Andr Koch Torres Assis Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca

Arquim

edes, o Centro de G

ravidade e a Lei da Alavanca

A

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Apeiron

Sobre o Autor Andr Koch Torres Assis nasceu no Brasil em 1962. Formou-se no Instituto de Fsica da Universidade Estadual de Campinas UNICAMP, obtendo o bacharelado em 1983 e o doutorado em 1987. Passou o ano de 1988 na Inglaterra realizando um ps-doutorado no Culham Laboratory (United Kingdom Atomic Energy Authority). Passou um ano entre 1991-92 como Visiting Scholar no Center for Electromagnetics Research da Northeastern University (Boston, EUA). De Agosto de 2001 a Novembro de 2002 trabalhou no Institut fr Geschichte der Naturwissenschaften da Universidade de Hamburg, Alemanha, com uma bolsa de pesquisa concedida pela Fundao Alexander von Humboldt da Alemanha. autor de diversos livros em portugus e ingls,

dentro os quais se destacam Eletrodinmica de Weber (1995), Clculo de Indutncia e de Fora em Circuitos Eltricos (juntamente com M. Bueno, 1998), Mecnica Relacional (1998), Uma Nova Fsica (1999) e The Electric Force of a Current (juntamente com J. A. Hernandes, 2007). Traduziu para o portugus o livro ptica, de Isaac Newton (1996), assim como O Universo Vermelho, de Halton Arp (juntamente com D. Soares, 2001). professor do Instituto de Fsica da UNICAMP desde 1989 trabalhando com os fundamentos do eletromagnetismo, da gravitao e da cosmologia.

Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca um livro que lida com os aspectos fundamentais da fsica. Descreve os principais eventos na vida de Arquimedes e o contedo de suas obras. Discute um grande nmero de experincias relacionadas com o equilbrio de corpos suspensos que esto sob a ao gravitacional terrestre. Todas as experincias so descritas com clareza e realizadas com materiais simples, baratos e facilmente acessveis. Estas experincias levam a uma definio conceitual precisa do centro de gravidade e ilustram procedimentos prticos para encontr-lo com preciso. So analisadas as condies de equilbrio estvel, neutro e instvel. So descritos e explicados muitos brinquedos de equilbrio. Aspectos histricos relacionados a este conceito so apresentados, juntamente com os valores tericos do centro de gravidade de diversos corpos obtidos por Arquimedes. O livro tambm explica como construir e calibrar

balanas e alavancas precisas e sensveis. So realizadas diversas experincias com estes instrumentos at se chegar a uma definio matemtica do centro de gravidade e lei da alavanca, tambm chamada de primeira lei da mecnica. So descritas diversas conseqncias desta lei, assim como diferentes demonstraes de como se chegar nela. feita uma anlise detalhada das obras de Euclides e de Arquimedes, assim como uma traduo de duas obras destes autores. Uma ampla bibliografia includa no final da obra.

ISBN 978-0-9732911-7-9

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Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei

da Alavanca

Andr Koch Torres Assis

Apeiron Montreal

Publicado por C. Roy Keys Inc. 4405, rue St-Dominique Montreal, Quebec H2W 2B2 Canada http://redshift.vif.com

Andr Koch Torres Assis 2008 Primeira Edio, 2008

Library and Archives Canada Cataloguing in Publication Assis, Andr Koch Torres, 1962- Arquimedes, o centro de gravidade e a lei da alavanca / Andre K.T. Assis. Translation of: Archimedes, the center of gravity and the first law of mechanics. Includes bibliographical references. ISBN 978-0-9732911-7-9 1. Center of mass--Experiments. 2. Center of mass--Textbooks. 3. Mechanics--Experiments. 4. Mechanics--Textbooks. I. Title. QA839.A87167 2008 531'.14 C2008-904613-7 Capa da frente: Gravura de 1740 com Arquimedes planejando a defesa de Siracusa. Texto em grego que aparece em sua touca: Arquimedes o gemetra. Capa de trs: Fotografias de algumas experincias descritas neste livro. Um tringulo de papel carto em um plano horizontal apoiado por uma vareta verti-cal colocada sob seu baricentro. Um retngulo e um fio de prumo suspensos por uma agulha. Um equilibrista de cabea para baixo apoiado em sua cabea, com massa de modelar nas mos. Uma alavanca em equilbrio com pesos diferentes em cada brao.

Este livro dedicado a todos que tm trabalhado pela preservao, traduo, interpretao e di-vulgao da obra de Arquimedes ao longo dos sculos.

Sumrio

Agradecimentos 7

I Introduo 9

1 Vida de Arquimedes 13

2 Obras de Arquimedes 232.1 Obras Conhecidas de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 O Mtodo de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

II O Centro de Gravidade 37

3 Geometria 393.1 Obtendo os Centros de Crculos, Retngulos e Paralelogramos . . 393.2 Os Quatro Pontos Notveis de um Tringulo . . . . . . . . . . . 40

4 Experincias de Equilbrio e Definio do Centro de Gravidade 454.1 Primeiro Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro

de Gravidade: Experincias com Figuras Planas . . . . . . . . . . 454.2 Experincias com Figuras Cncavas ou com Buracos . . . . . . . 564.3 Experincias com Corpos Volumtricos . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Fio de Prumo, Vertical e Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . 644.5 Segundo Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro

de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6 Terceiro Procedimento Experimental para se Encontrar o Centro

de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.7 Condies de Equilbrio de Corpos Apoiados . . . . . . . . . . . 76

4.7.1 Equilbrio Estvel, Instvel e Indiferente . . . . . . . . . . 804.7.2 Estabilidade de um Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.8 Condies de Equilbrio de Corpos Suspensos . . . . . . . . . . . 854.8.1 Equilbrio Estvel e Indiferente . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.9 Caso em que o Centro de Gravidade Coincide com o Ponto deSuspenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3

4.10 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5 Explorando as Propriedades do Centro de Gravidade 995.1 Atividades Ldicas com o Equilibrista . . . . . . . . . . . . . . . 995.2 Brinquedos de Equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3 Equilbrio de Botequim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.4 Equilbrio do Corpo Humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.5 O ET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6 Alguns Aspectos Histricos sobre o Conceito do Centro de Gra-vidade 1216.1 Comentrios de Arquimedes, Heron, Papus, Eutcius e Simplcio

sobre o Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.2 Resultados Tericos sobre o Centro de Gravidade Obtidos por

Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

III Balanas, Alavancas e a Primeira Lei da Mecnica133

7 Balanas e a Medida do Peso 1377.1 Construo de uma Balana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2 Medida do Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.3 Melhorando a Sensibilidade de uma Balana . . . . . . . . . . . . 1487.4 Alguns Situaes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.4.1 Condio de Equilbrio de um Corpo Suspenso . . . . . . 1567.4.2 Balanas com o Centro de Gravidade Acima do Fulcro . . 1597.4.3 Outros Tipos de Balana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.5 Usando o Peso como Padro de Fora . . . . . . . . . . . . . . . 160

8 A Lei da Alavanca 1658.1 Construo e Calibrao de Alavancas . . . . . . . . . . . . . . . 1658.2 Experincias com Alavancas e a Primeira Lei da Mecnica . . . . 1678.3 Tipos de Alavanca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.4 Definio Matemtica do Centro de Gravidade . . . . . . . . . . 178

9 Explicaes e Dedues da Lei da Alavanca 1839.1 Lei da Alavanca como um Resultado Experimental . . . . . . . . 1839.2 Lei da Alavanca Derivada a partir do Conceito de Torque . . . . 1859.3 Lei da Alavanca Derivada a partir do Resultado Experimental de

que um Peso 2P Atuando Distncia d do Fulcro Equivalentea um Peso P Atuando Distncia d x do Fulcro, Juntamentecom um Peso P Atuando Distncia d+ x do Fulcro . . . . . . 188

9.4 Lei da Alavanca como Derivada por Duhem a partir de uma Mo-dificao de um Trabalho Atribudo a Euclides . . . . . . . . . . 191

9.5 Demonstrao da Lei da Alavanca a partir de um ProcedimentoExperimental Atribudo a Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

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9.6 Demonstrao Terica da Lei da Alavanca Atribuda a Euclides . 1989.7 A Demonstrao da Lei da Alavanca Apresentada por Arquime-

des e o Clculo do Centro de Gravidade de um Tringulo . . . . 2009.7.1 A Demonstrao da Lei da Alavanca por Arquimedes . . 2009.7.2 Clculo do CG de um Tringulo por Arquimedes . . . . . 205

Apndices 208

A Traduo Comentada do Livro sobre a Balana, Atribudo a Eu-clides 209A.1 Comentrios Gerais sobre esta Obra Atribuda a Euclides . . . . 209A.2 Traduo do Livro sobre a Balana, Atribudo a Euclides . . . . 209

B Traduo Comentada da Primeira Parte do Trabalho de Arqui-medes Intitulado Sobre o Equilbrio das Figuras Planas ou Sobre osCentros de Gravidade das Figuras Planas 215B.1 Comentrios Gerais sobre esta Obra de Arquimedes . . . . . . . 215B.2 Traduo da Obra de Arquimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Referncias Bibliogrficas 241

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Agradecimentos

A motivao para escrevermos este livro surgiu de cursos para aperfeioamentode professores de ensino fundamental e mdio que ministramos nos ltimos anos,dentro do projeto Teia do Saber da Secretaria de Educao do Governo do Es-tado de So Paulo. Foi um privilgio muito grande termos sido convidados aatuar neste programa. O apoio que recebemos por parte da Secretaria de Edu-cao e do Grupo Gestor de Projetos Educacionais da Unicamp, assim como ocontato com os alunos que participaram de nossas aulas, foram extremamenteenriquecedores para ns. Tambm foram muito proveitosas as trocas de experi-ncias com os colegas da Unicamp que participaram deste projeto.

A inspirao para a maior parte das experincias relacionadas com o equil-brio e o centro de gravidade dos corpos veio dos excelentes trabalhos de NorbertoFerreira e Alberto Gaspar, [Fer], [Fer06] e [Gas03]. Foram extremamente valio-sas as trocas de idias com eles e com seus alunos, dentre os quais Rui Vieira eEmerson Santos.

Agradecemos ainda por sugestes e referncias a Norberto Ferreira, AlbertoGaspar, Rui Vieira, Emerson Santos, Dicesar Lass Fernandez, Silvio Seno Chi-beni, Csar Jos Calderon Filho, Pedro Leopoldo e Silva Lopes, Fbio Miguel deMatos Ravanelli, Juliano Camillo, Lucas Angioni, Hugo Bonette de Carvalho,Ceno P. Magnaghi, Caio Ferrari de Oliveira, J. Len Berggren, Henry Mendell eSteve Hutcheon, assim como aos meus alunos do Instituto de Fsica com quemtrabalhei este tema. Minha filha e Eduardo Meirelles ajudaram com as figurasda verso em ingls, [Ass08]. Todas as figuras desta verso em portugus foramfeitas por Daniel Robson Pinto, atravs de uma Bolsa Trabalho concedida peloServio de Apoio ao Estudante da Unicamp, ao qual agradecemos.

Agradeo ainda ao Instituto de Fsica e ao Fundo de Apoio ao Ensino, Pesquisa e Extenso da Unicamp, que forneceram as condies necessriaspara a realizao deste trabalho.

