capacitancia de una red aerea

7/21/2019 Capacitancia de Una Red Aerea

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1 CONTROL ELECTRONICO DE SISTEMASELECTRICOS

CAPACITANCIA DE UNA RED AEREA

Al aplicar una diferencia de potencial entre los extremos de dos conductores separados porun dieléctrico, estos conductores adquieren una carga q, que es proporcional al voltajeaplicado v y a una constante de proporcionalidad C llamada capacitancia, que depende dela naturaleza del dieléctrico, de las dimensiones del conductor y de su separación.

(1.15!

"i el voltaje aplicado v es una función armónica del tiempo, la carga eléctrica ser# tam$iénuna función armónica del tiempo produciéndose una corriente de carga y descarga de lamisma frecuencia que el voltaje aplicado y adelantada %&' con respecto a éste.

a $ase para el an#lisis de la capacitancia es la ey de )auss para campos eléctricos. *staley esta$lece que el +ujo eléctrico neto a través de cualquier supercie )aussiana cerradaes igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella, dividida por la permea$ilidadrelativa del material que rodea a la supercie.

(1.15-!

onde se denomina +ujo del campo eléctrico al producto escalar del vector campo E por elvector supercie ds. *l vector supercie es un vector que tiene por módulo el #rea de dic/asupercie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene, ε0 es la permea$ilidad delmaterial que rodea a la supercie y q es la carga interna por unidad de longitud.

CAMPO ELECTRICO PROVOCADO POR UNA LINEA DE TRANSMISION

0ara o$tener el campo de una lnea de transmisión, se representa a ésta como unconductor recto, cilindro y largo, el cual tiene una carga uniforme en toda su longitud y éstaaislado de otras cargas, de forma que la carga esté repartida uniformemente en susupercie, el +ujo que produce ser# radial. "e puede calcular la densidad de +ujo eléctrico a

x metro del conductor imaginando una supercie cilndrica concéntrica a x metros de radio.educimos el campo eléctrico aplicando la ley de gauss, ecuación 1.15-

Figura 1.56 Líneas de fujo eléctrico creada por una carga uniormemente repartida sobre la supercie

de un conductor cilíndrico




*l +ujo de campo eléctrico, tiene dos componentes3 4lujo a través de las $ases delcilindro en donde el campo E y el vector supercie d s1 o ds2 forman %&' por lo que el +ujoes cero y el 4lujo a través de la supercie lateral del cilindro donde el campo E es paralelo alvector supercie ds. *l campo eléctrico E es constante en todos los puntos de la supercielateral. a carga que /ay en el interior de la supercie cerrada vale q =λ*L, donde λ es lacarga por unidad de longitud

(1.155!

(1.15!

espejando E, la intensidad de campo eléctrico es3

(1.156!7sando la ecuación de 8ax9ell en vació3

(1.15:!

onde c es la velocidad de la luz en el vació aproximadamente igual a ;1&%. espejando1/ε0

(1.15%!

"ustituyendo el valor 1/ε0 en la ecuación 1.156, tenemos

(1.1&!

DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DEBIDO A UNA CARGA

a diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un campo, representa el tra$ajo en <oule por =oulom$ requerido para mover un coulom$ carga, desde un punto al otro contra ladirección del campo. a intensidad de campo eléctrico es la fuerza en ne9ton por =oulom$,que act>a so$re un coulom$ situado en un punto determinado.

a integral de lnea entre dos puntos, de la fuerza en ne9ton que act>a so$re un =oulom$de carga positiva, es el tra$ajo /ec/o para mover la carga desde el punto de m#s $ajo al dem#s alto potencial y es numéricamente igual a la diferencia de potencial entre dos puntos.

=onsideraremos un conductor recto, largo con una carga positiva de q Coulomb/metro, talcomo lo muestra la gura 1.56 a las distancias D1 y D2 metros, respectivamente, del centrodel conductor, est#n situados dos puntos P1 y P2.



