capitulo 02 novo

Os textos, exerccios e figuras deste texto foram retirados de diversas referncias bibliogrficas listadas no programa da disciplina

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FENMENOS DE TRANSPORTE

Captulo 2 INTRODUO TRANSFERNCIA DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO

2.1. Descrio e Classificao do Movimento dos Fluidos

a) Experincia de Reynolds - Escoamento laminar e turbulento

Devido ao efeito da viscosidade, o escoamento de fluidos reais pode ocorrer de dois modos

diferentes: o escoamento laminar e o escoamento turbulento. As caractersticas destes regimens

foram inicialmente descritas por Reynolds, com um dispositivo como o descrito abaixo. A gua escoa

de um tanque atravs de um tubo de vidro com abertura em forma de sino, sendo o escoamento

controlado pela vlvula. Um tubo fino proveniente de um reservatrio de corante, termina no interior

da entrada do tubo de vidro. Reynolds verificou que, para pequenas velocidades de escoamento no

tubo de vidro, forma-se um filamento estreito e paralelo ao eixo do tubo. Entretanto, abrindo-se mais a

vlvula, e atingindo-se velocidades maiores, o filamento de corante torna-se ondulado e se

interrompe, difundindo-se atravs da gua que escoa no tubo. Reynolds verificou que a velocidade

mdia para a qual o filamento de corante comea a se interromper (chamada velocidade crtica)

dependo do grau de estabilidade da gua no tanque. Uma vez que o movimento catico das

partculas fluidos durante o escoamento produzia difuso do filamento, Reynolds deduziu de sua

Escoamentos

viscosos

Laminar

Turbulento Interno

Externo Uniforme

No-uniforme

Permanente

Transiente


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experincia que em velocidades baixas isto no deveria ocorrer, e verificou que as partculas fluidas

se movimentavam em camadas paralelas, ou lminas, escorregando atravs de lminas adjacentes,

mas no se misturando entre si, este movimento denomina-se escoamento laminar. Mas para

velocidades superiores, o filamento do corante se difunde atravs do tubo, tornando-se aparente o

movimento catico das partculas fluidas, e neste caso, dizemos que o escoamento turbulento.

Reynolds generalizou as concluses tiradas de sua experincia com a introduo de um termo

adimensional Re, definido pela relao:

uDuD Re

Onde:

u a velocidade mdia no tubo

D o dimetro interno do tubo

a viscosidade absoluta ou dinmica do fluido

a viscosidade cinemtica do fluido

a massa especfica do fluido

Reynolds inferiu que certos nmeros podem delimitar a transio entre o regime laminar e o regime

turbulento para qualquer fluido. O nmero de Reynolds crtico funo da geometria dos contornos

Para:

dutos cilndricos - Lc (dimenso caracterstica) = D Rec = 2300 (2000 a 4000)

escoamento entre paredes paralelas - Lc = distncia entre paredes Rec = 1000

escoamento em canal aberto - Lc = profundidade da gua Rec = 500

ao redor de uma esfera - Lc = dimetro da esfera Rec = 1

sobre uma placa plana Lc = comprimento da placa Rec = 500000

Quando temos outros tipos de seo transversal, pode-se utilizar o conceito de Dimetro Hidrulico

(DH).

PA

D sH 4

Ex: onde As = rea da seo formada pelo fluido P = permetro molhado

Ex: baab

DH

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O nmero de Reynolds uma relao entre foras de inrcia e foras viscosas. As foras de inrcia

so perturbadoras, enquanto as foras viscosas so amortecedoras das perturbaes.

a

b


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b) Escoamento Interno e Externo

Os escoamentos completamente envoltos por superfcies slidas so chamados internos ou

em dutos. Aqueles em torno de corpos imersos num fluido no contido so denominados externos.

Tanto o escoamento interno quanto o externo pode ser laminar ou turbulento, compressvel ou

incompressvel.

O escoamento de lquidos no qual o duto no fica completamente preenchido - onde h uma

superfcie livre submetida a uma presso constante - denominado de canal aberto.

Escoamento interno Escoamento externo Escoamento interno e externo

c) Escoamento permanente e no-permanente

Escoamento permanente ou estacionrio o escoamento em que as propriedades no mudam

com o tempo. Para escoamento permanente: 0t

0tu

No escoamento permanente, qualquer propriedade pode variar de ponto a ponto no campo de

escoamento, mas todas as propriedades permanecero constantes com o tempo, em cada ponto.

Escoamento no-permanente, no-estacionrio ou transiente o escoamento em que as

propriedades so f uno do tempo.