Andr Koch Torres AssisInstituto de Fsica

Universidade Estadual de Campinas UNICAMP13083-970 Campinas, SP, BrasilE-mail: assis@ifi.unicamp.br

Homepage: http://www.ifi.unicamp.br/assis

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Parte I

Introduo

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Um dos objetivos deste livro o de apresentar os fenmenos bsicos da me-cnica atravs de experincias simples realizadas com materiais de baixo custo.So apresentadas as experincias elementares sobre queda de corpos, sobre equi-lbrio esttico e sobre oscilaes ao redor das posies de equilbrio. Alm disso,chama-se ateno de como os conceitos tericos vo sendo formados e modifica-dos neste processo, o mesmo ocorrendo com a formulao das leis fundamentaisda mecnica.

Em seguida se ilustram como fenmenos mais complexos podem ser expli-cados e esclarecidos em termos das experincias elementares. So apresentadastambm experincias ldicas e curiosas que estimulam a criatividade, o pensa-mento crtico e o senso de brincadeira na cincia. Elas tambm buscam relaci-onar fenmenos do dia a dia das pessoas com as leis bsicas da fsica.

A nfase colocada em atividades experimentais. A partir delas se formu-lam as definies, os conceitos, postulados, princpios e leis que descrevem osfenmenos. Os materiais utilizados so bem simples, facilmente encontrveisem casa ou no comrcio, sendo todos de baixo custo. Apesar disto, so rea-lizadas experincias bem precisas e construdos equipamentos cientficos muitosensveis. Com isto o leitor no vai depender de qualquer laboratrio escolar oude pesquisa, j que ele prprio construir seus instrumentos e realizar as me-didas. Para que este objetivo seja alcanado, apresentam-se vrias montagensdiferentes para cada aparelho e mais de uma maneira para serem realizadas asmedidas.

Caso as experincias apresentadas aqui sejam feitas em sala de aula ou emcursos de aperfeioamento de professores, o ideal que sejam realizadas indi-vidualmente por cada aluno, mesmo que as atividades sejam em grupo. Isto, na medida do possvel cada aluno deve construir seus prprios equipamentos(suporte, fio de prumo, alavancas etc.), recortar suas figuras e depois levar omaterial para casa. Este procedimento bem mais enriquecedor do que a sim-ples demonstrao das experincias pelo professor, quando ento o aluno apenasassiste aos fenmenos sem colocar a mo na massa.

Alm da parte experimental, o livro rico em informaes histricas que for-necem o contexto do surgimento de algumas leis e tambm os diferentes enfoquesou pontos de vista relacionados a estas leis. Toma-se um cuidado especial sobrea formao dos conceitos e princpios fsicos, assim como sobre a apresentao eformulao destes conceitos e princpios. Mostra-se, por exemplo, como difcilexpressar em palavras uma definio precisa do centro de gravidade englobandoo conjunto das experincias realizadas. Nesta obra toma-se um cuidado especialcom as palavras que vo sendo utilizadas ao longo do texto, distinguindo-se cla-ramente o que so definies, postulados e resultados experimentais, a diferenaentre a explicao e a descrio de um fenmeno etc. Estes cuidados ilustramos aspectos humanos e sociolgicos embutidos nas formulaes das leis da fsica.

O livro voltado para professores e alunos dos cursos de fsica, de matemticae de cincias. escrito de tal forma a poder ser utilizado no ensino mdio e noensino universitrio, dependendo do grau de aprofundamento com que se v cadafenmeno ou lei da natureza. Ele tem material experimental e terico que podeser desenvolvido em todos os nveis de ensino. Cada professor deve escolher

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o material contido aqui para adapt-lo sua realidade escolar. Vrias dasatividades podem ser utilizadas em cursos de formao ou de aperfeioamentode professores. Devido ao aprofundamento que o livro apresenta de diversosconceitos e princpios fsicos, pode tambm ser utilizado com proveito em cursosde histria e filosofia da cincia.

A melhor maneira de ler o livro realizando em paralelo a maior partedas experincias aqui descritas. No se deve simplesmente ler o relato destasmontagens e atividades, mas sim tentar reproduz-las e aperfeio-las. Apesarda fsica conter aspectos filosficos, tericos e matemticos, ela essencialmenteuma cincia experimental. a juno de todos estes aspectos que a tornato fascinante. Esperamos que o leitor tenha o mesmo prazer ao realizar asexperincias aqui descritas que ns prprios tivemos ao implement-las.

Caso voc, leitor, goste deste material, ficaria contente se recomendasse olivro a seus colegas e alunos. Gostaria de saber como foi a realizao destasatividades, a reao dos alunos etc.

Uma verso em ingls deste livro foi publicada em 2008 com o ttulo: Archi-medes, the Center of Gravity, and the First Law of Mechanics, [Ass08].

Quando necessrio usamos no texto o sinal como smbolo de definio.Utilizamos o sistema internacional de unidades SI.

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Captulo 1

Vida de Arquimedes

As principais informaes que vo aqui foram tiradas essencialmente de Plu-tarco, [Plu], Heath, [Arc02] e [Hea21], Dijksterhuis, [Dij87], assim como de Netze Noel, [NN07]. Todas as tradues so de nossa autoria.

Arquimedes viveu de 287 a 212 a.C., tendo nascido e vivido a maior partede sua vida na cidade de Siracusa, na costa da Siclia, atual Itlia, que naquelapoca era parte do mundo Grego. Era filho do astrnomo Fdias, que obteveuma estimativa para a razo dos dimetros do Sol e da Lua. A palavra Arqui-medes composta de duas partes: arch, que significa princpio, domnio oucausa original; e mdos, que significa mente, pensamento ou intelecto. Se inter-pretarmos seu nome da esquerda para a direita ele poderia significar algo comoa mente principal. Mas na Grcia antiga era mais comum interpretarmos onome da direita para a esquerda. Neste caso seu nome significaria a mente doprincpio, assim como o nome Diomedes significaria a mente de Deus, [NN07,pgs. 59-60].

Arquimedes passou algum tempo no Egito. provvel que tenha estudado nacidade de Alexandria, que era ento o centro da cincia grega, com os sucessoresdo matemtico Euclides, que viveu ao redor de 300 a.C.. Euclides publicou ofamoso livro de geometria Os Elementos, entre outras obras, [Euc56]. Vriosdos trabalhos de Arquimedes eram enviados a matemticos que viviam ou queestiveram em Alexandria. O famoso museu de Alexandria, que inclua umaenorme biblioteca, uma das maiores da Antiguidade, havia sido fundado aoredor de 300 a.C. Algumas estimativas afirmam que em seu auge esta bibliotecachegou a ter mais de 500 mil rolos de papiro (com umas 20.000 palavras, namdia, em cada rolo). A cidade de Alexandria ficou sobre o domnio romanode 30 a.C. at 400 d.C. Quando Csar ficou sitiado no palcio de Alexandriahouve um incndio que atingiu um depsito de livros. Em 391 da nossa erahouve um grande incndio nesta biblioteca e no se houve falar mais do museue da biblioteca a partir do sculo V. O Imprio Romano foi fragmentado emduas partes, ocidental e oriental, em 395. Muitas obras de Arquimedes devemter sido irremediavelmente perdidas neste perodo.

Arquimedes considerado um dos maiores cientistas de todos os tempos e o

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maior matemtico da antiguidade. comparvel nos tempos modernos apenas aIsaac Newton (1642-1727) no apenas por desenvolver trabalhos experimentaise tericos de grande alcance, mas pelo brilhantismo e influncia de sua obra.Utilizando o mtodo da exausto, que um mtodo de se fazer integraes,Arquimedes conseguiu determinar a rea, o volume e o centro de gravidade,CG, de muitos corpos importantes, resultados que nunca haviam sido obtidosantes dele. considerado um dos fundadores da esttica e da hidrosttica.

A capacidade de concentrao de Arquimedes bem descrita nesta passagemde Plutarco (c. 46-122), [Plu]:

Muitas vezes os servos de Arquimedes o levavam contra sua vontadepara os banhos, para lav-lo e unt-lo. Contudo, estando l, eleficava sempre desenhando figuras geomtricas, mesmo nas cinzas dachamin. E enquanto estavam untando-o com leos e perfumes, eledesenhava figuras sobre seu corpo nu, de tanto que se afastava daspreocupaes consigo prprio, e entrava em xtase ou em transe,com o prazer que sentia no estudo da geometria.

Esta preocupao de Arquimedes com assuntos cientficos em todos os mo-mentos de sua vida tambm aparece em uma histria muito famosa contada porVitrvio (c. 90-20 a.C.) em seu livro sobre arquitetura. Ela est relacionada aoprincpio fundamental da hidrosttica, que lida com a fora de empuxo exercidapor um fluido sobre um corpo imerso total ou parcialmente no fluido. Ela ilustraa maneira como Arquimedes chegou a este princpio ou ao menos como teve aintuio inicial que desencadeou a descoberta. Citamos de [Mac60, pg. 107] e[Ass96]:

Embora Arquimedes tenha descoberto muitas coisas curiosas quedemonstram grande inteligncia, aquela que vou mencionar a maisextraordinria. Quando obteve o poder real em Siracusa, Hieromandou, devido a uma afortunada mudana em sua situao, queuma coroa votiva de ouro fosse colocada em um certo templo para osdeuses imortais, que fosse feita de grande valor, e designou para estefim um peso apropriado do metal para o fabricante. Este, em tempodevido, apresentou o trabalho ao rei, lindamente forjado; e o pesoparecia corresponder com aquele do ouro que havia sido designadopara isto. Mas ao circular um rumor de que parte do ouro havia sidoretirada, e que a quantidade que faltava havia sido completada comprata, Hiero ficou indignado com a fraude e, sem saber o mtodopelo qual o roubo poderia ser detectado, solicitou que Arquimedesdesse sua ateno ao problema. Encarregado deste assunto, ele foipor acaso a um banho, e ao entrar na banheira percebeu que namesma proporo em que seu corpo afundava, saa gua do reci-piente. De onde, compreendendo o mtodo a ser adotado para asoluo da proposio, ele o perseguiu persistentemente no mesmoinstante, saiu alegre do banho e, retornando nu para casa, gritou

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em voz alta que havia encontrado o que estava procurando, poiscontinuou exclamando, eureca, eureca (encontrei, encontrei)!

Os trabalhos de Arquimedes que sobreviveram eram endereados ao astr-nomo Conon de Samos (na poca vivendo em Alexandria), ao discpulo de Conondepois de sua morte, Dositeu de Pelsia, ao rei Gelon, filho do rei Hiero deSiracusa, assim como a Eratstenes, bibliotecrio do museu de Alexandria efamoso por sua estimativa precisa do raio da Terra.

Arquimedes tinha o costume de mandar seus trabalhos juntamente com al-guns textos introdutrios. Atravs destes textos conseguimos descobrir a ordemde algumas de suas descobertas, assim como um pouco de sua personalidade. Porexemplo, na introduo de seu famoso trabalho O Mtodo, ele afirma, [Arc02,Suplemento, pgs. 12-13]:

Arquimedes para Eratstenes, saudaes.

Enviei a voc em uma ocasio anterior alguns dos teoremas quedescobri, apresentando simplesmente os enunciados e convidando-oa descobrir as demonstraes, as quais no forneci naquela poca.(...) Escrevi as demonstraes destes teoremas neste livro e agora oenvio a voc. (...)

Este hbito que tinha de enviar inicialmente apenas os enunciados de algunsteoremas, mas sem as demonstraes, pode ter levado alguns matemticos aroubar os resultados de Arquimedes, afirmando que eram seus. Talvez por issoArquimedes tenha enviado dois resultados falsos em uma ocasio, como afirmano prefcio de seu trabalho Sobre as Espirais, [Arc02, pg. 151]:

Arquimedes para Dositeu, saudaes.