CONTROL ELECTRONICO DE SISTEMASELECTRICOS

Figura 1.5 Camino de integraci!n entre dos puntos e"teriores a un conductor cilíndrico con carga

positi#a uniormemente repartida

a carga positiva que /ay so$re el conductor ejerce una fuerza que repele las cargaspositivas situadas en el campo. e$ido a esto y teniendo en cuenta que 2 es mayor a 1,/ay que realizar un tra$ajo para llevar la carga positiva desde el punto 01 a 02, estando 01 amayor potencial que 02. a diferencia de potencial es la cantidad de tra$ajo realizado por

=oulom$ que se transporta. 0or el contrario, al mover el =oulom$ de 01 a 02 a$sor$e unaenerga, la cual en ne9ton metro, es la cada de tensión entre 01 y 02. a diferencia detensión en dos puntos en independiente del camino recorrido de un punto al otro .a formam#s sencilla de calcular la cada de tensión entre los dos puntos, es calcular la tensión queexiste entre las supercies equipotenciales que pasan por 01 y 02, integrando la intensidadde campo a lo largo de un camino radial entre las supercies equipotenciales. e esta formala cada instant#nea de tensión entre 01 y 02, es

(1.11!

"ustituyendo la ecuación 1.1& en la 1.11,

(1.12!

onde q es la carga instant#nea so$re el conductor, en =oulom$ por metro de longitud. acada de tensión puede ser positiva o negativa de pendiendo de que 2 sea mayor o menorque 1.

CAPACITANCIA DE UN LÍNEA DE DOS CONDUCTORES

a capacitancia que existe entre dos conductores es la carga de los dos conductores por launidad de diferencia de potencial entre ellos, en forma de ecuación, la capacitancia porunidad de longitud es

(1.1!

onde q es la carga de la lnea, en =oulom$ por metro, y v es la diferencia de potencialentre conductores en voltios.



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a capacitancia entre conductores puede encontrarse sustituyendo en la ecuación (1.1!,el valor de #$ en función de q. a tensión # ab de una lnea de dos conductores de la gura1.5- se /alla determinando la diferencia de potencial, entre ellos. =alculando, en primerlugar, la cada de tensión de$ida a la carga qa del conductor a y, a continuación, la de$ida ala carga q$ del conductor $.

Figura 1.5% &ecci!n trans#ersal de una línea de dos conductores

0or principio de superposición, la cada de tensión del conductor a al $, de$ida a la carga deam$os conductores es la suma de las cada de tensión producidas por cada una de lascargas independientemente.

Figura 1.5' &upercies e(uipotenciales en una parte del campo eléctrico producido por un conductor

cargado a

a carga qa so$re el conductor a de la gura 1.5: origina supercies equipotenciales en la

vecindad del conductor $ como se muestra en la gura 1.5%. 0ara determina # ab de$ida a qa

se sigue la trayectoria y se o$serva que la distancia 1 en la ecuación 2.1 es el radio ra

del conductor a y la distancia 2 es la distancia de centro a centro de los conductores a y $,

de igual forma para determina # ab de$ida a q$, se o$serva que las distancias 1 y 2 son r$

y respectivamente. 0asando a la notación vectorial ( qa y q$ son n>meros complejos!,

tenemos

(1.1-!

? como qa @ q$ para una lnea de dos conductores,

(1.15!




Agrupando los términos logartmicos.

(1.1!

a capacitancia entre conductores es,

(1.16!

"i ra @ r$ y aplicamos las propiedades de los logaritmo,

(1.1:!

a ecuación 1.15, da la capacitancia entre los conductores de una lnea monof#sica. "i lalnea se alimenta por un transformador que tiene un punto puesto a tierra, la diferencia depotencial entre cada uno de los conductores y la tierra es la mitad de la existente entream$os conductores, la capacitancia respecto a la tierra, es la carga de un conductor porunidad de diferencia de potencial entre el conductor y la tierra.

