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Capítulo 6

Aplicações deIntegração

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Neste capítulo exploraremos algumas das aplicações daintegral definida, utilizando-a para calcular áreas entre

curvas, volumes de sólidos e o trabalho realizado por uma

força variável.

O tema comum é o seguinte método geral, similar àquele que

usamos para encontrar áreas sob as curvas.

APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO

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6.1

Áreas Entre CurvasNesta seção aprenderemos a usar as integrais para

encontrar áreas de regiões entre gráficos de duas funções.


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Questão 1- Suponha que um engenheiro agrônomo precisecalcular a área de uma região limitada por três estradas eno quarto lado por um rio, a figura abaixo representa estaregião. Então, forneça a área desta região em metros

quadrados.


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Considere a região S entre duas curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) eentre as retas verticais x = a e x = b.

Aqui f e g são funções

contínuas e f ( x ) ≥ g ( x )

para todo x em [a, b].

ÁREAS ENTRE CURVAS

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A área A da região limitada pelas curvas y = f ( x ), y = g ( x ), epelas retas x = a, x = b, onde f e g são contínuas e para

todo x em [a, b], é: ( ) ( ) f x g x

b

a A f x g x dx

Definição 2ÁREAS ENTRE CURVAS

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Encontre a área da região limitada acima por y = e x , eabaixo por y = x , e limitada nos lados por x = 0 e x = 1.

A região é mostrada

na Figura. A curva

limitante superior

é y = e x e a curva

limitante inferior y = x .

Exemplo 1ÁREAS ENTRE CURVAS

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Então, usamos a fórmula (2) da área com y = e x , g ( x ) = x , a = 0, e b = 1:

1 1

212 00

11 1.5

2

x x A e x dx e x

e e


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Na Figura desenhamos um retângulo aproximante típicocom largura ∆ x como um lembrete do procedimento pelo

qual a área é definida em (1).

ÁREAS ENTRE CURVAS

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Em geral, quando determinamos uma integral para umaárea, é útil esboçar a região para identificar a curva

superior y T , a curva inferior y B, e um retângulo

aproximante típico, como na Figura.

ÁREAS ENTRE CURVAS

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Observe que na Figura da esquerda a fronteira esquerda sereduz a um ponto, enquanto na Figura da direita a fronteira

direita é que se reduz a um ponto.

ÁREAS ENTRE CURVAS

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No próximo exemplo ambas as fronteiras se reduzem

a um ponto, de modo que a primeira etapa será

encontrar a e b.

ÁREAS ENTRE CURVAS

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Encontre a área da região entre as parábolas y = x 2 e y = 2 x - x 2.

Primeiro encontramos os pontos de intersecção das

parábolas, resolvendo suas equações simultaneamente.

Isto resulta em x 2 = 2 x - x 2, ou 2 x 2 - 2 x = 0.

Portanto, 2 x ( x - 1) = 0, assim x = 0 ou 1.

Os pontos de intersecção são (0, 0) e (1, 1).


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Vemos na Figura que as fronteiras superior e inferior são:

y T = 2 x – x 2 e y B = x

2


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A área de um retângulo típico é

( y T – y B) ∆ x = (2 x – x 2 – x 2) ∆ x

a região está entre x = 0 e x = 1.

Então, a área total é:

1 1

2 2

0 0

12 3

0

2 2 2

1 1 12 2

2 3 2 3 3

A x x dx x x dx

x x


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A Figura mostra as curvas de velocidade de dois carros A eB, que partem lado a lado e se movem ao longo da mesma

estrada. O que a área entre as curvas representa?


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Sabemos da Seção 5.4 que a área sob a curva develocidade A representa a distância percorridapelo carro A durante os primeiros 16 segundos.

• Do mesmo modo, a área

sob a curva B é adistância percorrida pelo

carro B durante o mesmo

período de tempo.


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Assim, a área entre essas curvas, que é a diferença entre as

áreas sob as curvas, é a distância entre os carros após 16

segundos.


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Para encontrar a área entre as curvas y = f ( x ) e y = g ( x ),onde f ( x ) ≥ g ( x ) para alguns valores de x , mas g ( x ) ≥ f ( x ) para

outros valores de x , dividimos a região S dada em várias

regiõesS1, S2, … com áreas A1, A2,...

ÁREAS ENTRE CURVAS

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Então, definimos a área da região S como a soma das áreasdas regiões menores S1, S2,… , ou seja, A = A1 + A2 +…

Como

quando

quando

temos a seguinte expressão para A.

ÁREAS ENTRE CURVAS

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

f x g x f x g x g x f x

( ) ( )

( ) ( )

f x g x

g x f x

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A área entre as curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) e entre x = a e x = b é:

Quando calculamos a integral em (3), contudo, ainda devemos

dividi-la em integrais correspondentes a A1, A2, ….

( ) ( )

b

a A f x g x dx

Definição 3ÁREAS ENTRE CURVAS

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Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x, y = cos x , x = 0, e x = π/2.

Os pontos de

intersecção ocorremquando sen x = cos x ,

isto é, quando

x = π / 4 (porque

0 ≤ x ≤ π / 2).


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Observe que cos x ≥ sen x quando 0 ≤ x ≤ π / 4 mas

sen x ≥ cos x quando π / 4 ≤ x ≤ π / 2.


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Portanto, a área pedida é:


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Neste exemplo particular, poderíamos ter economizadotrabalho observando que a região é simétrica em relação x

= π / 4.

Então,


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Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como

uma função de y .

Se uma região é limitada por curvas com equações

x = f ( y ), x = g ( y ), y = c , e

y = d , onde f e g

são contínuas e

f ( y ) ≥ g ( y ) para c ≤ y ≤ d ,

então sua área é:

( ) ( )d

c A f y g y dy

ÁREAS ENTRE CURVAS

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Se escrevermos x D para a fronteira direita e x E para afronteira esquerda, então, como a Figura ilustra, teremos:

Aqui um retângulo

aproximante típico tem

dimensões x D - x E e ∆ y .

ÁREAS ENTRE CURVAS

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Encontre a área limitada pela reta

y = x - 1

e pela parábola

y 2 = 2 x + 6.


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Resolvendo as duas equações, descobrimos que

os pontos de intersecção são (-1, -2) e (5, 4).

Isolamos x na equação

a parábola e observamos

pela Figura que as curvas

de fronteira esquerda e

direita são:


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Devemos integrar entre os valores apropriados de,

y = -2 e y = 4.

Assim


4

2

4

2122

421

22

4

3 2

2

1 46 3

1 3

4

1 42 3 2

(64) 8 16 2 8 18

R L A x x dy

y y dy

y y dy

y y y

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Poderíamos ter encontrado a área no Exemplo 6

integrando em relação a x em vez de y , mas o cálculo é

muito mais complicado.

ÁREAS ENTRE CURVAS

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Isso significaria dividir a região em duas e calcular as áreas A1 e A2.

O método que usamos

no Exemplo 6 é muito

mais fácil.

ÁREAS ENTRE CURVAS

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