As demonstraes da maior parte dos teoremas que enviei a Conon,e dos quais voc me pede de tempos em tempos para lhe enviar asdemonstraes, j esto com voc nos livros que lhe enviei por He-racleides; e [as demonstraes] de alguns outros esto contidas nolivro que lhe envio agora. No fique surpreso por eu levar um tempoconsidervel antes de publicar estas demonstraes. Isto aconteceudevido ao meu desejo de comunic-las primeiro a pessoas engajadasem estudos matemticos e ansiosas de investig-las. De fato, quan-tos teoremas em geometria que inicialmente pareciam impraticveis,no tempo devido foram solucionados! Mas Conon morreu antes quetivesse tempo suficiente para investigar os teoremas acima; caso con-trrio teria descoberto e demonstrado todas estas coisas, e alm dissoteria enriquecido a geometria com muitas outras descobertas. Poissei bem que ele possua uma habilidade incomum em matemtica, eque sua capacidade de trabalho era extraordinria. Mas, embora te-nham passado muitos anos desde a morte de Conon, no vi qualquerum dos problemas ter sido resolvido por uma nica pessoa. Desejoagora resolv-los um por um, particularmente por haver dois dentre

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eles que so de realizao impossvel [errados], [o que pode servircomo um aviso] para aqueles que afirmam descobrir tudo, mas noproduzem demonstraes de suas afirmaes, pois podem ser refu-tados como tendo de fato tentado descobrir o impossvel.

Muitas vezes Arquimedes passava anos at conseguir demonstrar algum te-orema difcil. Ao expressar as dificuldades que encontrou podemos ver outracaracterstica sua, a grande perseverana at conseguir alcanar seu objetivo.Por exemplo, na introduo de Sobre Conides e Esferides, afirma, [Arc02,pg. 99]:

Arquimedes para Dositeu, saudaes.

Neste livro apresentei e enviei para voc as demonstraes dos teore-mas restantes no includas no que havia lhe enviado anteriormente,e tambm [as demonstraes] de alguns outros [teoremas] descober-tas mais tarde as quais, embora eu tivesse muitas vezes tentadoinvestig-los anteriormente, havia falhado em resolv-los pois tivedificuldade em encontrar suas solues. E este o motivo pelo qualas prprias proposies no foram publicadas com o restante. Masdepois disto, quando os estudei com um cuidado maior, descobri assolues onde antes havia falhado.

Embora estes trabalhos que chegaram at ns sejam de matemtica e defsica terica, a fama de Arquimedes na antiguidade deve-se aos seus trabalhoscomo engenheiro e como construtor de mquinas de guerra (catapulta, guin-daste, espelhos ardentes etc.). Entre as invenes atribudas a ele encontra-seum sistema de bombeamento de gua conhecido como cclea, ou parafuso deArquimedes, usado at os dias de hoje. A palavra cclea tem origem grega,significando caracol. Acredita-se que ele inventou este sistema de bombeamentodurante sua estadia no Egito. Eram tubos em hlice presos a um eixo inclinado,acoplado a uma manivela para faz-lo girar. Era usado na irrigao dos campose como bomba de gua.

Tambm construiu um planetrio que ficou famoso j que com um nico me-canismo hidrulico movimentava simultaneamente vrios globos reproduzindo osmovimentos de rotao das estrelas, do Sol, da Lua e dos planetas ao redor daTerra. Tambm construiu um rgo hidrulico no qual o ar dentro dos tubosera comprimido sobre a gua em uma cmara de ar. Atribui-se a ele a inven-o da polia composta, do elevador hidrulico e de alguns outros instrumentosmecnicos como a balana romana, com braos de comprimentos diferentes.

Diversos autores mencionam uma frase famosa de Arquimedes em conexocom suas invenes mecnicas e sua capacidade de mover grandes pesos reali-zando pouca fora: D-me um ponto de apoio e moverei a Terra, [Dij87, pg.15]. Esta frase foi dita quando ele conseguiu realizar uma tarefa solicitada pelorei Hiero de lanar ao mar um navio de muitas toneladas, movendo-o apenascom a fora das mos ao utilizar uma engrenagem composta de um sistema depolias e alavancas. Vamos ver o que Plutarco nos diz a respeito, [Plu]:

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Arquimedes escreveu ao rei Hiero, de quem era amigo prximo,informando que dada uma fora, qualquer peso podia ser movido.E at mesmo se gabou, somos informados, de que se houvesse umaoutra Terra, indo para ela ele poderia mover a nossa Terra. Hieroficou admirado e lhe solicitou que demonstrasse isto com uma ex-perincia real, mostrando um grande peso sendo movido por umapequena mquina. De acordo com este desejo Arquimedes tomouum dos navios de carga da frota do rei, o qual no podia ser retiradodas docas exceto com grande esforo e empregando muitos homens.Alm disso, carregou o navio com muitos passageiros e com cargatotal. Sentando-se distante do navio, sem fazer esforo, mas apenassegurando uma polia em suas mos e movendo as cordas lentamente,moveu o navio em linha reta, de maneira to suave e uniforme comose o navio estivesse no mar.

Hiero ficou to admirado com este feito que afirmou: A partir deste diadeve-se acreditar em tudo que Arquimedes disser, [Arc02, pg. xix].

Plutarco continua, [Plu]:

O rei, admirado com o feito e convencido do poder desta arte, soli-citou que Arquimedes lhe construsse armas apropriadas para todosos fins de um cerco, ofensivas e defensivas. O rei nunca usou estasarmas, pois passou quase toda sua vida em paz e em grande abun-dncia. Mas toda a aparelhagem estava pronta para uso na pocamais apropriada, e juntamente com ela o prprio engenheiro.

Durante a Segunda Guerra Pnica entre Roma e Cartago, a cidade de Si-racusa associou-se a Cartago. Siracusa foi atacada pelos romanos em 214 a.C.,comandados pelo general Marcelo. Muitas informaes sobre Arquimedes so-breviveram na famosa biografia sobre Marcelo escrita por Plutarco. Marceloatacou Siracusa por terra e pelo mar, fortemente armado. De acordo com Plu-tarco, [Plu]:

[Todos os armamentos de Marcelo] eram bagatelas para Arquimedese suas mquinas. Ele havia projetado e construdo estas mquinasno como assunto de qualquer importncia, mas como meras diver-ses em geometria. Havia seguido o desejo e o pedido do rei Hiero,feito pouco tempo antes, tal que pudesse colocar em prtica parte desuas especulaes admirveis em cincia, e para que, acomodando averdade terica para a percepo e o uso comum, pudesse traz-lapara a apreciao das pessoas em geral.

Em outro trecho ele afirma, [Plu]:

Portanto, quando os romanos assaltaram os muros de Siracusa emdois lugares simultaneamente, os habitantes ficaram paralisados demedo e de pavor, acreditando que nada era capaz de resistir a esta

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violncia e a estas foras. Mas quando Arquimedes comeou a ma-nejar suas mquinas, ele lanou contra as foras terrestres todos ostipos de msseis e rochas imensas que caam com grande estrondo eviolncia, contra as quais nenhum homem conseguia resistir em p,pois elas derrubavam aqueles sobre quem caam em grande quanti-dade, quebrando suas fileiras e batalhes. Ao mesmo tempo, mastrosimensos colocados para fora das muralhas sobre os navios afunda-vam alguns deles pelos grandes pesos que deixavam cair sobre eles.Outros navios eram levantados no ar pelos mastros com uma mode ferro ou com um bico de um guindaste e, quando os tinha levan-tado pela proa, colocando-a sobre a popa, os mastros os lanavamao fundo do mar. Ou ainda os navios, movidos por mquinas ecolocados a girar, eram jogados contra rochas salientes sob as mu-ralhas, com grande destruio dos soldados que estavam a bordo.(...) Os soldados romanos ficaram com um pavor to grande que, sevissem uma pequena corda ou pedao de madeira saindo dos muros,comeavam imediatamente a gritar, que l vinha de novo, Arquime-des estava para lanar alguma mquina contra eles, ento viravamas costas e fugiam. Marcelo ento desistiu dos conflitos e assaltos,colocando toda sua esperana em um longo cerco.

Tambm relacionado defesa de Siracusa a famosa histria dos espelhosqueimando os navios romanos. Arquimedes teria usado um grande espelho ouento um sistema de pequenos espelhos para atear fogo nos navios romanosao concentrar os raios solares. Os dois relatos mais conhecidos so devidos aJohannes Tzetzes, sbio bizantino, e John Zonaras, ambas do sculo XII:

Quando Marcelo afastou seus navios do alcance dos msseis e fle-chas, o velho homem [Arquimedes] construiu um tipo de espelhohexagonal, e em um intervalo proporcional ao tamanho do espelhocolocou espelhos pequenos semelhantes com quatro cantos, movidospor articulaes e por um tipo de dobradia, e fez com que o espe-lho fosse o centro dos feixes do Sol seu feixe de meio dia, sejano vero ou no meio do inverno. Depois disso, quando os feixes fo-ram refletidos no espelho, ateou-se um fogo medonho nos navios, e distncia do alcance de uma flecha ele os transformou em cinzas.Desta maneira predominou o velho homem sobre Marcelo com suasarmas, J. Tzetzes, citado em [Ror].

Finalmente, de maneira incrvel, Arquimedes ateou fogo em todaa frota romana. Ao girar uma espcie de espelho para o Sol eleconcentrou os raios do Sol sobre ela. E devido espessura e lisura doespelho ele inflamou o ar a partir deste feixe a ateou um grande fogo,que direcionou totalmente sobre os navios que estavam ancorados nocaminho do fogo, at que consumiu a todos eles, J. Zonaras, citadoem [Ror].

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Marcelo s conseguiu conquistar Siracusa depois de um cerco que duroutrs anos. Arquimedes foi morto por um soldado romano em 212 a.C., durantea captura da cidade pelos romanos. Marcelo havia dado ordens expressas deque a vida de Arquimedes devia ser poupada, em reconhecimento ao gnio doinimigo que tantas baixas e dificuldades lhe causou durante esta guerra. Apesardisto, um soldado acabou matando-o enquanto Arquimedes tentava protegerum diagrama contendo algumas descobertas matemticas. A ltima frase deArquimedes parece ter sido direcionada a este soldado: Fique longe do meudiagrama, [Dij87, pg. 31]. Plutarco relata trs verses diferentes que ouviusobre sua morte, [Plu]:

Mas nada afligiu tanto Marcelo quanto a morte de Arquimedes, queestava ento, como quis o destino, concentrado trabalhando em umproblema por meio de um diagrama e, tendo fixado sua mente e seusolhos no tema de sua especulao, no percebeu a incurso dos roma-nos, nem que a cidade havia sido tomada. Neste estado de estudo econtemplao, um soldado, chegando at ele de maneira inesperada,mandou que o seguisse at Marcelo; o que ele se recusou a fazerat que tivesse terminado seu problema e chegado a uma demons-trao. O soldado ento, enfurecido, tirou sua espada e o matou.Outros escrevem que um soldado romano, correndo at ele com umaespada levantada, disse que ia mat-lo. Arquimedes, olhando paratrs, implorou-lhe seriamente para esperar um pouco, para que eleno deixasse de forma inconclusa e imperfeita o trabalho que estavafazendo. Mas o soldado, no sensibilizado pelo seu pedido, matou-oinstantaneamente. Outros relatam ainda que quando Arquimedesestava levando para Marcelo instrumentos matemticos, relgios deSol, esferas e ngulos ajustados para medir com a vista o tamanhoaparente do Sol, alguns soldados, vendo-o e pensando que transpor-tava ouro em um recipiente, o assassinaram. O certo que sua mortemuito afligiu a Marcelo; e que Marcelo sempre considerou aquele queo matou como um assassino; e que ele procurou pelos parentes [deArquimedes] e os honrou com muitos favores.