(1.1%!

a ecuación de la capacitancia corresponde con la ecuación de la inductancia. B$servandoestas ecuaciones se ve una diferencia, el radio que gura en la ecuación de la capacitancia,es el radio exterior del conductor, mientras que el de la inductancia es el C8).

DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE EL CONDUCTOR Y EL NEUTRO

"ea un grupo de conductores cilndricos A, D, =,E.., iguales de radio r. =ada conductor tienecargas qa, q$, qc,E coulom$s por metro de longitud respectivamente, la suma de las cargases igual a cero y F es un punto remoto de distancias u, v, 9 entre los conductores A, D, =E

respectivamente en metros.

"i r es pequeGo comparado con las distancias entre conductores, puede suponerse,cometiendo un error desprecia$le, que la carga eléctrica de cada conductor est#uniformemente distri$uida so$re la supercie del conductor.

"i la carga est# uniformemente distri$uida, las lneas de fuerza del campo eléctrico emanaradial y uniformemente de los conductores.



CONTROL ELECTRONICO DE SISTEMASELECTRICOS

Figura 1.6) Conjunto de conductores cargados paralelo

a diferencia de potencial entre el conductor A y el punto x es3

(1.16&!

esglosando la expresión anterior

(1.161!

Cecordando que (a*+,(b-(c-..$ el segundo término de la ecuación (2.15! puedeescri$irse

(1.162!

"i movemos a F lo sucientemente lejos y lo conectamos a tierra, la expresión anterior escero, por lo tanto la ecuación del potencial en un punto de la supercie del conductor A yaquel punto del campo eléctrico donde el potencial es cero, ósea, el neutro real o cticio es3

(1.16!

CAPACITANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO EQUILATERO

a gura 1.1 representa los tres conductores idénticos de radio r de una lnea trif#sica condisposición equil#tera. 0ara encontrar la capacitancia respecto al neutro empezamos porcalcular la tensión de la carga respecto a la tierra.




Figura 1.61 &ecci!n trans#ersal de una línea tri0sica con disposici!n e(uil0tera

(1.16-!

(1.165!

"i suponemos que no existen otras cargas próximas a los conductores, la suma de lascargas de las tres conductores es cero, pudiendo sustituirse Hqa en la ecuación por q$Iqccon lo que tenemos3

(1.16!

=omo la capacitancia respecto al neutro es la relación entre la carga en un conductor y latensión entre éste y neutro,

(1.166!

=omparando las ecuaciones 1.166 y 1.1% vemos que son las mismas. *stas ecuaciones danla capacitancia respecto al neutro, de las lneas trif#sicas con disposición equil#tera ymonof#sica, respectivamente

CAPACITANCIA DE UNA LINEA TRIFASICA CON ESPACIAMIENTO ASIMETRICO

=uando los conductores de una lnea trif#sica no est#n espaciados de manera simétrica, sede$e conocer el valor de las cargas de cada conductor, para as determinar el valor delpotencial. )eneralmente se conoce las tensiones de cada conductor, por lo que sedetermina es el valor de las cargas



: CONTROL ELECTRONICO DE SISTEMASELECTRICOS

Figura 1.6 Línea tri0sica con espaciamiento asimétrico

"i se tiene un sistema trif#sico $alanceado y los voltajes C8" de los conductores A, D, =,est#n representados por los vectores B0, BJ y BC. "i el voltaje del conductor A es

(1.16:!

os voltajes de D y = son

(1.16%!

7sando la ecuación 1.16

(1.1:&!

(1.1:1!

(1.1:2!

onde qa, q$, qc son valores r.m.s de las cargas por metro de conductor3

(1.1:!=omo qaIq$Iqc @ &, qc puede reemplazarse por H(qaIq$! y com$inando términoslogartmicos tenemos3

(1.1:-!

e manera an#loga



% CONTROL ELECTRONICO DE SISTEMASELECTRICOS

(1.1:5!

(1.1:!

