o paradoxo hidrostático de galileu e a lei de arquimedes

O PARADOXO HIDROSTTICO DE GALILEU E A +* LEI DE ARQUIMEDESFernando Lang da Silveira Instituto de Fsica UFRGS Porto Alegre RS Alexandre Medeiros Departamento de Fsica UFRPE Recife PE Resumo A pedagogia tradicional tem subestimado a presena de certos mistrios e paradoxos no ensino da Fsica. Abordagens indutivistas ingnuas na educao em cincia tm tambm contribudo para que alguns importantes pressupostos tericos sejam usualmente ignorados. Uma anlise histrica, conceitual e experimental do desenvolvimento da Fsica pode contribuir positivamente para restaurar a importncia de tais pressupostos no ensino da Fsica. Neste artigo, analisamos o assim denominado Paradoxo Hidrosttico de Galileu, um enigma conectado com a Lei de Arquimedes para a Hidrosttica. Uma anlise experimental desse tema apresentada de forma fotograficamente bem documentada e concluses so tiradas como um exemplo para ilustrar a extenso em que uma competente anlise de pressupostos ocultos pode contribuir para subverter a educao tradicional e ortodoxa em Fsica. Palavras-chave: Lei de Arquimedes; Paradoxo de Galileu; esttica de fluidos.

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Galilean Hydrostatic Paradox and Archimedes Law

* Recebido: outubro de 2008. Aceito: maro de 2009.Cad. Bras. Ens. Fs., v. 26, n. 2: p. 273-294, ago. 2009. 273

Abstract Traditional pedagogy has underestimated the presence of some mysteries and paradoxes in Physics teaching. Nave inductivistic approaches in Science education have also contributed to the fact that some important theoretical assumptions are usually discarded. Historical, conceptual and experimental analysis of Physics development can positively contribute to restore the importance of such assumptions in physics teaching. In this article we analyze the so called Galilean Hydrostatic Paradox, a mystery directly connected to Archimedes Law of Hydrostatics. Experimental analysis of this theme is presented in a well-documented photographic way and conclusions are drawn as an example to show the extent to which a competent analysis of such hidden assumptions can subvert traditional and orthodox education in Physics. Keywords: Archimedes Law; Galilean Hydrostatic Paradox; Statics of Fluids.

I. Mistrios e mitos no Ensino da FsicaO ensino tradicional da Fsica tem padecido, dentre outros problemas, de uma exagerada tendncia indutivista ingnua que, ignorando a complexidade da produo do conhecimento cientfico, costuma vincular a gerao de ideias e teorias s observaes empricas, de uma forma direta e praticamente sem qualquer intermediao terica (MEDEIROS; BEZERRA FILHO, 2000; MEDEIROS; MEDEIROS, 2001). Esse indutivismo ingnuo e simplificador reengendra a histria da cincia, na tentativa inglria de justificar as prticas pedaggicas nele fundamentadas, causando assim equvocos e distores que precisam ser devidamente reparados (SILVEIRA; OSTERMANN, 2002; MEDEIROS; MEDEIROS, 2002; SILVEIRA; PEDUZZI, 2006). A atitude indutivista ingnua no ensino da Fsica simplifica a sua histria, ao ignorar a importncia dos pressupostos tericos e da existncia de contextos de validade nas afirmaes cientficas, produzindo frequentemente uma srie de mitos e enigmas que necessitam ser esclarecidos (MEDEIROS; LIMA JR, 2000; MOURA; CANALLE, 2001; MEDEIROS; MEDEIROS, 2002; SILVEIRA; AXT, 2006; SILVEIRA; MEDEIROS, 2006). Essa dimenso do mistrio, entretanto, pode ter tambm o seu lado positivo, pois o seu274 Silveira, F. L. e Medeiros, A.

