capitulo iv

Mecnica de Fluidos I - Captulo IV

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VICTOR H. AROS ARAYA INGENIERO CIVIL I.C.I. NO4614-K

Captulo IV - CINEMTICA DE FLUIDOS

La cinemtica de fluidos estudia el movimiento de los fluidos sin considerar las causas

que lo producen; esto es, las fuerzas. Corresponde slo a una descripcin y clasificacin de

los escurrimientos, se consideran los siguientes temas:

1- El campo de velocidades y aceleraciones.

2- Visualizacin geomtrica del campo de velocidades.

3- Rotacin, vorticidad y circulacin de elementos de fluidos.

4- Fluido tri, bi y unidimensional.

5- Flujo laminar y turbulento.

6- Teorema del transporte de Reynolds.

1. El campo de velocidades y aceleraciones

Las diferentes partes de un fluido en movimiento tienen distintas velocidades y

aceleraciones (en general). Entonces el campo del movimiento fluido deber ser descrito

en trminos de las velocidades y aceleraciones de las partculas fluidas en los diversos

puntos de la regin del espacio tridimensional llamada por el fluido en movimiento

. Ambas variables fsicas son cantidades vectoriales:

: Ubicacin del punto de anlisis.

: Velocidad del punto y sus respectivas componentes.

: Aceleracin del punto y sus respectivas componentes.

Existen dos mtodos para describir el movimiento.

Mtodo de Lagrange

En este mtodo se sigue a la partcula en movimiento. Interesa definir las

coordenadas de la partcula, a lo largo del tiempo, en funcin de una posicin inicial.

; : posicin inicial

En coordenadas

rectangulares


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Las correspondientes velocidades y aceleraciones estn dadas por:

Mtodo de Euler

En este mtodo se fijan puntos discretos sin preocuparse por identificar las partculas

que se encuentran en dichos puntos. El observador nota las caractersticas del flujo cerca

del punto fijo que se considere. La descripcin de todo el campo de flujo es una fotografa

instantnea de las velocidades y aceleraciones.

En este mtodo las velocidades de las partculas en varios puntos son funciones del

tiempo. Es el mtodo que se usa en Mecnica de Fluidos. Interesa conocer y descifrar el

campo :

El campo de aceleraciones se obtiene en ( 1 ):

Pero:


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En coordenadas rectangulares:

La frmula (2) permite efectuar una primera clasificacin de los escurrimientos. Se

tienen los siguientes casos:

a) Si todas las aceleraciones locales son nulas el movimiento se denomina

PERMANENTE O ESTACIONARIO. La velocidad puede cambiar de punto a punto en

el espacio, pero en un punto fijo no ocurrirn cambios con el tiempo.

b) Si las aceleraciones locales no son nulas, el movimiento se denomina

IMPERMANENTE, NO-ESTACIONARIO o TRANSIENTE.

c) Si todas las aceleraciones convectivas son nulas, el movimiento se denomina

UNIFORME. En este caso el campo de velocidades es constante en todos los

puntos, este valor constante puede o no variar.

2. Visualizacin geomtrica del campo de velocidades

Puede obtenerse a travs de las lneas trayectorias, lneas de corriente, lneas de

humo y tubos de flujo.

Lneas de trayectorias: Se define como la lnea que une las sucesivas posiciones que

ocupa una partcula material.


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Lneas de corriente: Es la lnea tangente al vector velocidad en cada uno de sus

puntos.

Lneas de humo: Es la lnea del espacio que en un instante dado une las

posiciones de la partcula que ha pasado por un punto fijo P.

Lnea Trayectoria Lnea de corriente Lnea de humo

De la de definicin de lnea de corriente, se deducen los siguientes corolarios:

a) Por cada punto del espacio slo pasa una lnea de corriente.

b) Dos lneas de corriente no pueden cruzarse.

c) No puede haber flujo que atraviese una lnea de corriente.

La ecuacin de la lnea de corriente se establece a partir de la condicin de tangencia

con el vector de velocidad. Si es un elemento de curva de la lnea de corriente y la

velocidad en el mismo punto de posicin , se tiene:

O (0,0)

(0,0)

Lnea de humo

O

Ecuacin de la Lnea de corriente:

En coordenadas rectangulares


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Concepto de flujo

La palabra flujo tambin puede usarse para cuantificar la cantidad de fluido en

movimiento.

Flujo volumtrico: Es el volumen de fluido que atraviesa una seccin por unidad de

tiempo. Tambin recibe el nombre de caudal o gasto.

Flujo msico: Es la masa de fluido que atraviesa una seccin por unidad de tiempo.

Si : Flujo volumtrico y : flujo msico, se tiene:

: densidad del fluido

Para relacionar el flujo con el campo de velocidad es necesario definir el concepto de

tubo de flujo o corriente.

Tubo de flujo

Es la superficie engendrada por todas las lneas de corriente que cruzan una curva

cerrada.

Ecuaciones de una L.C en el espacio

tridimensional del fluido

- Consideremos una curva cerrada C que

encierra un rea elemental , siendo el

vector normal a de igual magnitud.

