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1ªLista de Cálculo Diferencial e Integral II –Funções de várias variáveis – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

1

Cálculo Diferencial e Integral II Exercícios – Lista

Parte 1 – Derivadas Parciais e taxas

relacionadas.

Parte 2 – Integrais definidas e indefinidas.

1. Considere 2 2( , ) 3f x y x y . Calcule

(a)(3,2)xf usando:

( , ) ( , )

, lim0

x

f f x x y f x yf x y

xx x

.

(b) (3,2)yf usando:

( , ) ( , )( , ) lim

0y

f f x y y f x yf x y

yy y

2. Considere 2( , ) 4f x y x y

(a) Calcule ( 1,2)xf .

(b) Calcule ( 1,2)yf .

3. Calcule fx e fy para as seguintes funções:

(a). ( , ) 7 10f x y x y

(b) 2 2( , ) 3f x y x y

(c)2

1 3( , )f x y

x y

(d) 3 2

2 6( , )f x y

x y

(e) 1 2 1 2( , )f x y x y

(f) 3( , )f x y x y

(g)

2( , ) 4f x y x y

(h) 2 2( , ) 10 5f x y x y x y

(i) 2( , ) 2 6 10xf x y e x y

(j) 3( , ) ln 4 9f x y x y

(k) ( , ) 3xf x y seny

(l) ( , ) cos ln 10yf x y x x e

(m) 3( , ) 10xf x y x e y

(n) 2( , ) 2 lnf x y y x

(o) 2( , ) 3 cosf x y y x

(p) 2 2( , ) 4 6yf x y y e x

(q) 2 2( , ) 20f x y x y senx

(r) ( , )x y

f x yx y

(s) ( , )2 3

xef x y

x y

(t) ln

( , )2

yf x y

x y

(u) ( , )f x y x y

(v) 2( , )f x y x y x

(x) 2 2( , ) lnf x y x y

(y) 2 3( , ) ln x yf x y e x y

5. Considere a função de produção: 0.5 0.5( , ) 3P K L K L

Mostre que:

( , ) ( , )( , )

P K L P K LK L P K L

K L

6. Um observatório será construído na forma de um

cilindro circular reto com uma abóboda esférica como

cobertura. Se o custo da construção da abóboda será

duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais

deverão ser as proporções mais econômicas do

observatório supondo que o volume é fixo?

Parte 2: Diferencial, Regra da cadeia,

Derivada direcional e Gradiente. Máximos e

mínimos de Funções de várias variáveis.

1. Calcular o diferencial total e o crescimento

total da função z=xy no ponto (2,3), se x=0,1 e

y=0,2:

2. Uma lata de metal fechada, na forma de um

cilindro circular reto, deve possuir altura do lado

interno igual a 6cm, raio interno de 2cm e espessura de

0,1 cm. Se o custo do metal a ser usado é 10 centavos

por cm 3, encontre o custo aproximado (por

diferenciação) na fabricação da lata.


2

3. Nos exercícios abaixo, encontre a derivada

parcial pelos dois métodos:

(a) Pela regra da cadeia:

ur

ux

xr

uy

y

r ( )( ) ( )( );

us

ux

xs

uy

y

s ( )( ) ( )( )

(b) Faça as substituições de x e y antes de

derivar.

(b1)

u x y x r s y r s us

ur 2 2 3 2; ; ; ;

(b2) u e x r t y rsenty

x ur

ut ; cos ; ; ;2 4

(b3) u x xy y x y

x r s y r s ur

us

3 2 3

2 3

2 2 ;

; ; ;

4. Uma caixa vai ser fabricada com madeira

de 2/3 cm de espessura. O comprimento interno deve

ter 60 cm de espessura, a largura interna 30 cm e a

altura 40 cm. Use a diferencial total para encontrar a

quantidade aproximada de madeira que será utilizada

na fabricação da caixa.

5. Dada a função f(x,y,z)= x2+ y

2 +z

2

achar a derivada s

f

no ponto M (1,1,1):

(a) Na direção do vetor

s x y z1 2 3

(b) Na direção do vetor s x y z2

6. Seja dada a função:

222),,( zyxzyxf .

(a) Encontre o gradiente de f no ponto

M(1,1,1).

(b) Determine a derivada da função f(x,y,z) ,

no ponto M(1,1,1), na direção do gradiente.

7. Encontre a derivada direcional no Ponto P0

para a função dada, na direçãoe no sentido do vetor u :

(a) g x y y tg x

u x y P

( , ) ;

; ( , )

2 2

12

12 0

133 2

(b) )0,2(;ˆˆ;),( 02

3

2

12 Pyxuexyxf y

(c) h x y z xy sen yz

u x y z P

( , , ) cos( ( );

; ( , , )

1

323

23 0 2 0 3

(d)

f x y z x y z

u x y z P

( , , ) ln( );

; ( , , )

2 2 2

1

3

1

3

1

3 0 1 3 2

(e)f x y e y

u x sen y P

x( , ) cos( );

cos( ) ( ) ; ( , )

3

12 12 0 12

3

0

8. Encontre o gradiente de f em P e a taxa de

variação do valor da função na direção e sentido de u

em P.

(a)f x y x y P

u x sen y

( , ) ; ( , );

cos

2

3 3

4 2 2

(b)

f x y e P u x yxy( , ) ; ( , ); 2 45

352 1

9. A temperatura em qualquer ponto (x,y,z) do

espaço é dada por Tx y z

60

32 2 2 . A distância é

medida em cm.

(a) Encontre a taxa de variação da

temperatura no ponto (3,-2,2) na direção do vetor

u x y z 2 3 6 .

(b) Encontre a direção e magnitude da

variação máxima de T(x,y,z) em P (3,-2,2).

10. Se V volts é o potencial elétrico em

qualquer ponto (x,y,z) do espaço e

Vx y z

1

2 2 2, encontre:

(a) A taxa de variação de V no ponto (2,2,-1).

(b) A direção da taxa de variação máxima de

V em (2,2,-1).

11. A densidade de qualquer ponto P(x,y) de

uma chapa retangular no plano xy é :

1

32 2x y.

(a) Encontre a taxa de variação da densidade

no ponto (3,2) na direção do vetor

cos u x sen y 23

23 .

(b) Encontre a direção e magnitude da taxa de

variação máxima de f em (3,2).

12. chapa de metal está situada no plano-xy,

de modo que a temperatura T em (x,y) seja

inversamente proporcional à distância à origem, e a

temperatura em P(3,4) é 1000F.


3

(a) Ache a taxa de variação de T em P na

direção de i j .

(b) Em que direção P aumenta mais

rapidamente em P?

(c) Em que direção P decresce mais

rapidamente em P?

(d) Em que direção a taxa de variação é 0?

13. A superfície de um lago é representada

por uma região D no plano-xy, de modo que a

profundidade (em metros) sob o ponto (x,y) é

f x y x y( , ) 300 2 32 2.

(a) Em que direção um bote em P(4,9) deve

navegar para que a profundidade da água decresça

mais rapidamente?

(b) Em que direção a profundidade permanece

a mesma?

14. O potencial elétrico V em (x,y,z) é :

V x y z 2 2 24 9

(a) Ache a taxa de variação de V em P(2,-1,3)

na direção de P para a origem.

