25 capacitancia

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] Última atualização: 28/11/2006 14:52 H

20 - Capacitância

Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker

4ª Edição, LTC, 1996

Física 2 Resnick, Halliday, Krane

4ª Edição, LTC, 1996

Física 2 Resnick, Halliday, Krane

5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 27 - Capacitância Cap. 31 - Capacitores e

DielétricosCap. 30 - Capacitância

Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3

CAPÍTULO 27 - CAPACITÂNCIA

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

[Início documento]

[Início seção] [Início documento]

________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 27 – Capacitância

2


RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 31 - CAPACITORES E DIELÉTRICOS

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

[Início documento]

01. Um eletrômetro é um aparelho usado para medir cargas estáticas. Uma carga desconhecida é

colocada nas armaduras de um capacitor e após isto medimos a diferença de potencial entre elas. Qual é a menor carga que pode ser medida por um eletrômetro cuja capacitância vale 50 pF e tem sensibilidade à voltagem de 0,15 V? (Pág. 92)

Solução. A carga a ser medida pelo eletrômetro é acumulada num capacitor, de capacitância C, do instrumento e deve satisfazer à relação fundamental de capacitância:

( )( )9 950 10 F 0,15 V 7,5 10 Cq CV − −= = × = ×

7,5 pCq =

[Início seção] [Início documento] 04. Um capacitor de armaduras paralelas é construído com placas circulares de raio 8,22 cm e 1,31

mm de separação entre elas. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual a carga que aparecerá nas armaduras, se aplicarmos uma diferença de potencial de 116 V entre elas? (Pág. 92)

Solução.

r

d

+q −q

________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos

3

(a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas, não importando a forma geométrica de suas placas, é dada por:


( )( )

( )2122

100 03

8,85 10 F/m 0,0822 m1,4340 10 F

1,31 10 mA rC

d dπε ε π

−−

−

×= = = = ×

×

143 pFC ≈ (b) A carga q vale:

( )( )10 81,4340 10 F 120 V 1,7208 10 Cq CV − −= = × = ×

17,2 nCq ≈

[Início seção] [Início documento] 13. Ache a capacitância equivalente à combinação na Fig. 25. Suponha que C1 = 10,3 μF, C2 = 4,80

μF e C3 = 3,90 μF.

(Pág. 93)

Solução. Em primeiro lugar, vamos resolver a associação em série de C1 e C2, cuja capacitância equivalente chamaremos de C12 e, em seguida, resolveremos a associação em paralelo entre C12 e C3, cuja capacitância equivalente chamaremos de C123.

2 1

12 1 2 1 2

1 1 1 C CC C C C C

+= + =

( )( )

( ) ( )1 2

121 2

10,3 F 4,80 F3,2741 F

10,3 F 4,80 FC CC

C Cμ μ

μμ μ

= = =+ +

A capacitância equivalente final vale: ( ) ( )123 12 3 3,2741 F 3,90 F 7,1741 FC C C μ μ μ= + = + =

123 7,17 FC μ≈


17. (a) Três capacitores estão ligados em paralelo. Cada um deles tem armaduras de área A, com

espaçamento d entre elas. Qual deve ser a distância entre as armaduras placas de um único capacitor, cada uma com área também igual a A, de modo que a sua capacitância seja igual à da associação em paralelo? (b) Repita o cálculo supondo que a associação seja em série. (Pág. 93)

Solução. (a) A capacitância da associação em paralelo (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol).


4


C A,

d

C A,

C A,

C A, l

Logo: assoc isolC C=

0 AC C Cl

ε+ + =

03 ACl

ε=

0 03 A Ad l

ε ε=

3dl =

(b) A capacitância da associação em série (Cassoc) é igual à capacitância do capacitor isolado (Cisol).

C A,

d

C A,

d

C A,

d

C A,

l

Logo: assoc isolC C=

1

01 1 1 AC C C l

ε−⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

0

3AC

lε

=

0 013

A Ad l

ε ε=

3l d=

[Início seção] [Início documento] 20. Imagine que você disponha de vários capacitores de 2,0 μF, capazes de suportar, sem ruptura

dielétrica, 200 V. Como seria possível combinar esses capacitores, de modo a obter um sistema capaz de resistir à diferença de potencial de 1.000 V e com uma capacitância de (a) 0,40 μF e (b) 1,2 μF? (Pág. 93)

Solução. (a) É possível satisfazer a condição do enunciado por meio de uma associação em série de cinco capacitores de C1 = 2,0 μF.


5


C1/5

5V=

C1

VVVVV

C1 C1 C1 C1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 5

eqC C C C C C C= + + + + =

1

( )1 2,0 F

5 5eqCC

μ= =

0,40 FeqC μ=

Associando-se em série cinco capacitores que suportam individualmente uma tensão de 200 V, a tensão total que a associação poderá suportar é: ( )5 5 200 VeqV V V V V V V= + + + + = =

1.000 VeqV =

(b) No item anterior, a associação em série de cinco capacitores de 2,0 μF produziu uma capacitância equivalente de 0,40 μF. Para produzir uma capacitância equivalente de 1,2 μF seria necessário associar em série cinco capacitores de:

2

1 5

eqC C=

( )2 5 5 1,2 F 6,0 FeqC C μ μ= = =

É possível construir um capacitor equivalente a 6,0 μF associando-se três capacitores de 2,0 μF em paralelo.