- Las lneas de corriente que atraviesan forman

un tubo de corriente.

- En el lmite puede considerarse que

todas las propiedades del fluido son uniformes

en , en particular la velocidad (que es

paralela al tubo del flujo, por definicin).


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- En un intervalo , el fluido se desplaza la longitud . La figura muestra que el

volumen de fluido que atraviesa durante el intervalo de tiempo es o

bien , en que es el parea de la seccin perpendicular a ; por lo tanto el

flujo elemental es:

Y el flujo msico elemental

3. Rotacin, vorticidad y circulacin de elementos fluidos

Anlisis de la variacin de velocidad en torno al punto

Por lo tanto:

En el punto P :

La variacin de en torno a P es:

Para simplificar consideramos rgimen permanente:

Anlogamente

A B

C

D F

P

P

x

z

y

E

Elemento de fluido


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O bien :

Estudiar la variacin de en el entorno de P equivale a estudiar la matriz:

Existen diferentes casos:

Caso a: Las derivadas parciales son todas nulas.

por lo tanto

El paraleleppedo se desplaza conservando su forma, P no se mueve con respecto a

P. por lo tanto la partcula est sometida a una TRASLACIN.

Caso b: Las derivadas son nulas excepto la diagonal.

por lo tanto

x

z

E

A

P

P

P

B

C

D F

y


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Al cabo de un lapso de el paraleleppedo se habr DILATADO. El punto P se habr

desplazado a P.

Caso C: Las derivadas son nulas excepto

.

Por lo tanto:

Por definicin llamamos rotacin al promedio de los ngulos formados ( velocidad

angular):

Para evaluar se debe determinar

Comp. s/y Comp. s/z

El vector es independiente de x,

por lo tanto se trata de una

DEFORMACIN PLANA en (z, y)

correspondiente en torno a x

D D F

F

C

C

P

z

y


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.

Caso d:

Por lo tanto:

El vector es independiente de por lo tanto, se trata de una deformacin plana

en (z x) correspondiente a una rotacin en torno a .

Por definicin llamamos rotacin al

promedio de las velocidades

angulares entorno a .

D D F

F

A

A

P

z

x


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Se debe evaluar a

.

Caso e:

Por lo tanto:

El vector es independiente de por lo tanto, se trata de una deformacin plana

en (x y) en torno al eje .

C C B

B

A

A

P

y

x


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Por definicin llamamos rotacin entorno a z a la expresin:

Se debe evaluar a

.

Caso f:

El vector se llama vorticidad, y es un concepto que permite clasificar los flujos en

rotacionales e irrotacionales.

Flujo rotacional: Cuando tiene un valor no-nulo.

Corresponde a una superposicin de los

casos c) d) y e)y se tendr una rotacin

angular entorno a un eje general:

:


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Flujo irrotacional: (o flujo potencial) Cuando ; esto es cuando los elementos de un

fluido se mueven sin rotar, en este caso . Por otra

parte, sabemos que ; siendo una funcin escalar. Si

se verifica que el flujo es irrotacional. La funcin se llama

funcin potencial.

El vector aparece cuando existen gradientes de velocidad.

Circulacin

Se tiene un flujo general y en su interior se define una curva cerrada C que encierra

un rea se debe cumplir el teorema de Stokes:

Si el flujo fuera irrotacional, entonces y el teorema de Stokes indica

que:

que representa otra condicin del flujo irrotacional

Mov fluido

C: Curva cerrada que encierra dS.

: Vector unitario perpendicular a dS.

Teorema de Stokes:

: Integral de lnea a lo largo de C


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Ejemplo:

Tomemos el caso de la figura siguiente, correspondiente a un flujo plano con

velocidad slo en la direccin x.

De acuerdo a lo anterior, en el caso de un flujo en una tubera rectangular con gran

ancho y donde la distribucin es como se indica:

4. Flujo Tri, bi y unidimensional

a) La ecuacin establece que el campo de velocidades es una

funcin de las 3 coordenadas del espacio y del tiempo. Un flujo de tal naturaleza se

denomina Tridimensional.

y

x

z

A B

D C

Aplicando la frmula anterior:

y

molinete

El vector es mayor mientras ms grande es

la gradiente .

Para visualizar experimentalmente la

existencia del vector en un punto del

escurrimiento, basta imaginar la ubicacin en un

punto de un pequeo molinete. Si este gira,

significa que all existe vorticidad y el flujo sera

rotacional.


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b) En la figura se ilustra un ejemplo de flujo bidimensional:

En este caso el campo de velocidades es funcin de x e y ya que las distribuciones de

velocidades son diferentes.

Otro ejemplo: Un flujo plano:

c) Considrese el flujo a travs de un tubo recto y largo de seccin transversal

constante. A una distancia suficientemente alejada de la entrada del tubo, la

distribucin de velocidad puede expresarla como se indica:

El flujo es unidimensional porque el campo de velocidad se expresa como funcin slo

de r, es decir independientemente de x y de . En general, un flujo se clasifica como

una, dos, o tres dimensiones dependiendo del nmero de coordenadas espaciales

necesarias para especificar el campo de velocidades.

