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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA Faculdade de Engenharia Química

Fenômenos de Transporte – Ano 2012

Prof. Luiz Gustavo

ÁLGEBRA TENSORIAL

1 – GRANDEZA ESCALAR

Uma Grandeza Escalar requer apenas um valor numérico para totalmente caracterizada.

Constituem grandezas escalares a massa, a densidade, a viscosidade, a condutividade térmica, o

calor específico, a difusividade mássica, a temperatura, a umidade, a concentração, o comprimento,

a área, o volume etc.

2 – GRANDEZA VETORIAL

Uma Grandeza Vetorial é aquela em que apenas a menção do seu valor numérico não é

mais suficiente para caracterizá-la por completo. Além do valor numérico, este tipo de grandeza

física requer ainda uma direção no espaço. Constituem grandezas vetoriais a velocidade, a

aceleração, a força etc.

Figura 1 – Representação Gráfica de um Vetor e suas componentes.

O vetor “u” pode, matematicamente, ser representado como:

x x

y y

z z

u

ux uy

uz

ex ey

ez

u

8

x x y y z zu u e u e u e= + +

Note que ux, uy e uz são escalares e para a sua completa caracterização

só há necessidade de informar os respectivos módulos, posto que a

direção de cada uma das componentes já está previamente definida

pelo sistema de eixos coordenados. Todavia, pelo Princípio da

Homogeneidade Dimensional, ficaria incoerente somar 3 escalares (ux,

uy e uz) para originar um vetor (u). Eis então, o motivo pelo qual cada

uma das componentes do vetor “u” é multiplicada pelos vetores

unitários ortonormais/ortogonais (ex, ey e ez).

Os subscritos “x”, “y” e “z” podem ser também denominados genericamente de “1”, “2” e

“3”. Assim, o vetor “u” pode ser escrito como:

1 1 2 2 3 3u u e u e u e= + +

O vetor “u” pode ainda ser representado por uma notação indicial:

3

i i

i 1

u u e=

=∑

É comum nos livros técnicos a utilização da Notação de Einstein, conforme mostrada a

seguir, em que índices repetidos pressupõem um somatório:

i iu u e=

Isto posto, resta agora comentar as principais operações envolvendo vetores.

2.1 – Adição de Vetores

Imaginemos dois vetores quaisquer denominados de “u” e “v”. Então, algebricamente, a soma

“u+v” ou “u-v” é representada da seguinte maneira:

( )i i iu v u v e+ = + (note que o resultado da operação é um vetor)

9

( )i i iu v u v e− = − (note que o resultado da operação é um vetor)

2.2 – Multiplicação de um Vetor por um Escalar

Imaginemos o escalar “γ” que multiplica o vetor “u”. Assim, a operação “γu” é representada

por:

i iu u eγ = γ (note que um resultado é um vetor)

2.3 – Produto Escalar entre Vetores

Imaginemos o produto escalar entre os vetores “u” e “v”. Assim, a representação do produto

escalar entre eles é dada por “ u.v ”, cujo resultado é:

( ) ( )i i j ju.v u e . v e=

( )i j i ju.v u v e .e=

Por definição, o produto escalar entre dois vetores ortogonais é dado por:

( )i j i j i je .e e e cos e e= em que:

Se i j= , então ( )i jcos e e 1= e i je .e 1.1.1 1= =

Se i j≠ , então ( )i jcos e e 0= e i je .e 1.1.0 0= =

Logo, o produto escalar entre “u” e “v” será:

i iu.v u v= (note que o resultado é um escalar)

Nos manuais, algebricamente o produto entre dois vetores (“u” e “v”, por exemplo) é

representado genericamente por:

i j iju.v u v= δ em que:

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Se i j= , então ij 1δ =

Se i j≠ , então ij 0δ =

A função “δij” é denominada de Delta de Kröenecher. Assim:

i i j ju.v u v u v= = (escalar)

1 1 2 2 3 3u.v u v u v u v= + +

2.4 – Produto Vetorial entre Vetores

Imaginemos o produto vetorial entre os vetores “u” e “v”. Assim, a representação do produto

vetorial escalar entre eles é dada por “ u v× ”, cujo resultado é:

( ) ( ) ( )( )i i j j i j i ju v u e v e u v e e× = × = ×

Por definição: ( ) ( )i j i j i j k i j ke e e e sen e e e sen e e e × = = . Vale lembrar que ek é um

vetor normal ao plano definido pelos vetores ei e ej. Pelo fato de ei, ej e ek serem

mutuamente ortogonais, pode-se afirmar que o ( )i jsen e e será -1, 0 e +1 quando o