Arquimedes expressou em vida o desejo de que em seu tmulo fosse colocadoum cilindro circunscrito a uma esfera dentro dele, Figura 1.1, juntamente comuma inscrio dando a razo entre os volumes destes corpos. Podemos inferirque ele considerava a descoberta desta razo como sendo seu maior feito. Elaaparece nas Proposies 33 e 34 da primeira parte do seu trabalho Sobre aEsfera e o Cilindro, dois resultados extremamente importantes obtidos pelaprimeira vez por Arquimedes: Proposio 33: A superfcie de qualquer esfera quatro vezes seu crculo mximo, [Arc02, pg. 39]. Isto , em linguagemmoderna, com A sendo a rea da esfera e r seu raio: A = 4(r2). Proposio34: Qualquer esfera igual a quatro vezes o cone que tem sua base igual aocrculo mximo da esfera e sua altura igual ao raio da esfera, [Arc02, pg. 41].Vamos expressar este resultado em linguagem moderna. Seja VE o volume da

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esfera e VC = r2 (r/3) o volume do cone de altura r e rea da base dadapor r2. O resultado de Arquimedes ento dado por VE = 4VC = 4(r3/3).A inscrio desejada por Arquimedes em seu tmulo parece estar relacionada aum corolrio que apresentou ao fim desta proposio: Do que foi demonstradosegue-se que todo cilindro cuja base o crculo mximo de uma esfera e cujaaltura igual ao dimetro da esfera 3/2 da esfera, e sua superfcie juntamentecom suas bases vale 3/2 da superfcie da esfera, [Arc02, pg. 43].

Figura 1.1: Uma esfera e o cilindro circunscrito.

Neste trabalho Sobre a Esfera e o Cilindro Arquimedes encontra inicial-mente a rea de uma esfera de forma independente na Proposio 33. Depoisdisso encontra o volume da esfera na Proposio 34. Em seu outro trabalhoO Mtodo h uma citao a partir da qual se descobre que originalmente eleobteve o volume da esfera e ento, a partir deste resultado, resolveu o problemade encontrar a rea da esfera. A Proposio 2 de O Mtodo afirma o seguinte,[Arc02, Suplemento, pg. 18]:

(1) Qualquer esfera (em relao ao volume) quatro vezes o conecom base igual a um crculo mximo da esfera e com altura igual aoseu raio; e

(2) o cilindro com base igual a um crculo mximo da esfera e alturaigual ao dimetro 1 1

2vezes a esfera.

Aps demonstrar que o volume do cilindro circunscrito a uma esfera iguala 3/2 o volume da esfera, Arquimedes afirma o seguinte, [Arc02, Suplemento,pg. 20]:

A partir deste teorema, com o resultado de que [o volume de] umaesfera quatro vezes to grande quanto [o volume] do cone tendocomo base um crculo mximo da esfera e com uma altura igual aoraio da esfera, concebi a noo de que a superfcie de qualquer esfera quatro vezes to grande quanto um crculo mximo da esfera; pois,julgando a partir do fato de que [a rea de] qualquer crculo igual a

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um tringulo com base igual circunferncia e altura igual ao raio docrculo, compreendi que, da mesma maneira, [o volume de] qualqueresfera igual a um cone com base igual superfcie da esfera e alturaigual ao raio.

Ou seja, a demonstrao destes teoremas como aparece em seu trabalhoSobre a Esfera e o Cilindro no segue a ordem em que foram descobertos.

O general Marcelo ordenou que o tmulo de Arquimedes fosse construdode acordo com seu desejo. Ccero (106-43 a.C.), o orador romano, quandofoi magistrado encarregado da gesto dos bens pblicos (questor) na Siclia,chegou a ver este tmulo em 75 a.C. Desde ento ele nunca mais foi encontrado.Palavras de Ccero, citadas em [Ror]:

Mas da prpria cidade Siracusa de Dionsio vou levantar da poeira onde seu basto traava suas linhas um homem obscuro queviveu muitos anos mais tarde, Arquimedes. Quando fui questor naSiclia consegui descobrir seu tmulo. Os habitantes de Siracusa nosabiam nada sobre ele e chegavam mesmo a afirmar que no existia.Mas l estava ele, completamente cercado e escondido por galhos dearbustos e espinheiros. Me lembrei de ter ouvido algumas linhas deverso que haviam sido inscritos em seu tmulo, referindo-se a umaesfera e um cilindro modelados em pedra no topo da sepultura. Eassim dei uma boa olhada ao redor dos numerosos tmulos que es-tavam ao lado do Porto de Agrigentino. Finalmente percebi umapequena coluna pouco visvel sobre os arbustos. Em cima dela haviauma esfera e um cilindro. Disse imediatamente aos principais habi-tantes de Siracusa que estavam comigo na ocasio, que acreditavaque este era o tmulo que estava procurando. Foram enviados ho-mens com foices para limpar o local e quando foi aberto um caminhoat o monumento fomos at ele. E os versos ainda estavam visveis,embora aproximadamente a segunda metade de cada linha estivessegasta.

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Captulo 2

Obras de Arquimedes

2.1 Obras Conhecidas de Arquimedes

As obras conhecidas atualmente de Arquimedes podem ser encontradas no ori-ginal em grego, assim como em latim, em [Hei15]. Uma traduo para o inglsem notao moderna encontra-se em [Arc02]. Uma outra verso encontra-se em[Dij87]. Uma traduo literal do grego para o francs encontra-se em [Mug70],[Mug71a], [Mug71b] e [Mug72]. Os trabalhos de Arquimedes j traduzidos parao portugus encontram-se em [Ass96], [Ass97] e [Arq04]. No Apndice B aofinal deste livro apresentamos uma nova traduo para o portugus da primeiraparte de seu trabalho Sobre o Equilbrio dos Planos.

At cem anos atrs, os manuscritos mais antigos e importantes ainda exis-tentes contendo a obra de Arquimedes em grego (com exceo de O Mtodo,que no aparecia em nenhum manuscrito) eram principalmente dos sculos XVe XVI, encontrando-se em bibliotecas europias. Eles foram copiados de dois ou-tros manuscritos do sculo IX ou X, em grego. Um destes manuscritos do sculoIX ou X pertenceu ao humanista George Valla, que ensinou em Veneza entre1486 e 1499. Este manuscrito desapareceu entre 1544 e 1564, no se sabendoatualmente se ainda existe. Ele continha as seguintes obras, nesta ordem: Sobrea Esfera e o Cilindro, Medida do Crculo, Sobre Conides e Esferides, Sobreas Espirais, Sobre o Equilbrio dos Planos, O Contador de Areia, Quadraturada Parbola, comentrios de Eutcius em relao s obras Sobre a Esfera e oCilindro, Sobre a Medida do Crculo, e Sobre o Equilbrio dos Planos.

Os ltimos registros do segundo manuscrito do sculo IX ou X foram naBiblioteca do Vaticano nos anos de 1295 e 1311. No se sabe se ele aindaexiste. Ele continha as seguintes obras, nesta ordem: Sobre as Espirais, Sobreo Equilbrio dos Planos, Quadratura da Parbola, Medida do Crculo, Sobre aEsfera e o Cilindro, comentrios de Eutcius em relao obra Sobre a Esfera eo Cilindro, Sobre Conides e Esferides, comentrios de Eutcius em relao obra Sobre o Equilbrio dos Planos, e Sobre os Corpos Flutuantes. Este trabalhode Arquimedes sobre os corpos flutuantes, em duas partes, no estava contido

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no manuscrito anterior.O trabalho Sobre os Corpos Flutuantes s era conhecido at 1906 por uma

traduo para o latim feita por Willen von Mrbeke em 1269 a partir deste se-gundo manuscrito do sculo IX ou X. Ele realizou uma traduo para o latim detodas as obras de Arquimedes a que teve acesso, sendo isto muito importantepara a divulgao de seu trabalho. O manuscrito original contendo a tradu-o de Mrbeke foi encontrado novamente em Roma em 1884, encontrando-seatualmente na Biblioteca do Vaticano.

Arquimedes escrevia no dialeto drico. Nos manuscritos que sobreviveramsua linguagem original foi em alguns livros totalmente, em outros parcialmente,transformada para o dialeto tico comum da Grcia. A partir do sculo IXsurgiram tradues de algumas obras de Arquimedes para o rabe. As primeirastradues para o latim das obras de Arquimedes e de vrios cientistas e filsofosgregos foram feitas a partir dos sculos XII e XIII. A imprensa de caracteresmveis foi inventada no ocidente por Gutenberg em meados do sculo XV. Asobras de Arquimedes comearam a ser impressas no sculo XVI, a mais antigasendo de 1503, contendo a Medida do Crculo e a Quadratura da Parbola. Em1544 foi impressa a obra Editio Princeps, contendo a maior parte das obrasconhecidas de Arquimedes, em grego e latim, com exceo de Sobre os CorposFlutuantes. A inveno da imprensa deu um grande impulso para a divulgaode suas obras. As primeiras tradues de algumas obras de Arquimedes paraum idioma vivo foram publicadas em 1667 e 1670 por J. C. Sturm, traduzidaspara o alemo. Em 1807 surgiu a primeira traduo para o francs do conjuntode suas obras feita por F. Peyrard. Em 1897 e em 1912 foi publicada a primeiratraduo para o ingls por T. L. Heath.

Apresentamos aqui as obras de Arquimedes que chegaram at ns, na ordemem que Heath supe que foram escritas, [Hea21, pgs. 22-23]. Mas existemmuitas controvrsias em relao a este ordenamento. Knorr, por exemplo, colocaO Mtodo como uma das ltimas obras de Arquimedes, [Kno79].

Sobre o Equilbrio dos Planos, ou Sobre o Centro de Gravidade das FigurasPlanas. Livro I.

Arquimedes deriva teoricamente usando o mtodo axiomtico a lei da ala-vanca e os centros de gravidade de paralelogramos, tringulos e trapzios.No Apndice B ao final deste livro apresentamos uma traduo desta obra.

Quadratura da Parbola.Arquimedes encontra a rea de um segmento de parbola formado pelocorte de uma corda qualquer. Proposio 24: Todo segmento limitado poruma parbola e por uma corda Qq igual a quatro teros do tringuloque tem a mesma base que o segmento e a mesma altura, [Arc02, pg.251]. Ele apresenta duas demonstraes para este resultado. Na primeirafaz uma quadratura mecnica, utilizando a lei da alavanca. Na segundafaz uma quadratura geomtrica.

Sobre o Equilbrio dos Planos, ou Sobre o Centro de Gravidade das FigurasPlanas. Livro II.

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Arquimedes obtm o centro de gravidade de um segmento de parbola.

O Mtodo dos Teoremas Mecnicos, endereado a Eratstenes.Usualmente conhecido como O Mtodo. Arquimedes apresenta um mtodomecnico utilizando a lei da alavanca e conceitos da teoria do centro degravidade para obter resultados geomtricos. Apresenta vrios exemplosdeste mtodo heurstico que seguiu, ilustrando como aplic-lo. Com istoobtm a quadratura da parbola, o volume e o CG de qualquer segmentode uma esfera, o CG de um semi-crculo, o CG de um parabolide derevoluo e vrios outros resultados. Na Seo 2.2 discutimos em maisdetalhes este trabalho.

