Download - Capacitores e Dielétricos Um capacitor é um sistema elétrico

IBM1018 – Física Básica II – FFCLRP – USP – Prof. Antônio Roque – Aula 9

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Capacitores e Dielétricos

Um capacitor é um sistema elétrico formado por dois condutores

separados por um material isolante, ou pelo vácuo.

Imaginemos uma configuração como a de um capacitor em que os

dois condutores estejam inicialmente descarregados (com carga

líquida nula). O processo chamado de carregamento de um capacitor

consiste em transferir elétrons de um dos condutores para o outro de

maneira que, no fim do processo, um dos condutores esteja com

carga líquida positiva +Q e o outro condutor esteja com carga

líquida negativa −Q. Note que a carga líquida total do sistema

formado pelos dois condutores continua nula.

Após o carregamento de um capacitor, dizemos que ele armazena ou

possui carga Q.

Note que entre os dois condutores de um capacitor carregado existe

um campo elétrico �� que aponta do condutor com carga +Q para o

condutor com carga −Q. Consequentemente, o condutor com carga

+Q está a um potencial maior que o condutor com carga −Q.


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Nos diagramas de circuitos elétricos, representa-se um capacitor

pelo símbolo abaixo:

.

Uma maneira de carregar um capacitor é ligar fios metálicos aos

condutores e conectá-los aos terminais opostos de uma bateria.

Espera-se até que as cargas +Q e −Q se estabeleçam nos dois

condutores e depois desconectam-se os fios da bateria. Como as

cargas não podem passar de um condutor para outro, a carga

armazenada no capacitor permanece constante. A voltagem Vab entre

os condutores (Va − Vb) permanece constante e é igual à voltagem da

bateria.

Capacitor de placas planas e paralelas

Consideremos um capacitor cujos condutores sejam placas metálicas

planas e paralelas carregadas com cargas +Q e −Q. Vamos supor que

as placas têm área A e estejam separadas por uma distância d.


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Se a distância d for muito menor que a área das placas, podemos

tratá-las, aproximadamente e longe das bordas, como se fossem

planos infinitos. Neste caso, como visto em aulas anteriores, o

campo elétrico entre as placas é uniforme, aponta da placa carregada

positivamente para a carregada negativamente e seu módulo vale

� = �� = ��

, (1)

onde σ é a densidade superficial de carga nas placas do capacitor,

� = �� . (2)

A diferença de potencial entre as duas placas é

� = �� − �� = � �� ∙ �ℓ��

�= ��, (3)

o que implica que, substituindo (1) em (3):

� = ��

= ��. (4)

A diferença de potencial entre as placas é proporcional à carga Q

armazenada.

Este resultado vale para qualquer capacitor: a diferença de potencial

V entre dois condutores, de qualquer forma, carregados com carga Q

é proporcional a Q.

Invertendo a equação (4), podemos escrever Q em função de V:


4

� = �� . (5)

Define-se

� ≡ �� (6)

como a capacitância do capacitor (como vimos, esta relação vale

para qualquer capacitor). Portanto, a relação entre a carga

armazenada num capacitor e a diferença de potencial entre os

condutores é

� = ��. (7)

A unidade de capacitância é o farad (F), em homenagem a Michael

Faraday (veja a aula 3).

1 farad = 1 F = 1 !" = 1

#$%&$'()$&* .

Quanto maior for a capacitância de um capacitor, maior a carga Q

armazenada no capacitor para uma mesma diferença de potencial.

A equação (6) nos permite escrever as unidades da constante ε0 em

termos do farad:

+��, = +�, +�,+�, = F

m, ou

ε0 = 8,85 × 10−12 F/m.


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Capacitor esférico

Um capacitor esférico é formado por uma esfera condutora interna

de raio ra e uma casca esférica condutora concêntrica de raio rb. As

duas estão separadas pelo vácuo. A esfera interna tem carga +Q

distribuída por sua superfície externa e a casca esférica externa tem

carga −Q distribuída por sua superfície interna (figura abaixo).

Para calcular a capacitância desse capacitor, vamos usar a relação

(7), que é válida para qualquer capacitor:

� = �� . (8)

Para determinar V, precisamos determinar o campo elétrico �� entre a

esfera e a casca esférica.

Tomemos uma superfície gaussiana de raio r entre a esfera e a casca

esférica. O fluxo elétrico por essa superfície vale Q/ε0:


6

Φ1 = 2 �� ∙ �� = ��

. Por simetria, �� é constante em módulo ao longo dessa superfície

gaussiana. Ele também aponta na direção radial, que coincide com a

direção de ��. Logo

Φ1 = �� = �4345 = ��

. Então,

� = 143��

�45.

O campo elétrico entre a esfera e a casca esférica é igual ao de uma

carga puntiforme +Q colocada no centro delas. Como o campo

elétrico é o mesmo de uma carga puntiforme no centro, o potencial

elétrico também o será:

� = 143��

�4 .

Portanto, a diferença de potencial entre a esfera de raio ra e a casca

esférica de raio rb é

�67 = �6 − �7 = �43��46

− �43��47

= �43��

8 146

− 147

9

= �43��

47 − 464647

. A capacitância do capacitor esférico é então

� = ��67

= 43��4647

47 − 46. (9)


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Um caso particular da equação (9) ocorre para o caso em que a casca

esférica de raio rb está muito longe da esfera de raio ra. Se a

distância entre elas for tão grande que se possa aproximar rb → ∞, a

capacitância do sistema torna-se

� = 43��464747

= 43��46, (10)

ou seja, a capacitância depende apenas do raio da esfera interna.