Em escoamento em regime, as linhas de corrente e as trajetrias so coincidentes. Se o

escoamento for uma funo do tempo, transiente, as linhas de corrente e as trajetrias sero

diferentes.

d) Escoamento uniforme e no uniforme


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Num escoamento uniforme, o vetor velocidade o mesmo, em mdulo e direo para qualquer

ponto do escoamento. Esta definio no obriga a velocidade ser constante em relao ao tempo, ela

obriga sim se houver variao, esta deve ocorrer simultaneamente em todos os pontos do

escoamento

Exerccios

1) Qual o nmero de Reynolds de um escoamento de leo a uma vazo de 0,6 m/s em um tubo

de 15 cm de dimetro se a viscosidade do leo vale 0,999 Ns/m e sua densidade relativa 0,89?

Diga se o escoamento laminar ou turbulento.

Resposta:4537 turbulento

2) O ar nas condies padres (P=1atm e T=15C) flui num tubo com dimetro interno de 1 in. A

velocidade mdia de 1 ft/s. O escoamento laminar ou turbulento?

Resposta: Re = 530 - laminar

3) A mecnica dos fluidos do sistema arterial humano de vital importncia para a nossa sade e

segurana. A densidade relativa e a viscosidade do sangue so de mais ou menos 1,06 e 3,3 cP

respectivamente. A velocidade mdia do escoamento na aorta (dimetro interno de 30 mm) de

uma pessoa grande de cerca de 0,15 m/s. Calcule o nmero de Reynolds do escoamento,

usando essas propriedades. Voc espera que este fluxo seja laminar ou turbulento?


4) gua a 15C flui num tubo com dimetro interno de 50 mm. Determine o valor mximo da

velocidade mdia para o escoamento ser laminar.

Resposta: u = 0,052 m/s

5) leo de viscosidade cinemtica 0,0062 ft/s escoa em um tubo de 3 in de dimetro com uma

velocidade de 14 ft/s. Diga se o escoamento laminar ou turbulento.


6) No problema anterior, se voc dobrar a velocidade, qual dever ser o novo dimetro para manter o

mesmo nmero de Reynolds?

7) Considerando um nmero de Reynolds crtico de 500.000 para a transio do regime laminar para

o regime turbulento em escoamento sobre uma placa plana, determine a distncia da borda frontal

em que a transio ir ocorrer para cada um dos seguintes fluidos com velocidade u=1m/s: ar

atmosfrico, gua, leo de mquina e mercrio. Em todos os casos a temperatura do fluido 27C

e as viscosidades cinemticas dos mesmos so, respectivamente, 15,89 x 10-6 m/s, 8,58 x 10-7


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m/s, 550 x 10-6 m/s e 0,1125 x 10-6 m/s. Elabore uma justificativa para relacionar as distncias

obtidas com as viscosidades cinemticas dos fluidos.

Resposta: 7,9 m, 0,4 m, 275 m e 0,056 m respectivamente.

8) Para dobrar o nmero de Reynolds de um determinado escoamento, mantendo o mesmo fluido e

a mesma temperatura de escoamento, qual deveria ser:

a. o novo dimetro, mantida a vazo

b. a nova velocidade, mantido o dimetro.

9) Qual o nmero de Reynolds em um canal por onde escoa um efluente a 1m/s (= 1100 kg/m e

=1,3 cP), cujas dimenses so de 14 cm de largura e o fluido escoa com uma altura de 7 cm?

Calcule o nmero de Reynolds utilizando como dimenso caracterstica o dimetro hidrulico.

Re = 118462

10) Um sensor em forma de esfera colocado num leito de um rio para medir o oxignio dissolvido.

Para calibrar o sensor preciso saber o nmero de Reynolds do escoamento. Portanto determine

o nmero de Reynolds do escoamento de gua a 15C a 1,4 m/s ao redor do sensor que tem 12

mm de dimetro. O escoamento laminar ou turbulento?

Re = 14737. Turbulento

11) Num sistema de lubrificao h uma folga de 1 mm entre duas paredes. A velocidade mdia do

escoamento de 0,8m/s. O leo que preenche a folga leo SAE 30 a 20C. O escoamento

laminar ou turbulento?

Re = 1,8 (obtm-se esta resposta com o valor de viscosidade cinemtica igual 4,5 x 10-4 m/s) Laminar

2.2. Transferncia de Quantidade de Movimento Lei de Newton da Viscosidade

Quantidade de movimento uma quantidade vetorial definida por

vmP. onde P a quantidade de movimento, m a massa e v a velocidade.