Sobre a Esfera e o Cilindro, Livros I e II.Arquimedes mostra que a superfcie de uma esfera igual a quatro vezesa rea do crculo maior passando pelo centro da esfera, encontra a rea dequalquer segmento da esfera, mostra que o volume de uma esfera vale doisteros do volume do cilindro circunscrito e que a superfcie da esfera valedois teros da superfcie do cilindro circunscrito, incluindo-se as bases,Fig. 1.1. Na segunda parte deste livro o resultado mais importante deArquimedes mostrar como cortar uma esfera por um plano, tal que arazo dos volumes dos dois segmentos da esfera tenha um valor desejado.

Sobre as Espirais.Arquimedes define uma espiral atravs do movimento uniforme de umponto ao longo de uma reta que gira com velocidade angular constante noplano. Estabelece as propriedades fundamentais da espiral relacionandoo comprimento do raio vetor com os ngulos de revoluo que geram asespirais. Apresenta resultados sobre tangentes s espirais. Demonstracomo calcular reas de partes da espiral. A espiral utilizada para obteruma retificao da circunferncia.

Como curiosidade citamos aqui as duas primeiras proposies e a defini-o principal apresentada por Arquimedes neste trabalho. Esta espiral representada hoje em dia em coordenadas polares pela relao = k,onde k uma constante, a distncia at o eixo z (ou at a origemconsiderando o movimento no plano xy) e o ngulo do raio vetor emrelao ao eixo x. Nesta representao moderna no aparece o tempo. Poroutro lado, a importncia histrica da definio original de espiral feitapor Arquimedes a introduo do conceito de tempo na geometria, algocrucial para todo o desenvolvimento posterior da mecnica clssica:

Proposio 1: Se um ponto desloca-se com uma velocidade uni-forme ao longo de qualquer linha, e so considerados dois com-primentos sobre a linha, eles sero proporcionais aos tempospara descrev-los, [Arc02, pg. 155].

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Proposio 2: Se dois pontos sobre linhas diferentes deslocam-se, respectivamente, ao longo de cada uma delas com uma ve-locidade uniforme, e se so considerados comprimentos, um emcada linha, formando pares, tal que cada par seja descrito emtempos iguais, os comprimentos sero proporcionais, [Arc02,pg. 155].

Definio: Se uma linha reta traada em um plano gira comuma velocidade constante ao redor de uma extremidade quepermanece fixa e retorna posio de onde comeou e se, nomesmo tempo em que a linha gira, um ponto desloca-se comuma velocidade constante ao longo da linha reta comeandoda extremidade que permanece fixa, o ponto vai descrever umaespiral no plano, [Arc02, pg. 165].

Sobre Conides e Esferides.Arquimedes estuda os parabolides de revoluo, os hiperbolides de re-voluo (conides) e os elipsides (esferides) obtidos pela rotao de umaelipse em torno de um de seus eixos. O principal objetivo do trabalho investigar o volume de segmentos destas figuras tridimensionais. Demons-tra, por exemplo, nas Proposies 21 e 22, que o volume do parabolide derevoluo vale 3/2 do volume do cone que tem a mesma base e a mesmaaltura. Resultados anlogos, mas mais complexos, so obtidos para ohiperbolide de revoluo e para o elipside.

Sobre os Corpos Flutuantes. Livros I e II.Arquimedes estabelece os princpios fundamentais da hidrosttica com alei do empuxo, dando o peso de um corpo imerso em um fluido. Estudatambm a estabilidade de um segmento esfrico flutuante e de um para-bolide de revoluo imerso em um fluido.

Na primeira parte deste trabalho Arquimedes cria toda a cincia da hi-drosttica, no se conhecendo nenhum autor que tenha trabalhado sobreeste tema antes dele. Seu postulado fundamental diz o seguinte, [Mug71b,pg. 6], ver tambm [Dij87, pg. 373]:

Supomos como princpio que o fluido possui uma natureza talque, estando suas partes dispostas de modo uniforme e sendocontnuas, a parte que menos pressionada impelida de seulugar pela parte que mais pressionada; e que cada uma de suaspartes pressionada pelo fluido que est verticalmente acimadela, a menos que este fluido esteja encerrado em qualquer [re-cipiente] ou que seja comprimido por qualquer outra coisa.

A traduo de Heath deste postulado, publicada originalmente em 1897,diz o seguinte, [Arc02, pg. 253] e [Ass96].

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Postulado 1: Vai-se supor que um fluido tem tal propriedadeque, suas partes estando situadas uniformemente e sendo con-tnuas, aquela parte que menos pressionada impelida pelaparte que mais pressionada; e que cada uma de suas par-tes pressionada pelo fluido que est acima dela numa direoperpendicular se o fluido for afundado em qualquer coisa e com-primido por qualquer outra coisa.

Esta verso de Heath que havamos traduzido para o portugus em 1996,est baseada na traduo para o latim publicada por Mrbeke em 1269,no se conhecendo ento o texto original de Arquimedes em grego. Em1906 Heiberg localizou um outro manuscrito contendo a verso original emgrego deste trabalho. O manuscrito ainda tem algumas partes que estofaltando ou que esto indecifrveis. De qualquer forma, a parte legvelcontm este postulado. Com isto foi possvel clarificar o significado da l-tima passagem. Em vez da expresso do Heath, e que cada uma de suaspartes pressionada pelo fluido que est acima dela numa direo per-pendicular se o fluido for afundado em qualquer coisa e comprimido porqualquer outra coisa, o significado correto aquele de Mugler e Dijks-terhuis, a saber, e que cada uma de suas partes pressionada pelo fluidoque est verticalmente acima dela, a menos que este fluido esteja encer-rado em qualquer [recipiente] ou que seja comprimido por qualquer outracoisa. Ou seja, h uma expresso negativa (enfatizada em itlico) quemostra as condies que limitam a validade do postulado.

A partir deste postulado Arquimedes chega a uma explicao para o for-mato esfrico da Terra, supondo-a composta apenas de gua. Depois de-monstra um teorema fundamental da hidrosttica, chamado hoje em diade princpio de Arquimedes (ou de princpio fundamental da hidrosttica),em suas Proposies 5 a 7. Deve-se observar que para o prprio Arquime-des estes resultados so proposies ou teoremas derivados a partir de seupostulado fundamental que acabamos de apresentar. Ou seja, para ele asProposies 5 a 7 no so princpios fundamentais nem postulados, massim resultados secundrios demonstrados a partir de seu princpio funda-mental. Ao afirmar que um slido mais pesado ou mais leve do que umfluido, ele est se referindo ao peso relativo ou especfico, isto , se o slido mais ou menos denso do que o fluido:

Proposio 5: Qualquer slido mais leve do que um fluido ficar,caso colocado no fluido, submerso de tal forma que o peso doslido ser igual ao peso do fluido deslocado, traduzido em[Ass96].

Proposio 6: Se um slido mais leve do que um fluido forforadamente submerso nele, o slido ser impelido para cimacom uma fora igual diferena entre seu peso e o peso do fluidodeslocado, traduzido em [Ass96].

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Proposio 7: Um slido mais pesado do que um fluido descer,se colocado nele, ao fundo do fluido, e o slido ser, quandopesado no fluido, mais leve do que seu peso real pelo peso dofluido deslocado, traduzido em [Ass96].

Baseado nestas proposies, Arquimedes determina no final do primeirolivro as condies do equilbrio de um segmento esfrico flutuante. Na se-gunda parte deste trabalho Arquimedes apresenta uma investigao com-pleta das posies de repouso e de estabilidade de um segmento de umparabolide de revoluo flutuando em um fluido. Seu interesse aqui pa-rece bem claro, estudar a estabilidade de navios de forma terica, emboraisto no seja mencionado explicitamente. como se fosse um trabalho dematemtica aplicada ou de engenharia terica.

Este um trabalho monumental que por quase dois mil anos foi uma dasnicas obras sobre o assunto, at ser retomado no renascimento, influen-ciando a Stevin (1548-1620) e Galileu (1564-1642).

Medida do Crculo.Este trabalho no chegou em sua forma original at ns sendo, prova-velmente, apenas um fragmento de um trabalho maior. Arquimedes de-monstra que a rea do crculo igual rea do tringulo retngulo tendopor catetos o raio e a circunferncia retificada: Proposio 1: A rea dequalquer crculo igual a um tringulo retngulo no qual um dos ladosao redor do ngulo reto igual ao raio, e o outro [lado igual] circunfe-rncia do crculo, [Arc02, pg. 91]. Em notao moderna este resultadopode ser expresso da seguinte maneira. Se chamamos de AC rea docrculo de raio r tendo circunferncia C = 2r, e se chamamos de AT rea do tringulo descrito por Arquimedes (dada por sua base vezes suaaltura dividido por 2), ento AC = AT = r C/2 = r2.Arquimedes mostra ainda que o valor exato de situa-se entre 3 10

71

3, 1408 e 3 17 3, 1429. Obteve este resultado circunscrevendo e inscre-

vendo um crculo com polgonos regulares de 96 lados. Este resultado expresso por Arquimedes com as seguintes palavras na Proposio 3,[Arc02, pg. 93]: A razo da circunferncia de qualquer crculo paraseu dimetro menor do que 3 1

7mas maior do que 3 10

71. No meio da

demonstrao desta proposio Arquimedes apresenta tambm aproxima-es muito precisas para as razes quadradas de diversos nmeros, sem es-pecificar como chegou a elas. Utiliza, por exemplo, o seguinte resultado emnotao moderna: 265

153 c,a caixa no voltar posio inicial ao ser solta do repouso, mas tombar parao lado oposto. Seja o ngulo entre a base horizontal b e a reta ligando o eixoV1V2 ao CG. Temos ento o resultado dado pela Eq. (4.1), ver a Figura 4.38.

tan =hCG(b/2)

=2hCGb

, (4.1)

c

CG

hCG

Figura 4.38: Condies de estabilidade para um corpo.

No ngulo crtico temos + c = 90o. Logo,

c = 90o = 90o arctan 2hCG

b. (4.2)

84

Se a altura do centro de gravidade hCG for muito baixa, o ngulo crticoser muito alto, perto de 90o, o que indica uma alta estabilidade para o corpo.Caso hCG seja muito maior do que b, o ngulo crtico ser muito baixo, perto de0o. Qualquer perturbao no sistema far com que ele caia sem voltar posioinicial. Desta ltima frmula conclumos que para aumentar a estabilidade dosistema necessrio diminuir a razo hCG/b. H duas possibilidades bsicaspara isto: (A) diminuindo a altura do centro de gravidade (como vimos no casoda caixa de fsforos com os pesos na parte inferior), e (B) aumentando a baseao redor da qual o sistema est girando.

Existe ainda um outro critrio para definir a estabilidade de um sistema queno ser considerado neste livro. Consideremos uma lata de refrigerante vazia eoutra de mesmo tamanho mas totalmente cheia. O centro de gravidade destesdois sistemas possui a mesma altura em relao ao solo. Como elas possuem amesma forma e tamanho, isto indica que o ngulo crtico o mesmo para estasduas latas. Pela definio anterior viria que elas possuem a mesma estabilidade.Por outro lado, necessrio uma energia maior para fazer a lata cheia tombardo que para fazer uma lata vazia tombar, j que esta ltima bem mais leve.Perturbaes externas (como o cho passar a tremer) tombam mais facilmenteuma lata vazia do que uma lata cheia de mesmo formato e tamanho. Nestesentido uma lata completamente cheia mais estvel a perturbaes externasdo que uma lata vazia, [Wal08, pg. 73]. Estes aspectos dinmicos no seroconsiderados aqui.

