capitulo_1-isep

8/3/2019 capitulo_1-isep

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Matemática

Maiores de 23 2010

Marisa Oliveira Susana Nicola Araújo

Maria Hermínia Amorim



5 Marisa Oliveira, Susana Araújo

1. Operações em IR

1.1 Números inteiros positivos

Neste conjunto a adição é sempre possível pois, se considerarmos dois

números a e b , existe sempre um número natural c que é a soma de a com b . A

multiplicação também é sempre possível.

Quer a adição quer a multiplicação são:

- comutativas : quaisquer que sejam os números naturais a e b

a + b = b + a

a x b = b x a

- associativas: quaisquer que sejam os números naturais a, b e c

(a + b) + c = a + (b + c)

(a.b).c = a.(b.c)

- sendo ainda a multiplicação distributiva em relação à adição

(a + b).c = a.c + b.c

a.(b + c) = a.b + a.c

IR Q Z IN

IN – conjunto dos números naturais = 1, 2,3, ....




Sendo a e b números naturais, se conseguirmos determinar x , tal que:

b.x = a

é igual a x = a : b, o que é o mesmo que

a

x

b

=

dizemos que x representa o quociente exacto de a por b , onde

a diz-se dividendo;

b diz-se divisor.

Exemplo: 5 = 15 : 3 pois 5 x 3 = 15

Mas a divisão exacta nem sempre é possível no conjunto dos númerosnaturais. Não existe nenhum número natural x , tal que 3.x = 2 .

Para que a divisão exacta se torne possível, é preciso ampliar o conjunto dos

números naturais, acrescentando-lhe os números fraccionários positivos.

No exemplo anterior, o quociente de 2 por 3, que não era possível em IN ,

representa agora o número fraccionário2

3

, em que 2 é o numerador e 3 o

denominador.

1.2 Números inteiros positivos, negativos e o zero

É claro que as propriedades já enunciadas, para a adição e multiplicação,

permanecem válidas ao alargar o conjunto dos números naturais.

1.3 Números inteiros e números fraccionários relativos

Z – conjunto dos números inteiros relativos = }{.. ., 3, 2, 1, 0,1, 2,3, ....− − −

Q – conjunto dos números racionais




Números racionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de

fracção x

y

com 0 y ≠ , x e y inteiros. Estes números podem ser representados

por dízimas finitas ou infinitas periódicas.

Repare que duas fracções podem representar o mesmo número, dizendo-se

fracções equivalentes.

Exemplo: 12

6

e8

4

representam o número natural 2.

12

6

e8

4

são fracções equivalentes.

Exemplo : São ainda equivalentes, por exemplo, as fracções2

7

e8

28

. Se

dividirmos ambos os membros da segunda fracção por 4 obtemos

2

7

.

Exemplo: 2

7

é uma fracção irredutível.

Exemplo :8

28

é uma fracção redutível.

Exemplo: 3

5

é maior do que1

5

.7

3

é maior do que4

3

.

Só podemos somar fracções com o mesmo denominador, sendoa b a b

c c c

+

+ =

Dadas duas fracções com o mesmo denominador elas serão

equivalentes se tiverem o mesmo numerador, caso contrário será maior

a que tiver maior numerador.




Exemplo:

a)5 3 5 3 8

4

2 2 2 2

+

+ = = =

b)3 7 3 7 10 5

4 4 4 4 2

+

+ = = =

Exemplo: 2 1

5 3

+ . Como as fracções não têm o mesmo denominador, teremos

que reduzi-las a um denominador comum. m.m.c. (5,3) = 15

2 2 3 6

5 5 3 15

×

= =

×

1 1 5 5

3 3 5 15

×

= =

×

Logo,2 1 6 5 11

5 3 15 15 15

+ = + =

Para multiplicar fracções, multiplicamos numerador com numerador,

denominador com denominador.

Exemplo:

11 2 11 2 22

7 3 7 3 21

×

× = =

×

A divisão em Q é sempre possível. Dividira

b

porc

d

, é o mesmo que multiplicar

a

b

pelo inverso dec

d

;d

c

.

:

a c a d ad

b d b c bc= × =

Exemplo: 2 7 2 3 6

:

5 3 5 7 35

= × =




1.4 Números racionais e números irracionais

Números irracionais são todos aqueles que se podem escrever sob a forma de

fracção. Estes representam-se por dízimas infinitas não periódicas.