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Um fluido est confinado entre duas placas planas, sendo a inferior fixa e a superior em movimento.

aplicada uma fora Fx tangencial que provoca o deslocamento da superfcie superior com a

velocidadev. Devido condio de no escorregamento a camada de fluido em contato com uma

superfcie tem a mesma velocidade da superfcie. Por isso, a camada superior arrastada juntamente

com a placa e suas molculas colidem com as molculas da camada imediatamente anterior,

ocorrendo transferncia de quantidade de movimento entre as camadas do fluido. Devido s

diferentes velocidades das camadas de fluido, estabelece-se entre elas um atrito intenso chamado de

tenso de cisalhamento e que tende a se opor ao movimento.

As camadas de fluido ao escoarem com diferentes velocidades estabelecem um perfil de velocidades

no seio do fluido.

Lei de Newton da Viscosidade

a a b b Fx vx

dy c d

Observa-se que a fora aplicada proporcional velocidade que ser impressa placa superior.

Quanto maior esta fora maior ser o deslocamento da placa e, consequentemente, a deformao do

fluido.

Temos ento a Lei de Newton da Viscosidade

dydu

yx

Onde

= tenso de cisalhamento (N/m) - ndice x direo do movimento


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- ndice y direo do transporte do impulso de quantidade de

movimento.

(-) indica o sentido do fluxo de quantidade de movimento da maior para a menor velocidade, ou no

sentido decrescente (observe que no indica o sinal da fora).

= fator de proporcionalidade viscosidade dinmica ou absoluta (N.s/m)

du/dy = gradiente de velocidades ou taxa de deformao angular (s-1)

Exerccios

12) Supondo que um fluido de viscosidade 50 cP esteja confinado entre duas placas planas separadas

por uma distncia de 2 mm, determine qual ser a fora necessria que dever ser aplicada na

placa superior para arrast-la a uma velocidade de 5 cm/s. A placa tem

rea de 0,1 m.

Resposta: 0,125N

13) Um cilindro de 0,122 m de raio gira concentricamente dentro de um

cilindro fixo de 0,128 m de raio. Os dois cilindros tm 0,305 m de

comprimento. Determine a viscosidade do lquido que preenche o

espao entre os dois cilindros, sabendo que h necessidade de um

torque de 0,881 N.m para manter uma velocidade angular de 60 rpm.

Resposta: 0,242 Ns/m

14) Fio magntico deve ser rev estido com verniz isolante puxando-o atravs de uma matriz circular

com passagem de 0,9 mm de dimetro. O dimetro do fio de 0,8 mm e ele fica centrado na

passagem. O verniz que tem viscosidade absoluta = 2000cP preenche completamente o espao

entre o fio e a passagem por um comprimento de 20 mm. O fio puxado atravs da passagem a

velocidade de 5 m/s. Determine a fora requerida para pux-lo.

Resposta: 10 N

15) Em relao ao problema anterior avalie o efeito sobre a fora nos casos abaixo:

a. aumento da velocidade do fio

b. aumento do dimetro do fio

c. aumento da folga entre o fio e a matriz

d. aumento da temperatura

e. aumento do comprimento da matriz


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16) Uma placa que dista 0,5 mm de uma placa fixa, move-se a 0,25 m/s e necessita de uma fora por

unidade de rea de 2 Pa para manter a velocidade constante. Determinar a viscosidade da

substncia entre as placas em unidades SI.

Resposta: 0,004 Pa.s

17) Explique (quantitativamente e qualitativamente) o que acontece com a fora necessria para

movimentar a placa do problema anterior se:

a. a distncia entre as placas diminuir pela metade

b. a velocidade da placa aumentar em 50%

c. a viscosidade do fluido cair 10%

18) Determine a viscosidade do fluido entre o eixo e a bucha da figura

Resposta: 1,144 Pa.s

19) Qual a tenso de cisalhamento entre duas placas horizontais que se movimentam em sentidos

opostos? A placa inferior movimenta-se para a esquerda com velocidade de 10mm/s e a placa

superior movimenta-se para a direita com velocidade de 5 mm/s. As placas esto separadas por

uma camada de glicerina a 40C de 4 mm de espessura. Esboce o perfil de velocidades e o perfil

de tenses de cisalhamento.

Tensao = 1,5 Pa

20) Repita o problema anterior, mas supondo que ambas as placas movimentam-se para a esquerda.

2.3. Reologia

Este texto foi retirado do livro Fundamentos de Reologia de Polmeros, de Rmulo Feitosa Navarro,

da EDUCS (1997).