C C2 1 = 3=

C1

C1

C1

V

V

( )1 1 1 13 3 2,0 F 6,0 FeqC C C C C μ μ= + + = = =

É preciso lembrar que todos os capacitores que participam de uma associação em paralelo estão sujeitos à mesma diferença de potencial do capacitor equivalente. Isto faz com que a limitação da voltagem total também seja satisfeita. A associação total é representada no esquema abaixo, onde todos os quinze capacitores têm capacitância C1 = 2,0 μF:

[Início seção] [Início documento] 24. Quando giramos a chave S da Fig. 30 para a esquerda, as armaduras do capacitor de

capacitância C1 adquirem uma diferença de potencial V0. Inicialmente, C2 e C3 estão descarregados. A chave S é agora girada para a direita. Quais os valores das cargas finais q1, q2, e q3 sobre os capacitores correspondentes?


6


(Pág. 94)

Solução. Considere a seqüência de operações no circuito mostradas no esquema abaixo:

C1

C2

C3

V0

+++− − −

C1

C2

C3

V0

q V2 2,

q V3, 3

q V1 1,

C1

C2

C3

V0

q V0 0,+++− − −

C1

C2

C3

V0

q V0 0,+++− − −

+++− − −

+++− − −

A B C D No circuito B, a chave S é girada para a esquerda. O capacitor C1 adquire diferençca de potencial igual à da bateria (V0) e carga q0 igual a: (1) 0 1q CV= 0

3

No circuito D, a chave S é girada para a direita. A carga q0 é distribuída entre os três capacitores. A diferença de potencial de C1 ,V1, diminui enquanto que a de C23 (capacitor equivalente a C2 e C3), ,V23, aumenta até ficarem iguais. Podemos desenvolver o seguinte cálculo: 1 2V V=

231

1 2

qqC C

=3

(2)

Como C23 é uma associação em série de capacitores, teremos:

2 323

2 3

C CCC C

=+

(3)

e (4) 23 2q q q= = 3

3

1

Portanto, a distribuição de carga entre os capacitores fica da seguinte forma: 0 1 2 1q q q q q= + = +

(5) 2 0q q q= −

Substituindo-se (4) em (2):

1 21

23

C qqC

= (6)


( )1 0 1 1 0 1 1

123 23 23

C q q C q C qqC C

−= = −

C


7


1 011

23 23

1 C qCqC C

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 0 231 1 0

23 1 23 1 23

1C q Cq C qC C C C C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎟ (7)


2 31 1 0 1 0

2 3 1 2 1 3 2 31

2 3

1 C Cq C q C qC C C C C C C CCC C

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞+⎜ ⎟= = ⎜ + +⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎟ (8)


1 2 1 31 1 0

1 2 1 3 2 3

C C C Cq CVC C C C C C

⎛ ⎞+= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Da Eq. (5), temos:

1 2 1 3 1 2 1 32 1 0 1 0 1 0

1 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 3

1C C C C C C C Cq CV CV CVC C C C C C C C C C C C

⎛ ⎞ ⎛+ += − = −⎜ ⎟ ⎜+ + + +⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

1 2 1 3 2 3 1 2 1 32 1 0

1 2 1 3 2 3

C C C C C C C C C Cq CVC C C C C C

⎛ ⎞+ + − −= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2 32 1 0

1 2 1 3 2 3

C Cq CVC C C C C C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

Como q2 = q3:

2 33 1 0

1 2 1 3 2 3

C Cq CVC C C C C C

⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠


26. Um capacitor de armaduras planas, mas não paralelas, é constituído por duas placas quadradas

que formam entre si um ângulo θ, conforme na Fig. 32. O lado do quadrado é igual a a. Mostre que a capacitância deste capacitor, para valores de θ muito pequenos, é

2

0 12

a aCd d

ε θ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(Sugestão: O capacitor pode ser dividido em faixas infinitesimais que estejam efetivamente em paralelo.)


8


(Pág. 94)

Solução. Considere o esquema abaixo:

θ

dx

a

d

y

x Tomando-se dois elementos de placas de comprimento dx e largura a, o conjunto representa um capacitor de placas paralelas de capacitância dC que possui área dA e distância de separação entre as placas l. Capacitância dC:

0 0 0

tandA adx adxdCl d y d x

ε ε εθ

= = =+ +

O capacitor da figura pode ser considerado como sendo uma associação em paralelo de capacitores dC e, neste caso, somam-se (integram-se) as capacitâncias:

00 tana adxC dCd x

εθ

= =+∫ ∫

0 tanln 1tan

a aCd

ε θθ

⎛= +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ (1)

No Apêndice H deste livro vê-se que a função ln (1+x) pode ser expandida em série de Taylor, sendo o resultado:

( ) ( )2 31 1ln 1 12 3

x x x x x+ = − + − <

Considerando-se

tanaxd

θ=

e tomando-se apenas os dois primeiros termos da série:

2 2

2

tan tan tan tan tanln 1 12 2

a a a a ad d d d d

θ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛+ ≈ − = −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

θ ⎞⎟⎠

Considerando-se θ ≈ 0, isto implica em tan θ ≈ θ. Logo:

tanln 1 1

2a a

d dad

θ θ θ⎛ ⎞ ⎛+ ≈ −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

(2)



9


0 12

a a aCd d

ε θ θθ

⎛ ⎞≈ −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0 12

a aCd d

ε θ⎛ ⎞≈ −⎜ ⎟⎝ ⎠


27. A diferença de potencial fornecida pela bateria B da Fig. 33 é igual a 12 V. (a) Calcule a carga

em cada capacitor após ter sido fechada a chave S1. (b) Idem, quando também estiver fechada a chave S2. Suponha que C1 = 1 μF, C2 = 2 μF, C3 = 3 μF e C4 = 4 μF.

(Pág. 94)

Solução. (a) Considere o esquema a seguir:

C1 C3

C2 C4

V

C13

C24

V

=

Os capacitores C1 e C3 estão associados em série. Isto significa que:

1 313

1 3

C CCC C

=+

1 3q q=

O mesmo é verdadeiro para os capacitores C2 e C4:

2 424

2 4

C CCC C

=+

2 4q q=

Como a ddp entre as placas de C13 e C24 é igual a V, temos: 1 3 2V V V V V= + = + 4

Tomando-se:

31 11 3

1 3 1

qq qV V VC C C C

= + = + = + 1

3

q


10


11 3

1 1V qC C

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 31

1 3

C Cq VC C

=+

1 3 9 μCq q= =

De forma semelhante:

2 42

2 4

C Cq VC C

=+

2 4 16 μCq q= =

(b) Considere o esquema a seguir:

C1 C3

C2 C4

V

C1 C3

C2 C4

V V

C12 C34

= =

341212 34

12 34

qqV V VC C

= + = +

Onde, por se tratar de uma associação de capacitores em série: 12 34q q=

Logo:

1212 34

1 1V qC C

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

12 3412 34

12 34

C Cq q VC C

= =+

Como C12 e C34 são associações de capacitores em paralelo, temos:

( )( )

( ) ( )1 2 3 4

12 341 2 3 4

C C C Cq q V

C C C C+ +

= =+ + +

12 34 25,2 μCq q= =

Mas:

1212

12

8,4 μCqVC

= =

Logo: 1 12q V C= 1

1 8,4 μCq =

2 12q V C= 2

1 16,8 μCq =

De forma semelhante: ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos

11


3 10,8 μCq =

1 14,4 μCq =


30. As tentativas de construção de um reator de fusão termonuclear controlada que, se bem-

sucedidas, poderiam fornecer uma enorme quantidade de energia a partir do hidrogênio pesado existente na água do mar, envolvem usualmente a passagem de correntes elétricas muito intensas por pequenos períodos de tempo em bobinas que produzem campos magnéticos. Por exemplo, o reator ZT-40, do Laboratório Nacional de Los Alamos (EUA), tem salas cheias de capacitores. Um dos bancos de capacitores tem capacitância de 61,0 mF a 10,0 kV. Calcular a energia armazenada, (a) em joules e (b) em kW.h. (Pág. 95)

Solução. (a) A energia potencial acumulada num capacitor carregado, de capacitância C sujeito à uma diferença de potencial V, é dada por:

( )( )22 3 31 1 61,0 F 10,0 V 3,05 J2 2

U CV −= = ×10 ×10 = ×106

3,05 MJU = (b) Lembrando-se que:

73

kW h1 J W s 2,777 kW h10 W 3.600 s

−= ⋅ × × = ×10 ⋅

Teremos:

( )( )6 73,05 J 2,777 kW h 0,84722 kW hU −= ×10 ×10 ⋅ = ⋅

0,847 kW hU ≈ ⋅

[Início seção] [Início documento] 32. Dois capacitores, um de 2,12 μF e outro de 3,88 μF são ligados em série, com uma diferença de

potencial de 328 V entre os terminais da associação. Calcular a energia total armazenada nos capacitores. (Pág. 95)

Solução. Podemos representar a associação em série dos capacitores C1 e C2 pelo capacitor equivalente C12:

1 212

1 2

C CCC C

=+

A energia potencial acumulada no capacitor C12 sujeito à diferença de potencial V vale:

212

12

U C V=

Logo:


12


( )( )

( ) ( ) ( )6 6

221 26 6

1 2

2,12 10 F 3,88 10 F1 1 328 V 0,073745 J2 2 2,12 10 F 3,88 10 F

C CU VC C

− −

− −

× ×= = =

+ × + ×

73,7 mJU ≈

[Início seção] [Início documento] 34. Um banco de capacitores ligados em paralelo, contendo 2.100 capacitores de 5,0 μF cada, é

usado para armazenar energia elétrica. Quanto custa carregar este banco até a diferença de potencial nos terminais da associação atingir 55 kV, supondo um custo de 3 centavos por kW.h? (Pág. 95)

Solução. Considere o seguinte esquema:

C

V

C

C

C

V

}

U

U

U

U

1

2

3

2.100

A tarifa total T a ser paga pelo carregamento dos N capacitores é o produto da tarifa t pela energia acumulada nos N capacitores (CN). NT t U NtU= ⋅ =

Na expressão acima, U é a energia acumulada em cada um dos capacitores da associação.