desvelar no ato educativo, quando acompanhado de uma forte carga motivacional, favorece a aprendizagem dos contedos cientficos abordados (MEDEIROS; MEDEIROS, 2003; SILVEIRA; AXT, 2004; MEDEIROS; MEDEIROS, 2004; SILVEIRA; AXT, 2005; MEDEIROS, 2005). Dentre tais mitos e mistrios a serem desvendados, boa parte est vinculada mecnica dos fluidos e tem sido objeto de investigaes recentes (MEDEIROS, 1999; MEDEIROS; CARMO, 2003; MEDEIROS; MEDEIROS; CARMO, 2003; SILVEIRA; LEVIN, 2004). Parte relevante das muitas investigaes pedaggicas relativas mecnica dos fluidos se refere a questes hidrostticas e existncia de aparentes paradoxos (BUZDIN; KROTOV, 1990; WILSON, 1995; BARTLETT, 1997; BETYAEV, 1998; FIOLHAIS, 1999; FONTANA; DI CPUA, 2005). No tocante a tais ques1 tes e aos paradoxos hidrostticos, a Lei de Arquimedes tem sido um alvo preferencial de vrios estudos educacionais, sob diferentes enfoques pedaggicos (HODDESON, 1972; HAYN, 1975; HALFORD; BROWN; THOMPSON, 1986; MAMOLA, 1995; SILVA, 1998; GUIMARES, 1999; SCONYERS; TRAUTWEIN, 2000; COOPER, 2001; KAPLAN, 2003; LOVERUDE; KAUTZ; HERON, 2003; HUGHES, 2005). Dentre tais estudos, alguns tm dado especial ateno a certos aspectos da abordagem histrica que pode cercar a Lei de Arquimedes (BARDIS, 1984; SNIR, 1991; MARTINS, 2000). Estudos clssicos sobre a histria da mecnica dos fluidos servem igualmente para que possamos perceber a complexidade existente e por vezes ignorada na construo da Lei de Arquimedes (DUGAS, 1988; MACH, 1989; TOKATY, 1994). Em meio a tal complexidade, surge uma questo enigmtica e interessante, ligada ao enunciado e ao contexto de validade da Lei de Arquimedes, e que originalmente atribuda a Galileu. Em seu influente trabalho de 1991, Joseph Snir j alertava com bastante propriedade para a importncia pedaggica deste paradoxo histrico, apontando direes explicativas,1

Apesar de a maioria dos livros-textos de Fsica Geral, seja de Ensino Mdio ou de Ensino Superior, denominar de Princpio o conhecido enunciado de Arquimedes, optaremos por denomin-lo de Lei de Arquimedes. Um princpio se constitui em uma proposio posta no incio de uma deduo, no sendo deduzida de nenhuma outra no sistema considerado (LALANDE, 1993; p. 861). Ora, no texto de Arquimedes, Sobre os corpos flutuantes (ASSIS, 1996), na Proposio 5, demonstrada a partir do Postulado 1 e das proposies que lhe antecedem e j foram provadas, que reconhecemos o famoso enunciado de Arquimedes. Dessa forma, do ponto de vista lgico, aquele enunciado um teorema enunciado demonstrado em uma teoria (LALANDE, 1993; p. 1126) e, portanto, no h que cham-lo de princpio. O termo lei mais adequado, pois neutro em relao ideia de o enunciado ser um princpio ou um teorema.

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sem, contudo, explor-las em sua devida profundidade, no apresentando imagens que pudessem se constituir em evidncias cabais do mesmo. O presente trabalho uma tentativa de resgatar o referido Paradoxo Hidrosttico de Galileu, apresentando imagens convincentes, assim como modelos explicativos que possam subsidiar o trabalho dos professores que desejem lidar com o ensino da hidrosttica em uma perspectiva cognitivamente mais desafiadora.

II. O mito e o mistrio da Lei de ArquimedesO mistrio do Paradoxo Hidrosttico de Galileu provm do fato de que comumente no nos apercebemos que a Lei de Arquimedes, da forma como costuma ser apresentada experimentalmente nos livros-texto, nos induz fatalmente a um erro de avaliao. A referida lei afirma que: todo corpo mergulhado em um lquido sofre um empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido por ele deslocado. A principal pea de convencimento educacional comumente oferecida pelos livros didticos de Fsica para que o aprendiz aceite a validade de tal afirmativa de Arquimedes um experimento no qual um corpo inicialmente colocado a flutuar em um vaso j repleto de gua. No referido experimento usualmente ilustrado nos livros toda a gua que extravasa do recipiente recolhida e convenientemente pesada. O resultado mostra que o peso desta gua deslocada igual ao peso do corpo colocado a flutuar. O tal experimento parece convincente, a julgar pelo uso secular que os autores de livros didticos de Fsica tm feito do mesmo, desde que Gravesande (1688-1742) e Musschenbroek (1692-1761) o utilizaram de forma pioneira em seus livros ainda no incio do sculo XVIII. Desde ento, tal 2 experimento tem sido assumido como uma pea de evidncia vlida, convincente e insofismvel da referida Lei de Arquimedes, sem que se leve em conta que a justeza desse argumento j houvesse sido criticada no sculo XVII por Galileu, dando origem ao seu clebre Paradoxo Hidrosttico.