(b) Ache a variação que produz a taxa máxima

de variação de V em P.

(c) Qual é a taxa máxima de variação em P?

15. A temperatura em (x,y,z) é dada por:

T x y z x y z( , , ) 4 162 2 2

Ache a taxa de variação de T em P(4,-2,1) na

diração 2 6 3 i j k .

(a) Em que direção T aumenta mais rapidamente

em P?

(b) Qual é esta taxa de variação?

(c) Em que direção T decresce mais rapidamente

em P?

(d) Qual é essa taxa de variação?

16. O Potencial elétrico de uma carga elétrica

puntiforme é dado por:

r

kQrV )( ou

222),,(

zyx

kQzyxV

Sabendo que o campo elétrico desta carga é dado

por:

VrE

)(

Demonstre que:

rr

KQrE ˆ)(

2

Onde:

r

rr

ˆ

E r

é o chamado vetor deslocamento:

zzyyxxr ˆˆˆ

Possui módulo r dado por:

222 zyxr

17. Dada a função f definida

por: f x y x y x y( , ) 2 24 2 2:determine os

extremos relativos de f, se existirem

18. Determine as dimensões relativas de uma

caixa retangular, sem tampa, tendo um volume

específico V, se queremos usar a mínima quantidade de

material em sua confecção:

19. Determine as dimensões de uma caixa

retangular sem tampas que deve ser feita de tal forma

que tenha o máximo volume possível.

20. Encontre 3 números positivos cuja soma

seja 24 e seu produto o maior possível.

21. Dada:

yxyxyxf 2732),( 234 :

(a) Determine os possíveis pontos críticos P0(x0,y0) de

f(x,y).

(b) Calcule o discriminante

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

),(

yx

f

y

f

x

f

y

f

yx

f

yx

f

x

f

yxD

e verifique se há máximos ou mínimos

relativos.

Dado:

(i) f tem um valor mínimo relativo

em (x0 , y0 ) se:


4

D(x0 ,y0 ) > 0 e

2

2 0 0 0f

xx y( , )

(ii) f tem um valor máximo relativo em (x0 , y0 )

se:

D(x0 ,y0 ) > 0 e

2

2 0 0 0f

xx y( , )

(iii) f não é extremo relativo em

(x0 , y0 ) se D(x0 ,y0 ) < 0 :

(iv) Não podemos chegar a nenhuma conclusão se

D(x0 ,y0) = 0:

Para auxiliar a classificação, use a tabela

abaixo.

P0(x0,y0) D(x0,y0)

),( 002

2

yxx

f

Classificação

de P0(x0,y0)

22. O raio e a base de um cone circular reto

valem, respectivamente, 10 cm e 25 cm com erro de

0.1 cm em cada dimensão. Determine o máximo erro

no volume do cone.

23. Se R é a resistência equivalente de 3

resistores de resistências R1, R2 e R3, dada por:

1 2 3

1 1 1 1

R R R R

Com valores:

Resistências R1() R2() R3()

Valores 25 40 50

R = 0.5%R

Estime o máximo valor em R.

24. Encontre a derivada direcional f

u

no ponto

P e na direção do vetor dado.

(a) ˆ ˆ, 1 2 3,4 4 3f x y x y P v i j

(b) 2 2 ˆ ˆ, ln 2,1 1 2f x y x y P v i j

(c) 4 2 3 ˆ ˆ, 2,1 4 3g p q p p q P v i j

(d) ˆ ˆ, 1,2 5 10f r s arctg r s P v i j

(e) , , 0,0,0 5,1, 2y z yf x y z x e y e z e P v

(f) , , 3,2,6 1, 2,2f x y z x y z P v

(f) 3

2 ˆˆ, , 2 3 1,1,2 2f x y z x y z P v j k

25. Encontre a máxima taxa de variação da função

dada, max

f

u

no ponto P e indique a direção em que

ela ocorre.

Observação:

max

ˆ P

P

P

fff u

u f

(a) 2

, 2,4y

f x y Px

(b) , 0,0p qf q p q e p e P

(c) , 1,0f x y sen x y P

(d)

, , 1,1, 2x y

f x y z Pz

(e) 2 2 2, , 3,6, 2f x y z x y z P

(f) , , 2 3 5,1,1f x y z tg x y z P

(f) 3

2 ˆˆ, , 2 3 1,1,2 2f x y z x y z P v j k

Referências bibliográficas: 1. James Stewart, Calculus, concepts and context, 2°

Edition.

2. Swokovski, "O Cálculo com Geometria Analítica", Volume

II, 2ª Edição, Makron Books, Volume 2.

3. L. Leithold, "O Cálculo com Geometria Analítica", Volume

2, Editora Harbra. ISBN: 8529402065

4. Hamilton Luiz Guidorizzi “Um curso de Cálculo” , V 2, Editora LTC.

5. http://www.wolfram.com

6. http://www.wolframalpha.com

Exercícios Resolvidos

1. Considere 2 2( , ) 3f x y x y

(a) Calcule (3,2)xf usando 4.1.

(b) Calcule (3,2)yf usando 4.2.

Solução: (a)

( , ) ( , )

, lim0

x

f f x x y f x yf x y

xx x

2 2 2 23 3, lim

0x

x x y x yf x y

x x

2 2 2 2 22 3 3

, lim0

x

x x x x y x yf x y

x x

http://www.wolfram.com/

http://www.wolframalpha.com/


5

22

, lim0

x

x x xf x y

x x

2

, lim0

x

x x xf x y

x x

, lim 20

xf x y x xx

, 2xf x y x

(3,2) 2 3 6xf

(b)

( , ) ( , )( , ) lim

0y

f f x y y f x yf x y

yy y

22 2 23 3

( , ) lim0

y

x y y x yf x y

y y

2 2 2 2 23 2 3( , ) lim

0y

x y y y y x yf x y

y y

2 2 2 2 23 6 3 3( , ) lim

0y

x y y y y x yf x y

y y

26 3( , ) lim

0y

y y yf x y

y y

6 3( , ) lim

0y

y yf x y y

y y

( , ) lim 6 30

yf x y y yy

( , ) 6yf x y y

(3,2) 6 2 12yf

2. Considere

2( , ) 4f x y x y

(a) Calcule ( 1,2)xf usando 4.1.

(b) Calcule ( 1,2)yf usando 4.2.

