INTRODUO

Est pesquisa busca legitimar informaes precisas de o que centro de massa e gravidade.O que so esses temas e como chegamos a seus clculos e definies, quais variveis tomamos e o porque tomamos essas variveis, atravs de explicaes sensatas e de maneira simplificada para facilitar o entendimento dos leitores desta pesquisa.

Objetivos

Facilitar a compreenso do centro de massa e centro de gravidadeDemonstrar clculos matemticos de fcil compreensoDemonstrar as definies dos temas abordados Facilitar o entendimento de como chegamos a essas solues matemticas Demonstrar como resolver situaes adversas, situaes em casos especiais

CENTRO DE MASSA1. IntroduoSe atirarmos uma bola no podemos notar, mas se atiramos um basto podemos ver que suas extremidades podem se mover para qualquer lado, mas se observarmos no seu centro vemos que ele gira em uma trajetria parablica, este ponto chamamos de centro de massa, ela se move como se toda a massa estivesse concentrada no centro desse basto (Tipler and Mosca, 2009).2. Determinar o centro de massaConsideramos que um sistema simples consiste em duas partculas localizadas no eixo , nas posies e . Se esse sistema tem massas e ento o centro de massa est localizado no eixo na posio definida por onde = a massa total. Tenso a posio de origem e a orientao em de forma que a posio de est na origem e a posio de est no eixo positivo, ento e , onde a distncia entre as partculas. O centro de massa, ento, dado por

(0) +

Quando temos apenas duas partculas como no caso acima, o centro de massa est em um ponto sobre a linha entre as partculas, se elas tm massas iguais o centro de massa est no meio entre elas, caso elas tenham massas diferentes seu centro de massa estar mais prximo da partcula com maior massa.2.1. Determinar centro de massa para N partculasPodemos usar o clculo acima somente para duas partculas em uma dimenso, se tivermos muitas partculas em trs dimenses, para partculas em trs dimenses podemos usar a seguinte notao:

Onde, a massa total do sistema de forma similar nas direes e .A posio do centro de massa est definida p:

Onde

2.2. Centro de massa em um corpo contnuoPensamos agora em corpos como carros, bolas. Tais corpos com um sistema contendo um nmero muito grande de partculas, com uma distribuio de massa contnua para corpos com um grande tamanho, ou simetria, o seu centro de massa ser o centro de simetria, por exemplo, uma esfera, seu centro de simetria ser localizada no seu centro geomtrico. J para um corpo com uma linha ou um plano de simetria, o centro de massa est em algum lugar desta linha ou deste plano, para encontrarmos a posio do centro de massa deste tipo de corpo vamos usar a integral no lugar da somatria utilizada acima. A integral dada por:

Onde, um pequeno elemento de massa na posio . 2.3. Encontrando o centro de massa por integraoNeste tpico ser explicado como calcular o centro de massa por integrao de uma simples barra e de um anel circular podendo ser levado para vrios tipos de problemas.2.3.1.Barra uniformePara o clculo de uma barra, o primeiro passo escolher um sistema de coordenada. sempre uma boa escolha quando se escolhe o eixo no comprimento da barra, com a origem em uma das extremidades da barra. Tomando massa de comprimento, a distncia e a origem, temos a equao:

A massa est distribuda no eixo dentro do intervalo . Ao integrarmos estamos tomando a massa de 0 e como limites de integrao. A razo a massa por comprimento unitrio, tomando a massa de comprimento unitrio como um qualquer, temos que

Onde

Como a barra uniforme, uma constante e podemos fator-lo em casa uma das integrais citadas acima, com isso obtemos:

Temos, , assim uma barra uniforme sua massa pelo comprimento unitrio igual a massa total dividida pelo comprimento total. Tomemos por , obtemos a seguinte equao:

2.3.2. Anel semicircularPara calcular o centro de massa de um anel semicircular de raio , escolhemos o eixo . Para este clculo temos que usar coordenadas polares, onde a magnitude do vetor posio e o ngulo que o vetor posio forma no eixo , temos e . A distncia dos pontos do semicrculo a origem , temos:

Agora temos como , o elemento de massa tem o comprimento , logo:

Onde a massa por comprimento unitrio, temos:

Para calcular essa integral, temos que integrar ao longo da distribuio semicircular de massa, isto , , tendo que integrar no sentido de aumentar , sendo seus limites de at , com isso, tem-se:

Usamos a integral de uma soma a soma das integrais, como o anel uniforme, sabe-se que , onde o comprimento do arco semicircular. Se substituirmos por e integrando, temos:

O centro de massa est no eixo a uma distncia de da origem. Ela est fora do corpo do anel semicircular.2.4. Movimento do centro de massaO movimento de qualquer corpo ou sistema de partculas pode ser descrito em termos do movimento do centro de massa mais o movimento individual das partculas do sistema em relao ao centro de massa. Se jogarmos um martelo no ar seu centro de massa seguir uma trajetria parablica, que a mesma trajetria seguida por uma partcula pontual.O movimento do centro de massa de um sistema de partculas est relacionado a fora resultante sobre o sistema como um todo. Isto pode ser mostrado examinando-se o movimento de um sistema de partculas de massa total .Primeiro, achamos a velocidade do centro de massa de um sistema derivando em relao ao tempo os dois lados da equao .

