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Capítulo 25:

Capacitância

Capacitor

Capacitância

Calculo da capacitância

Capacitores em paralelo e em série

Energia armazenada em um campo elétrico

Capacitor com dielétrico

Dielétricos: uma visão atômica

Dielétricos e a Lei de Gauss

Cap. 25: Capacitância

Índice


Dois condutores isolados entre si e do ambiente, formam um capacitor. Quando este dispositivo está carregado, as cargas nos condutores ou placas, tem o mesmo valor absoluto q, e sinais opostos. Este tipo de dispositivo serve para armazenar cargas elétricas e fornecê-las em um momento futuro.

Capacitor


Sempre podemos escrever a diferença de potencial V, em termos da carga q.

Capacitância

Cq

V

C é uma constante geométrica denominada de Capacitância. No SI sua unidade de medida é o coulomb por volt denominado de farad [C/V = F].


Capacitância

• Quando a chave S é fechada passa a ter corrente elétrica entre os terminais devido ao campo elétrico criado pela bateria.

• Os elétrons se deslocam da placa a do capacitor para o terminal positivo da

bateria e a placa a fica positivamente carregada.

• Os elétrons se deslocam do terminal negativo da bateria para a placa b e ela fica negativamente carregada. O capacitor está completamente carregado quando a diferença de potencial do capacitor atingir o mesmo valor da bateria.

Obs: Para análise futura: as cargas não podem passar de uma placa para a outra e o capacitor conserva a carga.


Cálculo da Capacitância

Capacitor de placas paralelas

Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em função de q.

0

int

qdAnE

EAq 0

Calcular a diferença de potencial V entre as placas em função de E.

Calcular C a partir dos valores de q e V.

d

EdssdEV0

E = cte entre as placas e tem sentido oposto ao de ds.

EdV

Cq

V EdEA

Vq

C 0d

AC 0

A é a área de uma das placas do Capacitor e d é a distância que separa as placas.



Capacitor Cilíndrico


0

int

qdAnE EAq 0



sdEV

a

bL

qq

Vq

Cln

2 0

a

bL

Cln

2 0

rLEq 20

a

brL

qV |ln

2 0

a

b

drrL

qV )(

2 0 -drds

a

bL

qV ln

2 0



Capacitor Esférico


0

int

qdAnE

EAq 0



sdEV

ab

abqq

Vq

C

04

ab

abC 04

2

0 4 rEq

-drds

a

b

drr

qV )(

4 2

0

ba

q

r

qV a

b

11

4|

4 00

ab

abqV

04

2

04 r

qE



A Esfera Isolada

Consideremos um capacitor esférico com a casca esférica externa de raio infinito!

b

ab

abC 04

b

a

aC

14 0

RC 04 R é o raio da esfera, neste caso R = a.


Capacitores em Paralelo

Calculando as cargas em cada capacitor.

VCq 11 VCq 33 VCq 22

321 qqqq

321 CCCC

n

j

jeq CC1

Capacitores ligados em paralelo: A diferença de potencial é a mesma em todos os capacitores, inclusive no capacitor equivalente!

A carga total armazenada no circuito (carga do capacitor equivalente) é igual à soma da carga de cada um dos capacitores!

VCVCVCCV 321


Capacitores em Série

Calculando a diferença de potencial.

321 VVVV

321

1111CCCCeq

n

j jeq CC1

11

Capacitores ligados em série: A carga em cada um dos capacitores é igual, inclusive no capacitor equivalente.

A diferença de potencial do capacitor equivalente é definida pela soma das diferenças de potencial de cada um dos capacitores.

321 Cq

Cq

Cq

Cq

eq

CVq



Exemplo 2) pg. 119

a) Determine a capacitância equivalente da combinação de capacitores que aparece na figura abaixo, na qual, C1 = 12 F, C2 = 5,30 F e C3 = 4,50 F.

Passo 1: Em paralelo.

Passo 2: Em série.

FCCC peq 3,173,51221

3

111CCC peqeq

FCeq 57,3

b) Determine a carga acumulada no capacitor C1 quando a diferença de potencial é de 12,5 V.

CVCq eq 6,445,12)1057,3( 6

123

abpeq VCqq 12123

VCqV peqab 58,2/12

CVCq ab 3111

Encontrar a carga equivalente emC123 que será a mesma em C3 e Ceq p

Calcular a diferença de potencial entre A e B.



Exemplo 3) pg. 120

O capacitor 1, com C1 = 3,55 F, é carregado por uma bateria com diferença de potencial de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é ligado, como na figura ao lado, a um capacitor 2 com C2 = 8,95 F. Determine a carga dos capacitores depois que o equilíbrio é atingido.

• Calcular q0 quando apenas o capacitor 1 é carregado. CVCq 5

10 1024,2

• Após a chave ser fechada, sem a bateria, q0 = q1 + q2, assim como, V1 = V2 (Circuito em Paralelo).

2

2

1

1

Cq

Cq

2

10

1

1 )(C

qqC

q

)( 12

011 CC

qCq

Cq 35,61

Cqqq 16102

Cap. 25: Capacitância Energia armazenada em um

campo elétrico

A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associado ao campo elétrico que existe entre as placas.

Para transferir uma carga dq’ ao capacitor (imaginando o carregamento do capacitor), é necessário que um agente externo realize um trabalho dW descrito como:

C

qdq

C

qVdqdW

qq

ag2

''

'2

00

C

qWag

2

2

Como o capacitor estava inicialmente carregado, a variação de Energia Potencial pode ser descrita pela energia final acumulada no capacitor durante o processo de carga!