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A conceituao mais abrangente de reologia dada por Vinograd e Malkin (1980) que definiram a

reologia como a cincia que se preocupa com a descrio das propriedades mecnicas dos vrios

materiais sob vrias condies de deformao, quando eles exibem a capacidade de escoar e/ou

acumular deformaes reversveis.

Objetivos da reologia: a partir da relao entre a tenso aplicada sobre um corpo e a resposta

deste a deformao a este esforo, os estudos reolgicos tero que decifrar a estrutura do

material e projetar seu comportamento em situaes diferentes, do que as usadas durante o teste.

A resposta do material imposio de um esforo externo a nica propriedade confivel para

classific-lo como sendo fluido ou slido. Todavia, nem sempre os resultados desta classificao so

confiveis. Segundo Lenk (1978) um fluido, idealmente, um corpo que se deforma irreversivelmente

como resultado do escoamento. Entretanto, os metais e outros slidos plsticos escoam e permitem

deformaes irreversveis e, notadamente, no so fluidos. O que distingue um slido plstico de um

fluido que o segundo no resiste ao prprio peso e seu escoamento majoritariamente viscoso na

temperatura ambiente.

Desta forma, a anlise da relao tenso-deformao no basta para classificar reologicamente

um material, necessrio verificar a existncia de escoamento em primeiro lugar, uma vez que no

escoando o material com certeza um slido, e por ltimo o tipo de escoamento verificado, se viscoso

ou plstico. Convm ressaltar que outra caracterstica: a recuperao espontnea ou deformao

reversvel, antes s relacionada com os slidos, no pode ser um determinante do carter reolgico

dos materiais, uma vez que tambm pode ser apresentada por uma classe especial de fluidos

chamados de viscoelsticos.

Fluidos Newtonianos

Este modelo impe que a viscosidade seja uma propriedade fsica mutvel apenas mediante

variao de temperatura e presso. A viscosidade no depende do cisalhamento aplicado ou do

tempo de sua aplicao.

a

b Os fluidos representados pelas retas ao lado, so todos newtonianos, mas tm viscosidades diferentes. A viscosidade a inclinao

c de cada curva do grfico tenso x deformao.

a >b >c

= . du/dy (1) du/dy

Fenmenos No-Newtonianos

Os fluidos que no obedecem Lei de Newton da Viscosidade so uma parcela significativa

dos fluidos reais. Para estes fluidos a viscosidade deixa de ser um coeficiente para se tornar uma

propriedade que varia de acordo com as condies com as quais o fluido se depara. Neste caso


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passa a ser denominada de viscosidade aparente. Os fluidos no newtonianos tm uma viscosidade

chamada de viscosidade aparente.

A dependncia da viscosidade aparente com a taxa de deformao e/ou com o tempo, bem

como as caractersticas inerentes aos slidos (elsticas e plsticas) quando presentes em fluidos

viscosos formam a base do que se convencionou chamar de fenmenos no newtonianos.

Esses fenmenos so divididos em 3 categorias:

independentes do tempo;

dependentes do tempo;

viscoelsticos.

Fenmenos no-newtonianos independentes do tempo

Os comportamentos independentes do tempo podem ser includos em duas categorias:

fluido essencialmente viscoso, mas sua viscosidade aparente varia com a taxa de deformao (ou

seja, no representado por uma reta no plano tenso deformao) fenmenos de potncia;

fluido tem um comportamento plstico antes de escoar

como um fluido;

Pseudoplasticidade

Este o fenmeno de potncia que ocorre mais

freqentemente. Este fenmeno faz com que a

viscosidade aparente, que a baixas taxas de


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cisalhamento tem um valor alto, caiam a um valor constante a partir de um valor crtico da

tenso de cisalhamento.

Este comportamento pode ser explicado por uma das 3 razes que se seguem:

- existncia no sistema lquido de partculas assimtricas que estando no repouso, orientadas

de forma aleatria, assumem uma direo preferencial na direo do escoamento;

- sistemas lquidos constitudos de molculas grandes e flexveis que passam de uma

configurao aleatoriamente enrolada no repouso, para uma orientada na direo do

escoamento, assumindo uma forma quase linear;

- existncia de molculas que em repouso se encontram altamente solvatadas, tm as camadas

de solvatao destrudas pela ao do cisalhamento.