"i llamamos

Kenemos3

(1.1:61.1::1.1:%!"ustituyendo H(qaIac! por q$ en la ecuación y resolviendo simult#neamente con laecuación

(1.1%&!

e igual manera para q$ y qc

(1.1%1!

(1.1%2!

Lngresando los valores de MA, MD y M= , en la ecuación tenemos

(1.1%!

"ustituyendo los valores de N A, N D, N =



1& CONTROL ELECTRONICO DE SISTEMASELECTRICOS

(1.1%-!

"implicando la ecuación

(1.1%5!

=omo la capacitancia del conductor A es

(1.1%!

(1.1%6!

e forma an#loga se pueden escri$ir las ecuaciones de =D y ==

(1.1%:!

(1.1%%!

*l término imaginario de la capacitancia, representa la energa transferida entre las fases.

=uando el espaciamiento entre las lneas es irregular se transponen los conductores. .*l

efecto de transposición es $alancear eléctricamente las fases y as la carga rms total so$recada conductor es el mismo.

a capacitancia de cada fase respecto al neutro es diferente en cada posición que ocupe elconductor en el ciclo de transposición. "in em$argo, la capacitancia media respecto alneutro, de una de las fases, en todo el ciclo de transposición, es igual a la de cualquier otra,puestos que todos los /ilos de fase ocupan la misma posición durante el recorrido a lo largodel ciclo de transposición.




Figura .62 Ciclo de transposici!n

a capacitancia media del conductor A es la capacitancia media de la fase de una lnea sintransposición e las ecuaciones. (1.1%6!, (1.1%:!, (y 1.1%%! el valor medio de lacapacitancia del conductor A es.

(1.2&&!

"implicando

(1.2&1!

Jue es tam$ién el valor de la capacitancia de los conductores D y =.

7n método simple y sencillo, para determinar la capacitancia con lneas con transposición,es suponer que la densidad de carga de cada conductor esta uniformemente repartida en lalnea. *l potencial de cada fase con el neutro cam$ia en cada posición del ciclo detransposición y la capacitancia se $asa en el valor medio del potencial.

*n la gura 1.2 se representa el espaciamiento inicial de los conductores, la transposiciónse est# llevando a ca$o como la muestra la gura 1.. 7sando valores instant#neos, lascargas que se suponen est#n a lo largo de la lnea qa, q$ y qc cumplen con que qa Iq$ Iqc@&.

*n la primera sección de la lnea, el potencial del conductor A es3

(1.2&2!

*n la segunda sección.

(1.2&!

*n la tercera sección




(1.2&-!

*l potencial medio es

(1.2&5!

(1.2&!

"ustituyendo qa por H(q$Iqc! y com$inando términos

(1.2&6!

0or lo tanto, la capacitancia del conductor A

(1.2&:!

os conductores D y = tienen el mismo valor.

a capacitancia por este método es similar la capacitancia de conductores con

espaciamiento simétrico con la distancia entre conductores , como el caso correspondientea l inductancia

EFECTO DEL SUELO SOBRE LAS LÍNEAS TRIFÁSICAS

*l suelo in+uye en la capacitancia de una lnea de transmisión, de$ido a que su presenciamodica el campo eléctrico de la lnea. "i suponemos que la tierra es un conductor perfectode forma plana, /orizontal, y prolongado en el innito, compro$aremos que el campoeléctrico de los conductores cargados, por encima del suelo, no es el mismo que el que/a$ra si no existiera la supercie equipotencial de la tierra.