4.8 Condies de Equilbrio de Corpos Suspensos

Agora vamos ver as principais condies de equilbrio e de movimento de corpossuspensos por cima. Isto , quando o ponto de suspenso PS est acima doCG do corpo. Vamos supor corpos convexos ou que possuam um ou mais furostal que possam ser suspensos por um alfinete atravessando um furo ou poruma linha amarrada em um furo. Novamente vamos supor que estes corpos jtiveram seus centros de gravidade determinados e que os furos no coincidemcom a posio do CG das figuras. Algumas destas experincias, ou parte delas,j foram realizadas anteriormente. Mas elas so apresentadas novamente aquipara que se estabeleam com clareza as condies de equilbrio e de movimentodos corpos suspensos. Vamos trabalhar com um tringulo, mas experinciasanlogas podem ser feitas com qualquer corpo suspenso.

Experincia 4.27

Dependura-se o tringulo com o alfinete do suporte passando por um dosfuros. Ele ento solto do repouso. Observa-se que ele s permanece emequilbrio ao ser solto se o CG estiver verticalmente abaixo do PS. Vamoschamar esta configurao de posio preferencial do corpo suspenso.

Experincia 4.28

85

Afastamos agora o tringulo para um dos lados, tal que o centro de gravi-dade e o alfinete no estejam mais ao longo de uma vertical. Soltamos ento otringulo a partir do repouso. Observa-se que o centro de gravidade vai oscilarao redor da vertical inicial, como mostra a Figura 4.39, diminuindo gradativa-mente sua amplitude de oscilao at parar. Quando o tringulo pra de oscilar,ele volta situao inicial com o alfinete e o centro de gravidade ao longo deuma vertical. Alm disso, no equilbrio o centro de gravidade fica verticalmenteabaixo do ponto de suspenso.

CG

PS

CG

PS

Figura 4.39: Condies de estabilidade para um corpo.

Da Figura 4.39 se percebe que a posio preferencial aquela na qual oCG (que no caso do tringulo coincide com a posio B do baricentro) est naposio mais baixa possvel. Qualquer perturbao desta posio faz com que oCG suba em relao sua colocao na posio preferencial.

Experincia 4.29

Comeamos com uma roda de bicicleta simtrica (isto , com o centro degravidade no centro da roda), em repouso, suspensa por um eixo horizontal.A roda presa ao eixo por uma rolim, tal que no haja uma folga no eixo.Tambm pode-se utilizar um papel carto na forma de um disco e perfurado nocentro. Pelo furo passa-se um arame ou um prego com um dimetro um poucomenor do que o dimetro do furo, tal que a folga entre os dois seja apenassuficiente para que o disco gire ao redor do eixo. O plano do disco deve servertical e a direo do arame ou do prego horizontal. Quando giramos a rodaou o disco lentamente para um lado ao redor do eixo, observa-se que o corpocontinua a girar neste sentido at parar devido ao atrito.

Nestes casos a roda e o disco so suspensos pela parte superior do eixo, queest acima do CG dos corpos (localizado no centro da roda ou do disco). Porm,qualquer movimento de rotao da roda ou do disco ao redor do eixo no alteraa altura do CG.

4.8.1 Equilbrio Estvel e Indiferente

Estas experincias sugerem as seguintes definies:

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Equilbrio estvel: a posio na qual o CG est verticalmente abaixodo PS e, alm disso, quando qualquer perturbao nesta posio faz comque o CG suba. Chama-se de posio preferencial do corpo configuraoem que o CG est verticalmente abaixo do PS.

Observa-se que caso o corpo seja solto do repouso na posio preferencial,ele vai permanecer em equilbrio. Caso ele sofra alguma perturbao,vai oscilar ao redor da posio preferencial, diminuindo sua amplitude deoscilao devido ao atrito, at retornar posio preferencial. Por estemotivo esta situao chamada de equilbrio estvel.

Equilbrio indiferente: Casos em que o centro de gravidade est ver-ticalmente abaixo do ponto de suspenso e, alm disso, quando qualquerperturbao nesta posio no altera a altura do CG em relao Terra.

Nestes casos observa-se que o corpo fica em equilbrio em qualquer posiona qual seja solto. Por este motivo esta situao chamada de equilbrioindiferente. Caso o corpo receba um pequeno impulso e comece a girar aoredor do PS, continuar deslocando-se neste sentido at parar devido aoatrito.

Experincia 4.30

Antes de prosseguir vale pena realizar mais uma experincia. Recorta-seuma figura em papel carto na forma da letra T . O comprimento da ponta deum brao do T ponta do outro brao pode ser de 15 cm. A altura do T podeser de 15 cm ou de 20 cm. A largura dos braos e do corpo do T pode ser de2 cm. So feitos 11 furos ao longo do eixo de simetria do T . Vamos cham-losem seqncia de F1 a F11, com o furo F1 ficando na juno dos braos e o furoF11 na extremidade do corpo do T . Pode-se tambm fazer um furo na ponta decada brao, Figura 4.40.

F1

F11

Figura 4.40: Um papel carto cortado na forma da letra T , com vrios furos.

Inicialmente localiza-se o CG do T . Isto pode ser feito, por exemplo, de-pendurando-o pelos furos nas pontas de cada brao e traando as verticais res-

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pectivas. O CG ser o cruzamento destas verticais, que deve estar ao longo doeixo de simetria do T , mais prximo de F1 do que de F10. Em seguida o Tser solto sempre do repouso dependurado por um furo ao longo do seu eixo desimetria, com os braos na horizontal e com seu corpo abaixo do brao (ou seja,com F1 acima de F11). Quando ele dependurado por furos que esto acimado CG, como F1 ou F2, por exemplo, ele permanece equilibrado na posio emque solto. J quando dependurado por pontos que esto situados abaixo doCG, como F10 ou F11, por exemplo, ao ser solto do repouso ele acaba girandopara um lado ou para outro, oscila algumas vezes, at parar com os braos nahorizontal situados abaixo de F11. Ou seja, o T acaba invertendo sua situaoinicial, ficando em repouso na posio final com F11 verticalmente acima de F1.Esta experincia ilustra mais uma vez que instvel a situao de equilbrio naqual o CG est acima do PS, sendo estvel quando ocorre o inverso. Apesarda explicao desta experincia ser baseada em princpios j vistos, ela beminteressante. Afinal de contas, todos os furos so iguais, permitindo o mesmomovimento de rotao do corpo ao redor do PS. S que apenas em alguns casoso corpo vai girar ao ser solto do repouso, invertendo a altura dos braos emrelao ao corpo do T .

4.9 Caso em que o Centro de Gravidade Coincide

com o Ponto de Suspenso

Talvez seja impossvel realizar na prtica uma experincia em que o corpo estejasuspenso ou apoiado por um ponto que passa exatamente em seu CG, sendolivre para girar ao redor deste ponto. Mesmo quando tentamos nos aproximardesta situao por baixo, o CG sempre vai estar um pouco acima do ponto deapoio PA. Este o caso, por exemplo, do tringulo na horizontal apoiado sobreum palito de churrasco na vertical colocado abaixo do baricentro do tringulo,Experincia 4.3. Aqui o ponto de contato entre o palito e o papelo fica umpouco abaixo do CG do tringulo, que est localizado em um ponto no centro daespessura do papelo. Tambm quando tentamos nos aproximar desta situaopor cima, o CG sempre vai ficar um pouco abaixo do ponto de suspenso PS.Este o caso, por exemplo, do tringulo em um plano vertical apoiado porum alfinete horizontal passando por um furo feito ao redor do baricentro dotringulo. O dimetro do furo tem de ser um pouco maior do que o dimetrodo alfinete, para permitir uma rotao livre ao tringulo. Neste caso o PS sero ponto de contato entre o alfinete e a parte superior do furo, enquanto que oCG estar localizado no centro do furo.

Uma outra dificuldade surge para corpos volumtricos. Por exemplo, setemos um paraleleppedo, s podemos apoi-lo por uma vareta que toca suaface externa inferior, ou ento por um fio preso superfcie externa superior doparaleleppedo. Por outro lado, o CG do paraleleppedo est localizado no centrodo paraleleppedo, no interior do tijolo. Para suspend-lo ou apoi-lo por esteponto temos de fazer um furo no paraleleppedo. Portanto, teramos de alterar

88

sua distribuio de matria. Mas se a espessura deste buraco muito pequenacomparada com os lados do paraleleppedo, podemos desprezar esta modificaona matria do paraleleppedo. Mas mesmo depois de feito este buraco fica difcilimaginar um sistema real que permita com que o paraleleppedo tenha liberdadede giro ao redor de seu CG.

Pelo que foi visto nas experincias anteriores, pode-se imaginar o que aconte-ceria se fosse possvel realizar na prtica a experincia em que um corpo estivessedependurado por um ponto de suspenso que passasse exatamente pelo CG docorpo. J vimos que a tendncia do CG de qualquer corpo rgido ao ser soltodo repouso a de se aproximar da Terra. Caso o corpo seja preso exatamentepelo CG, tendo liberdade para girar ao redor deste ponto, qualquer movimentode rotao que ele fizer no vai alterar a altura do CG em relao Terra.Neste caso o corpo permaneceria em equilbrio em todas as posies em quefosse colocado e solto do repouso, qualquer que fosse sua orientao em relao Terra.

Vamos supor inicialmente que temos um tringulo horizontal suspenso exa-tamente pelo seu centro de gravidade. Vamos chamar de ao ngulo entre osegmento CGV1 (que liga o CG ao vrtice V1) e o segmento CGL que indica adireo Leste-Oeste (segmento CGL indo do CG para o Leste, L). Caso ele sejasolto em um plano horizontal apoiado por um suporte vertical sob o baricentro,ficar parado qualquer que seja este ngulo , Figura 4.41.

N

S

LO

V1

V2

V3

CG

Figura 4.41: O tringulo horizontal apoiado pelo baricentro fica em equilbriopara todo ngulo .

Vamos agora supor que o tringulo est em um plano vertical apoiado exa-tamente pelo baricentro. Seja o ngulo entre o segmento CGV1 e a verticalindicada por um fio de prumo. Neste caso ele permanecer em equilbrio ao sersolto do repouso qualquer que seja o ngulo , Figura 4.42.

Vamos supor que agora a normal ao tringulo esteja inclinada de um ngulo

89

CG

V1

V2

V3

Figura 4.42: O tringulo vertical apoiado pelo baricentro fica em equilbrio paratodo ngulo .

em relao vertical indicada por um fio de prumo. Caso o tringulo seja soltodo repouso nesta posio apoiado exatamente pelo baricentro, ele permanecerem repouso para todo ngulo , Figura 4.43.

CG

V1

V2

Figura 4.43: O tringulo inclinado apoiado pelo baricentro fica em equilbriopara todo ngulo .

Vimos das experincias anteriores que a tendncia do CG a de se aproxi-mar da Terra quando o corpo solto do repouso. Logo, se o corpo for presoexatamente pelo CG, sendo solto do repouso e tendo liberdade para girar emqualquer direo ao redor deste ponto, o corpo no vai se mover. Afinal decontas, em qualquer direo que ele comeasse a girar seu CG permaneceria namesma altura. Isto permite uma nova definio do centro de gravidade.