Solução: (a)

11 1

1 1

( , ) ( , ), limx

f x y f x yff x y

x xx x x

1

( ,2) ( 1,2)1,2 lim

1x

f x ff

x x

2 24 2 4 1 2

1,2 lim1 1

x

xf

x x

16 16

1,2 lim1 1

x

xf

x x

1

1,2 lim 161 1

x

xf

x x

1,2 lim 16 11

xfx

1,2 16xf

(b)

1

1 1 11 1

1

( , ) ( , )( , ) limy

y

f x y f x yff x y

yy y y

2 24 1 4 1 2( 1,2) lim

2 2y

yff

yy y

24 16( 1,2) lim

2 2y

yf

y y

2 4

( 1,2) lim 42 2

y

yf

y y

2 22

( 1,2) lim 42 2

y

yf

y y

2 2

( 1,2) lim 42 2

y

y yf

y y

( 1,2) lim 4 22

yf yy

( 1,2) 4 2 2 16yf

3. Calcule fx e fy para as seguintes funções:

1. ( , ) 7 10f x y x y

, 7x

ff x y

x

, 10y

ff x y

y

2. 2 2( , ) 3f x y x y

, 2x

ff x y x

x

2 1, 3 2 6y

ff x y y y

y

3. 2

1 3( , )f x y

x y

2 1( , ) 3f x y x y


6

2 1 3, 2 2x

ff x y x x

x

3

2,x

ff x y

x x

1 1 2, 3 3y

ff x y y y

y

2

3,y

ff x y

y y

4. 3 2

2 6( , )f x y

x y

3 2( , ) 2 6f x y x y

3 1 4, 2 3 6x

ff x y x x

x

4

6,x

ff x y

x x

2 1 3, 6 2 12y

ff x y y y

y

3

12,y

ff x y

y y

5. 1 2 1 2( , )f x y x y

1 1

12 2

1 1,

2 2x

ff x y x x

x

1

,2

x

ff x y

x x

1 1

12 2

1 1,

2 2y

ff x y y y

y

1

,2

y

ff x y

y y

6. 3( , )f x y x y

1 3 1 2( , )f x y x y

1 2

13 3

2

3

1 1 1,

3 33

x

ff x y x x

xx

3 2

1,

3x

ff x y

x x

1 1

12 2

1 1,

2 2y

ff x y y y

y

1

,2

y

ff x y

y y

7. 2( , ) 4f x y x y

1 1 2 0 2, 4 4x

ff x y x y x y

x

2, 4x

ff x y y

x

2 1, 4 2y

ff x y x y

y

, 8y

ff x y x y

y

8. 2 2( , ) 10 5f x y x y x y

1 1 2 2 1, 10 5 2x

ff x y x y x y

x

2, 10 10x

ff x y y x y

x

2 1 2 1 1, 10 2 5 1y

ff x y x y x y

y

2, 20 5y

ff x y x y x

y

9. 2( , ) 2 6 10xf x y e x y

2 1, 2 2 0x

x

ff x y e x

x

, 4x

x

ff x y e x

x

1 1, 0 6 1y

ff x y y

y

, 6y

ff x y

y

10. 3( , ) ln 4 9f x y x y

1, 0x

ff x y

x x

1

,x

ff x y

x x

2 1, 0 4 3y

ff x y y

y

2, 12y

ff x y y

y

11. ( , ) 3xf x y seny


7

, 3 ln3 0x

x

ff x y

x

, 3 ln3x

x

ff x y

x

, 0 cosy

ff x y y

y

, cosy

ff x y y

y

12. ( , ) cos ln 10yf x y x x e

1, 0x

ff x y senx

x x

1

,x

ff x y senx

x x

, 0 0y

y

ff x y e

y

, y

y

ff x y e

y

13. 3( , ) 10xf x y x e y

3 3, 0x x

x

ff x y x e e x

x

2 3, 3 x x

x

ff x y x e e x

x

2, 3x

x

ff x y x e x

x

1 1, 0 10 1y

ff x y y

y

, 10y

ff x y

y

14. 2( , ) 2 lnf x y y x

2 2 1

, 2 ln 2x

ff x y y x y

x x

22

,x

f yf x y

x x

2, 2 ln 2 2 lny

ff x y y x y x

y

, 4 lny

ff x y y x

y

15. 2( , ) 3 cosf x y y x

2 2, 3 cos 2x

ff x y y x y senx

x

2, 3x

ff x y y senx

x

2, 3 cos 3 2 cosy

ff x y y x y x

y

, 6 cosy

ff x y y x

y

16. 2 2( , ) 4 6yf x y y e x

2 1, 0 6 2x

ff x y x

x

, 12x

ff x y x

x

2 2, 4 4 0y y

y

ff x y y e e y

y

2, 4 2 4y y

y

ff x y y e e y

y

, 4 2y

y

ff x y y e y

y

17. 2 2( , ) 20f x y x y senx

2 1, 0 6 2x

ff x y x

x

2 2 2 2, 20 20x

ff x y x y senx x y senx

x

2 2 2, 20 2 20 cosx

ff x y x y senx x y x

x

2 2, 20 2 cosx

ff x y y x senx x y x

x

2 2, 20y

ff x y x y senx

y

2, 20 2y

ff x y x y senx

y

18. ( , )x y

f x yx y


8

2

,x

x y x yx y x y

f x xf x yx x y

2

1 1,x

x y x yff x y

x x y

2,x

f x y x yf x y

x x y

2

2,x

f yf x y

x x y

2

,y

x y x yx y x y

f y yf x y

y x y

2

1 1,y

x y x yff x y

y x y

2,y

f x y x yf x y

y x y

2

2,y

f xf x y

y x y

19. ( , )2 3

xef x y

x y

2

2 32 3

,2 3

x

x

x

e x yx y e

f x xf x yx x y

2

2 3 2,

2 3

x x

x

e x y eff x y

x x y

2

2 6 2,

2 3

x x x

x

f x e y e ef x y

x x y

2

2 6 2,

2 3

x

x

e x yff x y

x x y

2

2 32 3

,2 3

x

x

y

e x yx y e

f y yf x y

y x y

2

0 2 3 3,

2 3

x

y

x y eff x y

y x y

2

3,

2 3

x

y

f ef x y

y x y

20. ln

( , )2

yf x y

x y

2

ln 22 ln

,2

x

y x yx y y

f x xf x yx x y

2

0 2 ln 1,

2x

x y yff x y

x x y

2

ln,

2x

f yf x y

x x y

2

ln 22 ln

,2

y

y x yx y y

f y yf x y

y x y

2

12 ln 2

,2

y

x y yf y

f x yy x y

2

2 2ln

,2

y

xy

f yf x y

y x y

21. 0.3 0.7( , )f x y x y

0.3 1 0.7, 0.3 0.3x

ff x y x x

x

0.7

0.3,x

ff x y

x x

0.7 1 0.3, 0.7 0.7y

ff x y y y

y

0.3

0.7,y

ff x y

y y


9

22. 0.6 0.3( , ) 2f x y x y

0.6 1 0.4, 2 0.6 1.2x

ff x y x x

x

0.4

1.2,x

ff x y

x x

0.3 1 0.7, 0.3 0.3y

ff x y y y

y

0.7

0.3,y

ff x y

y y

23. 1( , ) 10 0 1f x y x y

1, 10x

ff x y x

x

1

10,x

ff x y

x x

1 1, 1 1y

ff x y y y

y

1

,y

ff x y

y y

24. ( , ) ln 2 3f x y x y

2 3ln 2 3

,2 3

x

x yx yf xf x y

x x x y

2

,2 3

x

ff x y

x x y

2 3

ln 2 3,

2 3y

x y

x yf yf x y

y y x y

3

,2 3

y

ff x y

y x y

25. 2 3( , ) x yf x y e

2 5

2 52 5

,

x y

x y

x

e x yff x y e

x x x

2 5, 2 x y

x

ff x y e

x

2 5

2 52 5

,