=onsideraremos un circuito formado por un solo conductor aéreo y retorno por tierra. Alcargarse al conductor, las cargas vienen desde la tierra a colocarse so$re el conductor,esta$leciendo una diferencia de potencial entre el conductor y la tierra. Osta tiene unacarga igual a la del conductor en valor a$soluto, pero del signo contrario. *l +ujo eléctricoentre las cargas del conductor y las de tierra, es perpendicular a la supercie equipotencialdel suelo, puesto que suponemos que esta supercie es un conductor perfecto.=onsideraremos un conductor imaginario del mismo tamaGo y de igual forma que el real,situado exactamente de$ajo de éste y a una distancia de él igual a dos veces su distancia ala supercie del suelo. *l conductor imaginario estara de$ajo de tierra a una distancia deella igual a la del conductor real. "i suponemos que el conductor cticio tiene igual cargapero opuesto sentido que el real y que la tierra no existe, el plano equidistante de am$osconductores seria una supercie equipotencial y ocupara la misma posición que lasupercie equipotencial del suelo. *l +ujo eléctrico entre el conductor aéreo y aquellasupercie equipotencial seria el mismo que el que existe entre él y tierra.




0ara los c#lculos de la capacitancia, puede reemplazarse el suelo por un conductor cticiocargado situado de$ajo de la tierra y a una distancia de ella igual a la del conductor aéreoso$re la supercie del suelo. *l conductor as denido tiene una carga de igual valor yopuesto sentido que la del conductor real, llam#ndose imagen del conductor.

0ara calcular la capacitancia reemplazando la tierra por la imagen del conductor aéreo, sepuede extender a m#s de un conductor. "i colocamos un conductor imagen por cada aéreo,

el +ujo entre estos y sus correspondientes im#genes es perpendicular al plano que sustituyeal suelo, siendo éste una supercie equipotencial.

CÁLCULO DEL VOLTAJE INDUCIDO EN UN PUNTO DEBIDO A UNA LÍNEATRIFÁSICA

0ara el c#lculo de la tensión en un punto cualquiera del espacio de$ido a una lnea trif#sica,se aplicara el método de las im#genes. "i tenemos una lnea trif#sica como se muestra enla gura 1.- =ompuesta por los conductores a, $ y c, los cuales llevan las cargas qa, q$, yqc, se muestra el plano de tierra y de$ajo de él est#n los conductores con las cargasim#genes Hqa,q$ y Hqc.

Figura 1.63 Línea tri0sica 4 su imagen

a tensión en el punto x, de$ida a cada una de las cargas es igual,

(1.2&%!

e la expresión anterior no se conoce el valor de las cargas, pero si sa$emos la tensión decada uno de los conductores que forma la lnea.



1- CONTROL ELECTRONICO DE SISTEMASELECTRICOS

Figura 1.65 iagrama asorial de las tensiones de una línea tri0sica

Komando en cuenta las cargas imagen de cada conductor tenemos3

(1.21&!

(1.211!

e forma an#loga se encuentra la tensión de los dem#s conductores.

(1.212!

(1.21!a relación entre las tensiones de las lneas y las cargas es3

(1.21-!

(1.215!

onde 0 es la matriz de potencial.

0ara determinar las cargas de cada uno de los conductores se resuelve el sistema deecuaciones. =omo las tensiones son sinusoidales y representan vectores, las cargas ser#n,igualmente, cantidades sinusoidales y vectoriales

(1.21!




7na vez calculadas las cargas se sustituyen en la ecuación 1.2&% y se o$tiene el voltaje delpunto x.

"i los conductores est#n muy arri$a del plano de la tierra, las distancias diagonales ser#nmuy grandes comparadas con las distancias verticales entre los conductoresP por lo tanto, elnumerador y el denominador ser#n casi iguales y el término completo es muy pequeGo yesto es lo que sucede normalmente motivo por el cual el efecto de la tierra se desprecia enlas lneas trif#sicas excepto para los c#lculos por componentes simétricas en los que las tres

corrientes de lnea no es cero.

BIBLIOGRAFIA

/ttp3QQ999.ing.uc.edu.veQRviperQ=A0A=LKAS=LA./tml

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An#lisis de sistemas de potencia H Uilliam "tevenson

http://www.ing.uc.edu.ve/~viper/CAPACITANCIA.html

http://tesis.ipn.mx/xmlui/bitstream/handle/123456789/7430/SIMULACION.pdf?sequence=1




http://www.ing.uc.edu.ve/~viper/CAPACITANCIA.html

capacitancia de una red aerea

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