Física Geral 3001 Cap 4 – Capacitancia 13ª Aula/14ª Aula

Sumário

4.1 - Introdução

4.2 – Cálculo da Capacitância

4.3 – Capacitores em série e em paralelo

4.4 – Armazenamento de energia em um campo elétrico

4.5 – Capacitores com dielétrico

(Cap. 27 – Halliday, Cap. 23 Sears, Cap 33 Tipler – vol 2)

4.1 Introdução

Neste capítulo introduziremos o conceitos de capacitor e capacitância.

Capacitores: armazenam energia potencial proveniente do campo elétrico.

Observe: • Capacitor: Dispositivo; • Capacitância: Propriedade que o dispositivo tem de

armazenar carga.

Apresentam-se numa grande variedade de tamanhos e formas: basicamente são dois condutores isolados de forma arbitrária

Símbolo do capacitor : ( )

q

q

Quando o capacitor é carregado suas placas adquirem cargas iguais, porem com sinais diferentes

Observe: carga líquida é zero

Entre as placas pode haver um meio, como plástico, vidro etc – meio dielétrico. Por enquanto vamos considerar o ar!

Todos os pontos sobre uma mesma placa tem o mesmo potencial: diferença de potencial entre as placas é V

Podemos estabelecer uma relação de proporcionalidade entre a carga q e a diferença de potencial V

𝑞 = 𝐶𝑉 C: CAPACITÂNCIA

𝐶 =𝑞

𝑉=

𝐶𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏

𝑉𝑜𝑙𝑡≡ 𝐹𝐴𝑅𝐴𝐷

Farad é uma unidade muito grande, convencionou-se o uso de sub múltiplos: 1𝜇𝐹 = 10−6𝐹

1𝑝𝐹 = 10−12𝐹 Carga do capacitor: Ao fechar a chave S um fluxo de carga origina cargas +q sobrea placa da direita e -q sobre a da esquerda, até que uma diferença de potencial V entre as placas seja estabelecida

Descarga do capacitor: Ao abrir a chave S, o capacitor funcionará como uma bateria até que a energia armazenada entre suas placas cesse.

4.2 Cálculo da Capacitância

Podemos calcular capacitância de um capacitor desde que saibamos sua geometria

Roteiro de cálculo: 1- supor uma carga q sobre as placas

2- calcular o campo elétrico entre as placas usando a lei de Gauss

3- conhecendo-se E calcula-se V

4- Calcula-se C fazendo C = q/V

Aplicações: 1-capacitores com placas paralelas

1- carga q sobre as placas

2- Campo elétrico

𝜀0 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞

3- Dif. de Potencial:

𝜀0𝐸𝐴 = 𝑞

𝑉 = 𝐸𝑑𝑆 = 𝐸 𝑑𝑆 = 𝐸𝑑𝑑

0

−

+

4- Cálculo da capacitância:

𝐶 =𝑞

𝑉=

𝜀0𝐸𝐴

𝐸𝑑 𝐶 =

𝜀0𝐴

𝑑

𝜀0 =8,85× 10−12 𝐹

𝑚= 8,85𝑝

𝐹

𝑚= 8,85 × 10−12 𝐶2

𝑁𝑚2

Aplicações: 2-capacitores cilíndricos 1- Cilindros coaxiais de raios a e b e comprimento l, com uma distribuição de cargas sobre eles

2- Campo elétrico

𝜀0 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞

𝜀0𝐸(2𝜋𝑟𝑙) = 𝑞

𝐸 =𝑞

𝜀02𝜋𝑟𝑙

3- Dif. de Potencial: 𝑉 = 𝐸𝑑𝑆 =𝑞

𝜀02𝜋𝑙

𝑑𝑟

𝑟

𝑏

𝑎

−

+

V =𝑞

𝜀02𝜋𝑙ln

𝑏

𝑎

4- Cálculo da capacitância:

𝐶 =𝑞

𝑉=

𝑞

𝑞𝜀02𝜋𝑙

ln𝑏𝑎

= 𝜀02𝜋𝑙

ln𝑏𝑎

Aplicações: 3-capacitores esféricos 2- Campo elétrico

𝜀0 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞

𝜀0𝐸(4𝜋𝑟2) = 𝑞

𝐸 =𝑞

𝜀04𝜋𝑟2

3- Dif. de Potencial: 𝑉 = 𝐸𝑑𝑆 =

𝑞

𝜀04𝜋

𝑑𝑟

𝑟2

𝑏

𝑎

−

+

V =𝑞

𝜀04𝜋

1

𝑎−

1

𝑏

4- Cálculo da capacitância: 𝐶 =

𝑞

𝑉=

𝑞

𝑞𝜀04𝜋

1𝑎−

1𝑏

= 4𝜋𝜀0𝑎𝑏

𝑏 − 𝑎

Aplicações: 4-capacitores de uma esfera isolada Podemos atribuir uma capacitância a um único condutor de raio R, supondo que a placa que “falta” é uma esfera de raio infinito:

𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑎𝑏

𝑏 − 𝑎= 4𝜋𝜀0

1

𝑏

𝑎𝑏

1 −𝑎𝑏

𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑎

1 −𝑎𝑏

𝑏 → ∞ 𝑒 𝑎 ≡ 𝑅

𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑅

4.3 – Capacitores em série e em paralelo

- Capacitores em paralelo Dizemos que dois capacitores combinados estão ligados em paraleloa , quando a diferença de potencial aplica através da combinação, resulte na mesma diferença de potencial através de cada capacitor

