capÍtulo 5 - estatistica

RESUMO CAPÍTULO 5 – ESTATÍSTICA SAYURI YAMANE

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Ibmec – DF

Profº Rogério Lúcio

CAPÍTULO 5 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS – LEVINE, STEPHAN

A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES PARA UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

Variável numérica – produz respostas numéricas discretas (contagem) ou contínuas(medição).

Uma distribuição de probabilidades para uma variável aleatória discreta é uma lista mutuamente excludente de todos os resultados numéricos possíveis para aquela variável, de modo que uma determinada probabilidade esteja associada a cada resultado.

A média aritmética, � , de uma distribuição de probabilidades é o valor esperado de sua variável aleatória. Para calcular o valor esperado, multiplica-se cada resultado possível , X, por sua probabilidade correspondente,P(X), e depois, soma esses produtos. �� , �, �� á�� ó��

� = �� = � ��

�� = � � − é�� á�� ó�� , � �� = �� ê �� − é��

O valor esperado representa a média aritmética.

Variância e Desvio-Padrão de uma variável aleatória discreta

Calcula-se a variância de uma distribuição de probabilidades multiplicando cada diferença possível elevada ao quadrado [�� − ��]#, por sua probabilidade correspondente, ��, e depois somando os produtos resultantes. ��â �� á�� ó��

$# = �[�� − ��]#��

�� = � � − é�� á�� ó�� , � �� = �� ê �� − é�� %�� − ��ã� �� á�� ó�� $ = &$# = '�[�� − ��]#�

�� Covariância e suas aplicações em finanças


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A covariância, $(), é uma medida da força da relação entre duas variáveis aleatórias discretas, X e Y. Uma covariância positiva indica uma relação positiva. Uma covariância negativa indica uma relação negativa. Uma covariância igual a zero, indica que as duas variáveis são independentes.

$() = �[�� − ��][*� − ��*�]��*��

� = ��á�� ó�� = � � − é�� á�� ó�� , � ��*�� = �� Ê �� − é�� − é�� * * = ��á�� ó�� * *� = � � − é�� á�� ó�� * � = 1,2, … 2

Valor esperado, variância e Desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias

O valor esperado da soma entre duas variáveis aleatórias é igual à soma dos valores esperados. A variância da osma entre duas variáveis aleatórias é igual à soma das variâncias. O desvio-padrão da soma entre duas variáveis aleatórias é igual á raiz quadrada da variância as soma entre duas variáveis. �� á�� ó�� + *� = �� + ��*� �� á�� ó�� + *� = $(4)# = $(# + $)# + 2$() %�� − ��ã� �� á�� ó�� $(4) = 6$(4)#

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Um modelo matemático é uma expressão matemática que representa uma variável de interesse.

Distribuição binomial é um dos modelos matemáticos de maior utilidade. Possui quatro propriedades essenciais:

A amostra consiste em um número fixo de observações, n.

Cada observação é classificada como uma de duas categorias mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas, geralmente chamadas de sucesso e insucesso.


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A probabilidade de uma observação ser classificada como sucesso, p, é constante, de observação para observação. Por conseguinte, a probabilidade de uma observação ser classificada como insucesso, 1-p, é constante em relação a todas as observações.

O resultado (ou seja, sucesso ou insucesso) de qualquer observação é independente do resultado de qualquer outra observação. Para assegurar a independência, as observações podem ser selecionadas aleatoriamente, seja a partir de uma população infinita sem reposição, seja a partir de uma população finita com reposição.

Regra de combinações 7�� çõ� : ú�� çõ� �� <�� <�� é =�� 7( = !�! � − ��!? �� @ � ! = � �� − 1� … �1� é �ℎ�� =�� , � =��. �� =� �çã�, 0! = 1

Para calcular o número de sucessos, X, sendo conhecidos os valores de n e p. %�� çã� D� �� = !�! � − ��! (�1 − �?E( �� @ � �� = �� , �� â�� = �� ℎ� �� = �� 1 − = �� = ú�� = 0, 1, 2, … , �

A média aritmética da distribuição binomial é igual ao produto de n e p. Gé�� é�� çã� D� �� é�� é��, �, �� çã� �� é �H �� ℎ� �� , , � �� , . � = �� = %�� − ��ã� �� çã� D� �� $ = &$# = &�� = & �1 − �


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DISTRIBUIÇÃO DE POISSON

Área de oportunidade é uma unidade contínua ou um intervalo de tempo, volume ou uma área tal que nela possa acontecer mais de uma ocorrência de um evento. Pode-se utilizar a distribuição Poisson para calcular probabilidades se:

Contar o número de vezes em que um evento específico ocorre em uma determinada área de oportunidades. A área de oportunidades é definida pelo tempo, extensão, área de superfície, etc.;

A probabilidade de que um evento é a mesma para todas as áreas de oportunidades;

O número de eventos que ocorrem em uma determinada área de oportunidades é independente do número de eventos que ocorrem em qualquer outra área de oportunidades;

A probabilidade de que dois ou mais eventos venham a ocorrer em uma determinada área de oportunidades se torna menor. %�� çã� �� = �EIJ(�! �� @ � �� = �� á�� J = ú�� = �� á�� K�� 2,71828 � = ú��

DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA

Tanto a distribuição binomial quanto a distribuição hipergeométrica estão relacionadas com o número de sucessos em uma amostra contendo n observações.

Para binomial, os dados da amostra são selecionados com reposição, de uma população finita, ou sem reposição, de uma população infinita.

Para distribuição hipergeométrica, os dados da amostra são selecionados sem reposição, de uma população finita. Por conseguinte, o resultado de uma observação é dependente dos resultados das observações anteriores. %�� çã� N��H��é��

�� = OP�Q O2 − P − �QO2 Q


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�� @ � �� = �� , �� ℎ�� , 2 � P = �� ℎ� �� 2 = �� ℎ� �� çã� P = ú�� çã� 2 − P = ú�� çã� � = ú�� OP�Q = R7(

O número de sucessos na amostra, representado por X, não pode ser maior do que o número de sucessos na população, A, ou o tamanho da amostra, n. assim, a amplitude da variável aleatória hipergeométrica é limitada ao tamanho da amostra ou ao número de sucessos na população, dependendo do que for menor. Gé�� é�� çã� N��H��é�� = �� = P2 %�� − ��ã� �� çã� N��H��é��

$ = S P�2 − P�2# S2 − 2 − 1

S2 − 2 − 1 = é � =�� çã� �� çã� =� �� @ � �� H�� çã�, �� çã� =� ��.

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