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importante notar que no texto de Arquimedes (287 a.C.-212 a.C.), Sobre os corpos flutuantes (ASSIS, 1996), no so apresentados quaisquer fatos ou evidncias experimentais. O referido texto pode ser encontrado em: .276 Silveira, F. L. e Medeiros, A.

III. O paradoxo hidrosttico de GalileuGalileu (1564-1642) idealizou e realizou um experimento paradoxal para o enunciado tradicional da Lei de Arquimedes: todo corpo mergulhado em um lquido sofre um empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido por ele deslocado. Imaginemos que, em um recipiente, exista um volume de fluido com peso menor do que o peso do corpo flutuante. A Foto 1 da Fig. 1 mostra uma lata de cerveja (cheia de cerveja) com volume aproximado de 350 ml e um recipiente contendo 230 ml de gua (colorida com tinta amarela). Quando a lata flutua em gua, conforme se observa na Foto 2 da mesma figura, encontra-se quase que completamente imersa; assim sendo, segundo o enunciado usual da Lei de Arquimedes, deveria deslocar quase 350 ml de gua. Apesar de no existir no recipiente esse volume, a Foto 2 mostra a lata flutuando. Assim, fica estabelecido um paradoxo em relao ao enunciado usual da Lei de Arquimedes, pois um corpo pode flutuar mesmo quando o volume de fluido menor do que aquele que o corpo precisaria deslocar. Ou ainda, o Paradoxo Hidrosttico de Galileu consiste na afirmao de que um corpo pode flutuar em um fluido mesmo quando o peso de fluido disponvel menor do que o peso do corpo.

Fig. 1 - Paradoxo de Galileu: corpo flutuando em um recipiente onde no existe o volume de lquido requerido pelo enunciado tradicional da Lei de Arquimedes.


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A desobedincia ao enunciado tradicional da Lei de Arquimedes, na situao mostrada na Fig. 1, uma consequncia de que esta proposio vlida somente quando o nvel do lquido no recipiente antes e depois da introduo do corpo flutuante permanecer o mesmo. Essa condio satisfeita se o recipiente estiver inicialmente com a sua capacidade mxima preenchida e, ento, transbordar quando da imerso do corpo, ou ainda, quando o volume do corpo for desprezvel em relao ao volume de fluido no recipiente. Quando a imerso do corpo no fluido afetar o nvel do fluido, mostraremos que o enunciado tradicional da Lei de Arquimedes deixa de ser vlido. O empuxo, nesse caso, maior do que o peso do volume de fluido efetivamente deslocado. Nas prximas sees, obteremos a condio de flutuao e resolveremos o Paradoxo de Galileu por intermdio de trs abordagens alternativas. Em todas elas utilizaremos uma matemtica acessvel a alunos de Ensino Mdio.

IV. O Paradoxo de Galileu e o modelo da balana hidrostticaA Fig. 2 representa, de forma idealizada, o sistema real que utilizamos (vide as fotos da Figura 1) para exemplificar o Paradoxo de Galileu. A lata de cerveja e o recipiente so idealizados por dois corpos cilndricos de altura Hi e raio da base Ri (i = 1 para a lata de cerveja e i = 2 para o recipiente), sendo R2 > R1.

Fig. 2 - Paradoxo de Galileu: o volume de lquido no recipiente menor do que o volume submerso do corpo flutuante.

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Silveira, F. L. e Medeiros, A.

O Paradoxo de Galileu pode ser elucidado modelando o sistema representado na Fig. 2 como uma balana hidrosttica ideal (conforme a Fig. 3). A Fig. 3 representa o corpo tocando a superfcie do lquido e, portanto, a balana est desequilibrada. O corpo cilndrico no ramo direito da balana se ajusta perfeitamente a esse vaso e pode deslizar sobre as suas paredes sem atrito, deslocando o lquido de um vaso para outro atravs de uma conexo no fundo da balana.

