CATÓLICA Prof. CLÁUDIO MACIELCálculo Diferencial e Integral III 2ª Lista : Séries Numéricas, Testes de Convergência

Aluno:______________________________________ Turma ___________

Série Infinitas.

Se for uma seqüência e Sn = u1 + u2 + u3 + ...+ un então a seqüência será

chamada de série infinita, denotada por .

Os números u1, u2, u3, ...,un , ... são os termos da série infinita e os números s1, s2, ..., sn, ... são chamados de somas parciais da série infinita.

Convergência:

Seja uma série infinita, e seja { sn } a seqüência das somas parciais que definem a

série. Então, se o existir e for igual a S, dizemos que a séie será convergente, sendo

S a soma da série infinita dada. Se o não existir, a série será divergente e não terá

soma.

Série Geométrica:

A série geométrica converge para a soma e diverge se

5º) Dadas as séries determine os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais {sn}, obtenha uma fórmula para Sn, verifique se a série converge ou diverge e determine a sua soma se for convergente.

6º ) Determine se as séries dadas convergem ou divergem. Calcule a sua soma se for convergente.

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7º) Expresse as dízimas periódicas como séries geométricas e a suas somas como o quociente de dois inteiros.

a) 0,6666... b) 0,232323... c) 5,373737... d) 0,159159159...

e) 0,78217821... f) 2,3333... g) 0,21515... h) 0,451141414...

8º) Determine a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada e também se elas são convergente ou divergentes e sua soma se convergir.

Propriedades das séries.

Propriedade 1) Se são duas séries infinitas que diferem pelos seus m

primeiros termos ( ak = bk se k > m), então ambas convergem ou ambas divergem

9º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem.

Propriedade 2) Seja c é uma constante não-nula.

i) Se a série for convergente e sua soma for S, então a série

também será convergente e sua soma será c.S.

ii) Se a série for divergente, então a série também será divergente.

10º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem.

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Propriedade 3) Se são duas séries infinitas convergentes com somas S e R,

respectivamente, então

i) é uma série convergente e sua soma é S + R.

ii) é uma série convergente e sua soma é S – R .

Propriedade 4) Se a série for convergente e a série for divergente, então a série

será convergente.

11º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem

Propriedade 5) S a série converge, então . ( a recíproca é falsa)

12º) Determine se as séries infinitas convergem ou divergem

Séries Infinitas: Testes

Teste da Integral.

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Seja f uma função contínua, decrescente e com valores positivos para todo n≥ 1, e seja

. Então ambas, a série e a integral convergem ou

ambas divergem.

Séries p ( ou p-séries)

Uma série da forma , onde p é uma constante positiva.

Convergência:

Obs: Se p = 1 a série p é chamada de série harmônica.

Teste da Razão

Seja uma série de termos positivos e que .

Teste da Raiz

Seja uma série de termos positivos e que .

Exercícios:

1º) Use o teste da integral para determinar a convergência da série.

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2º)

Verifique a convergência das séries p

3º) Use o teste da razão para determinar a convergência da série.

4º) Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.

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Séries Alternadas

Se para todo n inteiro positivo, então a série

são chamadas de séries alternadas.

Convergência. Uma série alternada da forma ( I ) ou ( II ) é convergente se as duas condições seguintes estiverem satisfeitas.

OBS: Se uma série satisfaz a condição (ii) deste teste, a série deve convergir (teste da divergência ). No entanto, se a condição (ii) estiver satisfeita e a condição (i) não estiver, a série pode convergir ou divergir. Uma série alternada irá convergir se a condição (ii) for verdadeira e a condição (i) estiver verificada a partir de um de um certo termo.

Teste da Comparação

Suponha que para todo n.

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Teste da Comparação dos Limites

Sejam séries de termos positivos.

Exercícios

1º) Use o teste da comparação para verificar se a série converge ou diverge.

2º) Use o teste da comparação dos limites para verificar se a série converge ou diverge.

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3º) Determine se a série é convergente ou divergente.

Testes para SériesTeste Série Converge Diverge comentáriodo n-ésimo termo

Este teste não pode ser usado para

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provar a convergência

da série geométrica

Soma

para Séries p

para Séries alternadas n

da integral ( f contínua,positiva e decrescente)

converge diverge

da Raiz O teste é inconclusivo se

da Razão O teste é inconclusivo se

da Comparação(an , bn >0 )

dos Limites da Comparação(an , bn >0 )

Séries de Potência

Se c1, c2, c3, ... e x0 são constantes e x variável, então uma série na forma

é chamada série de

potência em x – x0 ( centrada em x0 ).

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Para x0 = 0, temos é chamada série de potência em

x ( centrada em 0 ).

Convergência

Para uma série de potência exatamente uma das seguintes afirmações é

verdadeira.

i- A série converge em x0. ii- Existe um número real R > 0 tal que a série converge para e diverge para

iii- A série converge para todo x

R é o raio de convergênciaSe a série converge apenas em x0, R = 0Se a série converge para todo x, Intervalo de Convergência: é o conjunto de todos os valores de x para os quais a série converge.

Exercícios:

Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência.

Diferenciação e Integração de séries de potências.

Se a função definida por

tem raio R > 0, então f é contínua, diferenciável e integrável no intervalo ( c – R, c + R ). Além disso, sua derivada e antiderivada são dadas por

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Seja uma série de potência cujo raio de convergência é R > 0. Então, se f for a

função definida por

existirá para todo x no intervalo aberto ( – R , R )

1) cujo raio de convergência também será R

2) com x no intervalo ( – R , R) e o raio de convergência

também será R

Exercícios

1º) Determine o intervalo de convergência para

onde

2º) Sejam

a) Determine os intervalos de convergência de f e de gb) Mostre que

Convergência Absoluta.

Uma série será absolutamente convergente se a série for convergente

Condicionalmente convergente

Uma série será condicionalmente convergente se converge, mas

diverge.

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OBS: i) Se a série converge, então a série também converge

ii) Se a série for absolutamente convergente, ela será convergente e

Teste da Razão para a convergência absoluta

Seja uma série com termos não-nulos. Se , então:

a) Para a série converge absolutamente b) Para a série divergec) Para nenhuma conclusão pode ser tirada do teste quanto a convergência.

Teste da Raiz para a convergência absoluta

Seja uma série com termos não-nulos. Se , então

a) Para a série converge absolutamente b) Para a série divergec) Para nenhuma conclusão pode ser tirada do teste quanto a convergência.

Exercícios:

5º) \determinar se as séries são convergentes ou divergentes

6º) Determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente

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