9 CAPACITORES.

Un capacitor es un dispositivo de dos terminales, consiste en cuerpos conductores separados por un material no conductor que se conoce con el nombre de aislante o dieléctrico. El símbolo del capacitor se muestra en la figura 64.

A causa del dieléctrico las cargas no pueden moverse de un cuerpo conductor a otro dentro del dispositivo, estas pueden transportarse a través de un circuito externo, conectado entre las terminales del capacitor.

i Para describir la relación carga-voltaje del capacitor transferimos carga de una placa a otra, supongamos que por medio de un circuito externo tomamos una pequeña carga ∆� de la placa inferior a la placa superior. Este deposita una carga + ∆� en la placa superior y deja una carga -∆� en la placa inferior, entonces la capa superior se eleva a un potencial con respecto a la placa inferior ∆�. Cada ∆� que transfiéranos incrementa la diferencia de potencial.

La carga del capacitor (46) es directamente proporcional a la diferencia de potencial, esto significa que una variación en el voltaje V entre las terminales corresponde a una variación de carga q en el capacitor. q = CV Donde c es una constante de proporcionalidad conocida como capacitancia y su unidad es

el Faradio (F) = � �� ��� �� ��� � .

Diferenciando la ecuación (46) tenemos: i = ���� = C ���� .

De la ecuación (47) observamos que si V es constante entonces la corriente i es igual a cero.

Concluimos de lo anterior que: Un capacitor actúa como un circuito abierto ante el voltaje de corriente directa (cd). EJEMPLO Un voltaje el cual se incrementa linealmente de 0 a 1V en ��� segundos, ver figura 65, se aplica a un capacitor de 1F, hallar la corriente en el capacitor. V = 0 t ≤ 0 V = at 0 ≤ t ≤ ���

V � 1 t " �� Si el voltaje anterior se aplica a las terminales de un capacitor de un faradio de la corriente, como muestra la figura 66. t � 0 i � 0 0 # $ # ��� i � a t % ��� i � 0

Encontramos v(t) en términos de i(t) integrando la ecuación (47) dv � �� idt obtenemos:

vt� � �� ( )*$ + ,�-. t/� (48)

Donde:

V0 t/� � ��.�� - voltaje en el capacitor con un tiempo t/.

La ecuación (48) también puede escribirse como la integral indefinida mas una constante de integración. V0 t� � �� ( )*$ + k

Si se toma t/ = - y se supone que V0 t� � �� ( )*$��2

9.1 Almacenamiento de energía de los capacitores.

El voltaje entre las terminales de un capacitor esta acompañado por la separación entre sus placas. Estas cargas tienen fuerzas eléctricas que actúan sobre ellas, un campo eléctrico se define como la fuerza que actúa sobre unidad de carga positiva. La energía acumulada en un capacitor esta almacenada en el campo eléctrico. w0t� � 4 5 *$�

�2 � 4 ,) *$��2 � 4 ,6 *,*$ *$�

�2 � C 4 , *,��2 � 12 6,8t� 4�

�2

Puesto que v9∞� � 0 entonces podemos escribir: w0t� � �8 6,8 (50)

Figura 66

9.2 Conexión de capacitores.

9.2.1 Capacitores en serie.

Consideramos una conexión en serie de N capacitores, ver figura 67:

Sustituyendo la ecuación (48) en la (51):

vt� � 161 ( ; *$ + ,1$t0 t0� + 162 ( ; *$ + ,2$t0 t0� + … + 16= ( ; *$$t0 � > 161 + 162 + ⋯ + 16=@ ( ) *$ + ,1$t0 t0� + v2t0� + … + vNt0�

vt0� � es el voltaje en Cs en t = t/. ��B � ��C + ��D + … + ��E – ∑ ��H IJK� (52)

Para el caso cuando dos capacitores se encuentran conectados en serie: CL � �C�D�CM�D

¿Cuál será la formula cuando hay conectados tres capacitores en serie? 9.2.2 Capacitores en paralelo. Cp � C� + C8 + … + CO (53)

Aplicando la segunda ley de Kirchoff

tenemos:

v � v1 + v2 + … + vn (51)

Figura 68 Aplicando la primera ley de Kirchoff tenemos, figura 68: i � i� + i8 + … + iO � C� ���� + C8 ���� + . . . + CR ��� i � C� + C8 + … + CO� ���� � ∑ 6OIJK� ���� i � CS ����

Figura 67

10 INDUCTORES.

Un inductor es un dispositivo de dos terminales que consiste en un alambre conductor embobinado. Una corriente que fluya a través de este dispositivo produce un flujo magnético el cual forma trayectorias cerradas, ver figura 69. En un inductor lineal, el acoplamiento por flujo es directamente proporcional a la corriente que lo produce: λ � Li (55) Donde L es la constante de la proporcionalidad conocida como inductancia en webers por Amperio. Su unidad es el Henrio (H). En la ecuación (55) vemos que un incremento en i produce un incremento en λ, el cual genera un voltaje en la n-ésima vuelta de la bobina. De esta manera, el voltaje es igual a la razón de cambio en el tiempo del flujo magnético total. v � �V �� � L ���� (56)

La ecuación (56) muestra que si i es constante, entonces el voltaje es igual a 0. Por lo tanto, un inductor actúa como un corto circuito ante la corriente de corriente directa (cd). Por otro lado, mientras i cambie con mayor rapidez, mayor será el voltaje que aparezca entre las terminales del inductor. Encontramos ahora la corriente i(t) en términos del voltaje v(t). Integrando la ecuación (56) tenemos: iWt� � �X ( �X$��-. dt + it/� 57

Si aceptamos que t/ � 9 e iW9∞� � 0, entonces: iWt� � �X ( �X$���2 dt (58)

Figura 69

Supongamos que la bobina tiene N

vueltas y que el flujo magnético Φ pasa a

través de cada vuelta. El flujo total se conoce

comúnmente como flujo total concatenado o

enlazado (54).

λ � NΦ (54)

10.1 Conexión de los inductores.

10.1.1 Conexión en serie.

10.1.2 Conexión en paralelo it� �

�XC ( �*$�-. + i� (t) + �XD ( �*$�-. + i8(t) + … + i(t) +

�XE ( �*$�-. + iO (t) = ( �XC + �XD + … +

�XE � ( �*$�-. + i�(t/) + i8(t/) + … + iO (t0) it� � ∑ �X[IJK� ( �*$�-. + it/� it� � �X[ ( �*$�-. + it/� �X[ = �XC +

�XD + … + �XE = ∑ �XHIJK� (60)

10.2 Almacenamiento de energía en los inductores. Una corriente i que fluye a través del inductor produce un flujo concentrado total λ. Para establecer el flujo Φ en el inductor es necesario un trabajo. El trabajo o energía se almacena en el campo magnético. La energía almacenada en el inductor esta dada por: wWt� � ( ���2 i dt � ( \��2 ���� i dt � L ( ) *)��2 � L ]D8 ^ ��2 _ wWt� � L ]D8 t� (��K �2

como i9∞� � 0 entonces

Figura 70

Aplicando la segunda ley de Kirchoff, ver figura 70: v � v1 + v2 + … + vn v � L1 *)*$ + L2 *)*$ + … + L` *)*$ v � L1 + L2 + … + LN� *)*$ � ∑ Lna=�1 *)*$ v � Ls *)*$ Ls � L1 + L2 + … + Ln (59)

Figura 71

Aplicando la primera ley de Kirchoff, ver

figura 71:

i � i� + i8 + … + iO

wWt� � �8 L i8 t� (61)

11 Leyes de la conmutación

En las redes eléctricas pueden conectarse o desconectarse las ramas activas o pasivas, en ellas pueden ocurrir cortos circuitos en algunas partes, diferentes tipos de interrupción, cambios repentinos de los parámetros, etc. Como resultado de estos cambios, denominados conmutaciones (que ocurren instantáneamente) en los circuitos, surgen los procesos transitorios que terminan pasado un tiempo (teóricamente en un tiempo infinito) después de la conmutación. A continuación formu8lamos las dos leyes de la conmutación:

11.1 Primera ley de la conmutación

El voltaje que aparece en las terminales de un capacitor lineal siempre debe ser una función continua. v0 0�� � v00� � v00M)

Donde: v0 (0�) = lim�→2 Vt� , el valor limite de v0 (t) cuando t se t # 0 Aproxima a 0 desde valores de t > 0, es decir, desde “arriba”. Cualquier cambio abrupto o instantáneo en el voltaje requiere que una corriente infinita fluya a través del capacitor, el cual requiere una potencia infinita en las terminales del capacitor, lo que es físicamente imposible. De tal manera que los cambios abruptos de o instantáneos en el voltaje a través del capacitor no son posibles. Primera ley de conmutación: El voltaje en el capacitor conserva en el momento de la conmutación, la magnitud que tenía antes de la conmutación y después cambia empezando de la magnitud. En la figura 72 analizaremos los cambios de voltaje en los elementos del circuito para los instantes t = 0-, t = 0M y t =∞.