Fig. 3 - Modelo da balana hidrosttica para a soluo do Paradoxo de Galileu: balana inicialmente desequilibrada. Para que a balana equivalha ao sistema real idealizado, a seo transversal do ramo direito da balana desequilibrada, na Fig. 3, deve possuir a mesma rea S da seo transversal da regio compreendida entre o corpo e a parede lateral do recipiente original. Ou seja, a rea S deve ser igual rea da coroa circular com raio externo R2 e raio interno R1 mostrada na Fig. 3. Dessa forma, 2 (1) S = R2 R12

(

)

A Fig. 4 representa agora o corpo flutuando em repouso no recipiente da esquerda, equivalendo balana finalmente equilibrada. Portanto, houve o deslo-


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camento de lquido de um vaso para o outro graas conexo no fundo dos dois vasos.

Fig. 4 - Modelo da balana hidrosttica para a soluo do Paradoxo de Galileu: balana equilibrada. Quando o sistema se encontra em equilbrio, pontos no mesmo nvel dentro do fluido esto mesma presso. Consideremos, ento, um ponto A imediatamente abaixo do corpo flutuante e um ponto B, no mesmo nvel, no interior do outro ramo da balana, ambos a uma altura h em relao ao fundo da balana (vide a Fig. 4). Acima de A encontramos o corpo que flutua e acima deste a atmosfera. Portanto, para calcularmos a presso pA em A, teremos que adicionar, presso atmosfrica patm, um incremento de presso pCorpo produzido pelo corpo flutuante. Esse incremento de presso, quando o corpo est em repouso, igual ao peso do corpo PCorpo dividido pela rea S1 da base do corpo. Alm disso, o peso do corpo igual ao produto da massa mCorpo do corpo, pela intensidade g do campo gravitacional. Dessa forma, P m g (2) p A = p atm + pCorpo = p atm + Corpo = p atm + Corpo . S1 S1

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Acima do ponto B encontramos uma coluna de lquido com altura h, e acima desta, a atmosfera. Da mesma forma, a presso pB em B calculada por P m g p B = patm + pColuna = patm + Coluna = patm + Coluna . (3) S1 S1 Para que a balana esteja em equilbrio, a presso no ponto A deve ser igual presso no ponto B, isto , (4) p A = pB . Substituindo, para pA e pB, as expresses obtidas em (2) e em (3), respectivamente, reescrevemos (4) sob a forma: mCorpo mColuna . (5) = S1 S Se em (5) expressarmos as massas do corpo e da coluna de lquido em funo das densidades, Slido para o material do qual feito o corpo slido e Lquido para o lquido na coluna, bem como de seus respectivos volumes V1 e V2, obtemos: Slido V1 Lquido V2 . (6) = S1 S Usando o fato de que a razo entre o volume de um cilindro pela rea da sua seo transversal a altura do cilindro, vemos que, de acordo com a Fig. 4: (7) Slido H 1 = Lquido h , ou ainda, Slido = h Lquido . H1

(8)

Para que o corpo flutue, no pode haver lquido por cima dele e, portanto, conclui-se que H1 no pode ser menor que h. Assim, apesar da equao (8) verificar-se para a balana, quaisquer que sejam os valores das alturas envolvidas, sua validade para o sistema modelado pela balana fica condicionada restrio: h (9) 1 H1 Da equao (8), juntamente com a restrio (9), tem-se que a condio de flutuao : (10) Slido Lquido .


281

O resultado (8) ou (10) mostra que a condio de flutuao no faz referncia direta a volumes deslocados, mas sim ao desnvel entre a base do corpo flutuante e a superfcie de separao do lquido com a atmosfera, ou ainda, densidade do material que constitui o corpo slido e densidade do lquido. Para que exista a coluna de lquido com altura h que o que realmente importa para ocorrer a flutuao! o corpo efetivamente poder deslocar muito pouco fluido (ver Equao (1)), se a diferena entre o raio R1 do corpo e R2 do recipiente for pequena. Havendo o deslocamento de lquido, a altura do nvel do fluido no recipiente aumenta; para um dado volume de lquido deslocado, quanto menor for a rea S da seo transversal do ramo direito da balana (ver Figura 4), maior ser a altura do nvel do fluido no recipiente. A seguir, demonstraremos a relao existente entre o volume VDesl de lquido efetivamente deslocado e o volume VArq do lquido referido no enunciado usual da Lei de Arquimedes. Os dois volumes esto representados pelas regies assinaladas (indicadas por pontos escuros) da Fig. 5.

Fig. 5 - Volume VDesl de lquido deslocado menor do que o volume VArq do corpo abaixo do nvel da superfcie de separao do lquido com a atmosfera.