2 21 12 2

T Nt CV NtCV⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( )27 61 cents kW.h2.100 3,0 2,78 5,0 F 55.000 V 13,2449 cents2 kW.h J

T − −⎛ ⎞= × ×10 ×10 =⎜ ⎟⎝ ⎠

13 centsT ≈

[Início] 36. Na Fig. 24 calcule (a) a carga, (b) a diferença de potencial e (c) a energia armazenada em cada

capacitor. Suponha os mesmos valores numéricos do Problema 12, com V = 112 V.


13


(Pág. 95)

Solução.

[Início seção] [Início documento] 38. Seja um capacitor cilíndrico de raios iguais a a e b, respectivamente como ilustra a Fig. 4.

Mostre que a metade da sua energia potencial elétrica está acumulada no interior de um cilindro de raio igual a r a= b .

(Pág. 95)

Solução. Considere o esquema a seguir:

a b

r+

−

++

+

+

++

+

−

−−

−

−

−

−

−

−

−−

−

−

−

−

Capacitância de um capacitor cilíndrico:


14


( )02

lnLCb a

πε=

Energia potencial elétrica acumulada num capacitor cilíndrico:

( )22

0

ln2 4

q b aqUC Lπε

= = (1)

Densidade de energia (u) entre as placas de um capacitor cilíndrico:

dUudV

=

(20

1 . .2 .2

dU udV E L r drε π⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

) (2)

Campo elétrico entre as placas de um capacitor cilíndrico:

02

qELrπε

= (3)


2

0 2 2 2 204qdU Lrdr

L rε π

π ε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

04q drdU

Lrπε= (4)

Condição que resolve o presente problema:

2

r

a

UdU =∫ (5)

Substituindo-se (1) e (4) em (5):

( )22

0 0

ln14 2 4

r

a

q b aq dr drLr r Lπε πε

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

1ln ln2

r ba a

=

2

ln lnr ba a

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2r b

a a⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

r ba a

=

r a= b

[Início seção] [Início documento] 40. Mostre que as armaduras de um capacitor plano de placas se atraem mutuamente com uma força

igual a


15


2

02qF

Aε=

Obtenha este resultado calculando o trabalho necessário para aumentar a separação entre as armaduras x para x + dx. (Pág. 95)

Solução. Considere o seguinte esquema, em que temos um capacitor de placas planas e paralelas, separadas por uma distância x e carregado com carga q.

++

++

++

++

−−−−−−−−

dx

+q −q

x

F

ds

−−−−−−−−

−F

A placa da direita é movida para a direita através de uma distância dx. O trabalho W realizado pela força −F pode ser calculado da seguinte forma: cosdW d Fdx π= ⋅ =F s (1) W Fd= − xO mesmo trabalho é equivalente à variação de energia potencial do sistema:

( )2 2 2

0 00 0

1 12 2 2q q qdW dU U U U UC C C C

⎛ ⎞= − = − − = − = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )2 2

0 0 02 2q x x dx qdW x x dx

A A Aε ε ε⎛ ⎞+

= − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

2

02q dxdW

Aε= − (2)

Comparando-se (1) e (2):

2

02qF

Aε=


44. É dado um capacitor de 7,40 pF com ar entre as armaduras. Você é solicitado a projetar um

capacitor que armazene até 6,61 μJ com uma diferença de potencial máxima de 630 V. Qual dos dielétricos da Tabela 1 você usará para preencher o espaço entre as armaduras do capacitor, supondo que todos os dados são exatos, isto é, a margem de erro é zero? (Pág. 95)

Solução.


16


Se a capacitância do capacitor com vácuo entre as placas for C0, com ar entre as placas for C1 e com outro dielétrico for C2, valem as seguintes relações:


17

0

0

1 1C Cκ=

2 2C Cκ=

1 01

2 2

CCC C

κκ

=0

22

1

C κκ

= 1C (1)

A energia potencial acumulada no capacitor C2 vale:

22 2

12

U C V= 2 (2)


222 1

1

12

U Cκκ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠2V

Resolvendo-se para κ2:

( ) ( )

( )( )

61 2

2 22 121 2

2 1,00 6,61 J2 4,5010997,40 F 630 V

UCVκκ

−

−

×10= = =

×10

2 4,50κ ≈

De acordo com a Tabela 1 (Pág. 86), o material com κ = 4,5 corresponde ao ÓLEO DE TRANSFORMADOR.