El esquema de figura 72 para un t = 0� nos queda de la misma forma, por lo tanto en:

Figura 72

t = 0� v0 0�� � VfK8Ώ � VfK�8Ώ � VfKhΏ � 0 Tomando en cuenta la primera ley de la conmutación, tenemos: t � 0M v0 0�� � v0 0M� � 0 Por lo tanto, el voltaje es igual a cero y significa un corto circuito. El esquema de la figura 72 para un t = 0M queda de la forma en que se muestra 73. El esquema para un t = ∞ queda como en la figura 74.

11.2 Segunda ley de conmutación

La corriente circula por un inductor lineal siempre debe ser una función continua. iW0�� � iW0� � iW0M� (63)

Donde:

iL (0�) = lim�→2 )$� i (0M) = lim�→2 )$� t < 0 t > 0

0� Tiempo antes de acción del interruptor. 0M Tiempo después de la acción del interruptor. Los momentos 0� y 0M físicamente son el mismo instante de tiempo pero para el circuito significan diferentes estados. Generalmente 0� es el instante antes de la conmutación y en este momento evaluamos las condiciones iníciales, y 0M es el primer instante después de la conmutación y en este momento permanecen constantes los parámetros que no cambian abruptamente como son el voltaje en el capacitor y la corriente en el inductor.

Figura 73

VfK�8Ώ = VfKhΏ = 20� 32+3 � 12 V VR�2Ώ = 20 – 12 � 8V

Figura 74

VR�4Ώ = 0

VR�2Ώ = 20� 22+12 � 2.857 V

VR�12Ώ = Vc � 20� 1212+2 � 17.143 V

Los cambios abruptos en la corriente requieren un voltaje infinito aparezca entre las terminales del inductor, esto requiere que exista una potencia infinita en las terminales del inductor, lo cual es físicamente imposible. De esta manera, los cambios instantáneos en la corriente a través del inductor no son posibles. Segunda ley de conmutación. La corriente en el inductor se conserva en el momento de la conmutación, la magnitud que tenia antes de la conmutación y después empieza a cambiar a partir de esa magnitud. En la figura 75 analizaremos los cambios de corriente en los elementos del circuito para las instantes t = 0�, t = 0M y t =∞.

El esquema de la figura 75 para un t = 0� queda de la misma forma, por lo tanto: iL � iR�9Ώ � iR�3Ώ � 0 Tomando en cuenta la segunda ley de conmutación, tenemos: iL (0M) = )X (0�) = 0 La corriente en el inductor es igual a cero, por lo tanto, este se comporta como un circuito abierto. El esquema de la figura 75 para un t = 0M queda de la forma que se muestra en la figura

76.

Figura 75

Figura 76

iR�3Ώ � 18A iR�9Ώ � 0A

Los ejemplos de los 72 y 75 muestran que aun cuando se cumpla con las leyes de la conmutación, hay casos particulares en los cuales el capacitor puede actuar como un corto circuito y el inductor, como un cortó abierto. Podemos observar que los resistores, la corriente y el voltaje, cambian generalmente de manera abrupta.

12 Procesos transitorios, forzados y naturales

En capítulos anteriores consideramos los estados permanentes de los circuitos, es decir, los voltajes y las corrientes permanecen constantes en un largo tiempo.

Este régimen se establece cuando esta actuando una fuente de energía por un tiempo bastante prolongado, pero no en el momento de conectar o desconectar la fuente de alimentación o en el momento de cambio de sus parámetros, es decir después de la conmutación. Desde el momento de la conmutación en el circuito se observa un proceso transitorio, que dura un tiempo prolongado (teóricamente infinito) y después se convierte paulatinamente en un régimen establecido. De esta manera el proceso transitorio permite una transición suave de este nivel de energía a otro circuito o sistema. La solución transitoria es un medio para describir la manera con que el circuito reacciona para satisfacer las condiciones iníciales al aplicar una función de excitación, que demande un cambio en el estado de energía. En la vida cotidiana podemos percibir el proceso transitorio al conectar o apagar el radio. Usted puede observar que al desconectar el aparato de sonido sigue trabajando todavía unos segundos, ¿Por qué paso esto? Por que los elementos del radio tienen energía acumulada y sin tener fuente de alimentación comienzan a liberar esta energía permitiendo funcionar nuestro aparato. Lo mismo pasa cuando conectamos; el sonido tarda en aparecer por que el aparato necesita un tiempo para pasar un estado establecido (sin fuente de energía) a otro funcionando. De esta manera un régimen establecido esta separado de otro por un intervalo de tiempo durante el cual pasan los fenómenos que aseguran un cambio gradual del estado anterior al nuevo estado. El estudio del proceso transitorio se simplifica si se considera el proceso transitorio como resultado de la superposición de dos procesos: primero, es el régimen establecido que se supone

Figura 77

El esquema para un t = ∞ queda

como en la figura 77.

iL ∞� � 18� 33+9 � 4.5A

que empieza momentáneamente después de la conmutación; y el segundo, es el proceso libre que caracteriza el cambio del régimen establecido anterior al nuevo régimen establecido. El proceso libre (conocido comúnmente como respuesta natural) depende de la “naturaleza” general del circuito (el tipo de elementos que lo forman, su tamaño, la forma en que están interconectados) y no depende del tipo de fuente empleada. Tomando en cuenta que los circuitos que contienen los capacitores o inductores se describen en el caso general por las ecuaciones integrodiferenciales, la respuesta natural es al mismo tiempo la solución de una ecuación diferencial, lineal, homogénea o sea, es la función complementaria. El régimen establecido proporciona la respuesta que tiene la misma forma que la función de excitación. Por lo tanto, si la función de excitación es una senoide la respuesta forzada será también una senoide. La respuesta forzada es la solución particular de la ecuación diferencial no homogénea. De esta manera la respuesta total puede representarse como la suma de las dos respuestas (natural y forzada). i � if + in vR � vRf + vRn VL � VLf + VLn VC � VCf + VCn (64) Veremos el circuito de la figura 78: Rif + L *)s*$ + 16 ( )s *$ � e

Donde it - es la corriente forzada

Restando la ecuación de la primera y representando i – it � iR tenemos: Rin + L *)=*$ + 16 ( )= *$ � 0 o VRn + VLn + VCn � 0

La diferencia entre voltajes y corrientes de los procesos transitorio y forzado se llama voltaje y corriente natural. Por causa de la corriente natural el proceso se aproxima continuamente al forzado.

Figura 78

Por la segunda ley de Kirchoff, para cualquier t: Ri + L *)*$ + 16 ( ) *$ � e

Donde i es la corriente del proceso transitorio. Cuando el proceso transitorio termina, empieza el proceso forzado.

13 Circuito de primer orden

En este capitulo introduciremos el estudio de circuitos integrados por un solo elemento

que almacena energía. De este modo, el tipo de circuito que analizaremos es aquel que contiene un solo capacitor o un solo inductor, y además cualquier cantidad de resistencias y fuentes. Se demuestra que las ecuaciones que describen a estos circuitos pueden ponerse en la forma que considere una variable desconocida.

13.1 Circuitos RL

Cualquier circuito compuesto por resistencias y un inductor representa un caso donde ocurre una disipación de energía, así como un almacenamiento de la misma en forma de campo magnético, A continuación presentamos los siguientes casos que se pueden dar en circuitos RL.

13.1.1 Circuito RL simple (sin fuentes)

Hay que encontrar una expresión para i(t) que satisfaga a esta ecuación y que tenga el

valor I0 en t = 0. Para resolver una ecuación diferencial separamos las variables para integrar ambos miembros de la ecuación: ���� = -

vXi (Multiplicamos por dt y dividimos entre i)

��� = - vXdt ( ������w. = ( 9 vXw/ dt ln i(�w. � 9 vX t (w/

ln i – ln I/ = - vXt

i(t) = I0 e �xy- De igual forma podemos encontrara las respuestas utilizando integrales definidas:

Figura 79

La corriente y voltaje producidos por la energía almacenada en el inductor esta dada por: WL =

�8 L i8 (t)

Tomando en cuenta que no hay fuentes conectadas en el circuito de la figura

79: if � 0 Entonces i � in Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos: VR + VL � R i + L *)*$ � 0 ���� + vXi = 0

( ��� = ( 9 vXdt obteniendo: ln i = 9 vXt + k

La constante de integración la calculamos para que satisfaga la condición inicial i(0) = I/ Entonces en t = 0 la respuesta se convierte en ln I/ = K por lo tanto: ln i = 9 vXt + K I0

i(t) = I0 e �xy-

Representando Xv = { la siguiente ecuación queda de la siguiente forma:

it� � I0 e9${ � I0 e9∝t (65)

∝ = �} =

vX coeficiente de amortiguación.