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O volume de lquido quando a balana est desequilibrada (vide Fig. 5) dado pela soma dos volumes de lquido nos dois ramos da balana, ou seja (11) V = S1 H 2 + S H 2 . Quando a balana est equilibrada, o volume de lquido, que continua o mesmo de antes, pode ser expresso por (12) V = S 1 h' + S (h' + h ) . Igualando entre si as duas expresses obtidas para V, em (11) e em (12), e explicitando h, obtm-se: S (13) h' = H 2 h. S + S 1 O volume de lquido deslocado (vide a regio assinalada no ramo direito da balana na Fig. 5) dado por: (14) VDesl = S h = S (h + h' H 2 ) , que, aps substituir h pela expresso obtida em (13), fornece:VDesl = S (S 1 h ) S + S 1

(15)

O termo entre parnteses em (15) o volume submerso VArq do corpo flutuante no lquido. Portanto, S (16) VDesl = Varq < V Arq . S + S 1 No caso especial em que S >> S1, pode-se escrever: S VDesl = Varq V Arq , S + S 1 (17)

isto , VDesl um pouco menor que VArq. Ou seja, o enunciado usual da Lei de Arquimedes est correto apenas se as dimenses do recipiente que contm o lquido forem muito maiores que as dimenses do corpo ali colocado. Se essa condio estiver satisfeita, o nvel do lquido no recipiente permanecer inalterado quando o corpo for colocado a flutuar; o volume deslocado de lquido ser igual ao volume submerso do corpo no lquido. Outra possibilidade de o nvel do lquido no recipiente no se alterar ocorre quando o recipiente est repleto de lquido, extravasando fluido devido imerso do corpo.


283

V. Uma abordagem energtica na resoluo do Paradoxo de Galileu utilizando o modelo da balana hidrostticaApresentaremos agora uma outra forma de resolver o Paradoxo de Galileu, ainda utilizando o modelo da balana hidrosttica, mas recorrendo a consideraes energticas. Partiremos do conhecimento de que qualquer sistema que se encontre em equilbrio estvel satisfaz a condio de que a energia potencial do sistema seja mnima. Dessa forma, se imaginarmos pequenos deslocamentos do sistema em torno de uma posio de equilbrio estvel, deveremos encontrar apenas aumentos na sua energia potencial; caso contrrio, a energia potencial no teria sido mnima e o sistema no teria estado anteriormente em equilbrio.

Fig. 6 Quando a balana desequilibrada, sua energia potencial gravitacional deve tornar-se maior que a de equilbrio. Vamos agora calcular a variao de energia potencial gravitacional, ao submeter o corpo que flutua a um pequeno deslocamento h1 , tal como mostrado na Fig. 6. O lquido no interior do ramo esquerdo se eleva por uma altura h1 , enquanto no outro ramo desce por uma altura h , tal que S 1 h1 = S h , ou seja,h = S1 h1 . S

(18)

284


A variao Ep Balana , da energia potencial da balana, a soma da variao EpCorpo , da energia potencial do corpo, com a variao Ep Lquido , da energia potencial do lquido, isto : Ep Balana = EpCorpo + Ep Lquido . A variao da energia potencial do corpo dada por: Ep Corpo = mCorpo g h1 , (19) (20)

na qual a massa do corpo pode ser expressa em funo da densidade do slido e do seu volume, como (21) mCorpo = Slido S1 H 1 , e assim reescrevemos (20) sob a forma: Ep Corpo = Slido S1 H 1 g h1 . A variao da energia potencial do lquido : Ep Lquido = m Lquido g - hLquido , (22)

(

)

(23)

podendo a massa de lquido ser expressa em funo da densidade do lquido e do volume de lquido, no interior da regio assinalada (marcada com pontos escuros) no ramo direito ou no ramo esquerdo da balana, ou seja, (24) mLquido = Lquido S1 h1 , e, para a variao de altura do lquido, temos, da Figura 6 e usando (18): h S h h1 hLquido = h - + = h 1 1 + 1 . 2 2 2 S Assim, reescrevemos (23) sob a forma: h S Ep Lquido = Lquido S1 h1 g h - 1 1 + 1 . 2 S

(25)

(26)

Substituindo-se (22) e (26) em (19), e colocando-se alguns fatores em evidncia, obtm-se, para a variao da energia potencial da balana, a expresso: 2 S h (27) Ep = [ H h]S g h + S g 1 + 1 1 .Balana Slido 1 Lquido 1 1 Lquido 1

