, o disco de raio r possui um pino P que desliza numa ranhura, cujo conjunto movimenta o pistão B. Sabe-se que, num dado instante, a velocidade angular do disco é © e a aceleração angular é a , ambas no sentido horário. Determinar para o pistão, quando posicionado pelo ângulo 0:
a) a velocidade;b) a aceleração.Dados: r = 0,2 m 0 = 30° © = 2 % rad/s a = n rad/s2
1 1 -0 esquema indica um rolamento no qual o raio de A é R e o raio de cada bolinha é r. A parte B é fixa e A gira com velocidade angular ©A. Determinar:
a) a velocidade linear do centro de cada bolinha;b) a velocidade angular de uma das bolinhas.
73
Dados: R = 0,0125 m r = 0,0025 m coA = 3600 rpm
fixo
Resp. a) v = 2,36 m/s b) ©bolinha= 9000 rpm
12- No sistema indicado, determinar a velocidade angular da polia C. A polia B rola sem escorregar e o fio é perfeitamente flexível e inextensivel. Não ha escorregamento do fio em relação às polias. A velocidade angular da polia A é coa-
Dados: ©a = 30 rad/s R = 0,5 m
74
13- O disco de raio r rola sem escorregar sobre a circunferência fixa de raio R. O centro 0 do disco tem velocidade escalar constante vo. Determinar a aceleração do centro instantâneo de rotação do disco.
Dados: vo = 0,5 m/s r = 0,1 m R = 0,4 m
75
Resp. ãc = -20. j m/s2
14- O centro do disco indicado move-se com velocidade constante vo para a esquerda, enquanto a barra AB gira ao redor de A. Determinar:a) a velocidade angular do bastão còB;b) a velocidade do ponto B da barra v B .
Dados: AB= L= 20 m R. = 4 m 0 = 30° vq = 5 m/s
76
c
Resp. a) 5 b = 0,17.k rad/s b) vB = 3,35.j m/s
15- A haste AB, de comprimento L, desliza com suas extremidades em contato com o piso e com o plano inclinado. A extremidade A movimenta-se com velocidade constante va para a esquerda. Determinar:
a) a velocidade angular da haste coab;b) a velocidade vb do ponto B.c) a aceleração angular e a aceleração aB .
Dados: L = AB = 0, 8 m vA = 0,5 m/s
77
I
Resp. a) co j, = 0,4575 rad/s b) vb = 0,448 m/s- J l - a/2 - -,c) 5 ^ = -0,0561.k rad/sz aB = -0 ,1 7 3 .(^ - .i + — .j) m/s2
78
3.9. EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR
Nome:
Número: Turma:
Disciplina: Professor:
1- Duas hastes formam ângulo 0 e estão articuladas em D, conforme ilustrado a seguir. Sabe-se que o ponto B move-se para a esquerda, com velocidade constante vB. Determinar para a configuração indicada:a) a velocidade angular de cada haste;b) a velocidade dos pontos E e D.Dados: VB = 0,8m/s 0=120°
79
Resp.
a ) cdab = 1 rad/sb) vd = 0,5 m/s
íde = 1 ,3 3 rad/s vE = 0,77 m/s
80
2- A manivela AB ilustrada a seguir gira com velocidade angular constante coAa, no sentido horário. Determinar:
a) a velocidade angular m B d da barra BD;b) a velocidade do pistão vp.
Dados: coab = 4n rad/s AD = 0,2 m
81
Resp.
a) cûbd = 7,27 rad/sb) vp = 1,45 m/s
82
4. ANEXOS
4.1 TRIGONOMETRIA
Transformação de grau para radiano:
180° -> 7i rad a° -> xrad
Transformação de radiano para grau:
7i rad -> 180° a rad -> x°
Triângulo retângulo:
sen(x) = catopostohip.
cos(x) = cat.adjacente hip.