Donde: { es la constante de tiempo y puede ser definida como el tiempo en el cual iR disminuye en e veces respecto a la magnitud inicial, ver figura 80.

Donde R es la resistencia equivalente vista desde las terminales del inductor, para t > 0 (suponiendo que es el tiempo cuando se lleva a cabo la conmutación). La potencia instantánea entregada al resistor es:

p(t) = R i8 (t) = R I02 e~Dxy - De esta manera la energía absorbida por el resistor cuando la corriente se hace infinita esta dada por:

W(∞) = ( 5$�2/ dt = ( �2/ I02 e~Dxy - = I02 R>9 X8v@ e~Dxy - (2/ = �8 I02 L

Este es el resultado que se esperaba, por que la energía total almacenada inicialmente en

el inductor es WW = �8 I/ y no hay energía almacenada en el inductor en el tiempo infinito, ya que

toda la energía almacenada inicialmente en el inductor se dispara a través del resistor.

La corriente natural se amortigua con menor rapidez cuando

mayor sea la constante de tiempo { o menor el coeficiente

de amortiguación, es decir, para valores mayores de

inductancia (L) y valores menores de resistencia (R). En caso

general denominamos { � Xv (66)

Ejemplo En el circuito de la figura 81 encontrara iW cuando la corriente en t = 0 es igual a 10 A. Por la segunda ley de la conmutación i09� � i0� � i0+� � A � 10 iL = 10 e� ��� -

13.1.2 Circuito RL con fuentes de energía

13.1.2.1 Circuito RL en corto circuito.

Ejemplo: Tomando en cuenta la figura 83 encontrar la corriente en el inductor iW.

Figura 81

iL =Ae��� { = X8v´ R = 5 + 10�‖100 + 15 _ = 35Ω { =

��� seg.

iL =Ae9353

Figura 82

La corriente es el inductor antes de la conmutación es constante, ver figura 82.

i09 = �vM�

La corriente forzada después de la conmutación es igual a 0

if = 0 por lo tanto i = in Evaluando en t = (0M) tenemos:

i(0�) = i(0) = i(0M) = �vM�

i = in � �vM� e9 $� = �vM� e� �\-

VL = L ���� = L

�vM� >9 �X@ e� �y = - E �vM� e� �� = - eL

Figura 83

Recordemos que iL = iLn + iLf

La respuesta forzada iLf = 0 ya que para un t = ∞ la fuente de corriente de 10A esta en corto circuito, por lo tanto. iL = iLn = Ae� ��. Donde

{ = Xv donde R =

8/�/�8/M�/ = 12Ω

{ = 8�.�/~��8

Por lo tanto: iW =Ae� CDD�C.~��-

= Ae �h�/- Para encontrar la condición inicial es necesario redibujar el circuito, ver figura 84, para un t = 0�

Por divisor de corriente, tenemos: iL (0�) = (10)

�/�/M8/ = 8A

Evaluando en t = i(0M), obtenemos: iL (0M) = iL (0�) = 8A Sustituyendo el valor de A en la ecuación de la respuesta correcta completa queda: iL = 8e�h�/- (A)

13.1.2.2 Circuito RL con corriente directa

i = if + in = �v -

�v e��� = �v >; 9 e��� @

Figura 84

Recuerde que el inductor se

comporta como un corto circuito

Figura 85

Como sabemos la corriente transitoria i tiene 2 componentes que son: corriente forzada y corriente natural, ver figura 85. i(0�) = 0

Procedemos a encontrar la corriente forzada if = �v

VL = VLn = L ���� = L �9 �v > vX@� e� �� = -V

Antes de conectar la tensión en el inductor VL = 0 y en el momento de la conmutación VL = -V entonces la tensión natural y transitoria cambian abruptamente. Ejemplo: En el circuito que se muestra en la figura 86, encontrar la corriente en el inductor iL.

Para encontrar la condición inicial es necesario redibujar el circuito para un t = 0�, como se muestra en la figura 88.

40 = 25 + A ⟹ A = 15

La respuesta total queda iL == 25 + 15e�h- (A)

Figura 86 iL = iLf + iLn

Para encontrar la respuesta forzada redibujaremos el circuito para un t = ∞, ver figura 87.

Figura 87 iW (∞) = 8h/�M�‖�/_� . �/�/M� = 25 A

{ = Xv =

8�M�/ ‖�_� = �h

Figura 88

iL (0�) = 8h/� = 40A

iL = 25 + Ae� $� = 25 + Ae �h-

Por la ley segunda de la conmutación, tenemos: iL (0�) = iL (0M) = 40 Evaluando en t = 0, la ecuación de la respuesta correcta, tenemos:

13.2 Circuito RC

13.2.1 Circuito RC sin fuentes

Aplicando la segunda ley de Kirchoff, tenemos:

Ri + v = 0 = RC ���� + v = 0

���� +

�v� v = 0

Separando las variables v y t: ���� = -

�v� v ��� =

�v� dt ( ���� = -�v� ( *$ ln v = -

�v� + k

Donde k la seleccionamos de tal modo que satisfaga la condición inicial. Por la primera ley de la conmutación tenemos:

v(0�) = v(0) = v(0M) = v0

ln v (0) = ln v0 = k

ln v – ln v/ = ln ��. = - �v�

v = v0e9 $�6 (67) Donde: { = RC coeficiente de tiempo, ver figura 90. En caso general { = R´C (68) Donde R´ es la resistencia equivalente vista desde las terminales del capacitor para t > 0 (cuando la conmutación se lleva a cabo para un t = 0). Cuando el tiempo se incrementa, el voltaje y la energía almacenada en el capacitor decrecen. La potencia instantánea, absorbida por el resistor es:

PR (t) = �D��v =

�.Dv e� D�x�

Por lo tanto, la energía absorbida por el resistor en un tiempo infinito es:

Figura 89

Suponga que el capacitor se carga a un voltaje de v0, ver la figura

89, en el tiempo inicial, el cual tomaremos como t = 0. La energía almacenada inicialmente en el capacitor es:

wc (0) = �8 C v/2

if = 0 entonces i = in i = ���� = C

����

WR (∞) = ( �v2/ dt = ( �.v 2/ e� D�x� = -�8 CV02 e� D�x� (2/ =

�8CV02

la cual es la igual a la energía almacenada inicialmente en la red.

Ejemplo: En el circuito de la figura 91 encontrar vc.

Por lo tanto queda: Vc = 25e �8-

13.2.2 Circuito en corto circuito

Figura 90

Figura 91

Vc = Vcf + Vcn

Como podemos observar Vcf = 0. Por lo tanto. Vc = Vcn = Ae�$� = Ae� �x´� �v´� =

��� �C. = 2

Figura 92

En la figura 92 determinamos las condiciones iníciales. Vc (0M) = VR � 5Ώ = (40)

��M� = 25

Por la ley de la conmutación tenemos: Vc (0�) = Vc (0M) = 25 = A

Figura 93

Vc = Vcf + Vcn

Tomando en cuenta la figura 93, podemos observar que la respuesta forzada del voltaje en el capacitor es igual a cero, debido a que en un t = la fuente de voltaje E se encuentra en corto circuito.

Como Vcf = 0 entonces Vc = Vcn

���H�� +

��� Vcn = 0

La solución general de la ecuación anterior es:

Vcn = Ae� ��� Por la ley de la conmutación, tenemos: V (0�) = V (0M) = E = A Donde: A = E es el voltaje inicial en el capacitor y lo encontramos a partir de las condiciones iníciales. Sustituyendo la constante A en la ecuación de la respuesta, obtenemos:

Vcn = Ee� ��� Aplicando la segunda ley de Kirchoff, tenemos:

rin + Vcn = 0

in = - ��J� = - �� e� ���

13.2.3 Circuito RC con corriente directa

Evaluando la expresión en t = 0 0 = E + A ⟹ A = -E

Vc = E (1- e� ��)

ic = C ����� = �v e� ��

Graficando el resultado anterior,

obtenemos la figura 94. Figura 94

Figura 95

Vc = Vcf + Vcn Vcf = E El capacitor no fue cargado V(0�) = 0V. Por la ley de la conmutación. V(0�) = i(0M) = 0

Ejemplo

En el esquema de la figura 96 encontrar las corrientes i1,i2, e i3 y el voltaje en el capacitor.