S

2

Lembremos que, se a balana estiver na posio de equilbrio estvel (posio de mnima energia potencial), um pequeno afastamento dessa posio em qualquer dos dois sentidos (isto , h1 > 0 ou h1 < 0) dever causar uma variao EpBalana positiva. O segundo termo no lado direito da expresso (27), que envolCad. Bras. Ens. Fs., v. 26, n. 2: p. 273-294, ago. 2009. 285

ve h12 , sempre positivo. Quanto ao primeiro termo, observamos que, se a diferena entre colchetes resultar no nula, esse termo trocar de sinal quando h1 mudar de orientao. Dessa forma, para garantir que esta variao da energia potencial seja sempre positiva, independentemente da orientao do deslocamento h1, necessrio que: (28) Slido H 1 Lquido h = 0 ,

[

]

isto , Slido = h Lquido H1

(29)

O resultado (29) exatamente o mesmo que obtivemos em (8). Ou seja, chegamos mesma condio para que ocorra a flutuao; anteriormente o resultado foi derivado diretamente da condio dinmica de equilbrio (igualdade entre as presses em pontos no mesmo nvel de um fluido) e agora partindo da condio de que a energia potencial, em um equilbrio estvel, deve ser mnima. Embora no seja usual em cursos de Fsica Geral, seja no Ensino Mdio ou no Ensino Superior, apresentar uma abordagem do equilbrio estvel, utilizando-se consideraes energticas, no pressupe qualquer conhecimento de matemtica diferente daquele utilizado na seo anterior ou do que utilizaremos na prxima seo.

VI. A Lei de Arquimedes e a Lei de StevinFinalmente, abordaremos o problema do corpo flutuante atravs da Lei de Stevin ou da Lei Fundamental da Esttica dos Fluidos. Para tanto, no faremos nenhuma suposio sobre a geometria do corpo que ser colocado a flutuar. A Fig. 7 representa o corpo e o recipiente com lquido, antes e depois de o corpo ser posto a flutuar. De acordo com a Fig. 7, h uma elevao h da superfcie de separao entre o lquido e a atmosfera, quando o corpo posto a flutuar. Essa elevao do nvel de lquido produz um aumento da presso sobre o fundo do recipiente que, pela Lei de Stevin, dado por: (30) p = Lquido g h , que, por sua vez, produzir um acrscimo F , na fora que o fluido faz sobre o fundo do recipiente. Representando por S2 a superfcie do fundo do recipiente,

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podemos escrever o incremento na fora exercida pelo fluido no fundo do recipiente sob a forma: (31) F = p S 2 = Lquido g h S 2 .

Fig. 7 - O nvel da superfcie de separao entre o lquido e a atmosfera sofre uma elevao h, quando o corpo posto a flutuar, e o volume de lquido deslocado menor do que o volume expresso no enunciado tradicional da Lei de Arquimedes. Esse incremento de fora sobre o fundo do recipiente tambm atribudo ao aumento de peso de todo o material que est contido no recipiente. Ora, o aumento de peso se deve introduo, no recipiente, do corpo que flutua, cujo peso pode ser escrito em funo da densidade do material que o constitui e do seu volume, isto : (32) F = PCorpo = Corpo VCorpo g . Das expresses (31) e (32) obtm-se: Corpo VCorpo g = Lquido g h S 2 (33)

Na Fig. 8, apresentaremos com detalhe os diversos volumes envolvidos na situao analisada. O produto h S2 o volume da regio assinalada com pontos escuros na Fig. 8 C, o qual resulta da soma de duas parcelas, discriminadas na Fig. 8D, a saber: um volume V, da parte do corpo que flutua, situada dentro do lquidoCad. Bras. Ens. Fs., v. 26, n. 2: p. 273-294, ago. 2009. 287

mas acima do nvel original H2 da superfcie de contato entre o lquido e a atmosfera, e um volume VDesl do lquido que foi deslocado, isto :

Fig. 8 - O nvel do lquido se eleva por uma altura h , aps introduzir no lquido o corpo flutuante.h S 2 =V , + VDesl ,

