capacitores e dielétricos um capacitor é um sistema elétrico
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IBM1018 – Física Básica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 9
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Capacitores e Dielétricos
Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores
separados por um material isolante, ou pelo vácuo.
Imaginemos uma configuração como a de um capacitor em que os
dois condutores estejam inicialmente descarregados (com carga
líquida nula). O processo chamado de carregamento de um capacitor
consiste em transferir elétrons de um dos condutores para o outro de
maneira que, no fim do processo, um dos condutores esteja com
carga líquida positiva +Q e o outro condutor esteja com carga
líquida negativa −Q. Note que a carga líquida total do sistema
formado pelos dois condutores continua nula.
Após o carregamento de um capacitor, dizemos que ele armazena ou
possui carga Q.
Note que entre os dois condutores de um capacitor carregado existe
um campo elétrico ��� que aponta do condutor com carga +Q para o
condutor com carga −Q. Consequentemente, o condutor com carga
+Q está a um potencial maior que o condutor com carga −Q.
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Nos diagramas de circuitos elétricos, representa-se um capacitor
pelo símbolo abaixo:
.
Uma maneira de carregar um capacitor é ligar fios metálicos aos
condutores e conectá-los aos terminais opostos de uma bateria.
Espera-se até que as cargas +Q e −Q se estabeleçam nos dois
condutores e depois desconectam-se os fios da bateria. Como as
cargas não podem passar de um condutor para outro, a carga
armazenada no capacitor permanece constante. A voltagem Vab entre
os condutores (Va − Vb) permanece constante e é igual à voltagem da
bateria.
Capacitor de placas planas e paralelas
Consideremos um capacitor cujos condutores sejam placas metálicas
planas e paralelas carregadas com cargas +Q e −Q. Vamos supor que
as placas têm área A e estejam separadas por uma distância d.
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Se a distância d for muito menor que a área das placas, podemos
tratá-las, aproximadamente e longe das bordas, como se fossem
planos infinitos. Neste caso, como visto em aulas anteriores, o
campo elétrico entre as placas é uniforme, aponta da placa carregada
positivamente para a carregada negativamente e seu módulo vale
� = ����� = ���
, (1)
onde σ é a densidade superficial de carga nas placas do capacitor,
� = �� . (2)
A diferença de potencial entre as duas placas é
� = �� − �� = � ��� ∙ �ℓ���
�= ��, (3)
o que implica que, substituindo (1) em (3):
� = ����
= �����. (4)
A diferença de potencial entre as placas é proporcional à carga Q
armazenada.
Este resultado vale para qualquer capacitor: a diferença de potencial
V entre dois condutores, de qualquer forma, carregados com carga Q
é proporcional a Q.
Invertendo a equação (4), podemos escrever Q em função de V:
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� = ���� �. (5)
Define-se
� ≡ ���� (6)
como a capacitância do capacitor (como vimos, esta relação vale
para qualquer capacitor). Portanto, a relação entre a carga
armazenada num capacitor e a diferença de potencial entre os
condutores é
� = ��. (7)
A unidade de capacitância é o farad (F), em homenagem a Michael
Faraday (veja a aula 3).
1 farad = 1 F = 1 !" = 1
#$%&$'()$&* .
Quanto maior for a capacitância de um capacitor, maior a carga Q
armazenada no capacitor para uma mesma diferença de potencial.
A equação (6) nos permite escrever as unidades da constante ε0 em
termos do farad:
+��, = +�, +�,+�, = F
m, ou
ε0 = 8,85 × 10−12 F/m.
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Capacitor esférico
Um capacitor esférico é formado por uma esfera condutora interna
de raio ra e uma casca esférica condutora concêntrica de raio rb. As
duas estão separadas pelo vácuo. A esfera interna tem carga +Q
distribuída por sua superfície externa e a casca esférica externa tem
carga −Q distribuída por sua superfície interna (figura abaixo).
Para calcular a capacitância desse capacitor, vamos usar a relação
(7), que é válida para qualquer capacitor:
� = �� . (8)
Para determinar V, precisamos determinar o campo elétrico ��� entre a
esfera e a casca esférica.
Tomemos uma superfície gaussiana de raio r entre a esfera e a casca
esférica. O fluxo elétrico por essa superfície vale Q/ε0:
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Φ1 = 2 ��� ∙ ��� = ���
. Por simetria, ��� é constante em módulo ao longo dessa superfície
gaussiana. Ele também aponta na direção radial, que coincide com a
direção de ���. Logo
Φ1 = �� = �4345 = ���
. Então,
� = 143��
�45.
O campo elétrico entre a esfera e a casca esférica é igual ao de uma
carga puntiforme +Q colocada no centro delas. Como o campo
elétrico é o mesmo de uma carga puntiforme no centro, o potencial
elétrico também o será:
� = 143��
�4 .
Portanto, a diferença de potencial entre a esfera de raio ra e a casca
esférica de raio rb é
�67 = �6 − �7 = �43��46
− �43��47
= �43��
8 146
− 147
9
= �43��
47 − 464647
. A capacitância do capacitor esférico é então
� = ��67
= 43��4647
47 − 46. (9)
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Um caso particular da equação (9) ocorre para o caso em que a casca
esférica de raio rb está muito longe da esfera de raio ra. Se a
distância entre elas for tão grande que se possa aproximar rb → ∞, a
capacitância do sistema torna-se
� = 43��464747
= 43��46, (10)
ou seja, a capacitância depende apenas do raio da esfera interna.