ângulo entre ei e ej for 2

π− , 0 e

2

π+ , respectivamente. Desta forma:

1 1 2 2 3 3e e e e e e 0× = × = × =

1 2 3e e e× = 2 1 3e e e× = − 2 3 1e e e× = 3 2 1e e e× = − 3 1 2e e e× = 1 3 2e e e× = −

As propriedades anteriores podem ser resumidas mediante o tensor permutador unitário

εijk. Neste contexto tem que:

ijk 0ε = se i = j, j = k ou i = k

ijk 1ε = + se ijk = 123, 231 ou 312

ijk 1ε = − se ijk = 321, 213 ou 132

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Na verdade, o tensor permutador unitário (εijk) será +1 se a sequência da Fig.2 for

horária e será -1 se a sequência na mesma figura for anti-horária.

Figura 2 – Sequência horária e anti-horária para o tensor permutador unitário (εijk).

Resumindo, o produto vetorial entre os vetores “u” e “v” pode ser representado

por:

i j ijk ku v u v e× = ε (representa um vetor)

1 2 123 3 2 1 213 3 1 3 132 2 3 1 312 2 2 3 231 1 3 2 321 1u v u v e u v e u v e u v e u v e u v e× = ε + ε + ε + ε + ε + ε

( ) ( ) ( )1 2 2 1 3 1 3 3 1 2 2 3 3 2 1u v u v u v e u v u v e u v u v e× = − + − + −

Em suma:

1 2 3 1 1 1

1 2 3 2 2 2

1 2 3 3 3 3

e e e e u v

u v u u u e u v

v v v e u v

× = =

2.5 – Produto Triplo entre Vetores

Imaginemos o produto triplo entre os vetores “u”, “v” e “w”, representado da seguinte forma

( )u v w⋅ × , cujo resultado é o seguinte:

( ) ( ) ( )i i j j k k i j k i j ku v w u e v e w e u v w e e e⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

( ) ( ) ( )i j k i jkm m i j k jkm i m i j k jkm imu v w u v w e e u v w e e u v w⋅ × = ⋅ ε = ε ⋅ = ε δ

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( ) i j k jkiu v w u v w⋅ × = ε (escalar)

( ) 123 2 3 1 231 3 1 2 312 1 2 3 132 3 2 1 321 2 1 3 213 1 3 2u v w u v w u v w u v w u v w u v w u v w⋅ × = ε + ε + ε + ε + ε + ε

( ) 2 3 1 3 1 2 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2u v w u v w u v w u v w u v w u v w u v w⋅ × = + + − − −

A operação entre os vetores mostrada anteriormente também pode ser representada por:

( )1 2 3

1 2 3

1 2 3

u u u

u v w v v v

w w w

⋅ × =

2.6 – Produto Diádico ou Tensorial entre vetores

Imaginemos o produto diádico/tensorial entre os vetores “u” e “v”, representado por “uv”,

cujo resultado é o seguinte:

i i j j i j i juv u e v e u v e e= =

Maiores comentários serão feitos na seção 3.

3 – GRANDEZA TENSORIAL

Uma grandeza tensorial, para a sua completa especificação, requer informar o módulo e “N”

direções. Um exemplo de grandeza tensorial é a Tensão, conforme representação a seguir:

FT

A=

Alguns questionamentos poderiam surgir no sentido da expressão anterior ser considerada

inconsistente fisicamente, pois se uma força (F) é um vetor e uma determinada área (A) é

escalar, como a interação entre elas poderia originar um tensor?

Na verdade, não há nenhuma inconsistência física porque, em se tratando do estudo de

tensores, áreas (A), assim como forças (F), adquirem também uma notação vetorial:

i iF Fe=

13

j jA An An e= =

“n” representa o vetor unitário normal à superfície no ponto de aplicação da força. Assim,

para uma superfície qualquer (Fig. 3-b), pode haver uma quantidade infinita de vetores “n”

(módulo igual a “1”, mas direções as mais diversas possíveis). Assim, cada vetor “n” que

está sobre “A” pode ser decomposto em três componentes ( x x y y z zn e ,n e , n e ). Desta forma,

quando uma força “F” é aplicada neste mesmo elemento de área que contém “n”, as

componentes dela ( x x y y z zF e ,F e ,F e ) necessariamente estarão interagindo com cada uma

das componentes da área ( x x y y z zn e ,n e , n e ). Logo, haverá “9” interações possíveis para a

situação descrita. Vale ressaltar que cada uma dessas interações representa uma das 9

componentes do tensor “T”.