Para facilitar la solución de nuestro ejercicio, dividiremos nuestro esquema en tres partes:

Figura 96

Datos

R1 = R3 = 5Ω R2 = 10 Ω R4 = 15 Ω C = 1 �F E = 15 V

t < 0

En este tiempo encontramos el valor de las condiciones iníciales, donde el capacitor se comporta como u circuito abierto, ver figura 97.

Figura 97

i1 = i2 = �v�Mv8Mvh =

���M�/M��

Vc (0�) = i2 (R2 + R4) = 0.510 + 15� = 125

t = ∞

en este tiempo encontramos el valor de la componente forzada, el capacitor se comporta como un circuito abierto, ver figura 98.

Figura 98

Vcf = R2 i2f i2f = i1f =

�v�Mv8 = ���M�/ = 1A

Vcf = 10 (1) = 10 V i3f = 0A

�v´� = ��.����/~� � 1210h� seg.��

La respuesta correcta puede escribirse Vc = 10 Ae��8�/��- Evaluando en t = 0: 2.5 = 10A A = 2.5

Vc = 10 + 2.5e��8�/��- i3 = C

���� = 10�� (-30)( 10h) e��8 �/�� = -0.3e��8�/��-

i2 = ��M��v�v8 =

�/M8.��~CD�C.���M ��/.��~CDC.�����/ = 1 + 0.1e��8�/��- i1 = i2 + i3 = 1 + 0.1e��8�/��- + (-0.3e��8�/��-) = 1 – 0.2e��8�/��-

t > 0 en este tiempo encontramos el valor de la componente natural, se conecta el capacitor y las fuentes se ajustan a cero, ver figura 99.

Figura 99

Tomando en cuenta que Vc = Vcf + Vcn Entonces: Vc = 10 Ae� $�´6

R´= R� + v�v8v�Mv8

R´ = 5 + ���/�M�∩ = 8.33Ω

14 Función escalón unitario

La operación de un interruptor en serie con una batería es equivalente a una función de excitación que vale cero hasta que se cierra el interruptor, y después es igual al voltaje de la batería. En esta función de excitación cambia su magnitud instantánea en el momento de la conmutación, este tipo de funciones se relaciona con funciones singulares. La función más importante de este tipo son la función escalón unitario e impulso unitario. La función de excitación unitaria (conocida como la función de heaviside) se define como una función del tiempo, que vale cero cuando su argumento es negativo y vale uno cuando su argumento es positivo. La descripción matemática de la función (69):

u (t)¡0 $ # 01 $ % 0_ La grafica se muestra en la figura 100 Por medio de la función escalón unitario puede expresarse cualquier tipo de funciones. Una fuente de voltaje o de corriente puede ser representada como una multiplicación u(t) por el voltaje o la corriente. Un escalón de voltaje de V voltios se representa como V u(t) y su circuito equivalente se muestra en la figura 101.

Como podemos observar existe un corto circuito para t < 0 y el voltaje es cero. Para t > 0 aparece un voltaje V entre las terminales. Analógicamente en el circuito equivalente de una fuente de escalón de corriente de I amperios, ver figura 102. Existe un circuito abierto para t < 0 y la corriente es igual a cero. Para t > 0 fluye una corriente de I amperios entre las terminales. En circuitos reales no es necesario que la fuente de voltaje este en corto circuito para t < 0, basta conectar una fuente de voltaje en serie con un interruptor, y esto es equivalente a un generador de escalón de voltaje, ver figura 103.

Figura 100

Figura 101

Figura 102

Regresando a nuestra definición de escalón unitario, podemos generalizarla reemplazando

t por t – t0, obteniendo:

u (t – t0)¢0 $ # $01 $ % $0 _ (70)

su grafica se muestra en la figura 104

Las funciones escalón son útiles en la formulación de funciones complejas. Por ejemplo, tomemos el siguiente pulso de voltaje, según la figura 105:

v(t)£ 0 $ # 0� 0 # $ # $/1 $ % $0 _ Su grafica es

Puesto que u(t) se hace 1 para t > 0 y –u�t – t/� se hace -1 para t > t/ obtenemos:

V1 (t) = V ¤¥ $� 9 ¥$ 9 $/�¦ (71) Como podemos observar nuestro pulso original esta formado por dos pulsos, de tal forma que podemos verificar este resultado, observemos la figura 106 t < 0

V1 (t) = V(0 - 0) = 0

0 < t < t0

V1 (t) = V(1 - 0) = v

Figura 103

Figura 104 La función u (t – t0) es la función u (t) atrasada t0 segundos.

Multiplicando esta función por V o I resulta una fuente de escalón de

voltaje o de corriente, cuyo valor cambia abruptamente en el tiempo t0.

Figura 105

Figura 106

t > t0

V1 (t) = V1 9 1� = 0 La fuente que suministra el pulso rectangular de voltaje se muestra en la figura 107.

Ejemplo: Dibujar la grafica para las siguientes funciones: ft� � 40u 9t� ft� � 3u t 9 1�

t� � 2u3 9 t� Esta función podemos escribirla de la siguiente forma: ft� � 2u 9t 9 3��

14.1 Respuesta al escalón unitario

La respuesta al escalón es la respuesta del circuito que tiene solo una entrada, la cual es la función escalón unitario. Respuesta y escalón de entrada pueden ser una corriente o un voltaje. Esta es la situación cuando los corrientes y los voltajes en la red son iguales a cero en t = 0�. Así la respuesta al escalón es la respuesta a la entrada de un escalón unitario sin energía inicial almacenada en el circuito.

Figura 107

Por ejemplo, encontramos la respuesta al escalón V en el circuito RC con una entrada vc � ut� V, cuyo impulso de entrada se muestra en la figura 108.

En el tiempo t = 0- tenemos: ���� +

�v� = 0 Cuya solución es v = A e� �x�

Al aplicar la condición inicial Vc (0M) = V(0) = Vc (0�) vemos que A es igual a cero.

vt� � 0 para t # 0. Lo anterior confirma nuestra afirmación de que la respuesta es cero antes del cambio de la entrada.

Tomando en cuenta que Vc(0�) = V(0) = Vc(0M) ⟹ 0 ⟹ A = -1, y por lo tanto la solución para todo tiempo es igual:

v(t)¨ 0 $ # 01 – ©� �x� $ % 0_ (72)

Lo escrito en la ecuación 72 puede escribirse usando la función escalón unitario.

Figura 108

Figura 109

El sistema equivalente del circuito se muestra en la figura 109. Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos:

RC���� + v = u(t) ���� +

�v� = �v�u (t)

Figura 110

En el tiempo t > 0, ver figura 110. *,*$ +

,v� = 1�6

Sabemos que v = vf + vn entonces: vf = 1 y vn = Ae� �x� de tal manera que:

v = 1 + Ae� �x�

v(t) = (1- e� �x�) u(t) (73) Tomando en cuenta la expresión 73 la grafica de salida es, figura 111.

14.2 Aplicación del principio de superposición

En la figura 112 encontrar v, utilizando el principio de superposición.

El valor de la fuente de corriente es ig = 10 ut� – 10 ut 9 1� , analicemos el

problema.

La respuesta debida al escalón de corriente iª� es:

v� = 12�1 – e�-� u (t)

v8 = -12 �I – e�- � ��� u t 9 1�

Y obtenemos que:

v(t) = 12 �1 – e�-� u (t) -12 �1 – e�- � ��� u t 9 1�

Figura 111

Figura 112

Esta fuente es equivalente a un par de fuentes de corriente independientes conectadas en paralelo. ig = ig1 + ig2 ig1 = 10 u(t) ig2 = -10 ut 9 1�

Figura 113

Observemos que iª8 es negativa de iª�, atrasado un segundo en el tiempo.

Por tanto V8 se obtiene a partir de V�,

al multiplicar V� por 91� y

reemplazar t por t 9 1�, ver figura

113.

15 El caso general

Las ecuaciones que describen las redes son casos especiales de una expresión dada por: �«�� + Py = Q (74)

Donde y es la variable incógnita (v, i) y P, Q son constantes. Por separación de variables se puede encontrar la solución de la ecuación (74). Veremos otro método, el del factor de integración, que consiste en multiplicar la ecuación por un factor que hace de su miembro izquierdo una derivada perfecta y luego se integran ambos. Consideremos la derivada de un producto: ��� (ye¬-) =

�«�� + Pye¬- = >�«�� + �­@ e¬-

Si multiplicamos ambos lados de la ecuación anterior por e¬-, tenemos: ���(ye¬-) = Qe¬- (75)

Integrando ambos miembros de la ecuación

ye¬- = ( ® e¬-dt + A (76)

y = e �¬- ( Q e¬-dt + Ae¬- (77) Lo cual es valido si Q es una función de tiempo o una constante. En el caso de la corriente directa

y = Ae �¬- + °± = yR + yt (78)

Observemos que yR tiene la misma forma matemática que una respuesta sin fuentes y yt

es una constante proporcional a Q, además 1/P es la constante de tiempo en la respuesta natural. Ejemplo Utilizando la figura 114 encontrar la corriente i8 para t > 0, si i8 0� � 1 A.