𝑞1 = 𝐶1𝑉

𝑞2 = 𝐶2𝑉

𝑞3 = 𝐶3𝑉

𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 𝑉

𝑞 = 𝐶𝑒𝑞𝑉 → 𝐶𝑒𝑞 =𝑞

𝑉= 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3

𝐶𝑒𝑞 = 𝐶𝑖

𝑛

𝑖=1

- Capacitores em série

Dizemos que dois capacitores combinados estão ligados em série, quando a diferença de potencial aplica através da combinação é a soma das diferença de potencial resultante através de cada capacitor

𝑉1 =𝑞

𝐶1

𝑉2 =𝑞

𝐶2

𝑉3 =𝑞

𝐶3

𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 𝑞(1

𝐶1+

1

𝐶2+

1

𝐶3)

𝐶𝑒𝑞 =𝑞

𝑉=

1

1𝐶1

+1𝐶2

+1𝐶3

1

𝐶𝑒𝑞=

1

𝐶1+

1

𝐶2+

1

𝐶3

1

𝐶𝑒𝑞=

1

𝐶𝑖

𝑛

𝑖=1

4.4 – Armazenamento de energia em um campo elétrico

Vamos considerar:

• Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um capacitor

• O trabalho necessário para carregar o capacitor é armazenado sob a forma de energia potencial elétrica U no campo formado pelas placas.

• Supomos que em determinado instante uma carga q’ já tenha sido transferida de uma placa para outra. Logo temos:

• Sendo assim, o trabalho para transferir uma carga extra dq’ é:

• Como o trabalho é armazenado sob a forma de energia potencial elétrica U no capacitor:

𝑉′ =𝑞′

𝐶

𝑑𝑊 = 𝑉′𝑑𝑞′ 𝑑𝑤 =𝑞′

𝐶𝑑𝑞′

𝑤 = 𝑑𝑤 =1

𝐶 𝑞′𝑑𝑞′ =

𝑞2

2𝐶

𝑞

0

𝑊 = 𝑈 =𝑞2

2𝐶 𝑈 =

𝑞2

2𝐶.𝐶

𝐶=

𝐶𝑞2

2𝐶=

𝐶𝑉2

2.

* Densidade de energia:

𝑢 =𝑈

𝑣

Vamos considerar um capacitor plano por simplicidade

𝐸 =𝑉

𝑑

𝑢 =𝑈

𝐴𝑑=

𝐶𝑉2

2𝐴𝑑

𝐶 =𝜀0𝐴

𝑑

𝑢 =1

2

𝜀0𝐴

𝑑

𝐸2𝑑2

2𝐴𝑑

𝑢 =𝜀0𝐸

2

2

Valido para qualquer capacitor

4.5 – Capacitores com dielétrico

Anteriormente analisamos o comportamento de capacitores tendo, entre suas placas, somente o ar. Agora, entre elas, vamos introduzir um material isolante, um dielétrico, tal qual um óleo mineral, plástico, etc. Como muda a capacitância ??

• Michael Faradey:1837 - primeiro a observar

• A capacitância aumenta por um fator numérico 𝜅 – constante dielétrica

𝐶′ = 𝜅𝐶

• Limita a diferença de potencial V, entre as placas, a um valor 𝑉𝑚𝑎𝑥

• Se 𝑉𝑚𝑎𝑥 for substancialmente excedido o material dielétrico se romperá originando um caminho condutor entre as placas

• Todo material possui uma rigidez dielétrica característica que é a intensidade máxima de campo elétrico suportada pelo material

• Sendo assim, a capacitância de qualquer capacitor pode ser escrita como:

𝐶 = 𝜀0ℒ

ℒ =𝐴

𝑑

ℒ =2𝜋𝐿

ln𝑏𝑎

ℒ =4𝜋𝑎𝑏

(𝑏 − 𝑎)

Para um capacitor preenchido completamente por um dielétrico 𝐶 = 𝜅𝜀0ℒ

𝐶 = 𝜅𝐶𝑎𝑟

Placas paralelas

Cilíndrico

Esférico

• Em uma região completamente preenchida por um dielétrico, todas as equações eletrostáticas que contem 𝜀0 deve ser modificada, substituindo-se aquela constante por 𝜅𝜀0

𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝑞

𝑟2→ 𝐸 =

1

4𝜋𝜅𝜀0

𝑞

𝑟2

𝐸 =𝜎

𝜀0→ 𝐸 =

𝜎

𝜅𝜀0

• Lei de Gauss para dielétricos

• O efeito do dielétrico é enfraquecer o campo por um fator 𝜅

𝜀0 𝜅𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞

𝜀0 𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞 𝐸0 =𝑞

𝜀0𝐴

𝜀0 𝜅𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞 − 𝑞′ 𝐸 =𝑞 − 𝑞′

𝜀0𝐴

𝐸 =𝐸0

𝜅

𝑞 − 𝑞′

𝜀0𝐴=

𝑞

𝜅𝜀0𝐴

𝑞 − 𝑞′ =𝑞

𝜅

Assim podemos escrever a lei de Gauss como:

𝜀0 𝜅𝐸. 𝑛 𝑑𝐴 = 𝑞