Figura 3 – Esquema de interação entre os vetores “F” e “n” na composição das Tensões

Isto posto, para cada combinação de “F” e “n”, pode-se obter as seguintes componentes

tensoriais:

y y yx x x z z z

x y z x y z x y z

F F FF F F F F F, , , , , , , ,

A A A A A A A A A (caso queira manter padrão F/A)

Em que Ax, Ay e Az são áreas paralelas aos planos “yz”, “xz” e

“xy”, respectivamente.

Quando se trabalha com tensores, são adotadas as seguintes notações para eles:

ij i j

i j

T T e e=∑∑

(a) (b) (c)

14

11 1 1 12 1 2 13 1 3 21 2 1 22 2 2 23 2 3 31 3 1 32 3 2 33 3 3T T e e T e e T e e T e e T e e T e e T e e T e e T e e= + + + + + + + +

Ou simplesmente, adota-se a Notação Indicial de Einstein:

ij i jT T e e=

em que:

“i” representa a direção normal à superfície de aplicação da força.

“j” representa a direção da força.

Por esta notação, as componentes tensoriais comumente vêm postas sob a forma matricial

em que “i” está relacionado às linhas e “j” as colunas, conforme se observa a seguir:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T T T

T T T T

T T T

=

Observa-se que quando “i = j”, a componente da força está na mesma direção do vetor

unitário normal àquela área. Logo, as tensões resultantes são denominadas de Tensões Normais

(diagonal principal da matriz tensorial). Por sua vez, quando “i ≠ j”, a componente da força está

perpendicular à direção do vetor unitário normal à área (em outros termos, é como se a força

estivesse tangenciando aquela área). Neste caso, as tensões resultantes são denominadas de Tensões

Cisalhantes (todos elementos que não estão contidos na diagonal principal da matriz tensorial).

Retomando os comentários cabíveis à seção 2.6, o produto diádico entre

dois vetores, resulta um tensor, motivo pela qual também é denominado de

produto tensorial entre vetores. O produto tensorial/diádico entre “ei” e “ej”

representa um elemento de uma matriz (3x3) que ocupa a linha “i” e a

coluna “j”, analogamente ao que fora até então discutido:

1 1

1 0 0

e e 0 0 0

0 0 0

=

1 2

0 1 0

e e 0 0 0

0 0 0

=

1 3

0 0 1

e e 0 0 0

0 0 0

=

15

2 1

0 0 0

e e 1 0 0

0 0 0

=

2 2

0 0 0

e e 0 1 0

0 0 0

=

2 3

0 0 0

e e 0 0 1

0 0 0

=

3 1

0 0 0

e e 0 0 0

1 0 0

=

3 2

0 0 0

e e 0 0 0

0 1 0

=

3 3

0 0 0

e e 0 0 0

0 0 1

=

Assim, o produto diádico/tensorial dos vetores “u” e “v” podem ser

representado por uma matriz do tipo:

1 1 1 2 1 3

i j i j 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

u v u v u v

uv u v e e u v u v u v

u v u v u v

= =

A partir desse conceito, pode mencionar que um tensor, além do módulo, tem 3k

componentes, em que “k” é a ordem dele. Vejamos:

I - Se ordem “0”, o tensor requer uma componente (30 = 1). Trata-se, então, de um escalar.

II - Se ordem “1”, o tensor requer três componentes (31 = 3). Trata-se, então, de um vetor.

III - Se ordem “2”, o tensor requer nove componentes (32 = 9). Trata-se, então, de um tensor

de ordem 2.

IV – Se ordem “3”, o tensor requer vinte e sete componentes (33 = 27). Trata-se, então, de um

tensor de ordem 3 e assim, sucessivamente.

Como apresentado anteriormente, todas as grandezas físicas são consideradas tensores.

Logo, a denominação “tensor” é o gênero, enquanto que as denominações “escalar, vetor etc.” são

simplesmente as espécies. Aproveitando o ensejo, tanto um escalar, quanto um vetor, podem ser

também representados pela notação matricial, cujos exemplos apresentados são respectivamente

para a viscosidade (µ) e a velocidade (v) de um fluido.