(34)

no qual VDesl o volume de lquido que foi efetivamente deslocado, elevando-se acima do nvel original H2, da superfcie de contato entre o lquido e a atmosfera da Fig. 8 A. Por outro lado, observe-se, das regies assinaladas com pontos brancos na Fig. 8 D, que o volume de lquido que foi deslocado, elevando-se acima do nvel original do lquido, igual ao volume da parte do corpo situada abaixo deste nvel; ambos so iguais a VDesl. Conclumos, portanto, que a soma V + VDesl igual ao volume VArq , da parte do corpo situada abaixo do novo nvel da superfcie do lquido (vide Fig. 8 B). Ou seja, V + VDesl = VArq. (35) De imediato, observamos que da igualdade (35) decorre que o volume VArq maior do que o volume de lquido deslocado VDesl. Somente quando o nvel do lquido no se eleva pela introduo do corpo flutuante (isso ocorre quando as dimenses do corpo so desprezveis em relao s dimenses do recipiente ou quando o recipiente, inicialmente repleto de lquido, transborda quando o corpo posto a flutuar) que V = 0 e ento VDesl = VArq. Em qualquer outra situao VDesl < VArq. De (35) juntamente com (34), obtm-se: (36) h S 2 = V Arq ,

288


que, substitudo na expresso (33), fornece: Corpo VCorpo g = Lquido V Arq g .

(37)

A condio de flutuao finalmente assim expressa: o peso do corpo deve ser igual ao peso do lquido contido em um volume idntico ao volume submerso do corpo no lquido (VArq). A igualdade (37) pode ser reescrita sob a forma: Corpo V Arq , (38) = Lquido VCorpo donde conclui-se imediatamente que:

Corpo Lquido

1 Corpo Lquido ,

(39)

pois, para um corpo flutuar, sempre tem-se VCorpo V Arq . Assim, fica demonstrada a conhecida condio (39) de flutuao, que afirma que o corpo flutuar se a densidade do material que o constitui (ou a densidade mdia do corpo) for no mximo igual do lquido. Essa condio j tinha sido obtida nas sees anteriores, onde supusemos um corpo cilndrico e partimos do modelo da balana hidrosttica; agora a obtivemos sem fazer qualquer suposio sobre a forma do corpo que flutua.

VII. Concluso inquestionvel que o enunciado tradicional da Lei de Arquimedes est equivocado. Lembremos de novo que a formulao usual da Lei de Arquimedes a seguinte: todo corpo mergulhado em um lquido sofre um empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido por ele deslocado. Evidencia-se um erro na formulao usual da Lei de Arquimedes no Paradoxo Hidrosttico de Galileu, pois um corpo pode flutuar em um fluido mesmo quando o peso de todo o fluido disponvel menor do que o peso do corpo. Para que a Lei de Arquimedes evite, no propicie o Paradoxo Hidrosttico de Galileu, deve ser formulada do seguinte modo: todo corpo mergulhado em um lquido sofre um empuxo de baixo para cima igual ao peso do fluido contido em um volume idntico ao volume submerso do corpo no fluido. Da anlise realizada neste artigo, depreende-se a extenso em que o ignorar de certos pressupostos presentes na formulao de determinadas leis na Fsica


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pode se constituir em srios obstculos epistemolgicos para a compreenso do contexto de aplicao e/ou de validade de tais leis. O caso aqui especificamente tratado, o enunciado usual da Lei de Arquimedes, que d origem ao Paradoxo Hidrosttico de Galileu, surge efetivamente do fato de se subestimar as implicaes das dimenses do recipiente que contm o fluido e o corpo imerso. As abordagens das condies de flutuao aqui apresentadas tentam romper esse discurso ideolgico tradicional, repleto de lacunas, calcado em pressupostos empiristasindutivistas, que pretende que de experimentos se possa induzir as leis da natureza, to presente na pedagogia tradicional do ensino da Fsica. Este, certamente, no um caso isolado no ensino da Fsica, mas se oferece como um exemplo, dentre outros possveis, para demonstrar que anlises desse tipo podem contribuir positivamente, no apenas para melhorar a formao dos nossos colegas professores de Fsica do Ensino Mdio, mas tambm para auxiliar no desvendar de certas dvidas que os estudantes costumeiramente apresentam em sua aprendizagem. Agradecimentos Agradecemos Profa. Maria Cristina Varriale, do IM-UFRGS, e Profa. Eliane Veit, do IF-UFRGS, pela leitura crtica deste artigo e pelas valiosas sugestes apresentadas.

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o paradoxo hidrostático de galileu e a lei de arquimedes

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