[Início seção] [Início documento] 46. Um capacitor de armaduras, cujo dielétrico é o ar, tem capacitância igual a 51,3 pF. (a) Se as

armaduras têm área de 0,350 m2, qual é a sua separação? (b) Se a região entre as armaduras for preenchida agora com material de constante dielétrica igual a 5,60, qual é a nova capacitância? (Pág. 95)

Solução. (a) Um capacitor com placas planas e paralelas de área A e separação d possui capacitância C0 dada por:

00

ACd

ε=

Logo:

( )( )

( )12 2

012

0

8,85 F/m 0,350 m0,06038 m

51,3 FAd

Cε

−

−

×10= = =

×10

6,04 cmd ≈

(b) Preenchendo-se o espaço entre as placas com dielétrico κ, a nova capacitância C será:

( )( )12 100 5,60 51,3 F 2,8728 FC Cκ − −= = ×10 = ×10

287 pFC ≈



48. Uma certa substância tem constante dielétrica 2,80 e sua rigidez dielétrica é 18,2 MV/m. Se é

usada como dielétrico em um capacitor de armaduras paralelas, qual a área mínima das armaduras para que a capacitância seja 68,4 nF e o capacitor possa resistir a uma diferença de potencial de 4,13 kV? (Pág. 95)

Solução. A capacitância C de um capacitor de placas planas e paralelas com material dielétrico κ entre as placas é dada por: 0C Cκ=

Na equação acima, C0 é a capacitância do mesmo capacitor sem o material dielétrico entre as placas. Esta capacitância é dada pela equação a seguir, em que A é a área das placas e d é a distância de separação entre elas.

00

ACd

ε=

Logo:

0 ACd

εκ=

0

CdAκε

=

Multiplicando-se e dividindo-se a equação acima por Vmax, teremos:

max max

0 max 0 ma

1CV CVdAV Eκε κε

= × = ×x

( )( )

( )( )( )9 3

2max12 6

0 max

68,4 F 4,13 V0,62637 m

2,80 8,85 F/m 18,2 V/mCVA

Eκε

−

−

×10 ×10= = =

×10 ×10

20,626 mA ≈

[Início seção] [Início documento] 50. Você foi encarregado de projetar um capacitor portátil que possa armazenar 250 kJ de energia e

escolhe um capacitor de armaduras paralelas com dielétrico. (a) Qual o menor valor possível para o volume do capacitor, se for usado um dielétrico selecionado entre aqueles listados na Tabela 1 e para os quais é dado o valor da rigidez dielétrica? (b) Capacitores modernos de alto desempenho e que podem armazenar 250 kJ têm volumes iguais a 0,087 m3. Supondo que o dielétrico usado tenha a mesma rigidez dielétrica do item (a), qual deve ser a sua constante dielétrica? (Pág. 95)

Solução. (a) O campo elétrico entre as placas de um capacitor, carregado com carga q e preenchido com dielétrico κ, vale:


18


0 0

qEA

σκε κε

= =

Na expressão acima, σ é a densidade de carga em cada placa do capacitor. Resolvendo-se a equação acima para A e multiplicando-se ambos os membros por d, a distância de separação das placas, teremos:

20 0 0

q q V qAd dE E Eκε κε κε

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

VE

Reconhecendo-se que Ad é o volume entre as placas e que q é o produto da capacitância C pela diferença de potencial entre as placas V, teremos:

( ) 2

20 0

CV V CVAdE Eκε κε

= = 2 (1)

A energia potencial acumulada no capacitor é dada por:

212

U CV=

Logo: (2) 2 2CV U=Substituindo-se (2) em (1):

20

2UAdEκε

= (3)

Na condição-limite apresentada pelo problema (volume mínimo), o campo elétrico E corresponde à rigidez dielétrica suportada pelo material dielétrico. Como o volume Ad é inversamente proporcional à constante dielétrica e à rigidez dielétrica, o capacitor de menor volume deverá ser construído pelo dielétrico que possua maior produto κ E2. Na Tabela 1 (Pág. 86) citada no enunciado, a substância de maior produto κ E2 é a mica (κ = 5,4, E = 160 kV/mm). Logo:

( )

( )( )

33

212

2 250 J0,40868 m

kV 1.000 V 1.000 mm5,4 8,85 F/m 160 mm kV m

Ad−

×10= =

⎛ ⎞×10 × × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

30,41 mAd ≈ (b) Resolvendo-se (3) para a constante dielétrica:

20

2UAd E

κε

=

( )

( )( )

3

23 12

2 250 J25,3669 F

kV 1.000 V 1.000 mm0,087 m 8,85 F/m 160 mm kV m

κ−

×10= =

⎛ ⎞×10 × × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

25 Fκ ≈

[Início seção] [Início documento] 51. Uma chapa de cobre de espessura b é introduzida exatamente no meio das armaduras de um

capacitor plano, que estão separadas pela distância d (veja a Fig. 35). (a) Qual o valor da capacitância, depois da introdução da placa? (b) Se a carga nas armaduras mantém o valor


19


constante q, ache a razão entre a energia armazenada antes e depois da introdução da placa. (c) Qual o trabalho realizado sobre a placa para inseri-la? A placa é puxada para dentro do capacitor ou você tem de empurrá-la?