( )µ = µ (matriz cujo único elemento é o próprio módulo)

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( )1 2 3v v v v= ou 1

T2

3

v

v v

v

=

3 - Operações envolvendo Tensores

Para esta seção, consideremos os tensores “T” e “S”. Assim, cada um pode escrito da

seguinte forma:

ij i jT T e e=

rs r sS S e e=

Isto posto, as principais operações envolvendo os tensores apresentados são:

3.1 – Soma de Tensores

Imaginemos a soma dos tensores “T” e “S”, representada por “T+S”, cujo resultado é o

seguinte:

( )ij ij i jT S T S e e+ = + (tensor)

3.2 – Multiplicação de Tensor por um Escalar

Imaginemos um tensor “T” e um escalar “c”. Então, o produto entre o escalar e o tensor,

representado por “cT”, pode ser representado por:

( )ij i jcT cT e e=

3.3 – Duplo Produto Escalar de Tensores

O Duplo Produto Escalar dos Tensores “T” e “S”, representado por “T:S”, pode ser escrito

como:

17

ij i j rs r s ij rs i j r sT :S T e e :S e e T S e e : e e= =

( )( )ij rs i s j rT :S T S e e e e= ⋅ ⋅

ij rs is jrT :S T S= δ δ

ij jiT :S T S= (escalar)

3.4 – Produto Escalar entre Tensores

O Produto Escalar entre os Tensores “T” e “S”, representado por “T.S”, pode ser escrito

como:

ij i j rs r s ij rs i j r s ij rs jr i sT S T e e S e e T S e e e e T S e e⋅ = ⋅ = ⋅ = δ

ij js i sT S T S e e⋅ = (tensor)

3.5 – Multiplicação entre um Tensor e um Vetor

O produto entre o Tensor “T” e o vetor “u”, representado por “T.u”, pode ser escrito como:

ij i j k k ij k i j k ij k jk iT u T e e u e T u e e e T u e⋅ = ⋅ = ⋅ = δ

ij j iT u T u e⋅ = (vetor)

4 – Operador Nabla (∇ )

O Operador Nabla ( ∇ ) é um vetor e representa a derivada de uma grandeza nas três direções

cartesianas:

( ) ( ) ( ) ( )i 1 2 3

i 1 2 3

e e e ex x x x

∂ ∂ ∂ ∂∇ = = + +

∂ ∂ ∂ ∂

Salvo as devidas exceções, o Operador Nabla ( ∇ ) pode ser aplicado, escalar ou

vetorialmente, sobre outra grandeza física. Quando este operador é aplicado de forma vetorial sobre

determinada grandeza, ele recebe a denominação de Gradiente ( ∇ ). Por sua vez, quando ele é

aplicado de maneira escalar sobre determinada grandeza, o Operador Nabla recebe a denominação

de Divergente ( .∇ ) – cujos exemplos são mostrados a seguir:

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A) Gradiente de um Escalar (c):

ii

cc e

x

∂∇ =

∂ (vetor)

B) Gradiente de um Vetor (u):

( ) ( )ji j j i j

i i

uu e u e e e

x x

∂∂∇ = =

∂ ∂ (tensor)

C) Divergente de um Vetor (u):

( ) ( ) ( ) ( )j j ii j j i j ij

i i i i

u u u.u e .u e e .e

x x x x

∂ ∂∂ ∂∇ = = = δ =

∂ ∂ ∂ ∂ (escalar)

D) Divergente de um Tensor (T):

( ) ( ) ( ) ( )jk jk iki jk j k i j k i j k k

i i i i

T T T.T e .T e e e .e e e e

x x x x

∂ ∂∂ ∂∇ = = = δ =

∂ ∂ ∂ ∂ (vetor)

E) Divergente do Gradiente de um escalar (c), de um vetor (u) e de um tensor (T):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

i j i j i ji j i j i j i j

c c c. c e . e c e . e e .e ij

x x x x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∇ ∇ = = = = δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2i i i

c c. c

x x x

∂ ∂∇ ∇ = =

∂ ∂ ∂ (escalar)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )k ki j k k i j k ij k

i j i j i j

u u. u e . e u e e .e e e

x x x x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∇ ∇ = = = δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )2k k

k k2i i i

u u. u e e

x x x

∂ ∂ ∂∇ ∇ = =

∂ ∂ ∂ (vetor)

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )rs rsi j rs r s i j r s ij r s

i j i j i j

T T. T e . e T e e e .e e e e e

x x x x x x

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∇ ∇ = = = δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )2rs rs

r s r s2i i i

T T. T e e e e

x x x

∂ ∂∂∇ ∇ = =

∂ ∂ ∂ (tensor)