Despejando i� y sustituyendo en i8:

��D�� + 10i8 � 5

P = 10 y Q = 5

i8 = Ae ��/- + �8

Evaluando en t = 0;

= A + �8 A =

�8

Figura 114

£ 8)� 9 4)8 � 1094)8 + 12)8 + *)8*$ � 0 _

El problema de la figura 114 podemos solucionarlo utilizando 2 métodos;

• Método generalizado Aplicando análisis de mallas tenemos:

Por lo tanto la respuesta correcta es:

i8 = �8 e��/- +

�8

Método clásico Este método consiste en encontrar la respuesta completa como la suma de dos respuestas, y se utiliza para circuitos de corriente directa que no tenga elementos como amplificadores operacionales o fuentes dependientes. i8 = i8t + i8R

Donde: { = Xv =

��M ����³� = ��/

i8 = �8 e ��/- +

�8

Observemos que no importa utilizar el método generalizado o el método clásico, en este caso en particular la respuesta es la misma. Generalizando nuestro análisis, �«�� + Pyt� � Qt� (79)

Donde: Q(t) es variable. La solución general (complementaria) es independiente de la forma particular de la función excitación, en cambio la solución particular (respuesta forzada) tiene una forma que es asimilar a la forma particular de la función excitación. Para diferentes Q(t) podemos encontrar yt sustituyendo una forma supuesta para y(t) y resolviendo para constantes desconocidas (utilizando el método de los coeficientes indeterminados), ver tabla 1.

t = 0

En este tiempo encontramos el valor de la corriente forzada, el inductor se comporta como un corto circuito, ver figura 115

Figura 115 V = 10 ´��´³�´��´³�M h = 4V

i8t = �8 =

48 = 12 A

i8 = 12 + Ae 9${

Tabla 1

Q(t) ­µ

¶ ·

¶$ · + ¸$

¶� + ¶$ · + ¸$

¶©��� ¹ ∗ 5� ·©���

¶©�»� ·$©�»�

¶ sin ¹$ · cos ¹$ + ¸ cos ¹$

¶ cos ¹$ · cos ¹$ + ¸ cos ¹$

Ejemplo: Encontrar iW en la figura 116.

Sustituyendo la expresión (81) en la ecuación (80) tenemos: L½ (A cos wt – B sin wt) + R (A sin wt + B cos wt) = V sin wt Igualando los coeficientes correspondientes de sin ¾t y cos ¾t ¡9\¿¸ + �· � �\¿· + �¸ � 0 _ O en forma matricial

� �¿\ _9¿\� �_ �·̧� = ��0�

Resolviendo

A = �vvDM ÀX�D y B =

�ÀX�vDM ÀX�D

Figura 116

Donde Vª = V sin ¾tut�

Aplicando la segunda ley de Kirchoff

L*)*$ + Ri = V sin ¾t (80)

Suponemos la forma de la respuesta forzada según tabla 1: it = A sin ¾t + B cos ¾ t (81)

Supongamos que los parámetros R = 2Ω, L = 1H, ¾ = 1 ��* Á©Âà y V = 10v, con estos datos A = 4 y

B = 2, de donde it = 4 sin t – 2 cos t. i � iR + it � Ke�¬- + 4 sin t – 2 cos t � Ke�8- + 4 sin t – 2 cos t (82) Evaluando la ecuación (82) en t = 0. i0� � 0 � K – 2 K = 2 i � 2e�8- + 4 sin t – 2 cos t A continuación presentamos algunos problemas resueltos que nos ayudaran a comprender el material antes expuesto. Ejemplo: Encontrar i, utilizando la figura 117, y suponiendo que i0� � 2A. Sustituyendo i� en la primera ecuación, �8 ���� + 6i – 2 >�8 ) + �� ����@ = 0 �8 ���� + 6i – i -

�h ���� = 0

Resolviendo �h ���� + 5i = 0 multiplicado por (4/5) obtenemos:

���� + 4) = 0

La respuesta completa es:

i = 2e�h- Ejemplo: Encontrar el voltaje en el capacitor si a) Vª = 6v y b) Vªe ��- y el voltaje inicial V0 (0)

= 2v, ver figura 118.

Figura 117

Å 32 + 6) 9 2)� � 04)� 9 2) � �3 � 12 *)*$

_ Aplicando análisis de mallas:

Como V = �8 ���� 4i� = 2i +

�8 ���� i� = �8i +

�� ����

V� – V0

�8 = Vª �� V� = V0

�8 + Vª ��

Sustituyendo V� en la segunda ecuación:

-�8 > �� �Ç + �8 ��@+ V0 >�8@ +

��8 ����� = 0

��8 ����� +

�h V0 = >��@ Vª

����� + 3 V0 = 2 Vª

Vª = 6v V0ª = K ⟹ 3K = 12 ⟹ K = 4 ����� + 3V0 = 12 V0 = Ae��- + 4 (83) Evaluando en t = 0 la expresión 83, y dada la condición inicial, obtenemos:

2 = A + 4 A = -2 V0 = 4 –2e��-

Vª = 6e��- ����� + 3V0 = 6e��- V0t = Ae��- t Ae��- – 3Ae��-t + 3Ae��- = 12e��- A = 12 V0 = 12e��-t + A�e ��- (84) Tomando en cuenta la condición inicial evaluamos, la ecuación (84) en t = 0: V0(0) = 2 = A� Entonces V0 = 2e��- + 12te��-

Figura 118

ÅV� È13 + 12 + 12É 9 V0 È12É � Vª È13É9V� È12É + V0 12 � + 112 *��*$ � 0 _

Aplicando análisis de nodos

Despejando V� en la primera ecuación:

Ejemplo: En el esquema de la figura 119 encontrar la corriente i.

V0 = Ae� �x´� + V0t V0t = 8v

V0 = Ae� �CC.D� + 8 (85) Evaluando (85) en t = 0 V0(0�) = 12 = A + 8 ⟹ A = 4 V0 = 4e��- + 8 Aplicando la segunda ley de Kirchoff tenemos: V� = 8 – V0 = 8 – 8 – 4e��- = 94e��- ���� + 3i – (3)

�C8 = 0 ���� + 3i = �8 V� =

�8 (94e��-) = 96e��- iR = Ae��- it = Ke ��- -5Ke��- + 3Ke��- = 96e��- -2K = -6 K = 3

i = 3e��- + Ae��- (86) Evaluando la ecuación (86) en t = 0 i(0M) = 0 = 3 + A ⟹ A = -3

i = 3(e��- – e ��-) Ejemplo: En la figura 120 encontrar el voltaje V.

Figura 119

ÅV� È12 + 14É 9 Vª È12É 9 V È14É � 0V� È13É + 16 � *�1*$ 9 16 *�Ç*$ � 0 _

Figura 120

�� ��C�� + �� V� =

�� ���� ��C�� + 2V� =

��Ê�� = e��- V�t = Ke ��- ⟹ K = V� = 6e��- + Ae�8- V� (0M) = 2 = 6 + A ⟹ A = -4 V� = 6e��- – 4e�8- �h V =

�h V� - �8 Vª ⟹V = 3V� – 2Vª = 3(6e�-- – 4e�8-) – 2(2e��-) = V = 14e��- – 12e�8-

15.1 Condiciones iníciales aplicadas en t Ë 0.

Hasta este momento hemos ejemplificados esquemas en lo cuales las condiciones iníciales se muestran en un t = 0. Analizaremos el caso en el cual se especifiquen condiciones iníciales para valores de t diferentes de cero. Ejemplo: Supongamos que el circuito de la figura 121 es excitado solo por una condición inicial en el capacitor. Puesto que el circuito es invariante en el tiempo, este hecho debe seguirse cumpliendo sin importar en que constante empezamos a contar el tiempo. Por tanto, si el voltaje V(t) en el capacitor es igual V/ en cierto tiempo t/, su valor será igual a 0.368V/ al tiempo t/ + RC t/ t = RC + t/ Además, todos los valores de V(t) exhibirán un comportamiento exponencial similar. Debe ser aparente, tanto por nuestro dibujo, ver figura 122, como por nuestro análisis anterior, que las curvas tienen las misma forma pero se encuentran desplazadas a lo largo le la abscisa por la cantidad t/. Si llamamos curva a la punteada V� (t) Y a la curva continua V(t), es posible definir matemáticamente tal desplazamiento por medio de la relación.