x y

x y

y

e x yff x y e

y y y

2 5, 5 x y

y

ff x y e

y

26. ( , ) 2x yf x y

2

, 2 ln 2

x y

x y

x

x yff x y

x x x

, 2 ln 2 1x y

x

ff x y

x

, 2 ln 2x y

x

ff x y

x

2

, 2 ln 2

x y

x y

y

x yff x y

y y y

, 2 ln 2 1x y

y

ff x y

y

, 2 ln 2x y

y

ff x y

y

27. 2 2

( , ) x yf x y e

2 2

2 2

2 2

,

x y

x y

x

e x yff x y e

x x x

2 2

, 2x y

x

ff x y e x

x

2 2

, 2 x y

x

ff x y x e

x

2 2

2 2

2 2

,

x y

x y

y

e x yff x y e

y y y

2 2

, 2x y

y

ff x y e y

y

2 2

, 2 x y

y

ff x y y e

y

28. ( , ) x yf x y e

,

x y

x y

x

e x yff x y e

x x x

, x y

x

ff x y e y

x


10

, x y

x

ff x y y e

x

,

x y

x y

y

e x yff x y e

y y y

, x y

y

ff x y e x

y

, x y

y

ff x y x e

y

29. ( , ) 3x yf x y

3

, 3 ln3

x y

x y

x

x yff x y

x x x

, 3 ln3x y

x

ff x y y

x

, ln3 3x y

x

ff x y y

x

3

, 3 ln 3

x y

x y

y

x yff x y

y y y

, 3 ln 3x y

y

ff x y x

y

, ln 3 3x y

y

ff x y x

y

30. ( , ) cos 2 3f x y x y

cos 2 3 2 3

, 2 3x

x y x yff x y sen x y

x x x

, 2 3 2x

ff x y sen x y

x

, 2 2 3x

ff x y sen x y

x

cos 2 3 2 3

, 2 3y

x y x yff x y sen x y

y y y

, 2 3 3y

ff x y sen x y

y

, 3 2 3y

ff x y sen x y

y

31. 2

( , ) 5x yf x y

2

2

25, 5 ln 5

x y

x y

x

x yff x y

x x x

2

, 5 ln5 2x y

x

ff x y x

x

2

, 2 5 ln5x y

x

ff x y x

x

2

2

25, 5 ln 5

x y

x y

y

x yff x y

y y y

2

, 5 ln 5 1x y

y

ff x y

y

2

, 5 ln 5x y

y

ff x y

y

32. 3

2( , ) 2f x y x x y

3 1

2 2, 3 2 2x

ff x y x x y x x y

x x

2

2, 3 2 2 2x

ff x y x x y x y

x

2

2, 6 2x

ff x y x x y x y

x

3 1

2 2, 3 2 2y

ff x y x x y x x y

y y

2

2, 3 2 2y

ff x y x x y x

y

2

2, 6 2y

ff x y x x x y

y

33. 4

2( , ) 3 2f x y x y x y

4 1

2 2, 4 3 2 3 2x

ff x y x y x y x y x y

x x

3

2, 4 3 2 6 2x

ff x y x y x y x y y

x

3

2, 8 3 2 3 1x

ff x y y x y x y x

x


11

4 1

2 2, 4 3 2 3 2y

ff x y x y x y x y x y

y y

3

2 2, 4 3 2 3 2y

ff x y x y x y x x

y

3

2, 4 3 2 3 2y

ff x y x x y x y x

y

34.

3

2

1( , )

2f x y

x y

3

2( , ) 2f x y x y

3 1

2 2, 3 2 2x

ff x y x y x y

x x

4

2, 3 2 2x

ff x y x y x

x

42

6,

2x

f xf x y

x x y

3 1

2 2, 3 2 2y

ff x y x y x y

y y

4

2, 3 2 2y

ff x y x y

y

42

6,

2y

ff x y

y x y

35. ( , )f x y x y

1

2( , )f x y x y

1

12

1,

2x

ff x y x y x y

x x

1

21

,2

x

ff x y x y y

x

1

2

1 1,

2x

ff x y y

xx y

1

,2

x

f yf x y

x x y

1

21

,2

y

ff x y x y x

y

1

2

1 1,

2y

ff x y x

yx y

1

,2

y

f xf x y

y x y

36. 2( , )f x y x y x

1

2 2( , )f x y x y x

1

12 22

1,

2x

ff x y x y x x y x

x x

1

2 21

, 22

x

ff x y x y x y x

x

12 2

1 1, 2

2x

ff x y y x

xx y x

2

1 2,

2x

f y xf x y

x x y x

1

12 22

1,

2y

ff x y x y x x y x

y y

1

2 21

,2

y

ff x y x y x x

y

12 2

1,

2y

f xf x y

yx y x

2

1,

2y

f xf x y

y x y x

37. 23( , ) 2 3f x y x x y

1

2 3( , ) 2 3f x y x x y

1

12 23

1, 2 3 2 3

3x

ff x y x x y x x y

x x

2

2 31

, 2 3 4 33

x

ff x y x x y x y

x

22 3

1 1, 4 3

32 3

x

ff x y x y

xx x y

223

1 4 3,

32 3

x

f x yf x y

xx x y


12

1

12 23

1, 2 3 2 3

3y

ff x y x x y x x y

y y

2

2 31

, 2 3 33

y

ff x y x x y

y

22 3

1 1, 3

32 3

y

ff x y

yx x y

223

1,

2 3y

ff x y

yx x y

38. ( , ) x yf x y e e

1

2( , ) x yf x y e e

1

12

1,

2

x y x y

x

ff x y e e e e

x x

1

21

,2

x y x

x

ff x y e e e

x

1

2

1 1,

2

x

x

x y

ff x y e

xe e

1

,2

x

xx y

f ef x y

x e e

1

12

1,

2

x y x y

y

ff x y e e e e

y y

1

21

,2

x y y

y

ff x y e e e

y

1

2

1 1,

2

y

y

x y

ff x y e

ye e

1

,2

y

yx y

f ef x y

y e e

39. 2 2( , ) lnf x y x y

1

2 2 2( , ) lnf x y x y

12 2 2

12 2 2

,x

x y

f xf x yx

x y

2 211

2 2 2

12 2 2

1

2,x

x yx y

f xf x yx

x y

12 2 2

12 2 2

12

2,x

x y xf

f x yx

x y

1 12 2 2 22 2

12

2,x

xf

f x yx

x y x y

1 12 2 2 2

,x

f xf x y

xx y

22 2 2

,x

f xf x y

xx y

2 2,x

f xf x y

x x y

12 2 2

12 2 2

,y

x y

f yf x y

yx y

2 211

2 2 2

12 2 2

1

2,y

x yx y

f yf x y

yx y

12 2 2

12 2 2

12

2,y

x y yf

f x yy

x y


13

1 12 2 2 22 2

12

2,y

yf

f x yy

x y x y

1 12 2 2 2

,y

f yf x y

yx y

22 2 2

,y

f yf x y

yx y

2 2,y

f yf x y

y x y

40. 2 3( , ) ln x yf x y e x y

2 3

2 3,

x y

x x y

e x y

f xf x yx e x y

2 1 3

2 3

2

,

x y

x x y

x ye x y

f xf x yx e x y

3

2 3

2,

x y

x x y

f e y x yf x y

x e x y

2 3

2 3,

x y

y x y

e x y

f yf x y

y e x y

2 3 1

2 3

3

,

x y

y x y

x ye x y

f yf x y

y e x y

2 2

2 3

3,

x y

x x y

f e y x yf x y

x e x y

4. Considere a função de produção: 0.5 0.5( , ) 3P K L K L

Mostre que:

( , ) ( , )( , )

P K L P K LK L P K L

K L

Solução: 0.5 0.5

0.5 1 0.53( , )

3 0.5K LP K L

K LK K

0.5 0.5( , )1.5

P K LK L

K

0.5 0.5

0.5 0.5 13( , )

1.5K LP K L

K LL L

0.5 0.5( , )1.5

P K LK L

L

( , ) ( , )P K L P K LK L

K L

0.5 0.5 0.5 0.51.5 1.5K K L L K L 1 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.51.5 1.5 1.5 1.5K L L K K L L K

0.5 0.5( , ) ( , )3 ( , )

P K L P K LK L K L P K L

K L

5. Encontre os máximos e os mínimos da

função: 4 4( , ) 4 1f x y x y xy

3 34 4 4 4f f

x y y xx y

Pontos críticos:

3

3

04 4 0

4 4 00

f

x yx

f y x

y

2 2 22 2

2 212 12 4

f f fx y

x y x y

2 2

22 2 2 2

2 22 2

2

,

f f

x y x f f fx y

x y y xf f

x y y

2 2, 144 16x y x y

( , )i iP x y ( , )i if x y ( , )i ix y 2

2

( , )i ix y

f

x

Class.

(0,0) 1 -16 0 Ponto de

sela

(1,1) -2 144-16>0 12 Mínimo local

( 1, 1) -2 144-16>0 12 Mínimo

local


14

5. Encontre os máximos e os mínimos da função: 2 2 2 4 4( , ) 10 5 4 2f x y x y x y x y

3 2 320 10 4 10 8 8f f

x y x x x y yx y

Pontos críticos:

2

2 3

02 5 2 5 0

10 8 8 00

f

x y xx

f x y yy

2

3

3

5 5

24 21 12.5 0

5 510 8 8 0

2

yx

y yy

y y

2 2 22 2

2 220 10 12 8 24 20

f f fy x y x

x y x y

2 2

22 2 2 2

2 22 2

2

,

f f

x y x f f fx y

x y y xf f

x y y

2 2 2, 20 10 12 8 24 400x y y x y x

( , )i iP x y ( , )i if x y ( , )i ix y 2

2

( , )i ix y

f

x

Class.

(0,0) 0 80 -10

Máximo

local

(2.64,1.90)

8.5

2488.72

-55.93

Máximo

local ( 2.64,1.90)

(0.86,0.65)

-1.48

-187.64

-5.87 Ponto de

sela ( 0.86,0.65)


15

Lista de Exercícios

Parte 2 – Integrais definidas e indefinidas.

1. Calcule as integrais pelo método de

Integração por partes:

(a) 1x xxe dx e x C

(b) 2 3 3 219 6 2

27

x xx e dx e x x C

(c) 1 1

cos5 cos 5 525 5

x xdx x xsen x C

(d) 2 2cos 2 cos ( 2)x xdx x x x senx C

(e) sen cosx xdx senx x x C

(f)

22 1

2 2

xx e

xe dx x C

(g) sen cos2

xx e

xe dx senx x C

(h) 3

2 ln 3ln 13

xx xdx x C

(i)

2lnln

2

xxdx C

x

(j) 22(ln ) 2 2ln lnx dx x x x C

(k) 3 5 5 71 1sec sec sec

5 7tg x xdx x x C

(l) 2 4 2 31sec 4 cos 2 sec

15tg x xdx x x tg x C

(m) 3 1sec sec ln sec

2xdx x tgx x tgx C

(n) sec sec ln secx xtgxdx x x x tgx C

(o) 21ln 1

2arctgxdx x arctgx x C

(p) 2arcsen 1xdx x x arcsenx C

(q) 1x xxe dx e x C

(r) 2 2 2 2x xx e dx e x x C

(s) 2

ln 2ln 14

xx xdx x C

(t) ln ln 1xdx x x C

(w) 2sec ln cosx xdx x x tgx C

(y) 2

22(ln ) 2 ln 2ln 14

xx x dx x x C

(v) 2

2 2 22 2 14

xx e

x e dx x x C

(x) 1

cos cos2

xx e dx x senx C

(z) 2

2 cos 25

xx e

senx e dx x senx C

(a1) 2

23 2 12

xx e

x e dx x C

(b1) 3 2 2 2 21cos cos

2x x dx x x senx C

(c1) 2

2cos 2 cos5

xx e

x e dx senx x C

(d1) 2 22 2 cosx senxdx x senx x x C

2. Encontre a integral indefinida, aplicando o método

de substituição trigonométrica:

(a)

2

2 2

4

44

dx xC

xx x

(b)2 2

2

9 9

3

x x xdx arcsen C

x x

(c) 2

2

ln 1ln 5 25

5 525

dx xx C

x x

(d) 2 21

1 12

u du u u arcsenu C

(e) 32 2 216 16 2 32

4 4

x xx x dx x x arcsen C

(f)3 22 2 9 4 9(4 9)

dx xC

xx

Observação: faça a mudança:

Aparecerá:

2sec

3

x

2

seccscd C

tg

(g)

2

2 42

44

xx xArcsenh

dxC

x xx x

(h) 3 22 2

2

9 5 4(5 4 )

dx xC

x xx x


16

Observações:

2ln 1arcsenhu u u

2arccos h ln 1u u u

1 1ln

2 1

uarctghu

u

2

1 1sech ln 1arc u

u u

2

1 1arccossech ln 1u

u u

1 1ln

2 1

uarcctghu

u

3. Encontre as integrais pelo método das frações

parciais:

Dados:

x

B

x

A

xx

nmx

)()(

22 )()(

x

B

x

A

x

nmx

2mx nx q A B C

x x x x x x

2

2 2

mx nx q A B C

x xx x x

2

2 2, se 0

1, se 0

2

2 2arg tanh , se 0

ax barctg C

dxC

bax bx ca x

a

ax bC

(a)

2

1 2ln

4 4 2

dx xC

x x

(b) 2

2

4 9ln 2 ln 3

6 5 5

x dxx x x C

x x

(c) 2

5 2 1 125 2 5 ln 5 25 2 5 ln 5

5 10 10

xdx x x C

x

(d) 3 2

4 2ln 2 ln 2ln 1

2

xdx x x x C

x x x

(e) 2

3

6 2 1 1 3ln ln 2 1 ln 2 1

4 4 4

x xdx x x x C

x x

(f)

3 2

4 5 2

1 2 1

x xdx C

x x

(g)

2

2

2

2 131

2 4 7 1123ln 3 ln 6

18 366 3 18 23

xarctg

x xdx x x x C

x x x

(h)

2

2

2

129

5 1 5 82ln 2 ln 2 3

11 112 3 2 11 2

xarctg

x xdx x x x C

x x x

(i)