(Pág. 95)

Solução. Considere o seguinte esquema:

++

++

++

++

E0

−−−−−−−−

d

+q −qC ,V0 0

++

++

++

++

−−−−−−−−

d

+q −qC,V

b

++

++

++

++

−−−−−−−−

E0 E0

−q +q

(a) A introdução de um material condutor entre as placas de um capacitor carregado causa separação de cargas no condutor. Como o campo elétrico no interior do condutor deve ser zero (equilíbrio eletrostático), deduz-se que a separação de cargas no condutor gerou um campo elétrico que neutralizou o campo produzido pelas cargas nas placas. Para que isso seja possível, as cargas induzidas no condutor devem ser iguais, em módulo, às cargas nas placas. O efeito líquido da introdução do material condutor é a criação de dois capacitores em série, de carga q, área A, separação das placas (d − b)/2 e capacitância C’. Chamando-se C a capacitância da associação em série, ou seja, do capacitor original mais a placa de cobre introduzida, teremos:

1 1 1 2' 'C C C C

= + ='

( )

0

0

0

22' 2

2 2 2 2

AAd b

AC d bCd b

εε

ε−

−= = = =−

0 ACd bε

=−

(b) A razão entre a energia armazenada antes (U0) e depois (U) da introdução da placa, vale:


20


( )

( )

2022 00 0

0 0 02 22 0

0

1212

A E dC VU C V dAU CVCV E d b

d b

ε

ε

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞ −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦−⎝ ⎠

0U dU d

=−b

A introdução da lâmina faz com que a energia potencial do sistema diminua. (c) Por definição, o trabalho realizado pela força elétrica vale: ( )0 0W U U U U= −Δ = − − = −U

( ) ( ) 222 2 0 00 0 0 0

1 1 1 12 2 2 2

A AW C V CV E d E d bd d b

ε ε⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − −⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )2 20 0 0 0

1 12 2

W AE d AE dε ε= − b−

( )0 002

AEW E d d bε= −⎡ ⎤⎣ ⎦−

0 002

AEW E bε= (1)

Chamando-se de σ a densidade de cargas em cada placa do capacitor, o campo elétrico E0 valerá:

00 0

qEA

σε ε

= = (2)

0 0AE qε = (3)


02

q qW bAε

=

2

02q bW

Aε=

O trabalho realizado por uma força externa é o negativo desse trabalho:

2

ext02

q bW WAε

= − = −

Quando a lâmina de cobre começa a ser introduzida no espaço entre as placas do capacitor, as cargas já existentes na s placas polarizam a extremidade da lâmina e as cargas induzidas são atraídas para dentro do capacitor. Como as cargas induzidas estão presas na lâmina, esta também é atraída para dentro do capacitor. Logo, a força externa precisa puxar a lâmina para fora das placas para neutralizar a força de atração e manter constante a velocidade de entrada da placa de cobre. A atração da lâmina pelas placas e sua aproximação, fazem com que a energia potencial do sistema diminua, como revelou o resultado do item (b).

[Início seção] [Início documento] 54. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos diferentes, como mostra a Fig. 36.

Mostre que o valor de sua capacitância é dado por ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos

21


0 1 2

2e eAC

dε κ κ+⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Verifique a correção deste resultado em todos os casos particulares que você for capaz de imaginar. (Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores ligados em paralelo?)

(Pág. 96)

Solução. Quando o capacitor acima for carregado, toda a superfície de cada placa deve estar no mesmo potencial, uma vez que cada placa estará conectada diretamente à fonte de potencial. Isto implica em que a área das placas que envolverem o dielétrico κ1 terá carga q1 e capacitância C1 e a área das placas que envolverem o dielétrico κ2 terá carga q2 e capacitância C2.

1 0 2 01 21 2

0 0

CV C Vq qC CV V

C++= = = +

Note que a expressão acima corresponde a uma associação de capacitores em paralelo.

( )0 0 01 2 12 2 2C C CC κ κ κ κ= + = + 2

Na expressão acima, C0 é a capacitância do capacitor sem os dielétricos presentes.

( )01 22

ACd

ε κ κ= +


55. Um capacitor de armaduras paralelas contém dois dielétricos, como mostra a Fig. 37. Mostre

que o valor de sua capacitância é dado por

0 1 2

1 2

2 e e

e e

ACdε κ κ

κ κ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Verifique a correção deste resultado para todos os casos particulares que for capaz de imaginar. (Sugestão: Você pode justificar a idéia de que este sistema é equivalente a dois capacitores ligados em série?)

(Pág. 96)

Solução.