Figura 121

V0(t/) = V/

Señalamos que la constante de tiempo para este

circuito, es, el tiempo que requiere una variable para

decaer hasta 36.8% de su valor inicial, es 0 { = RC

V(t) = V� (t – t/) Esta ecuación define una operación del tiempo que se denomina usualmente en forma matemática como corrimiento o traslación.

Figura 122

Se aplica sin dificultad en una amplia variedad de problemas en los que elementos se agregan o eliminan de un circuito, abriendo o cerrando interruptores, en diferentes instantes de tiempo.

Si la expresión para la curva punteada es V� = V/e� �x� u(t), entonces la expresión para la curva continua V(t) es:

V(t) = V/e� �~�.�x� u(t – t/) En otras palabras, si sustituimos el argumento t – t0 por el argumento t en la expresión para la curva punteada, obtenemos la expresión correcta para la curva continua. Para comprobar la validez de esta expresión, notamos que cuando t = t/ V(t/) = V/.

16 Circuitos de segundo orden

En esta capitulo estudiaremos las propiedades de los circuitos que tienen dos elemento que almacenan energía. Hay tres tipos posibles de estos circuitos con un inductor y un capacitor. El circuito de segundo orden puede también incluir una cantidad de resistencias y de fuentes (independientes y dependientes). Estos circuitos están caracterizados por ecuaciones diferenciales de segundo orden.

16.1 Circuito RLC en paralelo

Supongamos que la energía puede almacenarse tanto en el inductor como en el capacitor, entonces la corriente como en el inductor como el voltaje en el capacitor podrán tener valores iníciales diferentes de cero, analicemos la figura 123.

C ��D�� + �v

���� + �X v = 0 (87)

La solución de la ecuación (87) la buscamos de la forma: v = AeL- (88)

Sustituyendo (88) y (87) obtenemos:

Figura 123

Las condiciones iníciales son: i(0) = I/ v(0) = V/ Entonces con base en la primera ley de Kirchoff tenemos: �� +

1\ ( ,*$��. - i(t/) + C ��*$ = 0

Tomamos la derivada con respecto al tiempo, el resultado es la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

CAS8eL- + �v ASeL- +

�X AeL- = 0

Factorizando tenemos: AeL- (CS8 + �v S +

�X) = 0

CS8 + �v S +

�X = 0 (89)

La expresión (89) es conocida como ecuación característica o auxiliar, tomando en cuenta que es una expresión cuadrática hay dos soluciones, identificadas por S� y S8. S� = -

�8v� + Í> �8v�@8 − �X� (90)

S8 = - �8v� - Í> �8v�@8 − �X� (91)

Si cualquiera de estos valores se usa para S en la solución supuesta, entonces la solución satisface a la ecuación diferencial dada. Supongamos que en (87) se sustituye por S por S�: v� = A�eLC- y S por S8: v8 = A8eLD- La primera suposición satisface a la ecuación diferencial:

C �D�C��D + �v

��C�� + �X v� = 0

C�D�D��D +

�v ��D�� +

�X v8 = 0

Sumando las ecuaciones diferenciales anteriores, tenemos:

C�D(�CM�D)��D +

�v �(�CM�D)�� +

�X (v�+v8) = 0

La suma de dos soluciones es también una solución, por tanto, tenemos que la respuesta natural es la forma:

v = A�eLC- + A8eLD- (92) Donde: A� y A8 son constantes arbitrarias que deben solucionarse para satisfacer las dos condiciones iníciales especificadas.

Denominamos: ¾0 = �√X� frecuencia de resonancia

Ï = �8v� coeficiente de amortiguamiento o frecuencia neperiana.

Las ecuaciones (90) y (91) podemos escribirlas de la siguiente manera: S� = -∝ + Ð∝8− ¾/8 S� = -∝ - Ð∝8− ¾/8 La naturaleza de las respuesta depende de las magnitudes de ∝ y ¾/.

16.1.1 Caso sobreamortiguado.

Una respuesta sobreamortiguada se obtiene de un circuito de segundo orden cuando las raíces de la ecuación característica son ambas reales y diferentes. Este es el caso cuando ∝ > ¾/.

En este caso el radical utilizado para calcular S� y S8 será real y ambos serán reales además Ð∝89 ¾/8 <∝.

-∝ - Ð∝89 ¾/8 < -∝ + Ð∝89 ¾/8 < 0.

Por lo tanto, la respuesta puede expresarse como la suma algebraica de dos funciones exponenciales decrecientes, las cuales se aproximan a cero. V0 = A�eLC- + A8eLD- (93) Ejemplo 1: En el circuito de la figura 124 encontrar V0 siendo condiciones iníciales V0 (0) = 0 e iW(0) = 10A

v(t) = A�eLC- + A8eLD- = A�e�- + A8e��-

Tomando en cuenta que la condición inicial v(0) = 0:

0 = A� + A8 (94) Para obtener la segunda ecuación que relacione A1 y A2 tomamos la derivada v(t) con respecto al tiempo. ���� = - A�e�- – 6A8e��-

Evaluando en t = 0M _����^-K/³ = 9A� – 6A8

Recordemos i0 debe evaluarse en t = 0M, por que puede cambiar de manera abrupta o

instantánea, como i0 = C ���� despejando obtenemos ��� =

���� por lo tanto: _����^-K/³ = ��/³�� =

�y/³�M �x/³�� = �/³�� =

�/C�D = 420 ��

420 = 9 A� – 6A8 (95)

Resolviendo las ecuaciones (94) y (95) obtenemos los valores para las constantes: A� = 84 y A8 = -84 Por lo tanto, la solución final para la respuesta natural es:

Figura 124

∝= 18v� =

126� 142 = 3.5

¾/ = 1√\6 =

1Í7� 142 = √6

S�,8 = -∝ Ò Ð∝89 ¾/8 = 3.5 Ò Ð3.58 9 √6 = -6; Escribiendo la forma general de solución de la respuesta natural, tenemos:

V(t) = 84(e�- - e�-) Ejemplo: encontrar V0 en la figura 125.

¾/ =

�√X� = �Íh� CCD

� √3 ∝ = �8v� =

�8�� CCD = 2

Como podemos observar ∝ > ¾/ por lo tanto nuestro caso es sobreamortiguado, su formula es: v� = A�e �LC- + A8e�LD- Procedemos a encontrar los valores de las raíces: S�,8 = -� Ò Ð�8 9 ¾/8 = -2 Ò Í28 9 √3�8 = -2 Ò 1 = -3, -1

V0 = V0t + V0R Como V0t = 0 entonces: V0 = V0R = A�e��- + A8e�- (96) Para encontrar las condiciones iníciales dibujamos nuestro esquema para u tiempo t < 0.

Figura 125

Debemos recordar que para este

tiempo el capacitor se comporta

como un circuito abierto y el

inductor, como un corto circuito,

ver figura 126.

Figura 126

Tomando en cuenta las leyes de conmutación tenemos: v0 (0�) = v0 (0) = v0 (0M) = 0

iW (0�) = iW (0) = iW (0M) = �/8M� = 2A

Evaluando la expresión (96) en t/ tenemos: v0(0M) = 0 = A� + A8 ����� = 93A �- A8 =

��/³�� .

Para encontrar i0 (0M) volvemos a dibujar nuestro circuito, tomando en cuanta las condiciones iníciales que obtuvimos anteriormente, ver figura 127:

Resolviendo las ecuaciones (97) tenemos: -2A� = -24 ⟹ A� = 12 A8 = A� = -12 Por lo tanto V0 = 12(e ��- - e�-)

16.1.2 Caso críticamente amortiguado

El caso cuando Ï = ¾/ recibe el nombre de críticamente amortiguado, en este caso LC = 4R8C8 o L = 4R8C, cuando Ï = ¾/ la ecuación diferencial se convierte en: �D���D + 2Ï ���� + Ï8V = 0 (98)

L a solución puede expresarse como la solución de dos funciones, una de ellas es exponencial negativa y la otra es una multiplicación de t por una exponencial negativa.

V = ©�Ó� (A�t + A8) (99) Ejemplo: ¿Qué valor de R provocara un amortiguamiento crítico en el circuito mostrado en la figura 128? Usando el valor de R calcúlese i0 (t).