3

2

2

2 132

2 1 123ln 2 ln 6

3 36 2 3 23

xarctg

x xdx x x x x C

x x x

3. Encontre as integrais usando a técnica de

integração apropriada:

(a) ln ln 1xdx x x C

(b) cos 2 2

cos(2 )4 2

x x sen xx x dx C

(c) 2sec ( ) ln cosx x dx x x tgx C

(d)

2

3 ln 3 13

ln 3

x

xx

x dx C

(e) 2( ) 1 ( )arcsen x dx x x arcsen x C

(f) 3

2 ln 3ln 13

xx xdx x C

(g) 21( ) 1

2xarctg x dx x x arctgx C

(h) 2 21 2(3 ) 9 2 cos3 3

27 9x sen x dx x x x sen x C

(i) cos cos2

xx e

e xdx x senx C

(j) (ln ) cos(ln ) (ln )2

xsen x dx x sen x C

(k) 3

2 2

2

11 2

31

xdx x x C

x

(l) 2

23 2 12

xx e

x e dx x C

(m) 5 31

sec 2sec 3sec 3ln sec8

xdx x tgx x tgx x tgx C

(n)

/2

2

0

cos(2 )4

x x dx


17

(o) 42

2

0

1 3

4

xe

xe dx

(p)

3

4

/4

3

0

4 1

(4 )25

x

e

e sen x dx

(q)

1

08

xarcsenxdx

(r)

/2

0

cos 2 cos 1xdx sen

4. Encontre as integrais envolvendo potências

de seno e cosseno:

Dados:

sensencoscos)cos(

cossencossen)sen(

2

coscoscoscos

2

coscossensen

2

sensencossen

Ctdttsen

cos1

Ctsendtt

1

cos

2

2cos12

sen

2

2cos1cos 2

(a)

0

(1 ) 2senx dx

(b)3 3 1

cos 34 12

xdx senx sen x C

(c) 5 5 5 1cos cos3 cos5

8 48 80sen xdx x x x C

(d) 2 1

22 4

xsen xdx sen x C

(e)4 3 1 1

cos 2 48 4 32

xxdx sen x sen x C

(f) 3 4 51cos cos 5cos 2 9

70sen x xdx x x C

(g) 2 4 12 3 2 3 4 6cos

192

x sen x sen x sen xsen x xdx C

(h) 4 4 24 8 4 8cos

1024

x sen x sen xsen x xdx C

(i)cos cos5

( (3 ) cos(2 ))2 10

x xsen x x dx C

(j)cos cosx xsenxe dx e C

(k) (cos ) cos(cos )senxsen x dx x C

(m) 3 3cos cos3

4 12

x xsen xdx C

(n) 4 3 2 4

8 4 32

x sen x sen xsen xdx C

(o) 1 1

6 8 cos 142 28

sen x sen x dx xsenx sen x C

(p) 1 1

12 cos 8 cos 4 cos 208 40

sen x x dx x x C

(q) 1 1

cos 6 cos 4 cos 102 20

x x dx xsenx sen x C

Aplicações da Integral

1. Encontre o comprimento do arco da parábola 2y x de (0,0) a (1,1).

21

0

1dy

L dxdx

2. Encontre o centróide da região limitada pelas

curvas cosy x , y = 0; 0x e2

x

.

3. Encontre o centróide da região limitada pelas

curvas y x e2y x .


18

4. Encontre o volume do sólido de revolução

formado pela rotação do eixo x das curvas

y x e2y x .

5. Encontre a área da região dada para cada caso.

6. Encontre o volume da pirâmide aplicando:

0

h

V A x dx

Dica: Semelhança de triângulos:

22

2

x sA x s

h h

7. Encontre os volumes indicados, integrando

sobre uma área apropriada.:

(a) (b)

(c)

torus

8. Encontre o volume obtido pela rotação em

torno do eixo y da função 2 32y x x

2

b

a

V x f x dx

9. Uma força de 40 N atua numa mola de

comprimento natural L = 10 cm, provocando uma

deformação em seu comprimento de 10 cm para 15

cm. Sabendo que a Lei de Hooke é

F x k x

Qual o trabalho necessário para provocar uma

deformação da mola variando seu comprimento de 15

cm para 18 cm?


19

2

1

x

x

W x F x dx

10. Um reservatório possui a forma de um

cone circular reto invertido de raio 4 m e altura 10 m..

Ele é preenchido com água até uma altura de 8 m.

Encontre o trabalho necessário para esvaziar o tanque,

bombeando a água a partir do topo do tanque. A

densidade da água vale 1000 kg/m3.

11. Quando um gás se expande em um

cilindro de raio r, a pressão exercida pelo gás varia

com o volume P = P(V). A força exercida pelo gás

sobre o pistão é dada por:

2F P A F P V r

Mostre que o trabalho realizado pelo gás ao se

expandir de um volume V1 a V2 é dado por:

2

1

V

V

W P V dV

12. O valor médio de uma função no intervalo

de x entre a e b é dado por:

1

b

a

f f x dxb a

Encontre o valor médio da função:

21f x x

no intervalo [-1,2].

13. Teorema do valor médio:

Se f(x) é contínua em [a,b] então existe um

valor c [a,b] tal que:

1

b

a

f f x dx f cb a

Ache o valor de c no problema anterior.

14. Área de uma superfície de revolução:

2

2 1

b

a

dyS y dx

dx

Encontre a área da superfície gerada pela

rotação da curva 24 1 1y x x em

torno do eixo x.

15. Um tanque tem a forma de um trapézio

dado:

Encontre a força devido à pressão hidrostática

se o nível de água estiver a 4 m do topo do

reservatório.


20

16. Teorema de Pappus: Seja uma região

formada no plano, ao lado de uma linha l; se é girada

sobre l, então o volume do sólido resultante é dado

pela área de multiplicada pela distância d dada pelo

centróide de . 2V x A

Um torus é formado pela rotação de um

círculo de raio r em torno de uma linha passando pelo

plano de um círculo de raio R.

Mostre que seu volume é 2 22V r R

17. O fluxo laminar de sangue de viscosidade

através de uma artéria de comprimento L e raio R é

dado por:

2 2

4

Pv r R r

L

Mostre que a força sobre as paredes da artéria

é dada pela Lei de Poiseuille:

4

0

28

RP R

F v r rdr FL

18. Usando o resultando para calcular o

comprimento de uma função l = f(x) para a x b:

2

1

b

a

dyl dx

dx

Calcule:

(a) 3

22

0 13

f x x x

(b) 4

3 0 23

f x x x

(c) ln 1f x x x e

(d) 1 3

4 4f x x x

R: (a) 22 2 1

3l

(b) 10

3l

(c) 2

2

1 21 1 2 ln

1 1l e

e

(d) 1 2 32 3 2 ln

4 1 2l

Solução

ln 1f x x x e

1dy

dx x

2

1

11

e

l dxx

2

2

1

1e

xl dx

x

22

2

1sec

xdx x tg dx d

x

2 22 2

2 2

1 secsec sec

tgd d

tg tg

2 32

2

1 secsec

tgd d

tg tg

2sec 1 secsec

tgd d tg d

tg tg

1

cos sec

cos

d tg dsen

cossec secd tg d

cossec ln csc cotd C ou

cossec ln csc cotd C


21

1

ln csc cot csc cotcsc cot

d d

d d

2 1ln csc cot csc cot csc

csc cot

d

d

csc cotln csc cot csc csc

csc cot

d

d

2

2

1ln csc cot sec

xdx

x

2

2

1 1cotg = cossec 1x tg

x x

2sec 1 x

2 22

2 2

1 1 1ln 1

x xdx x C

x x x

2 22

2

1 1 11 ln

x xdx x C

x x x

2 22

2

1 1 11 ln

x xdx x C

x x

22

2 2

11 ln

1 1

x xdx x C

x x

22

2 21 1

11 ln

1 1

x ee

x

x xl dx x

x x

22 2

2 2 21

1 11 ln 1 1 ln

1 1 1 1 1

ex e

l dx ex e

22

2 21

1 11 ln 2 ln

2 11 1

ex e

l dx ex e

22 2

2

1

11 ln ln 1 1 2 ln 2 1

ex

l dx e e ex

22

22

1

2 111 1 2 ln

1 1

ex

l dx ex e

Cônicas

1. Para cada cônica:

1.1 Determine os parâmetros;

1.2 Escreva a equação em coordenadas polares.

1.3 Construa o gráfico com o comando polarplot

no mathcad para coordenadas polares.

(a) Elipse: e = ½ e a = 3

(b) Hipérbole: e = 2 e a = 4

(c) Elipse: e = 8/10 e a = 8

(d) Hipérbole: e = 3/2 e a = 6

(e) Parábola: a = 3

(f) Parábola: a = 4

(g) Elipse: e = ½ e a = 6

(h) Hipérbole: e = 3 e a = 4

(i) Elipse: e = 7/10 e a = 12

(j) Hipérbole: e = 6/5 e a = 6

(k) Parábola: a = 0.5

(l) Parábola: a = 8

(m) Elipse: e = ½ e a = 12

(n) Hipérbole: e = 16 e a = 12

(o) Elipse: e = 11/17 e a = 2

(p) Hipérbole: e = 12/5 e a = 5

(q) Parábola: a = 0.7

(r) Parábola: a = 22

Exercícios de Revisão

1. Verifique, calculando as integrais por partes:

(a)

33 cos 2 2 2 3cos 2

13

xx e

e x dx sen x x C

(b)

43 1

ln ln4 4

xx xdx x C

(c) 3 2 235 25 6 cos5 25 2 5

125 125

xx sen x dx x x x sen x C

(d)

2

2 2 2

x arctgx xx arctgxdx arctgx C

2. Mostre, usando a decomposição apropriada

por frações parciais:

(a)

2

2

3 1 19 1ln 3 ln 1

2 3 4 4

x xdx x x x C

x x

(b)

3 2

2

1 25 14 ln 3 ln 1

4 3 4 2 2

x x xdx x x x C

x x

(c) 2

2 1 ln 1ln 2

2 2 2

xdx x C

x x x

(d)

2

2 2

3 3 5 23 11 5 11ln 2 ln 1 ln 1 ln 2

12 6 6 121 4

x xdx x x x x C

x x

(e) 2

2

4 1 11 32ln 6 12

6 12 3 3

x xdx arctg x x C

x x

(f) 3 2

2

3 2

4 6 1 1 1 12ln 1 ln 2 3

3 22 2

x x x xdx x arctg x x x C

x x x


22

Apêndice

Integrais indefinidas - Demonstrações

2

dx

ax bx c

1° Caso: < 0

2 2 2

22 4

dx dx

ax bx c b b ca x

a a a

22 2

2

1

2 4

dx dx

ax bx c a b b cx

a a a

Chamando:

2

bv x dv dx

a

2 22

2 2 2

4

4 4 4

c b ac bt

a a a a

2t

a

2 2 2

1dx dv

ax bx c a v t

222 2

2

1dx dv

tax bx c av t

t

22 2

1

1

dx dv

ax bx c at v

t

Chamando agora de:

v dv

u du dv tdut t

Substituindo, teremos:

2 2 2

1

1

dx tdu

ax bx c at u

2 2

1

1

dx du

ax bx c at u

2

1dxarctgu C

ax bx c at

2

1dx varctg C

ax bx c at t

2

1 2

2 2

bx

dx aarctg Cax bx c

aa a

2

2 2dx ax barctg C

ax bx c

2° Caso: = 0

22

2

dx dx

ax bx c ba x

a

2

2

1

2

dx bx dx

ax bx c a a

2 1

2

1 2

2 1

bx

dx aC

ax bx c a

2

1

2

dxC

bax bx ca x

a

3° Caso: > 0

2

1 2

dx dx

ax bx c a x x x x

2

1,2

4

2

b b acx

a

2

1 2

1 A B

ax bx c a x x a x x

2 1

2

1 2

1 A x x B x x

ax bx c a x x x x

2 1

2

1 2

0 1 A B x x A x Bx

ax bx c a x x x x

2 1

0

1

A B

x A x B


23

1 2

2 1

1 2

1

1 1

AA B x x

x B x BB

x x

2

1 2

dx A Bdx dx

ax bx c a x x a x x

2

1 2 1 1 2 2

1 1 1 1dxdx dx

ax bx c a x x x x a x x x x

1 22

1 2 1 2

1 1ln ln

dxx x x x C

ax bx c a x x a x x

1

2

1 2 2

1ln

x xdxC

ax bx c a x x x x

1

2

2 2

2

2

bx

ax x ax b

x x ax bbx

a

1 22 2

b bx x

a a a

2

1 2ln

2

2

dx ax bC

ax bx c ax ba

a

2

1 2ln

2

dx ax bC

ax bx c ax b

Como:

1 1

arg tanh ln2 1

uu

u

Chamando de 2ax b

u

21

2 1arg tanh ln

221

ax b

ax b

ax b

2 1 2arg tanh ln

2 2

ax b ax b

ax b

2 1 2arg tanh ln

2 2

ax b ax b

ax b

2 1 2arg tanh ln

2 1 2

ax b ax b

ax b

2 1 2arg tanh ln

2 2

ax b ax b

ax b

2 22arg tanh ln

2

ax b ax b

ax b

1

2 22arg tanh ln

2

ax b ax b

ax b

2 22arg tanh ln

2

ax b ax b

ax b

2 22arg tanh ln

2

ax b ax b

ax b

Substituindo, teremos:

2

2 2arg tanh

dx ax bC

ax bx c

Assim, teremos:

2

2 2 se 0

1 se 0

2

2 2arg tanh se 0

ax barctg C

dxC

bax bx ca x

a

ax bC


24

Fórmulas de Integração

1) vduuvdvu

2) 1,1

1 1

nCun

duu nn

3) Cuu

du ln

4) Cedue uu

5) Caa

dua uu ln

1

6) Cudusenu cos.

7) Csenuduu .cos

8) Ctguduu .sec2

9) Cuduu cot.csc2

10) Cuduutgu sec.sec

11) Cuduuu csc.cotcsc

12) Cudutgu cosln.