Molculas grandes e flexveis, como as molculas polimricas, devido ao elevado grau de

enrolamento produzem vrios pontos de contato entre seus segmentos cinticos ao longo de seu

comprimento. Estes pontos de contato atuam de forma a evitar o livre movimento destas

molculas e/ou de seus segmentos, de forma que confere ao sistema uma viscosidade maior em

taxas de deformao mais baixas. Na medida em que o cisalhamento imposto capaz de iniciar a

eliminao destes pontos de contato, alinhando as molculas na direo do cisalhamento, a

viscosidade aparente do sistema ser paulatinamente diminuda at que o equilbrio seja

novamente alcanado.

Exemplos: suspenses coloidais, polmeros no estado fundido, solues polimricas, polpa de papel

em gua.

Dilatncia

o fenmeno oposto pseudoplasticidade. Foi observado pela primeira vez por Reynolds ao

observar que alguns sistemas se expandiam volumetricamente sob cisalhamento. Estudando

suspenses concentradas em gua, Reynolds deduziu que este comportamento anmalo se devia ao

fato de que estas suspenses , quando em repouso, apresentavam uma quantidade mnima de vazios

e que o lquido era suficiente apenas para preench-los . Sob cisalhamento suave, o lquido lubrificava

as partculas facilitando seus movimentos relativos. Aumentos posteriores na taxa de deformao

provocavam expanso no material e aumento na quantidade de vazios. Deste ponto em diante o

lquido no era mais suficiente para lubrificar as partculas em movimento. O aumento na viscosidade

aparente do sistema era ento evidenciado pela necessidade de se aumentar a tenso de

cisalhamento para manter o movimento das partculas.

um fenmeno pouco comum, estando associada s suspenses concentradas de partculas

grandes.

Exemplo: suspenses de amido e areia.


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1) Viscoplasticidade

a) Fluido de Bingham

A viscoplasticidade um fenmeno caracterizado pela existncia de um valor residual para a

tenso de cisalhamento, o qual deve ser excedido para que o material apresente um fluxo viscoso.

Este comportamento comum s composies altamente concentradas em que a interao partcula-

partcula desempenha um papel importante. Sistemas que so considerados lquidos como lamas,

polpas de frutas e suspenses concentradas, quando tm sua concentrao de slidos elevada alm

do valor crtico, favorecem a formao de um esqueleto por parte das partculas antes dispersas .

Esse esqueleto alm de ser responsvel pela elevao na viscosidade do sistema, impede que o

mesmo flua normalmente. Portanto necessrio destruir este esqueleto para que o material realize

um escoamento viscoso.

Exemplos: suspenses de argila, lamas de perfurao e pasta dental.

b) Fluido de Herschel-Bulkley (pseudoplstico com tenso inicial)

Fenmenos no newtonianos dependentes do tempo

O efeito do tempo assume grande importncia quando a estrutura aleatria dos sistemas

lquidos muda de forma gradual frente a um campo de cisalhamento. A heterogeneidade no

escoamento caracterizada pela presena de duas ou mais fases que interagem entre si e produzem

perturbaes locais nas linhas de fluxo. Dentre os fatores que causam a heterogeneidade podem ser

citados: foras interfaciais, pontes de hidrognio e outras interaes moleculares. Alm disto existe a

tendncia de uma das partes da fase dispersa se cristalizar durante o escoamento, aumentando sua

frao volumtrica custa da fase contnua que lhe providencia volume livre e lubrificao. Estas

perturbaes aumentam de importncia com o aumento de concentrao, podendo gerar aumento ou

diminuio da viscosidade aparente do sistema dependendo da forma como a estrutura interna do

lquido ser alterada: se destruda ou ampliada. Os processos caracterizados pela destruio

estrutural pela ao do tempo fazem parte do fenmeno conhecido como tixotropia. Os processos

contrrios recebem o nome de no-tixotrpicos.

Tixotropia

um fenmeno caracterizado pela diminuio da viscosidade aparente do lquido com o

tempo de aplicao de uma dada taxa de deformao.


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Fenmenos no-tixotrpicos Reopticos

A antitixotropia ou reopexia

perfeitamente explicada pelas teorias

aplicadas tixotropia, s que no sentido

inverso. Todavia deve ser acrescentado que

as partculas da fase dispersa devem possuir

uma tendncia aglomerao, a qual

aumentada pela ao do cisalhamento

imposto.

Fluidos viscoelsticos

So fluidos que tm caractersticas viscosas e elsticas. Ou seja, quando submetidos a uma

tenso de cisalhamento deformam-se, mas recuperam-se parcialmente da deformao ao cessar o

esforo. Exemplos deste tipo de fluidos so as massas e as gelias.

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