Deve-se notar que o Divergente (∇.), quando aplicado a determinada

grandeza física, tem a propriedade de transformar o conjunto, ou seja, se for

aplicado a um tensor, o resultado será um vetor; se for aplicado a um vetor,

o resultado será um escalar. Eis então, o motivo pelo qual não existe

divergente de um escalar. Por outro lado, o Gradiente (∇), quando aplicado

a determinada grandeza física, tem a propriedade de também transformar o

conjunto, mas de forma inversa ao Divergente, ou seja, se for aplicado a um

escalar, o resultado será um vetor; se aplicado a um vetor, o resultado será

um tensor, se aplicado a um tensor, o resultado será um outro tensor de

ordem superior etc. Já o Divergente de um Gradiente (∇.∇) é denominado

de Laplaciano ( 2∇ ) e não muda a natureza do resultado a ser alcançado

porque mantém natureza primitiva da grandeza física que sofreu sua

atuação.

4 - CAMPO

Define-se Campo como a distribuição contínua de uma grandeza no espaço e no tempo.

Significa dizer que o campo de Viscosidade de um Fluido (µ) é um Campo Escalar, o

Campo de Velocidade de um fluido (v) é um Campo Vetorial, o Campo de Tensão num fluido (T) é

um Campo Tensorial. Vejamos:

A) Campo Escalar:

( )x, y, z, tµ = µ

B) Campo Vetorial:

( )v v x, y, z, t=

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Mas como x x y y z zv v e v e v e= + + , então:

( )x xv v x, y, z, t= (campo escalar)

( )y yv v x, y, z, t= (campo escalar)

( )z zv v x, y, z, t= (campo escalar)

C) Campo Tensorial:

( )T T x, y, z, t=

Mas como ij i jT T e e= , então há 9 campos escalares para cada uma das

componentes tensoriais:

( )xx xxT T x, y, z, t=

( )xy xyT T x, y, z, t=

( )xz xzT T x, y, z, t=

( )yx yxT T x, y, z, t=

( )yy yyT T x, y, z, t=

( )yz yzT T x, y, z, t=

( )zx zxT T x, y, z, t=

( )zy zyT T x, y, z, t=

( )zz zzT T x, y, z, t=

Feitas as considerações iniciais, um determinado Campo pode ser:

I – Campo Permanente: aquele cujas componentes não dependem do tempo;

II – Campo Transiente: aquele cujas componentes dependem do tempo;

III – Campo Uniforme: aquele cujas componentes não dependem nem da posição x, y

ou z;

IV – Campo Unidimensional: aquele cujas componentes dependem apenas de uma

posição (x, y ou z);

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V – Campo Bidimensional: aquele cujas componentes dependem apenas de duas

posições (x,y ou x,z ou y,z);

V – Campo Tridimensional: aquele cujas componentes dependem de todas três

posições (x, y e z).

Exemplos:

( )x, y, z, tµ = µ - campo escalar tridimensional transiente;

( )x, y, zµ = µ - campo escalar tridimensional permanente;

( )x, z, tµ = µ - campo escalar bidimensional transiente;

( )y,zµ = µ - campo escalar bidimensional permanente;

( )y, tµ = µ - campo escalar unidimensional transiente;

( )zµ = µ - campo escalar unidimensional permanente;

( )tµ = µ - campo escalar uniforme transiente;

0µ = µ - campo escalar uniforme permanente.

( )v v x, y, z, t= - campo vetorial tridimensional transiente;

( )v v x, y, z= - campo vetorial tridimensional permanente;

( )y yv v x, z, t= - campo escalar bidimensional transiente;

( )v v y,z= - campo vetorial bidimensional permanente;

( )v v y, t= - campo vetorial unidimensional transiente;

( )x xv v z= - campo escalar unidimensional permanente;

( )v v t= - campo vetorial uniforme transiente;

0v v= - campo vetorial uniforme permanente.

( )xy xyT T x, y, z, t= - campo escalar tridimensional transiente;

( )T T x, y, z= - campo tensorial tridimensional permanente;

( )T T x, z, t= - campo tensorial bidimensional transiente;

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( )T T y,z= - campo tensorial bidimensional permanente;

( )yy yyT T y, t= - campo escalar unidimensional transiente;

( )T T z= - campo tensorial unidimensional permanente;

( )zy zyT T t= - campo escalar uniforme transiente;

0T T= - campo tensorial uniforme permanente.

Referências:

Bird, R. B, Stewart, W.E., Lightfoot, E.N, Fenômenos de Transporte, 2ª Ed. LTC, 838 p. 2004.

Damasceno, J.J.R. Lições sobre Fenômenos de Transporte para Engenheiros Químicos:

Transporte de Quantidade de Movimento em Fluidos, 190 p., 2005.