13) Csenuduu ln.cot

14) Ctguuduu secln.sec

15) Cuuduu cotcscln.csc

16) Ca

uarcsen

ua

du

22

17) Ca

uarctg

aua

du

1

22

18) Ca

uarc

aauu

du

sec

1

22

19) Cau

au

aua

du

ln2

122

20) 2 2

2 2ln

duu u a C

u a

21) 2 2

2 2ln

du uu u a C arcsenh C

au a

22) Cuaua

uauau

duuau 22

42222222 ln

8)2(

8

23) Cuaua

uau

duua 22

22222 ln

22

24) Cuauu

uadu

u

ua

2222

2

22

ln

25) Cuauua

du

22

22ln

26) Cuaua

uau

ua

duu

222

22

22

2

ln22

27)

2 2

2 2

1ln

du a a uC

a uu a u

28)

2 2

22 2 2

du a uC

a uu a u

29) 3

22 2 2 2 2( )

du uC

a u a a u

30) Ca

uarcsen

aua

uduua 22

22222

31) Ca

uarcsen

auaau

uduuau 8

)2(8

42222222

32) Cu

uaaauadu

u

ua

2222

22

ln

33) Ca

uarcsenua

udu

u

ua

22

2

22 1

34) Ca

uarcsen

aua

u

ua

duu

22

222

22

2

35) Cu

uaa

auau

du

22

22ln

1

36) Cuaua

uau

ua

duu

222

22

22

2

ln22

37) Ca

uarcsen

auaau

uduua 8

3)52(

8)(

4222222 2

3

38) Cuaa

u

ua

du

22222 2

3

)(

39) Cauua

auu

duau 22

22222 ln

22


25

40) Cauu

aauau

uduauu

224

2222222 ln8

)2(8

41) Cu

aaaudu

u

au

arccos.22

22

42) Cauuu

audu

u

au

2222

2

22

ln

43) Cauua

auu

au

duu

222

22

22

2

ln22

44) Cua

au

auu

du

2

22

222

45) Caua

u

au

du

22222 2

3

)(

46) Cauuau

u

au

duu

22

2222

2

ln)( 2

3

47) Cbuabuabbua

udu

)ln(1

2

48) Cbuaabuaabuabbua

duu

]ln2)(4)[(2

1 22

3

2

49) Cbua

u

abuau

du

ln1

)(

50) Cu

bua

baubuau

du

ln11

)( 22

51) Cbuabbuab

a

bua

udu

ln1

)()( 222

52) Cu

bua

abuaabuau

du

ln1

)(

1

)( 22

53) Cbuaabua

abua

bbua

duu

ln21

)(

2

32

2

54) Cbuaabub

dubuau 23

))(23(15

2.

2

55) Cbuaabubbua

udu

)2(

3

22

56) Cbuaabuubabbua

duu

)438(

15

2 222

3

2

57)

1ln ,

0

2 1,

0

sea bu aC

aa a bu adu

u a bu seaarctg C

aaa

58)

buau

duabuadu

u

uba2.

59)

buau

dub

u

buadu

u

bua

2.

2

60) dubuaunabuaunb

dubuau nnn

12

3

)()32(

2.

61)

bua

duu

nb

buau

bua

duu nn 1

)12(

2

62)

buau

du

na

nb

una

bua

buau

dunnn 11 )1(2

32(

)1(

63) Cusenuduusen 214

1

2

12

64) Cusenuduu 2.csc4

1

2

12

65) Cutguduutg .2

66) Cuuduu cot.cot2

67) Cusenduusen u )2(. 2

3

cos3

68) Csenuuduu )cos2(.cos 2

3

13

69) Cuutgduutg cosln. 2

2

13

70) Csenuuduu lncot.cot 2

2

13

71) Ctguutguuduu secln.sec.sec2

1

2

13

72) Cuuuuduu cotcsclncot.csc.csc2

1

2

13

73) duusenn

nuusen

nduusen nnn .

1cos.

1. 21

74) duun

nsenuu

nduu nnn .cos

1.cos

1.cos 21

75) duutgutgn

duutg nnn .1

1. 21


26

76) duuun

duu nnn .cotcot1

1.cot 21

77) duun

nuutg

nduu nnnn .sec

1

2sec.

1

1.sec 221

78) duun

nuu

nduu nnn .csc

1

2csc.cot

1

1.csc 22

79) C

ba

ubasen

ba

ubasendusenbusenau

)(2

)(

)(2

)(..

80) Cba

ubasen

ba

ubasendubuau

)(2

)(

)(2

)(.cos.cos

81) Cba

uba

ba

ubadubusenau

)(2

)cos(

)(2

)cos(.cos.

82) Cuusenudusenuu cos...

83) Csenuuuduuu .cos.cos.

84) duuunuudusenuu nnn .coscos.. 1

85) dusenuunsenuuduuu nnn ..cos. 1

86)

duusenmn

m

mn

uusen

duuusenmn

n

mn

uusenduuusen

mnumn

mnmn

mn

.cos1cos.

.cos.1cos.

..cos

211

211

87) Cuarcsenuuduarcsenu 21..

88) Cuuuduu 21arccos..arccos

89) Cuarctguuduarctgu )1(ln.. 2

2

1

90) Cuu

arcsenuuu

duarcsenu

4

1.

4

12.

22

91) Cuu

uu

duuu

4

1arccos

4

12.arccos.

22

92) Cu

arctguu

duarctguu

22

1..

2

93) 1

1

2

1. ,{ 1}

1 1

nn n u du

u arcsenu du u arcsenu C nn u

94) 1

1

2

1arccos . arccos ,{ 1}

1 1

nn n u du

u u du u u C nn u

95) 1

1

2

1. . ,{ 1}

1 1

nn n u du

u arctgu du u arctgu C nn u

96) Ceaua

duue auau )1(1

.2

97) dueua

neu

adueu aunaunaun

11

.

98) Cbubsenbuaba

edusenbue

auau

)cos..(.

22

99) Csenbubbuaba

edubue

auau

).cos.(.cos

22

100) Cuuuduu .ln.ln

101) Cunn

uduuu

nn

]1ln)1[()1(

.ln2

1

102) Cuduuu

lnln.ln

1

103) Cudusenhu cosh.

104) Csenhuduu .cosh

105) Cudutghu cosh.ln.

106) Csenhuduu ln.coth

107) Csenhuarctghduhu ..sec

108) Cutghduhu 2

1ln.csc

109) Ctghuduuh .sec 2

110) Cuduuh coth.csc 2

111) Chudutghuhu sec..sec

112) Chuduuhu csc.coth.csc

113) Ca

uaauau

auduuau

arccos

22

2.2

222

114) Ca

uaauau

aauuduuauu

arccos

22

6

32.2

32

222

115) Ca

uaauaudu

u

uau

arccos.2.

2 22

116) Ca

ua

u

uaudu

u

uau

arccos

22.

2 2

2

2

117) Ca

ua

uau

du

arccos

2 2

118) Ca

uaauau

uau

udu

arccos.2

2

2

2


27

119) Ca

uaauau

au

uau

duu

arccos

2

32

2

)3(

2

22

2

2

120)

Cau

uau

uauu

du

2

2

2

2

cálculo diferencial e integral ii exercícios lista r parte ... · 1ªlista de cálculo...

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