Podemos então definir a capacitância de uma esfera condutora de
raio R como:
� = 43��<. (11)
As linhas de força entre a esfera de raio R e a casca esférica de raio
“infinito” se estendem até o “infinito”.
Por exemplo, se pudermos tratar a Terra como uma esfera condutora
esférica, sua capacitância vale (o raio da Terra é R ≅ 6,37 × 103 km)
CTerra ≅ 7,1 × 10−4 F = 710 µF.
Este é um valor bastante grande. Tão grande que podemos supor, em
geral, que quando se escoa uma quantidade de carga ∆Q para a Terra
a alteração no seu potencial é desprezível (veja abaixo)
� = �� .
É por isso que a Terra é um bom “terra”.
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Capacitor cilíndrico
Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor de raio
ra e densidade linear de carga λ1 circundado por uma casca cilíndrica
condutora coaxial de raio interno rb e densidade linear de carga −λ
(veja a figura abaixo).
Para calcular a diferença de potencial entre os cilindros, lembremos
que p potencial em um ponto externo a um cilindro carregado a uma
distância r do centro vale
� = >23��
ln 4�4 ,
onde r0 é uma distância arbitrária onde V = 0. Podemos usar esta
expressão aqui porque a carga elétrica sobre a casca cilíndrica
externa não contribui para o potencial no interior do cabo coaxial.
1 Para relacionar a densidade linear de carga λ com a densidade superficial de carga σ, mais usual quando se trata de superfícies, basta lembrar que a carga total em um comprimento L do cilindro é Q = λ L = σA = 2πraLσ. Isto nos dá: λ = 2πraσ.
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Vamos escolher r0 = rb, o raio da parte de dentro da casca cilíndrica
externa. Então, o potencial em ra será
�67 = �(A) − �(B) = >23��
ln 4746
− 0 = >23��
ln 4746
. (12)
Essa diferença é positiva, pois V(a) > V(b).
Para calcular a capacitância, vamos usar a fórmula C = Q/Vab. A
carga Q é dada por Q = λL, de maneira que
� = 23��Cln D4746E. (13)
A capacitância por unidade de comprimento é, então
�C = 23��
ln D4746E. (14)
Note que, assim como nos casos dos capacitores de placas planas
paralelas e esférico, a capacitância do capacitor cilíndrico depende
apenas das dimensões do capacitor.
Substituindo ε0 = 8,85 × 10−12 F/m = 8,85 pF/m em (14), obtemos
uma expressão útil para a capacitância por unidade de comprimento:
�C = 55,6 pF/m
ln D4746E . (15)
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Capacitores em série e em paralelo
A figura (a) abaixo mostra o diagrama de circuitos para um arranjo
de capacitores denominado de arranjo em série. Em um arranjo
desse tipo, dois ou mais capacitores são conectados um após o outro
(em série) por fios condutores. Os terminais do circuito estão ligados
aos polos de uma bateria, de maneira que a diferença de potencial
entre eles é V.
A placa superior do capacitor de capacitância C1 acumula carga +Q.
Portanto, a placa inferior desse capacitor possui carga −Q. Os
elétrons que se acumulam nessa placa vieram da placa superior do
segundo capacitor (com capacitância C2). Desta forma, a placa
superior desse segundo capacitor também tem carga +Q e a placa
inferior tem carga −Q.
Quando capacitores são conectados em série, cada um deles possui a
mesma carga.
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A partir deste resultado, podemos escrever que as diferenças de
potencial entre os pontos a e c e c e b na figura são:
�6H = �I = ��I
e �H7 = �5 = ��5
. Isto implica que
�67 = � = �I + �5 = � 8 1�I
+ 1�5
9. Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em série no
circuito acima por um único capacitor equivalente com capacitância
�LM = 1�I
+ 1�5
. A figura (b) acima mostra o capacitor equivalente.
Generalizando, se tivermos N capacitores em série em um circuito
eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente com
capacitância
�LM = 1�I
+ 1�5
+ ⋯ + 1�O
. (16)
A figura abaixo mostra um arranjo de capacitores em um circuito
denominado de arranjo em paralelo.
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Note que os terminais dos capacitores estão ligados aos mesmos
polos da bateria, de maneira que as diferenças de potenciais entre
eles são todas iguais a V.
Vamos supor que a carga total presente no circuito vale Q e ela se
encontra distribuída pelos capacitores de maneira que o primeiro
possui carga Q1 e o segundo possui carga Q2:
Q = Q1 + Q2. (17)
Temos, então
� = �I� + �5� = (�I + �5)�. Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em paralelo
no circuito acima por um único capacitor equivalente com
capacitância
�LM = �I + �5. O capacitor equivalente está mostrado na figura (b) acima.
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Generalizando, se tivermos N capacitores em paralelo em um
circuito eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente
com capacitância
�LM = �I + �5 ⋯ �O . (18)