tan(x) = cat.opostocat.adjacente
83
Relações importantes:
seno e cosseno sinaisi •
í sen(x)>0 sen(x)>0\1 cos(x)<0 cos(x)>0 ^1 sen(x)<0 sen(x)<0!\cos(x)< 0 cos (x)>y
trigonométrico
Ângulos notáveis:
071 71 71 716 4 3 2
0o 30 ° 4 5 ° 60° 90 °
01 V2 V3 12 2 2
1 V3 V2 10vUd
2 2 2
tg 0 £3
1 V3 00
84
Relação fundamental:
sen2(x) + cos2(x) = 1
Outras relações trigonométricas:
sec(x) = -------- cossec(x)cos(x)
tg (x ) = — COt g( x) = cos(x)
sec2 (x) = 1 + tg2 (x) cos ec2 (x)
Adição de arcos:
sen(a ± b) = sen a. cos b ± cos a. sen b
cos(a ± b) = cos a. cos b + sen a.sen b
tg (a± b ) = T a± ,8 b1 + tga.tgb
Arco duplo:
sen(2.x) = 2.sen(x).cos(x)
cos(2.x) = cos2(x) - sen2(x)
tg(2.x) = 2'tg?1 - tg (x)
sen(x)
1
tg(x)
= l + cotg2(x)
1
85
Transformação em produto:
sen(a) + sen(b) = 2. sen .cos2 2V / \ *• sa - b
sen(a) - sen(b) = 2.cos( a + b i ' a - b N|.sen \ ** / v 2 ,
cos(a) + cos(b) = 2. cos ' a + b l ' a - b '2.cos .cos, 2 ; v 2 ,
cos(a) - cos(b) = -2 . sení a + b].sen f a - b 'v 2 y 1 2 ,
86
4.2 PRODUTO ESCALAR E VETORIAL
a) Produto escalar
Produto escalar de dois vetores ã e b é o produto das intensidades dos vetores pelo cosseno do ângulo 0 entre eles. Escreve-se:
ã.b = a. 1 .cos(0)
O produto escalar de dois vetores não é um vetor; é um escalar invariante sob mudança de referencial. Ele equivale ao produto da intensidade de um dos vetores pela projeção do outro sobre ele. O produto escalar de dois vetores tem o sinal do cosseno; ele é nulo se os vetores forem ortogonais e é máximo quando os vetores formam ângulo nulo (direções iguais e sentidos iguais). O produto escalar aplica-se no cálculo do ângulo entre dois vetores, no cálculo do trabalho de uma força, etc...
Se os vetores forem representados numa base cartesiana
i.T = i i j = 0
j-j = i i.k = 0k..k = 1 ].k = 0
87
então se: ã = a x. i + a y.j + az.k b = bx. i + b y.j + bz.k
ã..b = a x.bx + a y.by + a z.bz
Exemplo. Determinar o ângulo 0 formado pelos vetores:
ã = 3.i + 4.j +5.k b = i — 6. j + k
Solução: ã.b = 3 x (1) + 4 x (-6 ) + 5 x (1)
ã..b = -16 ; |ã| = a/32 + 42 + 52
|b| = Vl2+ (-6 )2 + l2 |b| = 6,164
ã..b = ã|. ã.b.cos(0) cos(0) = — -ã. b
ã! = 7,071
cos(0) = -1 67,071x6,164
cos(0) = -0,367 0 = 111,5
88
b) Produto vetorial
Sejam ã e b dois vetores, nenhum nulo, e formando entre si ângulo 0 diferente de zero ou n rad. Representando-os por segmentos orientados aplicados a um mesmo ponto, eles determinam um plano e umparalelogramo nesse plano. O produto vetorial dos vetores ã e b é o vetor c que tem intensidade:
c = a . .sen(0),
direção normal ao plano e sentido tal que seja positivo o triedro a , b e c . Escreve-se:
c = ã AbVale também:
a a b
ã| b
Todavia, essa expressão não determina o quadrante ( Io ou 2o) ao qual pertence o ângulo 0. O produto vetorial de dois vetores é um vetor. Em valor absoluto, o produto vetorial corresponde a área do paralelogramo construído sobre os segmentos orientados que representam os vetores. O produto vetorial é nulo se os vetores forem paralelos. Quanto a direção, o produto vetorial é máximo quando os vetores forem ortogonais. Produto vetorial aplica-se, no cálculo da área de um paralelogramo, no cálculo do momento polar de uma força, etc..Se os vetores forem representados numa base cartesiana:
i a i = 0
j a j = 0
k . a k = 0
i A j = k
k A i = j
j A k = i
89
Pode-se obter o sentido de c utilizando-se uma regra denominada “regra da mào direita”. Encurva-se os dedos da mào direita no sentido darotaçao de ã para b , o polegar dá o sentido de c .Exemplo. Determinar o produto vetorial dos vetores:
ã = 2.i + 3 .j —k b = -3.1 + 4.j +2.k
Solução: Seja c = ã a b c = (2.i + 3 .j - Í c)a ( -3 .i + 4 .j + 2Íc)
c = (2 x -3 ).i a i + (2 x 4).i a j + (2 x 2).i a k +(3 x -3). j a i + (3 x 4). j a j + (3 x 2). j a k +(-1 x -3).k a i + (-1 x 4)Íc a j + (-1 x 2).k a k
c = 8 Jc — 4. j +9.k + 6.i + 3 .j + 4.i c = 1 0 . i - j+ 1 7 ^
90
4.3 DERIVADAS E INTEGRAIS
a) Derivada
Função Derivada
constan te => 0
xn => n.xn_1
ex ex
ln(x) =>1X
sen(x) => cos(x)
cos(x) => - sen(x)
tg(x) => sec2(x)
cotg(x) => cossec2(x)
sec(x) => tg(x).sec(x)
cossec(x) -cotg(x).cossec(x)
(f.g)' => f'-g + f-g’
f1]UJ=> f'-g -f-g '
g2
(f(g)) => f'(g)-g'
91
b) Integral
jdx = x + C
J(f + g).dx = Jf .dx + Jg.dx
f— .dx = ln(x) + C J xju.dv = u.v - jv.du
je \d x = ex +C
J*en(x).dx = -cos(x) + C
Icos(x).dx = sen(x) + C
J*g(x).dx = ln|sec(x)| + C
Jsen2(x).dx = -.x --^-.sen(2.x)
f . = arcsen(x) + C J V l - x 2
f . = arccos(x) + C / l - x 2——-y = arctg(x) + C l + x ‘
92
4.4 GEOMETRIA PLANA
Ângulos complementares:
Ângulos suplementares:
a+b =90°
a+b= 180°
Retas paralelas cortadas por uma transversal:
a=b
x=y
a+Y=180°
93
Triângulos:
B
Tnángulo isóceles C
a=b
Tnángulo equilátero
C
a=b=c
Triângulo Retângulo:
Teorema de Pitágoras a 2 = b2 + c 2
94
Teorema das Bissetrizes:
a b
Triângulo retângulo:
b - a.m c2 = a n b.c = a.h h 2 = m.n
a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
95
Lei dos cossenos:
a 2 = b : + c 2 -2.b.c.cos(0)
Lei dos senos:
a _ b _ c sen(a) sen(P) sen(y)
96
4.5 PARADOXO GEOMÉTRICO DE GALILEU
Paradoxo geométrico de Galileu descrito em “Discorsi “ em 1638.
Suponha que o círculo maior tenha feito uma revolução completa ao rolar numa linha reta de A a C, de maneira que AC é igual ao comprimento da circunferência do círculo maior. Então o círculo menor, preso ao maior, também fez uma revolução completa, de modo que BD é igual à circunferência do circulo menor. Segue-se então que os dois círculos têm circunferências iguais.
Explicação de Paolo Nardini, Liceo A. Vallisneri, Itália.
O círculo menor rola com o círculo maior, mas não pode rolar sem escorregar na reta BD. Isto constitui a mais importante diferença entre os movimentos dos dois círculos. O maior rola sem escorregar na reta AC e o movimento do seu centro, que podemos supor rolar com velocidade constante, tem o mesmo comprimento do movimento do ponto em que em cada instante o círculo maior encontra a reta AC. Esta condição não é válida para o movimento do círculo menor, no que diz respeito à reta BD, na qual ele rola escorregando; neste caso o movimento do centro do círculo menor (o mesmo do centro do círculo maior) não é igual ao movimento do ponto em que o círculo menor encontra a reta BD. Assim, o segmento BD não representa o movimento daquele ponto no intervalo de tempo em que o círculo descreve uma volta, isto é ele não representa o perímetro da circunferência menor.
97
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