Figura 127

i0(0M) = -2

Nos queda un sistema de dos ecuaciones:

£ ·� + ·8 � 093·� 9 ·8 � 92CCD � 924 _ (97)

Ï = ¾/ L = 4R8C R8 =

146 ⟹ R = 12 Í\6

Sustituyendo en los valores de LC obtenemos:

R = �8 Í ��/~��8//�/~CD� =

�8 ��/~�8// = 2500

Ï = ¾/ = �√X� =

���8//�/~CD� � 10�

��= e��/�Õ (At + B) Tomando en cuenta las leyes de la conmutación tenemos: v0(0�) = v0(0) = v0 (0M) = 0 iW (0�) = iW (0) = iW (0M) =

�/8�// = 24mA

Evaluando en v0 (0M) = 0 = B

Por lo tanto V0 = Ate��/�Õ ����� = Ae��/� - 10� Ate��/�Õ _����^-K/³ = A =

��/³�� = 8h��/~�8//��/~CD = (1.2)10�

Recordemos que para encontrar el valor de la corriente i0 (0M) es aconsejable dibujar, ver figura

129, el esquema tomando en cuenta las condiciones iníciales.

i0(0M) = 24mA V0 (t) = 1.2 x 10�te��/�

v

i0 (t) = C����� = 200 x 10��8 ��� (1.2 x 10�te��/�Õ )

i0 (t) = 24e��/�Õ (1 - 10�t) mA

16.1.3 Caso subamortiguado

Figura 128

Figura 129

Es el caso cuando Ï < ¾/ y el radical para expresiones S� y S8 se vuelve negativo, usando números complejos, la respuesta exponencial se transforma en una respuesta senoidal amortiguada. V0 = A�eÖC- + A8eÖD- Donde S�,8 = 9Ï Ò ÐÏ8 9 ¾/8 y luego ÐÏ8 9 ¾/8 = √91 о/8 9 Ï8 = jо/8 9 Ï8

Donde j = √91 Ahora se toma el nuevo radical, para el caso subamortiguado es real y se llama ¾×, frecuencia natural de resonancia. ¾× = о/8 9 Ï8 La respuesta puede escribirse como: V0 (t) = ©�Ót(A� cos ¾× + A8 sin ¾�t) (100) La ecuación (100) es una función senoidal amortiguada. Si Ï = 0 lo cual corresponde a una resistencia infinitamente grande V0 (t) se transforma en una senoide no amortiguada, que oscila con una amplitud constante. Pueden construirse circuitos RLC en paralelo reales con valores tan grandes de R que puedan mantener por años su respuesta natural senoidal no amortiguadas. También pueden fabricarse redes activas que a cada oscilación de V0 (t) introduzcan una porción de energía, para que pueda mantenerse una respuesta senoidal casi perfecta. Este circuito es un oscilador senoidal o generador de señales. Ejemplo tomando en cuanta la figura 130 encontramos iW.

Ï =

�8v� = �8�8��8��/~� = 400

¾/ = �√X� =

�Ð8�8��/� = √250000

Como podemos observar Ï <¾/, por lo tanto nuestro caso es subamortiguado.

¾× = о/8 9 Ï8 = √2500008 9 4008 = 300

Figura 130

Recordemos que la ecuación general es: iW (t) = ©�Ót(Acos ¾× t + Bsin ¾× t) (101) Sustituyendo los valores en (101) obtenemos: iW (t) = ©�h//t(Acos 300t + Bsin 300t) Encontramos las condiciones iníciales en un momento t < 0, tomando en cuenta la figura

131.

iW (0�) =iW (0) = iW (0M) =

h�/8�// = 0.18A

Para 0M dibujamos el esquema, en la figura 132.

vW (0M) = v0 (0M) = 0 ��y�� = -400e�h//- (Acos 300t + Bsin 300t) + e�h//- (-300 Asin 300t + 300 Bcos 300t) _��y�� ^t=0^+ = -400 A + 300 B =

�X/³�X = /8 = 0

¡ · � 0.189400· + 300¸_ Despejando B obtenemos:

B = 43A = 0.24

Entonces: iW(t) = e�h//- (0.18cos 300 + 0.24sin 300t)

Figura 131

Figura 132

16.2 Circuito RLC en serie

V(0) = V/ i(0) = i/ La ecuación del lazo o malla es:

L *)*$ + ri + 16 ( )��. dt - V0(t/)

L *2)*$2 + r*)*$ +

)6 = 0 (102)

La ecuación (102) es el dual de la ecuación RLC en paralelo:

C *2)*$2 + 1�

*,*$ + �\ = 0 (87)

De tal manera que la información obtenida en el circuito RLC en paralelo es directamente aplicable el circuito RLC en serie. Donde la respuesta de voltaje se transforma en una respuesta de corriente. La ecuación característica resultante es: Ls8 + rs +

16 = 0 (103)

Donde las raíces se definen como: S�,8 = - �8X Ò Í> �2\@8 9 1\6

El circuito RLC en serie es sobreamortiguado si: �8X >

�√X� Ó C > 4\�D

y la respuesta es: i = A�eLC- + A8eLD- El circuito RLC en serie es críticamente amortiguado si:

C = hX�D en cuyo caso s� = s8 = -

�8X

y la respuesta es: i = (A� + A8t) eLD- El circuito RLC en serie es subamortiguado si:

Figura 133

Analizaremos el circuito de la figura 133. El circuito RLC en paralelo. Por tanto. Las ecuaciones del circuito RLC en paralelo tienen contrapartes duales en el circuito RLC en serie

C < hX�D en cuyo caso la frecuencia de resonancia es: Ø/ =

�√X�, el coeficiente de

resonancia es: = �8X y la frecuencia natural de resonancia es: ¾× = о/8 9 Ï8.

y la respuesta es: i = ©�Ó� (A� cos ¾× + A8 sin Ø×t)

16.3 Respuesta completa del circuito RLC

Ahora veremos los circuitos RLC en los cuales se conectan fuentes de corriente directa a la red produciendo respuestas forzadas. La solución general la obtenemos siguiendo el mismo método usado en los circuitos RL y RC, esto es, calculando la respuesta forzada u natural. La respuesta completa se expresa como la suma de las respuestas forzada y natural, finalmente se calculan las condiciones iníciales y se aplican a la respuesta completa para encontrara los valores de las constantes. Ejemplo: De acuerdo con la figura 134 encontrar iW(t).

Ï = � ©�¥),8X =

200+508�� = 25 Ø/ = �√X� =

�Ð��//��/~� = √400

Como podemos observar Ï > Ø/, por lo tanto es sobreamortiguado. Encontramos las raíces. S�,8 = 9Ï Ò ÐÏ8 9 ¾/8 = 925 Ò Í258 9 √400 8 = -25 Ò 15 = -10; -40

Recordemos que la respuesta completa para la corriente es: iW(t) = iWt + iWO = iWt + A�e��/- + Ae�h/- La componente forzada la encontramos en un t =∞, dibujando el esquema nos queda, ver figura

135.

Figura 134

Observando el esquema tenemos que iWt = 10 A. Entonces: iW(t) = 10 + A�e��/- + A8e�h/- Encontrando las condiciones iníciales en t < 0, tenemos, ver figura 136:

Para la figura 136 iW (0�) = 10A y V0(0�) = -1Kv iW(0�) =iW(0) = iW(0M) = 10 = 10 + A� + A8

_��y�� ^-K/~ = -10A� - 40 A8 = �\X

Para encontrar VL se sugiere dibujar el esquema como el de la figura 137 para un t = 0+.

Aplicando la segunda ley de Kirchoff en la malla, tenemos:

500 + VW - (-1000) = 0 VW - 1500v

Figura 135

Figura 136

Figura 137

-10A� - 40 A8 = 91500� = -300

¢ ·� + ·8 � 10 9 10 � 0910·� 9 40·8 � 9300_

-30A8 = -300 A8 = 10 A� = A8 = -10 Por lo tanto la respuesta correcta es iW = 10 - 10e��/- + 10e�h/- Ejemplo: Tomando en cuenta la figura 138 encontrar V0(t).

Ï =

v8X = 8h88� = 6

Ø/ = �√X� =

�Í8� C�� = √32

Encontramos las raíces S�,8 = 96 Ò √68 9 32 = -6 Ò 2 � 94; 98 Tomando en cuenta que Ï > Ø/, entonces la formula general para el caso sobreamortiguado es: V0 = V0t + V0R = V0t + A�e �h- + A8e��- Recordemos que la componente forzada la encontramos en un t = 8 y dibujamos el esquema para el tiempo antes descrito, ver figura 139. V0 = -48 + A�e�h- + A8e��- (104)

Figura 138

_*�Ú*$ ^t�0+ = -4A� - 8·8 = )Ú0+�� =

921�� = -128

Recordemos que para encontrar i0(0M) es necesario dibujar el esquema para ese tiempo, tomando en cuenta las condiciones iníciales, ver figura 140.