22


O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância, em que q0 é a carga nas placas do capacitor e V é a diferença de potencial entre as placas:

0qCV

= (1)

Ao longo do dielétrico κ1, a diferença de potencial é V1 e o campo elétrico é E1. Ao longo de κ2, V2 e E2. Logo, a diferença de potencial vale:

0 0 01 2 1 2

1 2 1

1 12 2 2 2 2

E E E dd d d dV V V E Eκ κ κ κ

⎛ ⎞= + = + = + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠2

Na equação acima, E0 é o campo elétrico entre as placas sem os dielétricos.

0 1 2

1 22VV κ κ

κ κ⎛ ⎞+

= ⎜⎝ ⎠

⎟ (2)


0 1 2 1 20

0 1 2 1 2

2 2qC CV

κ κ κ κκ κ κ κ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Nas equações acima, C0 é a capacitância do capacitor sem as camadas de dielétrico e V0 é a diferença de potencial entre suas placas. Logo:

0 1 2

1 2

2 ACdε κ κ

κ κ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Esta expressão é a mesma que será obtida se considerarmos que o capacitor do problema é uma associação em série de capacitores C1 e C2, que possuem dielétricos κ1 e κ2, respectivamente.

[Início seção] [Início documento] 56. Qual é a capacitância do capacitor da Fig. 38? A área de armadura é A.

(Pág. 96)

Solução. Considerando-se o resultado dos Problemas 54 e 55, podemos considerar o capacitor acima como uma associação de capacitores C1, C2 e C3, sendo que C2 e C3 estão em série e C1 está em paralelo com C23, que é o capacitor equivalente à associação de C2 e C3. Logo: (1) 1 2C C C= + 3

A capacitância C1 vale:


23


1 0

1 01

22 4

AAC

d d

κ εκ ε

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = (2)

A capacitância da associação C23 vale:

2 0 3 0

2 3 0 2 323

2 0 3 02 3 2 3

2 22

2 2

A AC C Ad dC A AC C d

d d

κ ε κ εε κ κ

κ ε κ ε κ κ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎝ ⎠= = = ⎜+ +⎝ ⎠+

⎟ (3)


1 0 0 2 3 0 2 31

2 3 2 34 2 2 2A A AC

d d dκ ε ε κ κ ε κ κκ

κ κ κ⎛ ⎞ ⎛

= + = +⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ κ⎞⎟⎠

0 21

2 3

24

ACd

3ε κ κκκ κ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟+⎝ ⎠


59. Duas placas paralelas de área igual a 110 cm2 possuem cargas de sinais opostos e módulo igual

a 8,9 × 10−7C. A intensidade do campo elétrico no interior do material dielétrico que preenche o espaço entre elas é de 1,4 × 106 V/m. (a) Calcule o valor da constante dielétrica do material. (b) Determine o valor da carga induzida em cada superfície do dielétrico. (Pág. 96)

Solução. (a) A constante dielétrica κ é dada pela razão entre o campo elétrico entre as placas sem a presença do dielétrico, E0, e o campo no interior do dielétrico, E:

0EE

κ =

O campo sem o dielétrico vale:

00

0 0

qEA

σε ε

= =

Logo:

( )

( )( )( )7

012 4 2 6

0

8,9 C6,5301

8,85 F/m 110 m 1,4 V/mqAE

κε

−

− −

×10= = =

×10 ×10 ×10

6,5κ ≈ (b) Considere a aplicação da lei de Gauss ao capacitor com o dielétrico, de acordo com o esquema abaixo:


24


++

++

++

++

−−−−−−−−

+q0 −q0

++

++

−

−

−

−

E

κ

+q’−q’

0 0 'd q qε ⋅ = −∫ E A

0 0 'EA q qε = −

( ) ( )( )( )7 12 60 0' 8,9 C 8,85 F/m 1,4 V/m 110 mq q EAε − −= − = ×10 − ×10 ×10 ×10 4 2−

7' 7,5371 Cq −= ×10

' 0,75 Cq μ≈

[Início seção] [Início documento] 61. Um capacitor tem armaduras paralelas cuja área é de 0,118 m2 e estão separadas por 1,22 cm.

Uma bateria carrega as armaduras até que a diferença de potencial entre elas seja 120 V, sendo então desligada. Uma placa de dielétrico, de espessura de 4,30 mm e constante dielétrica 4,80, é então colocada simetricamente entre as armaduras do capacitor. (a) Ache a capacitância antes da introdução do dielétrico. (b) Qual a capacitância após introduzirmos o dielétrico? (c) Qual o valor da carga livre q antes e depois da introdução do dielétrico? (d) Qual o campo elétrico no espaço entre as armaduras e o dielétrico? (e) Qual o campo elétrico no interior do dielétrico? (f) Com o dielétrico colocado, qual a diferença de potencial entre as armaduras? (g) Qual o trabalho externo realizado no processo de inserir o dielétrico? (Pág. 96)

Solução. (a) A capacitância C0 antes da introdução do dielétrico vale:

( )( )

( )

12 2110

0

8,85 F/m 0,118 m8,5598 F

0,0122 mAC

dε

−−

×10= = = ×10

0 85,6 pFC ≈

(b) Ver adiante. (c) A carga livre q0 nas placas, antes da introdução do dielétrico, vale:

( )( )11 80 0 0 8,5598 F 120 V 1,0271 Cq C V − −= = ×10 = ×10

0 10,3 nCq ≈

Como o capacitor estava desconectado da bateria quando o dielétrico foi introduzido, não há mudança na quantidade de carga nas placas do capacitor. Seja q a carga após a introdução do dielétrico. Logo: 10,3 nCq ≈ (d) Considere o esquema abaixo, onde uma superfície gaussiana envolve uma das placas do capacitor: ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 31 – Capacitores e Dielétricos

25


++

++

++

++

E0

−−−−−−−−

d

+q0 −q0

++

++

−

−

−

−

b

E0

E

κ

E0

Aplicando-se a lei de Gauss:

0 0d qε κ ⋅ =∫ E A

0 01 E A q0ε ⋅ ⋅ =

( )

( )( )8

00 12 2

0

1,0271 C9.836,0655 V/m

8,85 F/m 0,118 mqE

Aε

−

−

×10= = =

×10

0 9,84 kV/mE ≈

(e) O campo elétrico no interior do dielétrico, E, vale:

( )

( )0 9.836,0655 V/m

2.049,8032 V/m4,80

EEκ

= = =

0 2,05 kV/mE ≈

(f) Considere o esquema abaixo:

++

++

++

++

E0

−−−−−−−−

d

+q0 −q0

++

++

−

−

−

−

b

E0E

κ

ds

A diferença de potencial entre as armaduras do capacitor com o dielétrico vale:

00 0

d b bV d E ds

+ −

−= − ⋅ = +∫ ∫ ∫E s Eds

( )0V E d b Eb= − +

( ) ( ) ( )

( )( )

3

3

9.836,0655 V/m 0,0122 m 4,30 m

2.049,8032 V/m 4,30 m 86,5163 V

V −

−

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

+ ×10 =

×10 +


26


86,5 VV ≈ (b) Agora podemos calcular a capacitância C do capacitor após a introdução do dielétrico com mais facilidade:

( )

( )

8100

1,0271 C1,1872 F

86,5163 VqCV

−−

×10= = = ×10

119 pFC ≈ (g) O trabalho realizado pelo agente externo, Wext, ao introduzir o dielétrico vale:

( ) 2 2ext int 0 0 0

1 12 2

W W U U U U CV C V= − = − −Δ = Δ = − = −

( )( ) ( )( )2 210 11ext

1 11,1872 F 86,5163 V 8,5598 F 120 V2 2

W − −= ×10 − ×10

7ext 1,7196 JW −= − ×10

ext 0,172 JW μ≈ −

Este resultado indica que após a introdução do dielétrico a energia potencial do dielétrico diminuiu (Wext < 0 → Wint > 0 → ΔU < 0). Isto significa que o dielétrico é puxado para a região entre as placas pelas forças elétricas, que realizam trabalho positivo sobre o dielétrico. A força externa (representada pela mão que segura o dielétrico) realiza trabalho negativo sobre o dielétrico para que o mesmo possa ser introduzido com velocidade constante.

[Início seção] [Início documento] 62. Uma placa dielétrica de espessura b é introduzida entre as armaduras de um capacitor plano, que

estão separadas pela distância d. Mostre que a capacitância é dada por

( )0

1e

e e

ACd b

κ εκ κ

=− −

(Sugestão: Siga o procedimento usado no Exemplo 9.) Esta fórmula prevê corretamente o resultado numérico do Exemplo 9? Serão razoáveis os resultados previstos para os casos particulares em que b = 0, κe = 1 e b = d. (Pág. 96)

Solução. Considere o esquema abaixo, em que à esquerda temos um capacitor de placas planas paralelas sem dielétrico C0 e à direita o mesmo capacitor com dielétrico, o que modifica sua capacitância para C.


27


++

++

++

++

E0

−−−−−−−−

d

+q0 −q0

C ,V0 0

++

++

++

++

E0

−−−−−−−−

d

+q0 −q0

C,V

++

++

−

−

−

−

b

E0

E

κ

ds

O cálculo da capacitância C é feito por meio da equação fundamental da capacitância:

0qCV

= (1)

Precisamos agora calcular a diferença de potencial V do capacitor com dielétrico.

00 0

d b bV d E ds

+ −

−= − ⋅ = +∫ ∫ ∫E s Eds

( )0V E d b Eb= − + (2)

Também podemos afirmar que:

00

0

qEAε

= (3)

0

0

qEAε κ

= (4)


( )0 0 0

0 0 0

q q q bV d b b d bA A Aε ε κ ε κ

⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0

0

1d bqVA

κ κε κ

− −⎡ ⎤= ⎢

⎣ ⎦⎥ (5)


( )0

1AC

d bκε

κ κ=

− −



28


RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

FÍSICA 3

CAPÍTULO 30 - CAPACITÂNCIA

EXERCÍCIOS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

PROBLEMAS

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

[Início documento]


________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 5a Ed. - LTC - 2003. Cap. 30 – Capacitância

29

25 capacitancia

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