22

2

1

2CV

C

qWU ag

q

WV

ag


Densidade de Energia

A densidade de energia, u, é definida pela razão entre a energia acumulada e o volume necessário para acumulá-la.

Volume

Uu

Para um capacitor de placas paralelas:

2

2

0

2

2

2

1

d

V

Ad

CV

u

d

AC 0

2

02

1Eu Densidade de Energia

Cap. 25: Capacitância Energia armazenada em um

campo elétrico

Exemplo 5) pg 124

Uma esfera condutora isolada de raio 6,85 cm possui uma carga de 1,25 nC. a) Qual é a energia potencial armazenada no campo desse condutor? b) Qual a densidade de energia na superfície da esfera?

Uma esfera isolada possui capacitância dada por: RC 04

mJR

qU 103

)4(2 0

2

Sabendo o Campo Elétrico na superfície da esfera, temos:

3

4

0

2

22

2

0

0

2

0 /4,25)32(42

1

2

1mmJ

R

q

R

qEu


Capacitor com um Dielétrico

Michael Faraday, constatou que em um capacitor contendo um material dielétrico - isolantes, plásticos, óleo mineral... – a capacitância é multiplicada por uma constante dependente da composição do dielétrico. Essa constante é chamada de constante dielétrica, . Sendo assim, sempre que uma região for totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica , o valor da permissividade do vácuo, 0, deve ser substituído por 0 em todas as equações.

0C

C00

Vantagens do uso dos dielétricos em capacitores:

Facilidade em manter as placas dos capacitores separados.

Aumento na capacitância, e por consequência, aumento no acumulo de cargas.

Permite aumento na diferença de potencial entre as placas sem que haja ruptura.

Rigidez dielétrica: Campo elétrico máximo que o material pode tolerar sem que ocorra a ruptura.


Capacitor com um Dielétrico

Exemplo 6) pg. 126 Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 13,5 pF é carregado por uma bateria até que haja uma diferença de potencial V = 12,5 V entre as placas. A bateria é desligada e uma placa de porcelana (κ = 6,5) é introduzida entre as placas. Qual a energia potencial do capacitor (antes e depois) da introdução da placa cerâmica? (1100 pJ; 160 pJ)

Antes da introdução da placa:

2

002

1VCU pJU 11000

Depois da introdução da placa: A carga é a mesma da situação inicial!

0

0

22

22

U

C

q

C

qU pJU 160


Natureza dos Dielétricos

As moléculas dos materiais dielétricos podem ser polares ou apolares. Na presença de um campo elétrico todas as moléculas de um dielétrico apresentam polarização. Sendo assim, quando um campo elétrico é aplicado, os dipolos elétricos se alinham parcialmente na direção do campo. Esse alinhamento é parcial, por causa da agitação térmica que tende a desorientar os dipolos.



Do ponto de vista de um capacitor:

Se q = cte V diminui

Se V = cte q aumenta

101 VCq

202 VCq



Analise das cargas de um capacitor com a mesma diferença de potencial

'0 qqq

0q

Sem dielétrico

+ + + ++

- - - --

Com dielétrico

0q

q

´q

q

´q

q0 = carga do capacitor sem polarizador q = carga livre induzida na placa do capacitor devido a inserção do dielétrico. q’ = carga de polarização (fixa na sup. Do dielétrico).



Na presença de um material dielétrico, podemos escrever a lei de Gauss da seguinte forma:

00

int'

qqqdAnE

A

qqE

0

'

Sabemos que na presença de um material dielétrico o campo elétrico diminui:

/0EE

A

qE

0

'qqq

0

qdAnE

qdAnD ED

0

Vetor Deslocamento Elétrico

q é a carga livre (placa metálica). q’ é a carga de polarização (induzida no dielétrico).

0EE



Exemplo 7) pg. 129 A figura ao lado mostra um capacitor de placas paralelas com área das placas A, distância de separação d, carregado por meio de uma diferença de potencial V0 de uma bateria. A bateria é removida e é introduzido um dielétrico de espessura b, com constante dielétrica . Suponha que A = 115 cm2, d= 1,24 cm, V0 = 85,5 V, b = 0,78 cm e = 2,61. Determine: a) Qual a capacitância C0 antes da introdução do dielétrico?

pFC 21,80 d

AC 0

0

b) Qual o valor da carga das placas?

00VCq pCq 702

c) Qual é o valor do campo elétrico entre as placas e o dielétrico?

Na região sem a presença do dielétrico, = 1, temos:

0

qdAnE

A

qE

0 mkVE /9,6



Exemplo 7) pg. 129 A = 115 cm2, d= 1,24 cm, V0 = 85,5 V, b = 0,78 cm e = 2,61. C0 = 8,21 pF, q = 702 pC e E0 = 6,9 kV/m. d) Qual é o valor do campo elétrico dentro do dielétrico?

e) Qual é a diferença de potencial entre as placas depois da introdução do dielétrico?

f) Qual é a capacitância do capacitor com o dielétrico?

A carga antes e depois da inserção é a mesma!

qdAnE

10A

qE

0

1

mkVE /64,21

bEbdEsdEV 101 )(

VV 3,521

pFV

qC 4,13

11


Lista de Exercícios

5, 7, 12, 13, 15, 17, 19, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 45, 49, 50, 53, 54, 63.

Referências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3. TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.

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