Podemos então definir a capacitância de uma esfera condutora de

raio R como:

� = 43��<. (11)

As linhas de força entre a esfera de raio R e a casca esférica de raio

“infinito” se estendem até o “infinito”.

Por exemplo, se pudermos tratar a Terra como uma esfera condutora

esférica, sua capacitância vale (o raio da Terra é R ≅ 6,37 × 103 km)

CTerra ≅ 7,1 × 10−4 F = 710 µF.

Este é um valor bastante grande. Tão grande que podemos supor, em

geral, que quando se escoa uma quantidade de carga ∆Q para a Terra

a alteração no seu potencial é desprezível (veja abaixo)

Δ� = Δ�� .

É por isso que a Terra é um bom “terra”.


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Capacitor cilíndrico

Um capacitor cilíndrico é formado por um cilindro condutor de raio

ra e densidade linear de carga λ1 circundado por uma casca cilíndrica

condutora coaxial de raio interno rb e densidade linear de carga −λ

(veja a figura abaixo).

Para calcular a diferença de potencial entre os cilindros, lembremos

que p potencial em um ponto externo a um cilindro carregado a uma

distância r do centro vale

� = >23��

ln 4�4 ,

onde r0 é uma distância arbitrária onde V = 0. Podemos usar esta

expressão aqui porque a carga elétrica sobre a casca cilíndrica

externa não contribui para o potencial no interior do cabo coaxial.

1 Para relacionar a densidade linear de carga λ com a densidade superficial de carga σ, mais usual quando se trata de superfícies, basta lembrar que a carga total em um comprimento L do cilindro é Q = λ L = σA = 2πraLσ. Isto nos dá: λ = 2πraσ.


9

Vamos escolher r0 = rb, o raio da parte de dentro da casca cilíndrica

externa. Então, o potencial em ra será

�67 = �(A) − �(B) = >23��

ln 4746

− 0 = >23��

ln 4746

. (12)

Essa diferença é positiva, pois V(a) > V(b).

Para calcular a capacitância, vamos usar a fórmula C = Q/Vab. A

carga Q é dada por Q = λL, de maneira que

� = 23��Cln D4746E. (13)

A capacitância por unidade de comprimento é, então

�C = 23��

ln D4746E. (14)

Note que, assim como nos casos dos capacitores de placas planas

paralelas e esférico, a capacitância do capacitor cilíndrico depende

apenas das dimensões do capacitor.

Substituindo ε0 = 8,85 × 10−12 F/m = 8,85 pF/m em (14), obtemos

uma expressão útil para a capacitância por unidade de comprimento:

�C = 55,6 pF/m

ln D4746E . (15)


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Capacitores em série e em paralelo

A figura (a) abaixo mostra o diagrama de circuitos para um arranjo

de capacitores denominado de arranjo em série. Em um arranjo

desse tipo, dois ou mais capacitores são conectados um após o outro

(em série) por fios condutores. Os terminais do circuito estão ligados

aos polos de uma bateria, de maneira que a diferença de potencial

entre eles é V.

A placa superior do capacitor de capacitância C1 acumula carga +Q.

Portanto, a placa inferior desse capacitor possui carga −Q. Os

elétrons que se acumulam nessa placa vieram da placa superior do

segundo capacitor (com capacitância C2). Desta forma, a placa

superior desse segundo capacitor também tem carga +Q e a placa

inferior tem carga −Q.

Quando capacitores são conectados em série, cada um deles possui a

mesma carga.


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A partir deste resultado, podemos escrever que as diferenças de

potencial entre os pontos a e c e c e b na figura são:

�6H = �I = ��I

e �H7 = �5 = ��5

. Isto implica que

�67 = � = �I + �5 = � 8 1�I

+ 1�5

9. Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em série no

circuito acima por um único capacitor equivalente com capacitância

�LM = 1�I

+ 1�5

. A figura (b) acima mostra o capacitor equivalente.

Generalizando, se tivermos N capacitores em série em um circuito

eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente com

capacitância

�LM = 1�I

+ 1�5

+ ⋯ + 1�O

. (16)

A figura abaixo mostra um arranjo de capacitores em um circuito

denominado de arranjo em paralelo.


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Note que os terminais dos capacitores estão ligados aos mesmos

polos da bateria, de maneira que as diferenças de potenciais entre

eles são todas iguais a V.

Vamos supor que a carga total presente no circuito vale Q e ela se

encontra distribuída pelos capacitores de maneira que o primeiro

possui carga Q1 e o segundo possui carga Q2:

Q = Q1 + Q2. (17)

Temos, então

� = �I� + �5� = (�I + �5)�. Isto sugere que podemos substituir os dois capacitores em paralelo

no circuito acima por um único capacitor equivalente com

capacitância

�LM = �I + �5. O capacitor equivalente está mostrado na figura (b) acima.


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Generalizando, se tivermos N capacitores em paralelo em um

circuito eles podem ser substituídos por um capacitor equivalente

com capacitância

�LM = �I + �5 ⋯ �O . (18)

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