Definio Definitiva CG8: O centro de gravidade de um corpo rgido umponto tal que, se for concebido que o corpo est suspenso por este ponto, tendoliberdade para girar em todos os sentidos ao redor deste ponto, o corpo assim

90

sustentado permanece em repouso e preserva sua posio original, qualquer queseja sua orientao inicial em relao Terra.

Caso este ponto esteja no vazio, como no caso de figuras cncavas ou comburacos, deve-se imaginar uma estrutura rgida ligando o corpo a este ponto,para que o corpo fique suspenso por este ponto.

Veremos depois que Arquimedes parece ter definido o CG desta maneira.A diferena principal da definio CG8 em relao definio CG4 que

agora dizemos que o corpo vai permanecer parado em equilbrio ao ser solto dorepouso, qualquer que seja a orientao inicial do corpo em relao Terra.Vamos considerar uma arruela, por exemplo. Ela pode permanecer em repousoao ser solta do repouso em um plano vertical, dependurada por algum ponto desua circunferncia interna, como na Figura 4.44a. Neste caso o eixo da arruelafaz um ngulo de = 90o com a linha vertical. Definimos o ngulo comosendo o menor ngulo entre o eixo da arruela e a linha vertical.

Figura 4.44: Uma arruela pode permanecer em repouso quando apoiada porsua circunferncia interna. Contudo, ela no permanece em repouso para todasas orientaes em que solta. Se 6= 90o, seu centro vai oscilar ao redor davertical passando pelo ponto de suspenso aps ser solta do repouso.

De acordo com a definio CG4, este ponto PS da circunferncia interna poronde ela est sendo apoiada poderia ser considerado um centro de gravidade daarruela. Por outro lado, se o plano da arruela for solto do repouso estandoinicialmente inclinado em relao vertical de um certo ngulo 6= 90o, comona Figura 4.44b, ela no permanecer em equilbrio. Aps soltar a arruela, seuplano vai oscilar ao redor da vertical passando pelo PS, como na Figura 4.44c.Sua amplitude de oscilao vai diminuindo devido ao atrito, at a arruela pararna posio final = 90o. Esta a posio preferencial da arruela.

Devido a este fato, no se pode considerar este ponto de suspenso ao longoda circunferncia interna como sendo o CG da arruela se utilizarmos a definioCG8. J vimos com o procedimento prtico CG6 que o CG real da arruela seu centro de simetria localizado no centro da arruela. Quando a arruelaest dependurada por um PS localizado em algum dos pontos ao longo da

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circunferncia interna, o CG s vai estar em seu ponto mais baixo quando estverticalmente abaixo deste PS, quando ento temos = 90o. Esta umaposio de equilbrio estvel. Quando diminumos o ngulo , o CG sobe. Se aarruela for solta do repouso nesta nova posio, a gravidade vai fazer com queseu CG desa.

Suponha agora que fossem colocados raios sobre a arruela, como os raios deuma roda de bicicleta. Isto pode ser feito com linhas esticadas presas arruela,ou podemos considerar uma roda de bicicleta real. Vamos supor que a arruelaou roda de bicicleta suspensa por seu centro e que seja livre para girar emtodas as direes ao redor deste ponto. Se ela for solta do repouso com seu eixofazendo um ngulo com a linha vertical, ela permanecer em equilbrio paratodo ngulo , Figura 4.45.

Figura 4.45: Quando um corpo apoiado exatamente por seu CG ele permane-cer em equilbrio no importando a orientao em que for solto em relao Terra.

Pela definio CG8, vem ento que o centro de simetria da arruela coincidecom seu centro de gravidade. A justificativa para ela ficar parada neste casoqualquer que seja o ngulo , quando apoiada por seu centro, que o CG daarruela vai permanecer na mesma altura em relao superfcie da Terra, inde-pendentemente do valor deste ngulo. E esta a caracterstica de um equilbrioindiferente.

Chamamos esta definio CG8 de definitiva. Hoje em dia a palavra defini-tiva deve ser entendida entre aspas. O motivo para isto que esta definio s vlida em regies de foras gravitacionais uniformes. As regies em que istoocorre so aquelas nas quais um certo corpo de prova sofre sempre a mesma fora(em intensidade, direo e sentido) em todos os pontos da regio. Isto o queocorre para corpos pequenos nas proximidades da superfcie da Terra. As forasgravitacionais sobre cada partcula do corpo de prova podem ser consideradascomo atuando em retas paralelas entre si, todas verticais.

Mas h situaes em que isto no ocorre. Vamos dar um exemplo concretono qual fazemos vrias suposies: (A) O corpo que est exercendo a foragravitacional como a Terra, mas com o formato de uma ma, com a maior

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distncia entre quaisquer duas partculas desta Terra-ma sendo dada por dT ;(B) o corpo que est sofrendo a fora gravitacional como a Lua, mas com oformato de uma banana, com a maior distncia entre quaisquer duas partculasdesta Lua-banana sendo dada por dL; (C) a distncia entre uma partcula iqualquer desta Terra e uma partcula j qualquer desta Lua sendo dada pordij = dT + dL + eij , com 0 < eij

CG do tringulo comea a oscilar ao redor da vertical inferior passando pelopalito, com suas amplitudes de oscilao diminuindo devido ao atrito, at pararna posio preferencial, Figura 4.46b.

CG

CG

Figura 4.46: (a) Um tringulo solto do repouso fora da posio preferencial.(b) Ele gira, juntamente com o palito, at parar com o CG verticalmente abaixodo palito.

Por outro lado vamos agora supor que o eixo de simetria do palito passeexatamente pelo CG do tringulo, com o plano do tringulo mais uma vezortogonal ao palito. O palito vai ficar novamente apoiado na horizontal como plano do tringulo na vertical. Neste caso o tringulo vai permanecer emrepouso qualquer que seja a orientao em que solto em relao Terra,Figura 4.47. Esta situao no exatamente aquela descrita na definio CG8,j que o palito apoiado pela parte de baixo de sua seo reta e no exatamentepor seu eixo de simetria (ao longo do qual est o CG do tringulo). Isto significaque o eixo (ou fulcro) de apoio no passa exatamente pelo CG do tringulo. Dequalquer forma, neste caso podemos girar o palito juntamente com o tringulo,alterando as partes do palito que esto em contato com os 2 suportes verticaisabaixo dele, sem alterar a altura do CG do tringulo em relao superfcieda Terra. Temos ento uma situao de equilbrio indiferente. Esta experinciasimula o caso da Figura 4.42.

Experincia 4.32

Vamos agora supor que abrimos uma fenda em um palito de churrasco parapoder passar um tringulo de papel carto pela fenda, Figura 4.48. O palito eo tringulo formam um nico corpo rgido. Isto , quando o tringulo gira, opalito gira junto.

Vamos supor inicialmente que o CG do tringulo esteja fora da fenda, comona Figura 4.49. A configurao preferencial aquela na qual o CG fica ver-ticalmente abaixo do palito. Vamos supor que o sistema seja solto fora daconfigurao preferencial, com o palito horizontal apoiado sobre dois suporteshorizontais colocados abaixo dele, Figura 4.49a. Neste caso ao ser solto do re-pouso ele no permanece em equilbrio, mas gira at parar com o CG abaixo dopalito, Figura 4.49b.

94

CGCG

Figura 4.47: Quando o eixo de simetria do palito passa exatamente pelo CGdo tringulo vem que o tringulo permanece em repouso qualquer que seja aorientao em que solto em relao Terra.

Figura 4.48: Abre-se uma fenda em um palito de churrasco para passar umtringulo de papel carto pela fenda.

CGCG

Figura 4.49: (a) Um tringulo solto do repouso fora da posio preferencial.(b) Ele gira, juntamente com o palito, at parar com o CG verticalmente abaixodo palito.

Vamos agora supor que o eixo de simetria do palito passe exatamente peloCG do tringulo, Figura 4.50. O sistema solto do repouso com o palito hori-zontal apoiado sobre dois suportes verticais. Neste caso o tringulo permanece

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em repouso qualquer que seja sua orientao em relao Terra, Figura 4.50.Novamente esta situao no exatamente aquela descrita pela definio CG8,j que o palito est apoiado pelas partes inferiores de sua seo reta em con-tato com os dois suportes verticais. Por outro lado o CG do tringulo estexatamente ao longo do eixo de simetria do palito. De qualquer forma, mesmoquando o palito gira sobre estes suportes vem que a altura do CG em relao superfcie da Terra no se altera. Ou seja, temos uma situao de equilbrioindiferente. Ela simula a situao da Figura 4.43.

CG

CG

Figura 4.50: Quando o eixo de simetria do palito passa exatamente pelo CGdo tringulo vem que o tringulo permanece em repouso qualquer que seja aorientao em que solto em relao Terra.

4.10 Resumo

Vamos resumir os aspectos principais que vimos at agora.

Definies: Equilbrio quando no h movimento do corpo nem desuas partes em relao Terra. Vertical a reta indicada por um pequenocorpo rgido em queda livre a partir do repouso, ou por um fio de prumoem equilbrio. Horizontal qualquer reta ou plano ortogonal vertical.O centro de gravidade de um corpo um ponto tal que, se for concebidoque o corpo est suspenso por este ponto, tendo liberdade para girar emtodos os sentidos ao redor deste ponto, o corpo assim sustentado perma-nece em repouso e preserva sua posio original, qualquer que seja suaorientao inicial em relao Terra. Ele pode ser encontrado na prticapelo cruzamento das verticais que passam pelos pontos de suspenso docorpo quando ele permanece em equilbrio ao ser solto do repouso, tendoliberdade para girar ao redor destes pontos.

Resultados experimentais: O centro de gravidade nico para cadacorpo rgido. Os corpos livres caem quando soltos do repouso. Qualquer

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corpo pode permanecer em equilbrio ao ser solto do repouso, desde queapoiado por baixo com seu centro de gravidade localizado verticalmenteacima da superfcie de apoio. Qualquer corpo tambm pode permanecerem equilbrio ao ser solto do repouso suspenso por um ponto ao redor doqual tenha liberdade de girar, desde que seu centro de gravidade estejaverticalmente abaixo do ponto de suspenso. Vai ocorrer equilbrio est-vel (instvel) quando qualquer perturbao da posio de equilbrio fizercom que o CG do corpo suba (desa) em relao Terra. O equilbrioser indiferente se uma perturbao na posio de equilbrio no alterara altura do CG em relao Terra. No caso de equilbrio estvel, qual-quer perturbao vai fazer com que o corpo oscile ao redor da posiode equilbrio, at parar devido ao atrito. No caso de equilbrio instvelqualquer perturbao na posio do corpo vai fazer com que ele se afastedesta posio, deslocando-se inicialmente no sentido em que o CG desaquando comparado com sua colocao na situao de equilbrio instvel.

At agora no demos nenhuma explicao para estes fatos. Estamos ape-nas descrevendo observaes experimentais e resumindo os aspectos principais.Mas daqui para a frente usaremos estas observaes experimentais bsicas paraexplicar outros fenmenos mais complexos que podem ser derivados destas ob-servaes.