Como a derivada temporal da posio a velocidade, logo:

Derivando novamente os dois lados em relao ao tempo, temos a acelerao:

Onde , a acelerao da i-sima partcula e a acelerao do centro de massa. Da segunda lei de Newton a soma das foras que atuam sobre a i-sima partcula, temos:

Onde a soma da direita a soma de todas as foras que atuam sobre cada uma de todas as partculas do sistema. Algumas dessas foras so foras internas (exercidas sobre uma partcula do sistema por alguma outra partcula do sistema) e as outras so foras externas. Logo:

De acordo com a terceira lei de Newton, as foras surgem aos pares de foras iguais e opostas. Portanto, para cada fora interna atuando sobre uma partcula do sistema existe uma fora interna igual e oposta atuando sobre alguma outra partcula do sistema. Quando somamos todas as foras internas, cada par da terceira lei contribui com zero, de forma que , ento a equao se torna:.

Isto , a fora externa resultante atuando sobre o sistema igual a massa total vezes a acelerao do centro de massa . Assim, o centro de massa de um sistema se move como uma partcula de massa , sob a influncia da fora externa resultante que atua sobre o sistema.

CENTRO DE GRAVIDADE1. IntroduoCentro de gravidade o ponto na qual a fora do corpo formado por partculas que so atradas para o centro da Terra. O centro de gravidade pode ser apresentado por meio de torques em relao a um eixo ou a um ponto.2. Determinar o centro de gravidadeConsideramos o corpo como composto de muitos pequenos elementos de massa. A fora da gravidade atua sobre o i-simo pequeno elemento de massa , e a fora total da gravidade sobre o objeto . Se o vetor posio da i-sima partcula em relao a , ento , onde o torque de em relao a . O torque gravitacional resultante em relao a , ento, . Convenientemente, o torque resultante da gravidade em relao a um ponto pode ser calculado como se toda fora da gravidade estivesse aplicada em um nico ponto, o centro de gravidade. Isto :

Onde o vetor posio do centro de gravidade em relao a .Se o campo gravitacional uniforme na regio do corpo (como , quase sempre, o caso para corpos de tamanho no-astronmico), podemos escrever , onde a massa do corpo. O torque resultante a soma dos torques individuais. Isto :

Fatorando no termo da direita fica:

E substituindo pela definio do centro de massa (, obtemos:

As equaes so vlidas para qualquer escolha do ponto apenas se . Isto , o centro de gravidade e o centro de massa coincidem se o corpo est em um campo gravitacional uniforme.Se est diretamente acima do centro de gravidade, ento e tem a mesma orientao (para baixa), de forma que . Por exemplo, quando um mbile est suspenso com o seu centro de gravidade diretamente abaixo de seu posto de suspenso, o torque resultante sobre o mbile, em relao ao ponto de suspenso zero, e ele est em equilbrio esttico. 3. Equilbrio estticoGrande maioria das foras so perpendiculares ao eixo . Portanto, nesses problemas o melhor calcular os torques em relao a um eixo paralelo ao eixo (em vez de em relao a algum ponto). O eixo tipicamente perpendicular a pgina, e o sentido para fora da pgina normalmente escolhido como o sentido . Calcular os torques em relao ao eixo e escolher o sentido para fora da pgina equivale a escolher o sentido anti-horrio como positivo e o sentido horrio como negativo. (Se escolhido como o sentido que aponta para a pgina, ento o sentido horrio positivo e o sentido anti-horrio negativo.)

CONCLUSO

Nessa pesquisa adquirimos os determinados conhecimentos.Por meio desta pesquisa conhecemos como calculamos o centro de massa e centro de gravidade, com suas determinadas contas citadas acima, por meio de rduas pesquisas em alguns livros com excelentes autores.Demonstramos para os leitores dessa pesquisa como se calcula o centro de massa, atravs de demonstraes matemticas e como chegamos at sua determinada definio, quais variveis tomamos e como trabalhamos com essas variveis.Assim como, o centro de gravidade, deu-se a introduo de o que centro de gravidade e de como calculamos por meio de definies e tambm como chegamos a essas definies.

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS:

TIPLER, Paul A., MOSCA, Gene, Fsica para Cientistas e Engenheiros, 6 edio, LTC, 2009.

VALADARES, Eduardo de Campos, Fsica Mais que Divertida, UFMG, 2002.

MXIMO, Antnio, ALVARENGA, Beatriz, Curso de Fsica Scipione, So Paulo, SP, 2000, v.1.