IR ⊃ Q ⊃ Z ⊃ IN

1.5 Operações com números reais

1.5.1 Adição

a + b com a, b ∈ IR

1) Adicionar um número real com 0, dá o próprio número, pois 0 é o

elemento neutro da adição:

0 + a = a + 0 = a, ∀ a ∈ IR

2) Adicionar os números simétricos a e – a :

(- a) + a = a + (- a) = 0, ∀ a ∈ IR

3) Se as parcelas têm o mesmo sinal:

(+…) + (…+) ou (-…) + (-…)

a soma tem esse mesmo sinal e o seu módulo é igual à soma dos

módulos

4) Se as parcelas têm sinais contrários:

(+…) + (-…) ou (-…) + (+…)

IR – conjunto dos números reais

Nos inteiros positivos

Nos inteiros relativos ( ) Zero

Nos racionais (Q ) Nos inteiros negativos

Nos reais ( IR) Nos

fraccionários – dízimas infinitas periódicas

Nos irracionais – dízimas infinitas não periódicas

(IN)




O sinal da soma é o da parcela com maior módulo e o módulo da

soma é igual à diferença dos módulos das parcelas.

Exemplo: (+ 5) + (+ 2) = + (5 + 2) = + 7

(- 3) + (- 2) = - (3 + 2) = - 5

(- 4) + (+ 2) = - (4 – 2) = - 2

Porque |- 4| > |2|

(+ 5) + (- 3) = + (5 – 3)= 2

Porque |5| > |-3|

1.5.2 Subtracção

a - b com a, b ∈ IR

Subtrair ao número a o número b é adicionar ao número a o simétrico

de b .

a – b = a + (-b) com a, b ∈ IR

Exemplo: 1 1 14 1 13

7 7

2 2 2 2 2

− = + − = + − = +

1.5.3 Multiplicação

a . b com a, b ∈ IR

1) Qualquer que seja o número a , a.0 = 0.a = 0 , o que traduz que 0 é

o elemento absorvente da multiplicação.

2) O produto tem sinal + se os factores tiverem o mesmo sinal e tem

sinal – se os factores tiverem sinais diferentes.




Podemos traduzir isto pela tabela seguinte:

. + -

+ + -

- - +

Exemplo:

1.5.4 Divisão

a : b com

a, b ∈ IR e

b ≠ 0

Dividir a por b , não é mais que multiplicar por a o inverso de b .

1

:

a

a b a

b b

= = ×

Exemplos: Calcular:

a)1

2 : 2.3 6

3

1 1 1 1

: 5 .

2 2 5 10

4 7 4 5 20

: .

3 5 3 7 21

= =

= =

= =

1 5

5.

2 2

5 3 5.3 15

.

2 7 2.7 14

2 3.2 6

3.

5 5 5

2 1 2 2

.

3 7 3.7 21

+ + =

− − = + = +

− + = − = −

+ − = − = −




b)

c)

1.6 Valores aproximados

1.6.1 Dizimas

As dízimas podem ser finitas, infinitas periódicas e infinitas nãoperiódicas

Exemplo: 0,111…. Ou 0,(1) é uma dízima infinita periódica de período 1

1 1 4 1

2 :

3 2 5 2

2 1 4

.2

3 2 5

2 1 8

.

3 2 5

2 8

3 10

2 4

3 5

(5) (3)

10 12

15 15

22

15

× +

= +

= +

= +

= +

= +

=

1 1 2 1 12 1 2

2 4 2

5 3 15 5 3 3 15

1 13 2 2 13 2 30 13 2

2 .

5 3 15 1 15 15 15 15 15

(15 )

17 2 19

15 15 15

− + + = − + +

= − + = − + = − +

= + =




Exemplo: 0,123123… ou 0,(123) é uma dízima infinita periódica de período

123

Exemplo: 1,15893571973… é uma dízima infinita não periódica (não há

repetição de algarismos ou de sequência de algarismos)

1.6.2 Valores aproximados, erro máximo cometido e valores

exactos

O erro máximo cometido é a diferença entre valor aproximado por excesso pelo

valor aproximado por defeito: 1,415 - 1,414 = 0,001. Neste caso o erro máximo

cometido é uma milésima.

Exemplo: 7 ~ 2, 64575...