97

98

Captulo 5

Explorando as Propriedades

do Centro de Gravidade

5.1 Atividades Ldicas com o Equilibrista

Uma das atividades mais interessantes que podem ser feitas em sala de aulaou em um curso de aperfeioamento de professores com um equilibrista depapel carto. Esta atividade permite que os alunos assimilem e incorporemtodos os conceitos que j foram vistos at agora. Ela tambm muito divertida,especialmente se for realizada com vrias pessoas ao mesmo tempo. A idia dar um problema aos alunos e deixar que eles prprios encontrem a soluo, semque o professor v explicando os fenmenos que vo sendo observados, indicandoapenas a seqncia dos procedimentos. Ela deve ser feita depois que os alunosrealizaram a maior parte das experincias anteriores.

Material empregado (cada aluno deve construir o seu prprio equipamento erealizar todos os procedimentos descritos a seguir): Suporte com fio de prumo.Equilibrista de papel carto, ver a Figura 5.1, com as dimenses em centmetros.Massa de modelar extra. Furador de papel.

O suporte com fio de prumo pode ser, por exemplo, um palito de churrascocom a ponta para baixo fincada em massa de modelar, com um alfinete nahorizontal fincado na parte superior do palito e com um fio de prumo feito delinha de costura e chumbo de pesca, como usado anteriormente. Nos casos emque o equilibrista fica muito pesado com a massa de modelar, tal que tende asoltar o alfinete do suporte ou a escorregar para fora dele, pode-se utilizar comosuporte um palito de churrasco na horizontal sobre a mesa, com o fio de prumoamarrado nele. Neste caso o equilibrista vai ficar suspenso pelo prprio palitode churrasco, em vez de ser suspenso pelo alfinete como no caso anterior.

As dimenses exatas do equilibrista no so to importantes. O que maisrelevante por hora que ele seja simtrico e que tenha os braos levantados e aspernas abaixadas, como mostrado na Figura 5.1. interessante que os braossejam mais compridos que as pernas j que a maior parte das brincadeiras sero

99

2 2

2 2

2 2

2 2

5 5

10 10

64 4

9 9

22

Figura 5.1: Um equilibrista com suas dimenses em centmetros. Existem furoscirculares nas mos e nos ps.

feitas com ele de cabea para baixo. As dimenses mostradas na Figura 5.1 soapropriadas para a prtica que desenvolveremos a seguir, na qual o boneco ficaequilibrado na mo dos alunos.

Uma outra propriedade muito importante do equilibrista que ele deve serrgido, no-deformvel. Se colocarmos uma grande quantidade de massa demodelar, um equilibrista de cartolina pode se deformar. Para evitar que istoacontea o papelo deve ser bem rgido. Pode-se, por exemplo, construir umequilibrista de plstico rgido que no to difcil de obter. Caso o equilibristaseja deformado pela massa de modelar utilizada nestas experincias, pode acon-tecer de no ser observado o que est descrito a seguir em alguns casos. Poreste motivo importante ter em mente esta precauo.

Inicialmente recortam-se vrios equilibristas iguais tal que cada aluno fiquecom um modelo. Solicita-se que furem as mos e os ps do equilibrista, comomostrado na Figura 5.1. Solicita-se que determinem o centro de gravidade doequilibrista das duas maneiras que j aprenderam:

(I) Encontrando o ponto em que o boneco fique equilibrado na horizontalapoiado sobre o suporte vertical ao ser solto do repouso, Figura 5.2.

(II) Dependurando-o com um alfinete passando pelos furos nas mos ou nosps, traando depois em cada caso uma vertical com o auxlio do fio de prumo.O centro de gravidade deve ficar marcado no papel carto, de preferncia nafrente e no verso, Figura 5.2.

Em seguida comea a atividade mais interessante. Solicita-se que cada alunotente equilibrar o boneco de cabea para baixo colocando apenas o dedo indi-cador esticado, na horizontal, debaixo da cabea do boneco. Depois de algunsminutos de tentativa ningum consegue equilibr-lo. Alguns acham que devidoao formato curvo da cabea.

Solicita-se ento que eles agora tentem equilibrar o boneco de cabea paracima com o dedo indicador esticado e na horizontal. Ou seja, como se o boneco

100

CG

CG

E1

E2

S1P

S2P

Figura 5.2: Encontrando o CG do equilibrista pelos dois primeiros procedimen-tos experimentais.

estivesse sentado no dedo. Depois de vrias tentativas ningum consegue, apesarda superfcie de contato ser agora retilnea e poder ser colocada na horizontal.Por hora no se deve tentar explicar o motivo dos alunos no conseguiremrealizar as tarefas solicitadas. A idia apenas prosseguir com as brincadeiras.

Solicita-se ento que equilibrem o boneco na horizontal colocando o dedoindicador por baixo dele na vertical. Agora todos conseguem e observam facil-mente que o centro de gravidade do equilibrista est acima do dedo.

Feito isto, solicita-se que tentem equilibrar mais uma vez o boneco na hori-zontal, mas agora colocando o dedo indicador esticado na vertical por baixo dacabea do boneco. Novamente ningum consegue.

Vem agora a parte mais estimulante de toda a brincadeira. Distribui-seum pedao de massa de modelar a cada estudante. Solicita-se novamente queeles tentem equilibrar o boneco de cabea para baixo colocando o dedo indicadoresticado, na horizontal, sob a cabea do boneco, sem dobrar nem cortar o boneco.Afirma-se que agora eles podem usar a massa de modelar colocando-a sobre oboneco onde quiserem: no centro de gravidade, na mo, na perna ou ondequiserem (exceto na cabea ou no cabelo do boneco, ou seja, na parte inferiorda cabea, para que a massa no grude no dedo indicador). Informa-se tambmque ela pode ser colocada inteira ou dividida em dois ou mais pedaos. Aidia aqui deixar os alunos bem livres para experimentar e brincar, sem darnenhuma receita de bolo indicando a maneira certa de funcionar. Eles comeamum pouco tmidos e receosos sobre o que fazer. Mas aos poucos vo se soltandoe comeando a entrar no jogo. Depois de alguns minutos, um ou dois alunosconseguem equilibrar o boneco e do largos sorrisos e manifestaes verbais decontentamento. Os outros comeam o olhar o que os primeiros fizeram e empouco tempo todos conseguem. O procedimento para o sucesso colocar umaquantidade suficiente de massa de modelar nas duas mos at que o boneco fiquede cabea para baixo apoiado no dedo indicador, Figura 5.3.

Quando algum boneco no fica exatamente na vertical, basta que se afaste

101

Figura 5.3: Um equilibrista de cabea para baixo cai ao ser apoiado pela cabea.Contudo, ao prender uma quantidade suficiente de massa de modelar em suasmos ele fica equilibrado de cabea para baixo.

mais as massas da cabea (colocando-a mais na ponta das mos, ou at mesmodependuradas para fora das mos, como se estivessem pingando das mos), ouque se aumente a quantidade de massa nas mos. Desta maneira o boneco acabaficando bem na vertical.

Aps todos os alunos terem conseguido, solicita-se que retirem a massa demodelar e a coloquem em algum outro lugar at que o boneco fique de cabeapara cima, sentado no dedo indicador esticado na horizontal. Um ou outroconsegue atingir este objetivo de maneira um pouco mais rpida que no casoanterior. Os outros observam como eles fizeram e aos poucos todos conseguemrealizar a tarefa. O procedimento para o sucesso o de colocar a massa demodelar nos ps do boneco, Figura 5.4a.

Solicita-se ento que alterem novamente a colocao da massa de modelar atque o boneco fique equilibrado na horizontal, apoiado com o dedo indicador es-ticado na vertical, sob a cabea do boneco. Solicita-se apenas que no coloquemmassa na cabea do boneco, para evitar que ela grude no dedo indicador. De-pois de algumas tentativas todos conseguem (alguns alunos precisam ver comooutros fizeram para ento reproduzir o procedimento). Neste caso o sucessopode ser alcanado de vrias maneiras, no h um procedimento nico. Umatcnica comum a de colocar massas nas duas mos e nos dois ps do bonecoem quantidades apropriadas at que ele fique na horizontal, Figura 5.4b.

Depois desta fase solicita-se que novamente coloquem a massa de modelarem algum lugar at que o boneco fique de cabea para baixo apoiado sobreo dedo indicador esticado na horizontal e colocado sob a cabea do boneco.Rapidamente todos colocam uma quantidade suficiente de massa de modelarnas mos do boneco at que ele fique na posio desejada, como na Figura5.3. Para mostrar que o equilbrio nesta nova situao bem estvel, pede-se

102

Figura 5.4: Equilibrando o boneco em um plano vertical com a cabea paracima, ou em um plano horizontal colocando o dedo indicador debaixo de suacabea. Nos dois casos o truque saber onde colocar a massa de modelar e suaquantidade.

que balancem ou soprem lentamente o boneco. Tambm se pode pedir que oequilibrem sobre a extremidade superior do palito de churrasco, subindo depoistodo o conjunto ao levantar a mo que segura o palito. Pode-se at mesmoequilibrar o boneco de cabea para baixo colocando-o sobre o alfinete fincadono suporte! Mesmo neste caso, pode-se soprar ou empurrar lentamente o bonecoque ele oscila ao redor da posio de equilbrio, voltando depois a ficar paradode cabea para baixo. Todos ficam muito admirados com isto. Este um efeitonotvel e marcante que causa uma profunda impresso em todas as pessoas. Aestabilidade alcanada por este boneco realmente admirvel.

Depois disto pergunta-se onde eles acham que se localiza o centro de gravi-dade nesta nova situao (boneco de cabea para baixo com massa de modelarnas mos). Alguns poucos acham que se localiza no mesmo lugar de antes (nomeio do peito), mas a maioria acredita que se encontra na cabea do boneco,mais especificamente no ponto em que a cabea encontra o dedo indicador. Semdar a resposta correta, solicita-se ento que localizem com preciso o centro degravidade utilizando o segundo mtodo. Ou seja, dependurando o boneco commassa de modelar nas mos atravs do alfinete do suporte. Na primeira ten-tativa dependura-se o boneco pelo furo de um dos ps e traa-se uma vertical.Depois se dependura o boneco pelo furo do outro p e traa-se a segunda verti-cal. Deve-se dizer a eles que esta experincia deve ser bem precisa pois muitoimportante que o CG seja bem localizado. Ao traarem as verticais alguns acre-ditam que o mtodo no d certo, j que as verticais parecem no se cruzar(ou ao menos no se cruzam onde eles esperavam). Pede-se que continuem assimmesmo traando as verticais. O resultado final, quando feito corretamente, algo como o mostrado na Figura 5.5a.

103

E1E2

S1PS2P

E1E2

S1PS2P

CG

Figura 5.5: Encontrando o CG do equilibrista com massa de modelar nas duasmos.

Se prolongarmos estas duas verticais, veremos que elas se cruzam fora dacabea, em um ponto ao longo do eixo de simetria do boneco, entre a ponta dacabea e as mos (ou entre a ponta da cabea e a parte inferior da massa demodelar), Figura 5.5b.

interessante solicitar que cada aluno faa um desenho como este em seucaderno, em tamanho real, utilizando seu prprio boneco com massa nas moscomo modelo. Para encontrar a localizao exata do CG do boneco com massade modelar nas mos, solicita-se aos alunos que equilibrem o boneco de lado, emum plano vertical, apoiando algum ponto do brao sobre o alfinete horizontal,at que o eixo do corpo fique paralelo horizontal. O centro de gravidadelocaliza-se no cruzamento do eixo de simetria do corpo com a vertical passandopelo alfinete, obtida com o auxlio do fio de prumo, Figura 5.6.

SP

CG

Figura 5.6: Outra maneira de encontrar o CG de um equilibrista com massa demodelar nas duas mos.

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S depois que os prprios alunos realizaram todas estas ativida