16.4 Caso general

A continuación analizaremos la técnica para la solución de circuitos RLC que tienen diferentes tipos de excitación o están presentes fuentes dependientes o amplificadores operacionales. Ejemplo: Tomando en cuenta la figura 141 encontrar V�. El circuito es de segundo orden, pero como observamos no lo podemos relacionar con algún circuito RLC, ya sea en serie o en paralelo, debido a la interconexión de los elementos. Analicemos el circuito aplicando análisis de nodos:

Figura 139

Las condiciones iníciales las encontramos en un t/~ . v0(0�) = v0(0) = v0(0M) = 0 iW(0-) = iW(0) = iW(0M) = 0 Evaluando en 0 la expresión (104) tenemos: v0(0) = -48 + A� + A8

Figura 140 ¢ ·� + ·8 � 4894·� 9 8·8 � 9128_

Como podemos observar

i0(0M) = -2A.

A� = 64 A8 = -16 Por tanto V0 = -48 + 64e�h- - 16e��-

Figura 141 £ ��C*$ + 2�1 9 2�2 � 44 ( ,8 *$ + 4,8 9 2,� � 0_ (105)

Suponemos las siguientes soluciones para V� y V8. V� = k�eL- V8 = k8eL-

En forma de matrices tenemos:

Û Á + 2 − 2−2 hÁ + 4Ü X ÝÞ�©��Þ8©��ß = �40�

Como la respuesta natural es la respuesta sin fuentes, entonces: Û Á + 2 − 2−2 hÁ + 4Ü X �,�,8� = �00�

Al hacer igual a cero la determinante de la matriz cuadrada, en el primer miembro de la ecuación anterior, se obtiene la ecuación característica:

(s + 2) >hÁ + 4@ - (-2)(-2) = 0 s8 + 2s + 2 = 0 s = -1 ± j1 La forma de las raíces corresponde al caso subamortiguado. Suponemos que buscamos la respuesta para V0 que es igual a V�. V�R = e�- (A cos t + Bsin t) Ahora buscamos la respuesta forzada, como la excitación de cd entonces la respuesta también es una constante. Primero tenemos que expresar nuestras ecuaciones en términos de V0 e iW para esto hacemos lo siguiente. vW = v8 = L

*)\�� = 1h

*)\��

Å *,�*$ + 2,1 − 2v2 = 44 4 ,8 *$ + 4,8 − 2,� = 0_

à��C*$ + 2,1 − �2 ��y*$ = 4−2,� + ��y*$ + )X = 0 _ (106)

Suponemos la forma de la respuesta forzada V�t = A� iWt = A8

Sustituyendo en la ecuación (106)

¢ 0 + 2 ·� 9 0 � 492·� + 0 + ·8 � 0_ De donde: V�t = 2 Podemos comprobar el resultado resolviendo el circuito, ver figura 142, para t =∞.

_*,1*$ ^t�0+ = -A + B

Para encontrar _*,1*$ ^t�0+ otra vez utilizamos las ecuaciones (106) en términos de V0 e iW,pero

evaluamos en t = 0M. Tomamos en cuenta que V0(0M) = iW(0M) = 0

à��C�� + 20� 9 �8 ��y�� � 4920� + ��y�� + 0 � 0 _ ⟹ à_��C�� ^-K/³ � 4��y�� � 0 _ El resultado lo comprobamos resolviendo el circuito de la figura 143 para un t = 0+.

Entonces las ecuaciones para determinar A y B nos quedan de la siguiente manera:

¡ 2 + · � 09· + ¸ � 4_ ⟹ ¡· � 92¸ � 2 _ y la respuesta total es: V� = V0 = 2 e-t(-2 cos t + 2 sin t) Ejemplo: Determine iW(t) para las ecuaciones iníciales iW(0) = i´W(0) = 1, ver figura 144.

Figura 142

Como podemos observar

V0 = Vf = IR = I 1á =

48 = 2v

Entonces la respuesta completa es: v� = 2 + e�- (A cos t + B sin t) Evaluando en cero tenemos v�(0) = 0 = 2 + A

Figura 143 i0 = 4A

_*,Ú*$ ^t�0+ = )Ú� =

4� = 4

Aplicando análisis de mallas obtenemos:

à1 )X + ��y*$ + ��y*$ 9 *)0*$ � 3)02)/ + ��.*$ 9 ��y�� � 0 _ ⇒ à)X + *)\�� 9 *)0�� 9 3)/ � 49 *)\�� + 2)0 + *)0dt � 0 _ Utilizando matrices tenemos: �2Á + 1 9 Á 9 39Á 2 + Á � x Ý)X)/ß = �00�

(2s + 1)(2 + s) - (-s)(-s - 3) = 0 s8 + 2s + 2 = 0 s�,8 = -1Ò j1 Entonces: iW = e�- (A cos t + Bsin t) Evaluando en t = 0. iW(0) = 1 = A _*)\*$ ^t�0 = -A + B = 1

B = 1 + A = 2 iW = e�- (cos t + 2 sin t) Ejemplo: Con base en la figura 145 encontrar el valor de la corriente i para todo tiempo.

Figura 144

Figura 145

Aplicando análisis de mallas tenemos:

Å*)1*$ + 2)� 9 2) � 0*)1*$ + 5) 9 2)1 � 0 _ i� = A�eL- i� = A8eL- � Á + 2 9 292 Á + 5� x �)�) � = �00�

(s + 2)(s + 5) - (2)(2) = 0 s8 + 7s + 6 = 0 s�,8 = -3.5 Ò √12.25 9 6 = -6; - La forma de las raíces corresponde al caso sobreamortiguado i = A�e��- + A8e�- La respuesta it = 0 por ausencia de fuentes de energía para un t = 0. Buscamos las condiciones iníciales, recordemos que i(0�) = i(0M), de acuerdo con la figura 146. Analizaremos el circuito para un t = 0�.

Evaluamos las ecuaciones en t =0M.

i� (0�) = i� (0M) = h/8M D��D³� = 12.5A à*)1�� + 2)� 9 2) � 0*)1�� + 5) + 2)1 � 0 _ ⇒

���� = 0

Tarea: comprueba el resultado en el siguiente circuito sabiendo que: _*,1*$ ^t�0+ =

�y/³�X

Encuentra VW (0M)

Figura 146

i(0�) = h/8M D��D³� > 88M�@ = 5A.

i(0�) = i(0M) = 5 = A� + A8 ���� = -6 A� - A8

Por lo tanto

i =-e��- + 6e�- Ejemplo: En la figura 148 encuentre el voltaje de salida V3.

� >�� + �8@ + �� *�1�� 9 1� *�3�� 9 �8 >�8@ � h�9�1 >12@ + �2 >12@ + 16 *�2�� � 0 _ El amplificador operacional que se muestra en la figura 148 es un seguidor de voltaje, por lo tanto V� = V8.

à5�� + �� *�1�� 9 1� *�2�� 9 >�8@ �8 � h�9 >12@ �1 + >12@ �2 + 16 *�2�� � 0 _ Multiplicando las 2 ecuaciones anteriores por 6, obtenemos:

Å5�� + *��*$ 9 *�8*$ 9 3�8 � 893�� + 3�8 + *�8*$ � 0 _

V� = K�eL- y V8 = K8eL- �Á + 5 9 s 9 393 Á + 3 � x ÝV��8ß = �80�

(5 + s)(s + 3) - (-3)(-s-3) = 0

Figura 147

Finalmente las ecuaciones nos quedan

¢ ·� + ·8 � 596·� + ·8 � 0_ ⇒ A� = -1; A8 = 6

Figura 148

Las condiciones iníciales son:

Vã(0) = 0v Vä(0) = 2v

Obtenemos la ecuación característica s8 + 5s + 6 = 0 Donde s�,8 = -2.5 ± √6.25 − 6 = -2; -3 Por lo tanto concluimos que el caso es amortiguado: V8R = A�e �8- + A8e��- Para encontrara la componente forzada, obtenemos la tabla 1, tenemos la r5espuesta para V1f = A y V2f = B. Sustituyendo en las ecuaciones tenemos: ¡5· + 0 − 0 − 3¸ = 0−3· + 3¸ + 0 = 0 _ A = B = 4 Entonces V�t = A = 4 La respuesta correcta es V8 = 4 + A�e�8- + A8e��- V8(0M) = Vã(0) = 0 = 4 + A� + A8

_*,2*$ ^ t=0+ = -2A� - 3A8 = ¿?

Evaluando las ecuaciones en t = 0M y tomando en cuenta que: V8(0M) = Vã(0) = V�(0M) = 0 Vä(0) = 2 = V(0M) - V(0M) ⇒ V�(0M) = 2V�(0M) = 2 + 0 = 2 De esta manera V�(0) = 2; V8 (0M) = 0 Para t = 0M

Å5(2) + *�1*$ − *�2*$ − 3(0) = 8−3(2) + 3(0) + *�2*$ = 0 _

¢4 + ·� + ·8 = 0−2·� − 3·8 = 6_ ⇒ A� = -6; A8 = 2

Entonces la respuesta correcta es:

V8 (t) = V� (t) = 4 - 6e�8- + 2e��-