O valor aproximado de 7 às milésimas por defeito é 2,645

O valor aproximado de 7 às milésimas por excesso é 2,646

O valor aproximado de 7 às centésimas por excesso é 2,65

O valor aproximado de 7 a menos de uma décima por defeito é 2,6

O valor exacto de 7 é 7

1,414 2 1,415< <

3 casas decimais 3 casasdecimais

Valor exacto

Valor aproximadode 2 , por excessoa menos de 0,001

Valor aproximado de 2 , por defeito a menos de 0,001

3 casasdecimais




Exemplo: 2 7+ = ?

1, 414 2, 645 2 7 1, 415 2, 646+ < + < +

4, 059 2 7 4, 061< + <

2 7+ = 4,061 é o valor aproximado por excesso a menos de 0,001

2 7+ 0 4,059 é o valor aproximado por defeito a menos de 0,001

O erro máximo cometido é 4,061 – 4,059 = 0,002

1.7 Potências

Regras de Cálculo:

I) .

p q p qa a a

+

=

Exemplo:

a)5 3 5 3 8

2 .2 2 2+

= =

b)

3 4 3 4 7

1 1 1 1

.

2 2 2 2

+

= =

II) ( ). .

p p

a b p

a b=

Na multiplicação de potências, com a mesma base,

mantém-se essa base e somam-se os expoentes.

Na multiplicação de potências, com o mesmo expoente,

multiplicam-se as base e mantém-se esse expoente.




Exemplo:

a)

3 3 3

1 5 5

.

3 2 6

=

b)

2 2

4 122 2( 3) . ( 4) 16

3 3

− = − = − =

III) : p q p q

a a a−

=

Exemplo:

a)

3 2 3 2

( 4) : ( 4) ( 4) 4

−

− − = − = −

b)

3 2 1

1 1 1 1

:

5 5 5 5

− − = − = −

IV) :

p

pa b

p a

b=

Na divisão de potências, com a mesma base, mantém-se

essa base e subtraem-se os expoentes.

Na divisão de potências, com o mesmo expoente, dividem-

se as base e mantém-se esse expoente.




Exemplo:

a) 3

3 3

1 13 3( 5) : 5 : ( 5 : 3) ( 15)

3 3

− = − = − = −

b)

4 4 4 4 4 4

5 1 5 1 5 10 5

: : .2

4 2 4 2 4 4 2

= = = =

V) ( )q

p pqa a=

Exemplo:

a) ( )23 6

2 ( 2)− = −

b)

35 15

1 1

2 2

=

Nota:n

a é sempre não negativa se o expoente é par; tem o sinal de a se o

expoente é ímpar; por convenção0

1a = e1

a a= .

Exemplo:

a)3

( 3) 27− = −

Podemos elevar uma potência a outra potência. Para seefectuar este cálculo mantém-se a base comum emultiplicam-se os expoentes respectivos.




b)2

( 4) 16− = +

c)3

2 8=

d)2

5 25=

Nota:2 2

4 ( 4)− ≠ − pois2

4 (4 4) 16− = − × = − (a base da potência é 4) e

2( 4) ( 4) ( 4) 16− = − × − = +

Se quisermos efectuar a operação2 5

3 : 3 ?

2 23 3 12 5

3 : 35 2 3 3

3 3 .3 3

= = =

Mas por III)2 5 2 5 3

3 : 3 3 3− −

= =

Então1 3

33

3

−

= que se trata de uma potência de expoente negativo.

VI)1 1

n

na

na a

−

= =

, com , 0 ea IR a n IN ∈ ≠ ∈

Exemplo: Transformar em potência de expoente positivo:

a)3 5 3 1 5 2 5 2 5 3

2 .2 : 2 2 : 2 2 : 2 2 2− − − + − − − − +

= = = =

O que significa que uma potência de expoente inteiro

negativo é igual ao inverso da potência de base igual e

expoente simétrico.




b)

55 5 2 2

1 2 10 1 2 10

: . : .

5 3 3 5 3 3

5 2 5 2

1 3 10 3 10

. . .

5 2 3 10 3

5 2 5 2 3

10 10 10 10

.

3 3 3 3

−− − − −

− − = − −

− − − −

= − − = − −

− −

= − − = − = −

VII) O radical

p

q p qa a= com 0; e

p

a q IN Q

q

> ∈ ∈

Exemplo: Escrever como uma potência de expoente fraccionário:

a)

3

3 22 2=

b)

1

51 15

2 2

=

c)

1

4 47 7=

d)

11133 32 2

2

−−

= =

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