5. Flujo laminar y turbulento

Estos tipos de flujo pueden visualizarse empricamente o a travs de las Experiencias

de Reynolds.

y

z

x

y

x O

2R

y

x


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Una tubera de vidrio sale de un estanque que contiene agua. En la tubera se agrega

un colorante mediante un inyector. El colorante debe tener el mismo peso especfico del

agua.

Al comenzar la experiencia, la vlvula que estaba cerrada se abre un poco; al agregar

colorante se podr observar un filamento de corriente teido recto (caso a), tenemos as

flujo laminar.

A medida que aumenta la velocidad el flujo (abriendo la vlvula) se nota que la lnea

de corriente deja de ser recta, se curva y flucta irregularmente, tendremos as un flujo

turbulento. Entre las dos situaciones existe una transicin.

Si se mide la velocidad en un punto y se grafica en funcin del tiempo, se tiene una

expresin grfica del fenmeno.

La velocidad instantnea:

: velocidad puntual media temporal

: pulsacin de la velocidad en torno a

Inyector colorante

Caso b)

Caso c)

Estanque de nivel constante

Tubera de longitud L y dimetro D

Caso a) Vlvula (c)

(b)

(a)

D


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el criterio para discriminar si el flujo en una tubera es laminar o turbulento consiste

en calcular el adimensional llamado Nmero de Reynolds calculado a travs de la

relacin:

Donde:

: Velocidad media espacial .

D: Dimetro de la tubera.

: Viscosidad cinemtica.

: Viscocidad dinmica.

: Densidad del fluido.

Si Flujo Laminar

Flujo Turbulento

Flujo Transicin

Distribucin de velocidades en condiciones reales

a) Tuberas en presin:

En una tubera en presin de dimetro finito D se puede considerar en el interior de ella,

tubos diferenciales de corriente, constituidos por anillos diferenciales


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:

: distribucin medi temporal, velocidad puntual.

En un tubo d e corriente:

El caudal total que circula por la tubera de dimetro D es

La velocidad media espacial en la tubera real ser

Que ser posible resolver si conocemos , donde una distribucin posible puede

ser:

: Velocidad en el centro

D = 2R

r

r

Distribucin

de velocidades

Tubo de corriente en

forma de anillo


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b) En placas paralelas de ancho b:

c) En un canal abierto:

6. Teorema del transporte de Reynolds

Enunciado

La variacin total de una propiedad fsica genrica F, en un volumen de control de

superficie S que es atravesado por un fluido en movimiento, es igual la variacin local en

el tiempo, de la propiedad F ubicada en el interior de , ms el flujo neto de la cantidad de

propiedad F que egresa a travs de la superficie S de .

Tesis

y

Los tubos de corriente son placas de

ancho b y espesor diferencial

Debe ser conocido

En el tubo de corriente el

caudal es:

: Variacin total de la propiedad F en el instante t o transporte de la

propiedad F

: Variacin local en el tiempo de la propiedad F en el interior de


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Hiptesis

F( t ): La cantidad total de la propiedad genrica que el fluido tiene en todo el volumen

en en el instante ( Esta propiedad puede ser la masa, la energa, o la cantidad

de movimiento u otra).

: La misma propiedad F pero por unidad de volumen, luego :

.

: Elemento diferencial de en el que entra y sale el fluido (corresponde a un tubo

de corriente); de secciones diferenciales y ( ).

: Vector de velocidad puntual con que entra y sale una partcula diferencial de fluido

a travs del elemento diferencial en la superficie .

: Flujo neto propiedad F que egresa a travs de la superficie S (corresponde

a la deferencia entre lo que entra y lo que sale).

Tubo de flujo diferencial

(S.M) Fluido en movimiento

S.M: Sistema material que corresponde

a la porcin del fluido que ocupa el

volumen en en el instante

: Volumen de control de superficie S,

fijo en el espacio, inmerso en un

fluido en movimiento que en cada

instante t es ocupado por masas de

fluido.


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Demostracin

1) Consideremos que el S.M (fluido) entra por la superficie y sale (al cabo de un lapso

) por la superficie ; de modo que .

2) En el instante , el volumen de control est lleno de fluido luego de

.

3) En el instante , una parte del fluido ha salido y se ubica en , y otra

parte se queda en , porque no alcanza a salir, ubicndose en .

4) La propiedad F en vale

La propiedad F en vale

por lo tanto la variacin total de F est dada por que se expresa, de acuerdo a

la definicin de derivada como:

5) Para evaluar y consideramos un tubo de corriente diferencial, de

los infinitos tubos de corriente que puedan considerarse, e integramos:

Tubo de flujo

o de corriente

Movimiento

de fluido


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Reemplazando en y ordenando:

Representa el flujo neto de la cantidad de propiedad F que expresa a travs de la

superficie S de

Representa la variacin de la cantidad de propiedad F en el interior de (variacin

local, en el tiempo

capitulo iv

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